数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教案
高二数学选修2-1§3.1.1空间向量及其加减运算导学案
§3.1.1 空间向量及其加减运算10分钟阅读教材84~85页，并完成本学案 班级： 姓名：一、学法指导结合平面向量的相关性质，类比学习空间向量的概念与运算。
通过对空间向量的学习进一步体会数形结合的思想。
二、知识要点1.空间向量的概念（1）空间向量的定义在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 或 .（2）空间向量及其模的表示方法 空间向量用有向线段表示，有向线段的 表示向量的模。
如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作 ，其模记为 或 . （3）特殊向量 零向量：规定长度为0的向量叫做 ，记为 .其方向 . 单位向量： 的向量叫做单位向量. 相反向量：与向量a 长度 而方向 的向量，记为 .相等向量：长度 而方向 的向量称为相等向量， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量.2.空间向量的加法、减法类似平面向量（三角形法则、平行四边形法则、多边形法则），定义空间向量的加减法运算：OB OA OC =+= ；CA OA OC =-= ；3.空间向量加法的运算律（1）交换律 a b += ；（2）结合律 ()a b c ++= ；三、 典型例题例1.下列说法中错误的是 ．①单位向量都相等；②任一向量与它的相反向量不相等；③零向量没有方向；④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；⑤若a b =，则a 与b 的长度相等，方向相同或相反；⑥若,a b b c ==，则a c =；⑦若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB CD =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件.例2. 如图所示，在长、宽、高分别为3,2,1AB AD AA '===的长方体ABCD A B C D ''''-且以八个顶点的两个为始点和终点的向量中：①单位向量共有多少个，分别是哪些？②试写出模为5的所有向量；③试写出与AB 相等的所有向量；④试写出AA '的相等向量；⑤化简DA DB B C B B A B A B '''''-+-+-.例3.请完成下面的选填题(1)在正方体1111D C B A ABCD -中，点E 为上底面11C A 的中心， 若z y x ++=1，则z y x ,,的值分别是 . B a =++++-n n A A A A A A A A 1433221(2)直三棱柱111C B A ABC -中，若CC ===1,,，则1A B = ( )A ．c b a -+B ．c b a +-C ．c b a ++-D ．c b a -+-(3)在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若===,,，则=（ ） A.c b a 212121+- B.c b a 212121-- C.212321+- D.232121+- (4)已知空间四边形OABC ，其对角线为AC OB ,，N M ,分别是BC OA ,边的中点，点G 在线段MN 上，且使GN MG 2=，用向量,,表示向量是 （ ） A.OC OB OA OG 313161++= B.OC OB OA OG 323161++= C.3232++= D.323221++= 例4.若点G 是ABC ∆的重心，求证0GA GB GC ++=．变式：如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，求证)(21+=．。
高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案
空间向量及其运算课时分配:第一课空间向量及其加减运算 1个课时第二课空间向量的数乘运算 1个课时第三课空间向量的数量积运算 1个课时第四课空间向量运算的坐标表示1个课时3. 空间向量及其加减运算）【教学目标】1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。
【教学重点】点在已知平面内的充要条件。
共线、共面定理及其应用。
【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。
|【学前准备】：多媒体，预习例题b a AB OA OB+=+=；ba OB OA BA-=-=；)(R a OP ∈=λλ3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。
由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。
}向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。
这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。
（3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
思考：运算律：（1）加法交换律：a b b a +=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(—C BAOb bb aa a C'B'A'D'DABC…二..探究新知（25分钟）1．共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
选修2-1(3.1空间向量及其加减运算》说课稿
这 节课 的教 学 目标 。 二、 教学 目标 １ ． 理解 空 间 向量 的概 念 ， 会 用 图 形 说 明 空 间 向量 的线
性运算及其运算律 ， 初步应用空间向量的线性运算解决简 单 的立体 几何 问题 。 ２ ． 学生通过类 比平面向量 的学 习过程 了解 空间向量的 研究内容和方法 ， 经历向量及其运算 由平面 向空间的推广 ， 体验数学概念的形成过程。 ３ ． 培养学生的空间观念和系统学习概念的意识 。 三、 教 学重 点与 教学 难点 这节课 的教学重点是空间向量的概念及线性运算 。在 由平面 向量向空间向量 的推广过程中 ， 学生对于其相 同点
（ 河 北衡 水 中学 ， 河北 衡水 ０ ５ ３ ０ ０ ０ ）
摘要 ： 本 节课的 内容是《 空间向量及其加减运算》 ， 选 自普通高 中课程标准实验教科 书人教Ａ版选修２ — １ 第三章 。本文 就从教 学内容和学生情况分析 ， 教 学 目标设定 ， 重难点设置 ， 教 学方式 ， 教学过程 以及教 学反 思等 方面对这节课 进行说
论 坛
ＥＤ Ｕ ＣＡ ＴＩ ＯＮ ＴＥ Ａ ＣＨＩ Ｎ Ｇ ＦＯ ＲＵ Ｍ
Ａｐ ｒ ． ２ ０１ ４ Ｎ Ｏ． １ ７
【 教学设计】
选修２ － １ （ （ ３ ． １ 空间向量及其加减运算》 说课稿
陈丽敏
６ ． 教育 学生 正 确处 理青 春 期 问题 。让 学 生正 确 处 理好 青春期问题 ， 对教师提出了更高的要求 ， 要求我们的教师既 是教书者 ， 又是能处理好学生青春期 问题的心理咨询师 ， 同
时教师又要善于发现学生生活中的蛛丝马迹 ，发现青春期 问题 ， “ 早 发现 ， 早诊断， 早治疗” ， 让 青 春期 问题 得 到 及 时 、
选修2-1第三章-空间向量与立体几何全章教案
§3.1 空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算【学情分析】：向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。
在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。
【教学目标】：（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。
'【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用【课前准备】：Powerpoint课件babD BAOC三．类比推广、探求新知（2）在平面图形中向量加减法的可以通过三角形和平行四边形法则，同样对于空间任意两个向量b a ,都看作同一平面内的向量，它们的加法、减法当然都可以按照平面上的向量的加法和减法来进行，不需要补充任何新的知识，具体做法如下：）如图，可以从空间任意一点O 出发作b OB a OA ==,，并且从A 出发作b AC =，则BA b a OC b a =-=+,.babD BACOC探索1：空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上？ 探索2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？ （1） 思考《选2-1》课本P92探究题归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。
例1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。
(如图) —让学生知道，数学中研究的向量是自由向量，与向量的起点无关，这是数学中向量与物理中矢量的最大区别。
空间三个或更多的向量相加，不能同时将这些向量都用同一个平面上的有限线段来表示，但仍然可以用将它们依次用首尾相接的有向线段来表示，得到它们的和。
高中数学选修2-1第三章教案3.1.1空间向量的线性运算
3.1.1空间向量的线性运算教学目标：1．知识与技能：（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示；（2）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；（3）能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。
2．过程与方法：运用类比的方法，经历平面向量及其运算向空间向量推广的过程；3．情感态度与价值观：培养学生严谨的学习态度；使学生深刻认识数学和现实世界的联系，领悟数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量。
教学重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律教学难点：应用向量解决立体几何中的问题教学过程一、复习检测：平面向量的概念，加法、减法和数乘运算二、引入新课1．空间向量的概念：在空间，我们同样把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）空间的一个平移就是一个向量。
（2）相等的向量：向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量（3）零向量：起点与终点重合的向量（或长度为零的向量）叫做零向量；（4）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
记作（5）基线：有向线段的方向表示向量的方向，有向线段所在的直线叫做向量的基线；（6）共线向量（或平行向量）：基线平行或重合的向量叫做共线向量或平行向量，如。
规定：零向量与任意向量共线。
2．空间向量的运算（1）类比平面向量运算，定义空间向量的加法、减法与数乘向量运算（2）运算律：①加法交换律：②加法结合律：③数乘分配律：（3）对空间向量的加法、减法的说明⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．⒉两个向量相加的平行四边形法则和三角形法则在空间仍然成立．⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加．表示相加的有向线段依次首尾相接，构成的折线从首到尾的向量就是这些相加向量的和，称之为“封口向量”。
4.有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变。
3、例题讲解：例1、已知平行六面体ABCD －化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量： ⑴；（2）；；（3）解：⑴=；（2）；⑶设M 是线段的中点，则///111()()222AB AD DD BC AC CC CB AC CB AC CM AM ++-=++=+=+=. 注：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量.方法归纳：运用“封口向量”或转化为平面向量的运算来进行。
高中数学选修2-1精品教案4-3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计
3.1.1 空间向量及其加减运算一、课题：空间向量及其加减运算二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．四、教学过程：（一）复习：1．空间向量的概念及表示；2．练习：课本28页第2题．（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
读作：a r 平行于b r ，记作：//a b r r ．2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠r r r r r r 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=r r （λ唯一）．推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a r的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r ①，其中向量a r 叫做直线l 的方向向量。
在l 上取AB a =u u u r r ，则①式可化为OP OA t AB =+u u u r u u u r u u u r 或(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ② 当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ③ ①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．3．向量与平面平行：已知平面α和向量a r ，作OA a =u u u r r ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a r 平行于平面α，记作：//a αr ．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．说明：空间任意的两向量都是共面的．4．共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r ．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++u u u r u u u u r u u u r u u u r ①上面①式叫做平面MAB 的向量表达式．（三）例题分析：例1．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ， 试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？【练习】：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r （其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？例2．已知ABCD Y ，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ====u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r ，（1）求证：四点,,,E F G H 共面；（2）平面AC //平面EG ．五、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．六、作业：1．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的12条棱对应的向量中，与向量AD →相等的向量共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下列命题中，正确的有( )①若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 是平行四边形”的充要条件②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c③“|a |＝|b |”是“a ＝b ”的必要不充分条件④“AB →＝CD →”的充要条件是“A 与C 重合，B 与D 重合”A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →＝( )A.DB →B.AC →C.AB →D. BA →6. 化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝____________7．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则BC →＝________.9．如图，在四棱柱A ′B ′C ′D ′ABCD 中，求证：AB →＋BC →＋CA ′→＝DD ′→.10．如图所示，已知长方体ABCDA ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)AA ′→－CB →；(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.答 案例题分析：例1．【答案】解：由题意：522OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴22AP PB PC =+u u u r u u u r u u u r ，即22PA PB PC =--u u u r u u u r u u u r ，所以，点P 与,,A B C 共面．【说明】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【答案】解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AP y AB z AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴点P 与点,,A B C 共面．例2．【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，∵EG OG OE =-u u u r u u u r u u u r ，()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ∴,,,E F G H 共面；（2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又∵EG k AC =⋅u u u r u u u r ，∴//,//EF AB EG AC所以，平面//AC 平面EG ．作业：1．【解析】与AD →相等的向量有A 1D 1→，BC →，B 1C 1→，共3个．故选C.【答案】C2．【解析】①正确．因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →.又因为A 、B 、C 、D 不共线，所以四边形ABCD 是平行四边形．反之，在平行四边形ABCD 中，AB →＝DC →.②正确．因为a ＝b ，所以a ，b 的长度相等且方向相同．因为b ＝c ，所以b ，c 的长度相等且方向相同．故a ＝c .③正确．a ＝b ，|a |＝|b |，|a |＝|b |⇒/ a ＝b .④不正确．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|且AB →与CD →同向．故选C.【答案】C3．【解析】DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.故选D.【答案】D6. 解析方法一 因为AB →－CD →＝ AB →＋DC →，所以(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →＋DC →－AC →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝AD →＋DA →＝0.方法二 (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.【答案】07．【解析】如图，因为OA →＝a ，OB →＝b ，所以BO →＝－b ，OC →＝－a ，所以BC →＝BO →＋OC →＝－b －a .【答案】－b －a9．【证明】如图，作向量AA ′→，AC →，则AB →＋BC →＝AC →，AC →＋CA ′→＝AA ′→，所以AB →＋BC →＋CA ′→＝AC →＋CA ′→＝AA ′→，在四棱柱A ′B ′C ′D ′ABCD 中，AA ′→＝DD ′→，所以AB →＋BC →＋CA ′→＝DD ′→.10．【答案】(1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→. 向量AD ′→、AC ′→如图所示．。
人教版高中选修(B版)2-13.1.1空间向量的线性运算教学设计
人教版高中选修(B版)2-13.1.1空间向量的线性运算教学设计教学目标1.了解空间向量的基本概念和性质；2.掌握空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘；3.培养学生的抽象思维能力和运算能力。
教学内容1.空间向量的基本概念和性质；2.空间向量的加法、减法；3.空间向量的数乘。
教学重点难点1.空间向量的加法、减法的运算方法；2.空间向量的数乘的性质和计算方法。
教学方法1.讲授法：通过展示PPT、讲解案例等方式，向学生介绍空间向量的基本概念和线性运算的方法；2.实验法：通过实际操作，让学生亲身体验空间向量的线性运算，提升学生的运算能力；3.讨论法：通过组织学生讨论不同的空间向量问题，激发学生的思维能力，提升学生的抽象思维能力。
教学流程第一步：导入1.利用课件或者黑板，展示本节课的主要内容；2.带着学生回顾前置知识，即平面向量的相关概念；3.引出本节课的主题：空间向量的线性运算。
第二步：讲解空间向量的基本概念和性质1.展示空间向量的基本概念和性质的PPT，让学生对空间向量有一个初步的认知和了解；2.通过实际例子来解释空间向量的性质和概念，加深学生的印象；3.给学生讲解空间向量的坐标形式和分量形式，帮助学生理解空间向量在数学和物理中的应用。
第三步：讲解空间向量加法和减法1.给学生展示空间向量的加法和减法的PPT，并通过实际例子来演示向量的相加和相减；2.引导学生总结向量加法和减法的运算法则；3.帮助学生理解向量相减的意义，以及向量和向量之间的相互转换。
第四步：讲解空间向量的数乘1.展示空间向量的数乘的PPT，让学生了解数乘的基本概念和性质；2.通过实际例子来演示向量的数乘，帮助学生理解数乘的计算方法；3.帮助学生了解向量数乘的一些重要性质和应用。
第五步：练习与总结1.布置一些相关练习，让学生掌握向量的基本运算；2.带领学生总结本节课的重点和难点；3.通过掌握练习、总结知识，让学生对空间向量的线性运算有一个全面的了解。
数学选修2-1人教新课标3-1空间向量及其运算(一)教案
［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
．
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母： ．
［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．
［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．
因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．
例１已知平行六面体 （如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
说明：平行四边形ABCD平移向量a到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．
平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．
［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？
［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：
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第三章空间向量与立体几何§3.1空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。
学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。
（不要翻书）（在黑板或背投上呈现或边说边写）1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量；2、平面向量的表示方法：① 几何表示法：_________________________② 字母表示法：_________________________（注意：向量手写体一定要带箭头）3、平面向量的模表示_________________，记作____________4、一些特殊的平面向量：① 零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ② 单位向量：______________________________（强调：都只限制了大小，不确定方向）③ 相等向量：____________________________④ 相反向量：____________________________5、平面向量的加法：6、平面向量的减法：7、平面向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |(2)当λ＞0时，λa 与a 同向；当λ＜0时，λa 与a 反向；当λ＝0时，λa ＝0.8、向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb数乘结合律：λ（a μ）=a )(λμ[师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟）[师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。
（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间）[师]：空间向量与平面向量有什么联系？[生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．[师]：请同学们试着完成P85的探究。
在平行六面体ABCD-A ’B ’C ’D ’中，AB+AD+ AA ’=AC ’AB+ AA ’+ AD= AC ’所以 （AB+AD ）+AA ’=（AB+AA ’）+AD所以 三个不共面向量的和等于以该三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。
完成书P86的练习3师：下面来练习打开同步P95 做 1、2、3、5师：今天的作业：1、同步P95 练习二十五 做完2、书P97 习题3.1 A 组 1、2做书上反思：3.1.2 空间向量的数乘运算（可分两课时）[师]：上节课我们学习了空间向量的相关概念，这节课我们来学习共线向量与共面向量定理，请看学习目标。
（展示学习目标）学习目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．[师]：请看自学指导请同学们认真阅读书P86-87的内容，⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p 与不共线向量a 、b 共面的充要条件是什么？⑺空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是什么？（结合自学指导，略作解答）1、共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
读作：a 平行于b ，记作：//a b ．注意：零向量与任意向量都是共线向量。
2、共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠的充要条件是存在实数λ，使a b λ=（λ唯一）．推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
在l 上取AB a =，则①式可化为OP OA t AB =+或(1)OP t OA tOB =-+②（要知道这个推论的条件） [师]：如何证明这两个推论呢？ 因为l ∥a ，满足AP=ta,又因AP=OP-OA,所以OP=OA+ta,若在l 上取AB=a ，则有OP=OA+tAB ，进一步， 因为AB=OB-OA,所以OP=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB[师]：若当12t =时，点P 是什么？向量OP 会怎样？ [生]：点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+③ [师]：所以把①和②都叫空间直线的向量表示式，也叫做空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．[师]：结合推论的条件，请同学们思考，空间中的任意直线是由哪些因素确定的？[生]：空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定。
[师]：共线向量定理及其推论有何应用？[生]：与平面向量一样，可以判断空间任意三点共线。
3、共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．[师]：根据定义，说明空间任意的两向量都是共面的，为什么？[生]：因为总可以找到一个平面，使得这两个向量和平面平行[师]：空间中任意三个向量是不是一定共面呢？什么情况下三个向量共面？[生]：不一定，比如（自举例）。
4．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++① 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式．[师]：这与平面向量基本定理类似，a ，b 叫做基底，请同学们完成P87的探究 a lPB AO前者与平面向量基本定理吻合，后者可结合图3.1-9 讲解（因为xa ，yb 与a ，b 共线，所以xa ，yb 都在a ，b 确定的平面内。
又因为xa+yb 是以|xa|，|yb|为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a ，b 确定的平面内，所以p=xa+yb 在a ，b 确定的平面内，即p 与a ，b 共面。
）[师]：共面向量定理和推论有何应用？[生]：可以判断四点共面。
师生共同完成例1补充：证明平面A C ∥平面EG 。
（选讲）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅，又∵EG k AC =⋅，∴//,//EF AB EG AC 所以，平面//AC 平面EG ．例2．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？ 解：由题意：522OP OA OB OC =++，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-，∴22AP PB PC =+，即22PA PB PC =--，所以，点P 与,,A B C 共面．推广：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++ （其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？（仿照例2独立完成，写在练习本上或P88思考处，请一位同学上黑板板书） 解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-，∴AP y AB z AC =+，∴点P 与点,,A B C 共面．注意：可作为结论来判断四点共面。
[师]：剩下时间请同学们完成P89 练习1、2、3[师]：我们一起来小结本节课的内容：（师生共同完成）1、共线向量、共线向量定理及其推论，以此来判断三点共线（与平面向量类似）2、共面向量、共面向量定理及其推论，可判断空间四点共面。
布置作业：同步P96 练习二十六反思：3.1.3 空间向量的数量积运算（一）师：这节课我们来学习空间向量的数量积运算（板书）请看本节课的学习目标。
展示学习目标。
学习目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
师：目标明确的同学请举手。
（老师根据情况进行下一步）。
请看自学指导。
（展示自学指导）认真阅读书P90的内容，完成下列问题。
（时间5分钟）1、空间两个向量的夹角：已知两个_____a，b，在空间中任取一点O，作_________________，则_______叫做向量a与b的夹角，记作_______,且规定夹角范围为___________.若夹角为90°，则称a与b_________，记作_______；当非零向量同向时夹角为______,反向时夹角为______.零向量与其他向量之间不定义夹角，所以约定：零向量与任何向量都共线，即_______，在研究垂直时，也认为0⊥a.（空间向量的夹角特点：___________________2、两个向量的数量积：a·b=_______________________规定：零向量与任何向量的数量积为________3、空间向量数量积的运算律：a)(λ______________=⋅b交换律：________________ 分配律：________________师：通过看书，同学们已经掌握了空间向量数量积的基本概念，请思考下面的问题。
问题1：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？问题2：你能证明这些运算定律吗？（简要解释）问题3：完成P90的思考。