1.31函数单调性最值学生版
高一数学 必修一1.3.1函数单调性与最大(小)值
o
增函数 x 在 - ∞， b - 2a 减函数
课堂小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利 根据图象判断， 根据图象判断 用定义证明． 用定义证明．求函数的单调区间时必须要先求函 必须要先求函 数的定义域,单调区间是定义域的子集. 数的定义域,单调区间是定义域的子集.
单调性的证明一般分五步： 单调性的证明一般分五步：
例1下图是定义在区间 ，5]上的函数 下图是定义在区间[-5， 上的函数 下图是定义在区间 y=f(x)，根据图象说出函数的单调区 ， 以及在每个区间上， 间，以及在每个区间上，它是增函数 还是减函数？ 还是减函数？
解：函数y=f(x)的单调区间有 函数 的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
函数单调性定义： 函数单调性定义： 设函数的定义域为I： 设函数的定义域为 ： 对于定义域 内 上的任意 对于定义域I内某个区间 D上的任意两个自 定义域 上的任意两个自 变量的值 x1 , x 2 ，当 x1 < x 2 时，都 那么就说函数在区间D 有 f ( x1 ) > f ( x 2 ) ，那么就说函数在区间 函数. 上是减 函数
∴p(V ) − p(V2 ) > 0 1 即 p(V2 ) > p(V ) 1
就是说，当体积V减少时，压强p将增大.
k ) 所以，函数 p = V ,V ∈(0,+∞是减函数.也 结论
判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间 上的单 在给定的区间D上的单 利用定义证明函数 在给定的区间 调性的一般步骤： 调性的一般步骤： 1 任取 1，x2∈D，且x1<x2； 任取x ， 2 作差 1)－f(x2)； 作差f(x － ； 3 变形（通常是因式分解和配方）； 变形（通常是因式分解和配方） 4 定号（即论证 1)－f(x2)的正负）； 定号（ 论证f(x － 的正负） 的正负 5 下结论 （ 即指出函数 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间 上的 在给定的区间D上的 在给定的区间 单调性） 单调性）．
高中数学 北师大必修一 1.3.1函数的单调性和最大小值
设函数y=f(x)的定上 如果对于属于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调
（1）求证f(x)＝x＋ 1 在(0,1]上是减函数 x
，在[1,+∞)上是增函数。
（2）判断函数 f(x)=x3的单调性并证明。
函数，D称为f(x)的单调增 区间.
减函数，D称为f(x)的单调 减 区间.
单调区间
注意： ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质， 是函数的局部性质；
②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；
③函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接 说某函数是增函数或减函数。
下列说法是否正确？请画图说明理由。
y
f (x)
f (x1 ) f (x2 )
x1
x2 x
图5
⑶几何特征：在自变量取值区间上，若单调 函数的图象上升，则为增函数，图象下降则 为减函数.
1：一次函数 y kx b(的k 单 调0)性，单调区间：
2：二次函数 y ax2 bx c(a 的0单) 调性，单调
区间：
（二）典型例题
N
f(x2)
？
对区间D内 任意 x1，x2 ，
M
f(x1) O
I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
y
图象在区间D逐渐上升
区间D内随着x的增大，y也增大
N
高一数学 1.3.1 单调性与最大(小)值 新人教A版必修1
• 5．求证f(x)＝x2－2x在区间(1，＋∞)上是增函数．
• 证明：设x1，x2是区间(1，＋∞)上的任意两个值，且x1<x2，则 • f(x1)＝x12－2x1，f(x2)＝x22－2x2， • f(x2)－f(x1)＝x22－2x2－x12＋2x1 • ＝x22－x12－2x2＋2x1 • ＝(x2－x1)(x2＋x1)－2(x2－x1) • ＝(x2－x1)(x2＋x1－2)．
• A．是增函数
B．是减函数
• C．是增函数又是减函数 D．不具有单调
性
答案：D
图4
• 3．函数y＝f(x)的图象如图4所示，其增区间 是( )
• A．[－4,4] • B．[－4，－3]∪[1,4] • C．[－3,1] • D．[－3,4] • 答案：C
• 4．函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则 f(－3)与f(2)的大小关系是________．
[解] (1)函数y＝2x－1的单调增区间是(－∞，＋ ∞)；
(2)函数的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)； (3)由于函数y＝x2－2x－3的对称轴方程是x＝1， 并且开口向上，所以其单调减区间是(－∞，1]，单调 增区间是(1，＋∞)．
(4)∵f(x)＝3|x|＝－3x， 3x，
x≥0， x<0.
图5
[点评]
f(x)＝x＋
1 x
是很重要的函数，其
图象如图5所示，从图象知函数f(x)＝x＋
1 x
的
单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单
调递减区间是[－1,0)，(0,1]，记住其图象及单
调区间会给今后的学习带来益处．
变式体验1 证明f(x)＝－ x 在定义域上 是减函数．
高一数学 1.3.1 单调性与最大 新小值第一课时课件 新人教A版必修1
(2)这个区间也可以是定义域的真子集，如y＝x2 在定义域(－∞，＋∞)不具备单调性，但在(－∞，0] 是减函数，在[0，＋∞)是增函数．
(3) 有 的 函 数 不 具 备 单 调 性 ， 如 函 数 y ＝
1，x为有理数 0，x为无理数.
它的定义域为 R，但不具备单调性；
(4)单调区间，必须是一个区间，不能是两个区间的并，
1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值
第1课时 函数的单调性
1．理解单调性的定义． 2．运用单调性的定义判断函数的单调性．
自学导引
1．定义域为I的函数f(x)的增减性：
自主探究
2．如果函数y＝f(x)在区间D上是_增__函__数__或 _减__函__数__ ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有 _(严__格__的__)_单__调__性__ ，区间D叫做y＝f(x)的_单__调__区__间_ ．
＋∞)，但函数 y＝1x在(0，＋∞)上是减函数，却不能
写成在[0，＋∞)上是减函数．
5．求函数的单调区间，就是求函数保持同一单 调性不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的最大区间．
二、函数单调性的判断与证明 1．函数单调性的判断方法有三种：一是依据单 调性的定义；二是依据函数的图象；三是依据已知 函数的单调性判断．如已学过的一次函数、二次函 数、反比例函数的单调性情况． 2．函数单调性的证明方法： 依据定义进行证明．其步骤如下： ①取值：即设x1，x2是该区间上的任意两个值， 且x1<x2；
3．判断(证明)函数的单调性 判断(证明)函数单调性的步骤
自主探究
1．在增、减函数定义中，能否把“任意”两字去 掉？
答：不能．如图所示
虽然f(－1)<f(2)，但f(x)在[－1,2]上并不递增．
1.3.1 单调性与最大（小）值（第3课时）
解：由二次函数的知识， 116.1 2 2 h t 4.9t 14.7t 18 4.9( t 1.5) 4 14.7 由图象可得：当t 1.5时，函数有最大值为 2 ( 4.9)
y
O
p q
y
p O
q
三、例题讲解 单调函数在闭区间上的最值必在端点处取得
2 例4 判断函数f ( x ) x 2, 6 的单调性，求最值 . x 1
解：任取x1，x2 [2,6]，且x1 <x2，
2(x2 x1 ) 2 2 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 1 x2 1 (x1 1)(x2 1)
1.3.1 单调性与最大（小）值 （第3课时）
复习回顾
1、增函数/减函数:
如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 自变量的值 x1，x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)< f(x2)， 那么就说 f(x) 在区间D上是增函数. 2、最大值/最小值
一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果存在实数M 满足: (1)对于任意的 x∈I，都有 f(x) ≤M； (2)存在 x0∈I，使得 f(x0)=M . 那么，我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值。
求二次函数在区间[a , b]上的最值步骤 : (1)判断开口方向； ( 2)判断区间与对称轴位置关系；
O 1 2
x
(3)找出最值点.( 4)不单调时，应判断区间两端点到对称轴距离的大小关系
归纳：
y
p q O
2019A新高中数学必修第一册：1.3.1 函数的单调性与最大(最小)值(第2课时)
是 30 m, 那么宽 x (单位: m) 为多少才能使所建造的 熊猫居室面积最大? 熊猫居室的最大面积是多少?
解: 由图得每个
熊猫居室的长为
(30-3x)÷2
x
=15-1.5x,
∴面积 S = (15-1.5x)x
= -1.5x215x, (0<x<10).
根据二次函数的性质,
当
x
=
-
b 2a
时,
123456 x
则 x=2 时取得 最大值 f(2) = 2;
则
(
2(x2 - x1) x1 -1)(x2 -1)
0,
f(x1)>f(x2),
∴ 函数
y=
2 x-1
是[2,
6]上的减函数,
x=6 时取得 最小值 f(6) = 0.4.
练习: (课本32页) 第 5 题. 习题 1.3 A组
第 5 题.
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值(第一课时) 1.3.1 单调性与最大(小)值(第二课时) 1.3.2 奇偶性 复习与提高
1.3.1 单调性与最大(小)值
第二课时 函数的最大(小)值
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1. 什么是函数的最大值和最小值? 2. 怎样求函数的最大值和最小值?
问题2. 画出函数 f(x)=x2 的图象, 观察图象, 是否
练习: (课本32页)
5. 设 f(x) 是定义在区间 [-6, 11] 上的函数, 如果 f(x) 在区间 [-6, -2] 上递减, 在区间 [-2, 11] 上递增, 画出 f(x) 的一个大致的图象, 从图象上可以发现 f(-2) 是函数 f(x) 的一个 最小值 .
解: 函数在 [-6, -2] 上递减, y
1.3.1单调性与最值
1.若函数f (x) (2a 4)x b是R上的减函数,则(Ｄ)
A.a 2 B.a 2 C.a＞2 D.a＜2
2.(1)若函数f(x)=x2+2x-3在区间(-∞,m]上是减函数,
则实数m的取值范围是 m 1；
(2)若函数f(x)=-x2+ax+2在区间(-∞,4］上是增函数,
例1：如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象， 根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间 上， y=f(x)是增函数还是减函数。
答：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1), [1,3), [3,5], 其中 y=f(x)在区间[-5, -2), [1,3)上是减函数， 在区间[-2,1), [3, 5]上是增函数。 注：两个单调区间中间用逗号隔开或加一个“和”字， 不能用并集符号．
则实数a的取值范围是0 a 5
回顾：
证明f(x)在区间D上的
单调性的一般步骤：
1.任取x1，x2∈D， 且x1<x2；
2.f(x1)－f(x2)； 3. 判断f(x1)－f(x2) 的正负; 4、由f(x1)和f(x2)的 大小确定其增减性．
类型3 证明（判断）函数的单调性
例2:物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告述我们, 对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试用函 数的单调性证明之.
x1 x2 O
f ( x1) f ( x2 )
x1 x2 x
2、单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义
域I内某个区间D上的任意两个自变量x1, x2,， 当x1<x2 定 时, 都 有
人教版高中数学必修一：1.3.1单调性与最值(三)教学设计(三)
高一数学教学设计检查结果及修改意见：合格[ ] 不合格[ ]组长（签字）：检查日期：年月日精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
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1.3.1 单调性与最大（小）值
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．设函数
()()32f x a x b =++是R 上的减函数，则有（） A.32a < B.32a > C.32a <- D.32
a >- 2．函数f （x ）在[－4，4]上的图象如图所示，则此函数的最小值，最大值分别是（）
A ．f （－4），0
B ．0，4
C ．f （－4），4
D ．f （4），4
3．函数y ＝－3x 2＋6x －2的单调递减区间是（）
A ．（－∞，1]
B ．[1，＋∞）
C ．（－∞，2]
D ．[2，＋∞）
4．下列函数
()x f 中，满足“对任意()+∞∈,0,21x x ，当21x x <时，都有()()12f x f x <”的是（）
A.()()21-=x x f
B.()x
x f 1= C.()1+=x x f D.()1-=x x f 5．函数y ＝f （x ）在R 上为减函数，且f （3a ）＜f （－2a ＋10），则实数a 的取值范围是（）
A ．（－∞，－2）
B ．（0，＋∞）
C ．（2，＋∞）
D ．（－∞，－2）∪（2，＋∞）
6．已知函数y ＝−mx 和y ＝n x
在（0，＋∞）上都是增函数，则函数f （x ）＝mx ＋n 在R 上是（）
A ．减函数且f （0）＜0
B ．增函数且f （0）＜0
C ．减函数且f （0）＞0
D ．增函数且f （0）＞0
7．若函数f （x ）＝23,1,21,
1x ax a x ax x ⎧-+-≥⎨+<⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．（12-，0）B ．[12
-，0） C ．（－∞，2]D ．（－∞，0）
8．已知f（x）是定义在R上的增函数，且f（x+5）＜f（3－x），则x的取值范围为__________．9．对于函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a∈R，且a≠0），在使f（x）≥M成立的所有实数M 中，我们把M的最大值M max叫做函数f（x）＝ax2＋bx＋c的下确界，则f（x）=x2－4x ＋6的下确界为________．
10．某超市将进货单价为10元的商品按12元一件的价格出售时，每天可销售80件，现在准备采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，当该商品利润最大时，售价应定为________元.
11．已知二次函数f（x）＝ax2＋4ax＋1在区间[－4，3]上的最大值为5，求a的值．
12．已知f（x）＝
2x
x a
-
（x≠a）．
（1）若a＝2，试证f（x）在（－∞，2）上单调递减；
（2）若0
a>且f（x）在（1，＋∞）上单调递减，求a的取值范围．
13．要建造一个容积为1600立方米，深为4米的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为每平方米200元，池底的造价为每平方米100元．
（1）把总造价y元表示为池底的一边长x米的函数；
（2）由于场地原因，蓄水池的一边长不能超过20米，问蓄水池的这个底边长为多少时总造价最低？总造价最低是多少？。