高中数学1-1(文)第二章 圆锥曲线与方程学案2.1.1椭圆及其标准方程
选修1--1,选修2--1圆锥曲线与方程复习学案(椭圆)
北大附中广州实验学校
王 生
“圆锥曲线与方程”复习讲义
高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线 ① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 ② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 ④ 理解数形结合的思想 ⑤ 了解圆锥曲线的简单应用 （2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
）
4.（2007 福建理)已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_______；
5．(2008 全国Ⅰ卷理)在 △ ABC 中， AB BC ， cos B 则该椭圆的离心率 e ．
7 ．若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C ， 18
6.（2007 福建文)已知长方形 ABCD，AB＝4，BC＝3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的 离心率为 。
x2 y2 1 的两焦点，过点 F2 的直线 16 9
）
例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ (A)
）
1 3
(B)
3 3
(C)
1 2
(D)
3 2
例 3． （2005 全国卷 III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A．
x2 y2 1 的焦点,在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点 P 的个数为_______. 8 4
x2 y2 1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两 6. （2008 浙江文、理）已知 F1、F2 为椭圆 25 9
(人教版)高中数学选修1-1课件：第2章 圆锥曲线与方程2.1.1
数学 选修1-1
第二章 圆锥曲线与方程
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
椭圆的定义
定义 焦点
平面内与两个定点F1，F2的_距__离__之__和__等__于__定__值___( 大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 两个_定__点___叫做椭圆的焦点
第二章 圆锥曲线与方程
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4．已知椭圆的焦点在 x 轴上，且焦距为 4，P 为椭圆上一点， 且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．
(1)求椭圆的方程； (2)若△PF1F2 的面积为 2 3，求 P 点坐标．
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第二章 圆锥曲线与方程
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解析： (1)由题意知，2c＝4，c＝2. 且|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8， 即 2a＝8， ∴a＝4. ∴b2＝a2－c2＝16－4＝12. 又椭圆的焦点在 x 轴上， ∴椭圆的方程为1x62 ＋1y22 ＝1.
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第二章 圆锥曲线与方程
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(3)a，b，c三个量的关系：椭圆的标准方程中，a表示椭 圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记 忆．a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2.
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第二章 圆锥曲线与方程
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程导学案 新人教A版选修1-1(202
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椭圆及其标准方程1.了解椭圆的实际背景，从具体情境中抽象出椭圆的过程和其标准方程的推导与化简过程．2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形，会用待定系数法求椭圆的标准方程．重点:椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式．难点：椭圆标准方程的建立和推导．方法：合作探究一新知导学椭圆的定义1．我们已知平面内到两定点距离相等的点的轨迹为____________________，那么平面内到两定点距离的和（或差)等于常数的点的轨迹是什么呢？2．平面内与两个定点F1、F2的距离的________等于常数（大于|F1F2｜）的点的轨迹（或集合）,叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，__________间的距离叫做椭圆的焦距．当常数等于｜F1 F2|时轨迹为____________，当常数小于｜ F1 F2｜时，轨迹__________．牛刀小试11．已知F1、F2是两点,｜F1F2|＝8,1）动点M满足｜MF1｜＋|MF2｜＝10，则点M的轨迹是______________.2）动点M满足|MF1|＋｜MF2|＝8，则点M的轨迹是____________。
人教版高中数学选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》师用
选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》§2.1.1 椭圆及其标准方程【知识要点】● 椭圆的定义：到两个定点 F 1、F 2的距离之和等于定长（12FF >）的点的轨迹．● 标准方程：（1）()222210x y a b a b+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（－c ，0），F 2（c ，0）；（2）()222210y x a b a b+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（0，－c ），F 2（0，c ）．【例题精讲】【例 1】两个焦点坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10，写出椭圆的标准方程．【例 2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0，2）且过35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求椭圆的标准方程．点评：题（1）根据定义求．若将焦点改为(0，－4)、(0，4)其结果如何；题（2）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程．【例 3】判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出 a ，b ，c 的值．【例4】已知ΔABC 的一边BC 的长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．【基础达标】1．椭圆221259x y +=上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．102．椭圆2211312x y +=上任一点 P 到两个焦点的距离的和为（ ） A ．26 B ．24 C ．2 D ．2133．已知 F 1，F 2是椭圆221259x y +=的两个焦点，过 F 1的直线交椭圆于 M ，N 两点，则△MNF 2周长为（ ）A ．10B ．16C ．20D ．324．椭圆的两个焦点分别是F 1(－8，0)和F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点距离之和为 20，则此椭圆的 标准方程为（ ）A ．2212012x y += B ．22140036x y += C ．22110036x y += D ．22136100x y +=5．椭圆2214x y m +=的焦距是 2，则 m 的值为（ ） A ．5或 3 B ．8 C ．5 D ．166．椭圆221169x y +=的焦距是 ，焦点坐标为 ． 7．焦点为（0，4）和（0，－4），且过点()533，-的椭圆方程是 ．1～5 ADCCA【能力提高】8．如果方程 x 2+ky 2=2表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 k 的取值范围．9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4，b =3，焦点在x 轴； （2）a =5，c =2，焦点在y 轴上．10．求到定点（2，0）与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程．§2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）【知识要点】● 熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等简单几何性质． ● 掌握标准方程中a ，b ，c 的几何意义，以及a ，b ，c ，e 的相互关系． ● 理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法．【例题精讲】【例 1】已知椭圆的中心在坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且离心率为22，求椭圆的方程．【例 2】已知 x 轴上的一定点 A （1，0），Q 为椭圆2214x y +=上的动点，求 A Q 中点 M 的轨迹方程．【例 3】椭圆22110036x y +=上有一点 P ，它到椭圆的左焦点 F 1的距离为 8，求△PF 1F 2的面积．【例 4】设P 是椭圆()22211x y a a+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值．【基础达标】1．已知P 是椭圆22110036x y +=上的一点，若P 到椭圆右焦点的距离是345，则P 点到椭圆左焦点的距离是（ ） A ．165 B ．665 C ．758D ．778 2．若焦点在 x 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则 m =（ ）A ．3B ．32 C ．83 D ．233．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12，离心率为13，则椭圆的方程是（ ）A ．221144128x y += B ．2213620x y += C ．2213236x y += D ．2213632x y += 4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．若椭圆短轴长等于焦距的3倍，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．14 B ．22 C ．24D ．12 6．已知椭圆C 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆C 的离心率等于 ． 7．离心率12e =，一个焦点是 F （0，－3）的椭圆标准方程为 ．1～5 BBDDD【能力提高】8．求过点A（－1，－2）且与椭圆22169x y+=的两个焦点相同的椭圆标准方程．9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率23e=，短轴长为85，求椭圆的方程．10．设有一颗卫星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此卫星离地球相距m万千米和43m万千米时，经过地球和卫星的直线与椭圆的长轴夹角分别为2π和3π，求该卫星与地球的最近距离．§2.1.2 椭圆的简单几何性质（二）【知识要点】●掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质．●能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题．【例题精讲】【例 1】已知椭圆C 的焦点F 1()22,0-和F 2()22,0，长轴长6，设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．【例 2】椭圆的中心为点E （－1，0），它的一个焦点为F （－3，0），且椭圆的离心率255e =，求这个椭圆的方程．【例 3】已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点，求过点O 、F ，并且与直线l ：x =－2相切的圆的方程．【例 4】如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成 8等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则123++PF P F PF +45++P F P F67+P F P F = ．【基础达标】1．椭圆22110036x y +=上的点 P 到它的左焦点的距离是 12，那么点 P 到它的右焦点的距离是（ ） A ．15 B ．12 C ．10 D ．82．已知椭圆()2221525x y a a +=>的两个焦点为F 1、 F 2，且|F 1F 2|=8，弦 A B 过点 F 1，则△ A BF 2的周长为（ ）A ．10B ．20C ．241D ．4413．椭圆221259x y +=的焦点 F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知 P F 1⊥PF 2，则△ F 1PF 2的 面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．84．椭圆221164x y +=上的点到直线 x +2y 2-=0 的最大距离是（ ） A ．3 B ．11 C ．22 D ．105．如果椭圆221369x y +=的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A ． x －2 y =0 B ． x +2 y －4=0 C ． 2x +3y －12=0 D ． x +2 y －8=06．与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，3-）的椭圆的标准方程是 ． 7．离心率53e =，一个焦点的坐标为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程是 ． F1～5 DDBAD 【能力提高】8．已知椭圆22194x y+=上的点P到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，求P点坐标．9．过椭圆22194x y+=内一点D（1，0）引动弦A B，求弦A B的中点M的轨迹方程．10．椭圆221164x y+=上有两点P、Q，O是原点，若O P、OQ斜率之积为14-．求证22OP OQ+为定值．§2.2.1双曲线及其标准方程【知识要点】●掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程；●掌握双曲线标准方程的推导，会求动点轨迹方程；● 会按y 2特定条件求双曲线的标准方程； ● 理解双曲线与椭圆的联系与区别．【例题精讲】【例 1】判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量 a ，b ，c 的值．【例 2】已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点()13,42P -、29,54P ⎛⎫⎪⎝⎭在此双曲线上，求双曲线的标准方程．【例 3】点 A 位于双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上， F 1，F 2是它的两个焦点，求△AF 1F 2的重心G 的轨迹方程．【例 4】已知三点 P （5，2）、 F 1（－6，0）、 F 2（6，0）．（1）求以F 1、F 2为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；（2）设点 P 、F 1、F 2关于直线 y =x 的对称点分别为 P '、F 1'、F 2'，求以F 1'、F 2'为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．【基础达标】1．双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与 m 有关2．椭圆222+134x y n =和双曲线222116x y n -=有相同的焦点，则实数 n 的值是（ ） A ．±5 B ．±3 C ．5 D ．93．若0k a <<，双曲线22221x y a k b k -=-+与双曲线22221x y a b-=有（ ） A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴 C ．相同的渐近线 D ．相同的焦点4．过双曲线221169x y -=左焦点 F 1的弦 A B 长为 6，则 △ABF 2（F 2为右焦点）的周长是（ ） A ．28 B ．22 C ．14 D ．125．设F 1，F 2是双曲线2214x y -=的焦点，点 P 在双曲线上，且 ∠F 1PF 2=90°，则点 P 到x 轴的距离为（ ）A ．1B ．55C ．2D ．5 6．到两定点F 1（－3，0）、F 2（3，0）的距离之差的绝对值等于 6的点 M 的轨迹是 ．7．方程22+111x y k k=+-表示双曲线，则 k 的取值范围是 ．1～5 CBDAB【能力提高】8．求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点（32，2）的双曲线方程．9．如图，某农场在 P 处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路 P A 或 P B 送到庄稼地 A BCD 中去，已知 P A =100 m ，PB =150m ，∠APB =60°．能否在田地 A BCD 中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路 P A 送肥较近；而另一侧的点，沿道路 P B 送肥较近? 如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程．10．已知点()3,0A -和()3,0B，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为 2，点 C 的轨迹与直线 y =x －2 交于 D 、E 两点，求线段 D E 的长．§2.2.2 双曲线的简单几何性质（一）【知识要点】● 掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质． ● 掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念．【例题精讲】【例 1】求双曲线2214y x -=的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程．【例 2】求一条渐近线方程是 3x +4y =0，一个焦点是（4，0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．【例 3】求与双曲线221169x y -=共渐近线且过 A (33，－3)的双曲线的方程．【例 4】已知△ABC 的底边 B C 长为 12，且底边固定，顶点 A 是动点，使sin B －sin C =12sin A ，求点 A 的轨迹．【基础达标】1．下列方程中，以x ±2y =0为渐近线的双曲线方程是（ ）A ．221164x y -= B ．221416x y -= C ．2212x y -= D ．2212y x -= 2．已知双曲线的离心率为 2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= 3．过点（3，0）的直线 l 与双曲线 4x 2－9y 2=36只有一个公共点，则直线 l 共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条4．方程mx 2＋ny 2＋mn =0（m <n <0）所表示的曲线的焦点坐标是（ ）A ．()0m n ±-，B ．()0n m ±-，C ．()0m n ±-，D ．()0n m ±-，5．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点A (－3，23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）A．8 B．4 C．2 D．16．双曲线9y2－4x2=36的渐近线方程是．7．经过点M（3，－1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是．1～5 AACBC【能力提高】8．求一条渐近线方程是3x+4y=0，一个焦点是（5，0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．9．求以椭圆22+16416x y=的顶点为焦点，且一条渐近线的倾斜角为56π的双曲线方程．10．已知双曲线的方程是16x2－9y2=144．（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．§2.2.2 双曲线的简单几何性质（二）【例题精讲】【例 1】如果双曲线的两个焦点分别为F 1(－3，0)、F 2 (3，0)，一条渐近线方程为2y x =，那么它的离心率是（ ）A ．63B ．4C ．2D ．3【例 2】过双曲线221916x y -=的左焦点F 1，作倾斜角为=4πα的直线与双曲线交于两点A 、B ，求AB的长．【例 3】已知动点 P 与双曲线 x 2－y 2=1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且 c os ∠F 1PF 2的最小值为13-．求动点P 的轨迹方程．【例 4】已知不论 b 取何实数，直线 y =kx +b 与双曲线 x 2－2y 2=1总有公共点，试求实数 k 的取值范围．【基础达标】1．到两定点F 1(－3，0)、F 2 (3，0) 的距离之差的绝对值等于 6的点 M 的轨迹（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 4．双曲线的两个顶点将焦距三等分，则它的离心率为（ ） A ．32 B ．3 C ．43D ．3 5．已知 m ，n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y +n =0与 n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是（ ）A B C D6．双曲线22197x y -=的右焦点到右顶点的距离为 ． 7．与椭圆22+11625x y =有相同的焦点，且离心率为355的双曲线方程为 ． 1～5 DDCBC【能力提高】8．设双曲线()222210x y a b a b-=<<的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线lyox yox yox yox的距离为34c ，求此双曲线的离心率．9．求过点M (3，－1)且被点M 平分的双曲线2214x y -=的弦所在直线方程．10．设双曲线 C 1的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，A 、B 为其左、右两个顶点，P 是双曲线 C 1上的任意一点，引 Q B ⊥PB ，QA ⊥PA ，AQ 与 B Q 交于点 Q ，求 Q 点的轨迹方程．§2.3.1 抛物线及其标准方程【知识要点】● 掌握抛物线的定义．● 标准方程的不同形式及其推导过程．● 熟练画出抛物线的草图，求出抛物线的标准方程、焦点、准线方程．【例题精讲】【例 1】已知抛物线的标准方程是：（1）y 2=12x ，（2）y =12x 2，求它的焦点坐标和准线方程．【例2】求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（－5，0）；（2）经过点A（2，－3）【例3】直线y=x－3与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形A PQB的面积为（）A．48 B．56 C．64 D．72【例4】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段A B 的长．【基础达标】1．抛物线y 2=ax （a ≠0）的准线方程是 （ ） A ．4a x =-B ．4ax = C ．4a x =- D ．4a x = 2．抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在直线 3x －4y －12=0上，此抛物线的方程是（ ） A ．y 2=16x B ．y 2=12x C ．y 2=－16x D ．y 2=－12x 3．焦点在直线 3x －4y －12=0上的抛物线标准方程是（ ） A ．y 2=16x 或 x 2=16y B ．y 2=16x 或 x 2=12y C ．x 2=－12y 或 y 2=16x D ．x 2=16y 或 y 2=－12x4．已知 M （m ，4）是抛物线 x 2=ay 上的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |=5，则此抛物线的焦点坐标是（ ）A ．（0，－1）B ．（0，1）C ．（0，－2）D ．（0，2） 5．过抛物线 y 2=4x 的焦点 F 作倾斜角为34π的直线交抛物线于 A 、B 两点，则 A B 的长是（ ） A ．42 B ．4 C ．8 D ．26．顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P （4，2）的抛物线方程是 ． 7．平面上的动点P 到点 A （0，－2）的距离比到直线 l ：y =4的距离小 2，则动点P 的轨迹方程 是 ．1～5 AACBC【能力提高】8．点M 到点（0，8）的距离比它到直线 y =－7的距离大 1，求 M 点的轨迹方程．9．抛物线 y 2=16x 上的一点 P 到 x 轴的距离为 12，焦点为 F ，求｜PF ｜的值．10．抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥?§2.3.2 抛物线的简单几何性质（一）【知识要点】● 抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；● 能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；注意数与形的结合．【例题精讲】【例 1】已知抛物线关于x 轴为对称轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点()2,22M -，求它的标准方程．xy O【例2】过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以A B为直径的圆和这抛物线的准线相切．【例3】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px()0p>上，求这个正三角形的边长．【例４】抛物线x2=4y的焦点为F，过点（0，－1）作直线L交抛物线A、B两点，再以A F、BF为邻边作平行四边形F ARB，试求动点R的轨迹方程．【基础达标】1．过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，如果126x x +=，那么|AB | =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．42．顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P （4，2）的抛物线方程是（ ） A ．x 2=8y B ．x 2=4y C ．x 2=2y D ．x 2=12y 3．已知 M 为抛物线y 2=4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点 P （3，1），则MP MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知抛物线 y 2=－12x 上一点 P (x 0，y 0)到焦点的距离为 8，则 x 0的值为（ ） A ．－5 B ．5 C ．－4 D ．45．抛物线 y 2=8x 上一点 P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是（ ） A ．()2,4 B ．()2,4± C ．()1,22 D ．()1,22± 6．抛物线 2y 2＋5x =0 的准线方程是 ．7．过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、B 两点，若 A 、B 在准线上的射影是 A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于 ．1～5 BABAD【能力提高】8．抛物线顶点在原点，它的准线经过双曲线22221x y a b-=的一个焦点，并且这条准线与双曲线的实轴垂直，又抛物线与双曲线交于点362⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求二者的方程．9．顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15，求抛物线的方程．p>的焦点F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准10．设抛物线y2=2px()0线上，且B C∥轴．证明：直线AC经过原点O．§2.3.2 抛物线的简单几何性质（二）【例题精讲】【例１】过抛物线y2=2x的顶点作互相垂直的二弦O A、OB．（1）求A B中点的轨迹方程．（2）证明：AB与x轴的交点为定点．【例２】已知点 A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线 y 2=2px 上，△ABC 的重心与此抛 物线的焦点 F 重合．（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点 M 的坐标； （3）求 B C 所在直线的方程．【例 3】抛物线 y =－x 2上的点到直线 4x +3y －8=0距离的最小值是（ ）A ．43 B ．75 C ．85D ．3【基础达标】1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线 3x －4y －12=0时，则此抛物线的方 程是（ ）A ．y 2=16xB ．x 2=－12yC ．y 2=8x 或x 2=－6yD ． y 2=16x 或x 2=－12y 2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点()5,25-到焦点距离是6，则抛物线的方程为（ ） A ．y 2=－4x B 、y 2=－2x C 、 y 2=2x D 、 y 2=－4x 或x 2=－36y 3．在抛物线 y =x 2上有三点 A 、B 、C ，其横坐标分别为－1，2，3，在y 轴上有一点D 的纵坐标为 6，那么以 A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是（ ）A ．正方形B ．平行四边形C ．菱形D ．任意四边形4．抛物线 y 2=4x 的焦点F ，准线为l ，交 x 轴于 R ，过抛物线上一点 P （4，4）作 P Q ⊥ l 于Q ，则梯形 PFRQ 的面积是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 5．抛物线 y 2=－4x 关于直线 x +y =2对称的曲线的顶点坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（0，0）C ．（－2，－2）D ．（2，0） 6．若动点M （x ，y ）到点F （4，0）的距离比它到直线x +5=0的距离小1，则M 点的轨迹方程 是 ．7．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 ．1～5 DABBA【能力提高】8．经过抛物线 y 2=－8x 的焦点且和抛物线的对称轴成 60°角的直线与抛物线交 A 、B 两点，求|AB |．9．求过A（－1，1），且与抛物线y=x2+2有一个公共点的直线方程．10．已知抛物线C：y=x2+4x+72，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．若C在点M的法线的斜率为12-，求点M的坐标（x0，y0）．第二章圆锥曲线复习（一）【知识要点】●椭圆定义，椭圆的标准方程，椭圆的性质．●双曲线的定义，双曲线的标准方程及特点，双曲线的几何性质．●抛物线定义，抛物线的几何性质．【例题精讲】【例1】椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且这个焦点到长轴上较近顶点的距离是105-，求椭圆方程．【例 2】已知双曲线2214x y -=和定点12,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）过 P 点可以做几条直线与双曲线 C 只有一个公共点；（Ⅱ）双曲线C 的弦中，以 P 点为中点的弦 P 1P 2是否存在? 并说明理由．【例 3】已知点 A （0，2）及椭圆22+14x y =，在椭圆上求一点 P 使PA 的值最大．【例 4】己知点P 在抛物线 x 2=y 上运动，Q 点的坐标是（－1，2），O 是原点，OPQR （O 、P 、Q 、R顺序按逆时针）是平行四边形，求 R 点的轨迹方程．【基础达标】1．平面上到定点 A (1，1)和到定直线 l ：x +2 y =5距离相等的点的轨迹为（ ）A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆2．若椭圆2kx2＋ky2=1 的一个焦点坐标是（0，4），则k的值为（）A．18B．132C．2D．3163．椭圆22+1259x y=上的点M到焦点F1的距离是2，N是M F1的中点，则ON为（）A．4 B．2 C．8 D．3 24．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率为（）A．32B．62C．32D．25．椭圆22+1259x y=的两焦点F1，F2，过F2引直线L交椭圆于A、B两点，则△ABF1的周长为（）A．5 B．15 C．10 D．206．在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为．7．若椭圆的两个焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，椭圆的弦A B过点F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为．1～5 BBACD【能力提高】8．若双曲线的两条渐进线的夹角为60°，求该双曲线的离心率．9．正方形的一条边A B在直线y=x+4上，顶点C、D在抛物线y2=x上，求正方形的边长．10．若椭圆x2+4（y－a）2=4与抛物线x2=2y有公共点，求实数a的取值范围．第二章 圆锥曲线复习（二）【例题精讲】【例 1】已知直线 l 交椭圆22+12016x y =于 M 、N 两点，B （0，4）是椭圆的一个顶点，若△BMN 的重心恰是椭圆的右焦点，求直线 l 的方程．【例 2】已知倾斜角为4π的直线 l 被双曲线 x 2－4y 2=60截得的弦长82AB =，求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程．【例 3】已知直线l ：x =－1，点F （1，0），以F 为焦点，l 为准线的椭圆中，短轴一端点为B ，P为FB 的中点．（Ⅰ）求 P 点的轨迹方程，并说明它是什么曲线； （Ⅱ）M （m ，0）为定点，求｜PM ｜的最小值．【例 4】已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足2PA PB =，求点P 的轨迹所包围的图形的面积．【基础达标】1．已知 M （－2，0），N （2，0），4P M P N -=，则动点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支2．若圆 x 2+y 2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的13，则所得曲线的方程是（ ） A ．22+1412x y = B ．22+1436x y = C ．229+144x y = D ．22+1364x y = 3．已知 F 1，F 2是椭圆22+1169x y =的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于点A ，B ，若5AB =，则12AF BF -=（ ）A ．3B ．8C ．13D ．164．曲线()()22346225x y x y ---+-=的离心率为（ ） A ．110 B ．12C ．2D ．无法确定5．抛物线y2=14x 关于直线x－y=0对称的抛物线的焦点坐标是（）A．（1，0）B．116⎛⎫⎪⎝⎭，C．（0，1）D．116⎛⎫⎪⎝⎭，6．与椭圆4x2+ 9y2=36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为．7．以双曲线22145x y-=的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．1～5 C CABD 【能力提高】8．设F1，F2为双曲线2214xy-=的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积．9．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，求直线l的斜率的取值范围．10．设椭圆22+162x y=和双曲线2213xy-=的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，求cos∠F1PF2的值．。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程
答 案：(1) x2 y2 1 16
② a 4, c 15，焦点在Y轴上； (2) y2 x2 1
16
③a+b=10， c 2 5。
(3) x2 y2 1或 y2 x2 1
36 16
36 16
课堂小结：
1、椭圆的定义：我们把平面内与两个定点 F1, F2 的距
(1)取一条一定长的细绳 (2)把它的两端用图钉固定在纸板F1和F2上 (3)当绳长大于两图钉之间的距离时，用铅 笔尖把绳子拉直，使笔尖在纸板上慢慢移动， 画出一个图形
F1
F2
M M
F1 F1
F2 F2
问题5:
①. 在画图过程中，绳子长度变化了吗？
②. 在画椭圆的过程中，绳子长度与两定 点距离大小有怎样的关系？
(2)已知椭圆的方程为：x2 y2 1 ,则
45
F2
a=___5__，b=___2____，c=___1____， P
焦点坐标为：__(0_,-_1_)、__(_0_,1_) ，焦距
F1
等于___2______;
若曲线上一点P到一个焦点F1的距离为3， 则点P到另一个焦点F2的距离等于_2___5___3_，
则∆F1PF2的周长为___2__5___2___
|PF1|+|PF2|=2a
自我提升
（1）动点P到两个定点F1（- 4，0）、F2（4，0）的距离
之和为8，则P点的轨迹为
（ B）
A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2 D、不能确定
（2）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
①a=4，b=1，焦点在x轴上；
(-c,0F) 1
y M (x,y)
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程1数学教案
2．1.1 椭圆及其标准方程预习课本P32～36，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？2．椭圆的标准方程是什么？[新知初探]1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．[点睛] 定义中的条件2a>|F1F2|>0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；②当2a<|F1F2|时，其轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b2(1)几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴或y 轴上．(2)代数特征：方程右边为1，左边是关于x a 与yb的平方和，并且分母为不相等的正值.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆( )(2)已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为圆( )(3)方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)表示的曲线是椭圆( )答案：(1)× (2)√ (3)×2．若椭圆x 25＋y 2m＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案：C3．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案：D4．若椭圆的焦距为6，a －b ＝1，则椭圆的标准方程为________________．答案：x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1求椭圆的标准方程[典例](1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52；(3)椭圆的焦点在x 轴上，a ∶b ＝2∶1，c ＝ 6.[解] (1)椭圆的焦点在x 轴上，故设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝10，c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝9. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)椭圆的焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义，知2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝3102＋102＝210，∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1. (3)∵c ＝6，∴a 2－b 2＝c 2＝6.①又由a ∶b ＝2∶1，得a ＝2b ，代入①得4b 2－b 2＝6， ∴b 2＝2，∴a 2＝8.又∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴椭圆的标准方程为x 28＋y 22＝1.[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点． 解：(1)法一：(分类讨论法)若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以－52a2＋32b2＝1，即5a 2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 y 220＋x 24＝1. 椭圆的定义及其应用[典例] (1)已知椭圆的方程为x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．20C ．241D ．441(2)如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，则△PF 1F 2的面积为________．[解析] (1)∵a >5，∴椭圆的焦点在x 轴上．又c ＝4， ∴a 2－25＝42，∴a ＝41.由椭圆的定义知△ABF 2的周长＝|BA |＋|F 2B |＋|F 2A |＝|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 1|＋|AF 2|＝4a ＝441.(2)由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|.② 将②代入①解得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是335.[答案] (1)D (2)335[活学活用]1.如图所示，已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，则椭圆的标准方程为____________．解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，则由已知得c ＝1，|F 1F 2|＝2，所以4＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝12．已知椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝________.解析：由题意，得a 2＝9，∴a ＝3，c 2＝a 2－b 2＝9－2＝7，∴c ＝7，∴|F 1F 2|＝27.∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2. ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1||PF 2|＝42＋22－2722×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：120°与椭圆有关的轨迹问题[典例] (1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点，O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨迹方程为________．(2)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．[解析] (1)设P (x P ，y P )，Q (x ，y )，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x P2，y ＝yP2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝2x ，y P ＝2y ，又点P 在椭圆x 24＋y 28＝1上，所以2x24＋2y 28＝1，即x 2＋y 22＝1.答案：x 2＋y 22＝1(2)解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法求过点P (3,0)且与圆x 2＋6x ＋y 2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．解：圆方程配方整理得(x ＋3)2＋y 2＝102，圆心为C 1(－3，0)，半径为R ＝10.设所求动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧|PC |＝r ，|CC 1|＝R －r ，消去r 得R －|PC |＝|CC 1|⇒|PC |＋|CC 1|＝R ，即|PC |＋|CC 1|＝10.又P (3,0)，C 1(－3,0)，且|PC 1|＝6<10.可见C 点是以P ，C 1为两焦点的椭圆，且c ＝3,2a ＝10，所以a ＝5，从而b ＝4，故所求的动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.层级一 学业水平达标1．若椭圆x 225＋y 24＝1上一点P 到焦点F 1的距离为3，则点P 到另一焦点F 2的距离为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，因为|PF 1|＝3，所以|PF 2|＝7.2．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．5或3D ．8解析：选C 由题意得c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.当m >4时，m ＝4＋1＝5；当m <4时，4＝m ＋1，∴m ＝3.3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a >|AB |时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB |时，P 点轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2解析：选D 由a 2>a ＋6>0得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2.5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝ 3.∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9. 故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 6．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由直线AB 过椭圆的一个焦点F 1，知|AB |＝|F 1A |＋|F 1B |，∴在△F 2AB 中，|F 2A |＋|F 2B |＋|AB |＝4a ＝20，又|F 2A |＋|F 2B |＝12，∴|AB |＝8.答案：87．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________________．解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝18．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：如图，当P 在y 轴上时 △PF 1F 2的面积最大， ∴12×8b ＝12，∴b ＝3. 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. 答案：x 225＋y 29＝19．求符合下列条件的椭圆的标准方程．(1)过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫63，3和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫223，1； (2)过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点．解：(1)设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．∵椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫63，3和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫223，1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫632＋n ·32＝1，m ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2232＋n ·12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19.∴所求椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1.(2)由题意得已知椭圆x 29＋y 24＝1中a ＝3，b ＝2，且焦点在x 轴上，∴c 2＝9－4＝5.∴设所求椭圆方程为x 2a ′2＋y 2a ′2－5＝1.∵点(－3,2)在所求椭圆上，∴9a ′2＋4a ′2－5＝1.∴a ′2＝15或a ′2＝3(舍去)． ∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1. 10．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．解：(1)依题意，知c 2＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2，所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝3，故椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1.(2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4.又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－222×52×32＝35. 故∠F 1PF 2的余弦值等于35.层级二 应试能力达标1．下列说法中正确的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选C A 中，|F 1F 2|＝8，则平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A 错误；B 中，到F 1，F 2两点的距离之和等于6，小于|F 1F 2|，这样的轨迹不存在，所以B 错误；C 中，点M (5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为5＋42＋32＋5－42＋32＝410>|F 1F 2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D 中，轨迹应是线段F 1F 2的垂直平分线，所以D 错误．故选C.2．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1―→·PF 2―→＝0，则△F 1PF 2的面积为( ) A ．9 B ．12 C ．10D ．8解析：选A ∵PF 1―→·PF 2―→＝0，∴PF 1⊥PF 2.∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2且|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝64， ①|PF 1|＋|PF 2|＝10. ②②2－①，得2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18，∴△F 1PF 2的面积为S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝9.3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2B.⎝⎛⎦⎥⎤0，π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2解析：选A 易知sin α≠0，cos α≠0，方程x 2sin α＋y 2cosα＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.因为椭圆的焦点在y 轴上，所以1cos α>1sin α>0，即sin α>cos α>0.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α<π2.4．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心：且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.5．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________．解析：易知k ≠0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k＝1，所以1k－12k ＝16，解得k ＝132. 答案：1326．已知椭圆C ：x 29 ＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则 |AN |＋|BN |＝________.解析：取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.答案：127．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．解：法一：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，2c2＝52－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12.于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.法二：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1，F 2.由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3＋5＝8，所以a ＝4.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a ；在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a .依题意有b 2a＝3，得b 2＝12.于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.8. 如图在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)．Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解：如图，连接MA .由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |，故|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5.又A (1,0)，C (－1,0)，故点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1.。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程学案含解析新人教A版选修1
学习资料第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2。
1.1椭圆及其标准方程内容标准学科素养1。
了解椭圆标准方程的推导．2。
理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．3。
掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程。
利用直观想象发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第20页[基础认识]知识点一椭圆的定义错误!在现实生活中，我们经常看到香皂盒、浴盆、体育场的跑道，油罐车的横切面，橄榄球等，这些物品都给我们以椭圆形的印象,那么如何设计出这些椭圆形的物品呢？（1)取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个什么图形？提示：圆．（2）如果把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1,F2处，套上铅笔，拉紧绳子,移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？提示:椭圆．（3）在问题（2)中，移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？提示：把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离和等于常数．知识梳理把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．几点说明：(1)F1，F2是两个不同的定点．(2）M是椭圆上任意一点，且|MF1|＋|MF2|＝常数．(3)通常这个常数记为2a,焦距记为2c且2a〉2c.（4)如果2a＝2c，则M的轨迹是线段F1F2。
（5）如果2a〈2c，则点M的轨迹不存在．（由三角形的性质知）知识点二椭圆的标准方程错误!观察椭圆形状，你认为怎样建系才能使椭圆的方程简单？提示：椭圆是对称图形，以两焦点F1，F2所在直线为一条坐标轴,F1F2的中点为原点建立直角坐标系方程简单．知识梳理椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程错误!＋错误!＝1（a〉b>0）错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）焦点(－c,0)与(c，0)（0，－c）与（0，c）a,b，c的关系c2＝a2－b21．下列说法中，正确的是（）A．到点M（－3，0)，N(3,0）的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B．到点M(0，－3)，N（0，3）的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．到点M(－3,0)，N（3,0）的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆D．到点M（0，－3)，N（0，3)的距离相等的点的轨迹是椭圆答案：C2．若椭圆方程为错误!＋错误!＝1,则其焦点在________轴上，焦点坐标为____________．答案：x(－2，0)，(2，0）授课提示:对应学生用书第21页探究一求椭圆的标准方程[阅读教材P34例1］已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0），（2,0),并且经过点错误!，求它的标准方程．题型：待定系数法求椭圆的标准方程．方法步骤：①根据条件设出所求椭圆的标准方程．②根据已知条件建立a，b，c的方程(组）．③解出a，b的值即可得出椭圆的标准方程．[例1]根据下列条件，求椭圆的标准方程：（1)两个焦点的坐标分别为(－4，0)和（4,0），且椭圆经过点（5,0)；（2)焦点在y轴上，且经过两个点（0，2)和（1，0）．［解析](1）法一:因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为错误!＋错误!＝1（a〉b>0)．因为2a＝错误!＋错误!＝10,所以a＝5.又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，故所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1。
2.1.1椭圆及其标准方程
x2 2 1 2 a b
2
y2 x 2 ＋ ＝1. 169 144
类型二
椭圆的定义及其应用
【典例】(2015·济宁高二检测)如图所示,已知椭圆的方程为
x 2 y2 ＋ ＝1， 求△ 4 PF 3 1F2的面积.
若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,
【解题探究】本题中求△PF1F2的面积需要用哪个公式?椭圆可以提供 哪些条件?如何求解本题? 提示:求△PF1F2的面积需要用
|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos120°,
a 2 b2＝ 4 3
=1,|F1F2|=2c=2.
即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.①
由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, 即|PF2|=4-|PF1|.② 将②代入①解得|PF1|= .
【解析】由已知得a=2,b= 所以c=
3
,
在△PF1F2中,由余弦定理,得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos120°, 即4=|PF1|2+|PF2|2+|PF1|·|PF2|.
a 2 b2＝ 4 3
=1,|F1F2|=2c=2.
由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4,
提示:当距离之和等于|F1F2|时,动点的轨迹就是线段F1F2;当距离之和
小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在. (2)确定椭圆的方程需要知道哪些量? 提示:a,b的值及焦点所在的位置.
2.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=10,则动点M的轨
迹是
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§2.1.1 椭圆及其标准方程 典例剖析
题型一 椭圆的定义应用
例 1：
题型二 椭圆标准方程的求法 例 2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点 ( , ) ，求椭圆的标准方程
5 2
3 2
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备选题
例 3：设点 P 是圆 x 2 y 2 4 上的任一点，定点 D 的坐标为（8，0），若点 M 满足
x2 7．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 ＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆 3 的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是 ( ) （A）2 3 （B）6 （C）4 3 （D）12 9 8．设定点 F1（0，－3）、F2（0，3），动点 P 满足条件 PF1 PF2 a (a 0) ，则 a 点 P 的轨迹是（ ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 二 、填空题 9 方程
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7
5 2 3 2
2 ．若椭圆的两焦点为（－ 2 ， 0 ）和（ 2 ， 0 ），且椭圆过点 ( , ) ，则椭圆方程是 （
2
）
8 4
2 2 B． y x 1 10 6 2 2 C． y x 1 4 8
典例剖析
例 1：
评析： 点 P 在椭圆上这个条件的转化常有两种方法： 一是点 P 椭圆的定义， 二是点 P 满足椭圆的方程，应该认真领会椭圆定义 例 2：解法 1 因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为
x2 y2 1(a b 0) ， a 2 b2
由椭圆的定义可知： 2a ( 2） （
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B
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得 x x0 , y y0 2 8 x, y ，即 x0 3x 16 ， y0 3 y ．
2 2 因为点 P x0 , y0 在圆 x y 4 上，所以 x02 y02 4 ．即 3 x 16 3 y 4 ，
D
x2 y2 1 80 85
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2 2 4、椭圆 5x ky 5 的一个焦点坐标是 (0,2) ，那么 k
________
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椭圆的标准方程为（ A
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） B
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x 2 ( y 3) 2 10 ，
则 M 的轨迹方程是 三、解答题 12．将圆 x y 4 上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线
2 2
的方程，并说明它是什么曲线．
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13．
14．
x2 y2 2 1, 2 a b
线段 A1 A2 、 B1 B2 分别
叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b， (2).离心率： e
b2 c 1 2 0＜e＜1.e 越接近于 1 时，椭圆越扁；反之， a a
e 越接近于 0 时，椭圆就越接近于圆. (3)椭圆的焦半径：
PM 2MD ．当点 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹方程．
点击双基
1、．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为 4，短轴长为２，则椭圆方程是（ A. ）
x y y 2 1 D. x 2 1 4 4 2 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 18 ，一个焦点的坐标是（3，0），则
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x2 y2 1 D 16 25
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x2 y2 1 16 9
)
３.与椭圆 9x +4y =36 有相同焦点，且短轴长为 4 5 的椭圆方程是( A
x2 y2 1 25 20
B
x2 y2 1 20 25
C
x2 y2 1 20 45
x2 y2 y2 x2 1 1 （ a ＞ b ＞0） a2 b2 a2 b2
（3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小： 如果 x 2 项的分母大于 y 2 项的分母，则椭圆的焦点在 x 轴上，反之，焦点在 y 轴 上. 2、椭圆的简单几何性质（ a ＞ b ＞0）. （1）．椭圆的几何性质：设椭圆方程
x2 y2 1 ，将 a2 a2 4
解法 2 c 2,b2 a2 c2 a2 4 ，所以可设所求的方程为
点 ( , ) 代人解得： a 10 评析
5 2
3 2
所以所求的标准方程为
x2 y 2 1 10 6
求椭圆的标准方程总结有两种方法：其一是由定义求出长轴与短轴长，根据条
x2 y2 1 表示焦点在 y 轴的椭圆时，实数 m 的取值范围是_______ | m | 1 2
2 2
10．与椭圆 4 x + 9 y = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为________．
2 2 11、如果 M(x,y)在运动过程中，总满足关系式 x ( y 3)
2 2
4 16 即 x y 2 ，这就是动点 M 的轨迹方程． 3 9
评析
2 2
2
本题中的点 M 与点 P 相关，我们得到 x0 3x 16 ， y0 3 y 是关键，利用点 P
件写出方程； 其二是先确定标准方程的类型， 并将其用有关参数 a , b 表示出来然后结合条件 建立 a , b 所满足的等式，求得 a , b 的值，再代人方程 例 3： 解 设点 M 的坐标为 x, y ，点 P 的坐标为 x0 , y0 ，由 PM 2MD ，
2 2 D． x y 1
2 A． y x 1
10
6
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2 2
3．若方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围为 （ ） A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1） 4．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 18 ，焦距为 6 ，则椭圆的方程为 （ ） A．
x2 y2 1 9 16
B．
x2 y2 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ25 16
C．
x2 y2 x2 y2 1或 1 D．以上 25 16 16 25
都不对 5．椭圆的两个焦点是 F1(－1, 0), F2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的 等差中项，则该椭圆方程是（ ）。 A
y2 x2 ＋ ＝1 16 9
B
y2 x2 ＋ ＝1 16 12
C
y2 y2 x2 x2 ＋ ＝1 D ＋ ＝1 4 3 3 4
） D、 0, n m
6、椭圆 mx2 ny2 mn 0(m n 0) 的焦点坐标为（ A、 0, m n
B、 0, m n
C、 0, n m
B. C.
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x y 1 4 3
2
2
x y 1 3 4
2
2
2
2
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课外作业
一、选择题
x2 y2 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ，则 P 到另一焦点距 1．已知椭圆 25 16
离为（ ） A 2
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第二章
知识体系总览
圆锥曲线与方程
圆锥曲线 的轨迹定义
圆锥曲线的几何特征（2.1.1 阅 读材料）
圆锥曲线的截取 （章导言）
坐标法
圆锥曲线 的标准方程
曲线的 几何性质
曲线的 模型应用
§2.1 椭圆
知识梳理 1、椭圆及其标准方程 （1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点 F1 、 F2 的距离的 和大于| F1 F2 |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于| F1 F2 |，则这样的点不 存在；若距离之和等于| F1 F2 |，则动点的轨迹是线段 F1 F2 . （2）.椭圆的标准方程：
MF1 a ex ， MF2 a ex . a 2 = b 2 + c 2
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x2 y2 1(a b 0) 的 内 部 a 2 b2
(4). 椭 圆 的 的 内 外 部 点 P( x0 , y0 ) 在 椭 圆
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C
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