2.4数的定点与浮点表示
(2)浮点数的运算规则比定点数的运算规则复杂。
设有两个浮点数： N1=2P1×S1 N2=2P2×S2 若P1=P2，则 N1+N2=2P1×S1+2P2×S2=2P1×(S1+S2) 换言之，P1=P2求和，意味着小数点已对齐，只要将两个尾数相加， 阶码仍然是原来的阶码。 但若P1≠P2，则需先 (小数点对齐，阶码相同)，然后才能相加。 例如，N1=211×0.1001，N2=201×0.1100 “对阶”的方法是使小阶向大阶看齐，本例即将N2右移2位，阶 码加2，得到N2=211×0.0011，然后两数相加。 211×0.1001 +211×0.0011 211×0.1100
练习
1、设有两个浮点数：N1=2110×0.11011101， N2=211×0.1101010101，求N1+N2，并将结果用2个字 节表示，其中阶码(含阶码符号)占6位，尾数(含数 符)占10位。 2、设有两个浮点数：N1=2111×0.1001110101， N2=2100×0.10111101101，求N1-N2，并将结果用2个 字节表示，其中阶码(含阶码符号)占6位，尾数(含 数符)占10位。
在浮点表示法中，小数点的位置 不是固定的，而是浮动的。
一般来说，任意一个二进制数N可以表示 成： N=2P×S
式中，S为数N的尾数，表示N的有效数值。用Sf表示 尾数的符号，Sf=0表示正数，Sf=1表示负数。P为数N的阶 码，表示小数点的位置。用Pf表示尾数的符号，Pf=0表示 正数，Pf=1表示负数。 因此，浮点数分为阶码和尾数两个部分，在数的表 示中都有各自的符号位，形式为：
当两数相减时，同样需要对阶。 两个浮点数的乘除法：两个浮点数相乘(除) 只需阶码相加(减)，尾数相乘(除)即可。
浮点运算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法复杂，操作控制线路也很复杂， 成本高，顾一般微型计算机很少采用。
Pf
阶码符号 阶码
Sf
数符 尾数
2.4.3 定点表示和浮点表示的比较
(1)用相同的字长表示二进制数，浮点数表示的 范围比定点数表示的范围大。
假定用32位二进制来表示数。对定点机，用定点整数表示范 围为： +(231-1)~-(231-1)(机器数) 对浮点机，字长32位，其中8位表示阶码(含阶码符号)，24位 表示尾数(含数符)，它能表示的范围为： +(2(2^7-1)×(223-1)~-(2(2^7-1)×(223-1) +2127×(223-1)~-2127×(223-1) 显然，对于相同位数的数，浮点数的表示范围比定点数的表 示范围大得多，而且阶码位数适当多一些，所能表示数的范围会 更大些，但尾数有效数字却减少了，会影响运算精度。因此阶码 的位数和尾数的位数应根据使用要求来确定。
浮点数运算过程为了不丢失有效数字，提高运算的精度， 通常都采用 。所谓规格化数即尾数的最 高位是有效数字1而不是0，因此尾数应满足1/2≦S<1。
欲使浮点数规格化，只要移动小数点(调整阶码)即可实现。 例如，二进制数N1=211×0.0101，在浮点机中表示形式为： 0 11 0 0101 阶码符号 阶码 数符 尾数
这是一个非规格化数。这时只要调整阶码数值即可。将N1改 写为N1=210×0.1010，则N1即为规格化数，其表示形式为：
0 阶码符号 10 阶码 0 数符 1010 尾数
练习
将下列浮点数进行规格化尾数，并用浮点机形 式表示出来。 1、N=211×0.0001110 2、N=210×(-1101.1) 3、N=201×100.1 4、N=210×0.001101 5、N=2110×(-0.00001001) 6、N=201×0.00001011
2.4数的定点与浮点表示
卢婷婷
2.4.1 定点表示法
定点表示法是将小数点的位置固定不变，约定在数值 的某个位置上。
(1)约定小数点隐含在最低数值位后，这使得所有的
数值位表示的数为整数，称为 。
(2)约定小数点隐含在最高数值位之前和符号位之后，
这使得所有的数值位表示的数为小数，称为 。
2.4.2 浮点表示法
数的定点表示和浮点表示
浮点表示法的应用场景
科学计算
浮点数适用于各种科学计算，如物理、化学、 生物等领域。
工程计算
浮点数适用于各种工程计算，如机械、电子、 航空航天等领域。
金融计算
虽然金融领域对精度要求较高，但有时也需 要使用浮点数进行计算。
图形处理
在计算机图形学中，浮点数用于表示像素的 颜色值、坐标值等。
03
定点数与浮点数的比较
浮点数在计算机中的应用
精确表示实数
浮点数表示法可以精确表示实数，包括非常大或非常小的 数值，以及非整数。
01
广泛的应用领域
浮点数表示法适用于各种领域，如科学 计算、工程计算、图形处理、音频处理 等。
02
03
运算效率较低
相对于定点数，浮点数的计算速度较 慢，因为需要进行更多的运算步骤来 处理小数点和指数部分。
定点数与浮点数在计算机中的优缺点比较
精度比较
浮点数具有更高的精度，可以表示更大范围和更多种类的实数，而定点数在表示实数时 可能存在精度损失。
运算速度比较
定点数的运算速度更快，因为其计算过程相对简单，适用于需要大量数学运算的场景； 而浮点数的运算速度较慢，因为需要进行更多的运算步骤。
存储空间比较
定点数表示法可以节省存储空间，因为不需要存储小数点和指数部分；而浮点数表示法 需要存储更多信息，包括指数和尾数等部分。
表示速度的比较
总结词
在某些情况下，定点数运算可能比浮点数运算更快。
详细描述
由于计算机内部表示和处理浮点数的方式较为复杂，所以在某些计算密集型任 务中，定点数运算可能会比浮点数运算更快。此外，对于一些特定的问题，使 用定点数表示和算法设计可能更高效。
04
定点数与浮点数的转换
什么是定点数,浮点数
C++中的浮点数有6种，分别是：
float：单精度，32位
unsigned float：单精度无符号，32位
double：双精度，64位
unsigned double：双精度无符号，64位
long double：高双精度，80位
unsigned long double：高双精度无符号，80位（嚯，应该是C++中最长的内置类型了吧！）然而不同的编译器对它们的支持也略有不同，据我所知，很多编译器都没有按照IEEE规定的标准80位支持后两种浮点数的，大多数编译器将它们视为double，或许还有极个别的编译器将它们视为128位？！对于128位的long double我也仅是听说过，没有求证，哪位高人知道这一细节烦劳告知。下面我仅以float（带符号，单精度，32位）类型的浮点数说明C++中的浮点数是如何在内存中表示的。先讲一下基础知识，纯小数的二进制表示。（纯小数就是没有整数部分的小数，讲给小学没好好学的人）
void TestDouble(double value)
...{
int count=0;
string x;
if (value>0)
...{
x+="0"; //判断符号
什么是定点数和浮点数
计算机中的数除了整数之外，还有小数。如何确定小数点的位置呢？通常有两种方法：
浮点数和定点数的区别
cloudseawang定点数与浮点数区别最近做HDR时，经常要用NV提供的16位纹理，它的说明书16位能达到24位的精度，就很奇怪？一直搞不懂浮点数的精度怎么算的？今天认真看了一下IEEE float point的标准，终于明白是什么了1. 什么是浮点数在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表达实数。
典型的比如相对于浮点数的定点数（Fixed Point Number）。
在这种表达方式中，小数点固定的位于实数所有数字中间的某个位置。
货币的表达就可以使用这种方式，比如99.00 或者00.99 可以用于表达具有四位精度（Precision），小数点后有两位的货币值。
由于小数点位置固定，所以可以直接用四位数值来表达相应的数值。
SQL 中的NUMBER 数据类型就是利用定点数来定义的。
还有一种提议的表达方式为有理数表达方式，即用两个整数的比值来表达实数。
定点数表达法的缺点在于其形式过于僵硬，固定的小数点位置决定了固定位数的整数部分和小数部分，不利于同时表达特别大的数或者特别小的数。
最终，绝大多数现代的计算机系统采纳了所谓的浮点数表达方式。
这种表达方式利用科学计数法来表达实数，即用一个尾数（Mantissa ），一个基数（Base），一个指数（Exponent）以及一个表示正负的符号来表达实数。
比如123.45 用十进制科学计数法可以表达为1.2345 × 102 ，其中1.2345 为尾数，10 为基数，2 为指数。
浮点数利用指数达到了浮动小数点的效果，从而可以灵活地表达更大范围的实数。
提示: 尾数有时也称为有效数字（Significand）。
尾数实际上是有效数字的非正式说法。
同样的数值可以有多种浮点数表达方式，比如上面例子中的123.45 可以表达为12.345 ×101，0.12345 × 103 或者1.2345 × 102。
因为这种多样性，有必要对其加以规范化以达到统一表达的目标。
计算机理论：浮点数和定点数计算机表示
计算机理论：浮点数和定点数计算机表示浮点数是属于有理数中某特定子集的数的数字表示，在计算机中用以近似表示任意某个实数。
具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为10的科学记数法。
浮点计算是指浮点数参与的运算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。
一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m × b^e。
在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p（即使用多少位来存储）。
m（即尾数）是形如±d.ddd...ddd的p位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1）。
如果m 的第一位是非0整数，m称作规格化的。
有一些描述使用一个单独的符号位（s 代表+或者-）来表示正负，这样m必须是正的。
e是指数。
由此可以看出，在计算机中表示一个浮点数，其结构如下：尾数部分（定点小数）阶码部分（定点整数）数符±尾数m 阶符±阶码e这种设计可以在某个固定长度的存储空间内表示定点数无法表示的更大范围的数。
例如，一个指数范围为±4的4位十进制浮点数可以用来表示43210，4.321或0.0004321，但是没有足够的精度来表示432.123和43212.3（必须近似为432.1和43210）。
当然，实际使用的位数通常远大于4。
此外，浮点数表示法通常还包括一些特别的数值：+∞和−∞（正负无穷大）以及NaN（'Not a Number'）。
无穷大用于数太大而无法表示的时候，NaN则指示非法操作或者无法定义的结果。
众所周知，计算机中的所有数据都是以二进制表示的，浮点数也不例外。
然而浮点数的二进制表示法却不像定点数那么简单了。
先澄清一个概念，浮点数并不一定等于小数，定点数也并不一定就是整数。
所谓浮点数就是小数点在逻辑上是不固定的，而定点数只能表示小数点固定的数值，具用浮点数或定点数表示某哪一种数要看用户赋予了这个数的意义是什么。
定点与浮点表示法
(N)R = ±S ×R±e
Ｎ代表数字
Ｓ代表尾数
Ｒ代表基数
ｅ代表阶码，即小数点的实际位置。
１.定点表示
a)定点表示的小数，ｅ的取值固定不变。
b)表示的数据范围小。
c)使用不方便，运算精度低，浪费存储单元。
定点数的分辨率：
在字长为ｎ＋１的计算机中。
纯小数的分辨率为２－ｎ次方，纯整数的分辨率为１。
２.浮点表示
a)规格化表示：
若位数采用原码表示，［Ｓ］原＝Ｓｆ．Ｓ１Ｓ２Ｓ３．．Ｓｎ，则把Ｓ１＝１的数称为
规格化数。
b)浮点数数据范围：
i.最大正数和最小正数的区间，称为正数区；
ii.最小负数和最大负数的区间，称为负数区；
iii.最大负数和最小正数之间的区域，由于绝对值小于可表示的值。
所以称为下溢
区，一般用０表示。
称为机器零。
iv.处于最大正数和最小负数之外的区间，称为上溢区。
最大正数以外称为正溢区，最小负数以外称为负溢区。
关于浮点数与定点数的理解
定点数与浮点数计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机中通常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。
1. 定点数表示法(fixed-point)所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。
在计算机中通常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。
一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。
定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。
若数据x 的形式为x = x0.x1x2…x n( 其中x0为符号位，x1～x n是数值的有效部分，也称为尾数，x1为最高有效位)，则在计算机中的表示形式为：一般说来，如果最末位x n = 1，前面各位都为0 ，则数的绝对值最小，即|x|mi n = 2-n。
如果各位均为1，则数的绝对值最大，即|x|ma x =1-2-n 。
所以定点小数的表示范围是：2- n ≤ | x| ≤ 1 - 2- n定点整数是纯整数，约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。
若数据x 的形式为x = x0x1x2…x n ( 其中x0为符号位，x1～x n是尾数，x n为最低有效位)，则在计算机中的表示形式为：定点整数的表示范围是：1≤ | x| ≤ 2n - 1当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作0处理，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。
计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，根据比例因子，还原成实际数值。
若比例因子选择不当，往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。
用定点数进行运算处理的计算机被称为定点机。
2. 浮点数表示法(floating-point number)4与科学计数法相似，任意一个J进制数N，总可以写成N = J E × M式中M称为数N 的尾数(mantissa)，是一个纯小数；E为数N 的阶码(e x ponent)，是一个整数，J称为比例因子J E 的底数。
定点数和浮点数课件
符号位
表示浮点数的正负，0表示正数，1 表示负数。
指数位
表示浮点数的指数部分，即小数点的 位置。
尾数位
表示浮点数的尾数部分，即小数点后 面的数字。
浮点数的范围和精度
范围
浮点数的范围取决于指数位的位 数和尾数位的位数，一般分为单 精度和双精度两种类型，单精度 范围较小，双精度范围较大。
精度
浮点数的精度取决于尾数位的位 数，位数越多，精度越高，能够 表示的数字越精确。
浮点数定义
浮点数是指小数点位置可以浮动的数 值表示方式，通常用于计算机内部运 算，其小数点位置可以根据需要移动。
浮点数的优点
浮点数的缺点
浮点数表示方式相对复杂，计算机内 部计算浮点数需要更多的时间和空间 资源，同时浮点数容易受到计算机内 部精度限制的影响。
浮点数表示方式的范围广泛，可以表 示非常大或非常小的数值，同时浮点 数精度高，能够准确表示小数。
具体实现可能会有所不同。
在定点数运算中，需要注意溢出、 舍入误差等问题。
一般来说，定点数运算的速度比 浮点数运算要快，因此在需要高 精度计算的情况下，定点数是一
种更好的选择。
2023
PART 03
浮点数的表示方法
REPORTING
浮点数的表示格式
IEEE 754标准
浮点数在计算机中采用IEEE 754标准 进行表示，包括符号位、指数位和尾 数位三个部分。
浮点数的运算规则
01
加减运算
浮点数的加减运算与普通加减运算类似，只需要对尾数位进行加减即可，
指数位不变。
02
乘除运算
浮点数的乘除运算需要将尾数位和指数位分开计算，然后组合得到结果。
乘法时尾数位需要左移一位，除法时尾数位需要右移一位。
数定点表示和浮点表示
计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机中通常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。
1. 定点数表示法(fixed-point)所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。
在计算机中通常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。
一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。
定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。
若数据x的形式为x=x0.x1x2…xn(其中x0为符号位，x1～xn是数值的有效部分，也称为尾数，x1为最高有效位)，则在计算机中的表示形式为：一般说来，如果最末位xn= 1，前面各位都为0，则数的绝对值最小，即|x|min= 2-n。
如果各位均为1，则数的绝对值最大，即|x|max=1-2-n。
所以定点小数的表示范围是：2-n≤|x|≤1 -2-n定点整数是纯整数，约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。
若数据x的形式为x=x0x1x2…xn(其中x0为符号位，x1～xn是尾数，xn为最低有效位)，则在计算机中的表示形式为：定点整数的表示范围是：1≤|x|≤2n-1当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作0处理，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。
计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，根据比例因子，还原成实际数值。
若比例因子选择不当，往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。
用定点数进行运算处理的计算机被称为定点机。
2. 浮点数表示法(floating-point number)与科学计数法相似，任意一个J进制数N，总可以写成N = J E×M式中M称为数N的尾数(mantissa)，是一个纯小数；E为数N的阶码(exponent)，是一个整数，J称为比例因子J E的底数。
简述定点、浮点表示法的区别。
简述定点、浮点表示法的区别。
定点表示法和浮点表示法是两种不同的数据表示方式。
定点表示法一般用来表
示固定的数字，其特点是精度较高，但是占用的存储空间也大。
而浮点表示法则更加灵活，能够表示变化的数字，存储空间也比定点表示法小，但是有一定精度损失，这两种表示法互补可以给我们更多的计算机使用选择。
首先，定点表示法是指将数字按照一定的规则固定分成若干部分，比如我们进
行十进制小数表示时，它固定分割出整数部分和小数部分，进而用二进制表示数据，其各个部分存储在固定的的字节大小的内存单元里，使得存储的精度非常高。
但是定点表示法也有缺点，比如处理动态变化的数据时精度会有影响，占用的存储空间也大。
而浮点表示法的概念主要源于数学中的浮点数，即能够在改变参数值的情况下
仍能保持一定的精确度，因此在计算机科学中浮点数也同样可以表示一定范围内变化数据。
相比定点表示法，浮点表示法容易实现，且占用内存空间相对小。
但是在精度上有一定损失，再有国际标准IEEE 754推荐的浮点表示，依然无法避免产生
舍入误差，进行高精度的计算就很有局限性。
从上述对比可以看出，定点表示法和浮点表示法各有优势，相互交互可以满足
不同的应用场景。
当然，应用层面若想处理浮点数，依然需要进行技术支撑，特别是进行大规模运算时，不仅要求开发者必须理解定点表示法和浮点表示法的基本原理，也还要对算法进行优化提高计算精度。
计算机原理(第3版)武马群 (2)精选全文
•掌握各种进位计数制，十、二、八、十六进 制数的相互转换； •掌握二进制数的四则运算的规则； •掌握定点整数和定点小数的编码；
•掌握浮点数的编码原理、表数范围和规格化 方法； •了解定点数与浮点数的优缺点；
•掌握原码、反码和补码的概念、编码方法和 定义范围； •了解非数值数据的常用的编码方法。
一般地说，任意一个二进制数N（正的，或负的），可以表示为： N=±(Kn-1×2n-1+ Kn-2×2n-2+…+ K0×20+ K-1×2-1+ K-2×2-2+…+ Km×2-m) 其中Kj只能取1或0，由是由具体的数N确定。m、n为正整数。“2” 是二进制的基数，表示“逢2进1”，故称二进制，见表1–1
计算机的硬件是指计算机中的电子线路和物理装置.它 们是看得见摸的着的实体,入用集成电路芯片、印刷线 路板、接插件、电子元件和导线等装配成的CPU、存储 器及外部设备等。它们组成了计算机的硬件系统，是计 算机的物质基础，
计算机有巨型、大型、中型、小型和微型之分，每种规 模的计算机又有很多种机型和型号，它们在硬件配置上 差别很大，但是绝大多数都是根据冯·诺依曼计算机体 系结构来设计的。
经过短短几十年的发展，计算机技术的应用已经十分普及，从国 民经济的各个领域到个人生活、工作的各个方面，可谓无所不在。 因此，计算机知识是每一个现代人所必须掌握的知识，而使用计算 机应该是人们必备的基本能力之一。
1.1 计算机的特点
1. 运算速度快 2. 计算精度高 3. 具有记忆功能 4. 具有逻辑判断功能 5. 高度自动化
1.6.2 计算机的软件系统
计算机软件系统由系统软件(system software)和应用软件 (application software)两个部分构成。