2020最新高考数学模拟试卷含答案
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2020⾼考数学模拟试卷含答案2020⾼考虽然延迟，但是练习⼀定要跟上，加油，少年！第1卷（选择题共60分）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分 1.若全集U=R,集合M ＝{}24x x >，N ＝301x xx ?-?>??+??，则()U M N I e=( )A.{2}x x <-B. {23}x x x <-≥或C. {3}x x ≥D.{23}x x -≤<2.若21tan(),tan(),544παββ+=-=则tan()4πα+=（）A.1318B.318C.322D.13223.条件p ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍” ；条件q ：“直线l 的斜率为－2” ，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.⾮充分也⾮必要4.如果212nx x ??-的展开式中只有第4项的⼆项式系数最⼤，那么展开式中的所有项的系数和是（）A.0B.256C.64D.1645.12,e e u r u u r 为基底向量，已知向量121212,2,3AB e ke CB e e CD e e =-=+=-u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r，若A,B,D 三点共线，则k 的值为（） A.2 B.－3 C.－2 D.36.⼀个单位有职⼯160⼈，其中有业务员120⼈，管理⼈员24⼈，后勤服务⼈员16⼈.为了了解职⼯的⾝体健康状况，要从中抽取⼀定容量的样本.现⽤分层抽样的⽅法得到业务⼈员的⼈数为15⼈，那么这个样本容量为（） A.19 B.20 C.21 D.227.直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点A （1，3），则b 的值为（）A.3B.－3C.5D.－58.在⼀个45o 的⼆⾯⾓的⼀平⾯内有⼀条直线与⼆⾯⾓的棱成45o ⾓，则此直线与⼆⾯⾓的另⼀个⾯所成的⾓为（） A.30oB.45oC.60oD.90o9.只⽤1，2，3三个数字组成⼀个四位数，规定这三个数必须同时使⽤，且同⼀数字不能相邻出现，这样的四位数有（）t A.6个 B.9个 C.18个 D.36个10.若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，线段12F F 被22y bx =的焦点分成53?的两段，则此椭圆的离⼼率为（）A.1617B. 17C. 45D. 511.对任意两实数,a b ，定义运算“*”如下：()(),,a a b a b b a b ≤??*=?>??，则函数122()log (32)log f x x x =-*的值域为（）xA.(,0]-∞B.22log ,03C.22log ,3??+∞D.R 12.⼀种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟⾃⾝复制⼀次，复制后所占据内存是原来的2倍，那么开机后，该病毒占据64MB （1MB ＝102KB ）内存需经过的时间为（） A.15分钟 B.30分钟 C.45分钟 D.60分钟第II 卷（⾮选择题共90分）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分. 13.若指数函数()()x f x a x R =∈的部分对应值如下表：则不等式1()0f x -<的解集为 . 14.数列{}n a 满⾜11200613,,,1nn na a a n N a a *++==∈-则＝ .15.已知实数x,y 满⾜约束条件1020()1x ay x y aR x ì--+澄í??￡，⽬标函数3z x y =+只有当1x y ì=??í=时取得最⼤值，则a 的取值范围是 . 16．请阅读下列命题：①直线1y kx =+与椭圆22124x y +=总有两个交点；②函数3()2sin(3)4f x x p=-的图象可由函数()2sin 3f x x =按向量(,0)4a p=-r 平移得到；③函数2()2f x x ax b =-+⼀定是偶函数；④抛物线2(0)x ay a =?的焦点坐标是1(,0)4a．回答以上四个命题中，真命题是_______________(写出所有真命题的编号).三、解答题（共6⼩题，17—21题每题12分，第22题14分，共74分）17．已知向量,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x c ===v v v（I ）若//a c v v，求sin cos x x ×的值；(II) 若0,3x p18．在⼀次历史与地理两门功课的联合考试中,备有6道历史题,4道地理题,共10道题⽬可供选择,要求学⽣从中任意选取5道作答,答对4道或5道即为良好成绩．（I ）设对每道题⽬的选取是随机的，求所选的5道题中⾄少选取2道地理题的概率；(II) 若学⽣甲随机选定了5道题⽬，且答对任意⼀道题的概率均为0.6，求甲没有取得良好成绩的概率（精确到⼩数点后两位）．19．已知：如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ^，D 为AB 的中点，1AC BC BB ==（I ）求证：11BC AB ^； (II) 求证：1//BC 平⾯1CA D ；（III ）求异⾯直线1DC 与1AB 所成⾓的余弦值．20．设12,x x 是函数322()(0)32a b f x x x a x a =+->的两个极值点，且122x x +=．（I ）求证：01a(II) 求证：9b ￡．21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S ＝22(1,2,3)n a n L -=，数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上．（I ）求数列{}{},n n a b 的通项n a 和n b ；(II) 记1122n n n S a b a b a b =+++…，求满⾜167n S <的最⼤正整数n ．22．⼀条斜率为１的直线l 与离⼼率为的双曲线Ｅ：22221(0,0)x y a b a b -=>>交于 ,P Q 两点，直线l 与y 轴交于R ，且3,4OP OQPQ RQ ?-=u u u r u u u r u u u r u u u r，求直线l 与双曲线Ｅ的⽅程．⾼三联考数学（⽂科）参考答案⼀、选择题：（每⼩题5分，共60分）⼆、填空题：（每⼩题4分，共16分）13.（0，1）; 14.-2; 15.a>0; 16.①④. 14.提⽰：归纳法得到{}n a 是周期为4的数列，200622a a ==- 15.提⽰：直线10x ay --=过定点（1，0），画出区域201x y x +≥??≤?后，让直线10x ay --=绕（1，0）旋转得到不等式所表⽰的平⾯区域，平移直线30x y +=观察图象可知，必须满⾜直线10x ay --=的斜率10a>才符号题意.故a 的范围是0.a > t三、解答题:17.解：（I ）,,tan 23a c x x x ==r rQ L L ∥分222sin cos tan 2sin cos 6sin cos 1tan 5x x x x x x x x ∴===++L L 分(II)21(cos cos 2(1cos 2)2f x a b x x x x x ?=+=++r r ）＝1sin(2)926x π=++L L 分50,2,3666x x ππππ<≤<+≤Q 则x13sin(2)1,1(262x f x π∴≤+≤≤≤于是：），故函数(f x ）的值域为31122??L L ，分18.解: （I ）法⼀：所选的5道题中⾄少有2道地理题的概率为5041646455101011031116424242C C C C P C C -L L ＝－＝－－＝分法⼆：所选的5道题中⾄少有2道地理题的概率为3223146464645551010101020131642424242C C C C C C P C C C =++=++=L L 分(II)甲答对4道题的概率为：44150.60.40.25928P C =??L L ＝；分甲答对5道题的概率为：550150.60.40.0777610P C =??L L ＝分故甲没有获得良好成绩的概率为：121()1(0.25920.07776)P P P =-+=-+ 0.6612≈L 分19.⽅法⼀：（I ）证明：111,,.AC BC AC CC AC CC B B ⊥⊥⊥则平⾯四边形11CC B B 为正⽅形，连1B C ,则11C B B C ⊥由三垂线定理，得114BC AB ⊥L L 分（II ）证明：连11.AC CA E DE 交于，连在△1AC B 中，由中位线定理得1DE BC ∥. ⼜11111,.8DE CA D BC CA D BC CA D ??∴L L 平⾯平⾯，∥平⾯分（III ）解：取1111,.,BB F DF C F DF AB C DF ∠的中点连和则∥或它的补⾓为所求. 令1 2.,AC BC BB ===111在直⾓△FB C 中可求出C F=5在直⾓△1AB B 中可求出221123, 3.2(2) 6.AB DF DC ==+=则＝在△1DFC 中，由余弦定理，得12cos 12236C DF ∠==??L L 分⽅法⼆：如图建⽴坐标系.设12,AC BC BB ===则（I ）证：11(0,2,2),(2,2,2),BC AB =--=--u u u u r u u u r11110440..4BC AB BC AB ?=-+=∴⊥u u u u r u u u rL L 分（II ）证：取1AC 的中点E ，连DE.E(1,0,1),则(0,1,1),ED =u u u r 1(0,2,2).BC =--u u u u r有112..ED BC ED BC =-u u u r u u u u r1⼜与不共线，则DF ∥AB⼜11111,,.8DE CA D BC CA D BC CA D ??L L 平⾯平⾯则∥平⾯分（III ）()11,(1,1,2)AB DC =---u u u r u u u u r＝-2,2,-2 112242cos ,12444114DC AB -+∴=++?++u u u u r u u u rL L 分<>=20.（I ）证明：22(),1f x ax bx a '=+-L L 分32212,((0)32a bx x f x x x a x a +->Q 是函数）＝的两个极值点，221212120,2bx x ax bx a x x x x a a∴+-=?=-L L ，是的两个根，于是＋＝－分212121220,0,424b a x x a x x x x a a>∴=-<∴+=-=+=Q L L ⼜分 2223244,440,016b a b a a a a+=∴=-≥∴<≤L L 即：分 111(2,0,2),(0,2,2),(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,1,2),2A B C A B C D L L L L 分（II ）证明：设232()44,()8124(23)7g a a a g a a a a a '=-=-=-L L 则分220()0,()0933a g a g a '<<>∴L L 当时，在（，）上是增函数；分21()0,(),1113a g a g a ??'<≤<∴L L 2当时，在上是减函数；分3max 216()(),12327g a g b ∴==∴≤L L L 分21.解（1）*11122,22,2,)n n n n n n n S a S a S S a n n N ---=-=-≥∈Q ⼜－＝，（{}*1122,0,2,(2,),nn n n n n n a a a a a n n N a a --∴=-≠∴=≥∈Q 即数列是等⽐数列. 11111,22,223n n a S a a a a =∴=-∴=Q L L 即＝，分11,)20n n n n P b b b b ++∴-Q 点（在直线x-y+2=0上，＋＝{}112,1216n n n n b b b b b n +∴-=∴=-L L 即数列是等差数列，⼜＝，分（II ）231122123252(21)2,n n n n S a b a b a b n +++=?+?+?++-L L ＝23121232(23)2(21)2n n n S n n +∴=?+?++-+-L因此：23112222222)(21)2n n n S n +-=--L ＋(＋＋＋即：341112(222(21)2n n n S n ++-=?++++--L 1(23)2610n n S n +∴=-+L L 分111516167,23)26167,(23)21614(23)2(24321605(23)2(2532448167412n n n n n n S n n n n n n S n ++++<-+<-<=-=?=-=?""故满⾜条件的最⼤正整数为分22.解:由222222231(),2,12b x y b a a a a=+=-=L 2＝e 得双曲线的⽅程设为①2L 分设直线l 的⽅程为y x m =+，代⼊①，得：2222()2x x m a -+=，即：2222(2)0x mx m a --+=221,1221212(),(,),2,25P x y Q x y x x m x x m a +=?=--L L 设则分222222212121212()()()222()6y y x m x m x x m x x m m a m m m a =++=+++=--++=-L 分2222121234,430OP OQ x x y y m a a m ∴?=+=-∴--=u u u r u u u rL －＝②7L 分4,30PQ RQ R PQ R m =∴u u u r u u u r u u u rQ 点分所成的⽐为，点的坐标为（，），则：12121233()391344y y x m x m x x m m +++++===++L L 分 1212123,2,3,10x x x x m x m x m ∴=-+===-L L 代⼊得分代⼊2222222122,32,,12x x m a m m a m a =--=--∴=L L 得－分代⼊②得21,1a m ==±从⽽221,1142y l y x x ∴=±-=L L 直线的⽅程为双曲线的⽅程为分。
2020最新高考数学模拟测试卷含答案
2020最新⾼考数学模拟测试卷含答案第Ⅰ卷（选择题共60分）⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．（1）化简?---160cos 120cos 20cos 20sin 212得（）（A ）-40sin 1（B ）-?20sin 20cos 1（C ）1 （D ）－1（2）双曲线8822=-ky kx 的⼀个焦点是（0，－3），则k 的值是（）（A ）1 （B ）－1（C ）315（D ）－315（3）已知)(1x fy -=过点（3，5），g （x ）与f （x ）关于直线x =2对称，则y =g （x ）必过点（）（A ）（－1，3）（B ）（5，3）（C ）（－1，1）（D ）（1，5）（4）已知复数3)1(i i z -?=，则=z arg（）（A ）4π（B ）－4π（C ）47π（D ）4cos(=+πθρ的距离为1，则r 属于集合（）（A ）}97|{<（D ）{9}（⽂）已知两条直线0:,:21=-=y ax l x y l ，其中a 为实数，当这两条直线的夹⾓在)12,0(π内变动时，a 的取值范围是（）（A ）（0，1）（B ）)3,33(（C ）)3,1( （D ）)3,1()1,33(Y 6．半径为2cm 的半圆纸⽚卷成圆锥放在桌⾯上，⼀阵风吹倒它，它的最⾼处距桌⾯（）（A ）4cm （B ）2cm（C ）cm 32 （D ）cm 3 7．（理）)4sin arccos(-的值等于（）（A ）42-π（B ）234π-（C ）423-π（D ）4+π（⽂）函数23cos 3cos sin 2-+=x x x y 的最⼩正周期为（）（A ）4π（B ）2π（C ）π（D ）2π②665646362C C C C +++③726-④26P 其中正确的结论为（）（A ）仅有①（B ）有②和③（C ）仅有②（D ）仅有③ 9．正四棱锥P —ABCD 的底⾯积为3，体积为,2 2E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的⾓为（）（A ）6π（B ）4π（C ）3π（D ）2π10．给出四个函数，分别满⾜①)()()(y f x f y x f +=+ ②)()()(y g x g y x g ?=+③)()()(y x y x +=? ④)()()(y x y x ωωω?=?⼜给出四个函数的图象则正确的配匹⽅案是（）（A ）①—M ②—N ③—P ④—Q （B ）①—N ②—P③—M ④—Q（C ）①—P ②—M ③—N ④—Q （D ）①—Q ②—M③—N ④—P11．P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b为2c ，则21F PF ?的内切圆的圆⼼横坐标为（）（A ）a -（B ）b -（C ）c -（D ）c b a -+12．某债券市场发⾏的三种值券：甲种⾯值为100元，⼀年到期本利共获103元；⼄种⾯值为50元，半年期本利共50.9元；丙种⾯值为100元，但买⼊时只付97元，⼀年到期拿回100元，这三种投资收益⽐例从⼩到⼤排列为（）M QNN（A ）⼄，甲，丙（B ）甲、丙、⼄（C ）甲、⼄、丙（D ）丙、甲、⼄第Ⅱ卷 (⾮选择题)⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．⼀个球的内接长⽅体的长、宽、⾼分别为1，2，3，则这个球的表⾯积是．14．若26)1()1(ax x -+展开式中的x 3项的系数为20，则⾮零实数a = ．15．△ABC 顶点在以x 轴为对称轴，原点为焦点的抛物线上，已知A （－6，8），且△ABC的重⼼在原点，则过B 、C 两点的直线⽅程为． 16．设正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且存在正数t ，使得对于所有的⾃然数n ，有2nn a t tS +=成⽴，若t a S nn n <∞→lim ，则t 的取值范围是．三、解答题：本⼤题共6⼩题，共74分，解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）设复数)23(sin cos 1πθπθθ<<+-=i z 且24arg θsin 21)4cos(2θπθ--的值．18．（理）（本题满分共12分）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的每条棱长均为，M为棱A 1C 1上的动点．（Ⅰ）当M 在何处时，BC 1//平⾯MB 1A ，并证明之；（Ⅱ）在（I ）下，求平⾯MB 1A 与平⾯ABC 所成的⼆⾯⾓的⼤⼩；（Ⅲ）求B —AB 1M 体积的最⼤值． 18．（⽂）（图同理18，本题满分12分）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的每条棱长均为a ，M 为A BA 11棱A 1C 1的中点（Ⅰ）求证BC 1//平⾯MB 1A ；（Ⅱ）求平⾯MB 1A 与平⾯ABC 所成的⼆⾯⾓的正切值；（Ⅲ）求B —AMB 1的体积．19．（理）（本题满分12分）设常数,01>>>b a 不等式0)lg(>-x x b a 的解集为M （Ⅰ）当ab =1时，求解集M ；（Ⅱ）当M=（1，+∞）时，求出a ，b 应满⾜的关系． 19．（⽂）（本题满分12分）已知函数)1(log )(x a a x f -= （其中a ＞0，且a ≠1），解关于x 的不等式)1()1(log 1->-fa x a20．（本题满分12分）⼀家企业⽣产某种产品，为了使该产品占有更多的市场份额，拟在2001年度进⾏⼀系列的促销活动，经过市场调查和测算，该产品的年销量x 万件与年促销费⽤t 万元之间满⾜：3－x 与t +1（t ≥0）成反⽐例，如果不搞促销活动，该产品的年销量只能是1万件，已知2001年⽣产该产品的固定投资为3万tx x g 2)332(23)(++=时，则当年的产销量相等．（Ⅰ）将2001年的利润y 表⽰为促销费t 万元的函数；（Ⅱ）该企业2001年的促销费投⼊多少万元时，企业的年利润最⼤？（注：利润=收⼊－⽣产成本－促销费）21．（本题满分12分）A 、B 是两个定点，且|AB|=8，动点M 到A 点的距离是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，若以AB所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建⽴直⾓坐标系．（Ⅰ）试求P 点的轨迹c 的⽅程；（Ⅱ）直线)(04R m m y mx ∈=--与点P 所在曲线c 交于弦EF ，当m 变化时，试求△AEF 的⾯积的最⼤值．A22．（本题满分14分）已知函数f （x ）在（－1，1）上有定义，1)21(-=f 且满⾜x 、y ∈（－1，1）有)1()()(xyy x f y f x f ++=+．（Ⅰ）证明：f （x ）在（－1，1）上为奇函数；（Ⅱ）对数列,12,21211nn n x x x x +==+求)(n x f ；（Ⅲ）（理）求证;252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n Λ（⽂）求证.2)(1)(1)(121->+++n x f x f x f Λ数学试题参考答案⼀、选择题（理）CBACD DCBCD AB （⽂）CBACD DCBCD AB ⼆、填空题（13）14π（14）5 （15）084=-+y x （16）),22(3+∞ 三、解答题 17．解：)24(arg θπθπ+=∴+=tg z tg z （2分）即2121cos 1sin θθθθtgtg -+=- 即212121θθθtgtg tg-+=即012222=-+θθtgtg（6分）212±-=∴θtg2124322πθπtgΘ（8分）)1(22cos )sin (cos 222sin 21)4cos(2θθθθθπθtg +=+=--∴2])21(1)21(21[22)21221(2222=------=-+=θθtg tg即22sin 21)4cos(2=--θπθ（12分）AA 1G18．（理）解：（I ）当M 在A 1C 1中点时，BC 1//平⾯MB 1A ∵M 为A 1C 1中点，延长AM 、CC 1，使AM 与CC 1延长线交于N ，则NC 1=C 1C=a连结NB 1并延长与CB 延长线交于G ，则BG=CB ，NB 1=B 1G （2分）在△CGN 中，BC 1为中位线，BC 1//GN⼜GN ?平⾯MAB 1，∴BC 1//平⾯MAB 1 （4分）（II ）∵△AGC 中， BC=BA=BG ∴∠GAC=90° 即AC ⊥AG ⼜AG ⊥AA 1 A AC AA =I 1平⾯（6分）∴∠MAC 为平⾯MB 1A 与平⾯ABC 所成⼆⾯⾓的平⾯⾓ 221==∠∴a a MAC tg ∴所求⼆⾯⾓为.2arg tg （8分）（Ⅲ）设动点M 到平⾯A 1ABB 1的距离为h M ．3221232361213131111a a a h a h S V V M M ABB B AB M M AB B =?≤?=?==?--即B —AB 1M 体积最⼤值为.1233a 此时M 点与C 1重合．（12分）18．（⽂）（Ⅰ）同（理）解答，见上（Ⅱ）同理科解答：设所求⼆⾯⾓为θ，则2=θtg （Ⅲ）3224323213111a a a V V ABB M AMBB =??==--19．（理）解：（I ）⾸先,0>-x x b a 即xx b a >即0,11)(>>∴>x baba x得由.1)1(1>-∴>-x x x x aa b a （3>--x x a a解得251-51+>x a251log +>∴a x ),251(log +∞+=∴a M （6分）（II ）令x x b a x f -=)(，先证),0()(+∞∈x x f 在时为单调递增函数 )212112212211()()()(,0x x x x x x x x b b a a b a b a x f x f x x -+-=+--=-+∞<<<Θ0,,0,,,011212212121<-∴<<-<∴<>>>x x x x x x x xb b b b a a a a x x b a Θ).()(21x f x f <∴得证（8分）欲使解集为（1，+∞），只须f （1）=1即可，即a －b=1，∴a =b+1 （12分） 19．（⽂）解：)1(log )1().1(log )(1 1a fa x fa x a -=-=--由可知0＜a ＜1 （4分）∴不等式)0()1(log )1(log )1()1(log即为（8分）10101110101<<<->-∴x aa a a a a a a x x xx ∴原不等式的解集为{x |0＜x ＜1} （12分） 20．解：（I ）由题意得21,0,1 3===+=-k x t t kx 代⼊得将（2分）123+-=∴t x从⽽⽣产成本为3)123(32++-t 万元，年收⼊为]2)332(23[)(xtx x x xg ++=（4分）]3)123(32[]2)332(23[]3)123(32[)(++--++?=++--=∴t x t x x t x xg y （6分）)0()1(235982≥+++-=t t t t∴年利润为y )0()1(235982≥+++-=t t t t（8分）（II ）y 4216250)13221(50)1(235982=-≤+++-=+++-=t t t t t （万元）当且仅当4271+y t t t 时即（12分）∴当促销费定为7万元时，利润最⼤．21．解（I ）以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴，则A （－4，0），B （4，0）|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=10 （2分）∴2a =10 2c=8 ∴a =5，c=4 ∴P 点轨迹为椭圆19 2522=+y x（4分）（II ）04=--m y mx 过椭圆右焦点B （4，0）)0(192541925)4(2222≠=++=?=+-=m y x m yx y x x m y Θ092525)1681(9222=?-+++∴y y m y m整理得08172)259(22=-++y m y m（6分）2591814259724)(||2222122121+??+?+=-+=-∴m m m y y y y y y 2222190925m m m m +?+=*（8分）∵m 为直线的斜率，∴可令m=tg θ代⼊*得 )0sin (|sin 25cos 9sin 90|sec |25990192590||22222222221>?+=+=++=-θθθθθθθθθθθθθΘtg tg tg tg tg tg tg y y.4152490916290sin 9sin 1690sin 169sin 902==≤+=+=θθθθ当且仅当169sin sin 9sin 162==θθθ即即43sin =θ时，.415||max 21=-y y().15415821max =??=∴?AEF S （12分）22．证：（I ）令,0==y x 则0)0(),0()0(2=∴=f f f令,x y -=则)()(,0)0()()(x f x f f x f x f -=-∴==-+ 为奇函数（4分）（II ）1)2 1()(1-==f x f ，)(2)()()1()12()(21n n n n n nn nn n x f x f x f x x x x f x x f x f =+=?++=+=+ )}({.2)()(1n n n x f x f x f 即=∴+是以－1为⾸项，2为公⽐的等⽐数列．1xf （4分）（III ）（理）)2121211()(1)(1)(11221-++++-=+++n n x f x f x f ΛΛ2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n⽽.2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n 252)(1)(1)(121++->+++∴n n x f x f x f n Λ（6分）（III ）（⽂）)2121211()(1)(1)(11221-++++-=+++n n x f x f x f ΛΛ .2212)212(2 1121111->+-=--=---=--n n n。
2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)
绝密 ★ 启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b>”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ） A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．25．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5B ．34C ．41D ．526． ()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππU 大致的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ）A ．14B ．15C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦L =（ ） A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．已知函数()()e exx af x a =+∈R 在区间[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞ C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B 2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos 2cos 0222x xxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。
2020最新高考数学模拟测试含解答(20200404103106)
平面 PAD
∴ BG ∥ 平 面 PAD
∵ EF ∥ BG ∴ EF ∥ 平 面 PAD
（7 分）
（II）∵ BG⊥平面 PDC，EF∥BG ∴EF⊥平面 PDC
2
（B） cos
1
2
1 sin
2
（D） sin
1
2
（ C）
（文）已知曲线 C 与 C′ 关于直线 x y 2 0对称，若 C 的方程为
， x2 y2 4x 4y 7 0
则 C′的方程为
（）
（A ） x 2 y2 8x 8y 31 0
（B） x 2 y2 8x 8y 31 0
（C） x2 y 2 8x 8 y 31 0
又 CD=2a, DP=a,
CP CD 2 DP2 5a
△ PBC 中， G 为 PC 中点，∴ BG⊥PC
易得 BG 3 a, HG 1 a, BH a
2
2
∴ △ BGH 为直角三角形，且
BG ⊥ GH ∴ GB ⊥平面 PDC
（5 分）
∴GB⊥CD 又 CD⊥HB ∴CD⊥平面 BGH ∴平面 BGH ∥
（ 12 ）有一位同学写了这样一个不等式： x 2 1 c 1 c ( x R) ，他发现，
x2 c
c
当 c=1 ，2 ，
3 时，不等式对一切实数 x 都成立，由此他作出如下猜测：
①当 c 为所有自然数时，不等式对一切实数 x 都成立；
②只存在有限个自然数 c，对 x R不等式都成立；
③当 c 1时，不等式对一切 x R都成立；
已 知 z1=3+4 i ， z2=65 cos i sin ) (
2
5
sin(
2020年全国高考数学模拟真题含答案(理)
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
[2020·安徽联考]已知在极坐标系中，曲线 C1 的极坐标方程为
2 cos
π 4
m
0 ．以极点为原
点，极轴所在直线为
x
轴建立平面直角坐标系，曲线
C2
的参数方程为
x
1
2 cos （ 为参数）．
y 2 sin
（1）求曲线 C1 的直角坐标方程以及曲线 C2 的极坐标方程；
且 AB CD 6 2 ，求 k1k2 的值．
21．（12 分）[2020·安徽联考]已知函数 f x xlnx x2 ， R ．
（1）若 1，求曲线 f x 在点 1, f 1 处的切线方程； （2）若关于 x 的不等式 f x 在 1, 上恒成立，求实数 的取值范围．
故选 B． 2．【答案】B
【解析】命题
p
表示的集合
A
为x
2
x
3
；命题
q
表示的集合
B
为
x
x
a 2
，
因为命题 q 是 p 的必要不充分条件，所以 A 是 B 的真子集，则 a 2 ，即 a 4 ．故选 B． 2
3．【答案】D
【解析】双曲线 C
:
x2 a2
y2
1a
0
的焦距为 2
5，
可得 c 5 ，即 a2 1 5 ，解得 a 2 ，
附： K 2
nad bc2
，nabcd ．
a bc da cb d
P K2 k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2020年高考数学模拟试题带答案
2020 年高考模拟试题 理科数学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、若集合 A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数 为A.5B.4C.3D.22、复数在复平面上对应的点位于A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮球； 否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为A.B.C.D.JPA．B．C．8、已知数列 为等比数列， 是是它的前 n 项和,若D． ，且 与 2 的等差中项为 ，则A.35B.33C.31D.299、某大学的 8 名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐 4 名同学（乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置）， 其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学中恰有 2 名同学是来自同一年级的乘坐方式共有A.24 种B.18 种C.48 种D.36 种10 如图，在矩形 OABC 中，点 E、F 分别在线段 AB、BC上，且满足，，若（），则4、函数如图示，则将 图象解析式为的部分图象 的图象向右平移 个单位后，得到的A.B.5、已知，A.B.C.，，则C.D. D.6、函数的最小正周期是A.B.C.D.11、如图，F1，F2 分别是双曲线 C：(a，b＞0)的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M，若|MF2|＝|F1F2|，则 C 的离心率是A.B.C.D.12、函数 f（x）＝2x|log0.5x|－1 的零点个数为A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把正确答案填在题中横线上A.πB.C.7、函数 y=的图象大致是D.2π13、设θ为第二象限角，若，则 sin θ＋cos θ＝__________14、(a+x）4 的展开式中 x3 的系数等于 8，则实数 a=_________15、已知曲线 y x ln x 在点 1,1 处的切线与曲线 y ax2 a 2 x 1 相切,则 a=16、若 x ，则函数 y tan 2x tan3 x 的最大值为42三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答.17、已知数列 的前 项和为 ，且，对任意 N ，都有.（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足，求数列 的前 项和 .18、如图，四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝ ，F 为 PC 的中点，AF⊥PB。
2020年江苏省高考数学模拟试卷含答案解析
2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为．7．若函数是偶函数，则实数a的值为．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为．14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？2020年江苏省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=（﹣1，0] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中的一元二次不等式的解集，确定出集合B，由全集R，求出集合B的补集，求出集合A与集合B的补集的交集即可【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），∴C u B=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴A∩∁U B=（﹣1，0]，故答案为：（﹣1，0]．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．【考点】复数求模．【分析】根据复数与它的共轭复数的模相等，即可求出结果．【解答】解：复数，则z的共轭复数的模为||=|z|====．故答案为：．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可求值得解．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程和准线方程，由题意可得=，=，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，由题意可得=，=，又a2+b2=c2，解得a=2，b=，即有所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为﹣2．【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得a≤f（x）的最小值，运用单调性，可得f（0）取得最小值，即可得到a的范围，进而得到a的最大值．【解答】解：由，可得0≤x≤4，由f（x）=﹣，其中y=在[0，4]递增，y=﹣在[0，4]递增，可得f（x）在[0，4]递增，可得f（0）取得最小值﹣2，可得a≤﹣2，即a的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．7．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为20．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出底面中心到边的距离，棱锥的高，然后求解棱锥的体积．【解答】解：设正五棱锥高为h，底面正五边形的角为108°，底面正五边形中心到边距离为：tan54°，h=，则此正五棱锥体积为：×=20．故答案为：20．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，3）．【考点】分段函数的应用．【分析】判断f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解不等式即可得到所求解集．【解答】解：当x＜3时，f（x）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，即有f（x）递增；故f（x）在R上单调递增．由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解得或，即为1＜x≤或＜x＜3，即1＜x＜3．即有解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为[，1）．【考点】余弦定理．【分析】设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．由于⊥，可得•=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．【解答】解：设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．∴•=（t﹣）•（﹣）=﹣t2+（+1）•﹣2．∵⊥，∴•=﹣t2+（+1）•﹣2=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，∴f（0）≤f（t）≤f（1），即：≤f（t）≤，即：≤cosA≤，∵A∈（0，π），∴cosA＜1，∴cosA的取值范围是：[，1）．故答案为：[，1）．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（0，1）∪[3，+∞）．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由题意作平面区域，从而结合图象可知y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，且当0＜a＜1时，一定成立；故答案为：（0，1）∪[3，+∞）．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是{a|a≤﹣4或a≥0} ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点⇔函数f（x）在（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（01，）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值⇔函数f（x）=x2+2x+alnx 在区间（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立．由f′（x）=2x+2≥0在（0，1）内恒成立⇔a≥（﹣2x﹣2x2）max，x∈（0，1）．即a≥0，由f′（x）=2x+2≤0在（0，1）内恒成立⇔a≤（﹣2x﹣2x2）min，x∈（0，1）．即a≤﹣4，故答案为：a≤﹣4或a≥0．故答案为：{a|a≤﹣4或a≥0}．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为（2，4）．【考点】全称命题；特称命题．【分析】由①可得当x≤﹣1时，g（x）＜0，根据②可得g（1）=a（1﹣a+3）＞0，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：∵已知函数，根据①∀x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．由f（x）≥0，求得x≤﹣1，即当x≤﹣1时，g（x）＜0恒成立，故，解得：a＞2；根据②∃x∈（﹣1，1），使f（x）•g（x）＜0成立，∴g（1）=a（1﹣a+3）＞0，解得：0＜a＜4，综上可得：a∈（2，4），故答案为：（2，4）14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为64或65．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，则2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论后求得满足条件的正整数A的值．【解答】解：依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，∴2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：2t≤A＜2t+1，2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2，，故max{}≤A＜min{}，由以下关系：2t+d﹣3＜2t+1，，得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=2时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=3时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＞2t，适合题意．此时2t≤A＜，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴≤A＜．当t=4时，24≤A＜，∴无解．当t=5时，25≤A＜，∴无解．当t=6时，26≤A＜，∴64≤A＜．当t=7时，27≤A＜，∴无解．则26≤A＜．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：A=64或65．故答案为：64或65．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）利用已知条件求出sin（）与cos（），然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．（2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：（1）角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，可得sin（）=，cos（）=，sin（2）=2sin（）cos（）==，cos（2）=2×=．=sin（2﹣）=sin（2）cos﹣sin cos（2）==．（2）∵，∴tan（2α+2β）===．sin（2）=，cos（2）=．tan（2）=．tan（2α+2β）=tan[（）+（2）]==，解得=．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，从而BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，得AC ⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．（2）由四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD与AB有交点P，从而直线l∩平面ABCD=P，由此得到直线l不能与平面ABCD平行．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊥PA，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）直线l不能与平面ABCD平行．理由如下：∵四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，∴CD与AB有交点P，∴P∈l，∴直线l∩平面ABCD=P，∴直线l不能与平面ABCD平行．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，求得M，N的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，即有•=﹣，化为+=1；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，可得（2+m2）y2+2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，x1=my1+，x2=my2+，由题意可得，过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，解得M（﹣，），N（，﹣），可得k AM+k BN=+，通分后的分子=x2y1﹣x2﹣y1+x1y2+x1+y2+=2my1y2+（y1+y2）+（x1﹣x2）+（y2﹣y1）+=﹣﹣+（y1﹣y2）+（y2﹣y1）+=0．即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．【解答】解：（1）由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α，∴r=，∴圆锥的高h===．∴V==．（2）V==≤=2．当且仅当4π2﹣α2=即α=时，取等号．∴当α=时，体积V取得最大值．（3）当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r=．设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示，则OD=R，CD=CE=，AC=3，∴AE=，AD=3﹣．由△AOD∽△ACE得，∴，解得R=3≈0.8．∵0.8＞0.5，∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比关系的确定．=1作差可知a n+1=3a n（n≥2），进而可知数列{a n}【分析】（1）通过S n+1﹣3S n=1与S n﹣3S n﹣1是首项为1、公比为3的等比数列；（2）通过（1）可知a n=3n﹣1、S n=（3n﹣1），假设存在满足题意的项a k，则3k﹣1=S r+t﹣S t，进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣=2，进而可得结论；（3）通过（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，通过化简可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0可知当p≥3时不满足题意，进而验证当p=2时是否满足题意即可．【解答】（1）证明：∵S n+1﹣3S n=1，=1，∴当n≥2时，S n﹣3S n﹣1两式相减得：a n+1=3a n，又∵S n+1﹣3S n=1，a1=1，∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式，∴数列{a n}是首项为1、公比为3的等比数列；（2）解：结论：不存在满足题意的项a k；理由如下：由（1）可知a n=3n﹣1，S n==（3n﹣1），假设数列{a n}中存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和，则3k﹣1=S r+t﹣S t=（3r+t﹣1）﹣（3t﹣1）=（3r+t﹣3t）=•3t（3r﹣1），于是（3r﹣1）=3x（其中x为大于1的自然数），整理得：3r﹣x﹣=2，显然r无解，故假设不成立，于是不存在满足题意的项a k；（3）解：结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；理由如下：由（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，则2b p=b1+b q，即2=+，整理得：2p•3q﹣p=3q﹣1+q，∴q=2p•3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），∵当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0，∴当p≥3时不满足题意，当p=2时，2=+即为：=+，整理得：=，解得：q=3，综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．【解答】解：（1）若ax＞lnx恒成立，则a＞，在x＞0时恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）==．即a＞．（2）设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），则f′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），则切线斜率k=，则过原点且与f（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，即y=x﹣1+lnm，∵g（x）=ax，∴，得m=e，a=．即当a＞时，ax＞lnx恒成立．当a=时，当x0≥时，要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．当0＜a＜时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．【解答】证明：如图示：，连结OD、AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，AB=2AO，∵DC是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴△ADB≌△ODC，∴AB=CO，即2OA=OA+CA，∴CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：由得，即5≤x≤7，由平方得y2=x﹣5+7﹣x+2=2+2，∵5≤x≤7，∴当x=6时，函数y2=2+2取得最大值为y2=2+2=4，当x=5或7时，函数y2=2+2取得最小值为y2=2，即2≤y2≤4，则≤y≤2，即函数的最大值为2．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AP=AB=AD=2BC=2，则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），=（2，1，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线PC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为．（2）=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，2，2），设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，∴θ=135°，∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？【考点】归纳推理．【分析】（1）若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得a7，a10中一个为1，一个为0，进而得到答案；（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，进而得到答案．【解答】解：（1）若第二层的两个数为0或1，则a1=a2+a3，由a1为奇数，可得第二层的两个数有2种不同的取法；若第三层的三个数为0或1，则a1=a4+2a5+a6，由a1为奇数，可得第三层的三个数有4种不同的取法；若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得第四层的四个数有8种不同的取法；（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，则a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，若a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，即a57，a58，…，a65中有2个1或2个0，则第十一层十一个数共有=144种不同取法．2020年8月12日。
2020高考模拟考试试卷数学理科数学含答案
a为．y y⎪数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共 150 分，考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 若 z = 2 - bi (b ∈R )为纯虚数,则 b 的值为．2 + iA ．- 1B ．1C ．- 2D ．4 2． 在等差数列 { }中， a + a = 16, a = 1 ，则 a 的值是． n5739A ．15B ．30C ． - 31D ．643．给出下列命题：① 若平面 α 内的直线 l 垂直于平面 β 内的任意直线，则α ⊥ β ； ② 若平面 α 内的任一直线都平行于平面 β ，则 α // β ； ③ 若平面 α 垂直于平面 β ，直线 l 在平面内 α ，则 l ⊥ β ； ④ 若平面 α 平行于平面 β ，直线 l 在平面内 α ，则 l // β ．其中正确命题的个数是．A ．4B ．3C ．2D ．14．已知函数 f ( x ) = ⎛ 1 ⎫ x -1 - 1 ，则 f ( x ) 的反函数 f -1 ( x ) 的图像大致 ⎝ 2 ⎭y y-1ox -1 ox -1 ox -1oxABCD5．定义集合 M 与 N 的运算： M * N = {x x ∈ M 或x ∈ N , 且x ∉ M I N } ，⎪4C ． π - αD ． 3π - α4 B ． α +π则 (M * N ) * M = A ． M I NB ． M Y NC ． MD ． N6．已知 cos(α + π ) = 1 ，其中 α ∈ (0, π ) ，则 sin α 的值为．432A ． 4 - 2B ． 4 + 2C ． 2 2 - 1D ． 2 2 - 166 6 37．已 知 平 面 上 不 同 的 四 点 A 、 B 、 C 、 D ， 若DB ·DC + CD ·DC + DA ·BC = 0 ，则三角形 ABC 一定是．A ．直角或等腰三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形8．直线： x + y + 1 = 0 与直线： x sin α + y cos α - 2 = 0⎛ π < α < π ⎫ 的夹⎝ 4 2 ⎭角为．A ． α - π4 49．设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的以 5 为周期的奇函数，若f (2) > 1, f (3) = a 2 + a + 3，则 a 的取值范围是．a - 3A ． (-∞,-2) Y (0,3)B ． (-2,0) Y (3,+∞)C ． (-∞,-2) Y (0,+∞)D ． (-∞,0) Y (3,+∞)10． 若 log x = log x = log 21a2a系为．(a +1)x > 0 (0 < a < 1) ，则 x 、x 、x 的大小关3 1 2 3A ． x < x < x32 1D ． x < x < x231B ． x < x < x2 13C ． x < x < x1 3211． 点 P 是双曲线 y 2 - x 2 = 1 的上支上一点，F 1、F 2 分别为双曲线9 16的上、下焦点，则∆PF F 的内切圆圆心 M 的坐标一定适合的方程是．1 2A ． y = -3B ． y = 3C ． x 2 + y 2 = 5D ． y = 3x 2 - 212． 一个三棱椎的四个顶点均在直径为 6 的球面上，它的三条侧棱两两垂直，若其中一条⎨ ⎪5 - bx, x > 1.侧棱长是另一条侧棱长的 2 倍，则这三条侧棱长之和的最大值为．A ．3B ． 4 3C ． 2 105D ． 2 21555第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共四小题，每小题4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上.⎧2 x , 13 ．设函数 f ( x ) = ⎪a,x < 1,x = 1, 在 x = 1 处连续，则实数 a, b 的值分别⎩为．14．以椭圆 x 2 + y 2 = 1 的右焦点为焦点，左准线为准线的抛物线方程 5 4为．15．如图，路灯距地面 8m ，一个身高 1.6m过路A的人沿穿灯的直路以 84m/min 的速度行走，人影1.6O NC M B长度变化速率是m/min ．16．在直三棱柱 ABC - A B C 中，有下列三个条件：1 1 1① A B ⊥ AC ；② A B ⊥ B C ；③ B C = A C ．11111 11 1以其中的两个为条件，其余一个为结论，可以构成的真命题是（填上所有成立的真命题，用条件的序号表示即可）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = cos x( 3 sin x - cos x), x ∈ R ． (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值；(Ⅱ)试说明该函数的图像经过怎样的平移和伸缩变换，可以得到y=sin x,x∈R的图像？18．（本小题满分12分）已知数列{a}的首项a=2，且2a=a+1(n∈N*)．n1n+1n(Ⅰ)设b=na，求数列{b}的前n项和T；n n n n(Ⅱ)求使不等式a-a<10-9成立的最小正整数n．(已知n+1nlg2=0.3010)19．（本小题满分12分）甲、乙两人进行投篮比赛，每人投三次，规定：投中次数多者获胜，投中次数相同则成平局．若甲、乙两人的投篮命中的概率分别为2和1，且两人每次投篮是否命中是相互独立的．32(Ⅰ)求甲、乙成平局的概率；P(Ⅱ)求甲获胜的概率．D C 20．（本小题满分12分）A B如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AB//CD,AB⊥AD,AD=CD=2A B=2，侧面∆APD为等边三角形，且平面APD⊥平面ABCD．(Ⅰ)若M为PC上一动点，当M在何位置时，PC⊥平面MDB，并证明之；(Ⅱ)求直线AB到平面PDC的距离；(Ⅲ)若点G为∆PBC的重心，求二面角G-BD-C的大小．21．（本小题满分12分）y M B 1A 1o A2xB2如图，已知 A 1、A 2 为双曲线 C ： x 2 - y 2 = 1(a > 0, b > 0) a 2b 2的两个顶点，过双曲线上一点 B 1 作 x 轴的垂线，交双 曲线于另一点 B 2，直线 A 1B 1、A 2B 2 相交于点 M ． (Ⅰ)求点 M 的轨迹 E 的方程；(Ⅱ)若 P 、Q 分别为双曲线 C 与曲线 E 上不同于A 1、A 2 的动点，且 A P + A P = m ( A Q + A Q ) ( m ∈ R ,且 m > 1)，1212设直线 A 1P 、A 2P 、A 1Q 、A 2Q 的斜率分别为 k 1、k 2、k 3、k 4， 试问 k 1+k 2+k 3+k 4 是否为定值？说明理由．22．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - bx + 1 ( x ∈ R, a ,b 为实数)有极值，且3x = 1 在处的切线与直线 x - y + 1 = 0 平行．(Ⅰ)求实数 a 的取值范围；(Ⅱ)是否存在实数 a ，使得函数 f ( x ) 的极小值为 1，若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)设 a = 1 ， f ( x ) 的导数为 f '( x ) ，令 g ( x ) = f '( x + 1) - 3, x ∈ (0,+∞) ，2 x求证：g n ( x ) - x n- 1≥ 2 n - 2 (n ∈ N * ) ．x n=3sin2x-………………………………………（2=sin(2x-)-…………………………………………（46)有最大值1．此时函数f(x)的值最大,最大值为数学(理科)参考答案一、选择题：DABCD ADAAD BC二、填空题：13．a=2,b=3；14．y2=12(x+2)；15．21；16．①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①．三、解答题：17．(Ⅰ)f(x)=3sin x cos x-cos2x1+cos2x22分）π162分）当2x-π=2kπ+π,(k∈Z)，即x=kπ+π,(k∈Z)时，623sin(2x-π1．……（6分）2(Ⅱ)将y=sin(2x-π)-1的图像依次进行如下变换：62①把函数y=sin(2x-π)-1的图像向上平移1个单位长度，得到622函数y=sin(2x-π6)的图像；…………………………………………（8分）②把得到的函数图像上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(x-π)6的图像；…………………………………………（10分）③将函数y=sin(x-π)的图像向左平移π个单位长度，就得到66函数y=sin x的图2 ∴ a = ⎪⎝2⎭⎝ 2 ⎭ ⎪ ∴T = 1· ⎪ + 2· ⎪ + 3· ⎪ + Λ + n · ⎪⎝2⎭ ⎝2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭∴ T = 1· ⎪ + 2· ⎪ + Λ + (n - 1) ⎪ 1 n (n + 1) ………+ n · ⎪ + ·T = 4 - (4 + 2n) ⎪ + ⎝ 2 ⎭ - a = ⎪ < 10 -9⎝2⎭C ⨯ ⎪ ⨯ ⨯ C 2 ⨯ ⎪ =⎝3⎭ 3⎝ 2 ⎭像．…………………………………………（12 分）（注：如考生按向量进行变换，或改变变换顺序，只要正确，可给相应分数）18．(Ⅰ)由 2an +1= a + 1得 ann +1 - 1 = 1 2(a - 1) n可知数列{a - 1} 是以 a - 1 = 1 为首项，公比为 1 的等比数列． n 1n⎛ 1 ⎫ n -1+ 1 (n ∈ N * ) . …………………………………………（4分）从而有 b = na = n ·⎛ 1 ⎫n -1+ n ．n nT = b + b +Λ + b n 1 2n n⎛ 1 ⎫ 0 ⎛ 1 ⎫1 ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ n -1 + (1 + 2 + Λ + n) ………①1 ⎛ 1 ⎫1 ⎛ 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫ n -12 n ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎛ 1 ⎫ n⎝ 2 ⎭ 2 2②n ①⎛1⎫ n- ② 并 整 理 得n(n + 1) ． ………………（8 分）2(Ⅱ) a n +1n⎛ 1 ⎫ n两边取常用对数得： n > 9 ≈ 29.9lg 2∴ 使 不 等 式 成 立 的 最 小 正 整 数30． ………………………………（12 分）19．(Ⅰ) 甲、乙各投中三次的概率：n 为⎛ 2 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎪ ⨯ ⎪ =⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 , …………………………………………（1 分） 27甲、 乙各投中两次的概率：23 3 ⎛ 2 ⎫ 2 1 ⎛ 1 ⎫ 3 1 , …………………………………（ 2 61 ,…………………………（ 3C 1 ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ ⨯ C 1 ⨯ ⎪ = ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 12⎪ ⨯ 1 - ⎪ =2 ,………（ 9C ⨯ ⎪ ⨯ ⨯ ⎢C 0 ⨯ ⎪ + C 1 ⨯ ⎪ ⎥=⎝ 3 ⎭ 3 ⎢ 3 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎥ 9C 1 ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ ⨯ ⎪ = ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭分）甲、 乙各投中一次的概率：⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ 333 分）甲、 乙两人均投三次，三次都不中的概率：⎛ 1 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3⎪ ⨯ ⎪ =⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 , …………………………………………（4 216分）∴甲、乙平局的概率是： 1 + 1 + 1 + 1 = 7 ． ……………27 6 12 216 24（6 分）(Ⅱ) 甲投中三球获胜的概率：⎛ 2 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 7 , …………………………………⎝ 3 ⎭ ⎝ 8 ⎭ 27（8 分）甲投中两球获胜的概率：⎛ 2 ⎫ 2 1 ⎡ ⎛ 1 ⎫ 3 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎤ 2 3 3分）甲投中一球获胜的概率：3⎛ 2 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ 31 , (36)（10 分）甲获胜的概率为： 7 + 2 + 1 = 55 ．………………………27 9 36 108（12 分）20．(Ⅰ) 当 M 在中点时，PC ⊥ 平面 MDB ………………………………（1 分）连结 BM 、DM ，取 AD 的中点 N ，连结 PN 、NB ． ∵ PN ⊥ AD 且面 P AD ⊥ 面 ABCD ， ∴ PN ⊥ 面 ABCD ． 在 Rt ∆PNB 中， PN = 3, NB = 2, ∴ PB = 5,CM =又 BC = 5 ． ∴ BM ⊥ PC……………………………………（3分）又 PD = DC = 2, 又 DM I BM = M ,∴ DM ⊥ PC ，∴ PC ⊥ 面 MDB ． ……………………（4分）(Ⅱ) AB // CD, C D ⊂ 面 PDC ， AB ⊄ 面 PDC ，∴ AB // 面 PDC ．∴AB 到面 PDC 的距离即 A 到面 PDC 的距离． ………………（6 分）Θ CD ⊥ DA, C D ⊥ PN , DA I PN = N , ∴ CD ⊥ 面 PAD ，又 DC ⊂ 面 PDC ，∴面 P AD ⊥ 面 PDC ．作 AE ⊥ PD ，AE 就是 A 到面 PDC 的距离，∴ AE = 3 , 即 AB 到平面 PDC 的距离为 3 ．………………（8 分）(Ⅲ)过 M 作 MF ⊥ BD 于 F ，连结 CF ．Θ PC ⊥ 面 MBD ，∴ ∠MFC 就是二面角 G - BD - C 的平面角． ………………（10分）在 ∆BDC 中， BD = 5, DC = 2, BC = 5,∴ CF = 4 5, 又 CM = 2,5∴ s in ∠MFC = 10 ． CF 4即二面角 G - BD - C 的大小是 arcsin 10 ．4……………（12分）21．(Ⅰ) 设 B ( x , y ) 、 B ( x ,- y ) 且 y ≠ 0 ，由题意 A (-a,0) 、 A (a,0) ，1212则直线 A 1B 1 的方程为： y = x + a ………①y x + a0 0直线 A 2B 2 的方程为： - y = x - a ………②…………（2y x - a0 0分）x , 由①、②可得 ⎪⎪⎨ 0⎩a 2 b 2b 2 x + a x - a x 2 - a 2 a 2 y a 2 y∴O 、P 、Q 三点共线，………………………………yy⎧ a 2 x = ⎪ y = ay ． ⎪ 0 x………………………………（ 4分）a 4 a 2 y 2又点 B ( x , y ) 在双曲线上，所以有 x 2 - x 2 = 1 ，1 0 0 整理得 x2 + y 2 = 1 ，a 2b 2所以点 M 的轨迹 E 的方程为 x 2 + y 2 = 1（ x ≠ 0 且 y ≠ 0 ）．……a 2b 2（6 分）(Ⅱ) k 1+k 2+k 3+k 4 为定值．设 P ( x , y ) ，则 x 2 - a 2 = a 2 y 12 ，1 1 1分）则 k + k = y 1 + y 1 = 2 x 1 y 1 = 2b 2 · x 1 ……③ 1 2 1 1 1 1设 Q ( x , y ) ，则同理可得 k + k = - 2b 2 · x 2 ……④ ………（82 234 2设 O 为原点，则 A P + A P = 2OP , A Q + A Q = 2OQ ．1212Θ A P + A P = m ( A Q + A Q)∴ O P = mOQ1 212（10 分）∴ x 1 = x 2 , 再由③、④可得，k 1+k 2+k 3+k 4 = 0 yy12∴k 1+k 2+k 3+k 4 为定值 0．………………………………（12 分）另解：由 A P + A P = m ( A Q + A Q ) ，1212得 ( x + a , y ) + ( x - a , y ) = m [( x + a , y ) + ( x - a , y )] 111122 2 2即 ( x , y ) = m ( x , y )∴ x1 = x2 ,112212再由③、④可得，k 1+k 2+k 3+k 4 = 022．(Ⅰ) ∵ f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - bx + 13xx 10 0 3∴ -a + a 2 + 2a = 4∴ a = - < -2 ,- 3 = x 2 + 1= x +∴ f '( x ) = x 2 + 2ax - b由题意 f '(1) = 1 + 2a - b = 1∴ b = 2a……①………………………………………（2 分）∵ f ( x ) 有极值，∴方程 f '( x ) = x 2 + 2ax - b = 0 有两个不等实根．∴ ∆ = 4a 2 + 4b > 0∴ a 2 + b > 0 ……②由①、②可得， a 2 + 2a > 0∴ a < -2 或a > 0 ．故实数 a 的取值范围是 a ∈ (-∞,-2) Y (0,+∞)…………（4 分）(Ⅱ)存在 a = - 8 ，………………………………………（5 分）3由(Ⅰ)可知 f '( x ) = x 2 + 2ax - b ，令 f '( x ) = 0 ，∴ x = -a + a 2 + 2a , x = -a - a 2 + 2a12(-∞, x )( x , x )1 12x 2( x ,+∞)2f '( x )f ( x )＋ － ＋单调增 极大值 单调减 极小值 单调增（7 分）（8 分）∴ x = x 时， f ( x ) 取极小值， ………………………………………2则 f ( x ) = 1 x 3 + ax 2 - 2ax + 1 = 1, ∴ x = 0 或 x 2 + 3ax - 6a = 0 ， 2 2 2 2 2 2若 x = 0 ，即 - a + a 2 + 2a = 0 ，则 a = 0 （舍） ………………2若 x 2 + 3ax - 6a = 0 ，又 f '( x ) = 0 ，∴ x 2 + 2ax - 2a = 0 ,22222∴ ax - 4a = 0 ,Θ a ≠ 0∴ x = 4 , 2283∴存在实数 a = - 8 ， 使 得 函 数 f ( x ) 的 极 小 值 为31．…………（9 分）(Ⅲ) Θ a = 1 , f '( x ) = x 2 + x - 12 ∴ f '( x + 1) = x 2 + 3x + 1 ,∴ f '( x + 1)1 , x x x∴ g ( x ) = x + ,x ∈ (0,+∞) ．…………………………………（ 10= x + ⎪ - x n - = C x ⎪+ C2 x n -2 ⎪ +Λ + C n -2 x 2 ⎪ + C n -1 x ⎪ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ x ⎭ ⎝ 2 ⎢⎣ n ⎝ x n -2 ⎭ ⎝ ⎝ x n -2 + x n -2 ⎪⎥ 2 ⎣ x n -2 x n -4⎢1 x分）g n ( x ) - x n -1 ⎛ 1 ⎫ nx n ⎝ x ⎭ 1 x n⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ 2 ⎛ 1 ⎫ n -2 ⎛ 1 ⎫ n -1 1 n -1 n n n n= 1 ⎡ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 C 1 x n -2 + ⎪ + C 2 x n -4 + ⎪ + Λ + C n -1 n n ⎫⎤ ⎭⎦≥ 1 ⎡C 1 2 x n -2 · 1 + C 2 2 x n -4 · 1 + Λ + C n -1 2 n n n 1 x n -2 ⎤·x n -2 ⎥ ⎦= C 1 + C 2 + Λ + C n -1 = 2 n - 2n n n∴其中等号成立的条件为 x = 1 ．…………………………………（13 分）∴ g n ( x ) - x n - 1 ≥ 2 n - 2 (n ∈ N * )…………………………（ 14x n分）。
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高2020考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，少年！参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合M={x||x|≤2},N={x|x2-3x=0}，则M∩N=（）A．{3}B．{0}C．{0，2}D．{0，3}2．若(a-2i)i=b-i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a2+b2=（）A．0B．2C．5D．52 3．lim x+3=x→-3x2-9（）A．-16B．0C．16D．134．已知高为3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是边长为1的正三角形（如图1所示），则三棱锥B′—ABC的体积为（）A．14 C．36B．12 D．345．若焦点在x轴上的椭圆x2+y2=1的离心率为1，则m=（）2m2A．3B．3C．823 6．函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为A．(2,+∞)B．(-∞,2)C．(-∞,0)D．23（）D．（0，2）A ． 1 C ． 1 D ． 1B ． 5 }满足x = 1 , x =22n →∞7．给出下列关于互不相同的直线 m 、l 、n 和平面α 、β 的四个命题：①若 m ⊂ α, l ⋂ α = A,点A ∉ m , 则l 与m 不共面 ；②若 m 、l 是异面直线， l // α, m // α, 且n ⊥ l, n ⊥ m , 则n ⊥ α ； ③若 l // α, m // β ,α // β , 则l // m ；④若 l ⊂ α, m ⊂ α , l ⋂ m = 点A, l // β , m // β , 则α // β . 其中为假命题的是 （ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、 3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为 X 、Y ，则 log Y = 1 的概率为 （ ）2 X636129．在同一平面直角坐标系中，函数 y = f ( x ) 和y = g ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称. 现将 y = g ( x ) 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 1 个单位， 所得的图象是由两条线段组成的折线 （如图 2 所示），则函数 f ( x ) 的表达式为（ ）2⎧2 x + 2,-1 ≤ x ≤ 0 A ． f ( x ) = ⎪⎨ x⎪⎩ 2 + 2,0 < x ≤ 2⎧2 x - 2,1 ≤ x ≤ 2C ． f ( x ) = ⎪⎨ x⎪⎩ 2 + 1,2 < x ≤ 4 ⎧2 x - 2,-1 ≤ x ≤ 0B ． f ( x ) = ⎪⎨ x⎪⎩ 2 - 2,0 < x ≤ 2⎧2 x - 6,1 ≤ x ≤ 2D ． f ( x ) = ⎪⎨ x⎪⎩ 2 - 3,2 < x ≤ 410．已知数列{xn2 n x 1( xn -1+ xn -2), n = 3,4,Λ .若 lim x = 2, 则x =（ ）n 1A ． 32B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.11．函数 f ( x ) =11 - e x的定义域是 .12．已知向量 a = (2,3), b = ( x ,6), 且a // b , 则 x =.13．已知 ( x cos θ + 1) 5的展开式中 x 2的系数与 ( x + 5 ) 4 的展开式中 x 3 的系数 4相等，则 cos θ =.14．设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)=；当n>4时，f(n)=.（用n表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（本小题满分12分）化简f(x)=cos(6k+1π+2x)+cos(6k-1π-2x)+23sin(π+2x)(x∈R,k∈Z),并333求函数f(x)的值域和最小正周期.16．（本小题满分14分）如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=234.F是线段PB上一点，CF=1534，点E在线段AB上，17且EF⊥PB.（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；（Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小.17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系x Oy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.18．（本小题满分12分）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数.（Ⅰ）求ξ的分布列；（Ⅱ）求ξ的数学期望.19．（本小题满分14分）设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0.（Ⅰ）试判断函数y=f(x)的奇偶性；（Ⅱ）试求方程f(x)=0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD 边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上.（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（Ⅱ）求折痕的长的最大值.YD CO(A)B X（图5)参考答案一、选择题1B2D3A4D5B6D7C8C9A10B11.{x|x<0} 12.4 13. ± 214. 5, (n - 2)(n + 1)2 1 10 6⨯ = 30二、 填空题1 22三、 解答题15．解：f ( x ) = cos(2k π +π3 + 2 x) +cos(2k π -π 3 - 2 x) + 2 3 sin( π3 + 2 x)= 2 cos( π π+ 2 x ) + 2 3 sin( 3 3+ 2 x ) = 4 cos 2 x函数 f(x)的值域为[ - 4 ,4];函数 f(x)的周期 T = 2π = π ；ω16．（I ）证明：∵ P A 2 + AC 2 = 36 + 64 = 100 = PC 2∴ △ PAC 是以∠ PAC 为直角的直角三角形，同理可证△ PAB 是以∠ PAB 为直角的直角三角形，△ PCB 是以∠ PCB 为直角的直角三角形。
故 PA⊥平面 ABC又∵ S∆PBC =1| AC || BC |= ⨯ 2而 1 | PB || CF |= 1 ⨯ 2 34 ⨯ 15 34 = 30 = S2 2 17∆PBC故 CF⊥PB,又已知 EF⊥PB∴ PB⊥平面 CEF（II ）由（I ）知 PB⊥CE,PA⊥平面 ABC∴ AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影，故 AB⊥CE在平面 PAB 内，过 F 作 FF1 垂直 AB 交 AB 于 F1，则 FF1⊥平面 ABC ，tan ∠FEB = cot ∠PBA = AB ⎪⎪ 3 ⎪ y = y 1+ y 2 ⎩ 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2EF1 是 EF 在平面 ABC 上的射影，∴ EF⊥EC故∠ FEB 是二面角 B —CE —F 的平面角。
10 5= =AP 6 3二面角 B —CE —F 的大小为 arctan 5317 ． 解 ：（ I ） 设 △ AOB 的 重 心 为 G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则⎨⎪3⎧ x + xx = 1 2 (1)∵ OA⊥OB ∴ k ⋅ k O AOB = -1 ,即 x x + y y = -1，... (2)1 2 1 2又点 A ，B 在抛物线上，有 y = x 2 , y = x 2 ，代入（2）化简得 x x = -11 1 221 2∴ y = y 1 + y 2 = 1 ( x 2 + x 2 ) = 1 [( x + x ) 2 - 2 x x ] = 1 ⨯ (3x) 2 + 2 = 3x 2 + 21 2 1 2 1 2所以重心为 G 的轨迹方程为 y = 3x 2 + 23（II ） S∆AOB = 1 2 | OA || OB |= 1 1 ( x 2 + y 2 )( x 2 + y 2 ) = x 2 x 2 + x 2 y 2 + x 2 y 2 + y 2 y 21 12 2 1 2 1 2 2 1 1 2由（I ）得 S ∆AOB = 1 1 1 1x 6 + x 6 + 2 ≥ 2 x 6 ⋅ x 6 + 2 = 2 (-1) 6 + 2 = ⨯ 2 = 11 2 1 2当且仅当 x 6 = x 6 即 x = - x = -1 时，等号成立。
1212所以△ AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值 1；18．解：(I)ξ 的可能取值为：0,1,2,… ,nξ的分布列为ξ012…n-1np s st2…st n-1t n s+t(s+t)2(s+t)3(s+t)n(s+t)n (II)ξ的数学期望为st19.解:（Ⅰ）由 ⎧ f (2 - x) = f (2 + x) ⎧ f ( x) = f (4 - x) ⎨ ⇒⎨⇒ f (4 - x) = f (14 - x)f (7 - x) = f (7 + x) f ( x ) = f (14 - x)OG ⋅ k = -1, k = -1 ⇒ a = -ks st st 2 st n -1 t nE ξ = 0 ⨯ + 1⨯ + 2 ⨯ + ... + (n - 1)⨯ + n ⨯s + t (s + t )2 (s + t )3 (s + t )n (s + t )n (1)t st 2 2st 3 (n - 2)st n -1 (n - 1)st n nt n +1E ξ = + + ... + + + s + t (s + t )3 (s + t )4 (s + t )n (s + t )n +1 (s + t )n +1 (2)(1)－(2)得t nt n +1 (n - 1)t n (n - 1)t n E ξ = - - +s s(s + t )n (s + t )n s(s + t )n -1⎩ ⎩⇒ f ( x ) = f ( x + 10) ,从而知函数 y = f ( x ) 的周期为 T = 10又 f (3) = f (1) = 0,而f (7) ≠ 0 ,f (-3) = f (-3 + 10) = f (7) ≠ 0 ，所以 f (-3) ≠ ± f (3)故函数 y = f ( x ) 是非奇非偶函数;(II) 又 f (3) = f (1)= 0, f (11)= f (13) = f (-7) = f (-9) = 0故 f(x) 在 [0,10] 和 [-10,0] 上 均 有 有 两 个 解 , 从 而 可 知 函 数 y = f ( x ) 在[0,2005]上有 402 个解,在[-2005.0]上有 400 个解,所以函数 y = f ( x ) 在[-2005,2005]上有 802 个解.20.解(I)（1）当 k = 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程 y = 1 2（2）当 k ≠ 0 时，将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1)所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称，有 k 1a故 G 点坐标为 G (-k ,1) ，从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标（线段OG 的中点）为 M (- k , 1 )2 2折痕所在的直线方程 y - 1 = k ( x + k ) ，即 y = kx + k 2 + 12222由（1）（2）得折痕所在的直线方程为：k 2 1y = kx + +2 2y=P'N2=22+[-(2k++)]2=4+4k2≤4+4(7-43)=32-163.（3）当-2≤k≤-1时，直线交DC于N'(1（II）折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为N(0,k2+1),P(-k2+1,0)22k解k2+1≤1得-1≤k≤0；解-k2+1≤2得-2-22k当A与D重合时，k=－23≤k≤-2+3（1）当-2+3≤k≤0时，直线交BC于P'(2,2k+k2+1)22k2+1k21222（2）当-1≤k≤-2+3时，y/=k2+1k2+1(k2+1)3y=PN2=()2+(-)2=22k4k2 3(k2+1)2⋅2k⋅4k2-(k2+1)3⋅8k16k4令y/=0解得k=-2,此时y=PN2=27216∴PN2max=32-163k-,1)2k2k2+11k1y=PN'2=12+[--(-)]2=1+2k2k2k2≤1+1=2所以折痕的长度的最大值为32-163=2(6-2)。