二次函数经典题练习
二次函数经典习题(含答案)
二次函数经典复习习题练习一 二次函数1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表：写出用t 表示s2、 下列函数：① y = ()21y x x x =-+；③ ()224y xx x =+-；④ 21y x x=+；⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c =3、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数4、当____m =时，函数()2221m m y m m x--=+是关于x 的二次函数5、当____m =时，函数()2564mm y m x -+=-+3x 是关于x 的二次函数6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系 8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ， 那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式. 11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形. （1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x有怎样的函数关系？（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？练习二 函数2ax y =的图象与性质1、填空：（1）抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； （2）抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ； 2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称.其中正确的是 . 3、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D5、函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）A． B ．C ．D ．6、已知函数24m m y m x --=的图象是开口向下的抛物线，求m 的值.7、二次函数12-=m mx y 在其图象对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，求m 的值.8、二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系.9、已知函数()422-++=m m xm y 是关于x 的二次函数，求：（1） 满足条件的m 的值；（2） m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大； （3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 10、如果抛物线2y ax =与直线1y x =-交于点(),2b ，求这条抛物线对应的二次函数的关系式.ttt1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 . 3、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中正确的是 . 4、将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 . 5、已知函数2)(22+-+=x m m mxy 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；6、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 .练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 .2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.（1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位.3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）.4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积. 6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y 随x 值的变化情况.7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值.1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大.4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到.5、 已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小 的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<1 7、已知函数()9232+--=x y .（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .（3） 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4） 求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？ 8、已知函数()412-+=x y .（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3） 指出该函数的最值和增减性；（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.（6） 画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0.1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 .2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿.5、把二次函数215322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________；7、函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ） A 、6，4 B 、－8，14 C 、－6，6 D 、－8，－149、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ） A 、22B 、23C 、32D 、3310、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）4412-+-=x x y11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由. 12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标 13、已知一次函数的图象过抛物线223y x x =++的顶点和坐标原点 1） 求一次函数的关系式；2) 判断点()2,5-是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？练习七 c bx ax y ++=2的性质1、函数2y x px q =++的图象是以()3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为2、二次函数2224y m x x m m =++-的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是3、如果抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x =-，那么ac b=4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为______. 5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示， 则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限.7、已知二次函数2y ax bx c =++（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论：1）,a b 同号；2）当1x =和3x =时，函数值相同；3）40a b +=；4）当2y =-时，x 的值只能为0；其中正确的是8、已知二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数xm y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m=9、二次函数2y x ax b =++中，若0a b +=，则它的图象必经过点（ ）A ()1,1--B ()1,1-C ()1,1D ()1,1-10、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如图所示， 则下列选项中正确的是（ ）A 、0,0>>c abB 、0,0><c abC 、0,0<>c abD 、0,0<<c ab11、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个13、抛物线的图角如图，则下列结论： ①＞0；②；③＞；④＜1.其中正确的结论是（ ）.（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④14、二次函数2y ax bx c =++的最大值是3a -，且它的图象经过()1,2--，()1,6两点，求a 、b 、c15、试求抛物线2y ax bx c =++与x 轴两个交点间的距离（240b ac ->）练习八 二次函数解析式1、抛物线y=ax 2+bx+c 经过A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点，则a= , b= , c=2、把抛物线y=x 2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为 . 3、 二次函数有最小值为1-，当0x =时，1y =，它的图象的对称轴为1x =，则函数的关系式为 4、根据条件求二次函数的解析式（1）抛物线过（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）三点 （2）抛物线的顶点坐标为（-1，-1），且与y 轴交点的纵坐标为-3 （3）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；（4）抛物线在x 轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）；5、已知二次函数的图象经过()1,1-、()2,1两点，且与x 轴仅有一个交点，求二次函数的解析式6、抛物线y=ax 2+bx+c 过点(0,-1)与点(3,2)，顶点在直线y=3x-3上，a<0,求此二次函数的解析式. 7、已知二次函数的图象与x 轴交于A （-2，0）、B （3，0）两点，且函数有最大值是2. （1） 求二次函数的图象的解析式；（2） 设次二次函数的顶点为P ，求△ABP 的面积.8、以x 为自变量的函数)34()12(22-+-++-=m m x m x y 中，m 为不小于零的整数，它的图象与x 轴交于点A 和B ，点A 在原点左边，点B 在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b 的图象经过点A ，与这个二次函数的图象交于点C ，且ABC S ∆=10,求这个一次函数的解析式.练习九 二次函数与方程和不等式1、已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .2、关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限；3、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、以上都不对4、二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ） A 、0,0>∆>a B 、0,0<∆>a C 、0,0>∆<a D 、0,0<∆<a5、12++=kx x y 与k x x y --=2的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 为（ ） A 、0 B 、-1 C 、2 D 、416、若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线（ ）A 、x ＝－3B 、x ＝－2C 、x ＝－1D 、x ＝17、已知二次函数2y x px q =++的图象与x 轴只有一个公共点，坐标为()1,0-，求,p q 的值 8、画出二次函数322--=x x y 的图象，并利用图象求方程0322=--x x 的解，说明x 在什么范围时0322≤--x x .9、 如图：(1)求该抛物线的解析式；(2) 根据图象回答：当x 为何范围时，该函数值大于0.10、二次函数c bx ax y ++=2的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D 在函数图象上，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B 、D ，求（1）一次函数和二次函数的解析式，（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围. 11、已知抛物线22y x m x m =-+-.(1)、求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点； （2）若m 是整数，抛物线22y x m x m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B.若M 为坐标轴上一点，且MA=MB ，求点M 的坐标.练习十 二次函数解决实际问题1、某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年种 蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线表示这种蔬 菜销售价与月份之间的关系.观察图像，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？（至少写出四条）2、某企业投资100万元引进一条农产品生产线，预计投产后每年可创收33万元，设生产线投产后，从第一年到第 x 年维修、保养费累计．．为 y （万元），且 y ＝ax 2＋bx ，若第一年的维修、保养费为 2 万元，第二年的为 4 万元.求：y 的解析式.3、校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间的函数关系式为 y ＝－112x 2＋23x ＋53，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度.4、用 6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？ 5、商场销售一批衬衫，每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件. ① 设每件降价 x 元，每天盈利 y 元，列出 y 与 x 之间的函数关系式； ② 若商场每天要盈利 1200 元，每件应降价多少元？ ③ 每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？ 6、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m ， 跨度为 10m ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中. ①求这条抛物线所对应的函数关系式.②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？7、 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m. （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式.（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d 表示h 的函数关系式； （3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？8、某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，若行车道总宽度AB 为6m ，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到0.1m ）.参考答案1：1、22t s =；2、⑤，-1，1，0；3、≠2，3，1；6、（2，3）；7、D ；8、),2150(2254S 2<<+-=x x 189；9、x x y 72+=，1；10、22-=x y ；11、,244S 2x x +-=当a<8时，无解，168<≤a 时，AB=4,BC=8，当16≥a 时，AB=4,BC=8或AB=2,BC=16.参考答案2：1、(1)x=0,y 轴，（0，0），>0，，<0，0，小，0; (2)x=0,y 轴，（0，0），<，>， 0，大，0;2、④；3、C ；4、A ；5、B ；6、-2；7、3-；8、021<<y y ；9、（1）2或-3，（2）m=2、y=0、x>0，（3）m=-3，y=0，x>0；10、292x y =参考答案3：1、下，x=0，（0，-3），<0，>0；2、2312-=x y ，1312+=x y ，（0，-2），（0，1）；3、①②③；4、322+=x y ，0，小，3；5、1；6、c.参考答案4：1、（3，0），>3，大，y=0;2、2)2(3-=x y ，2)32(3-=x y ，2)3(3-=x y ;3、略；4、2)2(21-=x y ；5、（3，0），（0，27），40.5；6、2)4(21--=x y ，当x<4时，y 随x 的增大而增大，当x>4时，y 随x 的增大而减小；7、-8，-2，4.参考答案5：1、略；2、1；3、>1；4、左、下；5、342-+-=x x y ；6、C ；7、（1）下，x=2，（2，9），（2）2、大、9，（3）<2、>2,(4)( 32-,0)、( 32+,0)、 32，（5）（0，-3）；（6）向右平移2个单位，再向上平移9个单位；8、（1）上、x=-1、（-1，-4）；（2）（-3，0）、（1，0）、（0，-3）、6，（3）-4，当x>-1 时，y 随x 的增大而增大；当x<-1 时，y 随x 的增大而减小,(4)2)1(-=x y ；（5）向右平移1个单位，再向上平移4个单位或向上平移3个单位或向左平移1个单位；（6）x>1或x<-3、-3<x<1参考答案6：1、x=-2；2、上、（3，7）；3、略；4、2)1(2+-x ；5、5)1(212+--=x y ；6、（-2，0）（8，0）；7、大、81；8、C ；9、A ；10、（1）1)2(212--=x y 、上、x=2、（2，-1），（2）310)34(32+--=x y、下、34=x 、（310,34），（3）3)2(412---=x y 、下、x=2、（2，-3）；11、有、y=6；12、（2，0）（-3，0）（0，6）；13、y=-2x 、否；14、定价为3000元时，可获最大利润125000元参考答案7：1、1162+-=x x y ；2、（-4，-4）；3、1；4、-3；5、>、<、>、>；6、二；7、②③；8、-7；9、C ；10、D ；11、B ；12、C ；13、B ；14、4422++-=x x y ；15、aac b 42-参考答案8：1、31-、32、1；2、1082++=x x y ；3、1422+-=x x y ；4、（1）522-+=x x y、（2）3422---=x x y 、（3）41525452--=x x y 、（4）253212+-=x x y ；5、9194942+-=x x y ；6、142-+-=x x y ；7、（1）25482582582++-=x x y 、5；8、322++-=x x y 、y=-x-1或y=5x+5 参考答案9：1、47-≥k 且0≠k ；2、一；3、C ；4、D ；5、C ；6、C ；7、2，1；8、31,3,121≤≤-=-=x x x ；9、（1）x x y 22-=、x<0或x>2；10、y=-x+1，322+--=x x y ,x<-2或x>1;11、（1）略,(2)m=2,(3)(1，0)或（0，1）参考答案10：1、①2月份每千克3.5元 ②7月份每千克0.5克 ③7月份的售价最低 ④2～7月份售价下跌；2、y ＝x 2＋x ；3、成绩10米，出手高度35米；4、23)1(232+--=x S ，当x ＝1时，透光面积最大为23m 2；5、（1）y ＝(40－x) (20＋2x)＝－2x 2＋60x ＋800，（2）1200＝－2x 2＋60x ＋800，x 1＝20，x 2＝10 ∵要扩大销售 ∴x 取20元，（3）y ＝－2 (x 2－30x)＋800＝－2 (x －15)2＋1250 ∴当每件降价15元时，盈利最大为1250元；6、（1）设y ＝a (x －5)2＋4，0＝a (－5)2＋4，a ＝－254，∴y ＝－254 (x －5)2＋4，（2）当x ＝6时，y ＝－254＋4＝3.4(m)；7、（1）2251x y -=，（2）h d -=410，（3）当水深超过2.76m 时；8、)64(6412≤≤-+-=x x y ，x =3，m y 75.3496=-=，m 2.325.35.075.3≈=-，货车限高为3.2m.。
完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)
完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)1.抛物线$y=-3x^2+2x-1$与坐标轴的交点情况是(A)没有交点。
(C)有且只有两个交点。
(D)有且只有三个交点。
2.已知直线$y=x$与二次函数$y=ax^2-2x-1$的一个交点的横坐标为1，则$a$的值为(C)3.3.二次函数$y=x^2-4x+3$的图象交$x$轴于$A$、$B$两点，交$y$轴于点$C$，则$\triangle ABC$的面积为(B)4.4.函数$y=ax^2+bx+c$中，若$a>0$，$b<0$，$c<0$，则这个函数图象与$x$轴的交点情况是(D)一个在$x$轴的正半轴，另一个在$x$轴的负半轴。
5.已知$(2,5)$、$(4,5)$是抛物线$y=ax^2+bx+c$上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是(B)$x=3$。
6.无法正确反映函数$y=ax+b$图象的选项已删除。
7.二次函数$y=2x^2-4x+5$的最小值是$4.5$。
8.某二次函数的图象与$x$轴交于点$(-1,0)$，$(4,0)$，且它的形状与$y=-x$形状相同。
则这个二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{25}(x-1)(x-4)$。
9.若函数$y=-x+4$的函数值$y>0$，则自变量$x$的取值范围是$(-\infty,4)$。
10.某品牌电饭锅成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：定价（元） 100 110 120 130 140 150 销量（个） 80 100 110 100 80 60.为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为120元。
11.函数$y=ax^2-(a-3)x+1$的图象与$x$轴只有一个交点，那么$a$的值和交点坐标分别为$(a,0)$和$(\frac{a-3}{2},0)$。
12.某涵洞是一抛物线形，它的截面如图3所示，现测得水面宽$AB=1.6m$，涵洞顶点$O$到水面的距离为$2.4m$，在图中的直角坐标系内，涵洞所在抛物线的解析式为$y=-\frac{5}{6}(x-2)^2+2.4$。
初中二次函数经典例题20题
以下是20个初中二次函数的经典例题：1. 已知二次函数y=x^2-2x-3，求出这个函数的对称轴、顶点坐标和开口方向。
2. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)，(0,3)，且对称轴为x=2，求这个函数的解析式。
3. 已知二次函数y=x^2+mx-n的图像与x轴交于点(1,0)和(x2,0)，求m和n的值。
4. 已知二次函数y=x^2-6x+8，求出这个函数的最大值和最小值。
5. 已知二次函数y=-x^2+4x-3，求出这个函数的顶点坐标、对称轴和开口方向。
6. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(2,0)、(4,0)和(1,3)，求这个函数的解析式。
7. 已知二次函数y=x^2-8x+12，求出这个函数的对称轴、顶点坐标和开口方向。
8. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴交于点(x1,0)和(x2,0)，且x1<x2，当自变量为何值时，函数值为0？9. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(0,0)、(1,1)和(-1,3)，求这个函数的解析式。
10. 已知二次函数y=x^2-4x+1，求出这个函数的最大值和最小值。
11. 已知二次函数y=-x^2+6x-8，求出这个函数的顶点坐标、对称轴和开口方向。
12. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴交于点(m,0)和(n,0)，且m<n，当自变量为何值时，函数值为0？13. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(0,0)、(4,0)和(2,3)，求这个函数的解析式。
14. 已知二次函数y=x^2-2mx+m^2-m，求出这个函数的对称轴、顶点坐标和开口方向。
15. 已知二次函数y=-x^2+8x-15，求出这个函数的最大值和最小值。
16. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(m,0)和(n,0)，且m>n，当自变量为何值时，函数值为0？17. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(0,0)、(4,0)和(-2,-5)，求这个函数的解析式。
二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案
练习一21．二次函数的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿yax＿，图像有最＿＿＿点，x＿＿＿时，y随x的增大而增大，x＿＿＿时，y随x的增大而减小。
12222．关于，yx，y3x的图像，下列说法中不正确的是（）yx3A．顶点相同B．对称轴相同C．图像形状相同D．最低点相同223．两条抛物线yx与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）yxA．顶点相同B．对称轴相同C．开口方向相反D．都有最小值24．在抛物线上，当y＜0时，x的取值范围应为（）yxA．x＞0B．x＜0C．x≠0D．x≥0225．对于抛物线yx与yx下列命题中错误的是（）xA．两条抛物线关于轴对称B．两条抛物线关于原点对称C．两条抛物线各自关于y轴对称D．两条抛物线没有公共点26．抛物线y=－bx＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。
127．抛物线y=－(x2)－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x＿2＿＿时，y随x的增大而增大，x＿＿＿时，y随x的增大而减小。
28．抛物线y2(x1)3的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，3）C．（1，3）D．（1，3）为（）9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过达式（1，10），则这条抛物线的表22A．y=3(x1)－2B．y=3(x1)＋222C．y=3－2D．y=－3－2(x1)(x1)210．二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达yax式为（）22A．y=a＋3B．y=a－3(x2)(x2)22C．y=a(x2)＋3D．y=a(x2)－324411．抛物线的顶点坐标是（）yxxA．（2，0）B．（2，-2）C．（2，-8）D．（-2，-8）2212．对抛物线y=2(x2)－3与y=－2(x2)＋4的说法不正确的是（）A．抛物线的形状相同B．抛物线的顶点相同C．抛物线对称轴相同D．抛物线的开口方向相反213．函数y=a＋c与y=ax＋c(a≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（）x243243214．化yxx为y=xx为ya(x h)k的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。
二次函数经典测试题附答案
二次函数经典测试题附答案一、选择题1．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）．A ．①②④B ．②③④C ．③④⑤D ．①③⑤【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误； ②由抛物线的开口方向向上可推出a>0； ∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2ba->0， 又∵a>0， ∴b<0；由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上， ∴c<0，故abc>0，故②错误；③结合图象得出x=−1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0，故④正确； ⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12则2a=−2b ，故⑤正确； 故正确的有：③④⑤． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②④C ．②⑤D ．②③⑤【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】解：抛物线的开口向下，则a ＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则-2ba=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴+a b ＞2am bm +（故③正确）：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误） 由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b aa a-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．考点：二次函数图像与系数的关系.3．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．-12＜t ≤3B ．-12＜t ＜4C ．-12＜t ≤4D ．-12＜t ＜3【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解.【详解】解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1，∴b＝−2，∴y＝－x2−2x＋3，∴一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0的实数根可以看做是y＝－x2−2x＋3与函数y＝t的交点，∵当x＝−1时，y＝4；当x＝3时，y＝－12，∴函数y＝－x2−2x＋3在﹣2＜x＜3的范围内－12＜y≤4，∴－12＜t≤4，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．4．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与x铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③b2＝4a（c﹣m）；④一元二次方程ax2+bx+c＝m+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a，b，c的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m的交点可判定方程的解．【详解】∵函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴∵抛物线的对称轴为直线x=－2b a=1 ∴b<0∴abc ＞0；①正确；∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，所以②不正确； ∵抛物线的顶点坐标为（1，m ）， ∴244ac b a=m ， ∴b 2=4ac-4am=4a （c-m ），所以③正确； ∵抛物线与直线y=m 有一个公共点， ∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选:C ． 【点睛】考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜x ＜1B ．﹣3＜x ＜﹣1C ．x ＜1D ．﹣3＜x ＜1【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案. 【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1， ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0），∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1． 所以答案为：D ． 【点睛】此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.6．方程2x 3x 10+-=的根可视为函数3yx的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，则方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在的范围是（ ） A ．010<x <4B ．011<x <43C ．011<x <32D ．01<x <12【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意推断方程x 3+2x-1=0的实根是函数y=x 2+2与1y x=的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x 3+2x-1=0的实根x 所在范围． 【详解】解：依题意得方程3x 2x 10+-=的实根是函数2y x 2=+与1y x=的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．当x=14时，21y x 2216=+=，1y 4x ==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=13时，21229y x =+=，1y 3x==，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当x=12时，21224y x =+=，1y 2x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当x=1时，2y x 23=+=，1y 1x==，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程3x 2x 10+-=的实根x 0所在范围为：011<x <32． 故选C ．【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．7．已知抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，若四边形''ABA B 为矩形，则c 的值为（ ）A ．32-B ．3C ．32D ．52【答案】D 【解析】 【分析】先求出A(2，c-4)，B(0，c)，'(24),'(0)A c B c ---，，，，结合矩形的性质，列出关于c 的方程，即可求解． 【详解】∵抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，∴A(2，c-4)，B(0，c)，∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，∴'(24),'(0)A c B c ---，，，， ∵四边形''ABA B 为矩形， ∴''AA BB =，∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=，解得：52c =． 故选D ． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．8．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S （cm 2），则S （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣t2+4t，配成顶点式得S=﹣（t﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t）2=（t﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF=4•4﹣•4•（4﹣t）﹣•4•（4﹣t）﹣•t•t=﹣t2+4t=﹣（t﹣4）2+8；当4＜t≤8时，S=•（8﹣t）2=（t﹣8）2．故选D．考点：动点问题的函数图象．9．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（）A．原数与对应新数的差不可能等于零B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为21100m ， 设新数与原数的差为y则2211100100y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，21100m m -+＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 故答案选：D ． 【点睛】本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．10．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a +2b +c ＜0；（2）方程ax 2+bx +c ＝0两根都大于零；（3）y 随x 的增大而增大；（4）一次函数y ＝x +bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x 轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确 ，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，对称轴x=﹣＝1，故b ＜0，bc ＜0，即可判断一次函数y ＝x +bc 的图象.【详解】①由x ＝2时，y ＝4a +2b +c ，由图象知：y ＝4a +2b +c ＜0，故正确； ②方程ax 2+bx +c ＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确； ③当x ＜2时，由图象知：y 随x 的增大而减小，故错误；④由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，x=﹣＝1＞0，∴b ＜0，∴bc ＜0，∴一次函数y ＝x +bc 的图象一定过第一、三、四象限，故正确； 故正确的共有3个， 故选：C ． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.11．二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．t ＞﹣5B ．﹣5＜t ＜3C ．3＜t≤4D ．﹣5＜t≤4【答案】D 【解析】 【分析】先根据对称轴x=2求得m 的值，然后求得x=1和x=5时y 的值，最后根据图形的特点，得出直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4． 【详解】∵抛物线的对称轴为x ＝2， ∴22m-=-，m=4 如图，关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x 2+mx 与直线y=t 的交点的横坐标当x=1时，y=3， 当x=5时，y=﹣5，由图象可知关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解， 则直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4， ∴﹣5＜t≤4．故选：D ． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x 轴(或某直线)有交点．12．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如下表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h8141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线92t =；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解：由题意，抛物线的解析式为y =ax （x ﹣9），把（1，8）代入可得a =﹣1， ∴y =﹣t 2+9t =﹣（t ﹣4.5）2+20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25m ，故①错误， ∴抛物线的对称轴t =4.5，故②正确，∵t =9时，y =0，∴足球被踢出9s 时落地，故③正确， ∵t =1.5时，y =11.25，故④错误，∴正确的有②③， 故选B ．13．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④【答案】D【解析】【分析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。
二次函数经典例题
二次函数【二次函数解析式】二次函数的定义【基础练习】【例1】下列函数不属于二次函数的是（）A. y=（x－1）（x+2）B. y= 12（x+1）2C. y=2（x+3）2－2D. y=1－3x【例2】函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）是二次函数的条件是（）A. a≠0，b≠0，c≠0B. a＜0，b≠0，c≠0C. a＞0，b≠0，c≠0D. a≠0【例3】下列各式中，一定是二次函数的有（）①y=2x2－4x+3；②y=4x3－3x+7；③y=（2x－3）（3x－2）－6；④y= x2－3x+5；⑤y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）；⑥y=（m2+1）x2－2x－3（m为常数）；⑦y=m2+4x－3（m为常数）．A.2个B.3个C.4个D.5个【例4】若y=（2－m）x2+m2－2是二次函数，则m不等于（）A.±2B.2C.－2D.不能确定【培优练习】【例5】m取哪些值时，函数y=(m2－m)x2+mx+(m+1)是以x为自变量的二次函数？【例6】已知函数错误！未找到引用源。
是二次函数，求m的值.【例7】已知函数错误！未找到引用源。
是二次函数，求m 的值.【课后练习】1.已知函数错误！未找到引用源。
是关于x的二次函数，则m的取值范围.2.已知y=(k2－k) x2+kx 是二次函数，则k必须满足的条件是______________3.判断：下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a.b.c．（1）s=3－2t²（2）21y xx=+（3）y=3(x－1)²+1 （4）y=(x+3)²－x²（5）s=10πr² （6）y=2²+2x一般式【基础练习】【例1】方程4x2=5x+2化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是（）A．4x2，5x，2 B．－4x2，－5x，－2C．4x2，－5x，－2 D．4x2，－5x，2【例2】把一元二次方程2x（x－1）=（x－3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（）A．2，－3 B．－2，－3 C．2，－3x D．－2，－3x【例3】已知：二次函数y=2x2+bx+c过点（1，1）和点（2，10），求二次函数的解析式【例4】已知：若二次函数y=－2x2+bx+c通过点（－1，－8），（3，0）两点，求二次函数解析式．【培优练习】【例5】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（－2，0），B（1，0），C（0，3）三点，求这个二次函数的解析式【例6】已知：一个二次函数的图象经过点（1，－1），（0，1），（－1，13），求这个二次函数的解析式．【例7】已知：二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点A（0，3）、B（3，0）．求此二次函数的解析式，并写出顶点P 的坐标．【课后练习】1.若二次函数y=ax2+bx+3的图象经过（1，0）、（－1，8）两点，求此二次函数的解析式．2.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（1，0）和（0，1）．求这个二次函数的解析式，并求出它的图象的顶点坐标．3.已知：若二次函数y=－2x2+bx+c通过点（－1，－8），（3，0）两点，求二次函数解析式．4.已知二次函数y=ax2+bx－3的图象经过点A（2，－3），B（－1，0）．求二次函数的解析式．5.已知一个二次函数y=x2+bx+c的图象经过（1，2）、（－1，6），求这个函数的解析式．顶点式【基础练习】【例1】下列二次函数中，顶点坐标是（2，－3）的函数解析式为（）A．y=（x－2）2+3 B．y=（x+2）2+3 C．y=（x－2）2－3 D．y=（x+2）2－3【例2】已知二次函数的解析式为y=（x－2）2+1，则该二次函数图象的顶点坐标是（）A．（－2，1）B．（2，1）C．（2，－1）D．（1，2）【例3】把二次函数y=x2－2x－1的解析式配成顶点式为（）A．y=（x－1）2B．y=（x－1）2－2 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x+1）2－2【例4】二次函数的顶点坐标为（2，1），形状与y=2x2相同，则这个函数的解析式为．【培优练习】【例5】已知：二次函数的顶点为A（－1，4），且过点B（2，－5），求该二次函数的解析式．【例6】已知二次函数图象的顶点为（2，－1），且过点（－1，8），求该二次函数的解析式．【例7】已知抛物线经过点（1，0），（－5，0），且顶点纵坐标为错误！未找到引用源。
二次函数的图像与性质经典练习题(11套)附带详细答案
练习一1．二次函数的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
2．关于，，的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同 3．两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．开口方向相反 D ．都有最小值 4．在抛物线上，当y ＜0时，x 的取值范围应为（ ） A ．x ＞0 B ．x ＜0 C ．x ≠0 D ．x ≥0 5．对于抛物线与下列命题中错误的是（ ） A ．两条抛物线关于轴对称 B ．两条抛物线关于原点对称 C ．两条抛物线各自关于轴对称 D ．两条抛物线没有公共点6．抛物线y=－b ＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。
7．抛物线y=－－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
8．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（1，3）B ．（1，3）C ．（1，3）D ．（1，3）9．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ） A ．y=3－2 B ．y=3＋22y ax =213y x =2y x =23y x =2y x =2y x =-2y x =-2y x =2y x =-x y 2x 21(2)2x +22(1)3y x =+-------2(1)x -2(1)x +C ．y=3－2D ．y=－3－210．二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）A ．y=a ＋3B ．y=a －3C ．y=a ＋3D ．y=a －3 11．抛物线的顶点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）12．对抛物线y=－3与y=－＋4的说法不正确的是（ ） A ．抛物线的形状相同 B ．抛物线的顶点相同 C ．抛物线对称轴相同 D ．抛物线的开口方向相反13．函数y=a ＋c 与y=ax ＋c(a ≠0)在同一坐标系内的图像是图中的（ ）14．化为y=为a 的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。
二次函数经典例题20题
二次函数经典例题20题题目1：已知二次函数y=2x²+4x-1的图象与x轴交于点A和点B，交于y轴的点为C，求△ABC的面积。
解析：首先求出交于x轴的点：令y=0，我们可以得到2x²+4x-1=0，利用求根公式可以求出x的值：x₁=(-4+√(4²-4*2*(-1)))/(2*2)=-2+√3x₂=(-4-√(4²-4*2*(-1)))/(2*2)=-2-√3所以点A的坐标是（-2+√3，0），点B的坐标是（-2-√3，0）接下来求出交于y轴的点：当x=0时，y=2*0²+4*0-1=-1所以点C的坐标是（0，-1）下面就可以求△ABC的面积了。
用△ABC的面积公式S=½*AB*CH，其中AB为√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)，CH为y轴的长度AB=√(((-2-√3)-(-2+√3))²+(0-0)²)=√((2√3)²)=2√3CH=，-1-0，=1所以△ABC的面积为S=½*2√3*1=√3二次函数y=ax²+bx+c图象与y轴交于点A，与x轴交于点B和点C，并且AB的斜率为2，求a的值。
解析：首先根据图象与y轴交于点A，得到点A的坐标是(0，a*0²+b*0+c)=(0，c)然后弧像与x轴交于点B和点C。
假设点B的坐标是（x₁，0），点C 的坐标是（x₂，0）由题意已知，AB的斜率为2，所以可以得到斜率的表达式：k=2=(0-a)/(x₁-0)，即a=-2x₁由于图像关于y轴对称，所以点C的坐标为(-x₂，0)然后我们知道由二次函数的性质可知，二次函数的对称轴过抛物线的顶点，则对称轴的表达式是x=-b/2a而顶点的横坐标为x₀=-b/2a，所以点A的横坐标为x₀=-b/2a=0。
代入a=-2x₁可得到-1/2*x₁=-b/2a=0，即-1/2*x₁=0解得x₁=0所以a的值为0。
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1．求出下列二次函数的对称轴、顶点坐标，并求出最小（大）值。
（1）542+-=x x y （2）21352y x x =-++（3）21212y x x =-+ （4）224y x x =-+-2．在长20cm ，宽15cm 的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm 的正方形，写出余下木板的面积y(cm 2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围．3.心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (分钟)之间满足函数关系：y =－0.1x 2+2.6x +43(0≤x ≤30)，y 值越大表示接受能力越强.(1)x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10 分钟时，学生的接受能力是多少？几分钟时，学生的接受能力最强？ (3)结合本题针对自己的学习情况有何感受？4.先画出函数图象，然后结合图象回答下列问题：(1)函数y =3x 2的最小值是多少？ (2)函数y =－3x 2的最大值是多少？(3)怎样判断函数y =ax 2有最大值或最小值？与同伴交流.5. 二次函数y =－2x 2的图象与二次函数y =2x 2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？作图看看.它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？6．求下列函数的图像的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标．(1)y=4x 2+24x+35； (2)y=-3x 2+6x+2； (3)y=x 2-x+3； (4)y=2x 2+12x+18．8.试分别说明将抛物线：(1)y =(x +1)2；(2)y =(x －1)2；(3)y =x 2+1；(4)y =x 2－1的图象通过怎样的平移得到y =x10.一跳水运动员从10米高台上跳下，他的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系为h=-5(t-2)(t+1),你能帮助该运动员计算一下他跳起来后多长时间达到最大高度？最大高度是多少米？11.篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．12.已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式．13．已知二次函数y=4x 2＋5x ＋1，求当(!)y=0时的x 的值．(2)y 〉0时x 的范围（3）y 〈0时x 的范围（4 ）当x 为何值时y 随x 增大而增大（5）当x 为何值时y 随x 增大而减少14．已知二次函数y=x 2-kx-15，当x=5时，y=0，求k ．15．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a 、b 、c 的值．16求经过A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点且对称轴平行于y 轴的抛物线的解析式．17.已知二次函数为x ＝4时有最小值-3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 18.已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且顶点在x 轴上． (1)求二次函数的解析式；(2)当x 在什么范围时，y 随x 的增大而增大；(3)当x 在什么范围时，y 随x 的增大而减小．19.已知12212++-=x x y (1)把它配方成y ＝a(x-h)2＋k 形式；(2)写出它的开口方向、顶点M 的坐标、对称轴方程和最值；(3)求出图象与y 轴、x 轴的交点坐标；(4)作出函数图象；(5)x 取什么值时y ＞0，y ＜0； (6)设图象交x 轴于A ，B 两点，求△AMB 面积．20.二次函数的图象经过()()()4,2,4,0,0,4--C B A 三点： ① 求这个函数的解析式 ② 求函数图顶点的坐标 ③ 求抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积。
21．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．22. 某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x (元)满足关系：m =140－2x .(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式; (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 23. 将函数下列各函数化成()k h x a y +-=2的形式⑴42212--=x x y ⑵2134322+--=x y3.3822--=x x y4.1632+--=x x y24．将进货单价为30元的故事书按40元售出时，就能卖出500本书，已知这种书每本每涨价1元，其销售量就会减少10本.设销售单价为x 元，销售总利润为y 元.⑴写出y 与x 的函数关系式； ⑵求当销售单价为多少元时，销售总利润最大？最大利润为多少？ 25．求下列二次函数与x 轴、y 轴的交点坐标.⑴x x y 642-= ⑵542--=x x y26．某零售商购进一批单价为16元的玩具，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格，经过试验发现，当销售单价为20元时最多能销售360件，在这基础上每提高1元每月就少销售30件.设销售单价为x （元/件），每月的销售利润为y （元）.⑴写出y 与x 的函数关系式； ⑵求当销售单价为多少元时，每月销售利润最大？最大利润为多少？14：某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元.市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60kg ，单价每降低1元，日均多售出2kg ，在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天，俺整天计算）.设销售单价为x 元，日均获利为y 元.⑴求y 与x 的函数关系式，并注明x 的取值范围； ⑵求单价定为多少时，日均获利最多？最多为多少？27.已知二次函数y =(m 2－2)x 2－4mx +n 的图象的对称轴是x =2，且最高点在直线y =21x +1上，求这个二次函数的表达式.28.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m ？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？29、水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？30. 某商店将每件进价为10元的商品按每件12元出售时，一天可卖出150件，该商店经过调查发现商品每提价0.1元，其销售量下降5件，设该商品没见提高x 元时，每天销售利润为y 元，求y 与x 的函数关系式。
31. 某软件商店销售一种益智游戏软件，如果以每盘50元的售价卖出，一个月能销售出500盘，根据市场分析，若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盘，试写出当每盘的售价涨x 元时，该商品月销售额y 元与x 的关系式，并指出y 是x 的什么函数。
32. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m 件与每件的销售价x元满足一次函数m=162－3x.(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的售价x 之间的函数表达式。
(2) 如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少合适？，最大利润是多少？ 33/已知抛物线322--=x x y⑴求此抛物线与x 轴的交点A 、B 两点的坐标，与y 轴的交点C 的坐标.⑵求ABC ∆的面积.⑶在直角坐标系中画出该函数的图象⑷根据图象回答问题：①当0>y 时，x 的取值范围？②当0<x 时，y 的取值范围？③当______x 时，y 随x 的增大而增大；当______x 时，y 随x 的增大而减小；34．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数。
⑴求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定位多少元？此时每日销售利润是多少元？35. 宏大汽车租赁公司共有出租车120量，每辆汽车的日租金为160元，为适合市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，一辆汽车的日租金每增加10元，每天出租的汽车会相应减少6辆，若不考虑其他因素，公司的日租金总收入比提高租金前增加了多少元？（公司的日租金总收入=每辆汽车的日租金×公司每天出租的汽车数）36. 某玩具厂计划生产一种玩具，每日最高产量为40只，且每日生产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具的成本为R 元，售价为每只P 元，且R.P 与x 的关系分别为R=550+30x. P=170-2x(1) 假设每日获得利润为y 元，请你写出y 与x 的函数关系；(2) 请你利用（1）中得到的二次函数表达式对每天的生产情况和利润之间的关系进行分析。
37。
某机械租赁公司由同一型号的机械设备40套，经过一段时间经营发现 :当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部卖出，在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费，管理费）20元，设每套设备的月租金为x 元，租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入-支出费用）为y 元（1） 用含x 的代数式表示为出租的设备数（套）与所有未出租设备（套）的支出费用。
（2） 求y 与x 之间的二次函数关系式。
（3） 当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？应该出租多少套机械设备？请你简单说明理由。
（4） 请把（2）中所求出的二次函数配成y=a(x+ab 2)2+a b ac 442-的形式，并据此说明，当x 为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大?最大的月收益是多少？38．某商店经销一种销售成本为每千克40元的农产品，所市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减小10千克，设每千克农产品的销售价格为x （元），月销售总利润为y （元）.⑴求y 与x 的函数关系式；⑶当销售价定为多少元时，月获利最大，最大利润是多39.如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.m x(1)(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.40.有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB 宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10米;(1)在如图2的坐标系中，求抛物线的表达式.(2)若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？(水位以每小时0.2米的速度上升)4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.m x42今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息．如图(1)(2)两图．注：两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低；图(1)的图象是线段，图10(2)的图象是抛物线段．(1)在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由 43..当一枚火箭被竖直向上发射后，它的高度h (m)与时间t (s)h =－5t 2+150t +10表示.经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？44..正方形的边长为1 cm ，假设边长增加x cm 时，正方形的面积增加y cm 2.(1)请写出y 与x 之间的关系表达式;(2)当正方形边长分别增加1 cm ，3 cm ，2 cm 时，正方形的面积增加多少？45..二次函数y =ax 2与直线y =2x －1的图象交于点P (1，m ).(1)求a 、m 的值;(2)写出二次函数的表达式，并指出x 取何值时，该表达式的y 随x 的增大而增大.46.如图，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.47。