第五章定性和稳定性理论
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控制工程基础：第五章 控制系统稳定性分析
时，系统闭环后稳定。
2
Nyquist 稳定性判据2
1、若开环传递函数在s右半平面无极点时，当从0变化
时，如果Nyquist曲线不包围临界点(-1, j0)，则系统稳定。
如果Nyquist曲线包围临界点(-1, j0)，则系统不稳定。
❖ 系统稳定性定义：
❖
控制系统处于某一平衡状态下受到扰动作用而偏离了 原来的平衡状态，在干扰消失后系统又能够回到原来的平衡 状态或者回到原平衡点附近，则称该系统是稳定的，否则， 该系统就是不稳定的。
❖
稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统本身的 结构和参数，而与初始状态和外作用无关。
m
F
F
单摆系统稳定
p(s)
p(s) DK (s)
系统稳定的充要条件:特征方程的根全部具有负实部
（闭环极点均在s平面的左半平面）。
即系统稳定的充要条件为：F(s)的零点都位于s平面 的左半平面。
GB(s)
F(s)
Gk(s)
零点
极点
零点
极点
极点
零点
1、若开环极点均在s平面左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论：
arg[
DK
两种特殊情况
1、劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不 等于零或不全为零 处理方法：
用一个很小的正数 代替该行第一列的零，并据此计算出
阵列中的其余各项。然后令 0 ，按第一列系数进行
判别。
如果零上下两项的符号相同，则系统存在一对虚根，处于临 界稳定状态：如果零上下两项的符号不同，则表明有一个符 号变化，系统不稳定。
0
1
c1
1
b1
a1 b1
a3 110 (7)5 6.43
常微分方程定性与稳定性方法
谢谢观看
目录分析
第二部分是主体部分，详细介绍了常微分方程定性与稳定性的各种方法。其 中包括了稳定性理论、线性化与中心流形方法、Lyapunov第二方法、PoincaréBendixson定理等。这些方法都是解决常微分方程定性稳定性问题的关键工具， 通过学习这些方法，读者可以更好地理解和应用常微分方程。
目录分析
目录分析
目录分析
《常微分方程定性与稳定性方法》是一本关于常微分方程的学术著作，其目 录作为书籍内容的指引，具有重要意义。通过对目录的深入分析，我们可以了解 这本书的主要内容、结构以及编者的思路。
目录分析
从目录的结构来看，这本书大致可以分为三个部分。第一部分是引言，主要 介绍了常微分方程的基本概念、研究背景以及本书的目的和内容概述。这一部分 对于读者理解全书内容起到了很好的引导作用。
阅读感受
这本书从常微分方程的基本概念入手，逐步深入到其定性分析和稳定性方法。 让我印象深刻的是，作者不仅仅是在讲解理论知识，更是将理论与实践紧密结合。 例如，书中提到了极限环的概念，这是我之前未曾深入了解的领域。通过书中的 解释，我了解到极限环在很多实际问题中都有着广泛的应用，如生态系统的种群 动态、电路的振荡等。
内容摘要
还通过实例阐述了线性化方法在近似求解非线性问题中的应用。
Lyapunov第二方法涉及了中心流形定理和分岔理论。这一章通过深入浅出的方式，介绍了中心 流形定理的基本概念和计算方法，以及分岔理论的分类和应用。还结合实例探讨了非线性系统在 分岔点附近的动态行为。
本书的最后两章分别介绍了时滞微分方程的稳定性和混沌理论的相关内容。时滞微分方程在现代 科技领域中有着广泛的应用，如生态学、电路系统和控制系统等。这一章重点讨论了时滞微分方 程的稳定性条件和计算方法，以及与连续系统和离散系统的关系。也通过实例探讨了混沌理论在 时滞微分方程中的应用和意义。
线性系统理论第五章 系统运动的稳定性new
|
d
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系 统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
hij (t) dt i 1,2, q j 1,2, p 0
等价定义为：
（1）由任意初始状态X0∈S(δ)出发的受扰运动φ(t;X0,t0) ，相对 于平衡 状态Xe=0对所有t∈[t0, ∞)均为有界
（2）受扰运动相对于平衡状态Xe=0满足渐近性，即
lim
t
(t;
x0
,
t0
)
0
x0 S( )
称自治系统的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
不稳定
称自治系统 x& f (x, t) x(t0 ) x0 t [t0 , ) 的孤立平衡状态
Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数ε>0为多么大，都不存在对应
一个实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出
发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式‖Φ(t；x0,t)-Xe‖≤ε，
‖ Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤ε
⑴ 稳定的几何解释 ⑵ 李亚普诺夫意义下一致稳定 ⑶ 时不变系统的稳定属性 ⑷ 李亚普诺夫意义下稳定的实质
t t0
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
⑴ 稳定的几何解释
几何意义：对任给正实数ε，在状态空间中以原点（即xe）为球心 构造半径为ε的一个超球体，其球域即为S(ε)。则若存在对应地一
常微分方程定性与稳定性方法答案
由于常微分方程定性与稳定性方法是一个比较大的领域，这里只能提供一些基本的概念和答案，供参考：
什么是常微分方程？
常微分方程是描述物理、化学、生物等自然现象中的变化的方程。
常微分方程一般由一个或多个未知函数及其导数组成，通常用数学公式表示。
什么是定性分析？
定性分析是研究常微分方程解的行为特征而非求解具体解的方法。
它通常包括研究解的图像、相图、相平面等几何图形。
什么是稳定性？
稳定性是指一个系统在受到微小扰动后，是否能够回到原来的稳定状态的特性。
在常微分方程中，稳定性通常与平衡点相关。
什么是平衡点？
平衡点是指一个微分方程解中，导数为零的点。
在平衡点附近的解通常表现为一些稳定性特征，如稳定、不稳定、半稳定等。
什么是极限环？
极限环是指在相平面上，解沿着一个封闭轨迹无限接近平衡点的情况。
极限环通常是非线性微分方程中出现的现象，其表现形式与解在相平面上的轨迹有关。
以上是常微分方程定性与稳定性方法的一些基本概念和答案，仅供参考。
实际上，这个领域非常广阔，需要深入研究和掌握相关的理论和方法才能应用到实际问题中。
《自动控制原理》第五章：系统稳定性
5.2 稳定的条件
当σi和λi均为负数，即特征根的 σi和λi均为负数， 均为负数 实部为负数，系统是稳定的； 实部为负数，系统是稳定的； 或极点均在左平面。 或极点均在左平面。
5.3 代数稳定性判据
定常线性系统稳定的充要条件 定常线性系统稳定的充要条件是特征方程的根具有负 充要条件是特征方程的根具有负 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。为 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布， 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，这样 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性， 也就产生了一系列稳定性判据。 也就产生了一系列稳定性判据。 其中最主要是E.J.Routh(1877 )h和Hurwitz（ 其中最主要是E.J.Routh(1877年)h和Hurwitz（1895 E.J.Routh(1877年 年）分别提出的代数判据。 分别提出的代数判据 代数判据。
习题讲解： 习题讲解：
µ
G1
Q21
G1
h2
k1 k1 G1 ( s ) = , G1 ( s ) = (T1s + 1) (T1s + 1) k1k 2 G0 ( s ) = (T1s + 1)(T2 s + 1)
kp
G0 ( s ) G(s) = 1 + G0 ( s ) K p
5.4 Nyquist稳定性判据 Nyquist稳定性判据
系统稳定的条件？ 系统稳定的条件？
5.2 稳定的条件
d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) 线性系统微分方程： 线性系统微分方程： n a + an −1 + L + a1 + a0 y (t ) n ( n −1) dt dt dt d m x(t ) d ( m −1) x(t ) dx(t ) = bm + bm−1 + L + b1 + b0 x(t ) m ( m −1) dt dt dt d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) + a( n −1) + L + a1 + a0 y (t ) = 0 齐次微分方程： 齐次微分方程： an n ( n −1) dt dt dt an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0 = 0 设系统k 设系统k个实根
5第五章 稳定性理论
Lyapunov稳定性的定义和概念 Lyapunov直接法
11
5.2.1 系统的基本概念
1、自治系统：输入为0的系统 对于一般系统
f ( x, t ) , t t0 x
(*)
对于线性系统，就是齐次状态方程
A(t ) x x
2、平衡状态（平衡点） 对于（*）系统，如果存在某个状态xe，使下式成立
5.2.2 Lyapunov稳定性的定义
1.李氏意义下的稳定 xe为如下系统的一个孤立平衡状态
f ( x, t ) , t t0 x
如果对任一正实数 满足 其中初态 平衡状态
(*)
0 都对应存在另一个正实数 ( , t0 ) 0
x0 xe ( , t0 )
y (t ) k , t [t 0 , )
那么称此因果系统是外部稳定的，也称有界输入有界输出稳定， 简记为BIBO稳定。 BIBO稳定是通过输入输出关系来体现稳定性，但稳定性本身仍然 是由系统结构和参数决定的，与外部输入无关。
2
2、外部稳定性的判断 1）线性时变系统 对于零初始条件的线性时变系统，设G(t,)为其脉冲响 应矩阵，则系统为BIBO稳定的充要条件是存在一个有限常数 k使得对于任意的t[t0，∞)， G(t,) 的每一个元gij (t,)都满 足下式
t1
t0
g ij (t , ) d
g ij (t1 , t ) 0 g ij (t1 , t ) 0 g ij (t1 , t ) 0
1 那么当外加输入 u j (t ) Sgn[ g ij (t1 , t )] 0 1
t1 t1 t0 t0
yij (t1 ) g ij (t , )u j ( )d g ij (t , ) d
自动控制--第五章_控制系统的李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
2、李雅普诺夫（李氏）意义下的稳定性
设系统 x f (x,t) xe f (xe ,t) 0
如果对每个实数 0都对应存在另一个
实数 ( ,t0 ) ，0 使得满足
x0 xe (,t0)
－向量范数(表示
空间距离)
的任意初始态 x0出发的运动轨迹
x(t; x0,t0 ) ，在 t 都满足：
x(t; x0,t0) xe , t t0
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
则称平衡状态 xe是李雅普诺夫意义下稳定，
常简称为稳定。
注意：通常实数 δ 与ε有关，一般情况下也与t0 有关
为系统的平衡状态或平衡点。
注意：
系统能维持在某 状态不再变化
1）如果系统是线性定常的，即： x Ax ，则当
A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态即
原点；
Axe 0 xe 0
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。
Axe 0 无穷多个 xe
2）对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
一、几个基本概念
1、自治系统：不受外部影响即没有输入作用的 一类动态系统。
其状态方程描述为： x f (x,t) x(t0 ) x0
其解表示为： x(t; x0 , t0 )
只需考虑自治系统（因为 稳定性是系统在自由运动
下的特性）：
表示始于初态x0的一个运 动或一条状态轨迹
些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在
x xe ）
如： x1 x1
x2 x1 x2 x23
x1 0
x2 0
微分方程定性与稳定性分析解析
微分方程定性与稳定性分析解析微分方程是描述自然界中变化规律的重要数学工具，在各个学科领域中都有广泛的应用。
微分方程的定性与稳定性分析是研究微分方程解行为的一种方法，通过分析解的性质和稳定性来了解方程的整体行为。
本文将介绍微分方程定性与稳定性分析的基本概念和方法，并通过具体的例子来阐述其应用。
一、微分方程定性分析微分方程定性分析是指通过对微分方程解的性质进行分析，得到关于解的定性描述。
在定性分析中，我们主要关注解的长期行为和整体趋势，而不是具体的解析形式。
1. 平衡解与稳定性在微分方程中，平衡解是指满足方程右端为零的解。
对于一阶微分方程dy/dx = f(x)，平衡解即为使得f(x) = 0的x值。
平衡解的稳定性是指当初始条件接近平衡解时，解的行为是否趋于平衡解。
2. 等式右端的符号分析对于微分方程dy/dx = f(x)，我们可以通过分析f(x)的符号来推断解的行为。
当f(x) > 0时，解呈现上升趋势；当f(x) < 0时，解呈现下降趋势；当f(x) = 0时，解为平衡解。
3. 相图分析相图是描述微分方程解的图形，横轴表示自变量x，纵轴表示因变量y。
在相图中，曲线表示解的轨迹，平衡解表示曲线与纵轴的交点。
通过绘制相图，我们可以直观地了解解的行为和稳定性。
二、微分方程稳定性分析微分方程稳定性分析是指通过分析微分方程解的稳定性来了解方程的整体行为。
稳定性分析可以分为局部稳定性和全局稳定性两个方面。
1. 局部稳定性局部稳定性是指当初始条件接近某个平衡解时，解的行为是否趋于该平衡解。
局部稳定性可以通过线性化的方法来分析，即将微分方程在平衡解附近进行泰勒展开，并分析展开式的特征根。
2. 全局稳定性全局稳定性是指当初始条件在整个定义域内变化时，解的行为是否趋于某个平衡解。
全局稳定性的分析较为复杂，通常需要借助于Lyapunov函数或者Poincaré-Bendixson定理等方法。
三、定性与稳定性分析的应用微分方程的定性与稳定性分析在各个学科领域中都有广泛的应用。
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d 1 , 2 0.
设对应于轨道 的解为 x t, p, 于是存在数列 0 t1 t2 ,
使得
d t2k1 ,1 0, d t2k ,2 0, 当k , 即tk +时.
从而存在自然数 N, 使得对每个 k>N 都有 tk : t2k tk t2k1,
证明： 用反证法, 若 x0 不是平衡点, 则必存在时刻 t,
使得 t, x0 x0, 记 x0 与 t, x0 之间的距离
d t, x0 , x0 0.
根据解对初值的连续性, 对给定的 0, 存在 0, ,
称由 (5.1.1) 所确定的全体轨道的集合为一个动力系统.
例如, 对于n阶常方阵A, 系统 x Ax 的所有轨道就组成了一 个动力系统.
关于 (5.1.1) 的解 x t, 有如下性质：
性质 5.1.1 若 x t, 是 (5.1.1) 的解, 则对任给的常数c,
等)，且解的定义区间都为 R ;
于是对 Rn , (5.1.1) 就有惟一的一个解 x t, 满足 0， .
从几何上来看,解x t, 的积分曲线是 Rn1 空间的图像
t, xRn1 x t, , t R , 称为轨线 (trajectory),
面的性质 5.1.2 矛盾. 命题证毕.
推论 5.1.2 若 (5.1.1) 的解 t, 当 t 时,有 t 趋于
(5.1.1) 的平衡点 xe , 则必有 或 .
命题 5.1.2 若在 x0 的任意小邻域内, 都存在时间长度为任
意大的轨道弧, 则 x0 必为平衡点.
性质 5.1.3 (群性质) 对 Rn , 都有
t2, t1, t1 t2, .
5.1.2
证明: 由性质 1 即知 t， t1, 和 t t1, 都是 (5.1.1) 的解,
又当t=0 时, 这两个解均为 x t1, , 故由解的惟一性即知有
第五章 定性和稳定性理论
主讲人：刘兴波
大家知道, 能求出通解的常微分方程是极为有限的, 差 不多就是前两章讨论的那些方程类型. 大量非线性方程的求 解都尚待研究, 更谈不上用初等函数的积分来表示. 因此就 提出直接从微分方程的结构来研究解的性质, 或者研究由微 分方程所确定曲线的分布状态及其渐近性质. 这就是十九 世纪八十年代初到九十年代初由 H. Poincare 和 A. M. , Liapunov 提出的微分方程定性理论和稳定性理论.
在时间 t 的序列 tk, 当 k 时，有 tk , 使得
lim
k
tk
,
p
q
Rn
,
5.1.4
则称点 q 为轨道 或正半轨 的 极限点.
若存在时间 t 的序列 tk, 当 k 时，有 tk , 使得 (5.1.4)
成立, 则称点 q 为轨道 或负半轨 的 极限点.
趋向于一个点q , 则q必为平衡点, 且有 q.
注：如果轨道L上的每一点都是轨道 的 极限点, 则称L 为
的 极限轨道
它满足
d tk, p ,i 4 , i 1, 2; k N.
由 的有界性即知序列 tk, p k N 必存在极限点 x0 , 显然 x0 ,
且 d x0, i
4
,
i 1, 2. 从而 x0 1
2 , 这就与 1
的在
t=0
时位于
U0
内的轨道
x
(t)
满足
lim
t
xt
xe ,
则称 (5.1.1) 的平衡点 xe 是渐近稳定的.
吸引域: U0 称为是 (5.1.1) 的平衡点的吸引域.
如果U0 Rn, 则称 (5.1.1) 的平衡点是全局渐近稳定的.
考虑n 维常系数线性系统 x Ax 的平衡点的稳定性
同理可证 的情况. 证毕
推论 5.1.3 若 是系统(5.1.1)的任一闭轨, 则 .
推论 5.1.4 若有界轨道 的 极限集合 是只由一点q
构成的, 即 q, 则q 必为平衡点, 并且当 t +-
时轨道 趋向于这个平衡点. 反之, 若当 t +-时轨道
意义下是稳定的.
如果对 xe 的任一邻域 U, 总存在一个 xe 的邻域 U1 U ,
使得系统 (5.1.1) 的在 t=0 时位于 U1 内的轨道在 t>0 时始终位
于 U 中. 否则就称平衡点 xe 不稳定.
如果平衡点 xe 是稳定的, 并且存在 xe 的一个邻域 U0, 使得系
统
(5.1.1)
的定义知 为闭集.
再证明其连通性. 反证, 若集合 不连通, 则存在非空的分离的
集合 1 和2 ，使得 1 2 ，由 的有界性得 1 和2
的有界性。
由 是闭集及 1 和2 的分离性，得 1 和2 是闭集. 由于两个不相交的有界闭集之间的距离为正, 因此 1 和2 之间的距离
t, t1, t+t1, , 特别当 t t2 时即得 (5.1.2) 式. 证毕
2.平衡点及其稳定性.
如果 存在 x0 Rn 使得 f x0 0, 则称 x0 为 系统 的 常点。
如果 存在 xe Rn 使得 f xe =0, 则称x0为 系统 的 平衡点 。
方程的平衡点是不稳定的.
三、周期解和闭轨
如果系统 (5.1.1) 的解 t , t R 是 t 的周期函数, 即存在 0,
使得对一切 t R, 有 t t, 则称 t 为 (5.1.1) 的 周期解, 而称 为它的周期.
从几何上看, 在 Rn+1 空间中，周期解的积分曲线是一条以最小正
我们只讨论 A 为n阶非奇异实常方阵的情况. 这时系统的平衡
点是唯一的: x=0. 方程的标准基解阵为 exp At , 由标准基解
阵的形式容易证明如下定理：
定理 5.1.1 1. 若 A 的特征值都具有负实部, 则方程的平衡点是渐近稳定的; 2. 若A 的特征值至少有一个正实部, 则方程的平衡点是不稳定的;
2
矛盾, 故 应为连通集.
设q , q1 t1, q 为过q 点的轨道上的任一点，由于q 是 t, p的 极限点, 所以存在序列 tk, k=1,2, , tk , 使得
tk , p q, k +.由解的群性质 5.1.2 与解对初值的连续性, 当
轨道 的所有 极限点组成的集合称为它的 极限集合。
并记作 ;
轨道 的所有 极限点组成的集合称为它的 极限集合,
并记作 A .
定理 5.1.2 有界轨道 的极限集 A 是一个非空、有界、闭
的连通集合, 且 等于若干整条轨道的并集.
证明: 由于 的有界性，故 是一个非空有界集. 由极限集合
积分曲线在相空间上的投影x Rn x t, , t R
是 Rn 中的一条曲线，称它为一条轨道(orbit) .
称 Rn 为相空间phase space, 相空间的点称为相点.
当 t 变动时就说相点在轨道上运动.
称相空间中的曲线x Rn x t, , t 0 为正半轨, 称相空间中的曲线x Rn x t, , t 0为负半轨.
x t +c, 也是 (5.1.1) 的解.
性质 5.1.2 若x t, 是 (5.1.1) 的解, 则 x t +c,
对应的轨道与c 无关, 即对任意常数c, x t +c,
所对应的是 (5.1.1) 的同一条轨道.
推论 5.1.1 对 Rn , (5.1.1) 有且只有一条轨道通过点 .
3.1 基本概念
1.动力系统 当一般方程 x=f t,x中函数 f 不显含 t 时，即
x f x, x Rn , n 1,
5.1.1
则称它为定常系统或驻定系统或自治系统,其中 f x 在 Rn 连续，
且保证 (3.1.1) 的解由初值所惟一确定 (如 Lipschitz 条件
命题 5.1.1 若 xe 为(5.1.1) 的平衡点，则对任何不同于 xe 的轨道
不可能在有限时间到达或趋于 xe .
证明: 反证, 若定理结论不真, 则存在 (5.1.1) 的一个非定常解
x(t) 和有限的时刻 , 使得当 t 时有 x t xe, 由x (t) 的连续性即知 x =xe, 由此即见过 xe 有两条轨道, 这与上
周期为螺距的螺旋线, 而其对应的轨道是在相空间 Rn 中的一条
闭曲线; 不是定常解的周期解所对应的轨道称为闭轨.
命题 5.1.3 不是常值的连续的周期函数具有最小正周期. 且这个
周期函数的周期都是最小正周期的正整数倍. 因此闭轨对应的解
具有最小正周期.
四. 轨道的极限集合
定义：设 : x t, p, t R 为系统 (5.1.1) 的任一轨道; 如果存
tk 时有
t1 tk , p t1, tk , p t1, q q1,
即 tk : t1 tk ,且 tk , p q1, 这说明 q1也是轨道 t, p 的
极限点, 由 q 和 t1的任意性， 等于若干整条轨道的并集.
使得对一切满足
d x0, x1
3
的
x1,
3
都有
d t, x0 , t, x1
设对应于轨道 的解为 x t, p, 于是存在数列 0 t1 t2 ,
使得
d t2k1 ,1 0, d t2k ,2 0, 当k , 即tk +时.
从而存在自然数 N, 使得对每个 k>N 都有 tk : t2k tk t2k1,
证明： 用反证法, 若 x0 不是平衡点, 则必存在时刻 t,
使得 t, x0 x0, 记 x0 与 t, x0 之间的距离
d t, x0 , x0 0.
根据解对初值的连续性, 对给定的 0, 存在 0, ,
称由 (5.1.1) 所确定的全体轨道的集合为一个动力系统.
例如, 对于n阶常方阵A, 系统 x Ax 的所有轨道就组成了一 个动力系统.
关于 (5.1.1) 的解 x t, 有如下性质：
性质 5.1.1 若 x t, 是 (5.1.1) 的解, 则对任给的常数c,
等)，且解的定义区间都为 R ;
于是对 Rn , (5.1.1) 就有惟一的一个解 x t, 满足 0， .
从几何上来看,解x t, 的积分曲线是 Rn1 空间的图像
t, xRn1 x t, , t R , 称为轨线 (trajectory),
面的性质 5.1.2 矛盾. 命题证毕.
推论 5.1.2 若 (5.1.1) 的解 t, 当 t 时,有 t 趋于
(5.1.1) 的平衡点 xe , 则必有 或 .
命题 5.1.2 若在 x0 的任意小邻域内, 都存在时间长度为任
意大的轨道弧, 则 x0 必为平衡点.
性质 5.1.3 (群性质) 对 Rn , 都有
t2, t1, t1 t2, .
5.1.2
证明: 由性质 1 即知 t， t1, 和 t t1, 都是 (5.1.1) 的解,
又当t=0 时, 这两个解均为 x t1, , 故由解的惟一性即知有
第五章 定性和稳定性理论
主讲人：刘兴波
大家知道, 能求出通解的常微分方程是极为有限的, 差 不多就是前两章讨论的那些方程类型. 大量非线性方程的求 解都尚待研究, 更谈不上用初等函数的积分来表示. 因此就 提出直接从微分方程的结构来研究解的性质, 或者研究由微 分方程所确定曲线的分布状态及其渐近性质. 这就是十九 世纪八十年代初到九十年代初由 H. Poincare 和 A. M. , Liapunov 提出的微分方程定性理论和稳定性理论.
在时间 t 的序列 tk, 当 k 时，有 tk , 使得
lim
k
tk
,
p
q
Rn
,
5.1.4
则称点 q 为轨道 或正半轨 的 极限点.
若存在时间 t 的序列 tk, 当 k 时，有 tk , 使得 (5.1.4)
成立, 则称点 q 为轨道 或负半轨 的 极限点.
趋向于一个点q , 则q必为平衡点, 且有 q.
注：如果轨道L上的每一点都是轨道 的 极限点, 则称L 为
的 极限轨道
它满足
d tk, p ,i 4 , i 1, 2; k N.
由 的有界性即知序列 tk, p k N 必存在极限点 x0 , 显然 x0 ,
且 d x0, i
4
,
i 1, 2. 从而 x0 1
2 , 这就与 1
的在
t=0
时位于
U0
内的轨道
x
(t)
满足
lim
t
xt
xe ,
则称 (5.1.1) 的平衡点 xe 是渐近稳定的.
吸引域: U0 称为是 (5.1.1) 的平衡点的吸引域.
如果U0 Rn, 则称 (5.1.1) 的平衡点是全局渐近稳定的.
考虑n 维常系数线性系统 x Ax 的平衡点的稳定性
同理可证 的情况. 证毕
推论 5.1.3 若 是系统(5.1.1)的任一闭轨, 则 .
推论 5.1.4 若有界轨道 的 极限集合 是只由一点q
构成的, 即 q, 则q 必为平衡点, 并且当 t +-
时轨道 趋向于这个平衡点. 反之, 若当 t +-时轨道
意义下是稳定的.
如果对 xe 的任一邻域 U, 总存在一个 xe 的邻域 U1 U ,
使得系统 (5.1.1) 的在 t=0 时位于 U1 内的轨道在 t>0 时始终位
于 U 中. 否则就称平衡点 xe 不稳定.
如果平衡点 xe 是稳定的, 并且存在 xe 的一个邻域 U0, 使得系
统
(5.1.1)
的定义知 为闭集.
再证明其连通性. 反证, 若集合 不连通, 则存在非空的分离的
集合 1 和2 ，使得 1 2 ，由 的有界性得 1 和2
的有界性。
由 是闭集及 1 和2 的分离性，得 1 和2 是闭集. 由于两个不相交的有界闭集之间的距离为正, 因此 1 和2 之间的距离
t, t1, t+t1, , 特别当 t t2 时即得 (5.1.2) 式. 证毕
2.平衡点及其稳定性.
如果 存在 x0 Rn 使得 f x0 0, 则称 x0 为 系统 的 常点。
如果 存在 xe Rn 使得 f xe =0, 则称x0为 系统 的 平衡点 。
方程的平衡点是不稳定的.
三、周期解和闭轨
如果系统 (5.1.1) 的解 t , t R 是 t 的周期函数, 即存在 0,
使得对一切 t R, 有 t t, 则称 t 为 (5.1.1) 的 周期解, 而称 为它的周期.
从几何上看, 在 Rn+1 空间中，周期解的积分曲线是一条以最小正
我们只讨论 A 为n阶非奇异实常方阵的情况. 这时系统的平衡
点是唯一的: x=0. 方程的标准基解阵为 exp At , 由标准基解
阵的形式容易证明如下定理：
定理 5.1.1 1. 若 A 的特征值都具有负实部, 则方程的平衡点是渐近稳定的; 2. 若A 的特征值至少有一个正实部, 则方程的平衡点是不稳定的;
2
矛盾, 故 应为连通集.
设q , q1 t1, q 为过q 点的轨道上的任一点，由于q 是 t, p的 极限点, 所以存在序列 tk, k=1,2, , tk , 使得
tk , p q, k +.由解的群性质 5.1.2 与解对初值的连续性, 当
轨道 的所有 极限点组成的集合称为它的 极限集合。
并记作 ;
轨道 的所有 极限点组成的集合称为它的 极限集合,
并记作 A .
定理 5.1.2 有界轨道 的极限集 A 是一个非空、有界、闭
的连通集合, 且 等于若干整条轨道的并集.
证明: 由于 的有界性，故 是一个非空有界集. 由极限集合
积分曲线在相空间上的投影x Rn x t, , t R
是 Rn 中的一条曲线，称它为一条轨道(orbit) .
称 Rn 为相空间phase space, 相空间的点称为相点.
当 t 变动时就说相点在轨道上运动.
称相空间中的曲线x Rn x t, , t 0 为正半轨, 称相空间中的曲线x Rn x t, , t 0为负半轨.
x t +c, 也是 (5.1.1) 的解.
性质 5.1.2 若x t, 是 (5.1.1) 的解, 则 x t +c,
对应的轨道与c 无关, 即对任意常数c, x t +c,
所对应的是 (5.1.1) 的同一条轨道.
推论 5.1.1 对 Rn , (5.1.1) 有且只有一条轨道通过点 .
3.1 基本概念
1.动力系统 当一般方程 x=f t,x中函数 f 不显含 t 时，即
x f x, x Rn , n 1,
5.1.1
则称它为定常系统或驻定系统或自治系统,其中 f x 在 Rn 连续，
且保证 (3.1.1) 的解由初值所惟一确定 (如 Lipschitz 条件
命题 5.1.1 若 xe 为(5.1.1) 的平衡点，则对任何不同于 xe 的轨道
不可能在有限时间到达或趋于 xe .
证明: 反证, 若定理结论不真, 则存在 (5.1.1) 的一个非定常解
x(t) 和有限的时刻 , 使得当 t 时有 x t xe, 由x (t) 的连续性即知 x =xe, 由此即见过 xe 有两条轨道, 这与上
周期为螺距的螺旋线, 而其对应的轨道是在相空间 Rn 中的一条
闭曲线; 不是定常解的周期解所对应的轨道称为闭轨.
命题 5.1.3 不是常值的连续的周期函数具有最小正周期. 且这个
周期函数的周期都是最小正周期的正整数倍. 因此闭轨对应的解
具有最小正周期.
四. 轨道的极限集合
定义：设 : x t, p, t R 为系统 (5.1.1) 的任一轨道; 如果存
tk 时有
t1 tk , p t1, tk , p t1, q q1,
即 tk : t1 tk ,且 tk , p q1, 这说明 q1也是轨道 t, p 的
极限点, 由 q 和 t1的任意性， 等于若干整条轨道的并集.
使得对一切满足
d x0, x1
3
的
x1,
3
都有
d t, x0 , t, x1