采样控制系统的稳定性分析
控制系统的稳定性分析
自动控制原理
其中系数 b1 , b2 , b3 等;根据
下列公式计算：
b1
a1a 2 a 0a 3 a1
b2
a1a 4 a 0a 5 a1
b3
a1a 6 a 0a 7 a1
同样的方法可以计算c;d;e等各行的系数
自动控制原理
注意:
在展开的阵列中;为简化其后的数值计算;可用一个正整数去除 或乘某一个整行;并不影响稳定性结论; 劳斯判据还说明：方程式5 4中;其正实部特征根数;等于劳斯阵列中第一列的系数改变的次数;
自动控制原理
从乃氏图上看;Gjw不包围1;j0点
G ( jw ) 1
稳定
G ( jw )
G ( jw )
不稳定
自动控制原理
2 若开环系统不稳定;有p个零点在右半平面;q的零点在原点;npq个 零点在左半平面 则
argD K(jw)(n2pq)2
如果闭环是稳定的;则
argDb(jw)n 2
故
a r g 1 G (jw ) n ( n 2 p q ) p q
F是新引进的函数;其分母是系统开环特征多项式;分子是闭环特征多 项式;
对于非单位反馈系统;开环传递函数为
GsG' sHsM DK Kss
自动控制原理
2 乃奎斯特队稳定判据 1 若开环是稳定的;则根据米哈依洛夫定理
argDk
jwn
2
如果闭环系统稳定;有
于是
argDb
jwn
2
arg1G (jw )0o
0
0
a n1 0
0
an2 an
自动控制原理
系统稳定的充要条件是：主行列式
式 1,2, n1 ;均大于零;即
采样控制系统的稳定性分析
z 或 w 特征方程的系数，按照下述方法构造(2n－3)行、(n+1)列朱利阵列，见表8-2：
w 1 其中比较常用的代数判据就是劳斯判据。
式中z和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部相加的形式，即
其模等于1，与频率ω无关；其相角为ωT，随频率ω 而改变。
可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原 点为圆心的单位圆。
当s位于S平面虚轴的左边时，σ为负数， z eT
小于1。反之，当s位于s平面虚轴的右半平面时，为 正数，z eT 大于1。s平面的左、右半平面在z平 面上的映像为单位圆的内、外部区域。
z 1 z 1
当动点z在Z平面的单位圆上和单位圆之内时，应满足：
式中z和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部 |a0|< an， |b0|>|bn－1|， |c0|>|cn－2|
可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原点为圆心的单位圆。 082, 满足|b0|>|b3|
根据给定的D(z)知：
相加的形式，即 1(s)，试求系统稳定时k的变化范围。
（1）当采样周期T分别为1(s)，0.
z x jy
w u jv
因此，必须采用一种新的变换，使z平面上的单位圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。
化简后，得W域特征方程
显然，闭环系统特征方程的根λ1、λ2、…λn即是闭环脉冲传递函数的极点。
因此，必须采用一种新的变换，使z平面上的单位圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。
线性采样系统稳定的充要条件 图8-21：线性采样系统结构图
线性采样系统如图8-21所示。 其特征方程为
D（z） 1 GH（z） 0
第五章_控制系统的稳定性分析
, c2
b1a5 a1b3 b1
, c3
b1a7 a1b4 b1
f1
e1d 2
e1
d1e2
这样可求得n+1行系数
14
这种过程需一直进行到第n行被算完为止，系数 的完整阵列呈现一个倒三角形。
注意：
为简化计算，可用一个正整数去除或乘某一整个 行，并不改变稳定性结论。
15
劳斯稳定判据
劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符 号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体 分布，过程如下：
27
5.3.4劳斯-赫尔维茨稳定性判据的应用
判定控制系统的稳定性
[例5-7] 系统的特征方程为：s4 2s3 3s2 4s 5 0 ，判断系统的稳定性。
[解]：排列劳斯阵如下：
s4 1 3 5 s3 2 4 0
因阵第为一，a列i 不0全, (为i 正0，~所4)以，，且系劳统斯
不稳定。
8
0
3
j 2 , j2
S0
16
显然这个系统处于临界稳定状态。
22
5.3.2 劳斯判据的应用
稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布 情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系 统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表 明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。但能判断 是否所有特征根都落在虚轴的左半平面.若用S=Z-1带 入特征方程中,求出的根的实部即为特征根距S=-1垂线 的距离.可判断稳定程度.
s2 1 5 0 由于劳斯阵第一列有两次符号变
2
如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原 来的平衡状态，并随时间的推移而发散。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。
控制系统的稳定性分析
11
4.3 李雅普诺夫判稳第一方法
李氏第一法判稳思路： （间接法）
1、线性定常系统－特征值判断
2、非线性系统－首先线性化，然后用线性化
系统的特征值判断
12
二、线性定常系统
外部稳定性判据：
线性定常连续系统的传递函数是 W( s ) C ( sI - A)-1 B ，当且仅 当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否 则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周 期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。
Im
图解表示：
稳 定 区
内部稳定性判据：
临 界 稳 定
S平面 不 Re 稳 定 区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的 根全部位于s平面的左半部。
13
[例4-6] 设系统方程为： x & 0
- 2 6 + - x u, 1 1 1
y 0 1]x
试确定其外部稳定性、内部稳定性。
[解 ] （1）系统的传递函数为：
- 6 - 2 s ( s - 2) 1 -1 ] 0 1 W( s ) C ( sI A) B 1 s + 1 1 ( s - 2)( s + 3) ( s + 3)
6
二、状态向量范数
符号
称为向量的范数， x -
xe
为状态向量
端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为 “状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式 为： x - xe ( x1 - xe1 ) 2 + ( x2 - xe 2 ) 2 + L + ( xn - xen ) 2
控制系统的稳定性分析
控制系统的稳定性分析简介控制系统的稳定性是指系统在受到干扰时，能够保持从初始状态返回到稳定的平衡状态的能力。
稳定性是控制系统设计和分析的重要指标之一，对于确保系统正常运行具有重要意义。
在本文档中，我们将探讨控制系统的稳定性分析方法。
稳定性概念在控制系统中，稳定性可以分为两种类型：绝对稳定和相对稳定。
1.绝对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到初始的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是绝对稳定的。
2.相对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到新的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是相对稳定的。
稳定性分析方法为了评估控制系统的稳定性，我们通常使用以下几种分析方法：1. 传递函数分析传递函数分析是一种常用的稳定性分析方法，它通过将控制系统转化为传递函数的形式，进行频域和时域的分析。
在频域分析中，我们可以使用频率响应函数（Bode图）来评估系统的稳定性。
Bode图由幅度曲线和相位曲线组成，通过分析这两个曲线可以判断系统是否稳定。
在时域分析中，我们可以使用单位斯蒂文斯响应函数来评估系统的稳定性。
单位斯蒂文斯响应函数是指控制系统对于单位阶跃输入的响应。
2. 决策稳定性分析决策稳定性分析方法是一种直观的稳定性评估方法，它通过观察控制系统的反馈回路来判断系统的稳定性。
如果控制系统的反馈回路中存在零点或极点位于右半平面，则系统将是不稳定的。
另外，如果控制系统的相位裕度和增益裕度分别小于零和一，则系统也将是不稳定的。
3. 根轨迹分析根轨迹分析是一种图形化的稳定性分析方法，它通过绘制系统传递函数的根轨迹来评估系统的稳定性。
根轨迹是表示系统极点随控制参数变化的轨迹图，它可以直观地显示系统的稳定性和响应特性。
如果根轨迹上的所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的。
4. Nyquist稳定性判据Nyquist稳定性判据是一种基于频域分析的稳定性判据，它利用开放式系统的频率响应来评估系统的稳定性。
Nyquist稳定性判据通过绘制控制系统的开环频率响应曲线，并计算曲线绕原点的圈数来判断系统是否稳定。
控制系统中的稳定性分析
控制系统中的稳定性分析控制系统是现代工业生产中不可或缺的一部分，它可以通过传感器采集实时数据、通过控制器对数据进行处理，进而控制被控对象的运动或状态，达到控制目的。
在控制系统中，稳定性是最基本也是最重要的性能之一，而稳定性分析是控制系统的重要组成部分。
本文将围绕控制系统中的稳定性分析进行阐述。
一、稳定性的定义稳定性是指该系统在输入外部干扰或扰动的影响下，输出的运动状态是否始终保持在某一范围内，没有出现震荡或失稳的现象。
稳定性是控制系统的最基本的性能之一，是控制系统能否正常工作的基础。
二、控制系统中的稳定性类型根据控制系统的输出，控制系统的稳定性被分为两个主要类型：渐进稳定和瞬态稳定。
1. 渐进稳定渐进稳定是指控制系统在受到外界扰动后输出逐渐趋于稳定的情况。
在控制系统中，一个标准的渐进稳定系统应该满足以下三个条件：（1）系统输出必须有界；（2）当外界干扰为零时系统输出应该收敛于一个固定的值；（3）系统必须不具有周期性行为。
2. 瞬态稳定瞬态稳定是指控制系统在受到外界干扰后，输出通过系统自身调节能够在短时间内恢复到初始状态。
对于瞬态稳定的控制系统，在外界扰动干扰之后，系统应该在一定的时间范围内就能够恢复到稳态，并不受外界扰动的影响。
三、稳定性分析方法1. 时域分析法时域方法是根据系统传递函数展开的分析方法，它可以通过对系统传递函数进行分析，从而得出系统的稳定性状态。
时域方法的主要思路是，将系统的传递函数加上一个扰动，观察系统的反应，并根据系统的反应进行分析。
2. 频域分析法频域方法是根据系统的频率特性展开的分析方法，它可以通过对系统在不同频率下的响应进行分析，从而得出系统的稳定性状态。
频域方法的核心思想是，根据系统的传递函数得到其频率响应，然后通过求解系统的幅频特性曲线和相频特性曲线，来判断系统的稳定性情况。
四、稳定性分析技术1. 极点分析法极点分析法是一种基于控制理论的分析方法，它可以将系统的传递函数分解为多个一次项的乘积，然后分析每个一次项的为稳定极点，找出系统的稳定性状况。
控制系统的稳定性分析与设计
控制系统的稳定性分析与设计控制系统的稳定性是控制工程中最为重要的一个参数之一。
一个稳定的控制系统能够使得系统在经过一定的时间后回到原点，而不会发生不可控的偏差，从而保证控制效果的稳定性和可靠性。
本文将从系统稳定性的原理和方法、设计方法及案例等方面探讨控制系统的稳定性分析与设计。
一、系统稳定性的原理和方法1. 系统稳定性的定义系统稳定性指的是系统在外界干扰或参数变化的作用下，回应输出信号与输入信号之间的关系是否稳定。
即在一定时间内，控制系统确保输出值能够跟随输入值的变化，而不会发生不可控的震荡或失控的情况。
2. 系统稳定性的判据良好的系统稳定性需要满足以下条件：（1）经过一定时间后，系统从任何初始状态转移到平衡状态；（2）平衡状态具有稳定性，即系统在发生一定幅度的干扰时，需要在一定时间内回复到原平衡状态；（3）平衡状态的稳定性受到系统参数变化、外界环境变化等多种因素的影响，但是通过合理的调节和控制，使得系统在变化后仍能保持稳定。
3. 系统稳定性的分析方法（1）指标法：它是利用特定的指标量来描述系统的稳定状态，比如阻尼系数、频率响应等。
（2）相关函数法：它是利用系统的特性函数或者频率响应函数来描述系统的稳定性。
（3）传递函数法：传递函数描述输入信号与输出信号之间的关系，可以通过传递函数的特性分析系统的稳定性。
（4）极点分布法：分析系统的极点分布情况，确定系统的极点位置以及极点位置对系统稳定性的影响。
二、控制系统的稳定性设计方法1. PID控制器的设计方法PID控制器是目前使用最为广泛的控制器，它可以通过调节比例系数、积分系数和微分系数来达到控制系统的稳定性。
在进行PID控制器的设计时，需要进行以下步骤：（1）确定控制系统的传递函数；（2）确定控制系统的目标响应曲线；（3）通过目标响应曲线和传递函数设计出PID控制器；（4）进行仿真或实验验证控制系统的稳定性。
2. 模糊控制器的设计方法模糊控制器是一种基于模糊推理的控制器，它可以通过调节模糊逻辑的输入变量和输出变量来达到不同的控制效果。
采样周期对控制系统稳定性的影响
采样周期对控制系统稳定性的影响采样周期对控制系统稳定性的影响采样周期是指控制系统中每个采样周期内进行一次测量和控制操作的时间间隔。
控制系统的稳定性是指系统在受到外部干扰或系统参数变化时，能够保持输出稳定在期望值附近的能力。
采样周期对控制系统的稳定性有着重要的影响，下面将逐步分析其影响因素。
1. 采样周期与系统动态响应：采样周期的长度会直接影响控制系统的动态响应。
较长的采样周期会导致系统响应迟缓，反馈控制信号的延迟较大，可能会引起系统的超调和振荡。
相反，较短的采样周期能够更快地控制系统响应，减小超调和振荡的可能性。
2. 采样周期与采样误差：采样过程中可能会引入采样误差，即由于测量和模拟过程的离散性而引起的误差。
采样周期越短，采样误差就越小。
因此，较短的采样周期有利于提高控制系统的精确度和稳定性。
3. 采样周期与信号截断：在控制系统中，如果采样周期过长，可能会导致对控制信号的截断。
即使在采样周期内，控制信号的变化可能也无法完整地表示出来。
这种截断会引起控制系统的不稳定行为，可能导致系统振荡或失稳。
4. 采样周期与采样频率：采样周期和采样频率是对采样过程的不同描述。
采样周期是指采样点之间的时间间隔，而采样频率是指在单位时间内进行采样的次数。
较高的采样频率意味着较短的采样周期，可以提高控制系统的稳定性和性能。
5. 采样周期与系统带宽：控制系统的带宽是指系统能够有效响应输入信号的频率范围。
较短的采样周期可以增加系统的带宽，提高系统对高频输入信号的响应能力。
然而，过短的采样周期可能会引起采样噪声和混叠效应，从而降低系统的稳定性。
综上所述，采样周期对控制系统的稳定性有着重要的影响。
较短的采样周期可以提高系统的响应速度、精确度和稳定性，但也可能引入额外的采样误差和噪声。
控制系统设计时需要根据实际需求和系统特性选择合适的采样周期，以达到最佳的控制性能和稳定性。
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利用z变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差
( z 1 ) R ( z ) e ( ) lim e ( t ) lim ( z 1 ) E ( z ) lim t z 1 z 11 G ( z )
*
上式表明，系统的稳态误差与G(z)及输入信号的形式 有关。
化简后，得W域特征方程
0 . 632 kw 1 . 264 w ( 2 . 736 0 . 632 k ) 0
2
列出劳斯表
w 0 .632 k 2 .736 0 .632 k 1 w 1 .264 0 0 w 2 .736 0 .632 k 0
2
从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统 稳定，必须使k>0，2.736-0.632k>0，即k<4.33。
系统的误差e(t)一般定义为被控量的希望值与实 际值之差。即： 误差e(t)=被控量的希望值—被控量的实际值
设单位反馈采样系统如图8-26所示：
图8-26 单位反馈采样系统
( t ) r ( t ) b ( t ) 误差 e
误差响应e(t)与系统输出响应c(t)一样，也包含 暂态分量和稳态分量两部分，对于一个稳定系统， 暂态分量随着时间的推移逐渐消失，而我们主要关 心的是控制系统平稳以后的误差，即系统误差响应 的稳态分量——稳态误差记为ess。
§8.6
8.6.1
8.6.2
采样控制系统的稳定性分析
采样系统的稳定条件
劳斯稳定判据
ห้องสมุดไป่ตู้8.6.3
8.6.4
朱利稳定判据（以大家自学为主）
采样周期与开环增益对稳定性的影响
§8.6
采样控制系统的稳定性分析
8.6.1 采样系统的稳定条件
问题的提出！
在线性连续系统中，判别系统的稳定性是根据 特征方程的根在s平面的位置。若系统特征方程的 所有根都在s平面左半平面，则系统稳定。 对线性离散系统进行了Z变换以后，对系统的分 析要采用Z平面，因此需要弄清这两个复平面的相 互关系。
左半W平面对应Z平面单位圆内的部分，W
平面的虚轴对应Z平面的单位圆上，可见图8-22。
因此经过双线性变换后，可以使用劳斯判据了。
图8-22：Z平面和W平面的对应关系
离散系统稳定的充要条件，由特征方程 1+GH（z）=0的所有根严格位于z平面上的单 位圆内，转换为特征方程1+GH（w）=0的所有 根严格位于左半W平面。
( 3 . 214 0 . 017 k ) 0
由劳斯判据KC=4.37
讨论！
(2)
C ( z ) G ( z ) ( z ) R ( z ) 1 G ( z )
T T T K [( e T 1 ) z ( 1 e Te )]
2 T T T T T z [ K ( e T 1 ) ( 1 e )] z [ K ( 1 e Te ) e ]
z 且由 R( z ) ，可求得C(z)表达式 。 z 1
取K=1，T=0.1,1,2,4s，可由C(z)求Z反变换得 到c(kT)，见图8-25。
讨论！
图8-25 不同T时的响应
§8.7
引 言 8.7.1 8.7.2 8.7.3
采样系统的稳态误差
单位阶跃输入时的稳态误差 单位斜坡输入时的稳态误差 单位加速度输入时的稳态误差
差分方程 开环脉冲传递函数 G ( z ) 闭环脉冲传递函数 ( z ) 建模
稳定的概念复习
如果系统受到干扰（如电源、负载波动），偏 离了平衡状态，而当扰动消失后，系统仍能逐 渐恢复到原平衡状态，则称系统是稳定的或具
有稳定性。
如果系统不能恢复到原平衡状态甚至越偏越远， 则称系统是不稳定的或不具有稳定性。
（2）应用计算稳态误差系数的方法来计算稳态误差
8.7.1
单位阶跃输入时的稳态误差
1.系统的类型（型别）
与线性连续系统稳态误差分析类似引出离散系 统型别的概念，由于 z esT 的关系，原线性 连续系统开环传递函数G(s)在s=0处极点的个数v作 为划分系统型别的标准，可推广为将离散系统开环 脉冲传递函数G(z)在z=1处极点的数目v作为离散系 统的型别,称v=0,1,2,…..的系统为0型、I型、II 型离散系统。
图8-24 例3离散系统方框图
解:(1)
1 k G ( z ) ( 1 z ) Z 2 S(S 1)
T T t) ( e T 1 ) z ( 1 e Te k T ( z 1 )( z e )
2 当T＝1秒时D ( z ) z ( 0 . 368 k 1 . 368 ) z ( 0 . 264 k 0 . 36 )
几种情况讨论
半径 : r e T :θ T 幅角
r 1 ，即 。 z 1 θ 0
σ 0 （1）s平面的虚轴 ， z平面 0 ~
可见，S平面上的虚轴映射到Z平面上，为以原 点为圆心的单位圆。 （2 ） s平面
0
0 0
为常数 :
§8.6 采样控制系统的稳定性分析
相关知识及上次课内容回顾：
1、自动控制原理：是关于自动控制系统建模、分析 与设计的一套完整的理论。
2、分析控制系统的性能指标：稳、快、准。
稳：指控制系统的稳定性。 快：指控制系统的快速性。 准：指控制系统的准确性。
前面几次课中主要是针对采样控制系统的 数学模型进行了讨论。
一．z平面与s平面的映射关系
在引入 z变换的定义时，引入符 号 z e
sT
,s 关系 z e s ( 直角坐标 ) ： s j z
代入 比较
j z ( 极坐标 ) ： z r e
sT
( σ j ) T Tj T z e e e
T 半径 :r e 所以 幅角 :θ T
稳 定 系 统
不稳定系统
几点注意：
1、稳定性是控制系统的重要性能，是系统 正常工作的首要条件。
2、稳定性是控制系统的一种固有特性，只 取决与系统的结构参数，与系统的输入
无关。
线性连续系统稳定判据复习
劳斯判据 赫尔维茨判据 根轨迹法 Nyquist稳定判据 对数频率稳定判据
稳定性是控制系统的一种固有特性，只取 决与系统的结构参数即闭环传递函数，与系 统的输入无关。 影响采样系统稳定性的因素有哪些？ 1、开环增益K; 2、系统的零极点分布； 3、纯滞后环节； 4、采样周期T的取值。
例3 设有零阶保持器的离散系统如图8-24所示， 试求：
（1）当采样周期T分别为1s，0.5s时，系统的临界 开环增益Kc。 （2）当r(t)=1(t)，K=1，T分别为0.1，1，2，4s 时，系统的输出响应c(kT)。
8.6.3
朱利稳定判据(以大家自学为主)
朱利判据是直接在Z域内应用的稳定判据，类 似于连续系统中的赫尔维茨判据，朱利判据是根 据离散系统的闭环特征方程D(z)=1+GH(z)=0的系 数，判别其根是否位于Z平面上的单位圆内，从而 判断该离散系统的稳定性。
8.6.4 采样周期与开环增益对稳定性的影响
2 2 x jy 1 x y 1 2 y w j 2 2 2 2 x jy 1( x 1 ) y ( x 1 ) y
当动点z在Z平面的单位圆上和单位圆之内时， 应满足：
x y 1
2 2
x2 y2 1 u 0 2 2 (x1 ) y
闭环系统脉冲传递函数为 (z) G(z) 故闭环系统特征方程为
2
1 G(z)
1 G ( z ) z ( 0 . 632 k 1 . 368 ) z 0 . 368 0 w 1 令z 代入上式，得 w 1
w 1 w 1 2 ( ) ( 0 . 632 k 1 . 368 )( ) 0 . 368 0 w 1 w 1
因此，必须采用一种新的变换，使z平面上的
单位圆，在新的坐标系中的映象为虚轴。这种新
的坐标变换，称为双线性变换，又称为W变换。
根据复变函数双线性变换公式，令
z 1 w 1 或 w z z 1 w 1
式中z和w均为复数，分别把它们表示成实部和虚部
相加的形式，即
z x jy w u jv
控制系统设计时应尽可能减小稳态误差； 当稳态误差足够小可以忽略不计的时候，可以认 为系统的稳态误差为零，这种系统称为无差系统， 而稳态误差不为零的系统则称为有差系统； 应当强调的是，只有当系统稳定时，分析系统的 稳态误差才有意义！！
采用比较法来分析与学习采样系统的稳态误差！！
1、误差及稳态误差的定义
例1、一个采样系统的闭环脉冲传递函数为： C ( z ) ( z 0 . 6 )( z 0 . 16 ) ( z ) R ( z ) ( z 0 . 1 )( z 0 . 5 )( z 0 . 4 j 0 . 5 )( z 0 . 4 j 0 . 5 )
问题的提出
8 7 6 5 4 32
z 3 z 6 z 8 z 8 z 2 z z 9 0
用解特征方程根的方法来判别高阶采样系统的
稳定性是很不方便的。因此，需要采用一些比较实
用的判别系统稳定的方法。其中比较常用的代数判
据就是劳斯判据。
8.6.2
劳斯稳定判据
对于线性连续系统，可以直接应用劳斯判据分 析系统的稳定性。 但是，对于线性采样系统，直接应用劳斯判据 是不行的，因为劳斯判据只能判别特征方程的根 是否在复变量s平面虚轴的左半部。
§8.7
采样系统的稳态误差
引 言