线性系统理论第五章 系统运动的稳定性new概述
合集下载
第5章 系统的稳定性
s5 s4 s s
3
1
24
48
0
96
25
50 0
F (s) 2s 4 48s 2 50 0
取F(s)对s的导数得新方程：
2
0
8
24
0
F (s) 8s3 96s 0
用上式中的系数8和96代替0元 行，继续进行运算。
2
50
0
0
s1 s0
112 .7
50
改变符号一次
武汉理工大学材料学院 当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将按顺时针方 向旋转N 周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N 周，这就等于曲线LF 顺时针包围原点N 次。若令Z 为包围于Ls内的F(s)的零点数，P 为包 围于Ls 内的F(s)的极点数，则有 N ＝Z－P
j
Im
(5.3.2)
武汉理工大学材料学院
（2）令s＝z－1，代入特征方程得：
( z 1)3 14( z 1)s 2 40( z 1) 40K 0
即
z 3 11z 2 15z 40K 27 0
由Routh表和Routh判据得：
列Routh表如下：
s3
1
11
15
s2
40 K 27
4 2
解此辅助多项式可得：
s 1; s j5
这两对复根是原特征方程的根的一部分。
武汉理工大学材料学院
四、相对稳定性的检验
对于稳定的系统，应用Routh判据还可以检验系统 的相对稳定性。方法如下： （1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s＝z－ σ (σ 为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特 征方程。
线性系统理论5系统的运动稳定性
引理5.2.1 是系统 x A(t)x ,t t0
是一致渐近稳定的，(t,t0 )为其状态 转移矩阵。Q(t) 为一致有界，一致
正定的矩阵，则积分
P(t) T ( , t)Q( )( , t)d t
例5.2.1 考虑下述时变系统
x 2 x 1 t
容易求得其状态转移矩阵为
(t,
t0
)
(1 t0 )2 (1 t)2
从而由定理5.2.1显见该系统为渐近稳定的。
下面将考察该系统的一致渐近稳定性。
据定理5.2.1，如果该系统为一致渐近稳定，
则存在正数 k1 和 k2 满足
(1 t0 )2 (1 t )2
定义5.1.4 （Lyapunov意义下的一致渐近 稳定性）
如果在上述Lyapunov意义下的渐
近稳定性定义中，实数 和 T 的大小都不
依赖于初始时刻 t 0 ，那么称平衡状态 xe
是一致渐近稳定的。
定义5.1.5 （Lyapunov意义下的大范围渐近
稳定性） 设 xe 为系统 x f ( x, t) , x(t0 ) x0 , t t0
出发的受
扰运动都满足不等式
(t;x0,t0 ) xe ,t t0
定义5.1.2 （Lyapunov意义下的一致稳定性）
在上述Lyapunov意义下的稳定性定义中
如果 的选取只依赖于 而与初始时刻
的选取无关，则进一步称平衡状态 xe
t0
是一致稳定的。对于定常系统，x e
的稳定等价于一致稳定，但对时x变e 系统，
的一个平衡状态，如果以状态空间中的任一
有限点 x0为初始状态的受扰运动 (t; x0 , t0 )
都是有界的，且成立
lim (t;
线性系统理论郑大钟5稳定性课件
挑战
随着研究的深入，线性系统稳定性的研究将面临更多挑战， 例如如何处理更复杂的系统模型、如何提高稳定性分析和控 制的实时性和鲁棒性等。
对实际应用的指导意义
1 2 3
设计准则
线性系统稳定性研究为实际系统的设计和改进提 供了重要的理论依据和技术指导，有助于提高系 统的稳定性和可靠性。
控制策略
基于线性系统稳定性研究的控制策略可以有效地 改善系统的性能，例如PID控制、状态反馈控制 等。
线性系统的分类与特点
分类
根据系统的动态行为，可以分为连续 系统和离散系统；根据系统的状态变 量，可以分为线性时不变系统和线性 时变系统。
特点
线性系统具有模块化、可加性和可替 代性等优点，这使得线性系统在工程 和科学领域中得到了广泛应用。
线性系统理论的应用领域
控制工程
线性系统理论是现代控制理论 的基础，广泛应用于航空航天 、化工、电力等领域的控制系
03
线性系统的稳定性分析
线性系统的稳定性判定
01
02
03
定义域判定
通过判断系统在定义域内 的行为，确定系统的稳定 性。
特征值判定
根据线性系统的特征值判 断系统的稳定性，如果所 有特征值都位于复平面的 左半部分，则系统稳定。
能量判定
对于能量有限的线性系统 ，如果系统的能量随时间 衰减，则系统稳定。
实际应用
在实际工程领域中，许多系统都可以近似为线性系统，因 此研究其稳定性对于保证系统的正常运作、预防和控制故 障具有关键作用。
学科交叉
线性系统稳定性研究涉及到数学、物理、工程等多个学科 领域，有助于促进不同学科之间的交流与融合。
未来研究的方向与挑战
研究方向
随着科技的发展和实际需求的不断变化，线性系统稳定性的 研究方向将更加多元化和复杂化，例如考虑非线性因素、时 变参数、不确定性等。
随着研究的深入，线性系统稳定性的研究将面临更多挑战， 例如如何处理更复杂的系统模型、如何提高稳定性分析和控 制的实时性和鲁棒性等。
对实际应用的指导意义
1 2 3
设计准则
线性系统稳定性研究为实际系统的设计和改进提 供了重要的理论依据和技术指导，有助于提高系 统的稳定性和可靠性。
控制策略
基于线性系统稳定性研究的控制策略可以有效地 改善系统的性能，例如PID控制、状态反馈控制 等。
线性系统的分类与特点
分类
根据系统的动态行为，可以分为连续 系统和离散系统；根据系统的状态变 量，可以分为线性时不变系统和线性 时变系统。
特点
线性系统具有模块化、可加性和可替 代性等优点，这使得线性系统在工程 和科学领域中得到了广泛应用。
线性系统理论的应用领域
控制工程
线性系统理论是现代控制理论 的基础，广泛应用于航空航天 、化工、电力等领域的控制系
03
线性系统的稳定性分析
线性系统的稳定性判定
01
02
03
定义域判定
通过判断系统在定义域内 的行为，确定系统的稳定 性。
特征值判定
根据线性系统的特征值判 断系统的稳定性，如果所 有特征值都位于复平面的 左半部分，则系统稳定。
能量判定
对于能量有限的线性系统 ，如果系统的能量随时间 衰减，则系统稳定。
实际应用
在实际工程领域中，许多系统都可以近似为线性系统，因 此研究其稳定性对于保证系统的正常运作、预防和控制故 障具有关键作用。
学科交叉
线性系统稳定性研究涉及到数学、物理、工程等多个学科 领域，有助于促进不同学科之间的交流与融合。
未来研究的方向与挑战
研究方向
随着科技的发展和实际需求的不断变化，线性系统稳定性的 研究方向将更加多元化和复杂化，例如考虑非线性因素、时 变参数、不确定性等。
线性系统理论第五章 系统运动的稳定性new
|
d
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系 统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
hij (t) dt i 1,2, q j 1,2, p 0
等价定义为：
（1）由任意初始状态X0∈S(δ)出发的受扰运动φ(t;X0,t0) ，相对 于平衡 状态Xe=0对所有t∈[t0, ∞)均为有界
（2）受扰运动相对于平衡状态Xe=0满足渐近性，即
lim
t
(t;
x0
,
t0
)
0
x0 S( )
称自治系统的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
不稳定
称自治系统 x& f (x, t) x(t0 ) x0 t [t0 , ) 的孤立平衡状态
Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数ε>0为多么大，都不存在对应
一个实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出
发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式‖Φ(t；x0,t)-Xe‖≤ε，
‖ Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤ε
⑴ 稳定的几何解释 ⑵ 李亚普诺夫意义下一致稳定 ⑶ 时不变系统的稳定属性 ⑷ 李亚普诺夫意义下稳定的实质
t t0
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
⑴ 稳定的几何解释
几何意义：对任给正实数ε，在状态空间中以原点（即xe）为球心 构造半径为ε的一个超球体，其球域即为S(ε)。则若存在对应地一
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
当然，对于线性系统， 从不稳定平衡状态出发的轨 迹，理论上趋于无穷远。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
第5章系统的稳定性
例3： 系统的特征方程为： s 4 3s3 s 2 3s 1 0 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解： ①由特征方程知各项系数为
a0 1, a1 3, a2 1, a3 3, a4 1
1 3 1 3 1 3 1
②
s4 s3 s2 s
0
s1 3 1
因为0<ε<1,则3-(3/ε)<0,表中第一列变号两次，故 系统有两个正根，是不稳定的。
统的稳定性。这是一种代数判据，依据根与系统的关系来 判断根的分布。
胡尔维茨n阶行列式
将系统特征方程的各系数排成如下行列式：
(1)特征方程式的各项系数均大于零，即ai>0
(2)胡尔维茨行列式中，主行列式及其对角线上各子行列式均具有正值。
例1 4 3 2 2 s s 3 s 5s 10 0 系统的特征方程为： 试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。 解： ①由特征方程知各项系数为： a4 2, a3 1, a2 3, a1 5, a0 10 均为正值，满足判据的必要条件ai>0， ②检验第二个条件， 1 a3 1 0
imre1k很小负穿越一次不稳定imre1k较大负正穿越各一次稳定imre1k更大正穿越一次负穿越二次不稳定已知开环乃氏图判断其闭环系统的稳定性bodenyquist轨迹与单位圆交点的频率即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率称为剪切频率或幅值穿越频率幅值交界频率记为nyquist轨迹与负实轴交点的频率即对数相频特性曲线与横轴交点的频率称为相位穿越频率或相位交界频率记为bode图上的稳定性判据可定义为
Xo(s)
H(s)
K (s z1 )(s z2 ) ( s zm ) Gk (s) G(s) H ( s) (n m) (s p1 )(s p2 )( s pn )
第五章 系统的稳定性PDF
第五章系统的稳定性讲授内容5.1系统稳定的初步概念一、稳定性的定义系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力。
若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统为不稳定的。
线性系统的稳定性是系统的固有特性，仅与系统的结构及参数有关；而非线性系统的稳定性不仅与系统的结构及参数有关，而且还与系统的输入有关。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是的系统所有特征根的实部全都小于零，或系统传递函数的所有极点均分布在s平面的左半平面内。
若系统传递函数的所有极点中，只有一个位于虚轴上，而其它极点均分布在s平面的左半平面内，则系统临界稳定。
而临界稳定的系统极易因为系统的结构或参数的细微变化而变成不稳定的系统。
因此，临界稳定往往也归结为不稳定的一种。
5.2 （劳斯）稳定判据Routh Routh 判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
一、系统稳定的必要条件要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
Routh 运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
Routh Routh 运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
Routh Routh Routh Routh 在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：Routh 1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
线性系统理论精简版 ——5.系统的稳定性
内部稳定性和外部稳定性在满足一定条件下是等 价的（后面讨论）。
经典理论判稳方法及局限性 间接判定：方程求解－(对非线性和时变通常很难)
直接判定：单入单出中，基于特征方程的根是否都
分布在复平面虚轴的左半部分；以及采用劳斯判据、 奈魁斯特频率判据等。局限性是仅适用于线性定常， 不适用于非线性和时变系统。
0 1
xe , 3
0 1
5.2.2 李雅普诺夫稳定 定义：若状态方程
f ( x, t ) x 所描述的系统，对于任意的>0和任意初始
x2
时刻t0，都对应存在一个实数(,t0)>0，
使得对于任意位于平衡态xe的球域S(xe,) 的初始状态x0，当从此初始状态x0出发的 状态方程的解x都位于球域S(xe,)内，则 称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳
现代控制理论判稳方法： 李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于 各种系统。 李亚普诺夫第一法：先求解系统微分方程，根据解的性质
判定稳定性－－间接法。
李亚普诺夫第二法：直接判定稳定性。思路：构造一个李
亚普诺夫函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。－－对任何复
杂系统都适用。
5.2
V ( X ) 0 X 0 V ( X ) 0 X 0
例5-2
2 2 V ( X ) x1 2x2
当 x1 0, x2 0 时，V ( X ) 0； 当 x1 0, x2 0 时， V ( X ) 0。所以，V(X)是正定的。
(2) 正半定性(准正定) 如果对任意非零向量 X ( X 0) ，恒有 V ( X )≥0， 且当 X 0时V ( X ) 0 ，则称 V ( X ) 为正半定的。即
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t∈[t0,+∞）则t0时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在 一个有限正常数β，使对一切t∈[t0,+∞)脉冲响应矩阵H(t,τ) 所有元均满足关系式
t
t0
hij (t , ) d i 1,2,q
j 1,2, p
5.1 外部稳定性和内部稳定性
证明：考虑SISO情形
系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵 Ф(t,t0)对所有t∈[t0,+∞]为有界，并满足：
lim (t , t 0 ) 0
t
结论5
Ax x(0) x0 t 0 对n维连续时间线性时不变自治系统 x
At 内部稳定的充分必要条件为 lim e 0 t
或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性和外部稳定性的关系 结论6
对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反 之不成立。若系统能控且能观测，则内部稳定←→ BIBO稳定。
证 由系统的运动分析可知，其脉冲响应矩阵G(t)为： Gt Ce At B D t
0
hij (t ) dt i 1,2,q
j 1,2, p
5.1 外部稳定性和内部稳定性
ˆ ij s 证: 此结论的第一部分可由结论1直接导出。对于结论的第二部分，当 g
为真的有理分式时，必可利用部分分式法将其展开为有限项之和，其中
每一项的形式为
ˆ ij s 的极点，βl和αl可为零或非零常数。考虑到(4.11)多对应的 这里λl为 g
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性 定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指
由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)
对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：
lim X ou (t ) 0
t
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论4
A(t ) x x(t 0 ) x0 t [t 0 , ) 设n维连续时间线性时变自治系统 x
5.1 外部稳定性和内部稳定性
外部稳定性
定义：称一个线性因果系统的外部稳定（BIBO）是指对任
t [t 0, ) 何一个有界输入u(t)，即：‖ u(t) ‖≤β1<∞ 的任意输入u(t) ，对应的输出y(t)均为有界，即
结论1
y(t ) 2 t [t 0 ,)
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统
拉式反变换为
l ，l 1,2,, m s l
l
（4.11）
hlr t l 1esl t，l 1,2,m
其中若αl=0则为δ函数。由此可知，由
有限个 当λl（l=1,2，…m）均具有负实部时， 对可积。从而，系统为BIBO稳定。
ˆ ij s取拉式反变换导出的 g
引言
本章的主要内容
系统 李亚普诺夫稳定性定理
第5章 系统运动的稳定性
5.1
外部稳定性和内部稳定性
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理
5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据
5.5 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的 衰减性能估计 5.6 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据
y(t1 ) g (t1 , )u( )d | g (t1 , ) | d
t0 t0 t1 t1
有
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系
统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
第5章 系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性
5.2
李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理
是
sl t hlr t l 1e之和，合式中也可能包含由 δ函数项。容易证明，当且仅
l 1 sl t t e 为绝对可积，也即 gij(t)为绝
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论3
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，
令初始时刻t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或 严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。
1 | g (t , ) | d 1 2
必要性 采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使
可以取 u(t ) sgn g (t1 , )
| g (t , ) | d
t0 1
t1
1 当g t1 , t 0 u t sgn g t1 , t 0 当g t1 , t 0 1 当g t , t 0 1
先证充分性：已知（4.3）成立，且任意输入u(t)满足 ut k ，那 么利用由脉冲响应函数 g(t,ζ)表示的输出y(t)的表达式，即可得到
y (t )
t t0
充分性
t
t0
g (t , )u ( )d | g (t , ) || u ( ) | d
t0
t
线性系统理论
マスタ タイトルの書式設定
第五章 系统运动的稳定性
重庆大学 自动化学院 柴毅 魏善碧
引言
系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特
性提供了可能性
对系统进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律
和基本特性
系统分析：定量分析，定性分析 定性分析：决定系统行为的关键性质：能控性、能观 测性、稳定性
再知，当系统为渐近稳定时，有
lim e At 0
t
(4.17) (4.18)
于是，利用（4.17）和（4.18）即可导出，其G(t)的每一个 gij(t) （i=1,2，…，q； j=1,2，…，p ）均满足关系式 0 gij t dt k 其中k为有限常数。这表明，系统为BIBO稳定。证明完成
t
t0
hij (t , ) d i 1,2,q
j 1,2, p
5.1 外部稳定性和内部稳定性
证明：考虑SISO情形
系统在t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵 Ф(t,t0)对所有t∈[t0,+∞]为有界，并满足：
lim (t , t 0 ) 0
t
结论5
Ax x(0) x0 t 0 对n维连续时间线性时不变自治系统 x
At 内部稳定的充分必要条件为 lim e 0 t
或矩阵A所有特征值均具有负实部，即：Re{λi(A)}<0。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性和外部稳定性的关系 结论6
对连续时间线性时不变系统，内部稳定→BIBO稳定，反 之不成立。若系统能控且能观测，则内部稳定←→ BIBO稳定。
证 由系统的运动分析可知，其脉冲响应矩阵G(t)为： Gt Ce At B D t
0
hij (t ) dt i 1,2,q
j 1,2, p
5.1 外部稳定性和内部稳定性
ˆ ij s 证: 此结论的第一部分可由结论1直接导出。对于结论的第二部分，当 g
为真的有理分式时，必可利用部分分式法将其展开为有限项之和，其中
每一项的形式为
ˆ ij s 的极点，βl和αl可为零或非零常数。考虑到(4.11)多对应的 这里λl为 g
5.1 外部稳定性和内部稳定性
内部稳定性 定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指
由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)
对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：
lim X ou (t ) 0
t
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论4
A(t ) x x(t 0 ) x0 t [t 0 , ) 设n维连续时间线性时变自治系统 x
5.1 外部稳定性和内部稳定性
外部稳定性
定义：称一个线性因果系统的外部稳定（BIBO）是指对任
t [t 0, ) 何一个有界输入u(t)，即：‖ u(t) ‖≤β1<∞ 的任意输入u(t) ，对应的输出y(t)均为有界，即
结论1
y(t ) 2 t [t 0 ,)
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时变系统
拉式反变换为
l ，l 1,2,, m s l
l
（4.11）
hlr t l 1esl t，l 1,2,m
其中若αl=0则为δ函数。由此可知，由
有限个 当λl（l=1,2，…m）均具有负实部时， 对可积。从而，系统为BIBO稳定。
ˆ ij s取拉式反变换导出的 g
引言
本章的主要内容
系统 李亚普诺夫稳定性定理
第5章 系统运动的稳定性
5.1
外部稳定性和内部稳定性
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理
5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据
5.5 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的 衰减性能估计 5.6 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据
y(t1 ) g (t1 , )u( )d | g (t1 , ) | d
t0 t0 t1 t1
有
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系
统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
第5章 系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性
5.2
李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理
是
sl t hlr t l 1e之和，合式中也可能包含由 δ函数项。容易证明，当且仅
l 1 sl t t e 为绝对可积，也即 gij(t)为绝
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论3
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，
令初始时刻t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：真或 严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。
1 | g (t , ) | d 1 2
必要性 采用反证法，即系统BIBO稳定，却存在某个t1使
可以取 u(t ) sgn g (t1 , )
| g (t , ) | d
t0 1
t1
1 当g t1 , t 0 u t sgn g t1 , t 0 当g t1 , t 0 1 当g t , t 0 1
先证充分性：已知（4.3）成立，且任意输入u(t)满足 ut k ，那 么利用由脉冲响应函数 g(t,ζ)表示的输出y(t)的表达式，即可得到
y (t )
t t0
充分性
t
t0
g (t , )u ( )d | g (t , ) || u ( ) | d
t0
t
线性系统理论
マスタ タイトルの書式設定
第五章 系统运动的稳定性
重庆大学 自动化学院 柴毅 魏善碧
引言
系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特
性提供了可能性
对系统进行分析的目的：揭示系统状态的运动规律
和基本特性
系统分析：定量分析，定性分析 定性分析：决定系统行为的关键性质：能控性、能观 测性、稳定性
再知，当系统为渐近稳定时，有
lim e At 0
t
(4.17) (4.18)
于是，利用（4.17）和（4.18）即可导出，其G(t)的每一个 gij(t) （i=1,2，…，q； j=1,2，…，p ）均满足关系式 0 gij t dt k 其中k为有限常数。这表明，系统为BIBO稳定。证明完成