空间向量及其运算

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空间向量及线性运算

空间向量及线性运算

如图,如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线平行或重
合,那么称向量平行于直线.
如果直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量平行于平面α.平
行于同一个平面的向量,叫做共面向量.






我们知道,任意两个空间向量总
是共面的,但三个空间向量既可能是
共面的,也可能是不共面的.那么,
线所表示的向量.
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探究 对任意两个空间向量与,如果=λ (λ∈R),与有什么位置关
系?反过来,与有什么位置关系时,=λ?
对任意两个空间向, (≠0), ∥ 的充要条件是存在实数,
使 = .
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
(4) +
解析:(1) ′ − = ’-=’ + =’;
(2)′ + +’’=’+’’=’;
(3) − + ’’=+’’=+=0
(4) + =+=
'
A'
D
A
C'
C
F
E
B
―→
―→
2.已知非零向量 e1,e2 不共线,如果 AB =e1+e2, AC =
量的线性运算推广到空间,定义空间向量的加法、减法以及数乘运算:
1 + = + =
与平面向量一样,空间向量的线性运算满足
2 − = − =
以下运算律(其中λ,μ∈R):
3 当 > 0时, = =
当 < 0时, = =

空间向量及其运算

空间向量及其运算

空间向量及其运算引言空间向量是三维空间中的一种重要的数学概念,用于描述具有大小和方向的物理量。

本文将介绍空间向量的基本概念、表示方法和运算规则。

基本概念空间向量是由三个实数组成的有序三元组,分别表示向量在三个坐标轴上的分量。

通常用箭头在字母上方表示向量,如向量A表示为$\vec{A}$。

表示方法空间向量可以用坐标表示或者用一个点表示。

坐标表示法将向量的三个分量写成一个有序三元组$(x。

y。

z)$,表示向量在$x$轴上的分量为$x$,在$y$轴上的分量为$y$,在$z$轴上的分量为$z$。

点表示法将向量的起点放在坐标原点,然后将向量的终点绘制在空间中,用一条箭头连接起来。

运算规则空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法。

加法:两个向量相加,就是将它们的对应分量相加得到一个新的向量。

例如,$\vec{A} = (x_1.y_1.z_1)$,$\vec{B} =(x_2.y_2.z_2)$,则$\vec{A} + \vec{B} = (x_1 + x_2.y_1 + y_2.z_1 + z_2)$。

减法:两个向量相减,就是将它们的对应分量相减得到一个新的向量。

例如,$\vec{A} = (x_1.y_1.z_1)$,$\vec{B} =(x_2.y_2.z_2)$,则$\vec{A} - \vec{B} = (x_1 - x_2.y_1 - y_2.z_1 - z_2)$。

数量乘法:一个向量与一个实数相乘,就是将向量的每个分量都乘以这个实数。

例如,$\vec{A} = (x。

y。

z)$,$k$为实数,则$k\vec{A} = (kx。

ky。

kz)$。

总结空间向量是三维空间中描述大小和方向的数学概念。

它可以用坐标表示法或者点表示法来表示。

空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法。

以上是关于空间向量及其运算的简要介绍,希望能对您有所帮助。

空间向量及其运算

空间向量及其运算

(3|a|+2|c|)(|a|-|c|)=0,∴|a|-|c|=0,即|a|=|c|.
即当==1时,A1C⊥平面C1BD.
【分析点评】
向量是解决立体几何问题的重要工具,利用向量可解决线面平行、线面垂 直、三点共线、四点共面,以及距离和成角等问题,而利用向量解决立体 几何问题关键在于适当选取基底,将几何问题转化为向量问题. 本题第二问用向量法解决是非常好的选择,大大简化了推理和运算过程. 这样就很好地解决:“会做的题目花费时间过多”这一矛盾,考试过程中 方法的选择就显的尤为重要.
解法二:(1)证明:取
由已知|a|=|b|,且〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
BD=CD-CB=a-b,C1C·B=c·(a-b)=c·a-c·b
=|c||a|-|c||b|=0,
,∴C1C⊥BD.
(2)若A1C⊥平面C1BD,则A1C⊥C1D,CA1=a+b+c,C1D=a-c.
∴CA1·C1D=0,即(a+b+c)·(a-c)=0.整理得:3a2-|a||c|-2c2=0,
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(3)空间的两个向量可用 同一平面内 的两条有向线段来表示.
2.空间向量的运算
定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算,如
下:
=a+b;

3.运算律:(1)加法交换律:a+)数乘分配律:λ(a+b)= λa+λb .
4.共线向量定理:空间任意两个向量a、 b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实 数λ,使 a =λb .
5.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,p与向量a,b共面的充要条件 是存在实数x,y使 p=xa+yb .
6.空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量

8.6 空间向量及其运算

8.6  空间向量及其运算
x 2, 所以A、 B 、C、D 四点共面. y 3,
题型分类 深度剖析
题型一 空间向量的线性运算
【例1】 如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设 AA1=a,AB =b, AD =c,
M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点, 试用a,b,c表示以下各向量:
同向,则 AB > CD
D.若两个非零向量 AB与 CD 满足 AB + CD =0, 则 AB ∥ CD
解析
A错.因为空间任两向量平移之后可共面,
所以空间任意两向量均共面. B错.因为|a|=|b|仅表示a与b的模相等,与方向
无关.
C错.因为空间向量不研究大小关系,只能对向量 的长度进行比较,因此也就没有AB > CD 这种写法. D对.∵AB + CD =0,∴ AB =- CD , ∴AB与 CD 共线,故 AB ∥ CD 正确.
直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线
段AA1,BA1,BB1,CC1的中点.求证:M、N、 P、Q四点共面. 证明 依题意有 BA
2 NM , A1 B1 2 NP.
又 PQ PB1 B1C1 C1Q 1 1 BB1 B1C1 C1C 2 2 1 1 ( BC CC1 C1 B1 ) B1C1 C1C 2 2
题型三
空间向量的模、夹角及数量积
【例3】 (12分)如图所示,已知空间 四边形ABCD的各边和对角线的长都
等于a,点M、N分别是AB、CD的中点.
(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;
(2)求MN的长; (3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
AD 思维启迪 把 MN 用 AB ,AC , 表示出来,然后 计算数量积,求模和夹角.

空间向量及其运算

空间向量及其运算
6. 两个向量的数量积: (1)定义 : 已知空间两向量 a, b, 则 a ·b =| a |·b |cos< a, b > ,叫做向 | 量 a,b 的数量积. 其中| a | · cos< a, b >叫做 a 在 b方向上的投影,且 b |a|· cos< a, b > = a · |b|
|a|· cos< a, b > ·b |b| (2)性质:
叫做 a 在 b方向上的正射影。简称射影。
① a · = e · =|a| · e a cos< a, e > . ②若非零向量 a, b,则 ab a · = 0 . b ③ | a |2 = a ·a = a 2 . ④对于非零向量 a, b, 有cos< a, b > = (3)向量的数量积满足交换律、分配律: ① ( a ) ·b = ( a, b ) . ②交换律: a · = b · . b a a· b | a |·b | |
知识归纳
1.空间向量的有关概念: (1)向量:在空间具有大小和方向的量叫做向量.并且仍用有 向线段表示空间向量. (2)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等的向量. (3)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作 0 . (4)单位向量:长度为1个单位长度的向量叫做单位向量。 (5)相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。 (6)平行向量:方向相同或相反的向量叫做平行向量,或叫 共线向量。记作 a∥b .
或对空间任一点O,有OP=OM+x MA+y MB.
注: 可以证明,在平面MAB内,点P对应的实数对(x,y)是唯一 的.上式叫做平面MAB的向量表示式. 又可知: 满足上面两个关系式的点P都在平面MAB内;反之, 平面MAB内任一点P都满足这个关系式.这个充要条件常用于 证明四点共面.

空间向量及其运算(内容详细,题目典型,适合新授课)

空间向量及其运算(内容详细,题目典型,适合新授课)
(3).空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
即: (a b) a b ( ) a a a ( )a ( )a
四、空间向量加法与数乘向量运算律
化简( AB CD) ( AC BD)
解: 方法一: 将减法转化为加法进行 化简 AB CD AB DC ( AB CD ) ( AC BD) AB DC AC BD AB DC CA BD AB BD DC CA AD DA 0
五、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.
2.空间共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
你能对(3)(4)结论进行推广吗?
四、空间向量加法与数乘向量运算律
A1 A2 A2 A3 An 1 An _____ A1 An
(3) A1 A2 A2 A3 A3 A4 A1 A4
A1 An A2 A3
An-1

A 4 首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起 点指向末尾向量的终点的向量.
B
b
a
O
A
O′
结论:空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内, 内,成为同一平面内的两个向量。
一、空间向量的基本概念
说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广.
2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题,平面向量 中有关结论仍适用于它们。
一、空间向量的基本概念

第七章第6讲 空间向量及其运算

第七章第6讲 空间向量及其运算

第6讲 空间向量及其运算[学生用书P144])1.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a =λb .(2)共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p =x a +y b .(3)空间向量基本定理:如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在有序实数组{x ,y ,z },使得p =x a +y b +z c .其中{a ,b ,c }叫做空间的一个基底.2.两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a ,b ,在空间中任取一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作〈a ,b 〉.通常规定0≤〈a ,b 〉≤π.若〈a ,b 〉=π2,则称向量a ,b 互相垂直,记作a ⊥b . (2)两向量的数量积两个非零向量a ,b 的数量积a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉. (3)向量的数量积的性质①a ·e =|a |cos 〈a ,e 〉(其中e 为单位向量); ②a ⊥b ⇔a ·b =0; ③|a |2=a ·a =a 2; ④|a ·b |≤|a ||b |.(4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa )·b =λ(a ·b ); ②a ·b =b ·a (交换律);③a ·(b +c )=a ·b +a ·c (分配律). 3.空间向量的坐标运算(1)设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3). a +b =(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3), a -b =(a 1-b 1,a 2-b 2,a 3-b 3),λa =(λa 1,λa 2,λa 3),a ·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3, a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0,a ∥b ⇔a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R ),cos 〈a ,b 〉=a ·b|a |·|b |=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3a 21+a 22+a 23·b 21+b 22+b 23 . (2)设A (x 1,y 1,z 1),B (x 2,y 2,z 2), 则AB →=OB →-OA →=(x 2-x 1,y 2-y 1,z 2-z 1). 4.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量:l 是空间一直线,A ,B 是直线l 上任意两点,则称AB →为直线l 的方向向量,与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个.(2)平面的法向量①定义:与平面垂直的向量,称做平面的法向量.一个平面的法向量有无数多个,任意两个都是共线向量.②确定:设a ,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a =0,n·b =0.5.空间位置关系的向量表示1.辨明四个易误点(1)注意向量夹角与两直线夹角的区别.(2)共线向量定理中a ∥b ⇔存在唯一的实数λ∈R ,使a =λb 易忽视b ≠0. (3)共面向量定理中,注意有序实数对(x ,y )是唯一存在的.(4)向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即(a ·b )c =a (b ·c )不一定成立. 2.建立空间直角坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系,特别是面面垂直. (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上. 3.利用空间向量坐标运算求解问题的方法用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理;求两点间距离或某一线段的长度,一般用向量的模来解决;解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零;求异面直线所成的角,一般可转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应进行转化.1.已知a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),则下列结论正确的是( ) A .a ∥c ,b ∥c B .a ∥b ,a ⊥c C .a ∥c ,a ⊥bD .以上都不对C [解析] 因为c =(-4,-6,2)=2a ,所以a ∥c .又a ·b =0,故a ⊥b .2.在空间直角坐标系中,已知A (1,-2,1),B (2,2,2),点P 在z 轴上,且满足|P A |=|PB |,则P 点坐标为( )A .(3,0,0)B .(0,3,0)C .(0,0,3)D .(0,0,-3)C [解析] 设P (0,0,z ),则有 (1-0)2+(-2-0)2+(1-z )2=(2-0)2+(2-0)2+(2-z )2,解得z =3.3.教材习题改编 在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →=a ,AD →=b ,AA 1→=c ,则下列向量中与BM →相等的向量是( )A .-12a +12b +cB .12a +12b +cC .-12a -12b +cD .12a -12b +cA [解析] 由题意,根据向量运算的几何运算法则,BM →=BB 1→+B 1M →=AA 1→+12(AD →-AB →)=c +12(b -a )=-12a +12b +c .4.教材习题改编 已知a =(2,4,x ),b =(2,y ,2),若|a |=6,且a ⊥b ,则x +y 的值为________.[解析] 因为a =(2,4,x ),|a |=6,则x =±4, 又b =(2,y ,2),a ⊥b , 当x =4时,y =-3,x +y =1. 当x =-4时,y =1,x +y =-3. [答案] 1或-35.若平面α的一个法向量为u 1=(-3,y ,2),平面β的一个法向量为u 2=(6,-2,z ),且α∥β,则y +z =________.[解析] 因为α∥β,所以u 1∥u 2,所以-36=y -2=2z ,所以y =1,z =-4,所以y +z =-3. [答案] -3空间向量的线性运算[学生用书P145][典例引领]如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 的中点. (1)化简A 1O →-12AB →-12AD →=________.(2)用AB →,AD →,AA 1→表示OC 1→,则OC 1→=________.【解析】 (1)A 1O →-12AB →-12AD →=A 1O →-12(AB →+AD →)=A 1O →-AO →=A 1O →+OA →=A 1A →.(2)因为OC →=12AC →=12(AB →+AD →).所以OC 1→=OC →+CC 1→=12(AB →+AD →)+AA 1→=12AB →+12AD →+AA 1→. 【答案】 (1)A 1A →(2)12AB →+12AD →+AA 1→若本例条件不变,结论改为:设E 是棱DD 1上的点,且DE →=23DD 1→,若EO →=xAB →+yAD→+zAA 1→,试求x ,y ,z 的值.[解] EO →=ED →+DO → =-23DD 1→+12(DA →+DC →)=12AB →-12AD →-23AA 1→,由条件知,x =12,y =-12,z =-23.用基向量表示指定向量的方法(1)应结合已知和所求向量观察图形.(2)将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则,把所求向量用已知基向量表示出来.如图所示,在空间几何体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,各面为平行四边形,设AA 1→=a ,AB →=b ,AD →=c ,M ,N ,P 分别是AA 1,BC ,C 1D 1的中点,试用a ,b ,c 表示以下各向量:(1)AP →;(2)MP →+NC 1→.[解] (1)因为P 是C 1D 1的中点,所以AP →=AA 1→+A 1D 1→+D 1P →=a +AD →+12D 1C 1→=a +c +12AB →=a +c +12b .(2)因为M 是AA 1的中点, 所以MP →=MA →+AP →=12A 1A →+AP →=-12a +⎝⎛⎭⎫a +c +12b =12a +12b +c . 因为N 是BC 的中点, 所以NC 1→=NC →+CC 1→=12BC →+AA 1→ =12AD →+AA 1→=12c +a , 所以MP →+NC 1→=⎝⎛⎭⎫12a +12b +c +⎝⎛⎭⎫a +12c =32a +12b +32c .共线、共面向量定理的应用[学生用书P146][典例引领]已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,求证:(1)E ,F ,G ,H 四点共面; (2)BD ∥平面EFGH .【证明】 (1)连接BG (图略), 则EG →=EB →+BG →=EB →+12(BC →+BD →)=EB →+BF →+EH →=EF →+EH →,由共面向量定理的推论知,E ,F ,G ,H 四点共面. (2)因为EH →=AH →-AE →=12AD →-12AB →=12(AD →-AB →)=12BD →,所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH , 所以BD ∥平面EFGH .(1)证明空间三点P 、A 、B 共线的方法 ①P A →=λPB →(λ∈R );②对空间任一点O ,OP →=OA →+tAB →(t ∈R ); ③对空间任一点O ,OP →=xOA →+yOB →(x +y =1). (2)证明空间四点P 、M 、A 、B 共面的方法 ①MP →=xMA →+yMB →;②对空间任一点O ,OP →=OM →+xMA →+yMB →;③对空间任一点O ,OP →=xOM →+yOA →+zOB →(x +y +z =1); ④PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →).已知A ,B ,C 三点不共线,对平面ABC 外的任一点O ,若点M 满足OM→=13(OA →+OB →+OC →). (1)判断MA →,MB →,MC →三个向量是否共面; (2)判断点M 是否在平面ABC 内. [解] (1)由题知OA →+OB →+OC →=3OM →,所以OA →-OM →=(OM →-OB →)+(OM →-OC →), 即MA →=BM →+CM →=-MB →-MC →, 所以MA →,MB →,MC →共面.(2)由(1)知,MA →,MB →,MC →共面且基线过同一点M , 所以M ,A ,B ,C 四点共面, 从而点M 在平面ABC 内.空间向量的数量积与坐标运算[学生用书P146][典例引领](1)如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱,P i (i =1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则AB →·AP i →(i =1,2,…,8)的不同值的个数为( )A .1B .2C .4D .8(2)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B .33 C.23D .63(3)已知向量a =(0,-1,1),b =(4,1,0),|λa +b |=29,且λ>0,则λ=________. 【解析】 (1)由题图知,AB 与上底面垂直,因此AB ⊥BP i (i =1,2,…,8),AB →·AP i→=|AB →||AP i →|cos ∠BAP i =|AB →|·|AB →|=1(i =1,2,…,8).故选A.(2)不妨设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),B (1,1,0),B 1(1,1,1),平面ACD 1的法向量为DB 1→=(1,1,1),又BB 1→=(0,0,1),所以cos 〈DB 1→,BB 1→〉=DB 1→·BB 1→|DB 1→||BB 1→|=13×1=33, 所以BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1-⎝⎛⎭⎫332=63.(3)λa +b =λ(0,-1,1)+(4,1,0)=(4,1-λ,λ),由已知得|λa +b |=42+(1-λ)2+λ2=29,且λ>0,解得λ=3.【答案】 (1)A (2)D (3)3(1)空间向量数量积计算的两种方法 ①基向量法:a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉.②坐标法:设a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2. (2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题 ①a ≠0,b ≠0,a ⊥b ⇔a ·b =0. ②|a |=a 2. ③cos 〈a ,b 〉=a ·b|a ||b |.已知空间三点A (-2,0,2),B (-1,1,2),C (-3,0,4).设a =AB →,b =AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值;(2)若向量k a +b 与k a -2b 互相垂直,求k 的值.[解] 因为A (-2,0,2),B (-1,1,2),C (-3,0,4),a =AB →,b =AC →,所以a =(1,1,0),b =(-1,0,2).(1)cos θ=a·b |a ||b |=-1+0+02×5=-1010,所以a 和b 的夹角θ的余弦值为-1010. (2)因为k a +b =k (1,1,0)+(-1,0,2)=(k -1,k ,2), k a -2b =(k +2,k ,-4)且(k a +b )⊥(k a -2b ),所以(k -1,k ,2)·(k +2,k ,-4)=(k -1)(k +2)+k 2-8=2k 2+k -10=0. 解得k =-52或k =2.利用空间向量证明平行和垂直(高频考点)[学生用书P147]空间几何中的平行与垂直问题是高考试题中的热点问题.考查形式灵活多样,可以是小题,也可以是解答题的一部分,或解答题的某个环节,是高考中的重要得分点.高考对空间向量解决此类问题有以下两个命题角度:(1)证明平行问题; (2)证明垂直问题.[典例引领](1)(2015·高考湖南卷节选)如图,已知四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,A 1A =6,且A 1A ⊥底面ABCD ,点P ,Q 分别在棱DD 1,BC 上.若P 是DD 1的中点,证明:AB 1⊥PQ .(2)如图所示,平面P AD ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,△P AD 是直角三角形,且P A =AD =2,E ,F ,G 分别是线段P A ,PD ,CD 的中点.求证:PB ∥平面EFG .【证明】 (1)由题设知,AA 1,AB ,AD 两两垂直.以A 为坐标原点,AB ,AD ,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为A (0,0,0),B 1(3,0,6),D (0,6,0),D 1(0,3,6),Q (6,m ,0),其中m =BQ ,0≤m ≤6.若P 是DD 1的中点,则P ⎝⎛⎭⎫0,92,3,PQ →=(6,m -92,-3). 又AB 1→=(3,0,6),于是AB 1→·PQ →=18-18=0, 所以AB 1→⊥PQ →,即AB 1⊥PQ .(2)因为平面P AD ⊥平面ABCD 且ABCD 为正方形,所以AB ,AP ,AD 两两垂直,以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),E (0,0,1),F (0,1,1),G (1,2,0).PB →=(2,0,-2),FE →=(0,-1,0),FG →=(1,1,-1),设PB →=sFE →+tFG →,即(2,0,-2)=s (0,-1,0)+t (1,1,-1), 所以⎩⎪⎨⎪⎧t =2,t -s =0,-t =-2,解得s =t =2.所以PB →=2FE →+2FG →, 又因为FE →与FG →不共线, 所以PB →与FE →,FG →共面.因为PB ⊄平面EFG ,所以PB ∥平面EFG .(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤①建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用已知图形中的垂直关系;②建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素;③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系; ④根据运算结果解释相关问题. (2)空间线面位置关系的坐标表示设直线l ,m 的方向向量分别为a =(a 1,b 1,c 1),b =(a 2,b 2,c 2),平面α,β的法向量分别为u =(a 3,b 3,c 3),v =(a 4,b 4,c 4).①线线平行l ∥m ⇔a ∥b ⇔a =k b ⇔a 1=ka 2,b 1=kb 2,c 1=kc 2. ②线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b =0⇔a 1a 2+b 1b 2+c 1c 2=0. ③线面平行(l ⊄α)l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u =0⇔a 1a 3+b 1b 3+c 1c 3=0. ④线面垂直l ⊥α⇔a ∥u ⇔a =k u ⇔a 1=ka 3,b 1=kb 3,c 1=kc 3. ⑤面面平行α∥β⇔u ∥v ⇔u =k v ⇔a 3=ka 4,b 3=kb 4,c 3=kc 4.⑥面面垂直α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v =0⇔a 3a 4+b 3b 4+c 3c 4=0.[题点通关]角度一 证明平行问题 1.如图,在四棱锥O -ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的菱形,∠ABC =π4,OA ⊥底面ABCD ,OA =2,M 为OA 的中点,N 为BC 的中点.利用向量方法证明:直线MN ∥平面OCD .[证明] 作AP ⊥CD 于点P ,连接OP ,如图,分别以AB ,AP ,AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则P ⎝⎛⎭⎫0,22,0,D ⎝⎛⎭⎫-22,22,0,O (0,0,2),M (0,0,1),N ⎝⎛⎭⎫1-24,24,0,MN →=⎝⎛⎭⎫1-24,24,-1,OP →=⎝⎛⎭⎫0,22,-2,OD →=⎝⎛⎭⎫-22,22,-2. 设平面OCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ), 则n ·OP →=0,n ·OD →=0,即⎩⎨⎧22y -2z =0,-22x +22y -2z =0.取z =2,得n =(0,4,2).因为MN →·n =⎝⎛⎭⎫1-24,24,-1·(0,4,2)=0,所以MN →⊥n ,且MN ⊄平面OCD ,所以MN ∥平面OCD .角度二 证明垂直问题2.如图,在三棱锥P -ABC 中,AB =AC ,D 为BC 的中点,PO⊥平面ABC ,垂足O 落在线段AD 上.已知BC =8,PO =4,AO =3,OD =2.(1)证明:AP ⊥BC ;(2)若点M 是线段AP 上一点,且AM =3.试证明平面AMC ⊥平面BMC . [证明] (1)如图所示,以O 为坐标原点,以射线OD 为y 轴正半轴,射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0),A (0,-3,0),B (4,2,0),C (-4,2,0),P (0,0,4). 于是AP →=(0,3,4),BC →=(-8,0,0), 所以AP →·BC →=(0,3,4)·(-8,0,0)=0, 所以AP →⊥BC →,即AP ⊥BC . (2)连接MB ,MC .由(1)知AP =5, 又AM =3,且点M 在线段AP 上,所以AM →=35AP →=⎝⎛⎭⎫0,95,125,又BA →=(-4,-5,0), 所以BM →=BA →+AM →=⎝⎛⎭⎫-4,-165,125, 则AP →·BM →=(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫-4,-165,125=0, 所以AP →⊥BM →,即AP ⊥BM , 又根据(1)的结论知AP ⊥BC ,所以AP ⊥平面BMC ,于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ,故平面AMC ⊥平面BMC .[学生用书P360(独立成册)]1.已知a =(-2,1,3),b =(-1,2,1),若a ⊥(a -λb ),则实数λ的值为( ) A .-2 B .-143C.145D .2D [解析] 由题意知a ·(a -λb )=0,即a 2-λa ·b =0, 所以14-7λ=0,解得λ=2.2.在空间直角坐标系中,已知A (1,2,3),B (-2,-1,6),C (3,2,1),D (4,3,0),则直线AB 与CD 的位置关系是( )A .垂直B .平行C .异面D .相交但不垂直B [解析] 由题意得,AB →=(-3,-3,3),CD →=(1,1,-1),所以AB →=-3CD →,所以AB →与CD →共线,又AB →与CD →没有公共点.所以AB ∥CD .3.已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a 、b 、c 三向量共面,则实数λ等于( )A.627 B .9 C.647D .657D [解析] 由题意知存在实数x ,y 使得c =x a +y b , 即(7,5,λ)=x (2,-1,3)+y (-1,4,-2), 由此得方程组⎩⎪⎨⎪⎧7=2x -y ,5=-x +4y ,λ=3x -2y .解得x =337,y =177,所以λ=997-347=657.4.在空间四边形ABCD 中,AB →·CD →+AC →·DB →+AD →·BC →=( ) A .-1 B .0 C .1D .不确定B [解析] 如图,令AB →=a ,AC →=b ,AD →=c ,则AB →·CD →+AC →·DB →+AD →·BC →=a ·(c -b )+b·(a -c )+c·(b -a )=a·c -a·b +b·a -b·c +c·b -c·a =0.5.如图所示,PD 垂直于正方形ABCD 所在平面,AB =2,E 为PB 的中点,cos 〈DP →,AE →〉=33,若以DA ,DC ,DP 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则点E 的坐标为( )A .(1,1,1)B .⎝⎛⎭⎫1,1,12 C.⎝⎛⎭⎫1,1,32 D .(1,1,2)A [解析] 设P (0,0,z ),依题意知A (2,0,0),B (2,2,0),则E ⎝⎛⎭⎫1,1,z2, 于是DP →=(0,0,z ),AE →=⎝⎛⎭⎫-1,1,z 2, cos 〈DP →,AE →〉=DP →·AE →|DP →||AE →|=z 22|z |·z24+2=33. 解得z =±2,由题图知z =2,故E (1,1,1).6.(2017·唐山统考)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,点M 在AC 1上且AM →=12MC→1,N为B 1B 的中点,则|MN →|为( ) A.216a B .66a C.156a D .153a A [解析] 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ,则A (a ,0,0),C 1(0,a ,a ), N ⎝⎛⎭⎫a ,a ,a2.设M (x ,y ,z ), 因为点M 在AC 1上且AM →=12MC 1→,所以(x -a ,y ,z )=12(-x ,a -y ,a -z ),所以x =23a ,y =a 3,z =a3. 所以M ⎝⎛⎭⎫2a 3,a 3,a 3,所以|MN →| =⎝⎛⎭⎫a -23a 2+⎝⎛⎭⎫a -a 32+⎝⎛⎭⎫a 2-a 32=216a . 7.在空间直角坐标系中,点P (1,2,3),过点P 作平面yOz 的垂线PQ ,点Q 在平面yOz 上,则垂足Q 的坐标为________.[解析] 由题意知点Q 即为点P 在平面yOz 内的射影, 所以垂足Q 的坐标为(0,2,3). [答案] (0,2,3)8.在空间直角坐标系中,以点A (4,1,9),B (10,-1,6),C (x ,4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形,则实数x 的值为__________.[解析] 由题意知AB →=(6,-2,-3), AC →=(x -4,3,-6).又AB →·AC →=0,|AB →|=|AC →|,可得x =2. [答案] 29.已知2a +b =(0,-5,10),c =(1,-2,-2),a ·c =4,|b |=12,则以b ,c 为方向向量的两直线的夹角为________.[解析] 由题意得,(2a +b )·c =0+10-20=-10. 即2a ·c +b ·c =-10,又因为a ·c =4,所以b ·c =-18, 所以cos 〈b ,c 〉=b ·c |b |·|c |=-1812×1+4+4=-12,所以〈b ,c 〉=120°,所以两直线的夹角为60°. [答案] 60°10.已知空间四边形OABC ,点M 、N 分别是OA 、BC 的中点,且OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,用a 、b 、c 表示向量MN →=________.[解析] 如图所示,MN →=12(MB →+MC →)=12[(OB →-OM →)+(OC →-OM →)]=12(OB →+OC →-2OM →)=12(OB →+OC →-OA →)=12(b +c -a ). [答案] 12(b +c -a )11.如图所示,已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1,点E ,F ,G 分别是AB ,AD ,CD 的中点,计算:(1)EF →·BA →; (2)EG 的长.[解] 设AB →=a ,AC →=b ,AD →=c .则|a |=|b |=|c |=1,〈a ,b 〉=〈b ,c 〉=〈c ,a 〉=60°, (1)EF →=12BD →=12c -12a ,BA →=-a ,EF →·BA →=⎝⎛⎭⎫12c -12a ·(-a )=12a 2-12a ·c =14. (2)EG →=EB →+BC →+CG →=12a +b -a +12c -12b=-12a +12b +12c ,|EG →|2=14a 2+14b 2+14c 2-12a ·b +12b ·c -12c ·a =12,则|EG →|=22.12.已知空间三点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5). (1)求以AB ,AC 为边的平行四边形的面积;(2)若|a |=3,且a 分别与AB →,AC →垂直,求向量a 的坐标. [解] (1)由题意可得:AB →=(-2,-1,3),AC →=(1,-3,2), 所以cos 〈AB →,AC →〉=AB →·AC →|AB →||AC →|=-2+3+614×14=714=12.所以sin 〈AB →,AC →〉=32,所以以AB ,AC 为边的平行四边形的面积为 S =2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →,AC →〉=14×32=7 3. (2)设a =(x ,y ,z ), 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2+z 2=3,-2x -y +3z =0,x -3y +2z =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1,z =1或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-1,z =-1,所以向量a 的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).13.有下列命题:①若p =x a +y b ,则p 与a ,b 共面; ②若p 与a ,b 共面,则p =x a +y b ;③若MP →=xMA →+yMB →,则P ,M ,A ,B 共面; ④若P ,M ,A ,B 共面,则MP →=xMA →+yMB →. 其中真命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3D .4B [解析] ①正确,②中若a ,b 共线,p 与a 不共线,则p =x a +y b 就不成立.③正确.④中若M ,A ,B 共线,点P 不在此直线上,则MP →=xMA →+yMB →不正确.14.已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2=12,若空间向量b 满足b ·e 1=2,b ·e 2=52,且对于任意x ,y ∈R ,|b -(x e 1+y e 2)|≥|b -(x 0e 1+y 0e 2)|=1(x 0,y 0∈R ),则x 0=________,y 0=________,|b |=________.[解析] 对于任意x ,y ∈R ,|b -(x e 1+y e 2)|≥|b -(x 0e 1+y 0e 2)|=1(x 0,y 0∈R ),说明当x =x 0,y =y 0时,|b -(x e 1+y e 2)|取得最小值1.|b -(x e 1+y e 2)|2=|b |2+(x e 1+y e 2)2-2b ·(x e 1+y e 2)=|b |2+x 2+y 2+xy -4x -5y ,要使|b |2+x 2+y 2+xy -4x -5y 取得最小值,需要把x 2+y 2+xy -4x -5y 看成关于x 的二次函数,即f (x )=x 2+(y -4)x +y 2-5y ,其图象是开口向上的抛物线,对称轴方程为x =2-y2,所以当x=2-y 2时,f (x )取得最小值,代入化简得f (x )=34(y -2)2-7,显然当y =2时,f (x )min =-7,此时x =2-y2=1,所以x 0=1,y 0=2.此时|b |2-7=1,可得|b |=2 2.[答案] 1 2 2 2 15.如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为等边三角形,AD =DE =2AB ,F 为CD 的中点.(1)求证:AF ∥平面BCE ; (2)求证:平面BCE ⊥平面CDE .[证明] (1)设AD =DE =2AB =2a ,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则A (0,0,0),C (2a ,0,0), B (0,0,a ),D (a ,3a ,0), E (a ,3a ,2a ). 因为F 为CD 的中点, 所以F ⎝⎛⎭⎫32a ,32a ,0.AF →=⎝⎛⎭⎫32a ,32a ,0,BE →=(a ,3a ,a ),BC →=(2a ,0,-a ).因为AF →=12(BE →+BC →),AF ⊄平面BCE ,所以AF ∥平面BCE .(2)因为AF →=⎝⎛⎭⎫32a ,32a ,0,CD →=(-a ,3a ,0),ED →=(0,0,-2a ),所以AF →·CD →=0,AF →·ED →=0, 所以AF ⊥CD ,AF ⊥ED .又CD ∩DE =D ,所以AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ,所以平面BCE ⊥平面CDE .16.如图,正三角形ABC 的边长为4,CD 是AB 边上的高,E 、F 分别是AC 和BC 边的中点,现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B .(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系,并说明理由;(2)在线段BC 上是否存在一点P ,使AP ⊥DE ?如果存在,求出BPBC 的值;如果不存在,请说明理由.[解] (1)AB ∥平面DEF ,理由如下: 在△ABC 中,由E 、F 分别是AC 、BC 的中点, 得EF ∥AB .又因为AB ⊄平面DEF ,EF ⊂平面DEF , 所以AB ∥平面DEF .(2)以点D 为坐标原点,直线DB 、DC 、DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系(如图所示),则A (0,0,2),B (2,0,0),C (0,23,0),E (0,3,1),故DE →=(0,3,1). 假设存在点P (x ,y ,0)满足条件,则AP →=(x ,y ,-2), AP →·DE →=3y -2=0, 所以y =233.又BP →=(x -2,y ,0),PC →=(-x ,23-y ,0), BP →∥PC →,所以(x -2)(23-y )=-xy , 所以3x +y =2 3.把y =233代入上式得x =43,所以BP →=13BC →,所以在线段BC 上存在点P 使AP ⊥DE ,此时BP BC =13.。

空间向量的运算(空间向量与立体几何知识点_空间向量总结)

空间向量的运算(空间向量与立体几何知识点_空间向量总结)

⑴ DM
1(a b) c 2
⑵ AG
A
1(a b c) 3
D
B
G
M
C
例3(课本例1)如图,已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量 OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD , 求证: ⑴四点E、F、G、H共面; ⑵平面EG//平面AC.
例3 (课本例1)已知 ABCD ,从平面AC外一点O引向量
是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③ 注:①、②、③式都称为平面的向量表示式,
即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
21
思考 2(课本 P88 思考) 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B 、C ,
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A、B 、C 是否共面?
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
bC
p
P
AaB
20
思考 1:如图,平面 为经过已知点 A 且平行两不共线
的非零向量 a 、b 的平面,如何表示平面 A 上的任一点 P
呢?
⑴∵ AP与a 、b 共面,
bC
p
P
AaB
∴ 唯一有序实数对(x, y),
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
An 1
A2
An
A3
A4
⑵向量的减法 三角形法则
b a
减向量终点指向被减向量终点
一、空间向量的基本概念
空间向量 既有大小,又有方向的量
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§8.5 空间向量及其运算1. 空间向量的概念(1)定义:空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量.(2)向量的夹角:过空间任意一点O 作向量a ,b 的相等向量OA →和OB →,则∠AOB 叫作向量a ,b 的夹角,记作〈a ,b 〉,0≤〈a ,b 〉≤π. 2. 共线向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使得a =λb . (2)空间向量基本定理如果向量e 1,e 2,e 3是空间三个不共面的向量,a 是空间任一向量,那么存在唯一一组实数λ1,λ2,λ3使得a =λ1e 1+λ2e 2+λ3e 3,其中e 1,e 2,e 3叫作空间的一个基底. 3. 空间向量的数量积及运算律(1)定义空间两个向量a 和b 的数量积是一个数,等于|a ||b |cos 〈a ,b 〉,记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa )·b =λ(a·b ); ②交换律:a·b =b·a ; ③分配律:a·(b +c )=a·b +a·c . 4. 空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3), 则a·b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),则a ∥b ⇔a =λb ⇔a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3 (λ∈R ), a ⊥b ⇔a·b =0⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0(a ,b 均为非零向量). (3)模、夹角公式设a =(a 1,a 2,a 3),b =(b 1,b 2,b 3),则|a |=a·a =a 21+a 22+a 23,cos 〈a ,b 〉=a·b|a||b|=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3a 21+a 22+a 23·b 21+b 22+b 23(a ≠0,b ≠0) .1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两非零向量a ,b 共面.( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c =a ·(b ·c ). ( × ) (3)对于非零向量b ,由a ·b =b ·c ,则a =c .( × ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( × ) (5)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点,则有AB →+BC →+CD →+DA →=0. ( √ ) (6)|a |-|b |=|a +b |是a 、b 共线的充要条件.( × )2. 如图所示,在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB →=a ,AD →=b ,AA 1→=c ,则下列向量中与BM →相等的向 量是( )A .-12a +12b +cB.12a +12b +c C .-12a -12b +cD.12a -12b +c 答案 A解析 BM →=BB 1→+B 1M →=AA 1→+12(AD →-AB →)=c +12(b -a )=-12a +12b +c .3. 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 为上底面A 1C 1的中心,若AE →=AA 1→+xAB →+yAD →,则x ,y 的值分别为( )A .x =1,y =1B .x =1,y =12C .x =12,y =12D .x =12,y =1答案 C解析 如图,AE →=AA 1→+A 1E →=AA 1→+12A 1C 1→=AA 1→+12(AB →+AD →).4. 同时垂直于a =(2,2,1)和b =(4,5,3)的单位向量是_______________.答案 ⎝⎛⎭⎫13,-23,23或⎝⎛⎭⎫-13,23,-23 解析 设与a =(2,2,1)和b =(4,5,3)同时垂直的单位向量是c =(p ,q ,r ),则⎩⎪⎨⎪⎧p 2+q 2+r 2=1,2p +2q +r =0,4p +5q +3r =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ p =13,q =-23,r =23,或⎩⎪⎨⎪⎧p =-13,q =23,r =-23,即同时垂直于a ,b 的单位向量为⎝⎛⎭⎫13,-23,23或⎝⎛⎭⎫-13,23,-23.5. 在四面体O -ABC 中,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,则OE →=________(用a ,b ,c 表示). 答案 12a +14b +14c解析 OE →=12OA →+12OD →=12OA →+14OB →+14OC →=12a +14b +14c .题型一 空间向量的线性运算例1 三棱锥O —ABC 中,M ,N 分别是OA ,BC 的中点,G 是△ABC的重心,用基向量OA →,OB →,OC →表示MG →,OG →.思维启迪 利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可. 解 MG →=MA →+AG →=12OA →+23AN →=12OA →+23(ON →-OA →) =12OA →+23[12(OB →+OC →)-OA →] =-16OA →+13OB →+13OC →.OG →=OM →+MG →=12OA →-16OA →+13OB →+13OC →=13OA →+13OB →+13OC →. 思维升华 用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 的中点.(1)化简A 1O →-12AB →-12AD →=________;(2)用AB →,AD →,AA 1→表示OC 1→,则OC 1→=________. 答案 (1)A 1A →(2)12AB →+12AD →+AA 1→解析 (1)A 1O →-12AB →-12AD →=A 1O →-12AC →=A 1O →-AO →=A 1A →.(2)OC 1→=OC →+CC 1→=12AB →+12AD →+AA 1→.题型二 共线定理、空间向量基本定理的应用例2 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,(1)求证:E 、F 、G 、H 四点共面; (2)求证:BD ∥平面EFGH ;(3)设M 是EG 和FH 的交点,求证:对空间任一点O ,有OM →=14(OA →+OB →+OC →+OD →).思维启迪 对于(1)只要证出向量EG →=EF →+EH →即可;对于(2)只要证出BD →与EH →共线即可;对于(3),易知四边形EFGH 为平行四边形,则点M 为线段EG 与FH 的中点,于是向量OM →可由向量OG →和OE →表示,再将OG →与OE →分别用向量OC →,OD →和向量OA →,OB →表示. 证明 (1)连接BG , 则EG →=EB →+BG →=EB →+12(BC →+BD →)=EB →+BF →+EH →=EF →+EH →, 由共面向量定理的推论知: E 、F 、G 、H 四点共面. (2)因为EH →=AH →-AE →=12AD →-12AB →=12(AD →-AB →)=12BD →, 所以EH ∥BD .又EH 平面EFGH ,BD 平面EFGH ,所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ,并连接OM ,OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OG . 由(2)知EH →=12BD →,同理FG →=12BD →,所以EH →=FG →,即EH 綊FG , 所以四边形EFGH 是平行四边形. 所以EG ,FH 交于一点M 且被M 平分. 故OM →=12(OE →+OG →)=12OE →+12OG →=12⎣⎡⎦⎤12(OA →+OB →)+12⎣⎡⎦⎤12(OC →+OD →) =14(OA →+OB →+OC →+OD →). 思维升华 (1)证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题,如证明A ,B ,C 三点共线,即证明AB →,AC →共线,亦即证明AB →=λAC →(λ≠0). (2)证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题,如要证明P ,A ,B ,C 四点共面,只要能证明P A →=xPB →+yPC →或对空间任一点O ,有OA →=OP →+xPB →+yPC →或OP →=xOA →+yOB →+zOC (x +y +z =1)即可.共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是A 1B 上的点,F 是AC 上的点,且A 1E =2EB ,CF =2AF ,则EF 与平面A 1B 1CD 的位置关系为________. 答案 平行解析 取AB →=a ,AD →=b ,AA 1→=c 为基底, 易得EF →=-13(a -b +c ),而DB 1→=a -b +c ,即EF →∥DB 1→,故EF ∥DB 1, 且EF平面A 1B 1CD ,DB 1平面A 1B 1CD ,所以EF ∥平面A 1B 1CD . 题型三 空间向量数量积的应用例3 如图所示,已知空间四边形AB -CD 的各边和对角线的长都等于a ,点M 、N 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证:MN ⊥AB ,MN ⊥CD ; (2)求MN 的长;(3)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值.思维启迪 两条直线的垂直关系可以转化为两个向量的垂直关系;利用|a |2=a ·a 可以求线段长;利用cos θ=a ·b |a ||b |可求两条直线所成的角.(1)证明 设AB →=p ,AC →=q ,AD →=r .由题意可知,|p |=|q |=|r |=a ,且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°. MN →=AN →-AM →=12(AC →+AD →)-12AB →=12(q +r -p ),∴MN →·AB →=12(q +r -p )·p =12(q ·p +r ·p -p 2)=12(a 2cos 60°+a 2cos 60°-a 2)=0. ∴MN →⊥AB →. 即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD .(2)解 由(1)可知MN →=12(q +r -p ),∴|MN →|2=14(q +r -p )2=14[q 2+r 2+p 2+2(q ·r -p ·q -r ·p )] =14[a 2+a 2+a 2+2(a 22-a 22-a 22)] =14×2a 2=a 22. ∴|MN →|=22a .∴MN 的长为22a . (3)解 设向量AN →与MC →的夹角为θ. ∵AN →=12(AC →+AD →)=12(q +r ),MC →=AC →-AM →=q -12p ,∴AN →·MC →=12(q +r )·(q -12p )=12(q 2-12q ·p +r ·q -12r ·p ) =12(a 2-12a 2cos 60°+a 2cos 60°-12a 2cos 60°) =12(a 2-a 24+a 22-a 24)=a 22. 又∵|AN →|=|MC →|=32a ,∴AN →·MC →=|AN →||MC →|cos θ=32a ×32a ×cos θ=a 22.∴cos θ=23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23,从而异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为23.思维升华 (1)当题目条件有垂直关系时,常转化为数量积为零进行应用;(2)当异面直线所成的角为α时,常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算.应该注意的是α∈(0,π2],θ∈[0,π],所以cos α=|cos θ|=|a ·b ||a ||b |;(3)立体几何中求线段的长度可以通过解三角形,也可依据|a |=a 2转化为向量求解.已知空间中三点A (-2,0,2),B (-1,1,2),C (-3,0,4),设a =AB →,b =AC →.(1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值;(2)若k a +b 与k a -2b 互相垂直,求实数k 的值. 解 (1)∵a =(1,1,0),b =(-1,0,2), ∴a ·b =(1,1,0)·(-1,0,2)=-1, 又|a |=12+12+02=2, |b |=(-1)2+02+22=5,∴cos 〈a ,b 〉=a ·b |a ||b |=-110=-1010, 即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为-1010. (2)方法一 ∵k a +b =(k -1,k,2). k a -2b =(k +2,k ,-4), 且k a +b 与k a -2b 互相垂直,∴(k -1,k,2)·(k +2,k ,-4)=(k -1)(k +2)+k 2-8=0, ∴k =2或k =-52,∴当k a +b 与k a -2b 互相垂直时,实数k 的值为2或-52.方法二 由(1)知|a |=2,|b |=5,a ·b =-1, ∴(k a +b )·(k a -2b )=k 2a 2-k a ·b -2b 2 =2k 2+k -10=0, 得k =2或k =-52.“两向量同向”意义不清致误典例:(5分)已知向量a =(1,2,3),b =(x ,x 2+y -2,y ),并且a ,b 同向,则x ,y 的值分别为________.易错分析 将a ,b 同向和a ∥b 混淆,没有搞清a ∥b 的意义:a ·b 方向相同或相反.解析 由题意知a ∥b ,所以x 1=x 2+y -22=y3,即⎩⎪⎨⎪⎧y =3x ①x 2+y -2=2x ②把①代入②得x 2+x -2=0,(x +2)(x -1)=0, 解得x =-2,或x =1当x =-2时,y =-6;当x =1时,y =3.当⎩⎪⎨⎪⎧x =-2y =-6时,b =(-2,-4,-6)=-2a , 两向量a ,b 反向,不符合题意,所以舍去.当⎩⎪⎨⎪⎧ x =1y =3时,b =(1,2,3)=a ,a 与b 同向,所以⎩⎪⎨⎪⎧x =1y =3.答案 1,3温馨提醒 (1)两向量平行和两向量同向不是等价的,同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量平行,但反过来不成立,也就是说,“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件;(2)若两向量a ,b 满足a =λb (b ≠0)且λ>0则a ,b 同向;在a ,b 的坐标都是非零的条件下,a ,b 的坐标对应成比例.方法与技巧1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题;利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.3.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示,用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算或证明去解决问题. 失误与防范1.向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即a·b =b·a ,a ·(b +c )=a·b +a·c 成立,(a·b )·c =a·(b·c )不一定成立.2.求异面直线所成的角,一般可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应进行转化.A 组 专项基础训练 (时间:40分钟)一、选择题1. 空间直角坐标系中,A (1,2,3),B (-2,-1,6),C (3,2,1),D (4,3,0),则直线AB 与CD 的位置关系是( )A .垂直B .平行C .异面D .相交但不垂直答案 B解析 由题意得,AB →=(-3,-3,3),CD →=(1,1,-1), ∴AB →=-3CD →,∴AB →与CD →共线,又AB →与CD →没有公共点. ∴AB ∥CD .2. 已知O ,A ,B ,C 为空间四个点,又OA →,OB →,OC →为空间的一个基底,则( )A .O ,A ,B ,C 四点不共线 B .O ,A ,B ,C 四点共面,但不共线 C .O ,A ,B ,C 四点中任意三点不共线D .O ,A ,B ,C 四点不共面 答案 D解析 OA →,OB →,OC →为空间的一个基底,所以OA →,OB →,OC →不共面,但A ,B ,C 三种情况都有可能使OA →,OB →,OC →共面.3. 已知a =(λ+1,0,2),b =(6,2μ-1,2λ),若a ∥b ,则λ与μ的值可以是( ) A .2,12 B .-13,12 C .-3,2D .2,2 答案 A解析 由题意知:⎩⎨⎧ λ+16=22λ,2μ-1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ=2,μ=12或⎩⎪⎨⎪⎧ λ=-3,μ=12.4. 空间四点A (2,3,6)、B (4,3,2)、C (0,0,1)、D (2,0,2)的位置关系是( ) A .共线B .共面C .不共面D .无法确定 答案 C解析 ∵AB →=(2,0,-4),AC →=(-2,-3,-5),AD →=(0,-3,-4).假设四点共面,由共面向量定理得,存在实数x ,y ,使AD →=xAB →+yAC →,即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x -2y =0, ①-3y =-3, ②-4x -5y =-4, ③由①②得x =y =1,代入③式不成立,矛盾.∴假设不成立,故四点不共面.5. 如图所示,已知空间四边形OABC ,OB =OC ,且∠AOB =∠AOC =π3, 则cos 〈OA →,BC →〉的值为( ) A .0B.12C.32D.22 答案 A解析 设OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,则|b |=|c |,〈a ,b 〉=〈a ,c 〉=π3,BC →=c -b ,∴OA →·BC →=a ·(c -b )=a ·c -a ·b=|a ||c |cos π3-|a ||b |cos π3=0, ∴OA →⊥BC →,∴cos 〈OA →,BC →〉=0.二、填空题6. 已知2a +b =(0,-5,10),c =(1,-2,-2),a ·c =4,|b |=12,则以b ,c 为方向向量的两直线的夹角为________.答案 60°解析 由题意得,(2a +b )·c =0+10-20=-10.即2a ·c +b ·c =-10,又∵a ·c =4,∴b ·c =-18,∴cos 〈b ,c 〉=b ·c |b |·|c |=-1812×1+4+4=-12,∴〈b ,c 〉=120°,∴两直线的夹角为60°.7. 已知a =(1-t,1-t ,t ),b =(2,t ,t ),则|b -a |的最小值为________.答案 355解析 b -a =(1+t,2t -1,0),∴|b -a |=(1+t )2+(2t -1)2= 5⎝⎛⎭⎫t -152+95,∴当t =15时,|b -a |取得最小值355.8. 如图所示,已知P A ⊥平面ABC ,∠ABC =120°,P A =AB =BC =6,则PC 等于________.答案 12解析 因为PC →=P A →+AB →+BC →,所以PC →2=P A →2+AB →2+BC →2+2AB →·BC →=36+36+36+2×36cos 60°=144.所以|PC →|=12.三、解答题9. 已知向量a =(1,-3,2),b =(-2,1,1),点A (-3,-1,4),B (-2,-2,2).(1)求|2a +b |;(2)在直线AB 上是否存在一点E ,使得OE →⊥b (O 为原点)?解 (1)∵a =(1,-3,2),b =(-2,1,1),∴2a +b =(0,-5,5),∴|2a +b |=02+(-5)2+52=5 2.(2)假设存在点E ,其坐标为E (x ,y ,z ),则AE →=λAB →,即(x +3,y +1,z -4)=λ(1,-1,-2),∴⎩⎪⎨⎪⎧ x =λ-3y =-λ-1z =-2λ+4,∴E (λ-3,-λ-1,-2λ+4),∴OE →=(λ-3,-λ-1,-2λ+4).又∵b =(-2,1,1),OE →⊥b ,∴OE →·b =-2(λ-3)+(-λ-1)+(-2λ+4)=-5λ+9=0,∴λ=95,∴E (-65,-145,25),∴在直线AB 上存在点E (-65,-145,25),使OE →⊥b .10.如图所示,四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面为平行四边形,以顶点A 为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长;(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值.解 记AB →=a ,AD →=b ,AA 1→=c ,则|a |=|b |=|c |=1,〈a ,b 〉=〈b ,c 〉=〈c ,a 〉=60°,∴a ·b =b ·c =c ·a =12.(1)|AC 1→|2=(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(a ·b +b ·c +c ·a )=1+1+1+2×(12+12+12)=6, ∴|AC 1→|=6,即AC 1的长为 6.(2)BD 1→=b +c -a ,AC →=a +b ,∴|BD 1→|=2,|AC →|=3,BD 1→·AC →=(b +c -a )·(a +b )=b 2-a 2+a ·c +b ·c =1.∴cos 〈BD 1→,AC →〉=BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|=66. ∴BD 1与AC 夹角的余弦值为66. B 组 专项能力提升(时间:30分钟)1. 若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ,d =λa +μb (λ、μ∈R ,且λμ≠0),则( ) A .c ∥dB .c ⊥dC .c 不平行于d ,c 也不垂直于dD .以上三种情况均有可能答案 B解析 由题意得,c 垂直于由a ,b 确定的平面.∵d =λa +μb ,∴d 与a ,b 共面.∴c ⊥d .2. 以下命题中,正确的命题个数为 ( ) ①若a ,b 共线,则a 与b 所在直线平行;②若{a ,b ,c }为空间一个基底,则{a +b ,b +c ,c +a }构成空间的另一个基底; ③若空间向量m 、n 、p 满足m =n ,n =p ,则m =p ;④对空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ,若OP →=xOA →+yOB →+zOC →(其中x ,y ,z ∈R ),则P 、A 、B 、C 四点共面.A .1B .2C .3D .4答案 B解析由共线向量知a与b所在直线可能重合知①错;若a+b,b+c,c+a共面,则存在实数x,y,使a+b=x(b+c)+y(c+a)=y a+x b+(x +y)c,∵a,b,c不共面,∴y=1,x=1,x+y=0,∴x,y无解,∴{a+b,b+c,c+a}能构成空间的一个基底,∴②正确;由向量相等的定义知③正确;由共面向量定理的推论知,当x+y+z=1时,P,A,B,C四点共面,∴④不正确.故选B.3. 如图,在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是A 1B 1 和BB 1的中点,那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________.答案 25 解析 以D 为原点,DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴正半轴建立空间直 角坐标系,则A (1,0,0),A 1(1,0,1),B 1(1,1,1),B (1,1,0),C (0,1,0),∴M (1,12,1),N (1,1,12),∴AM →=(0,12,1),CN →=(1,0,12),∴cos 〈AM →,CN →〉=AM →·CN →|AM →|·|CN →|=12(12)2+12× 12+(12)2=25.4. 已知空间三点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5).(1)求以AB →,AC →为边的平行四边形的面积;(2)若|a |=3,且a 分别与AB →,AC →垂直,求向量a 的坐标. 解 (1)由题意可得:AB →=(-2,-1,3),AC →=(1,-3,2),∴cos 〈AB →,AC →〉=AB →·AC →|AB →||AC →|=-2+3+614×14=714=12.∴sin 〈AB →,AC →〉=32,∴以AB →,AC →为边的平行四边形的面积为S =2×12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →,AC →〉=14×32=7 3.(2)设a =(x ,y ,z ),由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+y 2+z 2=3-2x -y +3z =0x -3y +2z =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1y =1z =1或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1y =-1z =-1,∴向量a 的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).5. 直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中,AC =BC =AA ′,∠ACB =90°,D 、 E 分别为AB 、BB ′的中点.(1)求证:CE ⊥A ′D ;(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值.(1)证明 设CA →=a ,CB →=b ,CC ′→=c ,根据题意,|a |=|b |=|c |,且a·b =b·c =c·a =0,∴CE →=b +12c ,A ′D →=-c +12b -12a .∴CE →·A ′D →=-12c 2+12b 2=0.∴CE →⊥A ′D →,即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→=-a +c ,|AC ′→|=2|a |,|CE →|=52|a |.AC ′→·CE →=(-a +c )·⎝⎛⎭⎫b +12c =12c 2=12|a |2,∴cos 〈AC ′→,CE →〉=12|a |22·52|a |2=1010.即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。

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