非线性动力学定性理论方法
定性与定量相结合的分析方法引文分析法
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4.2 定性分析法
4.2.3 归纳推理法
作用
提供假说。 证明假说和理论。 确定假说的支持度。 理论择优。 对事件未来情况进行预测。 各种管理决策。
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4.3 定性与定量相结合的分析方法
4.3.1 层次分析法
含义
将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统， 将目标分解为多个目标或准则，进而分解为 多指标（或准则、约束）的若干层次，通过 定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权 数）和总排序，以作为目标（多指标）、多 方案优化决策的系统方法。
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4.2 定性分析法
4.2.3 归纳推理法
局限性
它只能得出不充分可靠的结论。 它未必把握住事物的本质。 概括是静态的、过去的，难以概括它的发展 和未来。
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4.2 定性分析法
4.2.3 归纳推理法
局限性
它只能得出不充分可靠的结论。 它未必把握住事物的本质。 概括是静态的、过去的，难以概括它的发展 和未来。
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4.1 定量分析方法
4.1.1 时间序列法
含义
按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程 记录下来就构成了一个时间序列。 对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发 展的规律，预测它将来的走势。 挖掘事物随时间变化规律的方法
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4.1 定量分析方法
含义
通过研究系统内部诸多因素形成的各种反馈 环，同时搜集与系统行为有关数据和信息， 采用计算机仿真技术来对大系统、巨系统进 行长期预测的方法。 系统性、动态性、仿真性
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另一方面梁的轴向应变的表达式也会因变形大小的不同而采用不同的表达式比如小变形时应变而当考虑大变形时可能采用的应变表达式就是进而得到的梁的振动方程将会是一个含有高度非线性项的偏微分方程组
非线性动力学入门
张新华
西安交通大学 工程力学系 2011 年 07 月
前 言
─1687 年，牛顿(Isaac Newton, 1643 ～ 1727)发表了《自然哲学之数学原 理》(Mathematical Principles of Natural Philosophy)，标志着经典力学(亦即牛 顿力学)的正式诞生。牛顿力学主要研究自由质点系的宏观运动规律。 ─1788 年，拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736 ～ 1813)发表了分析力 学教程(Analytical Mechanics)，标志着拉格朗日力学的诞生。Lagrange 力学属 于分析力学的主要内容之一，在位形空间中研究带有约束的质点系动力学。 ─1833 年，哈密尔顿(William Rowen Hamilton, 1805 ～ 1865)对 Lagrange 力学进行了改造，引进了相空间(2n 维空间)，对系统内在的对称性(辛对称， Symplectic)进行了刻画。狭义上的哈密尔顿力学只适用于保守系统，而广义 的哈密尔顿力学在适用于非保守系统。哈密尔顿力学也属于分析力学的主要 组成部分。在此后发展起来的量子力学中 Hamilton 力学发挥着巨大的作用。 目前在天体力学、计算 Hamilton 力学，量子力学，甚至弹性力学(即所谓的 辛弹性力学)中哈密尔顿力学依然发挥着重要作用。 ─1927 年，Birkhoff(George David Birkhoff, 1844 ～ 1944)发表了“动力系 统”(Dynamical Systems)，标志着 Birkhoff 动力学的正式问世。Birkhoff 动力 学建立了研究非完整力学的框架。 ─1892 ～ 1899， 彭加莱(Henri Poincaré, 1854 ～ 1912)发表了三卷本的“天 体力学中的新方法”(New Methods of Celestial Mechanics)，系统性地提出了 研究动力学系统的定性方法，即几何方法。经典力学的目标之一就是设法求 得系统的解析解，而 Poincaré意识到对于大多数非线性系统而言，求其解析 解是不可能的，而必须发展新的研究方法。他超越了他的时代，极富远见地 预测到了非线性系统混沌现象(系统的解对初始条件具有极端敏感依赖性)的 存在。更为重要的是，Poincaré开创了研究非线性动力系统的几何方法，当之 无愧地被誉为非线性科学之父，其影响是划时代的。 ─1892 年，李亚普诺夫(Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, 1857 ～ 1918)在 他的博士论文“运动稳定性的一般问题”(General problem of the stability of motion )中，系统地探讨了非线性动力学系统的稳定性问题。他提出了两种研 究稳定性的方法：李亚普诺夫第一方法(间接方法)和李亚普诺夫第二方法(直 接方法)。他从代数角度出发，对动力学系统的研究开创了一个崭新的领域。 彭加莱与李亚普诺夫，前者从几何角度，后者从代数角度，开拓了非线 性科学的研究疆域和研究手段。 ─1963 年，Lorenz(Edward Norton Lorenz, 1917 ～ 2008)发表了“确定性 非周期流”(Deterministic Nonperiodic Flow)的论文，认为大气系统的性态对 初值极为敏感，从而导致准确的长期天气预报是不可能的。该文标志着人类 首次借助于计算机发现了混沌(Chaos)现象的存在。 ─1757 年，欧拉(Leonhard Euler, 1707 ～ 1783)发表了压杆稳定性的论 文，首次探讨了力学系统的分岔现象。作为分岔理论重要分支的突变理 论(Catastrophe Theory)则主要由法国数学家托姆(René Thom, 1923 ～ 2002)于 上个世纪 60 年代创立，由齐曼(Christopher Zeeman，1925 ～)在 70 年代大力 推广普及。 ─1834 年，英国的罗素(John Scott Russell, 1808 ～ 1882)骑着马在 Union 运河上散步时，发现了现在称之为孤立波(又称作孤波，Solitary wave)的 i
非线性动力学(中科大课件)
Байду номын сангаас
有些系统，其相空间不是线性空间，这类系统必定 是非线性的。例如：刚体动力学方程，相空间为SO3 流形。称为运动(Kinetic)非线性。 F的非线性称为力学非线性。
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b) 什么是特征非线性现象？
例：
考虑映射
设
f(x)>x
n
则xn+1> xn
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19世纪 Hamilton 方程
引进广义动量
Hamilton
函数
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Lagrange,
Hamilton方 程均与Newton方程等价 力学的基本问题、基本方 法未变 结论：二百多年来牛顿力 学无实质性进展
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19世纪末、20世纪初发生的 对于牛顿力学的三大变革
涨落项
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宏观描述
在长时间后，绝大多数集体运动模式
由于耗散而衰减掉，可以考虑剩余运动模式。
设长时间后只剩下 x1 ,…, xm 的运动，则在 t→∞ 时有
Haken称之为随动原理(slaving principle). 代入前一方程， 消去 xj , j=m+1,…,n 得
xj , j=1,…,m 称作序参量（基本力学量） 绝热消除法： 中心流形→ 惯性流形
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FTP Complexity
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数学建模中对非线性动力系统模型的认识和体会
数学建模中对非线性动力系统模型的认识和体会真实动力系统几乎总是含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性和黏弹性、构件大变形，控制系统中的元器件饱和特性、控制策略非线性等等。
非线性动力学理论的研究和发展已经经历了一个多世纪，在新世纪之初，为了使非线性动力学理论得到更好的发展，非常有必要回顾一下非线性动力学研究和发展的历史。
非线性动力学理论的发展大致经历了三个阶段。
第一个阶段是从1881年到1920年前后，第二阶段从20世纪20年代到70年代，第三阶段从20世纪70年代至今。
人们对于非线性系统的动力学问题的研究可以追溯到1673年Huygens对单摆大幅摆动非等时性的观察。
第一阶段的主要进展是动力系统的定性理论，其标志性成果是法国科学家Poincare从1881年到1886年期间发表的系列论文“微分方程定义的积分曲线”，俄罗斯科学家Liapunov 从1882年到1892年期间完成的博士论文“运动稳定性通论”，以及美国科学家Birkhoff在1927年出版的著作“动力系统"。
第二阶段的主要进展是提出了一系列求解非线性振动问题的定量方法，代表人物有俄罗斯科学家Krylov、Bogliubov，乌克兰科学家Mitropolsky，美国科学家Nayfeh等等。
他们系统地发展了各种摄动方法和渐近方法，解决了力学和程科学中的许多问题。
在这个阶段中抽象提炼出了若干著名的数学模型，如Duffing方程、vander Pol方程、Mathieu方程等，至今仍被人们用以研究非线性系统动力学现象的本质特征。
从20世纪60~70年代开始，原来独立发展的分岔理论汇入非线性动力学研究的主流当中，混沌现象的发现更为非线性动力学的研究注入了活力，分岔、混沌的研究成为非线性动力学理论新的研究热点。
俄罗斯科学家Arnold和美国科学家Smale等数学家和力学家相继对非线性系统的分岔理论和混沌动力学进行了奠基性和深入的研究，Lorenz和Ueda等物理学家则在实验和数值模拟中获得了重要发现。
动态系统理论解读非线性动力学行为
动态系统理论解读非线性动力学行为动态系统理论是研究系统随时间变化的数学理论，在物理学、生物学、经济学等领域广泛应用。
非线性动力学是动态系统理论的一个重要分支，研究的是非线性系统的行为。
非线性动力学行为指的是系统中存在非线性因素导致的复杂行为，这些行为通常无法通过简单的线性理论来解释。
非线性动力学行为的研究领域包括混沌理论、奇异吸引子、分岔现象等。
混沌理论是非线性动力学行为的重要组成部分。
混沌现象指的是一个看似没有规律的、极为敏感的动态行为，它对初始条件极为敏感，微小的初始条件差异可能会导致系统最后的行为完全不同。
混沌现象的典型例子是著名的“蝴蝶效应”，即一个蝴蝶在巴西扇动翅膀可能最终引起美国得克萨斯州发生龙卷风的现象。
奇异吸引子是一种特殊的吸引子，它具有分岔结构。
吸引子是动态系统中一组确定的状态，而奇异吸引子则是一种分维度小于系统自身维度的吸引子。
奇异吸引子的特点是具有分形结构，即在不同尺度上具有相似的形状。
分岔现象是非线性动力学中的一个重要现象，它表示系统参数改变时出现的定性变化。
在分岔现象中，随着参数的改变，系统从一个稳定状态转变为多个稳定状态或不稳定状态。
这种转变可以是突然的、跳跃的或连续的，而且是可逆的。
非线性动力学行为的研究对于理解现实世界中复杂系统的行为模式具有重要意义。
在物理学中，非线性动力学行为可以帮助解释天体运动、流体力学等现象。
在生物学中，非线性动力学行为可以解释生物系统中的自组织、自适应等特性。
在经济学中，非线性动力学行为可以用来解释经济周期、市场波动等现象。
非线性动力学行为的研究方法包括数学建模、理论分析和计算机模拟等。
数学建模是非线性动力学研究的基础，可以将系统的动力学行为用方程或规则来描述。
理论分析通过数学方法对系统的动态行为进行解析，寻找系统的稳定状态和边界条件等。
计算机模拟则可以通过计算机程序对系统进行模拟，观察系统的行为变化。
然而，非线性动力学行为的研究也面临着一些挑战。
非线性振动
非线性振动的研究包括理论分析方法和数值分析方法。
其中理论分析方法有是沿着两个方向发展，第一是定性方法，第二是定量方法，也称为解析法。
定性方法是对方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性等的研究；定量方法是对方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等的研究。
数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。
本文在查询相关文献的基础上，对非线性振动理论的分析方法最新研究成果做简要概括和分析比较。
1、平均法平均法是求解非线性振动最常见和最实用的近似方法之一。
其基本思想是设待解微分方程与派生方程具有相同形式的解，只是振幅和相位随时间缓慢变化。
将振幅和相位的导数用一个周期的平均值替代，得到平均化方程，求解平均化方程，得到振幅和相位的表达式，从而求解出原方程的近似解析解。
1.1利用平均法分析多自由度非线性振动平均法主要是用在单自由度非线性振动的分析中，是一种求近似解的方法，虽然精度较低，但可避免繁琐的中间运算，具有便于应用的突出优点。
将其推广的到多自由度系统，导出了平均化方程，由此能够得到多自由度非线性振动的幅频特性。
1.2用改进平均法求解自由衰减振动用平均法求解自由衰减振动方程时，无论是线性阻尼还是平方阻尼，在阻尼常量很小的情况下，平均法解均有较高的精度。
但随阻尼常量的增加，阻尼对振动周期的影响已不能忽略，此时平均法解的结果与实际振动情况有了明显的偏离，需要改进。
改进平均法是将待解微分方程的圆频率与派生方程圆频率的差异函数表示为阻尼系数的多项式。
2、FFT多谐波平衡法分析非线性系统非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。
现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统，因此在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，而基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的 FFT 多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。
为什么要学些火灾动力学？
为什么要学些火灾动力学?前不久，消防圈有一种论调为：“指挥员源于战斗员，亘古不变的道理”，言下之意，只有干过,才有发言权。
这种思想似乎很普遍，听上去似乎很有道理。
本来嘛，救人靠技能，技能靠实战,有实战经验的似乎比没有实战经验的强.然而，2015年8月12日的天津港大爆炸表明,救援除了依赖经验，还需要有必要的知识和战略的眼光。
说起军事指挥家，近代中国无人超过“曾胡左李”。
曾国藩、胡林翼、左宗棠、李鸿章,这四人无一当过战斗员,但当时人都毫不怀疑他们的指挥能力.即使是解放战争期间，林彪和粟裕，都是黄埔军校出身，典型的学院派，也不是战斗员出身，丝毫不能妨害他们的指挥能力。
今天，高层次的指挥员大多是学院派，美国的消防队长也要求有本科BS学位，所以指挥这个岗位,恰恰不是战斗员所能够胜任的,因为他需要理科知识（Fire Science)和工科素养(Fire Protection Engineering），才能够认识火场的复杂现象，才能发出更好的指令,取得更有效的战术效果。
战斗员自救是自己的事，指挥员的命令可以不听（不能影响生命安全）,因此指挥员是否干过战斗员，并不是很重要的一件事。
我们听到有些声音，火灾动力学对灭火工作没什么用。
但其实这门知识博大精深，涉及很多方面，是非常有用的.Drysdale 教授阅读并引用了800篇文章，才写出了一本《火灾动力学》教材，无人不说有用。
（京东有售,见下图，点击’阅读原文’，查看火灾动力学试读链接。
）图：火灾动力学第三版你说无用，就是对消防没有入门的标志。
其实，在理论的知识和应用的知识之间，存在沟通问题。
不能很好地应用和传递知识,相当于没有知识。
美国消防队员需要学习火灾动力学知识，源于一项技术革命。
Nomex纤维，是一种特殊的阻燃材料,刚出现的时候，非常昂贵,只能用在高度风险的场合,如赛车手的特殊防护服。
随着成本的下降，现代消防队员也开始普及Nomex纤维制成的防护服，并携带自己的自助呼吸器（SCBA）。
系统工程导论第3讲
第三讲自然物理系统及其复杂性系统的层次来看，自然物理系统处于系统底层，可以看作是由非智能的机械物体构成的，满足特定的自然物理规律，其复杂性的根源在“非线性”。
在系统科学中，迄今真正成熟的主要是线性系统理论。
系统科学重点研究的是非线性系统，是处理非线性问题的一种方法论。
同时，相比于静态系统，动态系统是系统科学讨论的重点对象。
一、线性系统1 线性特性和线性系统一般地说，能够用线性数学模型描述的系统，称为线性系统。
线性系统的基本特性，即输出响应特性、状态响应特性、状态转移特性等，都满足叠加原理。
具体讲，令f代表某种数学操作，如关系、变换、运算、方程或其他，x为数学操作的对象，f(x)表示对x施行操作f的结果。
若f(x)满足以下两个条件(1) 加和性：f(x1+x2)＝f(x1)+f(x2)(2) 齐次性：f(kx)＝kf(x)即f(ax1+bx2z)＝af(x1)+bf(x2)，就称操作f为线性的，满足叠加原理。
2、线性系统的动态行为描述描述连续动态系统的数学模型是微分方程。
如果状态变量只是时间的函数，与空间分布无关，则称集中参数系统，用常微分方程描述；状态变量同时依赖于时间和空间分布的是分布参数系统，须用偏微分方程描述。
线性连续动态系统的数学模型为线性常微分方程，可以使用一元高阶方程，也可以使用多元一阶联立方程组，这两种形式是等价的。
一般形式如下：nnn n n nn x a x a x x a x a x ++=++=11'1111'1记系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a A 1111，状态向量()Tn x x x X ,,,21 =则上述动态方程可表示为：AX X ='A 不随时间变化→常系数方程→时不变线性系统A 随时间变化 →变系数方程→时变线性系统A 包含了线性系统一切行为特性的信息。
3、线性动态系统的求解分析线性系统的常用方法是求它的通解：∑=k tk V e C X k λ其中，λ为特征方程0=-I A λ的特征根；V k 是一组线性无关的特征向量；C k 是由初值决定的常系数。
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非线性动力学定性理论方法
非线性动力学定性理论方法是一种研究动力系统行为的方法，用于研究非线性动力系统的稳定性、周期性、混沌性等特性。
在非线性动力学定性理论中，主要有相图分析法、频谱分析法、Lyapunov指数法、Poincaré截面法等多种方法。
相图分析法是研究非线性动力系统的最常用方法之一。
相图是描述动力系统状态变化规律的图形，其中横坐标表示系统的状态变量，纵坐标表示状态变量的导数或变化率。
相图可以通过绘制状态变量和导数之间的关系曲线得到。
相图分析法通过分析相图的形状和特征，可以判断系统的稳定性、周期运动和混沌运动等特性。
频谱分析法是一种通过分析系统输出信号的频谱特性来研究非线性动力系统的方法。
在频谱分析中，通过将系统的输出信号用傅立叶变换或小波变换等方法，将信号分解成一系列的频谱分量。
通过分析频谱的峰值位置、能量分布等特征，可以判断系统是否存在周期运动或混沌运动等特性。
Lyapunov指数法是研究非线性动力系统稳定性的一种方法。
Lyapunov指数可以用来描述系统状态的指数变化率，即用来刻画系统状态的稳定性或者混沌性。
通过计算Lyapunov指数，可以得到系统状态的变化趋势，从而判断系统是否稳定或者出现混沌行为。
Poincaré截面法是一种通过截取动力系统的轨迹与特定平面的交点，来研究非线
性动力系统行为的方法。
在Poincaré截面法中，通过选择合适的截面，可以将系统的运动轨迹转化为一系列的离散点。
通过分析离散点的分布和变化规律，可以判断系统是否存在周期运动或混沌运动等特性。
以上介绍的是非线性动力学定性理论的一部分方法，这些方法在研究非线性动力系统的行为特性方面具有重要的应用价值。
通过相图分析、频谱分析、Lyapunov 指数计算和Poincaré截面分析等方法，可以全面地了解非线性动力系统的稳定性、周期性和混沌性等特性，为非线性动力系统的建模、控制和应用提供了重要的理论基础。