上证综合指数收益分布参数的贝叶斯估计

上证综合指数收益分布参数的贝叶斯估计 摘要 中国的股票市场由深圳和上海两大证券交易所组成，分析一个市场的状况的可基本了解股票市场概况。贝叶斯统计推断如今已成为与经典学派（频率学派）并列的两大学派之一。本文在详细介绍了贝叶斯参数估计方法后，利用其对上证综合指数收益率分布的参数进行了估计。结果表明，02-08-09--08-03-28上证综合指数收益率服从均值为0.00056964，方差为0.000249818的正态分布。

关键词 贝叶斯方法 参数估计 上证综合指数 一、引言 金融资产价格及其收益率分布的假定是现代金融理论和金融市场风险分析的重要基础。在对股市收益率分布函数的分析中，通常有两种不同的思路：其一是分析价格的形成机制，即分析导致股价产生变动的原因，如剖析信息的到达、交易量与交易行为对价格变动的影响，然后再寻找一个合适的分布函数来描述经验数据；另一种方法是通过直接对经验数据进行分析，如研究收益率数据的基本统计特征（如尖峰、厚尾、非对称性与稳定性等），再根据数据的这些经验特征拟合分布。本文将主要研究资产收益率分布的函数。 在研究中，理论界通常假设资产价格遵循对数正态分布，即其收益率服从正态分布，而大量经验数据也表明收益率确实遵循正态分布。正态分布假设观点始于法国数学家 Bachelier，他在确定标的资产价格变动规律的过程中，发现资产价格的无条件分布为正态分布； Kendall对英国股市价格数据进行研究，认为股票价格的变化近似服从正态分布；Osborne对美国股市的收益率数据进行了研究，认为用几何布朗运动来描述股价的变动是合适的； BlackScholes创立的资本资产定价模型，利用扩散过程来描述资产价格运动； Merton创立了跳—扩散模型，将扩散过程和跳跃过程综合起来描述资产价格的运动。描述股票收益率行为的正态分布模型的基本理论假设是： 1 、对每一只股票而言，从一笔交易到另一笔交易，其价格的变化是独立同分布的随机变量； 2、交易在时间上是均匀分布的，并且交易之间的价格变化有有限方差； 3、在所分析的时间区间上，发生交易的数量是较大的。 虽然资产收益率普遍呈现正态分布特征，但是不同的资产收益率分布的参数各不相同。经典学派视参数为常数，利用样本信息来估计总体，即一般选取样本均值作为总体均值的估计，而样本方差则作为整体方差的估计，而 Bayes学派则视参数为随机变量且具有先验分布，再根据样本信息修正先验分布而得到后验分布，将新信息不断加入到参数估计过程中，以更加准确地估计参数。本文将利用 Bayes估计对上证综合指数的收益率服从的分布进行参数估计。

二、模型及方法 贝叶斯统计中的两个基本概念是先验分布和后验分布。 (1)先验分布。 总体分布参数的一个概率分布。贝叶斯学派的根本观点，是认为在关于总体分布参数的任何统计推断问题中，除了使用样本所提供的信息外，还必须规定一个先验分布，它是在进行统计推断时不可缺少的一个要素。他们认为先验分布不必有客观的依据，可以部分地或完全地基于主观信念。 (2)后验分布 根据样本信息和未知参数的先验分布，用概率论中求条件概率的方法，求出的在样本已知下，未知参数的条件分布。因为这个分布是在抽样以后才得到的，故称为后验分布。贝叶斯推断方法的关键是任何推断都必须且只须根据后验分布，而不能再涉及样本分布。 1、 Bayes参数统计模型 (1)参数的参数空间上的一个概率分布成为的先验分布，其（连续或离散）密度记为[():]。 (2)样本12(,,...,)TnXXXX的条件密度函数族{(/):}fx（连续或离散）成为样本分布族。 (3)先验分布{():}与样本分布族{(/):}fx构成 Bayes参数统计模型。 2、 Bayes统计推断原则 Bayes统计认为样本的作用是使的认识深化，由先验分布转化为后验分布，后验分布包含了的先验信息与样本观测值提供的信息， 是 Bayes统计推断的基础，由此引出 Bayes统计推断的原则，即：对参数所作任何推断（参数估计、假设检验等）必须基于且只能基于参数的后验分布，即后验密度函数族{(/):}hx。 3、先验分布的选取 Bayes统计中，关于先验分布的选取是一个重大问题， Bayes本人对先验分布作了如下假设：先验分布是无信息先验分布，在参数取值区域内“均匀分布”，即假定：{()()1,}C或当。然而， Bayes

假设中的一个矛盾，即若对参数选用均匀分布，则其函数()g往往不是均匀分布。Jeffreys提出的选取先验分布的原则是一种不变原理， 较好地解决了 Bayes假设中的矛盾。Jeffreys原则：设按照原则决定的先验分布为 ()，若以()g作为参数，按同一原则决定的()g的先验分布是()g，则应用关系式： ()[()]['()]ggg 若选取的()符合上式， 则用或的函数()g到处的先验分布总是一致的。困难之处在于如何找到满足上式的()，Jeffreys利用 Fisher信息量的不变性，找到了符合要求的()。由此引理与 Jeffreys

原则，可取 12{()[()]}I

其中，1122()[()]||[()]gII 该式对标量参数和矢量参数都适用。 4、 Bayes参数估计求解 在选定参数的先验估计后，需要将样本信息加入到先验估计，以求得后验估计。 Bayes点估计后验估计分为最大后验估计和条件期望估计，本文中，我们选取最大后验估计的方法，对参数进行估计。 设 X的概率密度为(/)fx，即似然函数(/)Lx，()是的先验分布，由此可得的后验概率密度函数(/)hx 。 若ˆˆ()x使得ˆ(/)sup(/)hxx，则称ˆ为的最大后验估计。

三、上证综合指数收益率分布参数的贝叶斯估计 前文已经指出，资产收益的经验数据表明：资产收益率服从正态分布。本小节我们将对上证指数收益率服从正态分布的假定下，利用样本数据估计分布参数。 1、正态分布参数的 Bayes解 (1)确定正态分布参数的先验分布 设X是来自正态分布2(,)N的随机变量样本，则2(,)T的符合Jeffreys原则的先验分布()为：

123

1()[()]I , 其中，20[()]20nIn

(2)求得正态分布参数的最大后验估计 12(,,...,)nXXXX是来自正态总体2(,)N的样本观测值，先验分布1()，则后验概率密度

2/2112()1(/)()exp[]2ninixhx



(3)求得最大值点，得 221111()p()2nniiiixxxxnn





2、上证综合指数收益率分布参数的估计 （1)参数估计 本文选取上证指数02-08-09--08-03-28的日收盘价共1364个数据。以1,ttPP分别记第 t天和1t天的日收盘价，则第t天的日收益率为 11ttttPPRP

，而当tP与1tP相差不大时，易证

1111111()ln()lnlnln,2,3,...,1364ttttttttttttPPPPPPRPPtPPP





根据以上公式，计算得到上证综合指数02-08-09--08-03-28的日收益率。并利用 SPSS作出收益率的直方图。由图可以看出，上证综合指数收益率的经验数据形态与正态分布相近。 所以，我们假定

121364(,,...,,...,)tRRRRR服从正态分布2(,)N，但2,皆未知。利用贝叶斯参数估计方法，对2,进行估计，2(,)T，则的最大后验估

计211ˆ[,()][0.000569640.00024981,]28TnTiixxxn （2)的显著性检验 我们对上述利用贝叶斯方法估计出的参数进行显著性水平检验。 均值采用t检验，检验统计量0(1)/utnsn，S为样本标准差。检验结果中，2.054t，表明t检验在0.05的显著性水平下是显著的，且均值显著为正，而贝叶斯估计结果0.00056964为正数，表明贝叶斯估计有效。 对于2，Bayes估计值为 0.000249818，表明上证综合指数收益率的分布比正态分布峰度更高，即图形更“高瘦”。

四、结束语 1、从贝叶斯最大后验估计的表达式可以看出，贝叶斯方法对 的估计与传统参数估计结果相同，均为x ，但对2的估计，Bayes估计结果则略小于传统估计。即 221111()p()2nniiiixxxxnn





2、对上证综合指数的实证检验结果说明指数收益率服从均值为正，方差远远小于1的正态分布，这表明，该指数的收益率绝大部分集中在0.00056964附近，即大多数日收益率大于0。 3、均值的显著性检验表明，Bayes估计是有效的。