2020年重庆市高考数学模拟试卷(理科)(6月份)
重庆市巴蜀中学2020届高三下学期高考适应性月考(六)数学(理)试题 Word版含解析
巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（六）理科数学一、选择题1.已知集合{}220A x x x =+-<，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A. ∅B. {}1x x <C. {}01x x << D. {}20x x -<<【答案】D 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，B ，再用交集的定义求解. 【详解】{}21A x x =-<<，{0B x x =<或}1x >， 所以{}20A B x x ⋂=-<<， 故选：D .【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知复数z 满足：()11i z i +=-，其中i 是虚数单位，则z 的值为（ ） A. 1 B.12C. 1-D. 12-【答案】A 【解析】 【分析】先通过复数的乘除运算化简复数，再求模.【详解】因为()221111i i z i i i--===-+-， 所以1z =. 故选：A .【点睛】本题主要考查复数的运算和复数模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，()40.74P ξ≤=，则()02P ξ≤≤=（ ）A. 0.26B. 0.24C. 0.48D. 0.52【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.74P ξ≤=，得到2μ=，利用正态分布的对称性求解.【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.74P ξ≤=，所以()2,00.26P μξ=≤=， 所以()()()020.24042P P P ξξξ≤-=≤≤≤=.故选：B【点睛】本题主要考查随机变量的正态分布，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4.已知向量()1,2a =-，()1,3b =，2,4c ，若t 为实数，()//a tb c +，则t =（ ）A .2B. 2-C. 4D. 4-【答案】D 【解析】 【分析】根据()//a tb c +，由共线向量得到()()22341t t +=-+求解. 【详解】因为向量()1,2a =-，()1,3b =， 所以()1,23a tb t t +=-++， 因为()//a tb c +，所以()()22341t t +=-+， 解得4t =-.故选：D .【点睛】本题主要考查平面向量的共线定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5.下列说法中，正确的有（ ）个. ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②过球面上任意两点只能作球的一个大圆； ③三棱锥的四个面都可以是直角三角形； ④梯形的直观图可以是平行四边形. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】举例说明.②根据平面的基本性质判断.③举例说明.④根据斜二测画法判断. 【详解】①如两个同底的三棱锥构成的六面体，不是三棱锥，故错误； ②过球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，故错误；③一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥，满足题意，故正确； ④因为平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半，故错误. 故选：A【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线与圆()()22311x y -+-=没有交点，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A. 54e < B.53e < C. 513e >>D. 514e >>【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线a y x b =±与圆()()22311x y -+-=没有1>求解.【详解】因为双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线a y x b =±与圆()()22311x y -+-=没有交点，1>，解得34a b >， 又因为222c a b =+，所以53e =<. 故选：C .【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.“ln ln x y >”是“1132x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数和幂函数的单调性，根据逻辑条件的定义判断.【详解】由ln ln x y >，得0x y >>，此时111332x y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 反之1132xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立时，可以取1x =-，2y =-，不能推出ln ln x y >.故选：A .【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，那么函数()y f x =的图象（ ）A. 关于点7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于直线712x π=-对称 D. 关于直线712x π=对称 【答案】B 【解析】 【分析】 根据()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得推出()()f x f x π+=，即T π=得到2ω=，再由()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，得到3x π=是()f x 的一条对称轴，求得()f x 再验证即可.【详解】因为()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 所以236f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即266f x f x πππ⎛⎫⎛⎫+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()2f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以()()fx f x π+=，所以T π=，所以2ω=， 因为()23f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以3x π=是()f x 的一条对称轴，所以2sin =133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以232k ππϕπ+=+，又2πϕ<， 所以6πϕ=-，所以()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 所以77sin 2012126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：B .【点睛】本题主要考查函数的基本性质以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为23，则从A 到B 这部分电源能通电的概率为（ ）A. 188243 B.55243 C. 95243D. 148243【答案】A 【解析】 【分析】由并联和串联电路性质先求出从A 到B 电路不能正常工作的概率，再由对立事件的概率求解.【详解】从A 到B 电路不能正常工作的概率为1222115115511133333927243P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯-⨯=⨯=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以从A 到B 电路能正常工作的概率为15518811243243p P =-=-=. 故选：A .【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10.已知()121xaf x =-+是定义域为R 的奇函数，且对任意实数x ，都有()2123f x mx -+>，则m 的取值范围是（ ）A. 22m -<<B. 02m <<C. 44m -<<D. 2m >【答案】A 【解析】 【分析】根据()121xaf x =-+是定义域为R 的奇函数，由()00f =，得到a ，再利用函数的单调性，将()()21213f x mx f -+>=恒成立，转化为210x mx -+>恒成立求解.【详解】因为()121x af x =-+是定义域为R 的奇函数所以由()00f =，得2a =， 而()()21213f x mx f -+>=且()f x 单调递增， 所以210x mx -+>恒成立， 所以240m -<， 解得22m -<<. 故选：A .【点睛】本题主要考查函数的基本性质以及不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11.锐角ABC 的三边分别为,,a b c ，2cos a b B =，则cb的取值范围是（ ） A. [)1,3B. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 3⎛ ⎝D. [)1,2【答案】D 【解析】 分析】根据2cos a b B =，由正弦定理得到sin 2sin cos sin 2A B B B ==，再根据ABC 是锐角三角形，分2A B =，2A B π+=两种情况求解. 【详解】因为2cos a b B =， 所以sin 2sin cos sin 2A B B B ==， 因为ABC 是锐角三角形，所以当2A B =时，()0,202,202,2B B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-+<⎪⎩解得64B ππ<<.所以 211sin ,42B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()2sin 3sin sin 334sin 1,2sin sin sin B c C B B b B B Bπ-====-∈. 当2A B π+=时，B C =，得1cb=. 故选：D .【点睛】本题主要考查正弦定理以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.已知单调递增的整数列{}n a 共有n 项，11a =，200n a =，且对任意的整数[]2,m n ∈，都存在整数[],1,1i j m ∈-使得m i j a a a =+（,i j 可以相等），则数列{}n a 至少有（ ）项. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的新定义，采用验证推理的方法求解.【详解】当10n =时，数列1,2,3,5,10,20,40,80,160,200满足； 若有9项，依题意22a =，12m m a a -≤，所以34a ≤，48a ≤，516a ≤，632a ≤，764a ≤，8128a ≤，而9200a =，所以8100a =，750a =，625a =，此时625816a =>+， 所以5a 无法取整数； 显然当8n ≤都不成立. 故选：D .【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了分析推理求解的能力，属于难题. 二、填空题13.如果1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为32，则展开式中21x 的系数是______. 【答案】90- 【解析】 【分析】根据1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为32，令1x =解得n ，得到其通项公式，再令x的指数为-2求解即可.【详解】令1x =，得展开式中各项系数之和为2n . 由232n =，得5n =，通项公式为(()()5355215513rrrr r rr r x x T C C ---+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭= 令5322r-=-，得3r = 所以21x 的系数是()32351390C -⨯⨯=-. 故答案为：90-【点睛】本题主要考查二项展开式的系数以及通项公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14.已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α=______.【解析】【分析】 根据1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由平方关系得到sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由角的变换得到sin sin 66ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式求解.【详解】因为1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故sin sin in cos cos sin 666666s ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：16【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15.设抛物线24y x =的焦点为F ，点,A B 的抛物线上，直线AB 过焦点F ，若32BF AF -=，则AF BF 的值为______.【答案】12【解析】 【分析】设直线AB 方程为()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，联立方程组214x ty y x =+⎧⎨=⎩，再根据32BF AF -=，结合抛物线定义解得21,x x ，然后由1222px AF p BF x +=+求解. 【详解】设直线AB 方程为()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，联立方程组214x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=,所以1212044y y t y y >⎧⎪+=⎨⎪=-⎩所以()()()2121212121111ty ty t y y x y y x t ++++==+=⋅因为32BF AF -=， 由抛物线定义得：2132x x -=， 所以112x =，22x =， 故1112212AF BF +==+.故答案为：12【点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.在三棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，22AC AD ==，CD 23=，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为______.【答案】5 【解析】 【分析】根据2AB BC BD ===，22AC AD ==，由勾股定理得到AB BC ⊥，AB BD ⊥，从而有 AB ⊥平面BCD ，根据截面圆的性质，得到球心到平面BCD 的距离h ，在CBD 中，由余弦定理和正弦定理求得BCD 的外接圆半径r ，再利用球的半径为22R r h =+求解. 【详解】如图所示：因为2AB BC BD ===，AC AD == 由勾股定理得AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC BD B =所以AB ⊥平面BCD ，所以球心到平面BCD 的距离为1在CBD 中，由余弦定理得2221cos 22BC BD CD CBD BC BD +-∠==-⋅，所以23CBD π∠=所以BCD的外接圆半径为122sin3=，=【点睛】本题主要考查球的外接问题，以及截面圆的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17.已知数列{}n a 中，11a =，()*1122n n n a a n +=-∈N . （1）求证：数列{}2nn a ⋅是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设1nn a b n =+，令{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <. 【答案】（1）证明见解析；12n n n a +=（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据11a =，()*1122nn n a a n +⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ，两边同时乘以2n ，有11221n nn n a a ++⋅-⋅=，再由等差数列定义求解.（2）由（1）知112n n n a b n ==+，再利用等比数列求和公式求解..【详解】（1）∵11a =，()*1122nn n a a n +⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ， 两边同时乘以2n ，即有11221n n n n a a ++=-，即11221n n n n a a ++⋅-⋅=.又1122a =，所以数列{}2nn a ⋅是首项为2和公差为1的等差数列， 所以21nn a n ⋅=+， 故12n nn a +=. （2）由（1）知112n n n a b n ==+， 所以111122111212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-<-.【点睛】本题主要考查等差数列的定义以及等比数列的求和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90DAB ∠=︒，2BC =，1AD =，PAB △与PAD △都是等边三角形.（1）证明：平面PBD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A PD C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）63- 【解析】 【分析】（1）取BD 的中点为O ，连接,PO AO ，根据PAB △与PAD △都是等边三角形且有公共边PA ，又1AD =，得到PO BD ⊥，再由222PO AO PA +=，得到PO AO ⊥，利用线面垂直的判定定理得到PO ⊥平面ABD ，再利用面面垂直的判定定理证明.（2）由（1）知，,,BD OA OP 两两垂直，以O 为原点，取,,OB OA OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面APD 和平面PDC 一个法向量，由二面角的向量公式求解.【详解】（1）如图所示：设BD 的中点为O ，连接,PO AO ，因为PAB △与PAD △都是等边三角形且有公共边PA ，又1AD =， 所以1AD AB AP PD PB =====，所以PO BD ⊥. 在等腰直角三角形ABD 中，易知22AO =， 又ABD PBD △△，所以22PO =， 所以222PO AO PA +=，所以PO AO ⊥. 又BDOA O =，,BD OA ⊂平面ABD ，所以PO ⊥平面ABD .又PO ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD .（2）由（1）知，,,BD OA OP 两两垂直，以O 为原点，取,,OB OA OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图3所示的空间直角坐标系，则2,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22,02C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，20,0,2P ⎛ ⎝⎭. 设平面APD 一个法向量为()1111,,n x y z =，又22,22DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，22,0,22DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以1111220,22220,22x y x z +=⎪+=⎩，取11x =，得()11,1,1n =--.设平面PDC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，又()0,2,0DC =-，2222DP ⎛= ⎝⎭，所以22220,220,x z ⎧==，取21x =，得()21,0,1n =-. 所以1211116cos ,332n n ⨯+-⨯-==⨯设二面角A PD C --的大小为,,2πθθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以126cos cos ,n n θ=-=. 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理，二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.19.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒.2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”.患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现.基于目前流行病学调查，潜伏期为1~14天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源.某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10000人，答题成绩统计如图所示.（1）由直方图可认为答题者的成绩z 服从正态分布()2,N μσ，其中2,μσ分别为答题者的平均成绩x 和成绩的方差2s ，那么这10000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）（2）如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这10000名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取4人，“防御知识合格者”的人数为ξ，求()3P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②()2~,z Nμσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，()220.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=，30.84130.595=.【答案】（1）1587人（2）0.499 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求得x ，z 服从正态分布()2,N μσ根据提供的数据，得到()()22,70.5,14.31N N μσ=，然后通过σ法则求解.（2）由（1）知，成绩超过56.19的概率为10.15870.8413-=，()~4,0.8413B ξ，利用二项分布公式求解.【详解】（1）由题意知：450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 因为z 服从正态分布()2,N μσ，其中70.5x μ==，()2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而()()56198481068.6..2P z P z μσμσ-<<+=<<=， ∴()10.682684.810.15872P z -≥==， ∴竞赛成绩超过84.8的人数估计为0.1587100001587⨯=人. （2）由（1）知，成绩超过56.19的概率为10.15870.8413-=， 而()~4,0.8413B ξ，∴()()44431410.841310.5010.499P P C ξξ≤=-==-⋅=-=.【点睛】本题主要考查频率分布直方图估计总体，正态分布以及二项分布的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 作圆()()22:8R x a y b -+-=的两条切线，切点分别为,A B ，圆心R 的轨迹为C .（1）若AOB ∠为钝角，求四边形OARB 的面积的取值范围； （2）设OA 与OB 的斜率分别为12,k k ，且1212k k =-，OA 与OB 交轨迹C 于,M N ，求22OM ON +的值.【答案】（1）()0,8（2）36 【解析】【分析】（1）设AOR θ∠=，则,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.根据AR =得到OA =，再由2OARB OARS S =△求解.（2）根据1:OA y k x =与圆R=，整理得()222118280a k abk b --+-=，同理()222228280a k abk b --+-=，得到12,k k 是方程()2228280ak abk b --+-=的两根，再由 1212k k =-得到圆心的轨迹方程，由点()11,M x y ，()22,N x y ，在轨迹C 上，结合1212k k =-，由()()2222221122OM ON x y x y +=+++求解.【详解】（1）设AOR θ∠=，则,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭. AR =OA =，()820,8tan OARB OAR S S θ==∈△.（2）由于1:OA y k x =与圆R=，整理得()222118280a k abk b --+-=，同理()222228280a k abk b --+-=， 故12,k k 是方程()2228280a k abk b --+-=的两根.所以21228182b k k a -==--，整理得(2212412a b a +=≠±，故轨迹C的方程为(2212412x y x +=≠±.设()11,M x y ，()22,N x y ，由1212k k =-，得121220y y x x +=①， 又221112412x y +=，所以2211242x y =-，同理2222242x y =-， 则()()()2222222212121212242242448576x x y y y yy y =--=--+，将①代入得221212y y +=.所以()()()()22222222112212242436OM ON x y x y y y +=+++=-+-=.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数()()22ln 1f x x x a x=+-.（1）证明：1ln 1x x≥-+； （2）（i ）证明：当102a <<时，对任意0,1a x a ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，总有()0f x >； （ii ）讨论函数()f x 的零点个数.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析（ii ）当0a ≤或12a =时，函数()f x 有唯一零点；当0a >且12a ≠时，函数()f x 有两个零点 【解析】 【分析】（1）()()1ln 10g x x x x=+->，用导数法求得最小值大于零即可。
重庆八中(6月三诊)2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理科)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理科）注意事项：1．答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．212ii+=-（ ） A ．i - B ．i C ．1i + D ．1i -+2．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．63．函数()21x xe ef x x --=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知向量()1,2a =，2b =，且a b ⊥，则2a b +=（ ）A B C ．13 D ．175．若直线0x y -=与圆224690x y x y +--+=相交于A ，B 两点，则AB =（ ）A ．2BC ．3D 6．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 3a B =，cos 4b A =，则c =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，叫做“物不知数”问题，后由宋朝数学家秦九韶在《数书九章》中给出了完整系统的解答．此类问题在后续发展过程中形成了多种简便快捷的求解方法，右边的程序框图给出了某个“物不知数”问题最小整数解的求解方法——“逐步约束法”．其中，若正整数n 除以正整数m 的余数为r ，则记为()mod n r m =，例如()71mod3≡．执行该程序框图，则输出的n 为（ ）A ．20B ．38C ．47D ．538．某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为（ ） A ．712 B ．23 C ．56 D ．11129．直角ABC中，AB AC ==D 为BC 边上一点，沿AD 将ACD 折起，使点C 在平面ABD 内的正投影H 恰好在AB 上，若1AH =，则二面角C AD B --的余弦值是（ ） A ．13 BCD10．若函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在(),a a -上没有最小值，则a 的最大值为（ ） A ．12πB ．6πC ．512πD ．712π11．已知函数()[](]123,1,21,2,82x x f x f x x ⎧--∈⎪=⎨⎛⎫-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列结论正确的是（ ） A ．()()27f f = B ．函数()f x 有5个零点C ．函数()f x 在[]3,6上单调递增D ．函数()f x 的值域为[]2,4-12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 的直线l 与y 轴相交于点M ，与C 的右支相交于点P ，且M 为线段1PF 的中点，若C 的渐近线上存在一点N ，使得2MN NP =，则C 的离心率为（ ）AB ．53C ．2 D二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数()132cos x f x f x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭________． 14．若x ，y 满足约束条件2044054200x y x y x y -≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≥⎩．则3z x y =+的最小值为________．15．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 2cos 2αα+=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 16．三棱台111ABC A B C -中，111112A A B B C C A B ====，4AB =，侧面11A B BA ⊥底面ABC ，M 为AB 的中点，线段MC 的长为________（2分）；该三棱台的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________（3分）．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 是其前n 项和，若39S =，且5a 是2a 与14a 的等比中项．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记2log n n n b a a =-，n N +∈，证明：1n n b b +<．18．（12分）近几年来，热饮越来越受到年轻人的欢迎．一个研究性学习小组为了研究气温对热饮销售的影响，统计了学校门口一个热饮店在2019年1月份某6天白天的平均气温和热饮销售量，得到以下数据：（1）求销售量关于气温的回归直线方程，若某天白天的平均气温为16C ︒，估计当天的热饮销售量； （2）根据表格中的数据计算2R （精确到0.001），由此解释平均气温对销售量变化的影响． 参考公式：()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-；()()212211niii nii y y R y y ==-=--∑∑．19．（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>，直线l 经过点()2,0P p ，且与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）判断AOB 的形状，并说明理由；（2）若513OA OB OP +⋅=AOB 的面积为5，求l 的方程．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2PD PB ==，H 为PC 的中点，过AH 的平面分别交线段PD ，PB 于点M ，N ．（1）若//BD 面AMHN ，求证：MN PC ⊥；（2）若3PA PC ==，AC =AC 与面AMHN 所成角的正弦值的最大值． 21．（12分）已知函数()()()21ln 2112f x x x a x =--+-，其中1a ≥． （1）证明：函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，并求2212x x +的取值范围；（2）若曲线()y f x =在点()1,0处的切线与该曲线有且仅有一个公共点，求a 的所有可能值． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2224111k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若P 为曲线C 上一点，求P 到直线l 距离的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数()12f x x x a =-++． （1）若2a =，求()8f x ≤的解集；（2）若()31f x x ≥--，x R ∈，求a 的取值范围．参考答案一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．B 2．B 3．A 4．A 5．D 6．D 7．D 8．C 9．A 10．C 11．C 12．B二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．32-14．50715．2- 16．2，16π 三．解答题：共70分． （一）必考题：共60分． 17．设{}n a 的公差为d ，0d ≠．（1）由条件，得123252149a a a a a a ++=⎧⎨=⎩．即()()()12111339413a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩． 解得：11a =，2d =，所以()121n a n =+-，21n a n =-． 5分 （2）由（1）得：()221log 21n b n n =---，n N +∈，()1221log 21n b n n +=+-+，12212log 21n n n b b n +-⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭因为n N +∈，所以2112113n n +≤-<，2221log 3log 021n n -⎛⎫-≤< ⎪+⎝⎭．从而12242log 3log 03n n b b +-≥-=>，故1n n b b +<． 12分 18．（1）由条件，5x =，135y =，从而()()61504iii x x y y =--=-∑，()261168ii x x =-=∑，解得：()()()1213niii nii x x y y b x x ==--==--∑∑，150a y bx =-=．所以，气温预报销售量的回归直线方程为：3150y x =-+． 5分 当16x =时，102y =．因此，某天白天的平均气温为16C ︒时，估计可以卖出102杯热饮．7分 （2）()6152iii y y =-=∑，()2611564ii y y =-=∑．()()2212152110.9671564niii ni i y y R y y==-=-=-≈-∑∑． 所以，平均气温解释了96.7%的销售量变化（或销售量变化有96.7%是由平均气温引起的）． 12分19．设直线l 的方程为；2x my p =+，代入22y px =， 化简得：22240y pmy p --=，2242160p m p ∆=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y pm +=，2124y y p =-，（1）因为2221212244y y x x p p==，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=． 故AOB 是直角三角形，斜边为AB ． 5分 （2）4OA OB OP AB OP p +===AOB 的面积()121212252S p y y p y y p =⋅+=-==，解得：1p =，294m =． 故直线l 的方程为：2340x y --=或2340x y +-=． 12分 20．（1）证明：连接AC ，BD 交于点O ， 因为//BD 面AMHN ，面AMHN面PBD MN =，BD ⊄面AMHN ，则//BD MN ．因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为BD 的中点． 因为PB PD =，所以PO BD ⊥， 又因为ACPO O =，所以BD ⊥面P AC ，PC ⊂面P AC ，所以PC BD ⊥，由//BD MN ，故MN PC ⊥． 5分 （2）因为PA PC =，所以PO AC ⊥，由（1）知，PO BD ⊥，AC BD ⊥， 以O 为原点，以OA ，OD ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．因为AC =3PA =，PO =1BO =，所以)A，()C，(P，H ⎛ ⎝⎭，()0,1,0D ，从而22AH ⎛=- ⎝⎭，(0,DP =-，()AD =-，()AC =- 设()01DM DP λλ=≤≤，()AM AD DP λλ=+=--设面AMH 的法向量(),,n x y z =，则00n AH n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()02210x z y z λ⎧-+=⎪⎨⎪+-+=⎩．令x =)312,,61n λλ⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭设θ为直线AC 与面AMHN 所成角，所以2sin 23831AC n AC nθλ⋅==⎫+⎪-⎭，当13λ=时，sin θ取得最大值19．经检验，此时点N 在线段PB 上，符合题意． 12分21．（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()()221121ax a x f x a x x x-++'=-+-=，设()()221g x ax a x =-++， 因为()222440a a a ∆=+-=+>且20a a +>，10a>，所以()0g x =在()0,+∞上有两个不等实根1x ，()212x x x <，且当()10,x x ∈，()2,x +∞时，()0g x >，()0f x '>； 当()12,x x x ∈时，()0g x <，()0f x '<．所以()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减， 故1x ，2x 是()f x 的两个极值点，且12221a x x a a ++==+，121x x a=． 从而()222212121222242211x x x x x x a a a a⎛⎫+=+-=+-=++ ⎪⎝⎭，又因为[)1,a ∈+∞，所以(]10,1a∈，故(]22121,7x x +∈． 5分 （2）由()11f '=-知曲线在()1,0处切线方程为1y x =-+， 原问题等价于方程()1f x x =-+只有一个实根， 设()()()()211112ln x h x f x x a x x =+-=+---， ()()()()11111x x ax h a x x x--'=+--=． ①当1a =时，()()210x h x x-'=≥，()h x 在()0,+∞上单增，而()10h =，所以()h x 只有一个零点1x =，符合题意． ②当1a >时，令()0h x '=得1x a =或1，11a ⎛⎫< ⎪⎝⎭所以，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0h x '>；当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<．从而()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，()f x 在11a ⎛⎫< ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()h x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有一个零点1x =， 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，因为()110h h a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，设()()1121a a ea a ϕ+=->，则()1121102a e a ϕ+'=->，()a ϕ在()1,+∞单调递增， 所以()0a ϕ>，即112a ea +>，从而11210a ea--<<， 取11200,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()200011111111102222h x a a x x a a <--+---<--++=．∴存在101,x x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10h x =，此时()h x 有两个零点，不符题意．综上，a 可取得的所有值为1． 12分22．（1）由2211k y k -=+得211y k y -=+，代入241k x k =+得()21x k y =+，又由211y k y -=+，得()221141x yyy -=++， 整理得曲线C 的普通方程为()22114x y y +=≠-； 直线l的极坐标方程为1cos sin 222ρθρθ-=， 因为cos x ρθ=及sin y ρθ=，所以直线l的普通方程为40x -=．（2）设点()2cos ,sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为=因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以点P 到直线l的距离的取值范围为4422⎡-⎢⎣⎦． 10分23．（1）由2a =，1228x x -++≤，当1x ≥时，1228x x -++≤，解得73x ≤，所以713x ≤≤， 当11x -<<时，1228x x -++≤，解得5x ≤，所以11x -<<， 当1x ≤-时，1228x x ---≤，解得：31x -≤≤-， 综上可得：733x -≤≤，所求的解集为73,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （2）()312223f x x x a x ≥--⇒++-≥恒成立， 又()()()2222222g x x a x x a x a =++-≥+--=+， ()min 2323g x a a ∴-+≥⇒+≤-，或235a a +≥⇒≤-或1a ≥，所求的a 的取值范围是：(][),51,-∞-+∞．。
【6月5日重庆一中高考模拟理数】2020年6月重庆市第一中学2020届高三6月模拟考试理数试卷含答案
()()12,+-='='x x g e x f x ，()111:x x e e y l x x -=-∴，即()1111:x x e x x e y l -+=，又()()()2222221:x x x a x x y l --=++--，即()a x x x y l ++-=22221:， ()⎩⎨⎧+=--=∴ax e x x e x x 221211121，由()a e e x e x x x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∴-=212211,21111， 即()()014641112=++-+a e x e x x ， )(x f 与)(x g 有两条不同的公切线⇔()()014642=++-+a e x e x x 在R 上有两个不同实根， 令()()R x a e x e x h x x ∈++-+=,1464)(2，由于()122)(-+='x e e x h x x ，令,12)(-+=x e x u x 02)(>+='x e x u ，∴)(x u 在R 上单增，而0)0(=u ，∴当()0,∞-∈x 时，()↓<'<)(,0,0)(x h x h x u ；当()+∞∈,0x 时，()↑>'>)(,0,0)(x h x h x u 。
∴44)0()(-=≥a h x h ，必须1044<⇒<-a a 。
当+∞→x 时，()+∞→x h ；当-∞→x 时，()()()14144146422+→++-+→++-+=--a a e e a e x ex h x x x x ， 必须141,014<<-∴>+a a . 21.解：（1）1,2323,3=∴=⇒====b a a a c e c ，椭圆14:22=+y x E . （2）易知l 的斜率存在且不为0，设)0(3:≠+=t ty x l ，()()2211,,,y x D y x C ， 由()()01324143143222222=-++⇒=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=ty y t y ty y x ty x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+∴41432221221t y y t t y y ， 设点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t P 3,0，()00,y x Q ，则t y 03-=⋅， 由C Q A 、、三点共线，110011x y x y -=-，由D Q B 、、三点共线，220011x y x y +=+， 上面两式相除得：()()1111211200+-=+-y x y x y y ，()()()()()()22212122222121222001141141111+---=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∴y y y y y x y x y y ()()()()()()212121************y y y y y y y y y y y y +++++-=++--=222222233332332414321414321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-++=+-+-+-++=t t t t t t t t t t t t ，结合图形易知1100+-y y 与33-+t t 同号，33311000t y t t y y -=⇒-+=+-∴， 130=-=⋅∴t y OQ OP ，即OQ OP ⋅为定值1. 22.（1）由)4πρθ=+，得4cos 4sin ρθθ=-，所以24cos 4sin ρρθρθ=-，即2244x y x y +=-，22(2)(2)8x y -++=.所以曲线2C 是以(2,2)-为圆心，为半径的圆.（2）将cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩代入22(2)(2)8x y -++=，整理得24cos 40t t α--=. 设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则124cos t t α+=，124t t =-.121212114MA MB t t t t MA MB MA MB t t ++-+======， 解得21cos 16α=，则sin α=. 23.解（1）当0,1a b ==时，不等式()()f x g x ≥为411x x x +≥++-.当1x ≥时，原不等式4114x x x x ⇔+≥++-⇔≤，此时，原不等式的解为14x ≤≤； 当11x -≤<时，原不等式2x ⇔≥-， 此时，原不等式的解为11x -≤<；当1x <-时，原不等式4423x x x ⇔+≥-⇔≥-，此时，原不等式的解为413x -≤<-. 综上，原不等式的解集为4,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）当[]1,1x ∈-时，()112g x x x =++-=故当1a =时，不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-220x bx ⇔++≥在[]1,1-上恒成立 当0x =时，显然成立；当(]0,1x ∈时，问题等价于20x b x ++≥在(]0,1上恒成立，而min 2()3x b b x++=+， 故3b ≥- 当[)1,0x ∈-时，问题等价于20x b x ++≤在[)1,0-上恒成立，而max 2()3x b b x ++=-， 故3b ≤ 综上，实数b 的取值范围是[]3,3-。
2020年重庆市高考理科数学仿真模拟试题一(附答案)
2020年重庆市高考理科数学仿真模拟试题一（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}03A x x =<<，{}2log 1B x x =>则A B ⋂=（ ） A. (2,3)B. (0,3)C. (1,2)D. (0,1)2. 若p ：x R ∀∈，c o s 1x ≤，则（ ） A. p ⌝：0x R ∃∈，0cos 1x > B. p ⌝：x R ∀∈，cos 1x > C. p ⌝：0x R ∃∈，0cos 1x ≥ D. p ⌝：x R ∀∈，cos 1x ≥3. 下列说法中，正确的是（ ）A. 命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B. 命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是：“任意2,0x R x x ∈-≤” C. 命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D. 已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件4. 设函数2,3,()(1),3x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩则()2log 6f 值为（ ） A. 3B. 6C. 8D. 125. 函数21010()x xf x x--=的图像大致为（ ）A. B. C. D.6. 已知向量a ，b 满足1a =，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（ ） A. 4B. 3C. 2D. 17. 某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（ ）正视图 仰视图 俯视图A. B.C.D.8. 一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（ ） A. 若，则乙有必赢的策略 B. 若，则甲有必赢的策略 C. 若，则甲有必赢的策略D. 若，则乙有必赢的策略9．若函数f （x ）＝a sin x +cos x （a 为常数，x ∈R）的图象关于直线x ＝6π对称，则函数g （x ）＝sin x +a cos x 的图象（ ） A ．关于直线x ＝－3π对称 B ．关于直线x ＝6π对称 C ．关于点（3π，0）对称 D ．关于点（56π，0）对称 10．三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥底面ABC ，若SA ＝AB ＝BC ＝AC ＝3，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．18πB ．212πC ．21πD ．42π11．直线12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A 、B 两点（其中b a ,是实数），且AOB ∆是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点)1,0(之间距离的最小值为( ) A 0 B. 2 C.12- D. 12+12．抛物线2y 2px =p>0（）的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且120AFB ∠=，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为1M ，则1MM AB的最大值为（ ）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市第一中学2020届高三下学期6月模拟考试+数学(理)答案
2020年重庆一中高2020级高三下期模拟考试数 学 试 题 卷（理科）参考答案1--6：DABCAD 7---12:CABCBD 13.3 14.9 15.6 16.217.解：（1）122310,40,4a a a a q +=+==所以公比故111410,2a a a +==得，121242n n n a --=⨯=所以212log 221n n b n -==-，()()1212122n n n n n a a S n +-⎡⎤+⎣⎦===（2）假设存在正整数m ，使得24,4,85m m m b S b +成等差数列，则28485m m m S b b =++，即223200m m --=解得542m m =-=或，由,4m N m *∈=得，故存在. 18.解：（1）证明：因为2AC =，12CC ，16AC =所以22211AC CC AC +=，即1AC CC ⊥.又因为1BC BB ⊥，11BB CC ∥，所以1BC CC ⊥，AC BC C =I ，所以1CC ⊥平面ABC .因为1CC ⊂平面11BB C C ，所以平面ABC ⊥平面11BB C C .（2）解：连接AM ，因为2AB AC ==，M 是BC 的中点，所以AM BC ⊥.由（1）知，平面ABC ⊥平面11BB C C ，所以AM ⊥平面11BB C C .以M 为原点建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则平面11BB C C 的一个法向量是(0,0,1)m =u r，3)A ，2,0)N ，1(12,0)C -.设1AP t AC =u u u r u u u u r（01t <<），(,,)P x y z ， (,,3)AP x y z =u u u r，1(12,3)AC =--u u u u r ，代入上式得x t =-，2y t =，3(1)z t =-，所以(233)P t t t -.设平面MNP 的一个法向量为111(,,)n x y z =r ，2,0)MN =u u u u r ，(233)MP t t t =-u u u r，x由00n MN n MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u rr u u u r，得11110)0tx t z =-++-=⎪⎩.，令1z t =，得,0,)n t =r . 因为二面角P MN C --的平面角的大小为30°，所以2m n m n =u r r g u r r=，解得34t =. 所以点P 为线段1AC 上靠近点1C的四等分点，故1PC =19.解：（1）9组数据中需要充电的数据组数为3组.X 的所有可能取值为1,2,3.()()()1625343636367779991151,2,312212C C C C C C P X P X P X C C C =========（2）由题意知()()11.880.9924 1.5niix x r ωω---==≈=-⨯⨯∑， 0.990.789r =>Q ，∴有99%的把握认为x 与ω之间具有线性相关关系；（3）对bx y ae =两边取对数得ln ln y a bx =+,设ln a μ=，又ln y ω=，则ˆˆˆbx ωμ=+， ()()()9192111.88ˆ0.19860iii ii x x bx x ωω==---===--∑∑，易知5x =， 1.550.1729ω=≈. µ=1.162 1.16bx μω∴=-≈$，而ˆ0.20b ≈-，故µ0.20 1.16x ω=-+， ∴所求y x 与的经验关系式为0.20 1.16x y e -+=$，即0.203.19x y e -=$.20.解：（1）设()2()()()=⋅=-++xF x f x g x exx a ，()2()1'=--++x F x e x x a ，由条件知：()0'≤F x 在R 上恒成立，即210--++≤x x a 在R 上恒成立，即45-≤a ，∴a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-45,.（2）设公切线l 分别与)(x f 、)(x g 切于B A 、两点，设()()a x x x B e x A x++-22221,,,1，()()12,+-='='x x g e x f x ，()111:x x e e y l x x -=-∴，即()1111:x x e x x e y l -+=，又()()()2222221:x x x a x x y l --=++--，即()a x x x y l ++-=22221:，()⎩⎨⎧+=--=∴ax e x x e x x 221211121，由()a e e x e x x x x +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-∴-=212211,21111， 即()()014641112=++-+a ex e x x ，)(x f 与)(x g 有两条不同的公切线⇔()()014642=++-+a e x e x x 在R 上有两个不同实根，令()()R x a ex e x h xx∈++-+=,1464)(2，由于()122)(-+='x e e x h x x ，令,12)(-+=x e x u x02)(>+='x e x u ，∴)(x u 在R 上单增，而0)0(=u ，∴当()0,∞-∈x 时，()↓<'<)(,0,0)(x h x h x u ；当()+∞∈,0x 时，()↑>'>)(,0,0)(x h x h x u 。
重庆市巴蜀中学2020届高三高考适应性月考卷( 六)理科数学含解析
……………………………（9 分）
又 DC (0，
2，0)
，
DP
2 2
，0，
2 2
，
所以
2 y2
2
2 x2
0， 2 2 z2
取 0，
x2
1，得
n2
(1，0， 1)
.
所以
cosn1，n2
11
(1) 3
(1) 2
6. 3
…………………………（11 分）
设二面角
A PD C
理科数学参考答案·第 6 页（共 8 页）
∴ y (x) 的最小值为(
2a ) ln
2a
a
1 2
．
①令 m(a) ln
2a
a
1 2
，则
m(a)
1 2a
1，
所以
m(a)
在
0，1 2
上单调递增，在
12 ，
上单调递减，又
m
1 2
2． z
1 1
i i
(1 i)2 1 i2
i，| z | 1 ，故选
A．
3．
0.74
2
0.26
0.24
，故选
B．
4．依题意 (1 t，2 3t)∥(2，4) ，所以 2(2 3t) 4(1 t)， 得 t 4 ，故选 D．
5．只有第三个正确，故选 A．
6．依题意
3a 1 b
a b
∴
P(z
≥
84.81)
1
0.6826 2
0.1587，
………………………………………………（6 分）
∴竞赛成绩超过 84.8 的人数估计为 0.1587 10000 1587 人.
2020年重庆市普通高等学校招生全国统一考试6月调研考试(2020届康德卷6月三诊考试)理科数学试卷及答案
2020年重庆市普通高等学校招生全国统一考试6月调研考试（2020届康德卷6月三诊考试）理科数学试卷★祝考试顺利★一、选一择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的。
已知集合2{|31},{|lg()},x x B x y x x -≤≤==-则A∩B=A ．(]0,1B ．(0,1) [].0,1C [).3,1D -2．在复平面内,复数z 对应点Z (x,y),若||||,z i z i -=+则A.0y = B ．[]0,0,1y x =∈ C ．0x = D ．[]0,0,1x y =∈3．命题p ：∀x ∈N,|2|3x +≥的否定为A ．∀x ∈N,|2|3x +<B ．∀x N,|2|3x +<C ．∃x ∈N,|2|3x +≥D ．∃x ∈N,|2|3x +<4．已知 2.122312log ,,225a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则 A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ． b a c <<5．设等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为n S ,若92727,a a a ++=且89,S S =则d=A ．-3B ．-1C ．1D ．36.若随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N μσσ>则(||)0.6806,(||2)0.9544,(||3)0.9974.P X P X P X μσμσμσ-≤≈-≤≈-≤≈已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布()10100,N ，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为A ．159B ．46C ．23D ．137．已知向量()()12,34a b =-=r r ，，/,若向量→c 与→a 共线,且→c 在→b 则|→c |=A ．1B ．2C ．58．设α,β是空间中的两个平面,,m 是两条直线,则使得α∥β成立的一个充分条件是A ． ⊂α,m ⊂β,∥mB ．⊥m ,∥α,m ⊥αC ． ⊂α,m ⊂α,∥β,m ∥βD ．∥m ,⊥α,m ⊥β9．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术,明代的律学家朱载填创建了十二平均律,并把十二平均律计算得十分精确,与当今的十二平均律完全相同,其方法是将一个八度音程(即相邻的两个具有相同名称的音之间,如图中88键标准钢琴键盘的一部分中,c 到1c 便是一个八度音程)均分为十二等分的音律,如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符,分别是c,d,e,f,g,a,b,则多出来的5个音符为c#(读做“升c”),d#,f#,g#,a#;12音阶为：c,c#,d,d#,e,f ．f#,g,g#,a,a#,b,相邻音阶的频率之比为1如图,则键盘c 和d 的频率之比为21即1键盘e 和f 的频率之比为1键盘c 和1c 的频率之比为1：2,由此可知,图中的键盘1b 和2f 的频率之比为A ．1B ．C :1D :1。
【精品卷】2020年重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学试题(有答案解析)
2020年重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学试题一、单选题1．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则40~50岁年龄段应抽取的人数是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．102．若圆锥的轴截面是一个顶角为23π，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（ ）A ．2B ．1CD ．23．已知在等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7,则数列{}n a 的通项公式（ ） A ． B ．-1 C ．+1 D ．-34．已知集合A ＝{}2650x x x -+≤，B ＝{x y =，则A∩B 等于( )A ．[1,3]B ．[1,5]C ．[3,5]D ．[1，＋∞) 5．非零向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=√2|b ⃑⃑|，且(a ⃑−b ⃑⃑)⊥(2a ⃑+3b⃑⃑)，则a ⃑与b ⃑⃑夹角的大小为（ ） A ．π3 B ．π4 C ．2π3 D ．3π4 6．已知复数z 满足21i z i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．2 BC ．D ．4 7．已知函数()sin()f x x ϕθ=++的图象关于直线x π=对称，其中0ϕπ<<，02θπ-<<，且tan 2θ=-，则sin 2ϕ的值为（ ）A ．34B ．14C ．35D ．45-8．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于,A B 两点．若223AF BF =，125BF BF =，则C 的方程为（ ）.A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=9． 的直线与双曲线22221x y a b-=恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．[2，+∞）B ．（2，+∞）C ．(D ．)+∞ 10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）A ．19B ．112C ．115D ．11811．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f fB ．()()sin cos βα>f fC ．()()sin =cos βαf fD ．以上情况均有可能12．已知π()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，ππ63f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭内有最大值，无最小值，则ω可能的值为（ ）A ．83B ．143C ．503D ．263二、双空题13．如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，将四边形ABEF 沿EF 折起，使得二面角1A EF D --的大小为120︒（如图2），则1B C =__________；三棱锥1B CDE -的外接球的表面积为____________．（本题第一空2分，第二空3分）三、填空题14．已知实数x ，y 满足{11y xx y y ≤+≤≥-，则2x y +的最大值是________．15．在曲线33y x x =-的所有切线中，平行于x 轴的切线的切点坐标是_________________________ .16．如图，已知三点,,A B C 在球O 的表面上，ABC ∆是边长为O ABC -的体积为6，则球O 的表面积为______.四、解答题17．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的左视图、俯视图、直观图，在直观图中，M 是BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.（Ⅰ）求该几何体的表面积和体积；（Ⅱ）求点C 到平面MAB 的距离.18．已知等差数列{a n }满足a 1=3, a 5=15, 数列{b n }满足b 1=4, b 5=31, 设正项等比数列{c n }满足c n =b n −a n .（1）求数列{a n }和{c n }的通项公式;（2）求数列{b n }的前n 项和.19．某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，分为 5 组制出频率分布直方图如图所示.(1)求,,,a b c d的值.(2)该校决定在成绩较好的 3、4、5 组用分层抽样抽取 6 名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？(3)在(2)的前提下，从抽到 6 名学生中再随机抽取 2 名被甲考官面试，求这 2 名学生来自同一组的概率.20．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为：12cos2sinxyαα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线():0l y kx k =>，以坐标原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求OA OB +的取值范围.21．（Ⅰ）解不等式|1||4|7++-≤x x（Ⅱ）已知0a >，0b >，且2a b +=，求9411+++a b 的最小值. 22．已知a 为实常数，函数()ln 1f x x ax =+-. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．23．已知函数()()()2121ln 12f x mx x x m R =-+++∈ （Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）当01m <≤时，曲线():C y f x =在点()0,1P 处的切线l 与C 有且只有一个公共 点，求m 的值.参考答案1．C先计算出饼图中40~50岁的职工所占的比例，再乘以25即可得出结果.由题中饼图可知，40~50岁年龄段的职工所占的比例为10.440.20.36--=，因此，40~50岁年龄段应抽取的人数是250.369⨯=.故选：C.本题考查利用分层抽样计算所抽取的人数，根据分层抽样的特点列方程是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.2．D根据题意得到，母线长为2，截面顶角为2π，此时截面面积最大，即可得到答案. 由题知：圆锥的轴截面是一个顶角为23π，母线长为2， 所以当截面顶角为2π，此时截面面积最大，max 12222=⨯⨯=S . 故选：D 本题主要考查圆锥截面面积问题，属于简单题.3．D试题分析：由于数列{}n a 是等差数列，所以26a a 与的等差中项是，故有，又有37a a 与的等差中项是，所以，从而等差数列的公差，因此其通项公式为，故选Ｄ．考点：等差数列．4．C求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中x 的范围确定出B ，找出A 与B 的交集即可 由A 中不等式变形可得：()()150x x --≤，解得15x ≤≤ []15A ∴=，由B中y =30x -≥，即3x ≥)3B ⎡∴=+∞⎣，则[]A B 35⋂=，。
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2020年重庆市高考数学模拟试卷（理科）（6月份）
一、选一择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合{|31}A x x =-<„，2{|()}B x y lg x x ==-，则(A B =I ) A ．(0，1]
B ．(0,1)
C ．[0，1]
D ．[3-，1)
2．（5分）在复平面内，复数z 对应点(,)Z x y ，若||||z i z i -=+，则( ) A ．0y =
B ．0y =，[0x ∈，1]
C ．0x =
D ．0x =，[0y ∈，1]
3．（5分）命题:p x N ∀∈，|2|3x +…的否定为( ) A ．x N ∀∈，|2|3x +< B ．x N ∀∉，|2|3x +< C ．x N ∃∈，
|2|3x +…
D ．x N ∃∈，|2|3x +<
4．（5分）已知 2.122312
log ,(),()225
a b c -===，则( )
A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．b a c <<
5．（5分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若27927a a a ++=，且89S S =，则(d = )
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
6．（5分）若随机变量X 服从正态分布(N μ，2)(0)σσ>，则(||)0.6806P X μσ-≈„，(||2)0.9544P X μσ-≈„，(||3)0.9974P X μσ-≈„．已知某校1000名学生某次数学考试成
绩服从正态分布(10,100)N ，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为(
) A ．159
B ．46
C ．23
D ．13
7．（5分）已知向量(1,2),(3,4)a b =-=r r ，若向量c r 与a r 共线，且c r
在b r ，则||(c =r
)
A ．1
B ．2
C
D ．5
8．（5分）设α，β是空间中的两个平面，l ，m 是两条直线，则使得//αβ成立的一个充分条件是( )
A ．l α⊂，m β⊂，//l m
B ．l m ⊥，//l α，m β⊥
C ．l α⊂，m α⊂，//l β，//m β
D ．//l m ，l α⊥，m β⊥
9．（5分）音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，明代的律学家朱载堉创建了十二
平均律，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，其方法是将一个八度音程（即相邻的两个具有相同名称的音之间，如图中88键标准钢琴键盘的一部分中，c 到1c 便是一个八度音程）均分为十二等分的音律，如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是c ，d ，e ，f ，g ，a ，b ，则多出来的5个音符为#c （读做“升c ” )，#d ，#f ，#g ，#a ；12音阶为：c ，#c ，d ，#d ，e ，f ．#f ，g ，#g ，a ，#a ，b ，相邻音阶的频率之比为121:2．如图，则键盘c 和d 的频率之比为2121:(2)即61:2，键
盘e 和f 的频率之比为121:2，键盘c 和1c 的频率之比为1:2，由此可知，图中的键盘1b 和2f 的频率之比为( )
A ．32
B ．2
C 32
D 2
10．（5分）已知函数2()sin 2cos 2cos sin sin f x x x ϕϕϕ=+-，若对任意x R ∈，5()(
)6
f x f x π
=-，则实数ϕ中的取值可以是( ) A ．3
π
-
B ．6
π
-
C ．
6
π D ．
3
π 11．（5分）已知点(2,0)Q -与抛物线22(0)y px p =>，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A ，
B 两点，与y 轴交于点P ，若3AB BP =u u u r u u u r
，且直线QA 的斜率为1，则(p = )
A ．2
B ．4
C ．222+
D ．4212．（5分）已知2(2,1),(,0),,3A B C D 四点均在函数2()log ax f x x b
=+的图象上，若四边形ABCD
为平行四边形，则四边形ABCD 的面积是( ) A ．
26
5
B ．
263
C ．
525
D ．
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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）直线2y x =-与圆22450x y x ++-=交于A ，B 两点，则||AB = ． 14．（5分）曲线2()sin (1)f x x a x =+-在点(0，(0))f 处的切线方程为3y x b =-+，则
a b += ．
15．（5分）已知25()(21)()x x a x a R -+-∈的展开式中各项系数之和为1-，则展开式中x 的系数为 ．
16．（5分）已知ABC ∆的三边长a ，b ，c 成等差数列，且222105a b c ++=，则b 的取值范围是 ．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且4n S ，13n S +，22n S +成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足10b =，11n n b b +-=，设,,n n n
a n c
b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n
c 的前2n 项和．
18．（12分）某项数学竞赛考试共四道题，考察内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：
假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．
（1）若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；
（2）学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X 的分布列．
19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB BC ==，
D ，
E 分别为1AA ，1B C 的中点．
（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；
（2）若直线BE 与平面11AA B B 所成角为30︒，求二面角C BD E --的大小．
20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>，将其左、右焦点和短轴的两个端点顺次连
接得到一个面积为4的正方形． （1）求椭圆C 的方程；
（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P ，Q 两点
（均不在y 轴上），点(0,)2
m
A -，若直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，且OPQ ∆6
O 为坐标原点）
，求直线l 的方程．
21．（12分）已知函数2
1(),2
x f x x ae lnx a R =+-∈． （1）若1
2
x =
是函数()f x 的极值点，求a 的值； （2）当1a …
时，证明：13
()28
f x ln >+． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (1sin x y θ
θθ=⎧⎨=+⎩
为参数），直线
l 经过点(2,0)且倾斜角为α，02
π
α<<
，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系．
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）过原点O 作直线l 的垂线1l ，垂足为P ，1l 交曲线C 于另一点B ，当α变化时，求ABP ∆的面积的最大值及相应的α的值． [选修4-5：不等式选讲]（10分）。