第五章 控制系统的稳定性分析(含习题解答)
第5章“控制系统的李雅普诺夫稳定性分析”练习题及答案.doc
第5章“控制系统的李雅普诺夫稳定性分析”练习题及答案.doc第5章 “控制系统的李雅普诺夫稳定性分析”练习题及答案5.1 判断下列函数的正定性1) 2221231213()2322V x x x x x x x =++-+x 2) 222123121323()82822V x x x x x x x x x =++-+-x 3) 22131223()2V x x x x x x =+-+x解1) T T 211()130101V A -??==-x x x x x , 因为顺序主⼦式2120,50,13->=>- 2111302011--=> 所以0>A ，()V x 为正定函数。
2) T T 841()421111V -??==---x x Ax x x , 因为主⼦式8481218,2,10,0,70,10,421111-->==>=>--421164421680111---=++---<- 所以A 不定，()V x 为不定函数。
3) T T 1212110()1001V -??==-x x Ax x x , 因为顺序主⼦式1110,10,1->=-<- 121211011001041--=--<所以A 为不定矩阵，()V x 为不定函数。
5.2 ⽤李雅普诺夫第⼀⽅法判定下列系统在平衡状态的稳定性。
2211211222212212()()x x x x x x x x x x x x =-+++=--++解解⽅程组 22121122212212()0()0x x x x x x x x x x ?-+++=?--++=?只有⼀个实孤⽴平衡点（0，0）。
在（0，0）处将系统近似线性化，得** 1111x x -??=?--，由于原系统为定常系统，且的特征根1s i =-±均具有负实部，于是根定理5.3可知系统在原点（0，0）附近⼀致渐近稳定。
1习题集第五章系统稳定性
【解】 由特征方程列劳斯表如下：
S4
1
T 100
S3
2
10
S 2 T 5 100
S1 10(T 5) 200
S0
100
T 50 由劳斯判据，系统稳定，则
10(T 5) 200 0 解得： T 25
5-8 已知系统特征方程如下,试求系统在 s 右平面的根数及虚根值. (1) s5 3s4 12s3 24s2 32s 48 0
1.5K 0
解得： 0 K 5 3 5
5-12 试确定如下图所示系统的稳定性.
【解】 由系统方框图可得系统的闭环传递函数为：
10(10s 1)
(s)
特征方程为： s(s 1) 10(10s 1) 0
s(s 1) 10(10s 1)
即： s2 101s 10 0
5-3 设单位反馈系统的开环传递函数分别为
K (s 1) G(s)
s (s 1) (s 5)
1 K * (s 1) 【解】 G(s) 5
1 s(s 1)( s 1)
5
所以开环增益 K 1 K * 5
由开环传递函数可得系统的闭环传递函数为：
K (s 1) (s)
1 s(s 1)( s 1) K (s 1)
，试用对数频率特性判别系统的稳定性。
【解】画出开环频率特性，并依系统中有两个积分环节做出辅助线如图所示：
在 L() 0范围内，N N 0 ，故 P 2N ，则系统闭环稳定。
10
0.1K A 0
0.1K A (0.09 0.2K A ) 0.1K A 0
控制工程基础习题解答5
控制工程基础习题解答第五章5-1．已知开环系统的传递函数如下，试用罗斯-赫尔维茨判据判别其闭环稳定性。
（1）. ()()()()()32110+++=s s s s s H s G （2）. ()()()()()()38.05.022.0++++=s s s s s s H s G （3）. ()()()5060030010022++=s s s s H s G （4）.()()()2481322+++=s s s s s H s G 解：（1）. 特征方程为01016523=+++s s s100141051610123s s s s第一列全部大于零，所以闭环稳定。
（2）. 特征方程为04.04.13.43.4234=++++s s s s4.097.04.097.34.13.44.03.4101234s s s s s 第一列全部大于零，所以闭环稳定。
（3）. 特征方程为010050600300234=+++s s s100012001005006001005030001234-s s s s s第一列有小于零的数存在，所以闭环不稳定，符号变化了两次，有两个右极点。
（4）. 特征方程为013248234=++++s s s s124100380012410038 18924138=5033801241038= 503124100380012410038= 所有主子行列式全大于零，所以闭环稳定。
5-2．已知单位负反馈系统的开环传递函数如下()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1222n n s s s Ks G ωζω式中s rad n /90=ω，2.0=ζ。
试确定K 取何值闭环稳定。
解：方法1：特征方程为0810081003623=+++K s s s 36008100810036810036081001810036222≤≥≥-⨯=K K K K KK36810081003681001810036≤≥-⨯=K K K得当360<<K 时，闭环稳定，当36时，闭环临界稳定。
现代控制理论习题解答(第五章)
第五章 状态反馈和状态观测器3-5-1 已知系统结构图如图题3-5-1图所示。
(1)写出系统状态空间表达式；(2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在j 53±-上。
)(t y题3-5-1图【解】：方法一：根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式：[]x y u x x 10112101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 23111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c U rank U系统能控，可以设计状态反馈阵。
设状态反馈阵为][21k k K = 状态反馈控制规律为：Kx r u -= 求希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求加入反馈后的系统特征多项式：)22()3()(1212k s k k s bK A sI s f ++-++=+-=依据极点配置的定义求反馈矩阵：]1316[131634)22(6)3(21112=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+-K k k k k k 方法二：[][][]1316)346(311110)(*10211=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--I A A A f U K c方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发）求系统传递函数写出能控标准型：2321)111()()(2++-=+-+=s s ss s s U s Y []xy u x x 10103210-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 求系统希望特征多项式：34625)3()(*22++=++=s s s s f求状态反馈矩阵K ~：[][][]33236234~21=--==k k K [][][][]5.05.031111010111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==--Ab bP⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=105.05.011A P P P []1316~==P K K依据系统传递函数写出能控标准型ss s s s s s U s Y 2310)2)(1(10)()(23++=++= []x y u x x 0010100320100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=求系统希望特征多项式：464]1)1)[(2()(*232+++=+++=s s s s s s f求状态反馈矩阵：[][][]144342604321=---==k k k K 。
自动控制原理第五章习题及答案
第五章习题与解答5-1试求题5-1图(a)、(b)网络的频率特性。
u r R1u cR2CR2R1u r u c(a) (b)题5-1图R-C网络解（a)依图：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=++=++=2121111212111111221)1(11)()(RRCRRTCRRRRKsTsKsCRsCRRRsUsUrcττωωτωωωωω11121212121)1()()()(jTjKCRRjRRCRRjRjUjUjGrca++=+++==(b)依图：⎩⎨⎧+==++=+++=CRRTCRsTssCRRsCRsUsUrc)(1111)()(2122222212ττωωτωωωωω2221211)(11)()()(jTjCRRjCRjjUjUjGrcb++=+++=="5-2某系统结构图如题5-2图所示，试根据频率特性的物理意义，求下列输入信号作用时，系统的稳态输出)(tcs和稳态误差)(tes（1）tt r2sin)(=（2）)452cos(2)30sin()(︒--︒+=ttt r题5-2图反馈控制系统结构图解 系统闭环传递函数为: 21)(+=Φs s 频率特性:2244221)(ωωωωω+-++=+=Φj j j 幅频特性: 241)(ωω+=Φj相频特性: )2arctan()(ωωϕ-=-系统误差传递函数: ,21)(11)(++=+=Φs s s G s e则 )2arctan(arctan )(,41)(22ωωωϕωωω-=++=Φj j e e（1）当t t r 2sin )(=时,2=ω，r m =1则 ,35.081)(2==Φ=ωωj 45)22arctan()2(-=-=j ϕ4.1862arctan )2(,79.085)(2====Φ=j j e e ϕωω )452sin(35.0)2sin()2(-=-Φ=t t j r c m ss ϕ)4.182sin(79.0)2sin()2(+=-Φ=t t j r e e e m ss ϕ （2） 当 )452cos(2)30sin()(︒--︒+=t t t r 时: ⎩⎨⎧====2,21,12211m m r r ωω5.26)21arctan()1(45.055)1(-=-===Φj j ϕ 4.18)31arctan()1(63.0510)1(====Φj j e e ϕ>)]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t c m m ss ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=)902cos(7.0)4.3sin(4.0--+=t t)]2(452cos[)2()]1(30sin[)1()(j t j r j t j r t e e e m e e m ss ϕϕ+-⋅Φ-++⋅Φ=)6.262cos(58.1)4.48sin(63.0--+=t t5-3 若系统单位阶跃响应 h t e e t tt()..=-+≥--11808049试求系统频率特性。
机械控制工程基础第五章练习习题及解答
题型：选择题题目：关于系统稳定的说法错误的是【】A．线性系统稳定性与输入无关B．线性系统稳定性与系统初始状态无关C．非线性系统稳定性与系统初始状态无关D．非线性系统稳定性与系统初始状态有关分析与提示：线性系统稳定性与输入无关；非线性系统稳定性与系统初始状态有关。
答案：C习题二题型：填空题题目：判别系统稳定性的出发点是系统特征方程的根必须为或为具有负实部的复数，即系统的特征根必须全部在是系统稳定的充要条件。
分析与提示：判别系统稳定性的出发点是系统特征方程的根必须为负实数或为具有负实部的复数，即系统的特征根必须全部在复平面的左半平面是系统稳定的充要条件。
答案：负实数、复平面的左半平面习题三题型：选择题题目：一个线性系统稳定与否取决于【】A．系统的结构和参数B．系统的输入C．系统的干扰D．系统的初始状态分析与提示：线性系统稳定与否取决于系统本身的结构和参数。
答案：A习题四题型：填空题题目：若系统在的影响下，响应随着时间的推移，逐渐衰减并回到平衡位置，则称该系统是稳定的分析与提示：若系统在初始状态的影响下（零输入），响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零(回到平衡位置)，则称该系统是稳定的；反之，若系统的零输入响应发散，则系统是不稳定的。
答案：初始状态习题五题型：填空题题目：系统的稳定决定于的解。
分析与提示：系统的稳定决定于特征方程的解。
答案：特征方程题型：填空题题目：胡尔维兹（Hurwitz ）判据、劳斯（Routh ）判据又称为 判据。
分析与提示：胡尔维兹（Hurwitz ）判据、劳斯（Routh ）判据，又称为代数稳定性判据。
答案：代数稳定性习题二题型：填空题题目：利用胡尔维兹判据，则系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数均为 ；各阶子行列式都 。
分析与提示：胡尔维兹判据系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数均为正；各阶子行列式都大于零。
答案：正、大于零习题三题型：计算题题目：系统的特征方程为010532234=++++s s s s用胡尔维兹判据判别系统的稳定性。
自动控制原理及其应用课后习题第五章答案
ω
20 0 -20
10 ωc
1
2 -20dB/dec
ω
-60dB/dec
10 ≈1 ω2 0.5 c
ω c=4.5
5 ≈1 ω c=7.9 ω 0.01 c3
第五章习题课 (5-17)
-20
低频段曲线： 低频段曲线： 20lgK=20dB φ (ω ) 0 ω1=5 ω2=15 -90 相频特性曲线： 相频特性曲线： -180 -270 φ ( )= -90o ω ω=0 φ ( )= -270o ω ω=∞
-60dB/dec
ω
第五章习题课 (5-2)
10(s+0.2) 1.33(5s+1) (5) G(s)= s2(s+0.1)(s+15)=s2(10s+1)(0.67s+1) 解： 低频段曲线： 低频段曲线： 20lgK=2.5dB
第五章习题课 (5-7)
5-7 已知奈氏曲线，p为不稳定极点个数， 已知奈氏曲线， 为不稳定极点个数 为不稳定极点个数， υ为积分环节个数，试判别系统稳定性。 为积分环节个数，试判别系统稳定性。 Im υ=2 (b) p=0 (a) p=0 Im υ=0
ω=0 Re -1 0 ω=0+ -1 0 ω=0 Re
第五章习题课 (5-1)
5-1(1) 已知单位负反馈系统开环传递函数， 已知单位负反馈系统开环传递函数， 当输入信号r(t)=sin(t+30o)，试求系统的稳态 当输入信号 ， 输出。 输出。 10 G(s)=(s+1) 10 解： φ(s)= (s+11) 10 = 10 = 10 ω A( )= 2 2 112+1√ 122 =0.905 √ 11 +( ) √ ω φ ( )=-tg-1ω =-tg-1 1 =-5.2o ω 11 11 cs(t)=0.9sin(t+24.8o)
自动控制理论第五章习题汇总
自动控制理论第五章习题汇总填空题1、系统的频率响应与正弦输入信号之间的关系称为频率响应2、在正弦输入信号的作用下，系统输入的稳态分量称为频率响应简答题：5-2、什么是最小相位系统及非最小相位系统？最小相位系统的主要特点是什么？答在s平面上，开环零、极点均为负实部的系统称为最小相位系统；反之，开环零点或极点中具有正实部的系统称为非最小相位系统。
最小相位系统的主要特点是：相位滞后最小，并且幅频特性与相频特性有惟一的确定关系。
如果知道最小相位系统的幅频特性，可惟一地确定系统的开环传递函数。
5-3、什么是系统的频率响应？什么是幅频特性？什么是相频特性？什么是频率特性？答对于稳定的线性系统，当输入信号为正弦信号时，系统的稳态输出仍为同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了改变，如图5-3所示，称这种过程为系统的频率响应。
图5-3称为系统的幅频特性，它是频率的函数；称为系统的相频特性，它是频率的函数：称为系统的频率特性。
稳定系统的频率特性可通过实验的方法确定。
计算题5-1、设某控制系统的开环传递函数为)()(s H s G =)10016()12.0(752+++s s s s 试绘制该系统的Bode 图，并确定剪切频率c ω的值。
解：Bode 图如下所示剪切频率为s rad c /75.0=ω。
5-2、某系统的结构图和Nyquist 图如图(a)和(b)所示，图中2)1(1)(+=s s s G 23)1()(+=s s s H 试判断闭环系统稳定性，并决定闭环特征方程正实部根的个数。
解：由系统方框图求得内环传递函数为：ss s s s s s H s G s G +++++=+23452474)1()()(1)( 内环的特征方程：04742345=++++s s s s s由Routh 稳定判据：1:0310:16:44:171:01234s s s s s由此可知，本系统开环传函在S 平面的右半部无开环极点，即P=0。
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s pj n1个不同的实根
s r jr n4对相同的复数根
n1
n2 1
n3
n4 1
xo t
Aj
e
p
jt
Ckt k e pkt
Blelt sin lt l
Drt rert sin rt r
j 1
描述系统扰动输入到输出之间关系的微分方程
a0
dn xo t
dt n
a1
dn1xo t
dt n1
an1
dxo t
dt
an xo
t
dmn t dm1n t
dnt
b0 dtm b1 dtm1 bm1 dt bmn t
扰动消失后，n(t)=0，系统自由振荡输出的响应相函数：
a0sn a1sn1 an1s an X o s C s 0
a2 a4 a6 a3 a5 a7 b2 b3 b4 c2 c3 c4
e2
劳斯阵列
b1
a1a2
a0a3 a1
c1
b1a3
a1b2 b1
b2
a1a4
a0a5 a1
c2
b1a5 a1b3 b1
b3
a1a6
a0a7 a1
c3 b1a7 a1b4 b1
注意：如果劳斯阵列第一列元素的符号不全 相同，则该列元素符号变化的次数，就是特 征方程所含实部为正的根的数目。
劳斯判据使用说明：
（1）用一个正数去乘或除劳斯阵的某一整行，不会改变稳定性的结论。
例5-1 设控制系统的特征方程式为：D s s4 8s3 17s2 16s 5 0
试应用劳斯判据判断系统的稳定性。
解：由方程系数均为正，可知已满足稳定的必要条件。列写劳斯阵列：
s4 1 17 5 s3 8 16 s2 15 5 s1 40 3 s0 5
闭环传递函数的极点全部在s平面的左半平面。
s pj n1个不同的实根
s r jr n4对相同的复数根
n1
n2 1
n3
n4 1
xo t
Aj
e
p
jt
Ckt k e pkt
Blelt sin lt l
Drt rert sin rt r
j 1
k 0
l 1
r 0
n2重实根 s pk
1 17
8 1615 5
40 3 0 5
40 3
8 16
15 5 40
15
3
由劳斯阵列的第一列可见，第一列中的系数符号全为正，所以该系统 稳定。
劳斯判据使用说明：
（2）劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数的情况下，特 征方程式具有正实根或实部为正的共轭复数根的数目，等于第一列系数
第五章 控制系统的稳定性分析
5-1 控制系统稳定性的概念 5-2 控制系统稳定的充要条件 5-3 代数稳定判据（劳斯判据和赫尔维茨） 5-4 乃奎斯特稳定判据 5-5 延时系统的稳定性分析 5-6 由伯德图判断系统稳定性 5-7 控制系统的相对稳定性
5. 1 控制系统稳定性的基本概念
稳定：如果系统受扰动作用偏离原平衡状态，而当扰动消失后，经过充 分长的时间，系统能以一定的精度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是 稳定的；否则称系统是不稳定的。
k 0
l 1
r 0
n2重实根 s pk
n3对不同的共轭复数根
s l jl
结论：控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程式的根全部具 有负实部。
5. 2 系统稳定的充要条件
二、控制系统稳定的充分必要条件
特征方程：Ds 0
系统特征方程式的根全部具有负实部。
系统闭环传递函数的极点全部具有负实部。
Cs Xo s Ds
零初始状态下的拉氏 变换。闭环传递函数 的分母多项式D(s)。
与初始偏差状态相关的拉氏变换部分
L
dn f dt
t
n
snF
s
s n 1
f
0
sn2
f
0
sf
n2
0
f
n1 0
5. 2 系统稳定的充要条件
Cs 扰动消失后，n(t)=0，系统自由振荡输出响应的相函数： Xo s D s
稳定衰减过程
临界（不）稳定振荡过程
不稳定发散过程
注意：控制理论研究的稳定性是指自由振荡下的稳定性，讨论自由振荡 是收敛，还是发散，即讨论零输入响应是否收敛。
5. 1 控制系统稳定性的基本概念
稳定：若控制系统在任何足够小的偏差的作用下，其过渡过程随着时 间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称系 统稳定；否则称该系统不稳定。 稳定平衡点：扰动消失后，经过自由振荡，能得到恢复的平衡点。 不稳定平衡点：扰动消失后，不能恢复的平衡点。
闭环传递函数
D s a0sn a1sn1 an1s an 0 ——特征方程
劳斯判据：线性系统稳定的充分必要条件是：特征方程的各项系数ai 均为正值（ai>0） ，并且由特征方程系数组成的劳斯阵列的第一列 系数也为正值。
sn a0 sn1 a1 sn2 b1 sn3 c1
s2 e1 s1 f1 s0 g1
正实根(-pj),对应项随时间单调增长。 零根，对应一个常数项，系统可在 任何状态下平衡。
n3对不同的共轭复数根
s l jl
实部为正的复数根(-δ±jω)，对应项 随时间作周期发散振荡。 共轭虚根，对应项为等幅周期振荡。
5. 2 代数稳定判据
一、劳斯判据
X o s b0sm b1sm1 bm1s bm X i s a0sn a1sn1 an1s an
符号改变的次数。
例5-2 设控制系统的特征方程式为：D s s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯判据判断系统的稳定性。
解：由方程系数均为正，可知已满足稳定的必要条件。列写劳斯阵列： s4 1 3 3 s3 2 4 s2 1 3 s1 2 s0 3
由劳斯阵列可见，第一列中的系数符号不全为正，所以系统不稳 定。另外，第一列中的系数符号改变两次（+1->-2->+3），说明闭环 系统有两个正实部的根，即在s右半平面内有两个闭环极点。
大范围稳定：系统稳定与否，与初始偏差的大小无关。 小偏差稳定：初始偏差不超过一定范围的情况下，系统是稳定的。
5. 2 系统稳定的充要条件
一、系统稳定条件分析
系统扰动输入到输出之间的传递函数：
Xo s
G2 s
b0sm b1sm1 bm1s bm M s
N s 1 G1 s G2 s H s a0sn a1sn1 an1s an D s