第1章复习(专升本高数)
黑龙江统招专升本高等数学第一章初等函数
黑龙江统招专升本高等数学第一章初等函数一、考试范围（1）函数的概念：函数的定义、函数的表示法、分段函数、三角函数的图像。
（2）函数的简单性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性、定义域、值域。
（3）反函数：反函数的定义、反函数的图象、反函数的定义域、值域。
（4）函数的四则运算与复合运算。
（5）基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
二、学习达成标准（1）理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。
会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像。
（2）理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类别。
（3）了解函数y=ƒ（x）与其反函数y=ƒ-1（x）之间的关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数。
（4）理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。
（5）掌握基本初等函数的简单性质及其图象。
（6）了解初等函数的概念。
（7）会建立简单实际问题的函数关系式。
三、常用基础公式（1）指数函数运算法则m n m na a a+⋅=； m n m na a a-÷=；()()m n m nn ma aa ⋅==；()nnnab a b =⋅；()nn na ab b =；nnan a an ⎧=⎨⎩为偶数为奇数；(nna a =； 1pp aa -=；(0)a ≠；01a =；(0)a ≠；nm nm a a = （2）对数函数运算公式log log log a a a MN M N=+；log log log aa a MM N N =-；log log m a a M m M =； 1log log m a a M M m =；log log m n a a nM M m =；log log log c a c b b a =；1log log a b b a =； log 1a a =；log m a a m=；log a Na N =；log 10a =；()ln ln ln MN M N =+；lnln ln MM N N =-；ln ln n M n M =；ln10=；ln 1e =；ln m e m = （3）二倍角公式22tan sin 22sin cos 1tan ∂∂=∂∂=+∂；2222221tan cos2cos sin 2cos 112sin 1tan -∂∂=∂-∂=∂-=-∂=+∂；22tan tan 21tan ∂∂=-∂（4）降幂公式()21-22cos sin θθ⎡⎤⎣⎦=；()21+2=2cos cos θθ⎡⎤⎣⎦；()()21-cos 2=1+cos 2tan θθθ （5）半角公式 正负由2∂所在的象限决定1cos sin22∂-∂=±；1cos cos 22∂+∂=±； 1cos 1cos sin tan21cos sin 1cos ∂-∂-∂∂=±==+∂∂+∂； 1cos 1cos sin cot21cos sin 1cos ∂+∂+∂∂=±==-∂∂-∂（6）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限）()sin sin -∂=-∂；()cos cos -∂=∂；()tan tan -∂=-∂；()cot cot -∂=-∂()()sin 2sin k k z π+∂=∂∈；()()cos 2cos k k z π+∂=∂∈；()()tan 2tan k k z π+∂=∂∈；()()cot 2cot k k z π+∂=∂∈；()sin sin π+∂=-∂；()cos cos π+∂=-∂；()tan tan π+∂=∂；()cot cot π+∂=∂()sin sin π-∂=∂；()cos cos π-∂=-∂；()tan tan π-∂=-∂；()cot cot π-∂=-∂()sin 2sin π-∂=-∂；()cos 2cos π-∂=∂； ()tan 2tan π-∂=-∂；()cot 2cot π-∂=-∂；sin cos 2π⎛⎫+∂=∂ ⎪⎝⎭；sin cos 2π⎛⎫-∂=∂ ⎪⎝⎭； cos sin 2π⎛⎫+∂=-∂ ⎪⎝⎭；cos sin 2π⎛⎫-∂=∂ ⎪⎝⎭； tan cot 2π⎛⎫+∂=-∂ ⎪⎝⎭；tan cot 2π⎛⎫-∂=∂ ⎪⎝⎭； cot tan 2π⎛⎫+∂=-∂ ⎪⎝⎭；cot tan 2π⎛⎫-∂=∂ ⎪⎝⎭四、历年命题趋势研判2014 2015 2016 2017 2018 2019 平均分 题号选择题（1、2） 选择题（1、2） 选择题（1）选择题（1） 选择题（1） 选择题（1） 选择题分值 8844445.6命题趋势：近几年题型、分数稳定，14-15年两道选择考察为定义域及奇偶性，从16年开始，为一道选择，考察为定义域及基本性质。
专升本高数复习资料(超新超全)
严格依据大纲编写：笔记目录第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。
会运用等价无穷小量代换求极限。
4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
第二节函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。
2.会求函数的间断点。
3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。
4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。
第二章一元函数微分学第一节导数与微分[复习考试要求]1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。
2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。
会求分段函数的导数。
5.了解高阶导数的概念。
会求简单函数的高阶导数。
6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。
第二节导数的应用[复习考试要求]1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。
2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。
会利用函数的单调性证明简单的不等式。
3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。
4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。
5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分[复习考试要求]1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
专升本高数第一章极限与连续
金融领域
连续复利在金融领域中有着广泛 的应用，如债券、股票、基金等 投资产品的价值计算。
100%
保险领域
在保险领域中，连续复利可以用 于计算保险产品的未来价值，帮 助客户了解保险合同未来的收益 情况。
80%
养老金领域
在养老金领域中，连续复利可以 用于计算个人养老金账户的未来 价值，帮助个人了解自己退休后 的养老金收益情况。
极值的计算
对于可导的函数，其一阶导数为0的点可能是极值点。然后通过判断二阶导数的正负来判断是极大值还是极小值。 如果二阶导数大于0，则为极小值；如果二阶导数小于0，则为极大值。
极值的应用
最大最小值问题
在生产、生活中经常遇到求最大最小值的问题，极值的概念可以用来解决这类问题。例如，在经济学中求成本最低、 利润最大的方案等。
02
(1) lim(x->0) (sin x / x)
03
(2) lim(x->0) ((1 + x)^(1/x))
04
(3) lim(x->∞) ((1 + 1/x)^x)
连续复利部分的习题
(2) A = P(1 + r/n)^nt / (1 + r/n)^n
(1) A = P(1 + r/n)^nt
单调性
如果函数在某个区间内单调递增或递减，则该区间 内导数大于等于0或小于等于0。
极值点
如果函数在某一点的导数为0，且该点两侧的 导数符号相反，则该点为极值点。
04
函数的单调性与极值
单调性的判断方法
01
02
03
定义法
导数法
图像法
通过比较函数在某区间内任意两点x1和 x2的函数值f(x1)和f(x2)，判断单调性。 如果f(x1)<f(x2)，则函数在此区间内单 调递增；反之，则单调递减。
高等数学一专升本自学教材
高等数学一专升本自学教材第一章：导数与微分在高等数学一专升本自学教材的第一章中，我们将深入研究导数与微分的概念和性质。
1.1 导数的定义与计算方法导数是函数在某一点上的变化率，它的定义是函数在该点的极限。
我们将介绍导数的定义，并针对常见函数的导数计算方法进行详细讲解。
1.2 导数的几何意义与图像特性导数具有重要的几何意义，它可以描述函数图像的斜率和曲线的凹凸性质。
我们将探讨导数与函数图像之间的关系，并介绍导数曲线的性质。
1.3 微分的定义与应用微分是函数在某一点附近的线性近似，它的定义和计算方法与导数密切相关。
我们将讨论微分的定义，并应用微分进行函数近似与误差估计。
第二章：积分与定积分第三章：一元函数的应用问题第四章：多元函数与多元函数微分法第五章：不定积分与定积分的计算第六章：无穷级数第七章：常微分方程第八章：空间解析几何与向量代数第九章：多元函数微分学第十章：多重积分与曲线积分第十一章：曲面积分、高斯公式与斯托克斯公式在高等数学一专升本自学教材中，我们将通过以上章节的学习，系统地掌握高等数学一所涉及的知识点和技能。
正确认识导数与微分的概念，在实际问题中能够熟练地运用它们；深入理解积分与定积分的含义，灵活运用积分方法解决各种实际问题；掌握一元函数的应用问题的解决方法；了解多元函数的基本概念与性质，掌握多元函数微分法；掌握不定积分与定积分的计算方法和技巧；学习无穷级数及其求和方法；掌握常微分方程的基本概念和解法；理解空间解析几何和向量代数的基本概念和性质；深入学习多元函数微分学的基本概念和方法；掌握多重积分与曲线积分的计算技巧；了解曲面积分、高斯公式和斯托克斯公式的基本理论和应用。
通过自学教材的系统学习和实际问题的练习与应用，我们可以全面提升高等数学一的知识和技能水平，为专升本考试做好充分准备，进一步提升个人学术能力和就业竞争力。
高等数学一专升本自学教材，期待与你一同开启数学学习的新篇章！。
专升本高数复习资料
第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求].了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。
会运用等价无穷小量代换求极限。
.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
第二节函数的连续性[复习考试要求].理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。
.会求函数的间断点。
.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。
.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。
第二章一元函数微分学第一节导数与微分[复习考试要求].理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。
.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
.掌握隐函数的求导法与对数求导法。
会求分段函数的导数。
.了解高阶导数的概念。
会求简单函数的高阶导数。
.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。
第二节导数的应用[复习考试要求].熟练掌握用洛必达法则求“·∞”、“∞∞”型未定式的极限的方法。
.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。
会利用函数的单调性证明简单的不等式。
.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。
.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。
.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分[复习考试要求].理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
.熟练掌握不定积分的基本公式。
专升本高数第一轮--第一章--极限与连续.
解： lim f ( x) lim ( x 1) 1，
x 0 x 0
x 0
lim f ( x) lim ( x 1) 1，
x 0
x 0
lim f ( x) 存在。
x 0
极限运算法则
n n n
推论1. 若 lim xn A，c 为常数，则 lim cxn cA
n n
推论2. 若 lim xn A， 则 lim a n An
n
xn A 法则3. 若 lim xn A，lim yn B，且 B 0， 则 lim n n n y B n
第一章 极限和连续
§1.1 极限
（一） 数列的极限 1. 数列
数列常表示为 xn : x1 , x2 , , xn , 其中 xn 称为数列的通项。例如： 1 2 3 n 2， 4， 6， ， 2n， ；，，， ， ， 2 3 4 n 1
若 n , xn xn1 则称 xn 为单调增数列， 单调数列：
x x0 lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x x0 )
定理2. lim f ( x)存在 lim f ( x) ， lim f ( x)
x x0 x x0 x x0
均存在且相等。
x 1，x 0 例4. 讨论函数 f ( x) 0 ，x 0 在 x 0 处是否有极限。 x 1，x 0
x
如果 lim f ( x) 0 ，则称函数 f ( x) 为 x x0 时的无穷小。
xx0
为了讨论方便，记无穷 小 为 lim 0 。
定理1 (极限与无穷小的关系) lim u A 的充要条件是 u A ， 其中lim 0。
河北专升本高等数学复习资料课件第一章函数极限连续
从函数图像上看，偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称.
典例精析
知识清单
知识点二 函数的基本性质
3.函数的单调性
设函数 f (x)定义域为 D ，区间 ⊆ .若对于 I 上任意两点1 , 2 ，当1 < 2 时，恒有
f (1 ) < f (2 )，
→∞
（或 a ≤ 0）.
知识清单
知识点一 数列极限
定理4（数列极限的四则运算） 设 lim = ， lim = ，则
→∞
→∞
① lim ( ± ) = ± ；② lim ( ∙ ) = ∙ ；③ lim = （b ≠ 0）.
→∞
→∞
称为函数在点 x 处的函数值，记作 f (x).当自变量 x 遍取 D 的所有数值时，对应的函数值 f (x)的全
体构成的集合称为函数 f 的值域，记作f (D)，即
= {| = , ∈ }.
由函数的定义可以看出，函数的定义域与对应法则是确定函数的两个必不可少的要素.也就
是说，如果两个函数的对应法则和定义域都相同，那么这两个函数就是相同的函数.
区间(0,1)上无界，在[1,+∞)上有界.
典例精析
知识清单
知识点二 函数的基本性质
2.函数的奇偶性
设函数 f (x)的定义域为 D，且 D 关于原点对称，即对任一 x∈D，都有－ x∈D.若
f (－x) = f (x)
对一切 x∈D成立，则称 f (x)为偶函数；若
f (－x) = －f (x)
知识清单
知识点三 基本初等函数
2.指数函数：形如 = (a > 0 , a ≠ 1)的函数称为指数函数.
专升本高数一知识点归纳
专升本高数一知识点归纳专升本高等数学是许多专科生在进入本科学习阶段时必须掌握的一门课程，它涵盖了多个数学领域的基础知识点。
以下是专升本高等数学一的主要知识点归纳：一、函数与极限- 函数的概念：定义域、值域、奇偶性、周期性。
- 极限的定义：数列极限、函数极限。
- 无穷小的比较：高阶无穷小、低阶无穷小。
- 极限的运算法则：加、减、乘、除、复合函数的极限。
二、导数与微分- 导数的定义：导数的几何意义、物理意义。
- 基本初等函数的导数公式：幂函数、三角函数、指数函数、对数函数。
- 高阶导数：二阶导数、三阶导数。
- 微分的概念：可微性、微分的几何意义。
- 微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。
三、积分学- 不定积分：换元积分法、分部积分法。
- 定积分：定积分的性质、几何意义、定积分的计算。
- 广义积分：无穷限广义积分、无界函数的广义积分。
- 定积分的应用：面积、体积、平均值问题。
四、微分方程- 一阶微分方程：可分离变量方程、一阶线性微分方程。
- 高阶微分方程：特征方程、二阶常系数线性微分方程。
- 微分方程的应用：物理、工程等领域的应用。
五、级数- 数项级数：正项级数、交错级数、绝对收敛级数。
- 幂级数：幂级数的收敛半径、泰勒级数。
- 傅里叶级数：三角级数、傅里叶级数的性质。
六、多元函数微分学- 偏导数：一阶偏导数、二阶偏导数。
- 全微分：全微分的定义、几何意义。
- 多元函数的极值：拉格朗日乘数法。
七、多元函数积分学- 二重积分：二重积分的计算、几何意义。
- 三重积分：三重积分的计算方法。
结束语：专升本高等数学的学习不仅要求学生掌握数学的基本概念和运算技巧，还要求能够运用这些知识解决实际问题。
通过以上知识点的归纳，希望能帮助同学们更好地复习和掌握专升本高等数学的主要内容，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
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函数的定义域 考点2：相同函数的判断 函数的对应法则
例5.下列函数相等的是（ D ）
A.y x2 , y x x
B.y x2 , y x
2
C.y x, y x
D.y x , y x2
考点3：求函数的表达式
1、直接代入法 例1.已知f x x 1,求f f 2x 1.
2、换元法
解不等式，得 n 关于 的式子 ，
则 N [ 关于 的式子 ]
lim
n
xn
a
0, N 0,使n N时, 恒有 xn a .
" "定义： 0, 0,使当0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
f (x) A 表示 f (x) A任意小;
0 x x0 表示x x0的过程.
1
n2
2 n
2
n2n nBiblioteka ) n1 2.
考点7：无穷小量与无穷大量、无穷小的比较 无穷小的性质： 性质1、有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 性质2、有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小. 性质3、有限个无穷小的乘积是无穷小.
定义1 设和都是在同一自变量的变化过程中的无穷小，
且 0.
(1)如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,记作 ( );
(1) lim sin x 1 x0 x
(2)
lim
x
1
1 x
x
e
定理迫敛性设收敛数列an 、bn 都以a为
极限，数列cn 满足：正数N 0，当n
N
时
0
有an cn bn ,
则数列cn
收敛，且lim n
cn
a.
例1.
求
lim (
n
n2
1 n 1
n2
2 n2
n2
n ). nn
解
记
xn
n2
若为分段函数，则应取各分段区域内取值区间的并集.
2..抽象函数: 6.若已知f x的定义域a,b,求f x的定义域.
7.已知f x的定义域a,b，求f x的定义域.
例1.求函数f x 1 1 的定义域.
4 x2 ln x
例2.已知f 2x 1的定义域为0,1，求f x的定义域. 例3.已知f x的定义域为0,1，求f 2x 1的定义域. 例4.已知f 2x 1的定义域为0,1，求f 2x 1的定义域.
例1.求函数f x x 1的反函数.
x2
解：y x 1 1 1 x2 x2
x 2y 1 1 y
即反函数为y 2x 1 1 x
x 1
第二节 极限 知识点
1、数列极限 数列，等差数列，等比数列，数列通项公式，数列求和， 不等式的性质。 数列的ε-N定义、无穷小数列. 数列极限的性质（有界性，唯一性，保号性） 数列极限存在的条件
1 n
1
n2
2 n
2
n2
n n
n
,
则
1 2 n n2 n n
1 2 n xn n2 n 1 ,
n(n 1) 2(n2 2n)
xn
n(1 n) 2(n2 n 1)
,
又
lim
n
n(n 1) 2(n2 2n)
1 2
lim
n
n(1 n) 2(n2 n 1)
,
由两边夹定理，
lim (
n
n2
1 n
例2.设f x 1 x2 x,求f x.
3、加减消元法 4、待定系数法
例3.已知f x满足2 f x f 1 x, x R且x 0,求f x.
x
例4.已知f x是二次函数，
5、赋值法
且满足f x 1 f x 1 2x2 4x，求f x.
例5.已知f 0 1,对于任意实数x, y
等式f x y f x y2x y 1恒成立，求f x.
2、函数极限 函数极限的定义、函数极限的定义. 左极限、右极限. 函数极限的性质：唯一性、有界性、保号性、 保不等式性、 迫敛性 函数极限的运算 两个重要极限
注意: 用“ N 定义” 验证数列极限，关
键是如何由任意给定的 0, 寻找 N ？
具体方法： 对任意给定的 0,
从结论“ xn a ”出发 ，
（幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数） 反函数的求法 复合函数的表示方法
考点1：函数的定义域
1.具体函数: 1.分式中的分母不为0.
2.在根式中偶次方根号下的表达式不能取负值.
3.对数的真数大于0.
4.正切函数y tan x中x kππ.
2
5.若函数是几个复合函数的四则混合式，则应取各部分定义域的交集；
第一章
1、函数
函数、极限与连续
2、极限及其运算
3、无穷小量与无穷大量、无穷小的比较
4、函数的连续性及闭区间上连续函数的性质
第一节 函数 知识点： 1、函数的定义与概念
函数的定义域，函数的表达式，是否同一函数。 2、函数的性质
函数的有界性，函数的奇偶性，函数的单调性， 函数的周期性。
3、初等函数 一次函数，二次函数，反比例函数 基本初等函数：
x0
x0
点x0的去心 邻域,
x0
x
体现x接近x0程度.
考点6：极限的运算（重点） 数列极限涉及：分子、分母次数；
数列求和，再求极限
lim（1 1 ）n e
n
n
有理化
函数极限的计算涉及：
x 1、趋于 0
2、趋于
（分子分母次数）
直接代、倒过来代、因式分解、分子或分母有理化. 3、两个重要极限
例1.函数y xln x x2 1 x 是( A )
A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数
D.不能确定
例2.函数y sin 1 是定义域内的（C )
x A.周期函数 B.单调函数 C.有界函数
D.无界函数
考点5：反函数的求法
1.由y f x, 解出x f 1y,即用y表示x. 2.将x, y互换，得到 y f 1x. 3.注明反函数的定义域， 即原函数的值域 .
(2)如果lim ,就说是比低阶的无穷小;
(3)如果lim C(C 0),就说与是同阶的无穷小;
特别地，当C=1时，则与是等价无穷小,记作 .
当 x 0 时，等价无穷小：
（1）sin x x ; (2) arcsin x x ; （3）tan x x ; （4）arctan x x ;
考点4：函数的奇偶性、有界性的判定
1.定义域关于原点对称.
偶函数：f x f x 奇函数：f x f x
2.奇偶函数的运算性质：
奇奇 奇
偶偶 偶
奇 偶 非奇非偶
奇奇 偶
偶偶 偶
奇偶 奇
3.奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称.
4.有界性：设函数y f x在某区间内有定义.若存在M 0，对于该区间内 任意的x，恒有 f x M ,则称函数f x在该区间内有有界函数.