第四章_控制系统的稳定性分析_
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现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
现代控制理论习题解答(第四章)
第四章 控制系统的稳定性3-4-1 试确定下列二次型是否正定。
(1)3123212322212624)(x x x x x x x x x x v --+++= (2)232123222126410)(x x x x x x x x v ++---= (3)312321232221422410)(x x x x x x x x x x v --+++= 【解】： （1）04131341111,034111,01,131341111<-=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数不定。
(2)034101103031,0110331,01,4101103031<-=--->=--<-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=P二次型函数为负定。
(3)017112141211003941110,010,1121412110>=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数正定。
3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。
312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=【解】：312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=x c b a x T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1112121110212111,011,0111111>---->>c b a b aa 满足正定的条件为：⎪⎩⎪⎨⎧++>+>>1111111114410ca b c b a b a a3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
;1001)4(;1111)3(;3211)2(;1110)1(x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=【解】： （1）设22215.05.0)(x x x v +=⎩⎨⎧≠≤==-=--=+=)0(0)0(0222221212211)(x x x x x x x x x x x x x v为半负定。
第四章线性控制系统的稳定性
G ( s) f ( s) K P(s + Z i )
i 1
P ( s + Pj ) P ( s 2 + 2x k w nk s + w nk 2 )
j 1 k 1
q
r
则脉冲响应为： g (t)
A e
j j 1
q
p t j
+ B e
k k 1
r
x w t k nk
sinwnk 1 xk t + Ck e
三、SISO线性定常系统的稳定性分析方法：
求脉冲响应 求阶跃响应 求系统的闭环特征根
不易求
其它简单的判定方法?
2019/4/16
北京科技大学自动化学院自动化系
22
4.2.2 Routh稳定判据(Routh’s stability criterion)
Routh表
系统闭环特征方程
n 1 n 2 + + a0 S a1 S a2 S + + a 1 S + a 0 a0 > 0 n n n
10
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
2019/4/16
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11
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
临界稳定
2019/4/16
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12
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
李雅普诺夫（渐进）稳定性定义：
若线性系统在初始扰动的影响下，其动态 过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零或原 平衡工作点，则称系统渐进稳定，简称稳 定。反之，若初始扰动的影响下，系统的 动态过程随时间的推移而发散，则称系统 不稳定。
i 1
P ( s + Pj ) P ( s 2 + 2x k w nk s + w nk 2 )
j 1 k 1
q
r
则脉冲响应为： g (t)
A e
j j 1
q
p t j
+ B e
k k 1
r
x w t k nk
sinwnk 1 xk t + Ck e
三、SISO线性定常系统的稳定性分析方法：
求脉冲响应 求阶跃响应 求系统的闭环特征根
不易求
其它简单的判定方法?
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4.2.2 Routh稳定判据(Routh’s stability criterion)
Routh表
系统闭环特征方程
n 1 n 2 + + a0 S a1 S a2 S + + a 1 S + a 0 a0 > 0 n n n
10
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
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4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
临界稳定
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12
4.2.1 SISO线性定常系统的稳定性
李雅普诺夫（渐进）稳定性定义：
若线性系统在初始扰动的影响下，其动态 过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零或原 平衡工作点，则称系统渐进稳定，简称稳 定。反之，若初始扰动的影响下，系统的 动态过程随时间的推移而发散，则称系统 不稳定。
第四章 稳定性分析——Nyquist 稳定性判据(4-2)
3
三、奈魁斯特稳定性判据 1．奈氏路径
s j j 0 j 0 j j
顺时针方向包围整个 s 右半面。 由于不能通过F(s)的任何零、极点，所以当F(s)有若干个极点 处于 s 平面虚轴（包括原点）上时，则以这些点为圆心，作 半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过这些点。
5
（2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据
因为1+ G(s)H(s) 与G(s)H(s) 之间相差1，所以系统的稳定性 可表达成：
奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路绕一 圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈。 P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。
j
j s平面
j1
R
F ( s ) 的极点
j0 j0
j1
j
4
2. 奈氏判据 设： F S 1 Gs H s ——闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。
(1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 面上绘制的F(s)曲线ΓF逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差： N= P - Z 当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。
i
z1
2) –Pj在Γs外， 结论：相角无变化 1) –Zi在Γs内， 2) –Pj在Γs内，
s p j 0
。
0
s1
z2 s
Re
s zi 2。(顺时针
)
s p j 2
三、奈魁斯特稳定性判据 1．奈氏路径
s j j 0 j 0 j j
顺时针方向包围整个 s 右半面。 由于不能通过F(s)的任何零、极点，所以当F(s)有若干个极点 处于 s 平面虚轴（包括原点）上时，则以这些点为圆心，作 半径为无穷小的半圆，按逆时针方向从右侧绕过这些点。
5
（2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据
因为1+ G(s)H(s) 与G(s)H(s) 之间相差1，所以系统的稳定性 可表达成：
奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路绕一 圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈。 P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。
j
j s平面
j1
R
F ( s ) 的极点
j0 j0
j1
j
4
2. 奈氏判据 设： F S 1 Gs H s ——闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。
(1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 面上绘制的F(s)曲线ΓF逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差： N= P - Z 当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。
i
z1
2) –Pj在Γs外， 结论：相角无变化 1) –Zi在Γs内， 2) –Pj在Γs内，
s p j 0
。
0
s1
z2 s
Re
s zi 2。(顺时针
)
s p j 2
现代控制理论 第四章 稳定性理论
G (t ) = Φ (t ) B + D δ (t )
这里 Φ ( t ) = e At ，当系统满足内部稳定性时，由式(5-7)有
lim Φ ( t ) = lim e At = 0
t →∞ t →∞
这样， ( t ) 的每一个元g ij ( t )( i = 1, 2,⋯ , q, j = 1, 2,⋯ , p ) 均是由一些指 G 数衰减项构成的，故满足
其中
Qi =
( s − λ i ) adj ( s I − A ) ( s − λ i )( s − λ 2 )⋯ ( s − λ n )
s = λi
显然，当矩阵 A 的一切特征值满足
R e λ i ( A ) < 0 i = 1, 2 , ⋯ , n
则式(4-7)成立。 内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性。
∫
∞ 0
g ij ( t ) d t ≤ k < ∞
这里 k 为有限常数。这说明系统是BIBO稳定的。证毕。
定理4.4 定理4.4 线性定常系统如果是BIBO稳定的，则 系统未必是内部稳定的。
证明 根据线性系统的结构分解定理知道，任一线性定常系
统通过线性变换，总可以分解为四个子系统，这就是能控能 观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系 统和不能控不能观测子系统。系统的输入-输出特性仅能反映 系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并 不能反映出来，BIBO稳定性仅意味着能控能观测子系统是渐 近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观测子系统如果是 发散的，在BIBO稳定性中并不能表现出来。因此定理的结论 成立。
y ( t1 ) =
∫
t1 t0
g ( t1 , τ )u (τ ) d τ =
这里 Φ ( t ) = e At ，当系统满足内部稳定性时，由式(5-7)有
lim Φ ( t ) = lim e At = 0
t →∞ t →∞
这样， ( t ) 的每一个元g ij ( t )( i = 1, 2,⋯ , q, j = 1, 2,⋯ , p ) 均是由一些指 G 数衰减项构成的，故满足
其中
Qi =
( s − λ i ) adj ( s I − A ) ( s − λ i )( s − λ 2 )⋯ ( s − λ n )
s = λi
显然，当矩阵 A 的一切特征值满足
R e λ i ( A ) < 0 i = 1, 2 , ⋯ , n
则式(4-7)成立。 内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性。
∫
∞ 0
g ij ( t ) d t ≤ k < ∞
这里 k 为有限常数。这说明系统是BIBO稳定的。证毕。
定理4.4 定理4.4 线性定常系统如果是BIBO稳定的，则 系统未必是内部稳定的。
证明 根据线性系统的结构分解定理知道，任一线性定常系
统通过线性变换，总可以分解为四个子系统，这就是能控能 观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系 统和不能控不能观测子系统。系统的输入-输出特性仅能反映 系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并 不能反映出来，BIBO稳定性仅意味着能控能观测子系统是渐 近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观测子系统如果是 发散的，在BIBO稳定性中并不能表现出来。因此定理的结论 成立。
y ( t1 ) =
∫
t1 t0
g ( t1 , τ )u (τ ) d τ =
第四章稳定性分析——劳讲义斯判据4-1
21
THANKS
第二步：建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。 例：五阶系统，其特征方程：
a 5 s 5 a 4 s 4 a 3 s 3 a 2 s 2 a 1 s a 0 0
9
s5
a5
a3
a1
s4
a4
a2
a0
s3
A1
a4a3 a5a2 a4
A2
a4a1 a5a0 a4
0
s2
B1
A1a 2 a 4 A2 A1
13
s5
1
52
s4
1
51
s3
0 ( )
10
s2
5 1
10
s1 5 1 2 0 0
5 1
s0
1
00
5 1 0
5 12
0
5 1
劳斯表中第一列元素符号的变化两次， 说明特征方程有两个正实部的根，所以系统不 稳定。
14
（2）某一行元素全为零 在劳斯表中，如果出现某一行元素全为零，
说明特征方程存在大小相等符号相反的实根 和（或）共轭虚根，或者共轭复根。
s0 2 0
因劳斯表中第一列元素无符号变化，所以系统稳 定。 令： ss1 1
20
原特征方程，经过整理，得到 s1 特征方程：
s1 35s1 23s110
s
3 1
1
3
s
2 1
5
1
s
1 1
2.8
0
s
0 1
1
0
劳斯表中第一列元素符号变化一次，所以有一 个特征方程根在垂线 s1右边。即有一个根在阴影 区内。
即输出增量收敛于原平衡工作点，线性系统稳定 。
第四章稳定性与李雅普诺夫方法
第四章稳定性与李雅普诺夫方法稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中的两个重要概念。
稳定性是控制系统分析中的基本问题之一，它描述了系统在受到干扰后能否回到平衡状态的能力。
李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
稳定性是控制系统设计中最基本的要求之一、一个稳定的系统能够在受到干扰后迅速恢复到平衡状态，而不会发生不可控制的震荡或不稳定的行为。
稳定性可以分为两种类型：渐近稳定性和有界稳定性。
渐近稳定性要求系统的状态能够收敛到一个稳定的平衡点，而有界稳定性要求系统的状态能够保持在一个有限范围内。
李雅普诺夫方法是一种通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。
李雅普诺夫函数是一个标量函数，它满足以下条件：1)对于任意非零的向量，李雅普诺夫函数的导数都是负的或零；2)当且仅当系统达到稳定时，李雅普诺夫函数的导数为零。
通过构造李雅普诺夫函数并分析其导数的符号，可以判断系统的稳定性。
在实际应用中，人们通常使用李雅普诺夫直接法、李雅普诺夫间接法和李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理等方法来进行稳定性分析。
其中，李雅普诺夫直接法是最常用的方法之一，它通过选择一个合适的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
如果可以找到一个李雅普诺夫函数，使得该函数的导数对于所有非零的初始条件都是负的，则系统是渐近稳定的。
李雅普诺夫间接法是通过构造一个李雅普诺夫方程来判断系统的稳定性。
李雅普诺夫方程是一个微分方程，其中包含系统的状态向量和一个非负标量函数，满足一定的条件。
如果可以找到一个满足李雅普诺夫方程的解，并且该解是有界的，则系统是有界稳定的。
李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理是李雅普诺夫方法的重要理论基础。
该定理表明，如果系统的李雅普诺夫函数存在并且连续可导，并且李雅普诺夫函数的导数满足一定的条件，则系统是渐近稳定的。
这个定理为李雅普诺夫方法的应用提供了重要的理论依据。
总之，稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中基础且重要的概念。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
9
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
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• 半负定：当
v( x) 0, x 0 v( x) 0, x 0
i
时，即系数矩阵 P 的各阶主子行列式均满足 ，则函数 v( x) 半负定 。
0 (i 2,4,6) 下列条件，即 0 (i 1,3,5)
• 不定：不满足上述任何一种条件的二次型函数，即可正也可负。
1. 线性系统外部稳定的定义
零初始条件下，对于任意一个有界输入，若系统所产 生的相应输出也是有界的，称该系统是外部稳定的，简称 BIBO稳定。
2. 状态空间表达式所描述的系统的外部稳定性
系统外部稳定的充分必要条件是输入与输出之间的传递 函数矩阵中的所有元素的极点全部位于S平面的左半部。
Ax Bu x y(t ) Cx
在直径为有限值的球面内。
返回
(3) 不稳定
0 e
如果对于某个实数 0 和任一实数 0 ，当 x x 时
0 0 e 0
总存在一个初始状态x0使得 (t , x , t ) x (t t ) ，则称平衡
状态不稳定。
几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量X（t）距平衡点的 距离越来越远。 返回
返回
(1) 渐近稳定
对于系统 数
(t ) f ( x, t ) ,若任意给定实数 x
，都存在另一实 0
x0 xe ( , t0 ) ，使得当 0
0 0 e
时,从任意初始状态 x0 出发的解
0
(t , x0 , t 0 )
满足 (t, x , t ) x (t t )
t 0 0 e
且对于任意小量 0，总有 lim (t , x , t ) x ，则称系统在
平衡状态xe是渐近稳定。 几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量X（t）距平衡 点距离可以无限接近，直至到达平衡点后停止运动。
返回
(2) 李亚普诺夫意义下的稳定
(t ) f ( x, t )，若任意给定实数 对于系统 x
结论：系统在平衡点处稳定，当 x 时，有 v( x) ，则此系 统为大范围渐近稳定。
状态向量函数。若系统存在一个状态 xe 对任意时间 t 都有 x (t ) f ( x, t ) 0
则称状态xe是系统的一个平衡点。平衡点的物理意义可以解释为所有状态的变 化速度为零，即是静止状态故称平衡点。 (2) 平衡状态的计算 平衡状态即为代数方程组 f ( x, t ) 0 的解。 • 线性定常系统的平衡状态：当 A是非奇异时，则Ax=0，所以平衡状态是唯 一的且在原点。 • 非线性系统的平衡状态：可能存在一个或多个平衡状态。
v( x) 0, x 0 v( x) 0, x 0
的条件，称为李亚普诺夫函数，然后依据系统的运动方程（状态方
程）来考察能量函数v（x）在运动过程中的变化规律，从而获得系
统稳定性判据。
(2) 李亚普诺夫稳定性判别定理
取标量（能量）函数v（x），满足正定； v v v 连续一阶偏导数 v ( x ) 1 2 n 存在； x x x x1 x2 xn 则有下列结论存在：
时，有 v( x) ，
• 不稳定： ( x) 正定 。 v
• 系统稳定性无法确定：不存在上述规律。
注意：能量函数的非唯一性。 返回
3. 应用举例
[例1]：已知线性系统的状态矩阵，判断系统的稳定性。 解(1)：
(1) 1 1 A ; 1 1 (2) 0 1 A 1 1
2. 李亚普诺夫第二方法（研究平衡点在原点的稳定性）
(1) 李亚普诺夫函数（能量函数）：
系统运动需要能量，系统在非零初始状态作用下的运动过程中，
若能量随着时间的推移在逐渐的减小以至最终消失，则这种系统一
定是稳定的。反之，系统则不稳定，若能量在其运动过程中即不减 也不增，则为李亚普诺夫意义下的稳定。 任选一个正定的能量函数v（x），即满足：
1 x1 x x1 0 0 0 0 x e1 , x e 2 , x e 3 , 3 3 0 1 1 x 2 x1 x 2 x 2 x1 x 2 x 2 0
wyu ( s) C ( sI A) 1 B
C ( sI A) * B sI A
返回
三．动态系统的内部稳定性
（研究系统状态的稳定性——李亚普诺夫稳定性）
1. 基本概念 2. 李亚普诺夫稳定性定义 3. 稳定的范围 4. 内部稳定与外部稳定的关系
返回
1. 基本概念
(1) 平衡状态的定义 设不受外力的系统状态方程为 x (t ) f ( x, t ) ，x（t），f（x，t）是 n 维
当范数 x x 限制在某一范围之内时，可以表示为 x xe 。且具有
e
明确的几何意义。用此概念来分析系统的稳定性。
返回
2. 李亚普诺夫稳定性定义
用状态向量到平衡点的范数来表示系统在 n
维空间运动过程中随时间推移状态向量与平衡点 之间的距离变化，存在以下三种情况： (1) 渐近稳定 (2) 李亚普诺夫意义下的稳定 (3) 不稳定
线性系统因状态矩阵的逆存在，所以系统只存在一个在原 点处的平衡点； 取能量函数 v( x) x12 x22 ，满足条件； 计算该系统能量的变化量：
2 0 ( x) 2 x1 x 1 2 x2 x 2 2 x1 ( x1 x2 ) 2 x2 ( x1 x2 ) 2( x12 x22 ) x T v x 0 2
1 x2 x1 ( x12 x22 ) x
解： 求平衡点：x 0 ；
e
2 x1 x2 ( x12 x22 ) x
取能量函数 v( x) x12 x22 ，满足条件；
( x) 0；在x 0时，有v ( x) 0 ( x) 2( x12 x22 ) 2 ， 在x 0时，有v v
0 e
0 ，都存在另一
实数 ( , t ) , 0 使得当 x x 时，从任意初始状态 x0 出发 的解 (t , x0 , t 0 ) 满足 (t , x , t ) x (t t ) ,则称系统在平衡
0 0 e 0
状态是李亚普诺夫意义下的稳定。 几何意义：初始状态有界，随时间推移解向量X（t）距平衡点 的距离可以维持在一个确定的数值内，而到达不了平衡点。即 二维空间运动轨迹在直径为有限值的圆内，三维空间运动轨迹
( x) 0 存在。 • 李亚普诺夫意义下的稳定： ( x) 半负定，且在 x 0 时，有v v
( x) 不衡为零。 • 渐近稳定： ( x) 半负定，且在 x 0 时，v ( x) 负定；或 v v
• 大范围渐近稳定：系统渐近稳定的同时，满足当 x
则此系统为大范围渐近稳定。
(3) 状态向量 x 的范数 在 n维状态空间，向量x的长度称为向量x的范数，表示为：
x x1 x2 xn ( x x) 。
2 2 2 T 1 2
状态向量x到平衡点xe的范数： x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2 e ) 2 ( xn xne ) 2
第四章 控制系统的稳定性分析
一．概述 二．线性动态系统的外部稳定性 三．动态系统的内部稳定性 四．李亚普诺夫稳定性判别定理
五．线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法
六．非线性系统李亚普诺夫稳定性分析方法
一．概述
1. 稳定性是系统性能研究的首要问题 2. 古典控制理论对稳定性描述存在一定的局限性
(1) 局限于研究线性系统； (2) 局限于对系统外部稳定性的描述。
显然，能量的变化量函数 v ( x) 半负定。 需要进一步确定在非平衡点处是否衡等于零： 令
( x) 0 x2 0 v
代入状态方程得
1 0 1 x2 x x 0 1 x x x1 0 x x x 1 1 0 x 1 2 2 1
显然，能量的变化量函数 v ( x) 正定。结论：此系统不稳定。
解(2)： 线性系统因状态矩阵的逆存在，所以只存在一个在原点处的平衡点；
2 取能量函数 v( x) 0.5x12 0.5x2 ，满足条件；
计算该系统的能量的变化量：
0 0 ( x) x1 x 1 x2 x 2 2 x1 ( x2 ) 2 x2 ( x1 x2 ) 2 x22 x T v x 0 2
所以当 x 0 时，必有 v ( x) 不衡为零。 结论：此系统稳定，又有线性系统稳定则为大范围稳定。
( x) 2( x x ) 负定，结论相同。 重新选择能量函数 v( x) x x ，得 v 1 2
T
3 1
2
2
1
2
[例2]：已知非线性系统的状态方示形式（以三阶系统为例）
代数式： v( x) dx x ax 2 ex x bx 2 cx 2 fx x 1 2 1 1 3 2 3 2 3
矩阵形式：
v( x) x T Px x1 x2
a x3 0.5d 0.5e
0.5d b 0.5 f
(3) 二次型函数的符号性质
• 正定：当
i
返回
v( x) 0, x 0 v( x) 0, x 0
时，即系数矩阵 P 的各阶主子行列式均大于零， 则函数 v( x) 正定。
即 0 (i 1,2, n)
• 半正定：当
等于零，即
v( x) 0, x 0 v( x) 0, x 0
(3) 完全能控和能观系统，则外部稳定与内部稳定等价；
返回
四．李亚普诺夫稳定性的判别定理