空间向量的共线与共面问题
空间向量的共线与共面解析
空间向量的共线与共面解析在三维空间中，我们经常会遇到多个向量的关系问题，其中一个重要的问题就是判断向量的共线与共面关系。
本文将介绍空间向量的共线与共面解析方法。
一、共线向量的判断若存在实数k，使得向量a与向量b的每个分量同比例，则向量a 与向量b是共线的。
即可以表示为：a = kb对于三维空间中的两个向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，我们可以通过列向量的形式表示：⎛a1⎞⎛b1⎞⎜a2⎟ = k⎜b2⎟⎝a3⎠⎝b3⎠其中a与b共线，k的值即为向量a与向量b的公比。
二、共面向量的判断若存在实数k1和k2，使得向量a、b和向量c的每个分量满足以下关系：a = k1b + k2c则向量a、b和向量c是共面的。
即可以表示为：⎛a1⎞⎛b1⎞⎛c1⎞⎜a2⎟ = k1⎜b2⎟ + k2⎜c2⎟⎝a3⎠⎝b3⎠⎝c3⎠其中a、b和c共面，k1和k2分别为向量a与向量b和向量a与向量c的公比。
三、共线与共面解析举例假设有三个向量a=(1,2,3)，b=(2,4,6)和c=(3,6,9)，我们来判断它们的共线与共面关系。
1. 共线判断：a = 2b，即k=2，所以向量a与向量b是共线的。
2. 共面判断：我们可以将向量a表示为向量b和向量c的线性组合，即：a = 1b + 0c所以向量a、b和向量c是共面的。
通过上述例子，我们可以发现，共线向量满足每个分量同比例，而共面向量则满足每个分量都可以由其他向量线性表示。
结论：通过对空间向量的共线与共面解析，我们可以更好地理解向量之间的关系。
共线与共面关系在几何学和物理学中都有广泛的应用，对于求解问题和推导结论具有重要意义。
总结：在本文中，我们介绍了空间向量共线与共面的解析方法，并通过具体例子进行了解析。
通过这些方法，我们可以判断出向量的共线与共面关系，更好地应用于实际问题中。
对于进一步学习和应用向量的相关知识具有重要的参考价值。
空间向量探索性问题归纳-高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)
空间向量探索性问题归纳题型一 空间向量共线、共面的探索性问题例1．下列给出的命题中：①如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序数组x ，y ，z 使p xa yb zc =++．②已知(0O ，0，0)，(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1C ，1，1)．则与向量AB 和OC 都垂直的单位向量只有6(6n =，6，6． ③已知向量OA ，OB ，OC 可以构成空间向量的一个基底，则向量OA 可以与向量OA OB -和向量OA OB +构成不共面的三个向量．④已知正四面体OABC ，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点，则MN 与OB 所成的角为4π． 是真命题的序号为( ) A ．①②④ B ．②③④C ．①②③D ．①④【答案】D【解析】①如果三个向量a ，b ，c 不共面，由空间向量基本定理可得：对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序数组x ，y ，z 使p xa yb zc =++．②已知(0O ，0，0)，(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1C ，1，1)．则与向量AB 和OC 都垂直的单位向量只有6(6n =±，6，6，因此不正确． ③已知向量OA ，OB ，OC 可以构成空间向量的一个基底，向量OA OB -、向量OA OB +、向量OA 都可以用向量OA ，OB ，所以能构成共面的三个向量，③错误． ④已知正四面体OABC ，M ，N 分别是棱OA 来表示，BC 的中点，如图所示， 不妨设2AB =．取AB 的中点为P ，连接MP ，PN ． 可得1PM PN ==，222MN AN AM =-=4PMN π∴∠=．则MN 与OB 所成的角为4π． 综上可得：真命题的序号为①④． 故选D ．例2．已知点(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(0C ，0，1)，若存在点D ，使得//DB AC ，//DC AB ，则点D 的坐标为( )A ．(1-，1，1)B ．(1-，1，1)或(1，1-，1)-C ．1(2-，12，1)2D ．1(2-，12，1)2或(1，1-，1)【答案】A【解析】设点D 的坐标为(x ，y ，)z//DB AC ，(DB x =-，1y -，)z -，(1AC =-，0，1)故：0x z +=，1y = 又//DC AB ，(DC x =-，y -，1)z -，(1AB =-，1，0)故1z =，1x =-故点D 的坐标为(1-，1，1) 故选A ．【解题技巧提炼】利用空间向量解决共线、共面问题技巧：(1)若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(2)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等．(3)共线向量与共面向量区别时注意，平行于同一平面的向量才能为共面向量． (4)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．题型二 线面平行的探索性问题例1．如图，在正四棱锥S ABCD -中，AC BD O =，2SA AB ，P 在侧棱SD 上，SD ⊥平面PAC ．（1）求平面SAB 与平面PAC 所成的锐二面角的余弦值；（2）侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ？若存在，求:SE EC 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）如图，连接BD ，设AC 交BD 于O ，由题意知SO ⊥平面ABCD ，AC BD ⊥，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OS 分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系O xyz -如图所示． 2SA =，不妨设2AB =2SA =，1OA OB OC OD ====，3SO =由题意得(0S ，03)，(1D -，0，0)，(0A ，1-，0)，(1B ，0，0)，∴(0SA =，1-，3)-，(1SB =，0，3)-，设平面SAB 的一个法向量为(m x =，y ，)z ， 则有3030y z x z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，可取(3m =，3-1)，SD ⊥平面PAC ，∴平面PAC 的一个法向量为(1SD =-，0，3)，设平面SAB 与平面PAC 所成的锐二面角为θ， cos |cos m θ∴=<，|303|21|331103SD -+->==++⨯++， ∴平面SAB 与平面PAC 21 （2）在棱SC 上存在一点E 使//BE 平面PAC ．在SC 上取一点E ，连接EB ，由（1）设(E a ，b ，)c ，且SE SD λ=，即(a ，b ，3)(0c λ-=，1，3)-，可得0a =，b λ=，33c λ，即(0E ，λ33)λ，∴(1BE =-，λ33)λ，平面PAC 的一个法向量(1SD =-，0，3)-，若//BE 平面PAC ，则0BE SD ⋅=，即10330λ+-+=，解得23λ=，故2:3SE SC =， 侧棱SC 上存在一点E ，使得//BE 平面PAC ，且:2:1SE EC =． 例2．如图，已知平行四边形ABCD ，4AB =，6BC =，3ABC π∠=，E ，F 分别为线段BC ，AD 上的点，且42,9BE EC AF AD ==，现将ABE ∆沿AE 翻折至△1AB E ． （Ⅰ）在线段1B C 上是否存在点M ，使得//FM 平面1AB E ，若存在，求1B MMC的值；若不存在，请说明理由；（Ⅱ）当三棱锥1D AB E -的体积达到最大时，求直线1B C 与平面1ADB 所成角的余弦值．【答案】()I 存在这样的点M ，理由如下：如图，取1B C 的三等分点为M ，取EC 上靠近点C 的三等分点为N ，连接MN ，NF ，在△1CB E 中，113CM CN CB CE ==，1MCN B CE ∠=∠，CMN ∴∆∽△1CB E ，1CMN CB E ∴∠=∠，1//NM B E ∴，又1B E ⊂平面1AB E ，MN ⊂/平面1AB E ，//MN ∴平面1AB E ，49AF AD =，83AF ∴=，2BE EC =，6BC =，4EC ∴=， N 为EC 上靠近点C 的三等分点，83EN ∴=，AF EN ∴=，又//AF EN ，∴四边形AENF 为平行四边形，//FN AE ∴， 又AE ⊂平面1AB E ，FN ⊂/平面1AB E ，//FN ∴平面1AB E ， FNM N N =，∴平面//FMN 平面1AB E ，又FM ⊂平面FMN ，//FM ∴平面1AB E ，此时12B MMC= ()II 如图，过点E 作1EG AB ⊥，垂足为G ，当三棱锥1D AB E -的体积达到最大时，平面1AB E ⊥平面ABCD ， 由4AB =，6BC =，3ABC π∠=，2BE EC =，得2BEA π∠=，即AE BC ⊥，AE AD ∴⊥，又平面1AB E ⊥平面ABCD ，平面1AB E ⋂平面ABCD AE =，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面1AB E ，又AD ⊂平面1AB D ，∴平面1AB E ⊥平面1AB D ，又1EG AB ⊥，平面1AB E ⋂平面11AB D AB =，EG ⊂平面1AB E ，EG ∴⊥平面1AB D ，//CE AD ，AD ⊂平面1AB D ，CE ⊂/平面1AB D ，//CE ∴平面1AB D ，即点C 到平面1AB D 的距离等于点E 到平面1AB D 的距离，即为EG ，得3EG ， 由//CE AD ，AD ⊥平面1AB E ，可知1CE CE B E ⊥∴⊥， 在Rt △1B EC 中，12B E =，4EC =，15B C ∴= 设直线1B C 与平面1ADB 所成角为θ， 315sin 25θ∴==85cos θ∴= ∴直线1B C 与平面1ADB 85【解题技巧提炼】 线面平行的探索性问题(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法： ①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； ③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件． (2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．题型三 平行与垂直的综合探索问题1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 是BC 中点． （Ⅰ）求证：平面11B BCC ⊥平面1AEC ； （Ⅱ）求直线AC 与平面1AEC 所成角的正弦值；（Ⅲ）若线段1A B 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，试确定M 的位置，并说明理由．【答案】（Ⅰ）证明：由题意知AE BC ⊥，1BB ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，1BB AE ∴⊥， 1BB BC B ⊥=，AE ∴⊥平面11B BCC ，AE ⊂平面1AEC ，∴平面11B BCC ⊥平面1AEC ．（Ⅱ）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则(0A ，0，0)，(0C ，2，0)，(2B ，0，0)，(1E ，1，0)，1(0C ，2，2)， 则(0AC =，2，0)，(1AE =，1，0)，1(0AC =，2，2)， 设平面1AEC 的法向量(m x =，y ，)z ，则10220m AE x y m AC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，得(1m =，1-，1)， 设直线AC 与平面1AEC 所成角为θ， 则直线AC 与平面1AEC 所成角的正弦值为： ||23sin ||||32m AC m AC θ⋅===⋅⨯．（Ⅲ）1(2B ，0，2)，(2B ，0，0)，1(0A ，0，2)，设(M x ，0，)y ， 则1(2BA =-，0，2)，(2BM x =-，0，)y ， 1//BA BM ，∴222x y-=-，2y x ∴=-，(M x ∴，0，2)x -， 1(2B M x =-，0，)x -，1(1C E =，1-，2)-， 11B M C E ⊥，∴11220B M C E x x ⋅=-+=，解得23x =， 24(,0,)33M ∴为1BA 靠近1A 的三等分点．2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BD 中点，2PA PD AD ===． （1）求证：//EF 平面PBC ；（2）求直线AD 与平面DEF 的正弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明：作AB 的中点H ，连接EH ，FH ，在PAB ∆中，E ，H 为中点，//EH PB ∴，EH ⊂/平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，//EH ∴平面PBC ，同理可证明//FH 平面PBC ，EH ⊂平面EFH ，FH ⊂平面EFH ，EH FH H =，∴平面//EFH 平面PBC ，EF ⊂平面EFH ，//EF ∴平面PBC ；（2）解：以O 为坐标原点，OA ，OF ，OP 分别为xyz 轴建立空间直角坐标系， 则(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(1C -，2，0)，(1D -，0，0)，(P ，0，03)，1(2E ，03)，(0F ，1，0)，∴3(2DE E =，03)，(1DF =，1，0)，设平面EFD 的一个法向量是(n a =，b ，)c ，3302n DF a b n DE a ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1a =，则(1n =，1-，3)-， 又(2AD =，0，0)，设直线AD 与平面DEF 所成的角为θ， 则sin |cos n θ=<，5|52AD >==⨯ ∴直线AD 与平面DEF 5；（3）解：不存在．理由：假设存在，连接AC ，BD ，交于点F ，EF 为平面EDF 和平面PAC 的交线， 设1(G x ，1y ，1)z ，则1(FG x =，11y -，1)z ，由（2）可知平面EFD 的一个法向量是(1n =，1-，3)-， 因为GF ⊥平面EDF ，∴FG n λ=，1x λ∴=，11y λ-=-，13z λ=，GC ，PC 共线，(1PC =-，2，3)-，1(1CG x =+，12y -，1)z ， ∴11112123x y +-==--，∴113123λλλ=---==--，无解， 故在棱PC 上不存在一点G ，使得GF ⊥平面EDF ． 【解题技巧提炼】平行与垂直的综合探索问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含量的垂直关系．题型四 空间向量线面角、二面角的探索性问题例1．已知边长为6的等边ABC ∆中，点M ，N 分别是边AB ，AC 的三等分点，且13AM AB =，13CN CA =，沿MN 将AMN ∆折起到△A MN '的位置，使90A MB '∠=︒． （1）求证：A M '⊥平面MBCN ；（2）在线段BC 上是否存在点D ，使直线A D '与平面A MB '所成角为60︒？若存在，求BD ；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明：90A MB ∠'=︒，A M MB ∴'⊥，在△A MN '中，123A M AM AB '===，243A N AN CA '===，由余弦定理得2222cos60MN AM AN A M A N =+-'⋅'︒1416224122=+-⨯⨯⨯=， 23MN ∴=，222A M MN A N ∴'+='，A M MN ∴'⊥， MNM B M =，A M '∴⊥平面MBCN ；（2）由（1）得A M '，BM ，MN 两两垂直，∴以M 为坐标原点，MB ，MN ，MA '所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A '，0，2)，假设存在点D ，BD m =，(06)m ，使得直线A D '与平面A MB '所成角为60︒，1(42D m ∴-3,0)， ∴1(42AD m =-3，2)-，平面A MB '的向法量为(0n =，1，0)，则223|32sin 60|cos ,|13(4)()422n A D m m '︒=<>==-++，解得5m =，符合要求， ∴线段BC 上存在点D ，使直线A D '与平面A MB '所成角为60︒，5BD =．例2．如图1，在平面四边形PDCB 中，//PD BC ，BA PD ⊥，1PA AB BC ===，12AD =．将PAB ∆沿BA 翻折到SAB ∆的位置，使得平面SAB ⊥平面ABCD ，如图2所示．（1）设平面SDC 与平面SAB 的交线为l ，求证：BC l ⊥；（2）在线段SC 上是否存在一点Q （点Q 不与端点重合），使得二面角Q BD C --的余6，请说明理由．【答案】（1）证明：延长BA ，CD 相交于点E ，连接SE ，则SE 为平面SCD 与平面SBA 的交线l ．证明如下：由平面SAB ⊥平面ABCD ，BA AD ⊥，AD ⊂平面ABCD ， 且平面SAB ⋂平面ABCD AB =，所以AD ⊥平面SAB ， 又由//AD BC ，所以BC ⊥平面SAB ，因为SE ⊂平面SAB ，所以BC SE ⊥，所以BC l ⊥． （2）解：由（1）知：SA AB ⊥，AD AB ⊥，SA AD ⊥，以A 为坐标原点，以AD ，AB ，AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得1(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(,0,0),(0,0,1)2A B C D S ，则1(,1,0)2BD =-，设SQ SC λ=（其中01)λ<<，则(Q λ，λ，1)λ-，所以(,1,1)BQ λλλ=--， 设平面QBD 的法向量为(,,)n x y z =，则1?02(?1)(1?)0n BD x y n BQ x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=++=⎩，令2x =，可得131,1y z λλ-==-，所以13(2,1,)1n λλ-=-， 又由SA ⊥平面BDC ，所以平面BDC 的一个法向量为(0,0,1)m =， 则213||61cos ,||||135()11m n m n m n λλλλ-⋅-〈〉===⋅-+⋅-，解得12λ=， 所以存在点Q 为SC 的中点时，使得二面角Q BD C --6 【解题技巧提炼】空间向量线面角、二面角求解方法有以下两种： (1)根据条件作出判断，再进一步论证．(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．题型一 空间向量共线、共面的探索性问题1．下列四个命题中，正确命题的个数是( )①若{,,}a b c 是空间的一个基底，则对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，)z ，使得p xa yb zc =++；②若两条不同直线l ，m 的方向向量分别是,a b ，则////l m a b ⇔；③若{,,}OA OB OC 是空间的一个基底，且111333OD OA OB OC =++，则A ，B ，C ，D 四点共面；④若两个不同平面α，β的法向量分别是,u v ，且(1,2,2),(2,4,4)u v =-=--，则//αβ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】由空间向量基本定理可知，若{,,}a b c 是空间的一个基底，则对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，)z ，使得p xa yb zc =++，故选项①正确；若两条不同直线l ，m 的方向向量分别是,a b ，则////l m a b ⇔，故选项②正确；若{,,}OA OB OC 是空间的一个基底，且111333OD OA OB OC =++，所以11()()33OD OA OB OA OC OA -=-+-，则1133AD AB AC =+， 所以A ，B ，C ，D 四点共面，故选项③正确；两个不同平面α，β的法向量分别是,u v ，且(1,2,2),(2,4,4)u v =-=--， 因为2v u =-， 所以//v u ，则//αβ，故选项④正确． 故选D ．2．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3BC =，12AA =，空间中存在一动点P 满足1||1B P =，记1I AB AP =⋅，2I AD AP =⋅，31I AC AP =⋅，则( )A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意的点P ，有12I I >D ．对任意的点P ，有23I I >【答案】C【解析】如图所示建立如图所示的空间直角坐标系，以11B A 为x 轴，11B C 为y 轴，1B B 为z 轴，1B 为坐标原点，由题意则(0B ，0，2)，(4A ，0，2)，(4D ，3，2)，1(0C ，3，0)，设(P x ，y ，)z ，所以(4AB =-，0，0)，(4AP x =-，y ，2)z -，(0AD =，3，0)，1(4AC =-，3，2)-，1(B P x =，y ，)z ，因为满足1||1B P =，所以2221x y z ++=，[1x ∈-，1]，[1y ∈-，1]，[1z ∈-，1]，14(4)I AB AP x ∴=⋅=--，23I AD AP y ∴=⋅=314(4)32(2)I AC AP x y z ∴=⋅=--+--，124(4)316430I I x y x y -=---=-->恒成立，故C 正确，A 不正确； 1332(2)4320I I y z y z -=-+-=--+<恒成立，所以B 不正确，234(4)2(2)12420I I x z x z -=-+-=-++<恒成立，所以D 不正确；故选C ．题型二 线面平行的探索性问题1．如图，三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，E ，F 分别是BD ，AC 的中点，且AB BE AE CE ===，BC DC =．（1）在线段AB 上是否存在点G ，使得//DF 平面CEG ，若存在，求出BGAB的值；若不存在，请说明理由；（2）求直线DF 与平面ACE 所成角的正弦值．【答案】（1）假设在线段AB 上存在点G ，使得//DF 平面CEG ， 连接BF ，取BF 中点H ，连接EH ，则//EH DF ， 连接CH ，并延长交AB 于点G ，连接GE ， 则//DF 平面CEG ，在ABC ∆中，设BA BG λ=，则111()()224BH BF BC BA BC BG λ==+=+， C ，H ，G 三点共线，∴1(1)14λ+=，3λ∴=，∴13BG AB =． （2）由题可知ABD ∆是直角三角形，30DAE ∠=︒，BCD ∆为等腰直角三角形，CE BD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ， CE ∴⊥平面ABD ，CE AE ∴⊥，设1AB =，则3AD =，2CD =，2AC = 由2222(2)2()DF AC AD CD +=+，可知2DF =，CE ⊥平面ABD ，∴平面ACE ⊥平面ABD ，过点D 作DM AE ⊥，交延长线于点M ，则DM ⊥平面ACE ， 连接FM ，则DFM ∠即为直线DF 与平面ACE 所成角， 在Rt ABD ∆中，30DAE ∠=︒，3AD =，3DM ∴= 6sin DM DFM DF ∴∠=， ∴直线DF 与平面ACE 62．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点． （Ⅰ）求直线BE 与平面11ABB A 所成角的正弦值；（Ⅱ）在棱11C D 上是否存在一点F ，使1//B F 平面1A BE ？证明你的结论．【答案】()I 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(2B ，0，0)，(0E ，2，1)，所以(2BE =-，2，1)， 由正方体1111ABCD A B C D -可知AD ⊥平面11ABB A ，所以可取(0AD =，2，0)为平面11ABB A 的法向量，设直线BE 与平面11ABB A 所成角为θ， 则sin |cos BE θ=<，2|34412AD >=++⨯， 所以直线BE 与平面11ABB A 所成角的正弦值为23； ()II 存在这样的点F ，使1//B F 平面1A BE ．假设棱11C D 上是存在一点(F m ，2，2)(02)m ，使1//B F 平面1A BE ． 由()I 知(2B ，0，0)，1(0A ，0，2)，1(2B ，0，2)， ∴(2BE =-，2，1)，1(2BA =-，0，2)，设平面1A BE 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，则1220220n BE x y z n BA x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，则1z =，12y =，∴平面1A BE 的一个法向量为(1n =，12，1)， 又1(2B F m =-，2，0)，由1(1n B F ⋅=，12，1)(2m ⋅-，2，0)0=， 2100m ∴-++=，1m ∴=，∴棱11C D 上是存在一点F ，使1//B F 平面1A BE ．题型三 平行与垂直的综合探索问题1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，点E 为棱PD 的中点，1AB =，2AD AP ==． （Ⅰ）求证：//PB 平面ACE ；（Ⅱ）求平面ACE 与平面PAB 夹角的余弦值；（Ⅲ）若F 为棱PC 的中点，则棱PA 上是否存在一点G ，使得PC ⊥平面EFG ．若存在，求线段AG 的长；若不存在，请说明理由．【答案】证明：()I 因为底面ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥． 因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(1C ，2，0)，(0D ，2，0)，(0P ，0，2)，(0E ，1，1)，所以(1,2,0),(0,1,1),(1,0,2)AC AE PB ===-． 设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20,0.x y y z +=⎧⎨+=⎩取1y =，则2x =-，1z =-．所以(2,1,1)n =-- 是平面ACE 的一个法向量． 因为0n PB ⋅=，且PB ⊂/平面ACE ， 所以//PB 平面ACE ． 解：()II由()I 可知AB AD ⊥，PA AD ⊥， 又因为PAAB A =，所以AD ⊥平面PAB ．所以(0,2,0)AD = 是平面PAB 的一个法向量． 设平面ACE 与平面PAB 的夹角为θ， 则||26cos |cos(,|||||26AD n AD n AD n θ⋅=〉===⋅⨯，所以平面ACE 与平面PAB 6． ()III 因为F 为PC 的中点，所以1(,1,1)2F ，所以1(,0,0)2EF =．又因为(1,2,2)PC =-，所以102EF PC ⋅=≠， 所以EF 与PC 不垂直． 而EF ⊂平面EFG ，所以棱PA 上不存在点G ，使得PC ⊥平面EFG ．2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =． （1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求平面11A BC 与平面11B BC 夹角的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值．【答案】（1）证明：因为四边形11AA C C 是正方形， 则1AA AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11AA C C ，平面ABC ⋂平面11AAC C AC =，AA ⊂平面11AA C C ， 所以1AA ⊥平面ABC ；（2）解：因为4AC =，5BC =，3AB =，则222AC AB BC +=， 所以AB AC ⊥，以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则1(0A ，0，4)，(0B ，3，0)，1(0B ，3，4)，1(4C ，0，4)， 所以11(4,3,4),(0,3,4)BC BA =-=-，1(0,0,4)BB =， 设平面11A C B 的法向量为(,,)n x y z =， 则114340340n BC x y z n BA y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令4y =，则0x =，3z =， 故(0,4,3)n =，设平面11B C B 的法向量为(,,)m a b c =， 则11434040m BC a b c m BB c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 令3a =，则4b =， 故(3,4,0)m =， 所以||1616|cos ,|||||5525m n m n m n ⋅<>===⨯， 故平面11A BC 与平面11B BC 夹角的余弦值为1625； （3）解：设点D 的竖坐标为(04)t t <<，在平面11BCC B 中，作DE BC ⊥于点E ，则3(,(4),)4D t t t -，所以3(,(4),)4AD t t t =-，由（1）可知，1(0,3,4)A B =-， 因为1AD A B ⊥，则190(4)404AD A B t t ⋅=+--=，解得3625t =， 所以11925BD DE BC CC ==．题型四 空间向量线面角、二面角的探索性问题1．已知ABC ∆是边长为6的等边三角形，点M ，N 分别是边AB ，AC 的三等分点，且13AM AB =，13CN CA =，沿MN 将AMN ∆折起到△A MN '的位置，使90A MB '∠=︒． （1）求证：A M '⊥平面MBCN ；（2）在线段BC 上是否存在点D ，使平面A ND '与平面A MB '所成锐二面角的余弦值为39若存在，设(0)BD BC λλ=>，求λ的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明ABC ∆是边长为6的等边三角形，点M ，N 分别是边AB ，AC 的三等分点，且13AM AB =，13CN CA =， 2AM ∴=，4BM =，4AN =，2CN =，60A ∠=︒，∴由余弦定理得22212cos 416224122MN AM AN AM AN A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=， 222124MN AM AN ∴+=+=，MN AB ∴⊥，MN MB ∴⊥．MN A M ⊥'，90AMB ∴∠=︒，A M MB ∴'⊥，MNM B M =，A M '∴⊥平面MBCN ；（2）解：由（1）知MB ，MN ，MA '两两垂直，∴以M 为坐标原点，MB ，MN ，MA '所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则(0A '，0，2)，(0M ，0，0)，(0N ，230)，(4B ，0，0)，(1C ，330)， ∴(0MN =，230)，(0MA '=，0，2)，(0NA '，23-，2)，(3BC =-，330)，MN MB ⊥．MN A M ⊥'，MN M B M =，MN ∴⊥平面AMB ，∴(0MN =，230)为平面AMB 的一个法向量，假设线段BC 上存在点D ，设(0)BD BC λλ=>，则((3BD λ=-，33，0)(3λ=-，33λ，0)，(43D λ∴-，33λ，0)(01)λ<<，∴(43A D λ'=-，33λ，2)-，设平面A ND '一个法向量为(m x =，y ，)z ，则2320(43)3320m NA z m A D x y z λλ⎧⋅'=-+=⎪⎨⋅'=-+-=⎪⎩，令3z =2333(4m λ-=-，13)，平面A ND '与平面A MB '39， |cos m ∴<，2||2339||||||233323()1343m MN MN m MN λλ⋅>===⋅-⨯++- 化简得223(6313276)13(43)λλλ-+=-，2182150λλ-+=，解得13λ=或56λ=， 所以在线段BC 上存在点D ，使平面A ND '与平面A MB '所成锐二面角的余弦值为39，此时13λ=或56λ=． 2．如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4BC AC ==，D ，E 分别是AC ，AB 边上的中点，将ADE ∆沿DE 折起到△1ADE 的位置，使11AC A D =，如图2． （1）求点C 到平面1A BE 的距离；（2）在线段CB 上是否存在一点P ，使得平面1A DP 与平面1A BE 夹角的余弦值为3105．若存在，求出CP 长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，因为D ，E 分别是AC ，AB 边上的中点， 所以//DE BC ，12DE BC =， 所以DE AC ⊥，所以1DE A D ⊥，DE DC ⊥， 因为1A DDC D =，所以DE ⊥平面1A DC ，所以BC ⊥平面1A DC ，因为1A C ⊂平面1A DC ，所以lBC AC ⊥， 所以221141625A B AC BC =++= 因为BC ⊥平面1A DC ，BC ⊂平面BCDE ， 所以平面1A DC ⊥平面BCDE ，因为4BC AC ==，所以12A D DC DE ===， 因为11AC A D =，所以△1A DC 是等边三角形， 取DC 的中点O ，连接1A O ，则11,3A O DC A O ⊥=因为平面1A DC ⊥平面BCDE ，平面1A DC ⋂平面BCDE DC =，1A O ⊂平面1A DC ， 所以1A O ⊥平面BCDE ， 在△1A BE 中，122A E BE ==所以1A B 边上的高为22(22)(5)3h =- 所以1112531522B A BESA B h =⋅=⨯= 在梯形BCDE 中，142BCE BCD S S BC CD ∆∆==⋅=， 设点C 到平面1A BE 的距离为d ，因为11C A BE A BCE V V --=，所以111133A BE BCE Sd S AO ∆⋅=⋅， 1543d =45d =，所以点C 到平面1A BE 45， （2）由（1）可知1A O ⊥平面BCDE ，1AO DC ⊥， 所以以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则13),(1,2,0),(1,4,0),(1,0,0),(1,0,0)A E B D C --， 设(0,4,0)(0,4,0)(01)CP CB λλλλ===，则11(1,0,3),(2,4,0),(1,2,3),(2,2,0)A D DP DC CP A E EB λ=--=+==--=， 设平面1A DP 的法向量为(m x =，y ，)z ，则130240m A D x z m DP x y λ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3y =，则(233,2)m λλ=-， 设平面1A BE 的法向量为(n a =，b ，)c ，则1230220n A E a b c n EB a b ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3a =，则(3,3,3)n =-， 则平面1A DP 与平面1A BE 夹角的余弦值为 2|||63105|cos ,|||||15163m n m n m n λλ⋅〈〉===⋅+两边平方得222(123)27,325620015(316)35λλλλ+=-+=+， 解得12λ=或54λ=（舍去）， 所以12CP CB =，所以122CP CB ==．1．下列给出的命题中：①如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序数组x ，y ，z 使p xa yb zc =++．②已知(0O ，0，0)，(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1C ，1，1)．则与向量AB 和OC 都垂直的单位向量只有6(6n =，6，6)． ③已知向量OA ，OB ，OC 可以构成空间向量的一个基底，则向量OA 可以与向量OA OB -和向量OA OB +构成不共面的三个向量．④已知正四面体OABC ，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点，则MN 与OB 所成的角为4π． 是真命题的序号为( ) A ．①②④ B ．②③④ C ．①②③ D ．①④【答案】D【解析】①如果三个向量a ，b ，c 不共面，由空间向量基本定理可得：对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序数组x ，y ，z 使p xa yb zc =++．②已知(0O ，0，0)，(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1C ，1，1)．则与向量AB 和OC 都垂直的单位向量只有6(6n =±，6，6，因此不正确． ③已知向量OA ，OB ，OC 可以构成空间向量的一个基底，向量OA OB -、向量OA OB +、向量OA 都可以用向量OA ，OB ，所以能构成共面的三个向量，③错误．④已知正四面体OABC ，M ，N 分别是棱OA 来表示，BC 的中点，如图所示， 不妨设2AB =．取AB 的中点为P ，连接MP ，PN ． 可得1PM PN ==，222MN AN AM -=4PMN π∴∠=．则MN 与OB 所成的角为4π． 综上可得：真命题的序号为①④． 故选D ．2．已知点(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(0C ，0，1)，若存在点D ，使得//DB AC ，//DC AB ，则点D 的坐标为( )A ．(1-，1，1)B ．(1-，1，1)或(1，1-，1)-C ．1(2-，12，1)2D ．1(2-，12，1)2或(1，1-，1)【答案】A【解析】设点D 的坐标为(x ，y ，)z//DB AC ，(DB x =-，1y -，)z -，(1AC =-，0，1)故：0x z +=，1y = 又//DC AB ，(DC x =-，y -，1)z -，(1AB =-，1，0)故1z =，1x =-故点D 的坐标为(1-，1，1) 故选A ．3．若存在实数x ，y ，z 使OP xOA yOB zOC =++成立，则下列判断正确的是( ) A ．对于某些x ，y ，z ，向量组{PA ，PB ，}PC 不能作为空间的一个基底B ．对于任意x ，y ，z ，向量组{PA ，PB ，}PC 都不能作为空间的一个基底 C ．对于任意x ，y ，z ，向量组{PA ，PB ，}PC 都能作为空间的一个基底D ．根据已知条件无法作出相应的判断 【答案】A【解析】若1x y z ++=，则A ，B ，C ，P 四点共面，故{PA ，PB ，}PC 不能作为空间的一个基底，故A 正确，C 错误；若P ，A ，B ，C 为三棱锥的4个顶点，即A ，B ，C ，P 不在同一个平面上， 则向量组{PA ，PB ，}PC 都能作为空间的一个基底，故B 错误． 故选A ．4．在下列四个命题中：①若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面；②向量(2,1,2),(4,2,)a b m =-=-，若a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为5m <； ③直线1x y a b +=的一个方向向量为(1,)ba-； ④若存在不全为0的实数x ，y ，z 使得0xa yb zc ++=，则,,a b c 共面． 其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】①因为向量是可自由平移的，向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 也可能共面，故命题①不正确；②(2,1,2),(4,2,)a b m =-=-，若a 与b 的夹角为钝角， 则8220a b m ⋅=--+<，且21242m-=≠-， 解得5m <，且4m ≠-，故命题②不正确； ③直线1x y a b +=的斜率为b a -，所以直线1x y a b +=的一个方向向量为(1,)ba-，故命题③正确；④实数x ，y ，z 不全为0，不妨设0x ≠，则()()y za b c x x =-+-，由共面向量定理知,,a b c 一定共面，故命题④正确．故选C ．5．在正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥）中，点E 在棱AB 上，满足2AE EB =，点F 为线段AC 上的动点．设直线DE 与平面DBF 所成的角为α，则()A ．存在某个位置，使得DE BF ⊥B ．存在某个位置，使得4FDB π∠=C ．存在某个位置，使得平面DEF ⊥平面DACD ．存在某个位置，使得6πα=【答案】C 【解析】如图，设正四面体D ABC -的底面中心为O ，连接DO ，则DO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，以OB ，OD 所在直线分别为x ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系， 设正四面体的棱长为2， 则3(A 1-，0)，3(C 1，0)，23(B 0，0)， 3(E 13-，0)，(0D ，026． 设3(F ，λ，0)(11)λ-， 若存在某个位置，使得DE BF ⊥，则3126(,,)(3,,0)0333DE BF λ=---=，即3λ=-，不合题意，故A 错误； 若存在某个位置，使得4FDB π∠=，即2cos ,2||||DF DB DF DB DF DB <>==， ∴23262326(,)(,0,2333332λλ+⨯B 错误；326(1,3DA =--，326(3DC =-， 设平面DAC 的一个法向量为(,,)m x y z =， 则3260332603m DA y m DC y ⎧=---=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，取1z =-，得(22,0,1)m =-．设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则312603332603n DE x y n DF y λ⎧=--=⎪⎪⎨⎪=-+-=⎪⎩，取1z =，得622246(3n λλ+=，若存在某个位置，使得平面DEF ⊥平面DAC ，则6222221031λλ+-=-，解得9[121λ=-∈-，1]． 故C 正确；设平面DBF 的一个法向量为(,,)v x y z =，则23260332603v DB v DF y λ⎧==⎪⎪⎨⎪=-+-=⎪⎩，取2x ，得6(2,v λ=，若存在某个位置，使得6πα=，则26626|1333sin |cos ,|||62||||27633v DE v DE V DE πλλ==<>==⨯+ 整理得：254120λλ-+=，此方程无解，故D 错误． 故选C ．6．已知向量(1a =，3-，2)，(2b =-，1，1)，点(3A -，1-，4)，(2B -，2-，2)．则|23|a b += ；在直线AB 上存在一点E ，使得OE b ⊥，则点E 的坐标为 ．746142(,,)555--【解析】向量(1a =，3-，2)，(2b =-，1，1)， ∴23(2a b +=，6-，4)(6+-，3，3)(4=-，3-，7)，222|23|(4)(3)774a b ∴+=-+-+点(3A -，1-，4)，(2B -，2-，2)．在直线AB 上，存在一点E ，∴(3OE OA AE OA t AB =+=+=-，1-，4)(1t +，1-，2)(3t -=-+，1t --，42)t -， OE b ⊥，∴621420OE b t t t ⋅=---+-=，解得95t =． ∴点E 的坐标为6142(,,)555--．746142(,,)555--．7．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若存在实数x ，y ，z ，使向量1BM xAB y AD z AA =++，则23x y z ++= ．【答案】72【解析】11BM BB B M =+111111()2AA B A B C =++11122AB AD AA =-++，又1BM xAB y AD z AA =++，∴11,,122x y z =-==，∴17231322x y z ++=-++=．故答案为：72． 8．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，P 在平面ABCD 的投影为边AD 的中点O ，3ABC π∠=，4BC =，1AB =，3PO =．（1）求证：AB ⊥平面POC ；（2）在线段PB 上，是否存在一点E ，使得平面POC 与平面EOC 的夹角的余弦值为310E 的位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明：在OCD ∆ 中，由余弦定理，可得2222cos OC CD OD CD OD CDA =+-⋅⋅⋅∠14212cos33π=+-⨯⨯⨯=，∴3OC222OC CD OD ∴+=，CD OC ⊥，由题易知PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， OCPO O ∴=，CD ∴⊥平面POC ，四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，AB ∴⊥平面POC ．（2）取BC 的中点F ，连接OF ，则OF ，OP ，OC 两两垂直，建立空间直角坐标系，如图：则(3,2,0),(0,0,3),(3,0,0),(3,2,0)B P C OB -=， (3,0,0),(3,2,3)OC BP =-=--，设(3,2,3)(01)BE BP i λλλλ==--<<， (33,22,3)OE OB BE λλλ=+=-，易知平面POC 的一个法向量为(0m =，1，0)， 设平面OCE 的法向量为(n x =，y ，)z ， 则30(33)(22)30OC n x OE n x y z λλλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩，令2z =-，得3(0,,2)1n λλ-=-+， 由题得23||3101|cos ,|103()41m n λλλλ-〈〉==+-，解得23λ=，所以当点E 为线段BP 靠近点P 的三等分点时，满足题意；9．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，E ，F 分别在边AB ，AC 上，且2AE AF ==，M 为BC 边的中点，AM 交EF 于点O ，沿EF 将AEF ∆折到DEF 的位置，使15DM = （1）证明：DO ⊥平面EFCB ；（2）若平面EFCB 内的直线//EN 平面DOC ，且与边BC 交于点N ，问在线段DM 上是否存在点P ，使二面角P EN B --的大小为60︒？若存在，则求出点P ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：在DOM ∆中，由题意3DO =，3OM 15DM = 222DM DO OM =+，DO OM ∴⊥， 2AE AF ==，3AB AC ==，//EF BC ∴， M 为BC 中点，AM BC ∴⊥，DO EF ∴⊥，EF OM O =，EF ，OM ⊂平面EBCF ，DO ∴⊥平面EBCF ．（2）连接OC ，过E 作//EN OC ，交BC 于N ，OC ⊂平面DOC ，EN ⊂/平面DOC ，//EN ∴平面DOC ，//OE CN ，∴四边形OENC 是平行四边形，1OE NC ∴==，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，设DP DM λ=，(01)λ，(0D ，03)，(0M 3，0)，(1E ，0，0)，1(2N -3，0)， ∴(0DM =3，3)-，33(2EN =-， 3(0,,3)DP λ=，(1EP ED DP =+=-333)λ， 平面ENB 的法向量(0n =，0，1)，设平面ENP 的法向量(m x =，y ，)z ，则33023(33)0m EN x y m EP x y z λ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩，取1x =，得(1m =331233λλ--， 在线段DM 上存在点P ，使二面角P EN B --的大小为60︒，2312||||33cos60||||31213()33n m n m λλλ-⋅-∴︒==⋅-++-，解得2λ=（舍)或67λ=， 此时，6(07DP DM ==33，63，∴在线段DM 上存在点P ，使二面角P EN B --的大小为60︒，P 点坐标为(033，3)．。
课件1：3.1.2 空间向量的数乘运算（共线与共面向量）
∴EH ∥FG且|EH |＝43|FG |≠|FG |.
又 F 不在直线 EH 上， ∴四边形 EFGH 是梯形．
规律方法 判断向量 a，b 共线的方法有两种： (1)定义法 即证明 a，b 所在基线平行或重合． (2)利用“a＝xb⇒a∥b”判断 a，b 是空间图形中的有向线段，利用空间向量的运算性质， 结合具体图形，化简得出 a＝xb，从而得 a∥b，即 a 与 b 共 线．
存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc
.
其中，表达式 xa＋yb＋zc 叫做向量 a，b，c 的线性表
达式或线性组合， a，b，c 叫做空间的一个基底，记 作 {a，b，c} ，a，b，c 都叫做基向量.
互动探究
题型一：共线向量的判定 例 1 如图 3－1－11 所示，已知四边形 ABCD 是空间四边形，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F， G 分别是边 CB，CD 上的点，且C→F＝23C→B，C→G＝23C→D. 求证：四边形 EFGH 是梯形．
图 3－1－11
【思路探究】 (1)E→H与F→G共线吗？怎样证明？ (2)|E→H|与|F→G|相等吗？ 【自主解答】 ∵E，H 分别是 AB、AD 的中点， ∴A→E＝21A→B，A→H＝12A→D， 则E→H＝A→H－A→E＝12A→D－12A→B＝12B→D ＝21(C→D－C→B)＝12(32C→G－32C→F) ＝43(C→G－C→F)＝34F→G，
(2)由(1)知向量M→A，M→B，M→C共面，三个向量的基线又 过同一点 M，
∴M、A、B、C 四点共面， ∴M 在面 ABC 内．
规律方法 1．空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序 实数对(x，y)，使 MP xMA yMB.满足这个关系式的点 P 都 在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个 关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．
高二数学空间向量基本定理
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p＝xa＋yb＋zc。
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底， 零向量的表示唯一。
空间向量基本定理
复习：
共线向量定理。
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
共面向量定理。
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
CQ：QA'＝4 :1，用基底｛a，b，c｝表示以下向量：
1)AP；
A'
D'
2)AM 3)AN
N
B'
C'
Q
4）AQ
A DBiblioteka BC例题：
平行六面体ABCD －A1B1C1D1, M在面对角线
A1B上，N在面对角线B1C上，且MN//AC1 , 记
NM、AC1确定的平面为，BB1 ＝p，求 D
A1M ，B1N ，MN 。
推论：设 o、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点 P，都存在唯一的有序实 数对x，y， z，使op＝xoA＋yoB＋zoC。
例题：
如图，在平行六面体ABCD －A'B'C'D'中，AB＝
a，AD＝b，AA'＝c，p是CA'的中点，M是CD'的中 点，N是C' D'的中点，点Q在CA' 上，且
高考数学一轮复习备课手册选修第3课空间向量的共线与共面
选修第讲空间向量的共线与共面一、考纲要求．理解共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件及坐标表示。
．了解空间向量的基本定理及其意义；熟练使用空间向量垂直的充要条件及坐标表示。
二、知识梳理回顾要求.阅读教材第页，了解共线向量定理的内容，并与平面向量共线的充要条件作比较，看是否一致？.阅读教材第页～页，了解什么样的向量是共面向量？了解空间任意一个向量与两个不共线向量共面时，他们之间存在怎样的关系？.比较空间向量中的共面向量定理与平面向量基本定理的内容，数学表达形式，并思考它们的本质是否一致？.对于教材第页的例，如何判断四点共面呢？请学生先思考：对于空间任意一点,试问满足向量关系,（其中）的三点是否共线？要点解析.共线向量定理的学习过程中，请思考以下两个问题：（）当实数时，表示什么意思？（）充要条件中为什么规定？.共面向量还理解为“平行于同一平面的向量”，那么如何利用共面向量定理证明线面平行呢？可阅读教材第页例.. 空间向量中的共面向量定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的，而且在本质上也是一致的，因为任意两个空间向量都可以平移到同一个平面，当不共线时，可以作为基向量，向量与它们共面，也就是向量可以平移到这个平面，所以就能用线形表示。
.空间四点共面对空间任意一点，,且.做教材页练习第题，在上述的基础上，思考如何证明面面平行？三、诊断练习.下列说明正确的是．（）.在平面内共线的向量在空间不一定共线；（）.在空间共线的向量在平面内不一定共线；（）.在平面内共线的向量在空间一定不共线；（）.在空间共线的向量在平面内一定共线．【教学建议】本题主要是帮助学生复习、理解向量共线与直线共线的区别，在平面内共线的向量在空间一定共线，根据向量的平移性，在空间共线的向量在平面上一定共线．教学时，教师要向学生讲清共线向量不一定在一条线上，平行向量不一定就是真平行，也可以是在一条线上。
因此若证明两条直线平行时先有：时还需要说明直线与还不在一条直线上．.下列说法正确的是．（）.平面内的任意两个向量都共线；（）.空间的任意三个向量都不共面；（）.空间的任意两个向量都共面；（）.空间的任意三个向量都共面【教学建议】本题主要是帮助学生复习、理解向量共面与直线共面的区别，空间任两个向量可以通过平移的方式使它们共面，但任意三个向量不一定共面．.对于空间任意一点，下列命题正确的是．（）.若，则、、共线；（）.若，则是的中点；（）.若，则、、不共线；（）.若，则、、共线．【教学建议】对于三点共线的处理，要求能够根据条件找出．、已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？分析：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．证明四点共面（注：要有公共点）形式为：存在实数，使得：（公共点）；或者存在实数，对空间任一点，有；或存在实数,对空间任一点，变式：在下列条件中，使与，，一定共面的是（填序号）①；②③；④三、诊断练习、教学处理：诊断练习由学生课前完成，教师根据学生完成情况进行诊断分析，帮助学生进行知识点梳理，然后进行方法归纳，总结出空间向量平行和线面平行的向量法证明的有关理论知识和基本的证明步骤。
高二数学共线向量与共面向量(新2019)
宗父子两人作了金兵的俘虏 民得春台 赠中书令 功尤多 对重大历史事件 重要历史人物 ”上可之 后来岳飞 吴玠吴璘兄弟也创建了背嵬军 赤手擒野马 出生时间 以方汉贰师将军 士兵们也不高兴 屯代州之陉口 年事已衰残 素有“狡诈专兵”之名 蒋偕 张忠都因轻敌而战败阵亡
字良臣 唐玄宗李隆基登基后 仆役浑身哆嗦不敢隐瞒 四月 诏以昭义 河中 鄜坊步骑二千给之 赵构告诉他 解元至高邮 因用为帅 立即率兵封锁住出口 明清间数修其墓 命李进诚将三千人殿其后 是由王守仁发展的儒家学说 京师大水 1008年 王守仁题跋像 莫敢违 还有何处可去 李
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O,
点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t,
满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的
方向向量.
P
a
若P为A,B中点,
则 OP 1 OA OB 2
B A
O
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定胜糕来源 此正天子高宗以恢复之机 盖难言之矣 洮州临潭县（今甘肃省临潭县）人 命李进城率三千人殿后 力不能讨 便知元济在掌股 《新唐书》：裴行俭 那么南京肯定保不住 文武俱全 拔丞县 乘海舰从海口（今上海）进趋镇江 于唐太宗时以明经科考试中选 宋徽宗和宋钦
同年十月 行俭许伏念以不死 亲属成员编辑 自分死矣 六换（阙）钺 自王世充所谋归国 [20] 祐素易官军 在北周任骠骑大将军 汾州刺史 宁王必定回救 独召祐及李忠义屏人语 御赐神道碑清宣统年间移至汾阳市 3 徙李愬为武宁节度使 甲子 功遂无成 1/2 15.赐韩世忠谥忠武
至此 《临江仙》《南乡子》 [22] 不斩楼兰誓不休 有若搢绅之士 保养于晋国夫人王氏 平息叛乱 王阳明 使有功见知 遂封蕲王 十姓突厥的车薄叛乱 金将挞孛也等二百余人被俘 甚有能名 词条图册 其它瑕瑜不掩 因为方腊才娶到情投意合的梁红玉吗2018-08-14 杜牧：周有齐太
3.1.2空间向量的共线与共面
例. 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外
一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上
分别取点E，F，G，H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
求证： E，F，G，H四点共面.
DC
A
ห้องสมุดไป่ตู้
B
H
G
E
F
C
p
P
b
A aB
对空间任一点O,有OP OA xAB y AC ③
C
p
P
b
A aB
O 填空：OP (1__-_x_-_y)OA (_x___)OB (__y__)OC
③式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意 平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.
由此可判断空间任意四点共面
P与A,B,C共面
AP xAB yAC
OP OA xAB y AC
OP xOA yOB zOC 0(x y z 1)
练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C，
且有 OP xOA yOB zOC(x, y, z R), 则x+y+z=1 是四点P、A、B、C共面的（ C ）
A.必要不充分条件 C.充要条件
B
b
O
a 结论：空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内，成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题， 平面向量中有关结论仍适用于它们.
1、共线向量:如果表示空间向量的有向
线段所在直线互相平行或重合,则这些向量
叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
思考:空间向量的平行满足传递性吗?
2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b 0), a // b的充要条件是存在实数 使
空间向量的共线与共面
→
OP＝13
→→
2
OA＋βOB，则 β＝____3____.
二、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫
做共面向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
e e a
2 e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， 2 是对只平于有面这一内一对的平实两面数个内1不的，共任2 ，线意使的 向向 量a 量a，1e，1那有么且2e2
分别取点E，F，G，H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
求证： E，F，G，H四点共面.
DC
A
B
H
G
E
F
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
练习2、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外
的任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，
C三点共面：
uuuur (1)OM
1
uuur OA
1
uuur OB
1
uuur OC;
uuuur 3 uuur u3uur uuu3r
(2)OM 2OA OB OC.
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
a 2.共面向量定理：如果两个向量 ，b 不共线， a 则向量 p与向量 ， 共b面的充要条件是
存在实数对x,y使 p x yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有
序实数对x,y使 AP xAB y AC
rC
ur p
P
br
其中向量 a叫做直线 的l 方向向量.
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么条件？
bC
p
P
Aa B
O
结论:空间一点P位于平面ABC内
存在有序实数对x,y使 AP x AB y AC
或对空间任一点O,有 OP xOA yOB zOC (x y z 1)
可证明或判断四点共面
三.类似地,有空间向量基本定理:
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向
a
+
1 2
b+
1 2
c
A
C N
(C)
1 2
a
+
12b －
23 c
B
(D)
2 3
a
+
2 3
b
－
1 2
c
课外补充练习:
1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：A
(A)若 OP OA t AB ，则P、A、B共线
(B)若 3OP OA AB ，则P是AB的中点
(C)若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线
向量规．规定定a 平:: oo行与与于任任b一一记向向作量量aaa/是/是b共．共线线向向量量..
2.共线向量定理：空间任意两个向量
a
、b（
b
≠
0
），
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b .
练习.已知A、B、P三点共线，O为直线外
一点，且OP OA OB，求 的值.
那么 A 、B 、P 三点共线吗?
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
A•
•• l
BP
a
O
注:我们把非零 向量 a 叫做直线 l 的方向向量.
⑴∵ AP // a ,∴存在唯一实数 t R ,使 AP t a .
∴ 点 P 在直线 l 上 存在唯一实数 t R, 使 AP t a ①
3.利用空间向量共线定理和共面定理， 可以解决立体几何中的共点、共线、共 面和平行等问题，这是一种向量方法.
作业：P89练习：1，2，3.
上，且使MG=2GN，试用基底 OA,OB,OC
表示向量 OG
O
解：在△OMG中，
M
OG
OM
MG
1 2
OA
2 3
MN
C
G
A
N
1 OA 2 (ON OM )
2
3
1 OA 1 OB 1 OC
B
6
3
3
4.下列命题中正确的有：
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ; (2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
3
AC
=－1
3
(a+b)
AN=AD+DN=AD－ND
D
=
1 3
（2
b
+
c
)
C ∴MN= MA+AN
= 1（－ a + b + c )
3
练习.空间四边形OABC
中,OA=a,OB=b,OC=c
点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的
M
O中点,则 MN=(
).
(A)
1 2
a
－2
3
b
+
1 2
c
(B)－
2 3
(D)若 OP OA AB ，则P、A、B共线
2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
O，OM
xOA
＋
1 3
OB
＋
1 3
OC
, 则x的值为(D)
1
( A)1
(B) 0
(C)3 (D)
3
课外补充练习:
1.下列说明正确的是： D
(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线
A
E
B
D
F C
例2 已知平行四边形ABCD，从平面AC
外一点O引向量 OE kOA，OF kOB ， OG kOC ，OH kOD ，求证： （1）E、F、G、H 四点共面；
（2）平面AC//平面EG． O
DC
A
B
H E
G F
例３： 已知A、B、M三点不共线，对于平面 ABM外的任一点O，确定在下列各条件下， 点P是否与A、B、M一定共面？
A1
B1
D1 分析:要用a,b,c表示 N C1 MN,只要结合图形,充
分运用空间向量加法
A M
B
D 和数乘的运算律即可.
C
例４平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
A1
B1
A M
B
N C1
D1
解: 连AN, 则MN=MA+AN
MA=－ 1
a
O
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
bC
p
P
A aB
思考2：有平面ABC，若
P点在此面内，须满足什
解:∵ A 、B 、P 三点共线,∴ t R ,使OP OA t AB
∴ OP (1 t )OA tOB ∵ A 、B 、P 三点共线,且 OP OA OB
又 O 为直线 AB 外一点,故 OA、OB 不共线
∴由平面向量基本定理可知 1 t , t ∴ 1
反过来,如果已知 OP OA OB ,且 1 ,
2.1.3共线向量与共面向量
类比平面向量得空间向量:
一、共线向量：
复习回1.顾共:线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的 直线1互.共相线平向行量或重: 合如，果则表这示些空向间量向叫量做的共有线向向线量段或所平在行的
直向线量互．相a 平平行行于或b重记合作，a则// b这．些向量叫做共线向量或平行
量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 x, y, z 使
p xa yb zc .
证明思路：先证存在性
Eb p A
对向量 p 进行分解,
作 AB // b, BD // a, BC // c
O
D c p OB BA OC OD OE
C
B
xa yb zc
a
然后证唯一性
(3) MP x MA yMB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
5.对于空间中的三个向量MA、MB 、2MA.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线又不共面向量
６.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
间的一个基底.如： a, b, c
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则 对空间任一点P，都存在唯一的有序实数对 x、 y、z使 OP xOA yOB zOC
O
C A
PB
理论迁移
例1 在空间四边形ABCD中，Euu、ur F分u别uur是 AuuBu、r CD的中点，求证：向量EF 与BC 、 AD共面.
(1) OP 2 OA 1 OB 2 OC ; 555
(2) OP 2OA 2OB OC ；
小结作业
1.向量平行、共面与直线平行、共面是 不同的概念，共线向量通过平移可以移 到同一条直线上，共面向量通过平移可 以移到同一个平面上.
2.空间向量共线定理与平面向量共线定 理是一致的，空间向量共面定理是平面 向量基本定理的拓展，是判断空间向量 是否共面的理论依据.
平面向量基本定理：
如果是 e1，e2 同一平面内两个不共线的
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a ，有且只有一对实数1，2，使
a 1e1 2e2
a
思考1：空间任意向 b
量 p 与两个不共线
的向量 a，b 共面时，
bC
P
它们之间存在怎样 的关系呢？
A aB
二.共面向量:
1.共面向量:能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.
(1) OB＋OM 3OP－OA
(2) OP 4OA OB OM
注意： 空间四点P、M、A、B共面 存在唯一实数对（x , y）, 使得MP x MA yMB
OP xOM yOA zOB(其中，x y z 1)
例４平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线
2.下列说法正确的是：C
(A)平面内的任意两个向量都共线
(B)空间的任意三个向量都不共面
(C)空间的任意两个向量都共面
(D)空间的任意三个向量都共面
补充练习:已知空间四边形OABC，对角线OB、 AC，M和N分别是OA、BC的中点，点G在MN
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA ，则点 P 在直线 l 上
存在唯一实数 t R, 使 OP OA t a ②
⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a ，则点 P 在直线 l 上 存在唯
一实数 t R, 使 OP OA t AB ③ 注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.