控制系统稳定性理论
现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析

外部稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适用于线性系 统,而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统,只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性,稳定性是系统本身的一种特性,只和系统 本身的结构和参数有关,与输入-输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知,系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的:将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论:V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关,则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法:
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点,不管初始偏差有多大,都有渐
近稳定特性,即:lim x t
- xe
0
对所有点都成立,称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性:整个状态空间中,只有一个平衡状态。 (假设有2个平衡状态,则每个都有自己的稳定范 围,其稳定范围不可能是整个状态空间。)
(2) 求系统的特征方程:
det(lI
-
A)
l
- 1
求得: l1 2,l2 -3
控制系统的稳定性分析

自动控制原理
其中系数 b1 , b2 , b3 等;根据
下列公式计算:
b1
a1a 2 a 0a 3 a1
b2
a1a 4 a 0a 5 a1
b3
a1a 6 a 0a 7 a1
同样的方法可以计算c;d;e等各行的系数
自动控制原理
注意:
在展开的阵列中;为简化其后的数值计算;可用一个正整数去除 或乘某一个整行;并不影响稳定性结论; 劳斯判据还说明:方程式5 4中;其正实部特征根数;等于劳斯阵列中第一列的系数改变的次数;
自动控制原理
从乃氏图上看;Gjw不包围1;j0点
G ( jw ) 1
稳定
G ( jw )
G ( jw )
不稳定
自动控制原理
2 若开环系统不稳定;有p个零点在右半平面;q的零点在原点;npq个 零点在左半平面 则
argD K(jw)(n2pq)2
如果闭环是稳定的;则
argDb(jw)n 2
故
a r g 1 G (jw ) n ( n 2 p q ) p q
F是新引进的函数;其分母是系统开环特征多项式;分子是闭环特征多 项式;
对于非单位反馈系统;开环传递函数为
GsG' sHsM DK Kss
自动控制原理
2 乃奎斯特队稳定判据 1 若开环是稳定的;则根据米哈依洛夫定理
argDk
jwn
2
如果闭环系统稳定;有
于是
argDb
jwn
2
arg1G (jw )0o
0
0
a n1 0
0
an2 an
自动控制原理
系统稳定的充要条件是:主行列式
式 1,2, n1 ;均大于零;即
现代控制理论稳定性的判定优秀详解

现代控制理论稳定性的判定优秀详解现代控制理论是工程控制科学的重要组成部分,它主要研究动态系统的稳定性问题。
在工程实践中,通过判定系统的稳定性,可以评估控制系统的性能和可靠性,为系统设计和运营提供重要依据。
本文将详细介绍现代控制理论中稳定性的判定方法和优点。
一、稳定性判定方法1. 传递函数法传递函数法是现代控制理论中最常用的一种稳定性判定方法。
它通过分析系统的传递函数,确定系统的极点位置,从而判断系统是否稳定。
对于一般系统,只需要确定传递函数的分母多项式的根的位置即可。
如果所有根的实部均小于零,则系统是稳定的;如果存在一个或多个根的实部大于零,则系统是不稳定的。
2. 状态方程法状态方程法是另一种常用的稳定性判定方法。
它将系统的动态行为表示为一组状态方程,通过求解状态方程的特征根来判断系统的稳定性。
如果所有特征根的实部均小于零,则系统是稳定的;如果存在一个或多个特征根的实部大于零,则系统是不稳定的。
3. 极点分布法极点分布法是一种图形法,通过绘制系统的极点在复平面上的分布图,可以直观地判断系统的稳定性。
如果所有极点都位于左半平面,则系统是稳定的;如果存在极点位于右半平面,则系统是不稳定的。
此外,如果存在虚轴上的极点,系统可能是临界稳定或者边界稳定。
二、稳定性判定方法的优点1. 灵活性现代控制理论中的稳定性判定方法具有很高的灵活性。
不同方法可以根据具体问题的特点选择使用,如传递函数法适合分析线性时不变系统,而状态方程法适合分析非线性或时变系统。
这样,工程师可以根据实际情况选择最合适的稳定性判定方法,保证判定结果的准确性。
2. 准确性现代控制理论中的稳定性判定方法基于严格的数学推导和分析,具有很高的准确性。
通过这些方法所得到的稳定性判定结果经过验证,在工程实践中得到了广泛应用。
3. 直观性极点分布法是现代控制理论中一种直观的稳定性判定方法。
通过绘制极点的分布图,可以直观地了解系统的稳定性状况。
这种直观性可以帮助工程师更好地理解和分析系统的动态行为,为控制系统的设计和调试提供有价值的参考。
控制理论中的稳定性概念

控制理论中的稳定性概念控制理论是应用数学、工程学和自动化学等多个学科的交叉领域。
控制系统是由一组相关的元件和设备组成的系统,它的目的是使某个变量达到一个预定值或保持在一定限度内。
在控制系统中,稳定性是一个重要的概念,它关系到控制系统的性能和效果。
1. 稳定性的概念稳定性是指当系统受到外界的干扰或内部变量有所改变时,系统的输出是否会趋向于一个固定值或者一个稳定的周期性运动状态。
控制系统中,稳定性是指当控制系统的输入发生改变时,控制系统的输出是否会在一段时间后稳定在一个目标值或在一个范围内波动。
2. 稳定性的种类在控制理论中,稳定性可以分为三种:渐进稳定、有限时间稳定和指数稳定。
渐进稳定是指当系统偏离目标值时,系统的输出趋向于目标值,但是需要无限时间才能到达目标值。
有限时间稳定是指当系统偏离目标值时,系统的输出在有限时间内趋向于目标值。
指数稳定是指当系统偏离目标值时,系统的输出可以在有限时间内渐进地趋向于目标值,并以指数形式逼近目标值。
3. 稳定性的判断稳定性的判断是控制系统设计中的重要问题。
控制系统的稳定性可以通过系统的传递函数来判断。
当系统的传递函数的分母多项式中所有的根都具有负实部时,系统是稳定的。
这是因为当分母多项式的根具有负实部时,系统的单位阶跃响应和自由响应都能以指数形式收敛到零,并稳定在零附近。
这种根的数量和位置能够影响系统的稳定性和响应速度。
此外,控制系统的稳定性也可以通过判断系统的特征方程的根的位置来判断。
当系统的特征方程的根都具有负实部时,系统是稳定的。
这是因为特征方程的根能够代表系统的自由响应的动态特性,在负实部根的作用下,自由响应能够稳定地趋向于零。
4. 稳定性的应用控制系统的稳定性对于自动控制的实现至关重要。
在实际控制中,我们通常不仅要控制系统的目标变量,还要控制系统的稳定性。
稳定性不仅是控制系统功能的保证,还能保证系统有较长寿命和更高的工作效率。
控制系统的稳定性也对于一些特殊的控制应用有着广泛应用。
控制系统中的稳定性分析

控制系统中的稳定性分析控制系统是现代工业生产中不可或缺的一部分,它可以通过传感器采集实时数据、通过控制器对数据进行处理,进而控制被控对象的运动或状态,达到控制目的。
在控制系统中,稳定性是最基本也是最重要的性能之一,而稳定性分析是控制系统的重要组成部分。
本文将围绕控制系统中的稳定性分析进行阐述。
一、稳定性的定义稳定性是指该系统在输入外部干扰或扰动的影响下,输出的运动状态是否始终保持在某一范围内,没有出现震荡或失稳的现象。
稳定性是控制系统的最基本的性能之一,是控制系统能否正常工作的基础。
二、控制系统中的稳定性类型根据控制系统的输出,控制系统的稳定性被分为两个主要类型:渐进稳定和瞬态稳定。
1. 渐进稳定渐进稳定是指控制系统在受到外界扰动后输出逐渐趋于稳定的情况。
在控制系统中,一个标准的渐进稳定系统应该满足以下三个条件:(1)系统输出必须有界;(2)当外界干扰为零时系统输出应该收敛于一个固定的值;(3)系统必须不具有周期性行为。
2. 瞬态稳定瞬态稳定是指控制系统在受到外界干扰后,输出通过系统自身调节能够在短时间内恢复到初始状态。
对于瞬态稳定的控制系统,在外界扰动干扰之后,系统应该在一定的时间范围内就能够恢复到稳态,并不受外界扰动的影响。
三、稳定性分析方法1. 时域分析法时域方法是根据系统传递函数展开的分析方法,它可以通过对系统传递函数进行分析,从而得出系统的稳定性状态。
时域方法的主要思路是,将系统的传递函数加上一个扰动,观察系统的反应,并根据系统的反应进行分析。
2. 频域分析法频域方法是根据系统的频率特性展开的分析方法,它可以通过对系统在不同频率下的响应进行分析,从而得出系统的稳定性状态。
频域方法的核心思想是,根据系统的传递函数得到其频率响应,然后通过求解系统的幅频特性曲线和相频特性曲线,来判断系统的稳定性情况。
四、稳定性分析技术1. 极点分析法极点分析法是一种基于控制理论的分析方法,它可以将系统的传递函数分解为多个一次项的乘积,然后分析每个一次项的为稳定极点,找出系统的稳定性状况。
控制系统稳定性控制

控制系统稳定性控制控制系统的稳定性是指在系统输入和干扰的作用下,系统输出能够保持在一定范围内,并且不会发生剧烈的波动或不稳定的情况。
稳定性是控制系统设计和优化中的重要考虑因素,它直接关系到系统的性能和可靠性。
一、稳定性的基本概念在控制系统中,稳定性可以分为两类:绝对稳定性和相对稳定性。
绝对稳定性是指当系统的任何初始条件和参数变化都不会引起系统的输出超出一定范围,系统始终保持稳定。
相对稳定性是指系统在参数变化或干扰作用下,虽然会有一定的波动或震荡,但最终输出会趋于稳定。
二、稳定性判断的方法常用的判断控制系统稳定性的方法有两种:时域方法和频域方法。
1. 时域方法时域方法是通过分析系统的状态方程或差分方程来判断系统的稳定性。
常用的判断方法有:极点位置判据、Nyquist稳定性判据、Hurwitz 稳定性判据等。
极点位置判据是指通过分析系统极点的位置来判断系统的稳定性。
当系统的所有极点的实部都小于零时,系统是稳定的。
Nyquist稳定性判据是将控制系统的开环传递函数绘制在复平面上,通过分析曲线的轨迹来判断系统的稳定性。
Hurwitz稳定性判据是通过分析系统特征方程的Jacobi矩阵行列式来判断系统的稳定性。
2. 频域方法频域方法是通过分析系统的频率响应来判断系统的稳定性。
常用的判断方法有:Bode稳定性判据、Nyquist稳定性判据等。
Bode稳定性判据是通过分析系统的频率响应曲线的相角和幅值来判断系统的稳定性。
当系统幅值曲线超过0dB的频率点相角为-180°时,系统是稳定的。
三、控制系统稳定性的控制方法为了保证控制系统的稳定性,通常采取以下方法进行控制:1. 增加稳定裕度稳定裕度是指系统在保持稳定的前提下,对参数变化或负载波动的容忍能力。
通过增加稳定裕度,可以提高系统的鲁棒性和可靠性。
常用的方法有:采用PID控制器、增加系统正反馈等。
2. 优化控制器参数优化控制器参数是通过对系统的传递函数进行分析和调节,使系统的性能指标达到最优。
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析

由稳定性定义知,球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值,球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说:1.如果 x t; x0, t0 有界,则称 xe 稳定;
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界,而且当t→∞时收敛于原点,则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为: x f x,t , x Rn
若对所有t ,状态 x 满足 x 0 ,则称该状态x为平衡状
态,记为xe。故有下式成立:f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点,称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义,平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A,x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统,方程 方程而定。
如:
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个,视系统
稳定性是系统的重要特性,是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后,系统自由运动 的性质。因此,系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性,而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数,与系统 初始条件及外作用无关; 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数,也与 系统初始条件及外作用有关;
当稳定性与 t0 的选择无关时,称一致全局渐近稳定。
控制系统的稳定性分析与设计

控制系统的稳定性分析与设计控制系统的稳定性是控制工程中最为重要的一个参数之一。
一个稳定的控制系统能够使得系统在经过一定的时间后回到原点,而不会发生不可控的偏差,从而保证控制效果的稳定性和可靠性。
本文将从系统稳定性的原理和方法、设计方法及案例等方面探讨控制系统的稳定性分析与设计。
一、系统稳定性的原理和方法1. 系统稳定性的定义系统稳定性指的是系统在外界干扰或参数变化的作用下,回应输出信号与输入信号之间的关系是否稳定。
即在一定时间内,控制系统确保输出值能够跟随输入值的变化,而不会发生不可控的震荡或失控的情况。
2. 系统稳定性的判据良好的系统稳定性需要满足以下条件:(1)经过一定时间后,系统从任何初始状态转移到平衡状态;(2)平衡状态具有稳定性,即系统在发生一定幅度的干扰时,需要在一定时间内回复到原平衡状态;(3)平衡状态的稳定性受到系统参数变化、外界环境变化等多种因素的影响,但是通过合理的调节和控制,使得系统在变化后仍能保持稳定。
3. 系统稳定性的分析方法(1)指标法:它是利用特定的指标量来描述系统的稳定状态,比如阻尼系数、频率响应等。
(2)相关函数法:它是利用系统的特性函数或者频率响应函数来描述系统的稳定性。
(3)传递函数法:传递函数描述输入信号与输出信号之间的关系,可以通过传递函数的特性分析系统的稳定性。
(4)极点分布法:分析系统的极点分布情况,确定系统的极点位置以及极点位置对系统稳定性的影响。
二、控制系统的稳定性设计方法1. PID控制器的设计方法PID控制器是目前使用最为广泛的控制器,它可以通过调节比例系数、积分系数和微分系数来达到控制系统的稳定性。
在进行PID控制器的设计时,需要进行以下步骤:(1)确定控制系统的传递函数;(2)确定控制系统的目标响应曲线;(3)通过目标响应曲线和传递函数设计出PID控制器;(4)进行仿真或实验验证控制系统的稳定性。
2. 模糊控制器的设计方法模糊控制器是一种基于模糊推理的控制器,它可以通过调节模糊逻辑的输入变量和输出变量来达到不同的控制效果。
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Ax 0 x 0 0 x 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 x 0 0 2 2 2 2 x3 2 x3
系统状态与平衡状态之间的范数:
x xe ( x10 k ) 2 (e t x20 ) 2 (e 2t x30 ) 2
lim x xe x10 k
t
系统的状态不收敛到平衡状态,系统是稳定,但是不是渐近 稳定。虽然系统有无穷个平衡状态,但系统为线性定常系统, 只分析原点的稳定性即可。
x0 s( )
t
lim x(t , x0 , t0 ) xe 0
初始条件扩展到整个空间,且是渐近稳定。
s( ) ,
x xe大范围渐近稳定
大范围渐近稳定的必要条件:系统只能有一
个平衡状态。
线性系统(严格):如果它是渐近稳定的,必
是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初 始条件的大小无关)。
e
雅可比矩阵
f f1
f2 fn
T
x x1 x2 xn
x x xe
T
令
x x f ( xe )
x xe
f A T x
则线性化系统方程为:
x Ax
结论:
(1)若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ,则非线性系统
g ( x)无关; (2)若 Re(i ) 0 Re( j ) 0 i j 1,, n 则非线性系统在 xe 是不稳定;
非线性系统:只能在小范围一致稳定,由状
态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。
当 与 t 0 无关
大范围一致渐近稳定。
4. Lyapunov意义下的不稳定性 不管 , 有多小, 只要由 s ( ) 内,由 x0 出 发的轨迹超出 s( ) 以外, 则称此平衡状态 xe 是 不稳定的。
主要内容: 李氏第一法(间接法):求解特征方程 的特征值 李氏第二法(直接法):利用经验和技 巧来构造李氏函数
5.1 李氏稳定性基本概念
1.自治系统:输入为零的系统
f ( x,t) , x Ax Bu, x
2.初始状态
xR
n
Ax u 0, x
x(t; x0 , t0 )
Axe 0
xe
b.非线性系统
f ( xe , t ) 0 x
xe
可能有多个
例:
1 x1 x 2 x1 x2 x x
1 0 x
0 xe1 0
3 2
令
2 0 x
0 xe2 1
平衡点
0 xe3 1
第五章 控制系统的李雅普 诺夫稳定性分析
5.1 稳定性基本概念 5.2 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.3 李雅普诺夫第一法 5.4 李雅普诺夫第二法 5.5 线性定常系统渐近稳定性判别法
研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工
作的必要条件,是一个重要特征。
要求:在受到外界扰动后,虽然其原平衡状态被
5.3 李雅普诺夫第一法(间接法)
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据:
Ax x
x(0) x0 t 0
(1)李氏稳定的充要条件:
Re(i ) 0
i 1,2, n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。
(2)李氏渐近稳定的充要条件:
2 1 2 2 2 n T
1/ 2
向量x与xe的距离为
x xe [(x1 x1e ) ( x2 x2e ) ( xn xne ) ]
2 2
2 1/ 2
当x-xe的范数限定在某一范围之内时,记为
x xe
, 0
它的几何意义,在三维状态空间中以xe为球心,
等可利用。然而,如果系统是非线性的,
或是线性时变的,则上述稳定性判据就将 不再适用。
经典控制理论稳定性判别方法:代数判
据,奈魁斯特判据,对数判据,根轨迹
判据
非线性系统:相平面法(适用于一,二阶
非线性系统),描述函数法。
Lyapunov意义下的稳定性问题 本节所要介绍的Lyapunov第二法(也 称Lyapunov直接法)是确定非线性系统 和线性时变系统的最一般的方法。当然, 这种方法也可适用于线性定常系统的稳定 性分析。此外,它还可应用于线性二次型 最优控制问题。
4. 孤立的平衡状态:在某一平衡状态的充 分小的领域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态,总可以经过适 当的坐标变换,把它变换到状态空间的 原点。 以后取坐标原点作为平衡点研究。
5. 范数的概念
范数的定义 n为状态空间中,向量x的长度 称为向量x的范数(或欧几里德范数),用 表示
x x x x ( x x)
结论:
(1)线性系统:任一孤立平衡状态,均可坐标 变换转移到原点,分析原点的稳定性具有代表性;
(2)非线性系统:各个平衡点的稳定性不同, 分析各个平衡状态的稳定性; (3)对于线性系统:平衡状态是渐近稳定,则 一定是大范围渐近稳定; (4)经典控制中的系统稳定指渐近稳定,而李 氏意义下的稳定包括临界稳定。
1)是李氏意义下稳定的
2) lim x(t , x0 , t0 ) xe 0
t
平衡状态是渐近稳定的。
几何意义:稳定下任意状态轨迹最终收敛于xe. 即轨迹不会超出 S ( ) ,且最终趋于平衡点。 与t0无关 平衡状态一致渐近稳定
3.Lyapunov意义下大范围内渐近稳定性 对 都有
x(t0 , x0 , t0 ) x0
3.平衡状态:
对所有的t,状态满足
e f ( xe , t ) 0 x
xe 系统的平衡状态
平衡状态xe在状态空间所确定的点,称平衡点。
a.线性定常系统
Ax x
xR
n
A非奇异: Axe 0 xe 0 A奇异:
有唯一 有无穷多个
(5)线性系统的平衡状态不稳定
表征 只
系统不稳定。
(6)非线性系统的平衡状态不稳定
说明存在局域发散的轨迹。
至于是否趋于无穷远
s( ) 域外是否存
在其它平衡状态。若存在极限环,则系统
仍是李雅普诺夫意义下的稳定性。
例:分析系统李亚普诺夫意义下的稳定性。
0 0 0 0 0 1 0 x 0 u x 0 0 2 2 x(0) x0
0
f x f ( xe ) T x
( x xe ) g ( x)
x xe
其中: g ( x) --级数展开式中二阶以上各项之和
f1 x 1 f T x f n x 1
f1 x2 f n x2
f1 xn f n xn x x
x0 x(t; x0 , t0 )
的任意初始状态
出发的运动轨迹(状态方程的解)
在所有时间内都满足:
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
则称系统的平衡状态 xe 是李雅普诺夫意义 下稳定的。
即:系统的运动曲线不超出 S ( ) ,则系统稳定。
与 t 0有关 时变:
1 x 2 x 例:单摆系统的状态方程为:x 2 a sin x1 bx2
0]T , xe2 [k, 0]T 系统的平衡状态 xe1 [0,
f1 f x1 A x f 2 x1
f1 0 x2 f 2 a cos x1 x2
打破,但在扰动消失后,仍然能恢复到原来的平
衡状态,或者趋于另一平衡状态继续工作。
稳定性:系统在受到小的外界扰动后,系统状态
方程解的收敛性,而与输入作用无关。
对于一个给定的控制系统,稳定性分析通
常是最重要的。如果系统是线性定常的,
那么有许多稳定性判据,如RouthHurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据
解:系统的平衡状态为
x1e k 0 xe x 2e x3e 0
系统状态解为
e 0 t At x(t , x0 , t0 ) e x0 0 0
0 e t 0
0 x10 x10 x1 t 0 x20 e x20 x2 2t e 2t x e x3 30 x30
f1 0 x2 f 2 a cos x1 x2
1 b
0 1 xe2 0,2 ,4 处线性化,得 A ,系统的特征多项式 f ( ) 2 b a 0, a b 系统的特征值为 1, 2 - b b 2 4a ,当a 0, b 0时系统在xe 2处稳定; 2
f1 f x1 A x f 2 x1
1 xe1处线性化,得 A 0 0 xe2处线性化,得 A 1
f1 x2 1 x2 f 2 x2 x2
x1 1 x1
0 ,系统的特征值为 - 1, 1,系统在xe1处不稳定; - 1 - 1 ,系统的特征值为j,要考虑高阶项。 0
在 xe 处是渐近稳定的,与 (3)若 Re(i ) 0 ,稳定性与 g ( x) 有关,即非线性 系统平衡状态
xe
的稳定性与函数展开的高阶
项 g ( x) 有关。
例:系统的状态方程为: 1
x1 x1 x2 x 2 x2 x1 x2 x
系统的平衡状态 xe1 [0,0]T , xe 2 [1,1]T