利用空间向量证明空间位置关系

利用空间向量证明立体几何中的平行与垂直问题[考纲要求]1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．会简单应用空间两点间的距离公式．2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．4．理解直线的方向向量及平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．5．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)．知识点一：空间向量及其运算1．空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念(2)2.(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．空间向量的运算及其坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).[基本能力]1．如图，已知空间四边形ABCD ，则13AB ―→＋13BC ―→＋13CD ―→等于________．答案：13AD ―→2．已知i ，j ，k 为标准正交基底，a ＝i ＋2j ＋3k ，则a 在i 方向上的投影为________． 答案：13．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＝________，q ＝________. 答案：3 24．已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 答案：7考法一 空间向量的线性运算[例1] 已知四边形ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值： (1)O Q ―→＝P Q ―→＋x PC ―→＋y PA ―→； (2)PA ―→＝x PO ―→＋y P Q ―→＋PD ―→.[解] (1)如图，∵O Q ―→＝P Q ―→－PO ―→＝P Q ―→－12(PA ―→＋PC ―→)＝P Q ―→－12PA ―→－12PC ―→，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA ―→＋PC ―→＝2PO ―→， ∴PA ―→＝2PO ―→－PC ―→.又∵PC ―→＋PD ―→＝2P Q ―→，∴PC ―→＝2P Q ―→－PD ―→.从而有PA ―→＝2PO ―→－(2P Q ―→－PD ―→)＝2PO ―→－2P Q ―→＋PD ―→. ∴x ＝2，y ＝－2.考法二 共线、共面向量定理的应用[例2] 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .[证明] (1)如图，连接BG ，则EG ―→＝EB ―→＋BG ―→＝EB ―→＋12(BC ―→＋BD ―→)＝EB ―→＋BF ―→＋EH ―→＝EF ―→＋EH ―→，由共面向量定理知：E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH ―→＝AH ―→－AE ―→＝12AD ―→－12AB ―→＝12(AD ―→－AB ―→)＝12BD ―→，因为E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH . [方法技巧]1．证明空间三点P ，A ，B 共线的方法 (1)PA ―→＝λPB ―→(λ∈R )；(2)对空间任一点O ，OP ―→＝OA ―→＋t AB ―→(t ∈R )； (3)对空间任一点O ，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→(x ＋y ＝1)． 2．证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法 (1)MP ―→＝xMA ―→＋yMB ―→；(2)对空间任一点O ，OP ―→＝OM ―→＋xMA ―→＋yMB ―→；(3)对空间任一点O ，OP ―→＝xOM ―→＋y OA ―→＋z OB ―→(x ＋y ＋z ＝1)； (4)PM ―→∥AB ―→ (或PA ―→∥MB ―→或PB ―→∥AM ―→)．考法三 空间向量数量积的应用[例3] 如图，正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，D 1D 的中点．若正方体的棱长为1.求cos 〈CE ―→，AF ―→〉． [解] ∵|CE ―→|＝C 1E 2＋CC 21＝14＋1＝52＝|AF ―→|， ∴CE ―→·AF ―→＝|CE ―→||AF ―→|cos 〈CE ―→，AF ―→〉＝54cos 〈CE ―→，AF ―→〉．又∵CE ―→＝CC 1―→＋C 1E ―→，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→， ∴CE ―→·AF ―→＝(CC 1―→＋C 1E ―→)·(AD ―→＋DF ―→)＝CC 1―→·AD ―→＋C 1E ―→·AD ―→＋CC 1―→·DF ―→＋C 1E ―→·DF ―→＝|CC 1―→||DF ―→|＝1×12＝12.∴cos 〈CE ―→，AF ―→〉＝25.[方法技巧] 空间向量数量积的3个应用[集训冲关]OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，1.[考法一]已知三棱锥O -ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OC ―→＝c ，用a ，b ，c 表示MN ―→，则MN ―→等于( ) A.12(b ＋c －a ) B.12(a ＋b ＋c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(c －a －b ) 解析：选D MN ―→＝MA ―→＋AO ―→＋ON ―→＝12BA ―→＋AO ―→＋12OC ―→＝12(OA ―→－OB ―→)＋AO ―→＋12OC ―→＝－12OA ―→－12OB ―→＋12OC ―→＝12(c －a －b )．2.[考法二]O 为空间任意一点，若OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋18OC ―→，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断解析：选B 因为OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋18OC ―→，且34＋18＋18＝1.所以P ，A ，B ，C 四点共面．∠AOC ＝π3，3.[考法三]如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝则cos 〈OA ―→，BC ―→〉的值为________． 解析：设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 由已知条件，得〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA ―→·BC ―→＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b ＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0， ∴OA ―→⊥BC ―→，∴cos 〈OA ―→，BC ―→〉＝0. 答案：0知识点二： 利用空间向量证明平行与垂直1．两个重要向量2．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)已知AB ―→＝(2,2,1)，AC ―→＝(4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量是n 0=±⎝⎛⎭⎫13，－23，23.( ) (3)两条不重合的直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)，则l 1与l 2的位置关系是平行．( ) (4)若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、填空题1．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,8)，且l 1∥l 2，则x ＝________， y ＝________. 答案：－14 62．若平面α的一个法向量为n 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为n 2＝(6，－2，z )，且α∥β，则y ＋z ＝________. 答案：－33．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－3,0，－6)，则l 与α的位置关系是________． 答案：l ⊥α考法一 向量法证明平行与垂直关系[例1] 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F . (1)证明：PA ∥平面EDB ； (2)证明：PB ⊥平面EFD .证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点， 设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a2.∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心． 故点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，且PA ―→＝(a,0，－a )，EG ―→＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2， ∴PA ―→＝2EG ―→，∴PA ∥EG .又∵EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ， ∴PA ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ―→＝(a ，a ，－a )，DE ―→＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2， 故PB ―→·DE ―→＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE ，又∵EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， ∴PB ⊥平面EFD . [方法技巧]1．利用空间向量证明平行的方法2.[提醒]来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外． [针对训练]已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F . 证明：建立空间直角坐标系如图，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1―→＝(0,2,1)，DA ―→＝(2,0,0)，AE ―→＝(0,2,1)． (1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1⊥DA ―→，n 1⊥AE ―→，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA ―→＝2x 1＝0，n 1·AE ―→＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1―→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1―→⊥n ， 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)∵C 1B 1―→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 2⊥FC 1―→，n 2⊥C 1B 1―→，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1―→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1―→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .考法二 向量法解决垂直、平行关系中的探索性问题[例2] 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论． [解] 依题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，B 1(1,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，1，12，BA 1―→＝(－1,0,1)，BE ―→＝⎝⎛⎭⎫－1，1，12. 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量， 则由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BA 1―→＝0，n ·BE ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0. 所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设棱C 1D 1上存在点F (t,1,1)(0≤t ≤1)满足条件，又因为B 1(1,0,1)， 所以B 1F ―→＝(t －1,1,0)． 而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F ―→·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE . [方法技巧]向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示．(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在． [针对训练]在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，则在线段CC 1上是否存在一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ？证明你的结论．解：存在点P ，当点P 为CC 1的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .证明如下：如图，以D 点为原点，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，P (0,1，a )(0≤a ≤1)，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，C 1(0,1,1)， ∴A 1B 1―→＝(0,1,0)，A 1P ―→＝(－1,1，a －1)， DE ―→＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DC 1―→＝(0,1,1)． 设平面A 1B 1P 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B 1―→＝0，n 1·A 1P ―→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，－x 1＋y 1＋(a －1)z 1＝0，令z 1＝1，则x 1＝a －1， ∴n 1＝(a －1,0,1)．设平面C 1DE 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·DE ―→＝0，n 2·DC 1―→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋y 2＝0，y 2＋z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝－2，z 2＝－1， ∴n 2＝(－2,1，－1)． 若平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ，则n 1·n 2＝0，∴－2(a －1)－1＝0，解得a ＝12.∴当P 为C 1C 的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .[课时跟踪检测]1．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.的交点．若AB ―→＝a ，2．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则下列向量中与BM ―→相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋c D.12a －12b ＋c解析：选A BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(x ，y ，z ∈R )，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC ―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理，设AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→ (m ，n ∈R )，即OP ―→－OA ―→＝m (OB ―→－OA ―→)＋n (OC ―→－OA ―→)，即OP ―→＝(1－m －n )OA ―→＋m OB ―→＋n OC ―→，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件．4．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( ) A ．9 B ．－9 C ．－3D ．3解析：选B 由题意设c ＝x a ＋y b ，则(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.5．(2019·东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA ―→＋λOB ―→与OB ―→的夹角为120°，则λ的值为( ) A ．±66B ．66C ．－66D ．±6解析：选C OA ―→＋λOB ―→＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，所以λ＝－66. 6．在空间四边形ABCD 中，则AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B 法一：如图，令AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD ―→＝c ，则AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→＝AB ―→·(AD ―→－AC ―→)＋AC ―→·(AB ―→－AD ―→)＋AD ―→·(AC ―→－AB ―→) ＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a ·c －a ·b ＋b ·a －b ·c ＋c ·b －c ·a ＝0.法二：在三棱锥A -BCD 中，不妨令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直． 所以AB ―→·CD ―→＝0，AC ―→·DB ―→＝0，AD ―→·BC ―→＝0. 所以AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→＝0.7．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于________． 解析：设AD ―→＝λAC ―→，D (x ，y ，z )， 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0，4，－3)， ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ， ∴D (1,4λ－1,2－3λ)， ∴BD ―→＝(－4,4λ＋5，－3λ)， ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，解得λ＝－45，∴BD ―→＝⎝⎛⎭⎫－4，95，125，∴|BD ―→|＝(－4)2＋⎝⎛⎭⎫952＋⎝⎛⎭⎫1252＝5.答案：5 8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ―→＝(2，－1，－4)，AD ―→＝(4,2,0)，AP ―→＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ―→是平面ABCD 的法向量；④AP ―→∥BD ―→.其中正确的是________．解析：∵AP ―→·AB ―→＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ，故①正确；AP ―→·AD ―→＝－4＋4＋0＝0，∴AP ⊥AD ，故②正确；由①②知AP ⊥平面ABCD ，故③正确，④不正确．答案：①②③9．(2019·南昌调研)已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ―→＝2GN ―→，现用基底{OA ―→，OB ―→，OC ―→}表示向量OG ―→，有OG ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG ―→＝OM ―→＋MG ―→＝12OA ―→＋23MN ―→ ＝12OA ―→＋23(ON ―→－OM ―→) ＝12OA ―→＋23⎣⎡⎦⎤12(OB ―→＋OC ―→)－12OA ―→ ＝16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→， ∴x ＝16，y ＝13，z ＝13. 答案：16，13，1310．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2.点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥平面RSD .M ⎝⎛⎭⎫3，0，43，证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得N (0,2,2)，R (3，2,0)，S ⎝⎛⎭⎫0，4，23. ∴MN ―→＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23，RS ―→＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23，MN ―→＝RS ―→. ∴MN ―→∥RS ―→.∵M ∉RS .∴MN ∥RS .又RS ⊂平面RSD ，MN ⊄平面RSD ，∴MN ∥平面RSD .法二：设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则MN ―→＝MB 1―→＋B 1A 1―→＋A 1N ―→＝13c －a ＋12b ， RS ―→＝RC ―→＋CD ―→＋DS ―→＝12b －a ＋13c ， ∴MN ―→＝RS ―→，∴MN ―→∥RS ―→，又∵R ∉MN ，∴MN ∥RS .又RS ⊂平面RSD ，MN ⊄平面RSD ，∴MN ∥平面RSD .11．三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC＝90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点． 求证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A1(0,0，3)，C 1(0,1，3)，∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为(1,1,0)．∴AA 1―→＝(0,0，3)，AD ―→＝(1,1,0)，BC ―→＝(－2,2,0)，CC 1―→＝(0，－1，3)．设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1―→＝0，n 1·AD ―→＝0，得⎩⎨⎧ 3z 1＝0，x 1＋y 1＝0. 令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0，∴n 1＝(1，－1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·BC ―→＝0，n 2·CC 1―→＝0，得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0. 令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33， ∴n 2＝⎝⎛⎭⎫1，1，33. ∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2.∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.面边长的2倍，12．如图所示，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底点P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．解：(1)证明：连接BD ，设AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD .连接SO ，由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB ―→，OC ―→，OS ―→所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设底面边长为a ，则高SO ＝62a ， 于是S ⎝⎛⎭⎫0，0，62a ，D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0，B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0， OC ―→＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，SD ―→＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，－62a ， 则OC ―→·SD ―→＝0.故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD .(2)棱SC 上存在一点E ，使BE ∥平面PAC .理由如下：由已知条件知DS ―→是平面PAC 的一个法向量，且DS ―→＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，CS ―→＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ，BC ―→＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0. 设CE ―→＝t CS ―→，则BE ―→＝BC ―→＋CE ―→＝BC ―→＋t CS ―→＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at ， 而BE ―→·DS ―→＝0⇒t ＝13. 即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE ―→⊥DS ―→.而BE ⊄平面PAC ，故BE ∥平面PAC .。