二次函数作业
人教版2022年九年级“寒假作业”专项练习：04 二次函数定义、图象和性质(含解析)
人教版2022年九年级“寒假作业”专项练习：04 二次函数定义、图象和性质1.二次函数的概念：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。
抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与性质：（1）对称轴：2bx a=-（2）顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- （3）与y 轴交点坐标（0，c ） （4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大； 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。
3.二次函数的解析式三种形式：（1）一般式：y=ax 2 +bx+c (a≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式； （2）顶点式：2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a -=-+.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式；（3）交点式：12()()y a x x x x =--.已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。
4．根据图像判断a,b,c 的符号：（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。
（2）b ——对称轴与a 左同右异。
（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ）yxO一．选择题（共7小题）1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝2x﹣1B．y＝C．y＝2x2﹣1D．y＝2x3﹣12．二次函数y＝x2+2x+1的常数项是（）A．1B．2C．﹣1D．03．抛物线y＝x2+4x﹣1的顶点坐标向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（）A．（4，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣1，﹣4）D．（1，﹣4）4．下列对二次函数y＝﹣x2+2x的图象的描述，正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．对称轴是y轴C．经过点（m﹣1，﹣m2+1）D．有最小值5．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．6．已知A（﹣，y1），B（，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y27．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣1，则下列结论：①abc＞0，②a+b＜﹣c，③4d﹣2b+c＞0，④3b+2c＜0，⑤a﹣b＞m（am+b）（其中m为任意实数）．中正确的个数是（）8．已知y＝+2x﹣3是二次函数式，则m的值为．9．二次函数y＝（x+4）2﹣1的顶点坐标是．10．已知抛物线y＝﹣（x+2）2，当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小．11．已知二次函数y＝x2+2x﹣3，当﹣3＜x＜1时，函数值y的取值范围为．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣3，0），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO，则此抛物线的解析式是．三．解答题（共6小题）13．求抛物线y＝﹣x2+4x+5的开口方向、对称轴、顶点坐标．14．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．15．已知抛物线L：y＝（m﹣2）x2+x﹣2m（m是常数且m≠2）．（1）若抛物线L有最低点，求m的取值范围；（2）若抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同，开口方向相反，求m的值．16．如图，二次函数y＝﹣x2+4x+k的图象经过A（2，0），与y轴交于点B．（1）求点B的坐标；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点C（0，2），交x轴于点A（﹣3，0）和点B（点A在点B的左侧）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使点A、B、P构成的三角形是以AB为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点，点．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P 与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．求m的取值范围；参考答案一．选择题（共7小题）1．【解答】解：A、y＝2x﹣1是一次函数，不符合题意；B、y＝是反比例函数，不符合题意；C、y＝2x2﹣1是二次函数，符合题意；D、y＝2x3﹣1是三次函数，不符合题意．故选：C．2．【解答】解：二次函数y＝x2+2x+1的常数项是1．故选：A．3．【解答】解：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，即抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），把点（﹣2，﹣5）向上平移一个单位后，再向右平移一个单位后的坐标为（﹣1，﹣4）．故选：C．4．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，a＝﹣1，∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，1），当x＝1时，y有最大值1，∴选项A、B、D不符合题意；∵当x＝m﹣1时，y＝﹣（m﹣1）2+2（m﹣1）＝﹣m2+1，∴图象经过点（m﹣1，﹣m2+1），故选项C符合题意．故选：C．5．【解答】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，∴a＞0，b＞0，∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C正确；D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，故选：B．6．【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣k，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x＜2时，y随x增大而增大，∵﹣＜﹣＜＜2，∴y1＜y3＜y2，故选：C．7．【解答】解：∵开口向下，∴a＜0，∵抛物线和y轴的正半轴相交，∴c＞0，∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①正确；当x＝1时，y＜0，则a+b+c＜0，∴a+b＜﹣c，故②正确；由图象可知，当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故③正确；∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，∴a＝b，∴b+b+c＜0，∴3b+2c＜0，故④正确；∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，所以当m为任意实数时，有a﹣b+c≥am2+bm+c，所以a﹣b≥m（am+b），故⑤错误．故选：C．二．填空题（共5小题）解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．9．【解答】解：∵y＝（x+4）2﹣1，∴抛物线的顶点为（﹣4，﹣1），故答案为：（﹣4，﹣1）．10．【解答】解：∵y＝﹣（x+2）2，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，∴x＜﹣2时，y随x增大而增大，x＞﹣2时，y随x增大而减小，故答案为：＜﹣2，＞﹣2．11．【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴可知图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4），把x＝﹣3代入y＝x2+2x﹣3得，y＝0，∴当﹣3＜x＜1时，函数值y的取值范围是﹣4≤y＜0．故答案为：﹣4≤y＜0．12．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+4与y轴交于点C，∴C（0，4），∴OC＝4，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，∴AC＝5，∵AB平分∠CAO，∴∠BAC＝∠BAO，∵BC∥x轴，∴∠CBA＝∠BAO，∴∠BAC＝∠CBA，∴CB＝CA＝5，∴B（5，4）．把A（﹣3，0）、B（5，4）代入y＝ax2+bx+4，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4．故答案为：y＝﹣x2+x+4．三．解答题（共6小题）13．【解答】解：∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴抛物线y＝﹣x2+4x+5的开口方向向下、对称轴为直线x＝2、顶点坐标为（2，9）．14．【解答】解：（1）把M（﹣2，3）代入y＝﹣x2+mx+3得：﹣4﹣2m+3＝3，解得m＝﹣2，∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）；（2）∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线开口向下，有最大值4，∵当x＝0时，y＝3，当x＝﹣3时，y＝0，∴当﹣3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4．15．【解答】解：（1）∵抛物线L有最低点，∴二次项的系数a大于0．即m﹣2＞0．∴m＞2．（2）∵抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同，开口方向相反，∴二次项的系数a互为相反数，即m﹣2＝﹣1．∴m＝1．16．【解答】解：（1）把A（2，0），代入y＝﹣x2+4x+k得k＝﹣6，∴这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣6，当x＝0时，y＝6，（2）∵y＝﹣x2+4x﹣6＝﹣（x﹣4）2+2，∴这个二次函数图象的顶点坐标为（4，2），∴C（4，0），AC＝OC﹣OA＝4﹣2＝2，∴△ABC的面积＝AC•OB＝×2×6＝6．17．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（0，2），A（﹣3，0），∴，解得，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣x+2．（2）存在，设抛物线的对称轴交x轴与点D，∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴D（﹣1，0），∵点B与点A关于直线x＝﹣1对称，∴AD＝BD，如图1，△APB是以AB为斜边的直角三角形，点P在x轴的上方，∴∠APB＝90°，∴PD＝AD＝AB＝﹣1+3＝2，∴P（﹣1，2）；如图2，△APB是以AB为斜边的直角三角形，点P在x轴的下方，∴∠APB＝90°，∴PD＝AD＝AB＝2，∴P（﹣1，﹣2）综上所述，点P的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）．18．【解答】解：（1）将A（0，﹣），点B（1，）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴y＝x2+x﹣．（2）∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2），∴当x＝2时，y取最大值22+2﹣＝．∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣2．（3）PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大，∴﹣3m+1＞0满足题意，解得m＜．。
九下第二章二次函数全章热门考点整合专训作业新版北师大版
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1．下列y关于x的函数中，是二次函数的是( ) A．y＝3x＋1 B．y＝ C．y＝ D．y＝2x2＋1
17．【2023·无锡天一中学月考】已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(1，1)和B(－1，－3)，二次函数与一次函数y＝－x－2的图象交于C，D两点． (1)求二次函数的表达式；
解：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(1，1)和B(－1，－3)，
∴y＝x2＋2x－2.
17．【2023·无锡天一中学月考】已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(1，1)和B(－1，－3)，二次函数与一次函数y＝－x－2的图象交于C，D两点． (2)求△BCD的面积；
D
2．【荣德原创题】若y＝ 是关于x的二次函数，则该函数的最小值为________．
3．【2023·河南】二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝x＋b的图象一定不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：由图象知抛物线在直线上方时，x<－3或x>0， ∴不等式x2＋bx＋c>－x－2的解集为x<－3或x>0.
解：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a，b， c是常数，a≠0)，
(3)抛物线的顶点坐标为(－1，－2)且通过点(1，10)．
解：设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)2－2， 将(1，10)代入得，a(1＋1)2－2＝10，解得a＝3， 所以该二次函数的表达式为y＝3(x＋1)2－2.
人教版九年级数学上册作业课件 第二十二章 二次函数 双休作业4(22
15．(10分)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0， －1)和C(4，5)三点．
(2)∵a＝－3，∴C(0，3)，∵S△ABP＝S△ABC.∴P 点的纵坐标为±3，把 y＝ 3 代入 y＝－x2－2x＋3 得－x2－2x＋3＝3，解得 x＝0 或 x＝－2，把 y＝－3 代入 y＝－x2－2x＋3 得－x2－2x＋3＝－3，解得 x＝－1＋ 7 或 x＝－1－
7 ，∴P 点的坐标为(－2，3)或(－1＋ 7 ，－3)或(－1－ 7 ，－3)
A．m＜2
B．m＞2
C．0＜m≤2
D．m＜－2
3．(2020·阜新)已知二次函数y＝－x2＋2x＋4，则下列关于这个函数图 象和性质的说法，正确的是( C )
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是(1，3) C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点
4．如果要得到y＝x2－6x＋7的图象，需将y＝x2的图象( B ) A．向左平移3个单位，再向上平移2个单位 B．向右平移3个单位，再向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 D．向左平移3个单位，再向下平移2个单位
___x_＜__－__1_或__x_＞__4___．
Hale Waihona Puke 13．已知二次函数图象经过点(2，－3)，对称轴为直线x＝1，抛物线与 x轴两交点的距离为4，则这个二次函数的解析式为___y_＝__x_2_－__2_x_－__3___．
二次函数：家庭作业2
第二章：二次函数考点1：二次函数的图象和性质一、考点讲解：1．二次函数的定义：形如2y ax bx c =++（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数． 2．二次函数的图象及性质：（1）二次函数y=ax 2(a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大． （2）二次函数2y ax bx c =++的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac ba-），对称轴2b xa =-；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且2bx a >-，y 随x 的增大而增大，2b x a <-，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且2b x a >-，y 随x 的增大而减小，2bx a <-，y 随x 的增大而增大．（3）当a ＞0时，当2b x a =-时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当2b x a =-时，函数有最大值244ac b a-3．图象的平移：将二次函数y=ax 2(a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同． 二、经典考题剖析：【考题1－1】（2004、贵阳）已知抛物线21(4)33y x =--的部分图象（如图1-2-1），图象再次与x 轴相交时的坐标是（ ） ） （A ）（5，0） （B ）（6，0） （C ）（7，0） （D ）（8，0）【考题1－2】（2004、宁安）函数24y x =-的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A.（2，0） B.（－2，0） C.（0，4）D.（0，－4）【考题1－3】（2004、潍坊）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图 l －2－2所示，则a 、b 、c 满足（ ） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 【考题1－4】（2004、贵阳）.抛物线()2425y x =-++的对称轴是______ 三、针对性训练：1．已知直线y=x 与二次函数221y ax x =--的图象的一个交点 M 的横标为1，则a 的值为（ ） A 、2 B 、1 C 、3 D 、4 2．已知反比例函数ky x=的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，则二次函数 222y kx x k =-+的图象大致为图1－2－3中的（ ）3．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图1－1－4 所示，下列结论中①abc ＞0；②b=2a ；③a ＋b ＋c<0；④a+b+c ＞0正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．l4．抛物线y=x 2－ax ＋5的顶点坐标是（ ） A ．（－2，1） B ．（－2，－1） C ．（2，l ） D ．（2，－1）5．抛物线()254y x =-+的对称轴是（ ）A ．直线x=4B ．直线x=－4C ．直线x=5D ．直线x=－5 6．二次函数2y ax bx c =++图象如图l －2－5所示，则下列结论正确的（ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 7．二次函数()2235y x =-+的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5） B ．开口向下，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5）C ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,5)D ．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为(－3,－5）8．二次函数2y ax bx c =++图象如图l －2－6所示，则点（b c，a ）在（ ）A ．第一象限B 第二象限C ．第三象限D 第四象限9．已知二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0）与一次函数y=kx+m(k ≠0）的图象相交于点 A （－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所示，能使y 1＞y 2成立的x 取值范围是_______ 10若二次函数2y ax bx c =++的图象如图1－2－8，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”） 11．直线2y x =+与抛物线22y x x =+的交点坐标为____． 12．抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 13．已知M 、N 两点关于 y 轴对称，且点 M 在双曲线12y x=上，点 N 在直线上，设点M 的坐标为(a ，b)，则抛物线()2y abx a b x =-++的顶点坐标为___.14．当b ＜0时，一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx c =++在同一坐标系中的图象大致是图1－2－9中的（ ）考点2：二次函数的图象与系数的关系一、考点讲解：1、a 的符号：a 的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a ＞0；物线开口向下，则a ＜0．2、b 的符号出的符号由对称轴决定，若对称轴是y 轴，则b=0；若抛物线的顶点在y 轴左侧，顶点的横坐标2b a-＜0即2b a -＞0，则a 、b 为同号；若抛物线的顶点在y 轴右侧，顶点的横坐标2b a -＞0，即2b a-＜0．则a 、b 异号．间“左同有异”．3、c 的符号：c 的符号由抛物线与y 轴的交点位置确定．若抛物线交y 轴于正半，则c ＞0，抛物线交y 轴于负半轴．则c ＜0；若抛物线过原点，则c=0．4、△的符号：△的符号由抛物线与x 轴的交点个数决定．若抛物线与x 轴只有一个交点，则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ．5、a+b+c 与a －b+c 的符号：a+b+c 是抛物线2y ax bx c =++ (a ≠0）上的点(1，a+b+c ）的纵坐标，a －b+c 是抛物线2y ax bx c =++ (a ≠0）上的点（－1，a －b ＋c ）的纵坐标．根据点的位置，可确定它们的符号. 二、经典考题剖析：【考题2－1】（2004、天津，3分）已知二次函数2y ax bx c =++ (a≠0）且a ＜0， a －b+c ＞0，则一定有（ ）A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac≤0 【考题2－2】（2004、重庆，3分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1－2－10，则点（b ，ca）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 三、针对性训练：1．已知函数2y ax bx c =++的图象如图1－2－11所示，给出下列关于系数a 、b 、c 的不等式：①a ＜0， ②b＜0，③c＞0，④2a ＋b ＜0，⑤a ＋b ＋c ＞0．其中正确的不等式的序号为 2．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交点的横坐标为－1，则a ＋c=______.3．抛物线2y ax bx c =++中，已知a ：b ：c=l ：2：3，最小值为6，则此抛胸的解析式为_____；4．已知二次函数的图象开口向下，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式 ；5．抛物线2y ax bx c =++如图1－2－12 所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式是______； 6．若抛物线过点(1，0)且其解析式中二次项系数为1，则它的解析式为________．（任写一个）7．已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y 轴正半轴的交点连点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②2a+c ＞0；③4a+c< 0，④2a －b+l ＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________． 8．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图1－2－13所示： （1）这个二次函数的解析式是y=__________． （2）当x=_______时，y=3；（3）根据图象回答：当x______时，y ＞0．9．二次函数2y ax bx c =++的图象如图 1－2－14所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（） A ．ab ＜0 B 、bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0 10 已知二次函数2y ax bx c =++，那么它的图象如图1－2－15大致为（ ）11．抛物线2y ax bx c =++的顶点在x 轴上方的条件是（ ）A ．b 2－4ac ＜0B ．b 2－4ac ＞ 0C ．b 2－4ac ≥0 D ． c ＜0 12 二次函数（1）23y x =；（2）223y x =；（3）243y x =的图象的开口大小顺序应为（ ） A ．（1）＞（2）＞（3） B ．（1）＞（3）＞（2）C ．（2）＞（3）＞（1）D ．（2）＞（1）＞（3）13若二次函数2y ax bx c =++，当x 取x 1，x 2（x 1，≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值为（ ） A ．a+c B ．a －c C ． －c D ．c考点3：二次函数解析式求法一、考点讲解：1．二次函数的三种表示方法：⑴表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系； ⑵图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；⑶表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系． 2．二次函数表达式的求法：⑴若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得2y ax bx c =++；⑵若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：()2y a x h k =-+其中顶点为(h ，k)对称轴为直线x=h ；⑶若已知抛物线与x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：()()12y a x x x x =--,其中与x 轴的交点坐标为（x 1，0），（x 2，0） 二、经典考题剖析： 【考题3－1】（2004、开福，10分）如图1－2－16所示，要在底边BC=160cm ，高AD=120cm 的△ABC 铁皮余料上，截取一个矩形EFGH ，使点H 在AB 上，点G 在AC 上，点E 、F 在BC 上，AD 交HG 于点M ，此时AM HGAD BC=。
第22章 二次函数 教材同步作业【名校试卷+详细解答】
人教版九年级数学上册 第22章 二次函数 教材同步作业一、选择题1．在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） A ．y=x 2 B ．y= C ．y=kx 2 D ．y=k 2x2．是二次函数，则m 的值为（ ）A ．0，﹣2B ．0，2C ．0D ．﹣23．对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ） A 、开口向下 B 、对称轴是x=-1 C 、顶点坐标是（1，2） D 、与x 轴有两个交点4．抛物线()21232y x =--的顶点坐标是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()2,3-D ．()2,3--5．下列函数中是二次函数的是( ) A ．y ＝x ＋12B ． y ＝3 (x －1)2C ．2y ax bx c =++ D ．y ＝1x2 －x6. 把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( ). A ．()231y x =+- B ．()233y x =++C ．()231y x =--D ．()233y x =-+ 7. 抛物线y=(x+1)2＋2的对称轴是（ ）A ．直线x=－1B ．直线x=1C ．直线y=－1D ．直线y=18．某同学在用描点法画二次函数y=ax 2+bx+c 的图象时，列出下面的表格：x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y…﹣7.5﹣2.50.51.50.5…根据表格提供的信息，下列说法错误的是（ ） A ．该抛物线的对称轴是直线x=﹣2B ．该抛物线与y 轴的交点坐标为（0，﹣2.5）C ．b 2﹣4ac=0D ．若点A （0，5，y 1）是该抛物线上一点．则y 1＜﹣2.5 9．关于抛物线y=x 2﹣2x+1，下列说法错误的是（ ） A ．开口向上B ．与x 轴有两个重合的交点C ．对称轴是直线x=1D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小 10. 抛物线2256y x x =-+的对称轴是（ ）A 、54x =B 、52x =C 、54x =-D 、52x =- 二、填空题11、二次函数y=x 2+2x+2的最小值为 ．12、已知函数()x x m y m 3112+-=+，当m = 时，它是二次函数.13、抛物线3842-+-=x x y 的开口方向向 ，对称轴是 ，最高点的坐标是 ，函数值得最大值是 。
二次函数性质基础练习
A ．0212=-+x yＢ．022=+y x Ｃ．22-=-x x Ｄ．0422=+-y x 2．若函数()4331-++=-x x m y m 是二次函数，则m 的值为（ ）A ．3或3- Ｂ．3 Ｃ．3- Ｄ．2或2-3．对于二次函数2432+-=x x y ，当1-=x 时，y 的值为（ ）A ．9 Ｂ．1 Ｃ．3 Ｄ．3-4．二次函数c bx ax y ++=2，若2-=x 时，0=y ，则下列式子成立的是（ ）A ．024=++c b a Ｂ．024=+-c b a Ｃ．024=++-c b a Ｄ．024=+--c b a5．二次函数42-=x y 与x 轴交点的坐标为（ ）A ．（0，4-） Ｂ．（2，0） Ｃ．（2，0）和（2-，0） Ｄ．（2-，0）6．二次函数4322-+=x x a y 经过点（2，6），则a 的值为（ ）A ．1 Ｂ．1- Ｃ．1或1- Ｄ．2或2-7．将下列二次函数化成一般形式.⑴()()232+--=x x y ⑵()2423--=x x y课后作业（二） 1．将二次函数()()x x y 323--=化为一般形式为 .2.对于二次函数6432---=x x y 来说，a = ，b = ，c = .3.若二次函数()21x m y -=的图象的开口方向向上，则m 的取值范围为 .4.二次函数241x y -=的顶点坐标为 ，对称轴为 . 5.若点A （2，8）与点B （2-，m ）都在二次函数2ax y =的图象上，则m 的值为 .6.已知点（m ，4-）在二次函数221x y -=的图象上，则m 的值为 . 7.请你写出一个顶点为原点，且开口方向向下的二次函数表达式为： .8.若二次函数()23x m y -=在对称轴右边的图象上，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围为 .9.二次函数2ax y =的图象必经过的一点的坐标为 .10.若点A （4-，n ）与点B （m ，8-）都在二次函数2ax y =的图象上，且关于对称轴对称，则n m +的值为 .11. 将函数下列各函数化成()k h x a y +-=2的形式A ．132+-=x yB ．32-=ax yC ．2312-=x y D ．()512--=x a y 2．若二次函数()1632--=x m y 的开口方向向下，则m 的取值范围为（ ）A ．2>mB ．2<mC ．2≠mD ．2->m3．若二次函数1211-=x a y 与二次函数3222+=x a y 图象的形状完全相同，则1a 与2a 的关系为（ ）A ．1a =2aB ．1a =2a -C ．1a =2a ±D ．无法判断4．将二次函数22x y -=的图象向下平移5个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）A ．522+=x yB ．522--=x yC ．522+-=x yD ．522-=x y5．若二次函数()2622--=x m y 由二次函数25x y -=平移得到的，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1 或1-D ．0或1-6．二次函数3312--=x y 图象的顶点坐标为（ ） A ．（0，3） B ．（0，3-） C ．（31-，3） D ．（31-，3-） 7．将二次函数122--=x y 图象向下平移5个单位得到的抛物线的顶点坐标为（ ）A ．（0，6-）B ．（0，4）C ．（5，1-）D ．（2-，6-）8．将二次函数12+-=x y 图象向左平移3个单位得到的抛物线的对称轴为（ ）A ．直线0=xB ．直线4=xC ．直线3-=xD ．直线3=x2．抛物线322+-=x y 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，其顶点坐标的意义为 .3．将抛物线231x y =沿y 轴向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ，再沿y 轴向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 .4．把抛物线c ax y +=2沿y 轴向下平移7个单位得到的抛物线的解析式为432-=x y ，则=a ， =c .5．抛物线()232+-=x y 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，其顶点坐标的意义为 .6．将抛物线25x y -=沿x 轴向左平移6个单位长度得到的新的二次函数解析式为 .此时函数的顶点坐标为 ，对称轴为 .7．把抛物线()2h x a y -=沿x 轴向右平移3个单位长度得到的新的二次函数解析式为()255--=x y ，则=a ， =h .8．把抛物线221x y =向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式为 ，此时抛物线的开口方向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 .9．二次函数1422--=x x y⑴将其化成()k h x a y +-=2的形式；⑵说明⑴中抛物线是由22x y =的图象经过怎样的图形变换得到的？⑶写出⑴中抛物线的顶点坐标，对称轴.⑷求⑴中抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标.10．二次函数()222--=x y⑴将此函数化成一般形式为 ，其中_______=a ，_______=b ，_______=c ⑵当__________=x 时，函数值y 有最 （填大或小）值为2．抛物线2212--=x y 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，其顶点坐标的意义为 .3．将抛物线22x y -=沿y 轴向下平移5个单位得到的抛物线的解析式为 ，再沿y 轴向上平移2个单位得到的抛物线的解析式为 .4．把抛物线c ax y +=2沿y 轴向下平移4个单位得到的抛物线的解析式为432-=x y ，则=a ， =c .5．抛物线()2221--=x y 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，其顶点坐标的意义为 .6．将抛物线24x y =沿x 轴向左平移3个单位长度得到的新的二次函数解析式为 .此时函数的顶点坐标为 ，对称轴为 .7．把抛物线()2h x a y -=沿x 轴向右平移3个单位长度得到的新的二次函数解析式为()255--=x y ，则=a ， =h .8．把抛物线221x y =向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式为 ，此时抛物线的开口方向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 .9．二次函数3422+--=x x y⑴利用配方法将一般形式化为顶点式⑵此函数的开口方向 ；顶点坐标为 ，意义为 ；对称轴为 .⑶其图象是由22x y -=的图象经过怎样的图形变换得到的？二 次 函 数（6）一．二次函数的性质：1.表达式：①一般式：c bx ax y ++=2（0≠a ）； ②顶点式：()k h x a y +-=2（0≠a ）2.顶点坐标：①（a b 2-，ab ac 442-） ②（h ，k ） 3.意义：①当a b x 2-=时，0>a ，y 有最小值为a b ac 442-；0<a ，y 有最大值为ab ac 442- ②当h x =时，0>a ，y 有最小值为k ；0<a ，y 有最大值为k4.a 的意义：0>a ，图象开口向上；0<a ，图象开口向下；21a a ±=说明两函数图象大小形状相同.5.对称轴：①ab x 2-=；②h x = 6.对称轴位置分析：①0=b ，对称轴为y 轴； ②0<ab ，对称轴在y 轴的右侧；③0>ab ，对称轴在y 轴的左侧；（左同右异）7.增减性：①0>a ，a b x 2->时，y 随x 的增大而增大；a b x 2-<时，y 随x 的增大而减小 ②0<a ，a b x 2->时，y 随x 的增大而减小；ab x 2-<时，y 随x 的增大而增大 8.与y 轴的交点为（0，c ）9.与x 轴的交点：02=++c bx ax①042=-=∆ac b ，有一个交点； ②042>-=∆ac b ，有两个交点； ③042<-=∆ac b ，没有交点10.平移：化成顶点式()k h x a y +-=2，上加下减：m k ±；左加右减：m h ±课 后 作 业（6）1．已知二次函数()12322--+=x x m y 的图象的开口方向向上，则m 的取值范围为（ ）A ．23>mB ．23->mC ．32->m D ．23-<m 2.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则下列结论错误的是（ ）A ．0>aB ．0<bC ．0>abD ．0=c3.将二次函数22x y -=向右平移2个单位，在向下平移3个单位得到的二次函数的解析式为（ ）A ．()3222+--=x yB ．()2322---=x yC ．()3222---=x yD ．()3222-+-=x y4．二次函数()k h x a y +-=2，当2-=x 时，y 有最大值为5，则下列结论错误的是（ ）A ．0<aB ．顶点坐标为（2-，5）C ．对称轴为直线2-=xD ．2=h5.抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为直线0=x ，则下列结论一定正确的是（ ）6.下列点在二次函数42--=x y 的图象上的是（ ）A ．（1，3-）B ．（1-，3-）C ．（1-，5-）D ．（0，4）7.二次函数11211c x b x a y ++=与22222c x b x a y ++=的图象关于x 轴对称，则1a 与2a 的关系为（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．相等或互为相反数8.已知点A （2，m ）与点B （3，n ）在二次函数()312+--=x y 的图象上，则m 与n 的关系为（ ）A ．n m > B ．n m = C ．n m < D ．无法判断9.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图.⑴请你写出一元二次方程02=++c bx ax 的根；⑵请你写出不等式02>++c bx ax 的解集；⑶请你再写出3条从图象中得出的结论.二 次 函 数（7）二次函数解析式的确定： 一般形式：c bx ax y ++=2（0≠a ）一．例题与练习：例题1．已知二次函数32++=bx ax y 的图象经过点（1，6）和点（1-，2），求此函数的解析式练习1．已知二次函数c bx x y ++=221的图象经过点（3-，6）和点（1-，0），求此函数的解析式练习2．已知二次函数c x ax y +-=52的图象如图，求此函数的解析式例题2．已知二次函数的图象与x 轴的交点为（1-，0）和（3，0），且交y 轴于（0，4），求此函数的解析式练习1．已知二次函数与x 轴的交点为（2，0）和（6-，0），且经过点（3，9），求此函数的解析式练习2．已知二次函数的图象如图，求此函数的解析式二 次 函 数（8）二次函数解析式的确定：顶点式：()k h x a y +-=2（0≠a ）一．例题与练习：例题1．已知二次函数的图象顶点为（2-，3），且图象经过点（1-，5），求此函数的解析式练习1．已知二次函数的图象顶点为（1，4），且图象经过点（0，3），求此函数的解析式练习2．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，求此函数的解析式例题2．已知二次函数的图象的对称轴为直线2=x ，且图象经过点（1，0）和（0，3-），求此函数的解析式练习1．已知二次函数的图象的对称轴为直线1-=x ，，且图象经过点（0，4）和（2，12），求此函数的解析式练习2.已知二次函数c bx ax y ++=2，当1=x 时，y 有最大值为2，且图象经过点（2，6），求此函数的解析式。
九年级数学寒假作业【专题02】二次函数(A卷)
班级____________ 姓名____________ 学号____________ 分数____________（测试时间：90分钟 满分：100分）一、选择题（共10个小题，每题3分，共30分）1．下列函数是二次函数的是（ ）A ．21y x =+B ．21y x =-+C ．22y x =+D ．122y x =- 2．【自编题】已知函数22(2)my m x -=-是二次函数，则m 等于（ ）A ．±2B ．2C ．﹣2D ．±1 3．【2014成都】将二次函数223y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，结果为（ ）A ．2(1)4y x =++B ．2(1)2y x =++C ．2(1)4y x =-+D ．2(1)2y x =-+4．【2014宁夏】已知0a ≠，在同一直角坐标系中，函数y ax =与2y ax =的图象有可能是（ ）5．【2014新疆】对于二次函数2(1)2y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴是x =﹣1C ．顶点坐标是（1，2）D ．与x 轴有两个交点 6．【2014兰州】二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，对称轴是直线x =1，则下列四个结论错误的是（ ）A ．0c >B ．20a b +=C ．240b ac ->D ．0a b c -+>7．【2014达州】如图是二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分，对称轴是直线x =1． ①24b ac >；②420a b c -+<；③不等式20ax bx c ++>的解集是 3.5x ≥；④若（﹣2，1y ），（5，2y ）是抛物线上的两点，则12y y <．上述4个判断中，正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．①③④D ．②③④8．已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （﹣3，0）、O （1，0）、B （﹣5，1y ）、C （5，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ）A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不能确定9．【2014宿迁】若将抛物线2y x =向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）A ．2(2)3y x =++B ．2(2)3y x =-+C ．2(2)3y x =+-D ．2(2)3y x =--10．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）A ．223y x x =-+B ．223y x x =--C ．223y x x =+-D ．223y x x =++二、填空题（共5个小题，每题4分，共20分）11．【改编题】抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示，若y ＜0，则x 的取值范围是 ．12．【2014天津】抛物线223y x x =-+的顶点坐标是 ．13．【2014珠海】如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为 ．14．【原创题】二次函数(4)(2)y x x =--取得最小值时，x = ．15．二次函数241y mx x =-+有最小值﹣3，则m 等于 ．三、解答题（共50分）16．【4分】已知二次函数的图像经过三点（－2，0），（－3，0），（0，3）．求二次函数的解析式．18．【6分】【2014泉州】如图，已知二次函数2()y a x h =-的图象经过原点O （0，0），A （2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′，试判断点A ′是否为该函数图象的顶点？19．【7分】【2014南京】已知二次函数2223y x mx m =-++（m 是常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点？20．【7分】【2014牡丹江】如图，抛物线22y ax x c =++经过点A （0，3），B （﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D ，对称轴与x 轴交于点E ，连接BD ，求BD 的长．22．【10分】【2014龙东地区】如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．。
九年级数学 第22章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.二次函数(作业本)
【解析】∵1 月份新产品的研发资金为 100 万元，2 月份起，每月新产品的研
发资金与上月相比增长率都是 x，∴2 月份研发资金为 100(1＋x)万元，∴3 月份
的研发资金为 100(1＋x)(1＋x)万元，即 y＝100(1＋x)(1＋x)＝100(1＋x)2.
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(2)设计费能达到 24000 元吗？为什么？
(3)估计当 x 的值是多少时(x 取整数)，设计费最多？最多是多
少元？
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22．1.1 二次函数(hánshù)
解： (1)∵矩形一边长为 x 米，周长为 16 米，
∴另一边长为(8－x)米，
∴S＝x(8－x)＝－x2＋8x，其中 0<x<8.
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数(hánshù)的图象和性质
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第二十二章 二次函数(hánshù)
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22.1.1 二次函数(hánshù)
A 知识要点分类练 B 规律方法综合练 C 拓广探究创新hù)
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22．1.1 二次函数(hánshù)
(3) x 1234567 S 7 12 15 16 15 12 7
∴当 x＝4 时，S 最大值＝16，∴16×2000＝32000(元)． 即当 x 的值是 4 时，设计费最多，最多是 32000 元．
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图 22－1－1
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22．1.1 二次函数(hánshù)
【解析】由题意可知，花圃的一边长 AB 为 x 米，则另一边长 BC 为(24－ 3x)米，
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A C
B y x 0 1 1 给祖乐的作业
1、如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．
2、已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是菱形，且∠AOC=60°，点B 的坐标是
(0,83)，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，设(08)
t t<≤秒后，直线PQ交OB于点D.
（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）当
4
3,3
3
a OD
==时，求t的值及此时直线PQ的解析式；
（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与OAB
∆相似？当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与OAB
∆不相似？请给出你的结论，并加以证明.
B
A
D
P
O Q
x
C
y
3、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2164y x =
-与直线12y x =相交于A B ，两点． （1）求线段AB 的长．
（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？
（3）如图2，线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C D ，两点，垂足为点M ，分别求出OM OC OD ，，的长，并验证等式222111
OC OD OM +=是否成立．
（4）如图3，在Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =，AB c =．CD b =，试说明：222111
a b h +=．
图1
图2 图3。