直接证明与间接证明导学案
直接证明和间接证明课程教案
直接证明和间接证明课程教案第一章：引言1.1 课程目标本课程旨在帮助学生理解直接证明和间接证明的基本概念，掌握它们的应用方法，并能够灵活运用这两种证明方式解决实际问题。
1.2 课程内容本章将介绍直接证明和间接证明的定义、分类和基本方法。
1.3 教学方法采用讲授、案例分析、小组讨论等多种教学方法，帮助学生理解和掌握相关概念和方法。
第二章：直接证明2.1 定义和分类2.1.1 直接证明的定义直接证明是通过逻辑推理，直接从已知事实或前提出发，推导出要证明的结论。
2.1.2 直接证明的分类（1）直接逻辑推理：根据已知事实或前提，直接推导出结论。
（2）数学归纳法：先证明基本情况，再证明归纳步骤。
2.2 基本方法2.2.1 演绎法从一般到特殊的证明方法，即从一般原理推导出特殊情况下的结论。
2.2.2 归纳法从特殊到一般的证明方法，即先证明特殊情况，再推导出一般结论。
第三章：间接证明3.1 定义和分类3.1.1 间接证明的定义间接证明是通过证明相反命题的假性，从而证明原命题的真性。
3.1.2 间接证明的分类（1）反证法：假设相反命题为真，通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题为真。
（2）归谬法：假设相反命题为真，推导出明显错误的结论，从而证明原命题为真。
3.2 基本方法3.2.1 反证法假设相反命题为真，通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题为真。
3.2.2 归谬法假设相反命题为真，推导出明显错误的结论，从而证明原命题为真。
第四章：证明的辅助方法4.1 数学归纳法数学归纳法是一种包含直接证明和间接证明的方法，先证明基本情况，再证明归纳步骤。
4.2 逆否命题法将原命题的逆否命题作为证明对象，先证明逆否命题，再根据逆否命题与原命题的等价性得出原命题的证明。
第五章：练习与案例分析5.1 练习题设计一些有关直接证明和间接证明的练习题，帮助学生巩固所学内容。
5.2 案例分析分析一些实际案例，让学生运用直接证明和间接证明的方法解决问题。
22直接证明与间接证明教学设计教案
教学准备1. 教学目标一. 知识及技能目标（1）了解直接证明的两种基本方法: 综合法和分析法.（2）了解综合法和分析法的思维过程和特点.二. 过程及方法目标（1）通过对实例的分析、归纳及总结, 增强学生的理性思维能力.（2）通过实际演练, 使学生体会证明的必要性, 并增强他们分析问题、解决问题的能力．三. 情感、态度及价值观通过本节课的学习, 了解直接证明的两种基本方法, 感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用, 养成言之有理、论之有据的好习惯, 提高学生的思维能力．2. 教学重点/难点教学重点: 综合法和分析法的思维过程及特点。
教学难点: 综合法和分析法的应用。
3. 教学用具多媒体、板书4. 标签教学过程一、复习引入【师】证明对我们来说并不陌生, 我们在上一节学习的合情推理, 所得的结论的正确性就是要证明的, 并且我们在以前的学习中, 积累了较多的证明数学问题的经验, 但这些经验是零散的、不系统的, 这一节我们将通过熟悉的数学实例, 对证明数学问题的方法形成较完整的认识。
合情推理分为归纳推理和类比推理, 所得的结论的正确性是要证明的, 数学中的两大基本证明方法——直接证明及间接证明。
今天我们先学习直接证明。
二、新知探究（一）知识点一:综合法1.引例探究证明下列问题: 已知a,b>0,求证: /问题1: 其左右两边的结构有什么特点？【生】右边是3个数a, b, c的乘积的4倍, 左边为两项之和, 其中每一项都是一个数及另两个数的平方和之积.问题2: 利用哪个知识点可以沟通两个数的平方和及这两个数的积的不等关系？【生】基本不等式问题3: 步骤上应该怎么处理？【解答过程】问题4: 讨论上述证明形式有什么特点？【生】充分讨论, 思考, 找出以上问题的证明方法的特点2.形成概念。
直接证明和间接证明(4个课时)课程教案
2．2直接证明与间接证明教学目标：（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；（2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式；（3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法；（4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议：1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用）2．重点、难点分析重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；②综合性问题证明方法的选择．（1）不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立．（2）比较法证明不等式的分析①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法．②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法．由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件．③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”．其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的．变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式．③综合法证明不等式的逻辑关系是：（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法．有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据．②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式．它与综合法是对立统一的两种方法．③用分析法证明不等式的逻辑关系是：（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要条件）<==（结论）④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.（5）关于分析法与综合法关系①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法．②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，逐步地推导，最后达到题设的已知条件．即推理方向是：结论已知.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已知结论．③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件．综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件．④一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，用分析法来书写比较麻烦．因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．第一课时不等式的证明（比较法）教学目标1．掌握证明不等式的方法——比较法；2．熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤．教学重点: 比较法的意义和基本步骤.教学难点: 常见的变形技巧.教学方法；启发引导法.教学过程：（－）导入新课教师提问：根据前一节学过（不等式的性质）的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小？找学生回答问题．（学生回答：，，，）［点评］要比较两个实数与的大小，只要考察与的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法．现在我们就来学习：用比较法证明不等式．目的：通过教师设置问题，引导学生回忆所学的知识，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的知识．（二）新课讲授【尝试探索，建立新知】作差比较法[问题] 求证教师引导学生分析、思考，研究不等式的证明．学生研究证明不等式，尝试完成问题．［本问点评］①通过确定差的符号，证明不等式的成立．这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过．②通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化．③理论依据是：④由，，知：要证明只需证；需证明这种证明不等式的方法通常叫做比较法．目的：帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系，培养学生化归的数学思想．【例题示范，学会应用】教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评．例1．求证［分析］由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得，将此式看作关于的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证．证明：∵＝＝，∴．［本例点评］①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号;②作差后，式子符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定;③不等式两边的差的符号是正是负，一般需要利用不等式的性质经过变形后，才能判断;④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法．例2 . 已知都是正数，并且，求证：［分析］这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证．证明：＝＝．因为都是正数，且，所以．∴．即：[本例点评]①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——通分法;3322例、已知都是实数且求证≠+>+a b a b a b a b ab3,,,33223223:()()()()a b a b ab a a b ab b +-+=---证明2222()()()()a a b b a b a b a b =---=--2()()a b a b =+-,0,0a b a b >∴+>2()0a b a b ≠∴->又23322()()0()()0a b a b a b a b ab +->+-+>故即3322a b a b ab ∴+>+[本例点评]①作差后是通过分组，提取公因式对差式进行恒等变形，化成n 个括号相乘的形式，从而推出差的符号;②本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法——分组，提取公因式法;求商比较法：1 ,,,,.a b b a a b a b a b a b ≥=例已知是正数求证当且仅当时等号成立:a ba b a b b a b a a b a a b a b b ---⎛⎫== ⎪⎝⎭证明(,,)0,1,0,1,.a ba b a a a b a b b b a b -⎛⎫≥>≥-≥∴≥ ⎪⎝⎭=根据要证的不等式的特点交换的位置不等式不变不妨设则当且仅当时等号成立,,.a b b a a b a b a b ∴≥=当且仅当时等号成立小结：作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（最后是与1比较）(三)课堂练习教师指定练习题，要求学生独立思考．完成练习；请甲、乙两学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定和鼓励，对偏差点拨和纠正；点评练习中存在的问题． 练习：1．求证2．已知 ， ， ，d 都是正数，且，求证目的:掌握用比较法证明不等式，并会灵活运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号．反馈课堂教学效果，调节课堂教学． （四）布置作业2、已知：a ，b ∈R ＋．求证：a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 32211xx ≤+3、求证： ．7341(0)q q q q +≥+>4、求证：2,()a ba bR a b ab ++∈≥5、设a,b 求证：第二课时综合法●教学目标(一)教学知识点综合法证明不等式.(二)能力训练要求1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式.(三)德育渗透目标掌握综合法、分析法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A(已知)⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有:(1)a2≥0或(a±b)2≥0.(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab即a2+b2≥2|ab|.(3)ab ba ≥+2,对a >0,b >0,当且仅当a =b 时取“=”号. (4)当a ,b 同号时有abb a +≥2,当且仅当a =b 时取“=”号.(5)33abc c b a ≥++ (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号.(6)a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号. ●教学难点“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点. ●教学过程 1.课题导入［师］同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理，阅读投影片§6.3.3 A)我们要掌握下面重要的不等关系: (1)a 2≥0,或(a ±b )2≥0;(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab ,即a 2+b 2≥2|ab |; (3)ab ba ≥+2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号; (4)ab ≤222b a +,(a ,b ∈R );ab ≤(2ab )2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号;(5)abb a +≥2,(ab >0),当且仅当a =b 时取“=”号； （6）33abc c b a ≥++,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号； （7)a 3+b 3+c 3≥3abc ,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号.今天，我们在上一节课学习“比较法”证明不等式的基础上，继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.2.讲授新课一般地，从已知条件出发，利用定义、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法。
22直接证明与间接证明教学设计教案
22直接证明与间接证明教学设计教案第一章：直接证明与间接证明的概念介绍1.1 直接证明的概念1.2 间接证明的概念1.3 直接证明与间接证明的区别与联系第二章：直接证明的方法与技巧2.1 综合法2.2 分析法2.3 穷举法2.4 反证法第三章：间接证明的方法与技巧3.1 反证法3.2 归谬法3.3 举例法3.4 类比法第四章：直接证明与间接证明的应用实例4.1 几何证明实例4.2 代数证明实例4.3 数列证明实例4.4 函数证明实例第五章：总结与练习5.1 直接证明与间接证明的总结5.2 相关练习题及解答第六章：综合性练习与拓展6.1 综合性练习题及解答6.2 证明方法的拓展与应用6.3 证明题目的设计与分析第七章：数学竞赛中的直接证明与间接证明7.1 数学竞赛中直接证明的问题类型7.2 数学竞赛中间接证明的问题类型7.3 数学竞赛证明题目的解题策略第八章：直接证明与间接证明在实际问题中的应用8.1 直接证明在实际问题中的应用案例8.2 间接证明在实际问题中的应用案例8.3 直接证明与间接证明在科学研究中的应用第九章：数学史中的直接证明与间接证明9.1 古代数学家与直接证明9.2 古代数学家与间接证明9.3 直接证明与间接证明在数学发展史中的重要性第十章：总结与复习10.1 直接证明与间接证明的回顾与总结10.2 重点知识点梳理10.3 复习题及解答重点和难点解析重点环节一：直接证明与间接证明的概念介绍直接证明与间接证明的概念是理解整个教学内容的基础，对于学生来说是一个关键的认知节点。
需要通过丰富的实例和生活中的比喻，帮助他们建立起清晰的概念框架。
重点环节二：直接证明的方法与技巧综合法、分析法、穷举法和反证法是直接证明的主要方法，这些方法的掌握对于学生解决实际证明问题至关重要。
应通过详细的案例分析和练习，使学生能够熟练运用这些方法。
重点环节三：间接证明的方法与技巧反证法、归谬法、举例法和类比法是间接证明的重要手段，它们各有特点和适用场景。
22直接证明与间接证明教学设计教案
22直接证明与间接证明教学设计教案第一章：直接证明与间接证明的概念介绍1.1 直接证明与间接证明的定义1.2 直接证明与间接证明的区别与联系1.3 直接证明与间接证明在数学证明中的应用场景第二章：直接证明的基本方法2.1 综合法2.2 演绎法2.3 归纳法2.4 实例分析：运用直接证明方法证明数学定理第三章：间接证明的基本方法3.1 反证法3.2 归谬法3.3 实例分析：运用间接证明方法证明数学定理第四章：直接证明与间接证明的综合运用4.1 直接证明与间接证明的结合运用4.2 实例分析：运用直接证明与间接证明的综合方法证明数学定理4.3 运用策略：选择合适的证明方法第五章：证明题的类型与解题技巧5.1 证明题的常见类型5.2 解题技巧与策略5.3 实例分析：解决数学证明题的方法与步骤第六章：证明题的练习与解析6.1 练习题设计与布置6.2 学生练习题解答的注意事项6.3 实例分析：证明题的练习与解析第七章：直接证明与间接证明在几何证明中的应用7.1 几何证明中直接证明与间接证明的策略7.2 几何证明题型的特点与解题方法7.3 实例分析：几何证明题的直接证明与间接证明第八章：直接证明与间接证明在代数证明中的应用8.1 代数证明中直接证明与间接证明的策略8.2 代数证明题型的特点与解题方法8.3 实例分析：代数证明题的直接证明与间接证明第九章：直接证明与间接证明在数论证明中的应用9.1 数论证明中直接证明与间接证明的策略9.2 数论证明题型的特点与解题方法9.3 实例分析：数论证明题的直接证明与间接证明第十章：证明方法的创新与拓展10.1 创新证明方法的探索与实践10.2 拓展证明思路与技巧10.3 实例分析：创新证明方法在解决数学问题中的应用第十一章：证明过程的逻辑性与严密性11.1 证明过程中的逻辑推理11.2 证明的严密性与完整性11.3 实例分析：评估证明过程的逻辑性与严密性第十二章：证明题的评讲与反馈12.1 证明题评讲的目的与方法12.2 学生证明题解答的常见问题分析12.3 实例分析：证明题的评讲与反馈第十三章：数学竞赛中的直接证明与间接证明13.1 数学竞赛证明题的特点13.2 数学竞赛中直接证明与间接证明的策略13.3 实例分析：数学竞赛证明题的解答方法第十四章：数学研究中的直接证明与间接证明14.1 数学研究中证明方法的应用14.2 数学研究中的创新证明方法14.3 实例分析：数学研究中的直接证明与间接证明第十五章：总结与反思15.1 直接证明与间接证明教学的收获与反思15.2 学生证明能力的培养与提高15.3 实例分析：教学实践中的成功案例与改进方向重点和难点解析本文主要介绍了直接证明与间接证明的教学设计教案，涵盖了直接证明与间接证明的概念、基本方法、综合运用、证明题的类型与解题技巧、几何证明、代数证明、数论证明、证明过程的逻辑性与严密性、证明题的评讲与反馈、数学竞赛中的直接证明与间接证明、数学研究中的直接证明与间接证明以及总结与反思等十五个章节。
22直接证明与间接证明教学设计教案
22直接证明与间接证明教学设计教案第一章：直接证明与间接证明概述1.1 直接证明的概念与特点1.2 间接证明的概念与特点1.3 直接证明与间接证明的联系与区别第二章：直接证明方法2.1 综合法2.2 分析法2.3 穷举法2.4 构造法第三章：间接证明方法3.1 反证法3.2 归谬法3.3 举例法3.4 类比法第四章：直接证明与间接证明的应用4.1 数学定理的证明4.2 数学命题的证明4.3 实际问题的证明第五章：案例分析与练习5.1 案例分析：运用直接证明与间接证明解决实际问题5.2 练习题：选择题、填空题、解答题第六章：证明策略与证明方法的选择6.1 证明策略的选择6.2 直接证明与间接证明的转换6.3 证明方法的适用场景分析第七章：证明过程中的逻辑思维训练7.1 逻辑思维的基本概念7.2 证明过程中的逻辑推理7.3 逻辑思维在证明中的应用实例第八章：数学竞赛中的直接证明与间接证明8.1 数学竞赛证明题的特点8.2 数学竞赛中的直接证明策略8.3 数学竞赛中的间接证明技巧第九章：数学研究中的直接证明与间接证明9.1 数学研究中的证明方法9.2 直接证明与间接证明在数学研究中的应用9.3 数学研究中的证明策略案例分析10.1 直接证明与间接证明的核心概念回顾10.2 证明方法的综合运用10.3 证明策略在数学学习和研究中的应用10.4 拓展阅读材料与思考题重点和难点解析一、直接证明与间接证明概述补充说明：直接证明与间接证明是数学证明的两种基本方式，它们在证明过程中的应用场景和证明方法各有不同。
理解它们之间的联系与区别有助于学生更好地选择合适的证明方法。
二、直接证明方法补充说明：构造法是直接证明中的一种重要方法，通过构造特定的数学对象或模型来证明问题的正确性。
学生在学习构造法时，需要掌握构造的核心思想和方法。
三、间接证明方法补充说明：反证法是间接证明中的一种常用方法，通过假设命题的反面成立，进而得出矛盾，从而证明原命题的正确性。
高三一轮复习导学案75 第13章 第04节——直接证明与间接证明
§13.4直接证明与间接证明1．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的__________________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．(2)分析法①定义：从________________________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.2．间接证明反证法：假设原命题__________，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．[难点正本疑点清源]证明数学问题的方法比较多，只是我们比较常用的方法有综合法、分析法和反证法．在证明问题时，既可独立运用，又可综合应用．(1)对于较复杂问题的解决，往往既使用综合法又使用分析法，其结合使用的基本格式为：P⇒P1⇒P2…⇒P n⇒Q m⇐Q m－1⇐…⇐Q1⇐Q(P是已知的条件、公理、定义、公式，Q 则表示要证明的结论．)(2)反证法是从反面的角度思考的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．适合使用反证法证明的命题有：①否定性命题；②唯一性命题；③至多、至少型命题；④明显成立的命题；⑤直接证明有困难的问题．1．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为__________________．2．要证明“3＋7<25”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________．(填序号)①反证法，②分析法，③综合法．3．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件的个数是________．4．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )＝________(用b 表示)．5．设a 、b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是 ( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0题型一 综合法例1 设a ，b ，c >0，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .探究提高 综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．已知a 、b 、c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1.求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)3a ＋2＋3b ＋2＋3c ＋2≤6. 题型二 分析法例2 已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2， 求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.探究提高 分析法是数学中常用到的一种直接证明方法，就证明程序来讲，它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法．具体地说，即先假设所要证明的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．(1)用分析法证明：ac ＋bd ≤a 2＋b 2·c 2＋d 2.(2)已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b .题型三 反证法例3 实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个为负数．探究提高 结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式，或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，宜考虑使用反证法．用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样．有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．31.分析法与综合法的整合试题：(12分)已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．审题视角(1)先判断它们的大小，可用特例法．(2)用分析法探寻证题思路．(3)用综合法完成证明．事实上，取a＝1，b＝2，c＝4，则f(a)＋f(c)＝f(1)＋f(4)＝log23＋log26＝log218,2f(b)＝2f(2)＝2log24＝log216，于是由log218>log216，猜测f(a)＋f(c)>2f(b)．要证f(a)＋f(c)>2f(b)，则只需证log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)，即证log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2，也即证(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2.展开整理得ac＋2(a＋c)>b2＋4b.因为b2＝ac，所以只要证a＋c>2ac，显然是成立的．规范解答解f(a)＋f(c)>2f(b)．[2分] 证明如下：因为a，b，c是不相等的正数，所以a＋c>2ac. [4分] 因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)>b2＋4b，即ac＋2(a＋c)＋4>b2＋4b＋4，从而(a＋2)(c＋2)>(b＋2)2. [8分] 因为f(x)＝log2x是增函数，所以log2(a＋2)(c＋2)>log2(b＋2)2，[10分] 即log2(a＋2)＋log2(c＋2)>2log2(b＋2)．故f(a)＋f(c)>2f(b)．[12分] 批阅笔记(1)综合法和分析法各有其优缺点，分析法利于思考，综合法宜于表达，因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程．有时要把分析和综合结合起来交替使用，才能成功．(2)本题错误原因一是不会用分析法分析，找不到解决问题的切入口；二是不用综合法表述，从而导致解题格式不规范．将分析法和综合法整合，是证明数学问题的一种重要的思想方法.方法与技巧1．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．2．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．4．应用反证法证明数学命题，一般分下面几个步骤：第一步：分清命题“p→q”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q；第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定綈q不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p→q为真．第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况．失误与防范1．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1．若a、b、c是不全相等的正数，给出下列判断①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b与a<b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是() A．0B．1C．2D．32．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(ⅰ)1*1=1.(ii)(n+1)*1=n*1+1,则n*1等于() A．n B．n＋1 C．n－1 D．n23．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0,1} (i＝0,1,2)，信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0D○＋a1，h1＝h0D○＋a2，D○＋运算规则为：0D○＋0＝0,0D○＋1＝1,1D○＋0＝1,1D○＋1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是() A．11010 B．01100C．10111 D．00011二、填空题4．关于x的方程ax＋a－1＝0在区间(0,1)内有实根，则实数a的取值范围是__________．5．设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是__________．6．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________．(填写所有正确条件的代号)①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．7．如果a a＋b b>a b＋b a，则a、b应满足的条件是__________________．三、解答题8．(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．B组专项能力提升题组一、选择题1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|2．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．能断定3．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m ，1)．给出以下三个结论： (1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26. 其中正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题4．若a ，b ，c 为Rt △ABC 的三边，其中c 为斜边，那么当n >2，n ∈N *时，a n ＋b n 与c n 的大小关系为____________．5．下面有4个命题：①当x >0时，2x ＋12x 的最小值为2；②若双曲线x 2a 2－y2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2；③将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象； ④在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22；类比到空间，若三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S —ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.其中错误．．命题的序号为________． 6．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________． 三、解答题7．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b . (1)求：f (1)＋f (3)－2f (2)；(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.8．已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.答案要点梳理1．(1)①推理论证 成立 (2)①要证明的结论 充分条件 2．不成立 矛盾 基础自测1．a ，b 都不能被5整除 2.② 3．3 4.－b 5.D 题型分类·深度剖析例1 证明 ∵a ，b ，c >0，根据基本不等式， 有a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c . 三式相加：a 2b ＋b 2c ＋c2a＋a ＋b ＋c ≥2(a ＋b ＋c )．当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．即a 2b ＋b 2c ＋c2a≥a ＋b ＋c . 变式训练1 证明 (1)方法一 a 2＋b 2＋c 2－13＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－1)＝13[3a 2＋3b 2＋3c 2－(a ＋b ＋c )2] ＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc ) ＝13[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.方法二 ∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.方法三 设a ＝13＋α，b ＝13＋β，c ＝13＋γ.∵a ＋b ＋c ＝1，∴α＋β＋γ＝0. ∴a 2＋b 2＋c 2＝⎝⎛⎭⎫13＋α2＋⎝⎛⎭⎫13＋β2＋⎝⎛⎭⎫13＋γ2 ＝13＋23(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2 ＝13＋α2＋β2＋γ2≥13， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.(2)∵3a ＋2＝(3a ＋2)×1 ≤3a ＋2＋12＝3a ＋32，同理3b ＋2≤3b ＋32，3c ＋2≤3c ＋32，∴3a ＋2＋3b ＋2＋3c ＋2≤3(a ＋b ＋c )＋92＝6，∴原不等式成立．例2 证明 要证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，即证明12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22，只需证明12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>tan x 1＋x 22，只需证明sin(x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2>sin(x 1＋x 2)1＋cos(x 1＋x 2).由于x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故x 1＋x 2∈(0，π)． ∴cos x 1cos x 2>0，sin(x 1＋x 2)>0， 1＋cos(x 1＋x 2)>0，故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2， 即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2>2cos x 1cos x 2， 即证：cos(x 1－x 2)<1. 这由x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x 1≠x 2知上式是显然成立的． 因此，12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎫x 1＋x 22. 变式训练2 证明 (1)①若ac ＋bd <0，结论显然成立； ②若ac ＋bd ≥0，要证ac ＋bd ≤a 2＋b 2·c 2＋d 2成立， 只需证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2·c 2＋d 2)2.即a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2，∴2abcd ≤a 2d 2＋b 2c 2， ∴(ad －bc )2≥0显然成立．综上所述：ac ＋bd ≤a 2＋b 2·c 2＋d 2.(2)要证1＋a >11－b 成立，只需证1＋a >11－b ，只需证(1＋a )(1－b )>1 (1－b >0)， 即1－b ＋a －ab >1， ∴a －b >ab ，只需证：a －b ab >1，即1b －1a >1.由已知a >0，1b －1a >1成立，∴1＋a >11－b成立．例3 证明 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，则由a ＋b ＝c ＋d ＝1，有1＝(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ，即ac ＋bd ≤1，这与ac ＋bd >1矛盾，故假设不成立．即a ，b ，c ，d 中至少有一个为负数．变式训练3 (1)解 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋13a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2， 故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等且∈N *)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝02q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r . 与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 课时规范训练 A 组1．C 2.A 3.C 4.⎝⎛⎭⎫12，1 5.m <n 6.①③④ 7．a ≥0，b ≥0且a ≠b 8．(1)证明 x 是正实数，由基本不等式知 x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3， 故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x · 2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)．(2)解 若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立． 由(1)知，当x >0时，不等式成立； 当x ≤0时，8x 3≤0，而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥0， 此时不等式仍然成立． B 组1．C 2.B 3.A 4．a n ＋b n <c n 5．①③ 6.3327．(1)解 ∵f (1)＝a ＋b ＋1，f (2)＝2a ＋b ＋4， f (3)＝3a ＋b ＋9，∴f (1)＋f (3)－2f (2)＝2.(2)证明 假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12.则－12<f (1)<12，－12<f (2)<12，－12<f (3)<12， ∴－1<－2f (2)<1，－1<f (1)＋f (3)<1.∴－2<f (1)＋f (3)－2f (2)<2，这与f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾．∴假设错误，即所证结论成立．8．证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2， 只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. ∵a >0，故只要证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22 ≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a2＋4 ≥a 2＋2＋1a2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a2≥2， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立．。
直接证明和间接证明课程教案
直接证明和间接证明课程教案一、教学目标1. 让学生理解直接证明和间接证明的概念。
2. 培养学生运用直接证明和间接证明解决问题的能力。
3. 引导学生掌握数学归纳法、反证法等间接证明方法。
二、教学内容1. 直接证明：定义、分类、方法及应用。
2. 间接证明：数学归纳法、反证法的原理与步骤。
3. 实例分析：利用直接证明和间接证明解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 重点：直接证明和间接证明的概念、方法及应用。
2. 难点：数学归纳法、反证法的原理与步骤。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解直接证明和间接证明的定义、分类、方法及应用。
2. 运用案例分析法，让学生通过实例掌握直接证明和间接证明的解题技巧。
3. 运用讨论法，引导学生探讨数学归纳法、反证法的原理与步骤。
五、教学准备1. 教案、课件、教材等相关教学资源。
2. 练习题及答案。
3. 教学工具：黑板、粉笔、多媒体设备等。
六、教学过程1. 引入新课：通过讲解一个实际问题，引导学生思考如何运用直接证明和间接证明解决问题。
2. 讲解直接证明：介绍直接证明的定义、分类及方法，并通过例题展示如何运用直接证明解决问题。
3. 讲解间接证明：介绍数学归纳法和反证法的原理与步骤，并通过例题展示如何运用数学归纳法和反证法解决问题。
4. 练习与讨论：让学生分组练习，运用直接证明和间接证明解决给定的问题，并进行讨论交流。
5. 总结与拓展：总结本节课所学内容，强调直接证明和间接证明在数学论证中的重要性，并给出一些拓展问题，激发学生进一步学习的兴趣。
七、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记。
2. 完成课后练习题，巩固直接证明和间接证明的方法。
3. 选择一道拓展问题进行思考，下节课分享解答过程。
八、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习积极性。
2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评价学生的掌握程度。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、交流能力等。
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§2.2 直接证明和间接证明预习案考纲解读：了解直接证明的两种基本方法----分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点；了解间接证明的一种方法----反证法，了解反证法的思考过程、特点.学习目标：1．能用直接法证明一般的数学问题2．会用反证法证明一般的数学问题学习重点：直接法证明数学问题学习难点：反证法证明数学问题预习要求：请同学们自己预习课本63--67页内容，有困难或疑问请用红笔标注，并独立完成下面的问题.教材助读：1．直接证明----综合法、分析法(1)综合法用综合法解题的逻辑关系是：()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒ 综合法的思维特点是：由因导果即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 (2)分析法用分析法解题的逻辑关系是：()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐ 分析法的思维特点是：执果索因 分析法的书写格式： 要证明命题B 为真，只需要证明命题1B 为真，从而有…… 这只需要证明命题2B 为真，从而又有…… ……这只需要证明命题A 为真而已知A 为真，故命题B 必为真 2．直接证明----反证法小故事：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事。
王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。
小伙伴们纷纷去摘果子，只有王戎站在原地不动。
有人问王戎为什么？王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李。
”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李。
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。
证明步骤：① 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
② 归谬：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。
③ 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
思维方法：正难则反关键在与：从假设出发，在正确的推理下得出矛盾（与已知矛盾，与假设矛盾，与定义、定理、公理矛盾，与事实矛盾等）。
预习自测：1．设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=︒==D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ∆所在的平面.2．在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥. 证明：要证3．用反证法证明：过一点与一平面垂直的直线只有一条。
预习疑惑：___________________________________________________________________.探究案探究点1:综合法例1.①已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥.②已知a ，b ，m 都是正数，并且.b a <求证:.bam b m a >++变式练习：已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥探究点2：分析法 例2.求证5273<+变式练习：①证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大②求证：)3(321≥---<--a a a a a探究点3：反证法例3.不是有理数.变式练习： ①{}{}1n n 12b b .43n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭已知数列的通项公式，证明：数列中的任意三项不可能成等差数列②证明：1.当堂检测：1.如果3sin sin 2+βαβ=（），求证：tan()2tan αβα+=.2.设a 为实数，2()f x x ax a =++.求证：(1)f 与(2)f 中至少有一个不小于12.§2.3.1数学归纳法预习案考纲解读：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
①了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
①使学生进一步了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质。
②理解数学归纳法原理并能用数学归纳法证明一些与自然数n 有关问题。
①数学归纳法证明与自然数有关的命题步骤; ②数学归纳法第二步如何利用归纳假设证明1n k =+时命题成立高 考 回 放山东卷全国卷（山东01模拟）用数学归纳法证明)14(31)12(53122222-=-++++n n n 过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为 （ ）A.2)2(kB.2)32(+k C. 2)12(+k D. 2)22(+k（全国02模拟）用数学归纳法证明不等式)2(241321312111≥>++++++n n n n n 的过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边 （ ） A.增加了一项)1(21+kB.增加了一项)1(21121+++k k C.增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11+k ” D.增加了“)1(21+k ”，又减少了“11+k ”学习目标：1、使学生进一步了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质。
2、理解数学归纳法原理并能用数学归纳法证明一些与自然数n 有关问题。
学习重点：数学归纳法证明与自然数n 有关的命题步骤;学习难点: 数学归纳法第二步如何利用归纳假设证明1n k =+时命题成立预习要求：请同学们自己预习课本内容，有困难或疑问请用红笔标注，并独立完成下面的问题.教材助读：1. 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值n = 0n 时命题成立；（2）（归纳递推）假设____________时命题成立，证明______________时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法。
注：（1），（2）两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。
2.运用数学归纳法时易犯的错误 （1）对项数估算的错误，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。
（2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。
（3）关键步骤含糊不清，“假设n ＝k 时结论成立，利用此假设证明n ＝k ＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。
预习自测1. 用数学归纳法证明：11112321n n +++⋅⋅⋅+<-（*N n ∈，且1>n ）时，第一步即证下列哪个不等式成立（ ）A. 12<B. 1122+< C. 111223++< D. 1123+< 2.用数学归纳法证明：)1(12131211>∈<-+⋅⋅⋅+++n N n n n且，第二步证明从“K 到K+1”，左端增加的项数是 （ ） A. 12-k B. k 2 C. k 2-1 D. k2+13.用数学归纳法证明1222()n n n n N +≥++∈时，第一步证明n =____.4. 用数学归纳法证明：2＋4＋6＋…＋2n ＝2n n +预习疑惑：___________________________________________________________________.探究案探究点1：利用数学归纳法证明等式例1、用数学归纳法证明：*N n ∈时，1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++变式练习：用数学归纳法证明：22222246(2)(1)(21)3n n n n +++⋅⋅⋅+=++探究点2：由“K 到K+1”左端增加的项数例2、用数学归纳法证明22221135(21)(41)3n n n +++⋅⋅⋅+-=-过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为 （ ）A.2)2(k B.2)32(+k C. 2)12(+k D. 2)22(+k变式练习：1.用数学归纳法证明不等式111113(2)123224n n n n n ++⋅⋅⋅+=≥+++的过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边 （ ） A.增加了一项)1(21+k B.增加了一项)1(21121+++k k C.增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11+k ” D.增加了“)1(21+k ”，又减少了“11+k ” 2.用数学归纳法证明(1)(2)()2135(21)nn n n n n ++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-*()n N ∈时，从“n k =到1+=k n ”，左边需增乘的代数式是（ ） A. 12+kB. 112++k k C. )12(2+k D. 132++k k当堂检测：1.用数学归纳法证明“)(12222112+-∈-=+⋅⋅⋅+++N n n n ”的过程中，第二步k n =时成立，则当1+=k n 时应证明 ( ) A.12222211122-=++⋅⋅⋅++++--k k k B.11221222221+++-=+++⋅⋅⋅+++k k k kC.122221112-=+⋅⋅⋅++++-k k D.k k k k 2122222112+-=+++⋅⋅⋅+++-2.空间中有n 个平面，它们中任何两个不平行，任何三个不共线，设k 个这样的平面把空间分成)(k f 个区域，则1+k 个平面把空间分成的区域数+=+)()1(k f k f （ ）A. 1+kB. kC. 1-kD. k 23.用数学归纳法证明某命题时,左式为111111234212n n ⋅⋅+⋅-+-+--,n k =到1n k =+时应将左边加上( )111111....212124222122A B C D k k k k k k ---+-++++4．若11111()1234212f k k k=-+-+⋅⋅⋅+--则)1(+k f = )(k f + _______．§2.3.2数学归纳法应用举例预习案考纲解读：理解数学归纳法原理，并能用数学归纳法证明一些与自然数n 有关问题.,1722315+>++++>学习目标: 1.理解数学归纳法原理；2.掌握数学归纳法的证明步骤；3.会用数学归纳法表达证明过程. 学习重点：会用数学归纳法证明.学习难点：数学归纳法第二步中，如何利用假设证明1n k =+时命题成立.预习要求：请同学们自己预习课本71-72页内容，有困难或疑问请用红笔标注，并独立完成下面的问题. 教材助读：一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：⑴证明当n 取_______时,命题成立； ⑵假设__________时命题成立，证明当________时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.注：⑴、⑵两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题. 预习自测：1.若命题()P n 对n k =成立, 则它对2n k =+时也成立, 并且已知命题(2)P 成立, 则下列结论正确的是( )A.()P n 对每一个自然数n 都成立B.()P n 对每一个正偶数n 都成立C.()P n 对每一个正奇数n 都成立D.()P n 对所有大于1的自然数n 都成立2.1(*)n n N <+∈,某同学用数学归纳法证明过程如下：⑴当1n =时,11<+, 显然命题是正确的;⑵假设(*)n k k N =∈时,1k <+,那么当1n k =+时=(1)1k <=++,∴1n k =+时命题是正确的,由⑴、⑵可知对于*n N ∈,命题都是正确的. 以上证法( )A.正确B.当1n =时,证明过程不正确C.归纳假设的过程不正确D.从n k =到1n k =+的推理不正确.3.用数学归纳法证明22111(,1)1n n a a a an N a a++-+++⋅⋅⋅+=∈≠-中,证明1n =时,左边式子应为________.预习疑惑：___________________________________________________________________.探究案探究点1：证明等式问题例1.用数学归纳法证明:222112(1)(21)6n n n n ⋅⋅⋅+++=++.变式练习：已知数列{}n a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,且112n n na S a =+-,且0()n a n N +>∈.⑴写出数列{}n a 的前三项;⑵猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.探究点2：证明不等式问题例2.求证:当,2n N n +∈≥时,22211111223n n⋅⋅+⋅+++<-.变式练习：证明不等式1(*)n N ⋅⋅⋅<+<∈.探究点3：证明整除问题例3.用数学归纳法证明:22nn x y -(*)n N ∈能被x y +整除.变式练习： 用数学归纳法证明:2121(*)n n x y n N --+∈能被x y +整除.探究点4：证明几何问题例4.求证:n 棱柱中过侧棱的对角面的个数1()(3)(4)2f n n n n =-≥.变式练习：平面内有(2)n n ≥条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点. 证明直线交点个数为1()(1)2f n n n =-.课后检测：1.用数学归纳法证明：112121cos cos3cos(21)sin cos (,)2sin 22n n n k n N θθθθθθπθ++-++++⋅-=⋅≠∈⋅⋅⋅.证明1n =时,左边的代数式为( )1111..cos .cos cos3.cos cos3cos52222A B C D θθθθθθ++++++ 2.用数学归纳法证明“52nn-能被3整除”的第二步中，1n k =+时，为了使用假设，应将1152k k ++-变形为______.3.根据下列不等式:11111131111,11,1,12,22323722315>+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+>++++>++++>⋅⋅⋅,能否猜想一个一般的不等式. 并证明你的结论.4.求证:凸n 边形的内角和为()(2)180(3)f n n n =-⨯︒≥.5.是否存在常数a b 、使等式112(1)3(2)(1)21()()6n n n n n n n a n b ⋅+⋅-+⋅-++-⋅⋅+⋅=+⋅⋅⋅+⋅对一切正整数n 都成立，并证明你的结论.。