非线性方程数值解的研究
非线性分数阶微积分方程的数值解法研究
非线性分数阶微积分方程的数值解法研究偏微分方程是数学中一个十分重要的分支，而非线性分数阶微积分方程则是其中相对复杂的一类问题之一。
许多实际问题的建模都可以归结于这类问题，而数值解法是解决这类问题的一个重要手段。
一、分数阶导数的定义及性质首先来看分数阶导数的定义。
对于函数$f(t)$，有如下定义：$$D^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n}\int_0^t\frac{f(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha+1-n}}\mathrm{d}\tau$$其中$\alpha$是一个实数，$n=\lfloor\alpha\rfloor+1$，$\Gamma$是欧拉伽马函数。
可以看出，分数阶导数的定义需要进行积分运算，这一点和整数阶导数是有区别的。
分数阶导数也有一些特殊的性质，例如线性性和链式法则等。
这些性质与整数阶导数的性质有一些相似之处，但也存在一些区别。
例如，分数阶导数并不满足幂等性，即$(D^\alpha)^n\neqD^{n\alpha}$。
二、非线性分数阶微积分方程的数值解法对于非线性分数阶微积分方程的数值解法，常用的方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这里介绍其中的有限差分法。
有限差分法是一个比较简单而又实用的数值计算方法，基本思路是将连续的函数转化为离散的数值。
对于一个分数阶微积分方程，可以采用有限差分法对其进行离散化求解。
具体来说，有限差分法首先将定义域分为一段段固定长度的小区间，然后在每个小区间内选取若干个节点，用这些节点处的函数值来代替对应的区间上的函数值，从而将分数阶微积分方程转化为一个差分方程。
对于非线性分数阶微积分方程而言，由于其非线性性质，需要通过迭代或其他方法来求解数值解。
三、数值实验与应用为了验证有限差分法对于非线性分数阶微积分方程的求解能力，我们可以通过许多数值实验来进行验证。
数值分析非线性方程的数值解法
数值分析非线性方程的数值解法数值分析是一种应用数学方法来分析和解决数学问题的领域。
非线性方程是数值分析中一类重要的问题，其解法包括了迭代法、牛顿法、割线法等。
本文将详细介绍这些数值解法及其原理和应用。
一、迭代法迭代法是解非线性方程的一种常用数值方法。
该方法的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根，直到达到所需精度或满足停止准则为止。
迭代法的求根过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = g(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
常用的迭代法有简单迭代法、弦截法和牛顿法。
简单迭代法的迭代公式为xn+1 = f(xn)，其中f(x)为原方程的一个改写形式。
该方法的收敛性要求函数f(x)在解附近有收敛性且导数在一个区间内收敛。
弦截法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
牛顿法的迭代公式为xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，其中f'(x)为f(x)的导数。
该方法通过用切线来逼近方程的根。
二、牛顿法牛顿法是解非线性方程的一种常用迭代法。
该方法通过使用方程的导数来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0。
2. 利用迭代公式xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)，计算下一个近似根。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
牛顿法的收敛速度较快，但要求方程的导数存在且不为0。
三、割线法割线法是解非线性方程的另一种常用迭代法。
该方法通过连接两个点上的函数值的割线来逼近方程的根。
迭代过程如下：1.选择适当的初始值x0和x12. 计算下一个近似根xn+1 = xn - f(xn) * (xn-xn-1) / (f(xn)-f(xn-1))。
3.重复步骤2，直到满足停止准则为止。
割线法的收敛速度介于简单迭代法和牛顿法之间。
数值分析实验报告——非线性方程求根
数值分析实验报告——非线性方程求根一、实验目的：1.掌握求解非线性方程的常用方法；2.了解非线性方程求根问题的数值解法；3.熟悉使用数值分析软件进行非线性方程求根的实现。
二、实验原理：非线性方程指的是形如f(x)=0的方程，其中f(x)是一个非线性函数。
非线性方程求根的常用方法包括二分法、割线法和牛顿法等。
其中，二分法是通过不断缩小区间范围来逼近方程的解；割线法是通过使用割线来逼近方程的解；牛顿法则是通过使用切线来逼近方程的解。
对于给定的非线性方程，可以根据实际情况选择合适的方法进行求根。
三、实验内容：1.编写求解非线性方程的函数，包括二分法、割线法和牛顿法；2.使用编写的函数求解给定的非线性方程，比较各个方法的收敛速度和精确程度；3.根据实际情况分析和选择合适的方法进行求根。
四、实验步骤：1.针对给定的非线性方程，编写二分法的函数实现：（1）首先确定方程的解存在的区间；（2）根据方程的解存在的区间，使用二分法逐步缩小区间范围；（3）根据设定的精度要求，不断循环迭代，直至满足要求或达到迭代次数限制；2.针对给定的非线性方程，编写割线法的函数实现：（1）首先需要确定方程的解存在的初始点；（2）根据方程的解存在的初始点，根据割线的定义进行迭代；（3）设定迭代的精度要求和限制次数，结束迭代；3.针对给定的非线性方程，编写牛顿法的函数实现：（1）首先需要确定方程的解存在的初始点；（2）根据方程的解存在的初始点，根据牛顿法的定义进行迭代；（3）设定迭代的精度要求和限制次数，结束迭代；4.根据给定的非线性方程，分别使用二分法、割线法和牛顿法进行求解，并比较各个方法的收敛速度和精确程度；5.分析实际情况，选择合适的方法进行求解。
五、实验结果：4.通过比较，发现割线法和牛顿法的收敛速度较快，精确程度较高，因此选择割线法进行求解。
六、实验总结：通过本次实验，我掌握了求解非线性方程的常用方法，并使用数值分析软件实现了二分法、割线法和牛顿法。
5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
1 4 0
非线性方程组的数值解法
x10=0; x20=0; k=0; while 1 k=k+1; x1k=(1+x20-0.1*exp(x10))/4; x2k=(x10-x10^2/8)/4; %雅克比迭代法 %x2k=(x1k-x1k^2/8)/4; %高斯-赛德尔迭代法 err1=abs(x1k-x10); err2=abs(x2k-x20); err=max(err1,err2); if err<=0.00000000005 break; end x10=x1k; x20=x2k; end
0.0000055305 0.0000001511 0.0000000041 0.0000000001
非线性方程组的数值解法
牛顿迭代法：根据求解非线性方程的牛顿迭代法，如果已经 k k T ，则 ,, xn 给出方程组 Fx 0 的一个近似根 xk x1k , x2 可把函数 Fx 的分量 fi x, i 1,2,, n 在 x k 处按多元函数泰 勒公式展开，取其线性部分做近似，得
(0.2325668498,0.0564514831) (0.2325670008,0.0564515487) (0.2325670050,0.0564515196) (0.2325670051,0.0564515197) (0.2325670051,0.0564515197)
0.0002023950
所以有
1 x φx 1 2 x1
0
T
取初值 x 代公式收敛。
T 0 x 0 , 0 附近 φx 1，所以迭 0,0 ，在
1 1 x 1 e 40 x2 2 1 1 x1 x2 4 16
非线性偏微分方程数值解法
非线性偏微分方程数值解法非线性偏微分方程数值解法是现代数学中一个重要的研究领域，涵盖了广泛的应用领域，如流体力学、材料科学、地球科学等。
非线性偏微分方程具有复杂的数学性质，解析解往往难以获得，因此需要借助数值方法来求解。
本文将介绍几种常见的非线性偏微分方程数值解法，并分析其特点和适用范围。
有限差分法是求解非线性偏微分方程的常见数值方法之一。
该方法将偏微分方程中的微分算子用差分近似代替，将空间域和时间域划分为离散网格，通过迭代计算网格点上的函数值来逼近方程的解。
有限差分法简单易实现，适用于各种类型的非线性偏微分方程，如抛物型方程、椭圆型方程和双曲型方程。
然而，有限差分法的稳定性和精度受到网格剖分的影响，需要 carefully 选择合适的参数以获得准确的数值解。
有限元法是另一种常见的非线性偏微分方程数值解法。
该方法将求解区域划分为有限个单元，通过建立元素之间的连接关系，将原始方程转化为局部形式，再通过装配求解整体方程。
有限元法具有较高的精度和灵活性，适用于具有复杂边界条件和几何结构的问题。
然而，有限元法需要构建有效的网格剖分和选取合适的形函数，求解过程相对繁琐，需要较高的数值计算能力。
另外，谱方法也是一种常用的非线性偏微分方程数值解法。
谱方法利用谱逼近理论，将方程的解表示为一组基函数的线性组合，通过调整基函数的系数来逼近真实解。
谱方法在处理高度非线性和奇异问题时具有优势，能够提供高精度的数值解。
然而，谱方法对问题的光滑度和周期性要求较高，对基函数的选取也较为敏感。
总的来说，非线性偏微分方程数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法等多种方法，每种方法都有其适用的范围和特点。
在实际应用中，需要根据问题的具体特点和求解要求选择合适的数值方法，并结合数值分析和实验验证来确保数值解的准确性和可靠性。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解非线性偏微分方程数值解法的基本原理和应用方法。
非线性方程求解数值分析上机实验报告
实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。
本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。
前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。
数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。
在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton 法。
对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。
重复运行计算，直至满足精度为止。
这就是二分法的计算思想。
Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。
当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。
另外，若将该迭代公式改进为其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。
程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。
其中待求解的方程写成function的方式，如下function y=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可，下面给出主程序。
二分法源程序：clear%%%给定求解区间b=1.5;a=0;%%%误差R=1;k=0;%迭代次数初值while (R>5e-6) ;c=(a+b)/2;if f12(a)*f12(c)>0;a=c;elseb=c;endR=b-a;%求出误差k=k+1;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序：clear%%%% 输入函数f=input('请输入需要求解函数>>','s')%%%求解f(x)的导数df=diff(f);%%%改进常数或重根数miu=2;%%%初始值x0x0=input('input initial value x0>>');k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解while (abs(R)>1e-8)x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x'));R=x1-x0;x0=x1;k=k+1;if (eval(subs(f,'x0','x'))<1e-10);breakendif k>max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值ss=input('maybe result is error,choose a new x0,y/n?>>','s');if strcmp(ss,'y')x0=input('input initial value x0>>');k=0;elsebreakendendendk;%给出迭代次数x=x0；%给出解结果分析和讨论：1.用二分法计算方程在[1，2]内的根。
非线性方程数值解法详解
1 ( p) (
p!
)( xk
)
p
xk1
1
p!
(
p)
(1
)(
xk
)p
lim
k
xk1 xk p
1 ( p) ( )
p!
0
必要性 （略）
例 能不能用迭代法求解方程x=4-2x，如果不能
时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式.
方程为x-4+2x =0.设f(x)= x-4+2x ，则f(1)<0，f(2)>0， f‘(x)= 1+2x ln2>0,故方程f(x)=0仅在区间(1, 2)内有唯一根.
(1) f(a)f(b)<0; (2) f'(x)0, x[a, b]; (3) f''(x)不变号, x[a, b]; (4) 初值x0 [a, b]且使f''(x0) f(x0)>0; 则 Newton 迭代法收敛于f(x)=0在[a, b]内的惟一 根.
例 研究求
a的Newton公式xk 1 Nhomakorabeaxk 1 xk
f (xk ) f (xk )
(k 0,1, 2,L )
逐次逼近方程f(x)=0的根α ，这种求根算法称为 Newton法（切线法），此公式称为 Newton迭代公式.
Newton迭代法的收敛性及收敛阶
Newton法的迭代函数是 (x) x f (x)
从而
(x)
f (x) f (x) [ f (x)]2
或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x)
且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的m 重根；当m=1时，称α为f(x)=0的单根. 若α为f(x)=0的m重根，则
非线性方程的数值解法研究
非线性方程的数值解法研究在数学和科学计算领域，非线性方程的求解是一个至关重要的问题。
非线性方程不像线性方程那样具有简单和直接的求解方法，它们的复杂性使得寻找精确解往往变得非常困难，甚至在很多情况下是不可能的。
因此，数值解法成为了处理非线性方程的重要手段。
首先，让我们来理解一下什么是非线性方程。
简单来说，非线性方程是指方程中包含未知数的非线性函数，例如幂次高于 1 的项、三角函数、指数函数等。
常见的非线性方程有二次方程、三次方程、指数方程、对数方程等等。
在实际应用中，非线性方程广泛出现在物理学、工程学、金融学、生物学等众多领域。
比如在物理学中，描述天体运动的方程往往是非线性的；在工程学中，结构力学和电路分析中的一些问题也会涉及非线性方程。
那么，为什么非线性方程的求解如此具有挑战性呢？这是因为非线性方程的解可能不是唯一的，甚至可能不存在。
而且，非线性方程的解可能对初始条件非常敏感，微小的变化可能导致完全不同的结果。
接下来，我们来探讨一些常见的非线性方程数值解法。
牛顿法是一种经典且广泛应用的方法。
它基于函数的泰勒展开，通过不断迭代来逼近方程的根。
基本思想是在每一步迭代中，根据当前点的函数值和导数值来确定下一个近似解的位置。
如果函数的导数容易计算，并且初始猜测值比较接近真实解，牛顿法通常收敛速度很快。
然而，如果初始猜测值不好，或者函数的导数在某些点不存在，牛顿法可能会失效。
割线法是牛顿法的一种改进。
它不需要计算函数的导数，而是通过两个初始猜测值来构造一条割线，然后用割线与 x 轴的交点作为新的近似解。
割线法虽然在计算导数困难的情况下很有用，但它的收敛速度通常比牛顿法慢。
二分法是一种简单而可靠的方法。
它基于区间收缩的原理，通过不断将包含根的区间一分为二，逐步缩小根所在的范围，从而逼近根的精确值。
二分法的优点是它总是收敛的，并且对函数的性质要求不高，只要函数在给定区间内连续且两端点函数值异号即可。
但二分法的收敛速度相对较慢，是线性收敛的。
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此算法不需要计算导数 ， 经计算 ， 需 要经过 ７次迭代 才可 以
得到与 ４次 Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ法迭代 十分接近的结果．
三、 结 论
Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ迭代法 ： 设ｆ （ ）＝０ ， ＿ 厂（ ）≠０ ， 且＿ 厂 在 包 含
由二分 法 、 Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ法和割线法的算法原 理 ， 结 合前 面的
优点 保证 收敛 、 计 收敛 快 、 稳定性好、 不用计算导数 算方便 精度高 对初 值 选 取要 求 比 收 敛 速 度 慢 ， 缺点 收敛速度慢 较高 ， 需 要计算导 数 只 有 局 部 收
＿ ， ’ （ ） ， 得 到 割 线 法 的 迭 代 公 式 ＝ 一 毒
其中 。 为初值．
二、 数 值 实验
值， 只有 局部 收敛性 敛性
介绍二分法 、 Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ法和割线法的算法 ， 并用 其解方程
２ ＋ ３ ｘ 一 ６＝ ０的 根．
牛顿法是 目前求解 非线 性方 程的有 效方 法之 一 ， 但也
应 该注意到 Ｎ ｅ ｔｏ ｗ ｎ迭代 法不 适应 的情 形． １ ． 若 ／（ ‰ ）＝０
迭代公式 似值．
＝ （ ） ， ｋ＝０ ， １ ， ２ …就能求 出逐 步精 确 的近
代， 就可 以得到与 １ ０次二分法 十分接近 的结果． （ 三） 割线法
割线法迭代公式 ： ＝ ％一
二分法 ： 设 Ｙ＝ ） 在 区间 ［ ｏ ， ｂ ］ 上连 续且八 ｏ ） ｂ ）＜ ０， 通过不断地把 函数 ＿ 厂 （ ） 的零 点所 在 的区间一 分为 二 ， 使 区间两端逐步逼近零点 ， 进而得到 零点近似值． 由二分法产 生的序列 ｛ ｝ 满足Ｉ ｘ 一 Ｉ ≤ ．
（ 或者ｌ 厂（ ）＝ ０ ） ， 得 不到 。 或＿ 厂（ ）＝ ０ ， 如图 １ ； ２ ． 若迭
（ 一） 二 ： 分法 找 出有根 区间 ， 设ｆ （ ）＝２ ｘ ＋３ ｘ 一６ ， ｆ （ ０ ）＝ 一６ ，
代 后出现死循环 ， ＝ 。 ， 如图２ ．
数 学 学 习与 研 究 ２ ０ １ ６ ．
，
１ ０ ～， 得 Ｎ＞１ ＋ ＝１ ７ ． ６ ， 即需要进行 １ ８次计算．
Ｚ １
（ 二） Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ法
计算． ｆ（ ｘ ）＝ ６ ｘ ＋ ６ ｘ ， Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ法迭代公式为 ＋ ｌ ＝ ｎ：。 ， １ ， ２ ， … …经计 算 ， 用 ４次 Ｎ ｅ ｔ０ ｗ ｎ法 迭
的 一 个 区 间 上 具 有 二 阶 连 续 的 导 数 ， 由 ＝ 一 专 实例可 以得 出以下结论 ： 可知产生 的序列 ｛ ｝ 局部收敛到 ， 且为二 阶收敛．
二 分 法
Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ法
割 线 法
割线法 ： 在Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ法的基础上 ， 以 一 ． ， 的差商代替
高 教 视 野
黪
气
导 ；
摅线幢翥 程数俊熊的撩
◎周 文 袁晓洲 （ 湖北职业技术 学院， 湖北 孝感 ４ ３ ２ ０ ０ ０ ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【 摘要 】 本文 归纳 了求 非线性方程数值解 的几种 常用 解
法、 应注意的问题及 优缺点 ， 通过 实例进 一步 比较 了各 自的
２ ）＝ ２ ２ ０ ） ， （ ２ ）＜ ０， 由零 点定 理 ， 有 根区 间为［ ０ ， ２ ］ ． 用
容． 即常常需要 探讨方程， （ ）＝０的数值解 法 ， 这里 ∈Ｒ，
／ Ｃ ［ 。 ， ｂ ］ ． 除了少数情形 外 ， 这类 方程常 只能求其 近似解． 如果 函数是平滑 的， 给定充分好 的初始值 ， 一个好 的算法 是 能收敛 到一 个解． 给定 根 附近 的一个 初始 值 ‰ ， 将原 方程 ）＝ ０改变成与它 同解 但便 于迭代 的形式 ＝ （ ） ， 利 用
收敛性 、 稳定性及精度． 最 后总结 了求 非线性方程 数值解 的
一
二 分 法 的 算 法 ＝ ａ — ｎ 挚 ＋ 计 算 结 果 如 下 ：
区间［ ｏ ， ｂ ］ １ ２ ３ ４ ５ ［ ０， ２ ］ ［ １ ， ２ ］ ［ １ ， １ ． ５ ］ ［ １ ， １ ． ２ ５ ］ ［ １ ， １ ． １ ２ ５ ］ ｎ １ １ ． ５ １ ． ２ ５ １ ． １ ２ ５ １ ． ０ ６ ２ ５ － 厂 （ ， ） —１ ７ ． ５ ２ ． ５ ９ ３ ７ ５ ０ ． ６ ４ ４ ５ ３ １ ３ — ０ ． ２ １ ４ ３ ５ ６
般 方 法．
【 关键词 】 分类方 法 Ｎ ｅ ｗ ｔ ｏ ｎ迭代法 ； 二分 法； 割线法 ； 非
线性方程 ； 数 值 解
【 项 目名 称 】湖 北 省 教 育 科 学 “十 二 五”规 划 课 题
（ ２ ０ １ ４ Ａ ０ ６ ０ ） ； 湖北职业 技术 学 院重 点课 题 （ ２ ０ １ ４ Ａ ０ ３ ）的 阶
段 性 研 究成 果．
经过 １ ０次 二 分 法 ， 。 。＝１ ． ０ ７ ８ ７ ５ ， 由误 差 估 计 式 ， 有
～
、
背
景
Ｉ ｘ１ ０一
Ｉ≤
＝１ ．９ ５ ×１ ０－ ３
．
如果误差 ：１ ０～， 由估计式 ＝２ － Ｎ ＋ Ｉ ， 令２ － Ｎ ＋ Ｉ ＜
在工程应用和科学计算 中有 大量实 际问题需 要转化 为 代数方程 ， 而非线性 方程 的求解 一直 是其 中重要 的研 究 内 确定必要 的二分 次数． Ｉ ｘ 一 Ｉ ≤