北航线性系统理论完整版答案

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《线性系统理论基础》第三章作业及答案

第三章作业及答案3.1 判断下列系统的能控性和能观测性。

2） []x y u x x 111,100041020122-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=解：2C 012000101Q bAbA b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，2c rankQ n =<∴ 系统是状态不完全能控的2111101121o c Q cA cA -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，o 2rankQ n =<∴ 系统是状态不完全能观测的。

3.2 判断下列系统的能控性和能观测性。

1） []x y u x x 101,101300040002=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2） x y u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01011000,1110000130000200001000113） []x y u x x 101,110200020012=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=4） x y u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=610321,029331100050005解：由系统能控和能观测性判据：1）A 为对角标准型，且对角元素互不相同，B 阵有全零元素的行，所以系统是不完全能控；C 阵中有全零元素的列，故系统是不完全能观测的。

2）1100100100000001A B C=0020011010000311⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A 为约旦标准型，且各约旦块对角元素不相同，第一个约旦块最后一行对应到B 阵中的相应行为全零元素行，所以系统是不完全能控的；而各约旦块第一列对应到C 阵无全零元素列，所以系统是完全能观测的。

3）A =210020002⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ B =011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C =[]101A 为约旦标准型，但两个约旦块元素相同，课本上给出的由标准型判定系统能控、能观测的定理不再适用，因此要采用能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵来判断。

北航线性系统理论完整版答案

1-1 证明：由矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12-n 1-n n- - - -1 0 1 0 00 0 1 0a a a a A可知A 的特征多项式为nn n n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A I ++++++=+++++=+++=++=+=-+λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ1-3-32-21-11-3-3122-2-1-n 13-n 2-n 21-1n 12-n 1-n 12-n 1-n n1- )1(-)1(- 00 0 1- )1(-)1(- 0 00 1-1 0 1- 0 00 1-若i λ是A 的特征值，则00 0 0 1 10 1- 0 0 0 1-111n 1-n i 12-n 1-n n =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--ni n i n i i i i i a a a a a a a λλλλλλλλ 所以[]Ti i 1-n i 2 1 λλλ 是属于i λ的特征向量。

1-7 解：由于()ττ--t e t g =，，可知当τ<t 时，()0≠τ，t g ，所以系统不具有因果性。

又由于()()0 ，，ττ-=t g t g ，所以系统是时不变的。

1-8 解：容易验证该系统满足齐次性与可加性，所以此系统是线性的。

由于()()t 0 t ⎩⎨⎧>≤-=-=ααββαβαt u t u P u Q P 而()()⎩⎨⎧+>+≤-=⎩⎨⎧>≤=βαβαβααβαβ t 0 t t 0 t t u t u Q u P Q ，故u P Q u Q P αββα≠，所以系统是时变的。

又因为()()()()()⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=ααααα，，T T t u t u P u P P T T min t 0 min t t 0 t 而()()()()()()()⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=ααααα，，，，T T t u T T t u P u P P P T T T min t 0 min t min t 0 min t ，故()()u P P P u P P T T T αα=，所以系统具有因果性。

线性系统理论课后答案

6 XI 给定图P2.12)和＜b)所示两个电路，试列写出其状态方S 和输出方程。

其中, 分别指定：⑹状态变组廿二叱•勺输入变M « = ef(r):输出支量尹=/(b)状态变宣组X 严气，输入变S“y(O；输出变量丿■“CP2 1解本题A 于由物理系统養立状态令问描述的基本题，意在训练正磧和熟塚运用电路定律列写岀电路的状态方程和输出方程•(1)列写P2・l(a)电路的状态方程和输山方程。

首先.考虎到电容C 和电感E 为给定电路中仅有的两个储能元件•电容端电压弋和流经电感电流了构成此电路的线性无关极人变*组，从而透取状态变*组州=%:和巧=i 符合定义要求。

基此，利用电路元件关系式和回路基尔《夫定律，定出电路方程为C 虬r dr L —+= e再由上述电路方程导出状态变量陀和i 的导》项，可得到状态变査方程规范形式，血C I •—=—(tU C d/ 1 心 1 d/L c L L表%=3山和dW/dn 并将上述方程组表为向量方程，就得到此电路的状态方程:继而.按约定输出y = A 可直接得到此电路的输出方程:(b)列写P2.i(b)电路的状态方程和«ta 方程•类似地.考虑到电容C ］和C2为给定电路中仅有的两个储能元件，电容端电压乜和七构成此电路的线性无关极大变fi 组，选取状态变量组二叱和可二叱2符合定义要求，基此，利用电路元件关系式和回路基尔霍夫定定出电路方程为dur GRpM 叱+叱之71RZ,皿6再由上述电路方程导出状态变量叱和叱的导数项，可得到状态变量方程规范形式: % 1 I 1少GR q GR 5 C,Kdr 表M 也C| /曲和 MqI方程：继而，按约定输出y =坯，可由电路导出：尸叱=%+七将其表为向*方程，就得萸i 此电路的皴出方程，八不叱~孫"6 +丽e并将上述方程组表为向量方程，就得封此电路的状态K2.6求出下列^输入输出描述的一个状态空同描述： (i) 施)二 2^2 十 18$+40u(s)『+ 6“ +11S+6 (ii) 型十妙⑴_u(j) (g + 3)2(zl)解本®属于由传递函数型输入输出描述导出狀态空间描述的基本fi 。

线性系统课后答案第2章

2.1 Consider the memoryless system with characteristics shown in Fig 2.19, in which u denotes the input and y the output. Which of them is a linear system? Is it possible to introduce a new output so that the system in Fig 2.19(b) is linear?Figure 2.19Translation: 考虑具有图2.19中表示的特性的无记忆系统。

其中u 表示输入，y 表示输出。

下面哪一个是线性系统？可以找到一个新的输出，使得图2.19(b)中的系统是线性的吗？Answer: The input-output relation in Fig 2.1(a) can be described as:u a y *=Here a is a constant. It is a memoryless system. Easy to testify that it is a linear system. The input-output relation in Fig 2.1(b) can be described as:b u a y +=*Here a and b are all constants. Testify whether it has the property of additivity. Let: b u a y +=11*b u a y +=22*then:b u u a y y *2)(*)(2121++=+So it does not has the property of additivity, therefore, is not a linear system.But we can introduce a new output so that it is linear. Let:b y z -=u a z *=z is the new output introduced. Easy to testify that it is a linear system.The input-output relation in Fig 2.1(c) can be described as:u u a y *)(=a(u) is a function of input u . Choose two different input, get the outputs:111*u a y =222*u a y =Assure:21a a ≠then:221121**)(u a u a y y +=+So it does not has the property of additivity, therefore, is not a linear system.2.2 The impulse response of an ideal lowpass filter is given by)(2)(2sin 2)(00t t t t t g --=ωωω for all t , where w and to are constants. Is the ideal lowpass filter causal? Is is possible to built the filter in the real world?Translation: 理想低通滤波器的冲激响应如式所示。

第一篇线性系统理论习题答案

⎡ s +1 ⎢s2 + s +1 ⎢ −1 = [1 0 1]⎢ 2 ⎢s + s +1 ⎢ 0 ⎢ ⎣
9－7 设有三维状态方程
⎡0 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
1 s + s +1 s 2 s + s +1
2
0
⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎡0 ⎤ s 2 + 2 s 1⎥ = 3 0 ⎥ ⎢ ⎢ s −1 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎢ ⎣1⎥ ⎦ s − 1⎥ ⎦
⎡ R M ⎤ ⎡ R −1 ∵⎢ ⎥×⎢ ⎣0 T ⎦ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎡ R −1 ⎥=⎢ T− ⎦ ⎣ 0
⎡R M ⎤ ∴⎢ ⎥ ⎣0 T ⎦
9－10 解
−1
⎡ R −1 =⎢ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎥ T −1 ⎦
−1
对可控标准形 A 和 b ，计算 ( sI − A) b
+
v2
& 2 = x1 + y = x1 − C 2 x
写成矩阵形式为
1 1 x2 + U R2 R2
图 9－1 RLC 网络
⎡ R1 − & x ⎡ 1 ⎤ ⎢ L1 ⎢x ⎥=⎢ ⎣ &2 ⎦ ⎢ 0 ⎢ ⎣
⎤ ⎡ 1 ⎤ 0 ⎥ x ⎡ ⎤ ⎢ L ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 1 ⎥U − 1 ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎢ − 1 ⎥ ⎢ R2 C 2 ⎥ ⎦ ⎣ R2 C 2 ⎥ ⎦
x1 ， x 2 有下列关系存在 x1 = x1 + x 2 x 2 = − x1 − 2 x 2
试求系统在 x 坐标中的状态方程。解 ①
&1 = x & = x2 x &2 = & & = −2 x1 − 3 x 2 + u x x

《线性系统理论》作业参考答案

x 11 e t x 21 , 21 0 , x
x11 ( t 0 ) 1 x 21 ( t 0 ) 0
，
x 12 e t x 22 , 22 0 , x
x12 ( t 0 ) 0 x 22 ( t 0 ) 1
解得
x12 e t e t 0 x11 1 ， x 21 0 x 21 1 1 (t ) x 0 e
( sI A )
1
s ( s 1) 0 2 det( sI A ) s ( s 1) 0 adj ( sI A ) 1
s 1 ( s 1) 0
2
s ( s 1) 1 s ( s 1) 1 s 1 1
2
所以 e
。
可以看出， f ( i ) 是 f ( A ) 的一个特征值。
1-3 解：(1) 特征多项式为 1 ( ) ( 1 ) .
4
验证
A 1 I 0 , ( A 1 I ) 2 0 , ( A 1 I ) 3 0 , ( A 1 I ) 4 0
At
e t 1 1 L [( sI A ) ] 0 0
e 1 1 0
t
t t 1 e te t e 1 。 t e
1-5 证明：因为 D 1 存在，所以由 D R p p
A det C B IA det D 0 BD A I D C
c
k 0
k
A
k
设 x 是属于 i 的一个非零特征向量，故
A x i x
.
2 2 因此 A x A Ax A i x i Ax i i x i x .

北航线性系统理论答案

2-17 证明：①首先证明()T T T B C A ，，是()s G 的不可简约实现（该题有问题，不是()TT TCB A，，）。

由于()s G 是对称传递函数阵，故有()()T T T C sI B B A sI C 1-1-A --=，所以()TT TBC A，，是()s G 的实现。

又因为()[]n CA CA Crank CA C A C rank n Tn TT T T =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1-1- ，其可控；同理可证其可观，故系统()T T T B C A ，，是可控可观的。

所以其是()s G 的不可简约实现。

②证明P 的对称性。

由题设易知，由于()T T T B C A ，，是()s G 的不可简约实现，则存在非奇异阵P ，使得TT T BCPC PB A PAP===--11，，。

由T T T T T T P P I P P P CP P B C C PB =⇒=⇒==⇒=--11 所以P 是非奇异对称阵。

③证明P 的唯一性。

由T C PB =，很容易知道1-=B C P T ，故知P 是唯一的。

综上可知，命题得证。

2-18 解：[]1 1 3- 4 2301 4 0 2- 3-0 3 2- 6-0 02 0 0 0 0 1 -=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=C B A 。

a.① ><B A |由[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==65 17 5 2 3 3 3 3 00 0 0 1 1 1 1 32B A B A AB B U 所以)53012301(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡>=<，span B A 。

② η()⇔⋂=kCAker η064 27 118- 145-16 9 34- 43-4 3 10- 13-1 1 3- 4 032=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⇔=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡x x CACA CA C故)12101301(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=，span η ③ ><⋂B A |η即任意>⇔<⋂∈B A x |η2153012301x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=，同时有4312101301x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=故0--1 1 5 22 3 3 31 0 0 00 1 1 14321=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡x x x x ，有)1301(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡>=<⋂span B A η ④ ⊥><⋂B A |η 易知，⇔>∈<⊥B A x |[]065 17 5 2 3 3 3 3 0 0 0 0 1 1 1 1 32=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=T TxB A B A AB B x，即 065 3 0 117 3 0 15 3 0 12 3 0 1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡x 所以)0103-0010(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=><⊥，span B A 同③，可知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=><⋂⊥0000|B A η⑤ ><⋂⊥B A |η)101-1-0123(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⊥，span η同③可知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡>=<⋂⊥0000|B A η⑥ ⊥⊥><⋂B A |η易知)0123(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=><⋂⊥⊥span B A η 综上可知，上述空间的维数加起来不等于4，故在上述空间的直和空间中不能取到状态空间的基底。

线性系统理论习题答案

《线性系统理论》作业参考答案1-1 证明：由矩阵úúúúúúûùêêêêêêëé----=--121000001000010a a a a A n n nL M O M M M L L L则A 的特征多项式为nn n n n n n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a A I +++==+--++--=--++--=+--=--------+-----L L L M O MM ML LL L M O M M M L L L L M O MMM L L L112114322111321121)1()1(00001001)1()1(000010001000010001l l l l l l ll l l l l l l l l ll 若i l 是A 的特征值，则00001000010001)(1112121=úúúúúúûùêêêêêêëé+++=úúúúúúûùêêêêêêëéúúúúúúûùêêêêêêëé+--=-----n n i n i n i i i in n ni i i i i a a a a a a A I L M M L M O M M M L L L l l l l l l l l l u l 这表明[]Tn ii i121-l l l L 是i l 所对应的特征向量。

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1-1 证明：由矩阵可知A 的特征多项式为nn n n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A I ++++++=+++++=+++=++=+=-+λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ1-3-32-21-11-3-3122-2-1-n 13-n 2-n 21-1n 12-n 1-n 12-n 1-n n1- )1(-)1(- 00 0 1- )1(-)1(- 0 00 1-1 0 1- 0 0 0 1-若i λ是A 的特征值，则所以[]Ti i 1-n i 2 1 λλλ 是属于i λ的特征向量。

1-7 解：由于()ττ--t e t g =，，可知当τ<t 时，()0≠τ，t g ，所以系统不具有因果性。

又由于()()0 ，，ττ-=t g t g ，所以系统是时不变的。

1-8 解：容易验证该系统满足齐次性与可加性，所以此系统是线性的。

由于()()t 0t ⎩⎨⎧>≤-=-=ααββαβαt u t u P u Q P 而()()⎩⎨⎧+>+≤-=⎩⎨⎧>≤=βαβαβααβαβ t 0 t t 0 t t u t u Q u P Q ，故u P Q u Q P αββα≠，所以系统是时变的。

1-11 解：由题设可知，()τ-t g 随τ变化的图如下所示。

()τu 随τ变化的图如下所示。

从上述两图及所描述的系统，分析如下：当2≥t ，21>-t 且22≤-t 即43≤<t 时，有()()()⎰⎰--+-=+--=-=22284212t tt t d t d u t g y τττττ；当4>t 时，0=y ；当32≤<t 时，有()()()10823222121121+-=+--++--++-=⎰⎰⎰---t t d t d t d t y t t t ττττττ；当21≤<t 时，有()()()2423221111-+-=-++-++-=⎰⎰⎰--t t d t d t d t y tt t ττττττ；当10≤<t 时，有()221t d t y t=+-=⎰ττ；综上所示，该松弛系统在上述输入而激励的输出为： 1-15 解：由上述齐次方程，可得两线性无关的解向量为：⎩⎨⎧==-02111x e x t ，⎪⎩⎪⎨⎧==-t t e x e x 221221 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-t t te e e x 021 即其基本矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-tt te ee 021 ψ；状态转移矩阵为：1-17 证明：由题设我们可知故()[]()()[]()t T t T dtdt T t T dt d 111----=，得证。

1-19 证明：由题设可知：由上式可推出 ()()()()**⋅=t A t t t t 0101-，，φφ又由()()()00t t t A t t ，，φφ=⋅及习题1-17的结论可推出由以上两个结论，我们可得到()()()()10001-**==t t t t t t ，，，φφφ所以()()I t t t t =*001，，φφ得证。

即()()()()()()I t t t t t t t t t t t t ===***001010001，，，，，，φφφφφφ得证。

1-20 解：设其等价变换为Px x =-，则可知:由于P 是非奇异矩阵，所以⎰=⇒=+-⋅Adte P P PA 0。

1-24 解：易知()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=2s 9- 153s 1 115 00 100s s s G s G s G ，其中，其中()s G 0为严格真有理函数矩阵，进行下列计算：()()()()611632123+++=+++=s s s s s s s g ，则6g 11g 6g 3210====，，，r所以。

，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=9- 51136- 253 527- 302 6210G G G 因此，可得()s G 一个实现如下：其模拟图如下所示。

1-25 证明：由题设知同理可知()()()()()τδττδττ-+-=-+=-----∞=-----∑-t D B A C t k t D B eC t G k kk t A 0!1若要使得两系统零状态等价，则要满足()()ττ-=--t G t G ，即满足()-210 D D k B A C B CA k k===⇔--- ，，，得证。

2-2 解：a,x y u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=•1 2 1 1- 1 0 1 1-1 0 01 3- 4- 2- 1 0 0 0 1 0 由题设可知：[]315 1 7- 1 1 1-7- 1 1 1- 1 0 1 1- 10 0 1 B A AB B 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=rank rank ，所以系统可控；30 2 2 8- 14- 8-1- 3- 2-4 4 2 1 2 1 1- 10 2=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡rank CA CA C rank ，所以系统可观。

b,[]x c c c y u x x 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=•由题设可知：[]30 1 0 1 1 0 1 0 1 1 01 A B 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==rank B rank rankB ，所以系统可控；（1）若0321===c c c ，则系统不可观；（2）若321c c c ，，中至少有一个不等于零，则3 2 CA CA C 321132113212≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c c c c c c c c c c c rank rank ，所以系统不可观；总之，该系统不可观。

d,[]x e y u e e x x ttt 1 2- 0 0 1- 2---•=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 由题设知由于()()t B t t ，0φ的两行不是线性无关的，所以系统不可控；又()[]()()()()[]3e - 1- 1-001-0t t t N dtdt A t N t N e t N =+==，则()()23- 1- 1 --10=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t e e rank t N t N rank ，所以系统可观。

2-3 证明：若线性系统可控，则存在01t t >使得()10t t W ，非奇异。

构造输入()()()()()()[]1100101-0-x t t t x t t W t t t B t u ，，，φφ**-=，其能在1t 时刻将状态()0t x 转移到()11x t x =。

我们将上式代入()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰tt d u B t t x t t t x 0000ττττφφ，，，此时 ()()()()()()()()()()[]()()()()()()[]()()()1110011100101-100011100101-000011 -- --10x x t t t t x t t t x t t W t t W t x t t x t t t x t t W d t B B t t x t t t x t t ===⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎰**，，，，，，，，，，，φφφφφττφτττφφ命题得证。

对离散线性系统不一定成立。

对()()()n Bu n Ax n x +=+1，由递推可知：要使所控状态任意，则必须满足若()0=n x ，而A 不满秩，则x 只在n A 值域中选取，否则x 属于[]BA AB B 1-n 的值域。

故对离散系统，任意状态控向任意状态的条件一般强于从任意状态控向原点的条件。

若A 满秩时，两者等价。

2-4 证明：若线性动态方程在0t 可控，则存在01t t >，使()()ττφB t ，0在[]10t t ，上行线性无关。

当0t t <时()()()()()ττφφττφB t t t B t ，，，00=，由于()τφ，t 为可逆阵，故不改变其线性无关性。

取t t t >>01，使得()()ττφB t ，0在[]10t t ，上行线性无关，而[][]110t t t t ，，⊂，所以()()ττφB t ，0在[]1t t ，上行线性无关，从而()()ττφB t ，在[]1t t ，上行线性无关，即对任意的0t t <，动态方程也可控。

在0t t >时，系统未必可控。

因为不能保证使()()ττφB t ，的行线性无关的区间存在。

2-7 证明：必要性：反证法，当系统可控时，若[]n B A rank ≠ ，则存在0≠α，满足：[]000 ==⇒=B A B A ααα，，即这说明矩阵[]B A AB B n 1- 行线性相关，与线性时不变系统可控条件[]n B A AB B rank n =1- 矛盾，即命题得证。

充分性：对⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111 00 1B A ，，我们可知[]21 1 010 1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=rank B A rank ，但此时[]211 111 ≠=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=rank AB B rank ，此时系统不可控，故不是充分条件。

2-8 解：由题设易知：则()()()()()τττφφd Bu t x t t x t⎰+=000，，故()()()()()()ττπφττπφττπφπφππππππd Bu d Bu d Bu x x 3234234321322220022⎰⎰⎰+++=，，，，即()()()()()()()πτττττττττπππππ2 -cos -sin -cos -sin -cos -sin sin -cos 002343343221320=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰t d u t t d u t t d u t t t t ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇔02-in -34-sin 34-in -32-sin 32-sin -sin sin -034-cos -2-cos 32-cos -34-cos cos -32-cos cos 321321ππππππππππt s t u t s t u t t u t t t u t t u t t u t 令π2=t 可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-02332302323132131u u u u u ，此方程组有解，例如311=u ，02=u ，313-=u ，满足条件，所以存在常数1u 、2u 、3u ，是系统状态能完全由()()Tx 0 10=向()()Tx 0 02=π转换。