第15章磁介质
14-15章作业参考答案
14章作业参考答案14-1．如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B 。
解：先求圆弧在O 点的磁感应强度：由载流圆电流在圆心处的磁场RIB 20μ=，则三分之一圆弧在圆心处的磁场RIB 601μ=，方向：垂直于纸面向外；再求直导线在O 点的磁感应强度：有限长直电流在O 处的磁感应强度为RIR IB πμπμ23)150cos 30(cos 60cos 4002=︒-︒︒=（见书71页），方向：垂直于纸面向里。
∴圆心O 处的总磁感应强度：）（）（3132012-=-+=πμR IB B B ，方向垂直于纸面向里。
14-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c 部分是在xoy 平面内半径为R 的半圆，试求通以电流I 时O 点的磁感应强度。
解：a 段对O 点的磁感应强度：由无限长直电流在O 处的磁感应强度为RIB πμ20=（也可用安环定理0S B d l I μ⋅=∑⎰求得），由对称性，半无限长直电流在O 处的磁感应强度为，RIB a πμ40=方向沿y 轴负向（在O 点）。
∴04a IB j Rμπ=-。
b 段的延长线过O 点，0b B =（因为Idl 和r 夹角的正弦为零）。
c 段产生的磁感应强度为：，R IR I B C 422100μμ==方向沿z 轴正向，∴04c I B k Rμ=，则：O 点的总场强：k RI j R I B O4400μπμ+-=。
14-7．如图所示，长直电缆由半径为R 1的导体圆柱和同轴的内外半径分别为R 2、R 3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I 都均匀地分布在横截面上。
求距轴线为r 处的磁感应强度大小（∞<<r 0）。
解：利用安培环路定理0SB d l I μ⋅=∑⎰分段讨论。
（1）如图所示，当10r R <≤时，有：210212r IB r R ππμπ⋅=∴01212I r B R μπ=；(其中I/πR 12为电流面密度) （2）当12R r R ≤≤时，有：202B r I πμ⋅=，∴022IB rμπ=； （3）当23R r R ≤≤时，有：2223022322()r R B r I I R R πππμππ-⋅=--， ∴2232032232I B R r R r R μπ--=⋅；(其中)(2223R R I -π为电流面密度) （4）当3r R >时，有：402()B r I I πμ⋅=-，∴40B =。
物理 磁介质
等效于圆电流——分子电流
pm 0
5
Bo
等 效
Bo
磁化后附加磁场 B'与 B0 同向
磁化电流可产生附加磁场 B’ ，磁化电流也称为束缚电 流。
无热效应，无宏观电荷的移动，磁化电流 束缚在介质表面上，不可引出，
B = B o + B’ > Bo
B’
磁化电流 Is
6
2. 抗磁质的磁化
(3)矩磁材料——作存储元件 锰镁铁氧体，锂锰铁氧体
B
HC HC
H
Br=BS ，Hc不大，磁滞回线是矩形。 用于记忆元件，当+脉冲产生H>HC使磁芯呈+B态，则 –脉冲产生H< – HC使磁芯呈– B态，可做为二进制的 20 两个态。
一、磁介质中的磁感应强度
B B0 B'
A M
A M M A A M
逆时针转动， 向左运动 并靠近A
不动
转动，并 靠近A
25
如图所示，半径为R的均匀带电薄圆盘，带电量为q，将其放 在磁感强度为 的均匀磁场中， 的方向与盘面平行，当圆 盘以角速度 绕通过盘心，且垂直于盘的轴逆时针转动时， 求： ① 此圆盘的磁矩Pm ； ② 圆盘在磁场中所受磁力矩M 的大小和方向。
介质中:
B r B0
L B dl 0 ( I 0 I ' )
L B0 dl 0 I 0
自由电流代数和 磁化电流 的代数和
9
2). 磁场强度矢量 H
B B B0 H 0 r 0
三、力矩的功
1. 载流导线在磁场中运动时，磁力的功
5-磁介质
dL e e me B0 L B0 B0 L L dt 2m 2m
22
这相当于增加了向下的磁矩me．由此可见，无论电子 的运动方向如何，me的方向都与外磁场 相反，即 产生了抗磁性(diamagnetism)．
23
如果电子转动的角速度与磁场方向 在同一直线上，通过分析加入磁场后 电子受到的洛仑兹力导致的 角速度改变得到电子增加的磁矩为 （过程从略*） 2 2 2
S L
L
S
∴
j ' M . 从上式也可以写出积分表达式： M dl j ' dS I '.
L
S
11
类似方法可得,在磁介质的边界上的磁化面电流密度k’ 为： k ' M n,
n为边界的外法向单位矢量. 如果电流分布在一个曲面上，把通过一点垂直电荷 流动方向上的单位长度的电流强度，即单位时间里通过 单位垂直长度的电量定义为该点的面电流密度，方向为 正电荷流动的方向。
分子磁矩的整齐排列产生宏观上的磁化电流 I ’. 2. 磁化强度 为了描述磁介质的磁化状态（磁化方向和强度）， 引入磁化强度矢量M ,磁化后在介质内部任取一体积元,
6
体积元内的分子磁矩的矢量和 mi 不等于0. n M: 单位体积内分子磁矩的矢量和。 S 对如图所示的分子电流圈，其磁矩为： m nSI . I n为的单位法向矢量，与电流正向构成右手关系。 m 磁介质中的磁化强度M定义为： i ( v 内) i
L
16
N H I 0 nI 0 , [1] 2 R 此外，磁化场的磁感应强度B0就是 空心螺绕环的磁感应强度，即 [2] B0 0nI0 ,
即
比较[1]、[2]得 H B0 / 0 , 根据B与H 的关系式： B 0 H 0 M B0 0 M . 例2、一个带有很窄的缝隙的永磁环，已知其磁化强度 求图中所标各点的B和H． 为M，方向如图所示， 解：按分子电流观点，介质表面分布的磁化面电流为 k’＝M×n．由图可见，窄隙永磁环宛如一个面电流密度 为k’＝M 的螺绕环．它产生的沿着M方向的附加磁感应
磁介质题
第六章 磁介质§1.分子电流观点 （P560习题）3.附图所示是一根沿轴向均匀磁化的细长永磁棒，磁化强度为M ，求图中标出各点的B 和H 。
解：在磁棒内外,B B B '+=0,M BH -=μ.无传导电流,00=B .对细长永磁棒，在两端的4、5、6、7点M B 021μ≈'，在中点1， M B 0μ≈'，在棒外的2、3点0='B ，所以M B 01μ= 032==B B M B B B B 0765421μ==== 注意到在磁棒内M=常数，在磁棒外M=0，根据M BH -=μ立即可得：0321===H H H M H H 2174== M H H 2165-== 4.附图所示是一个带有很窄缝隙的永磁环,磁化强度为M,求图中所标各点的B 和H. 解: 由B B B '+=0, 其中00=B ,因缝隙很窄,M i B B B 00321μμ='='='=' 故M B B B 0321μ===由M BH -=μ注意到在环内M=常数,在缝隙中M=0, 所以 M H =1,032==H H§3.介质的磁化规律 （P605习题）1.一环形铁芯横截面的直径为4.0毫米,环的平均半径R=15毫米,环上密绕着200匝线圈(见附图),当线圈导线通有25毫安的电流时,铁芯的(相对)磁导率300=μ求通过铁芯横截面的磁通量φ.解: 由S nI BS 00ημφ==,其中 321012.2105.12200⨯=⨯⨯=-πn 米1-,所以 762337105.2104410251012.2104300----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=ππφ韦伯4.一无穷长圆柱形直导线外包一层磁导率为μ的圆筒形磁介质,导线半径为1R ,磁介质的外半径为2R (见附图),导线内有电流I 通过.(1)求介质内、外的磁场强度和磁感应强度的分布,并画r H - 、r B =曲线;(2) 介质内、外表面的束缚面电流密度i ';(3) 从磁荷观点来看,介质表面有无磁荷?解: (1)在横截面内分别在导线内外取以导线轴线为中心的圆形回路,应用安培环路定理可得274212/R Ir H π=, )(1R r <, r I H π2/=, )(21R r R <<r I H π2/= )(2R r > 再由H B 0μμ=可得 2102/R Ir B πμ=)(1R r < rIB πμμ20=)(21R r R << )R (r 2/20>=r I B πμ(2) 由n M i ⨯=', 在 1R r =处,n 指向内,12/)1(R I H x M i m πμ-==='在2R r =处, n 指向外, 22/)1(R I H x M i m πμ-=-=-=' (3)按磁荷观点, n m n n m H x M J 00μμσ===,在介质内外表面,H 和表面相切,0=n H ,故0=m σ.§3.边界条件 磁路定理 （P621习题） 11.证明两磁路并联时的磁阻服从下列公式:21111m m m R R R += 解:参见附图,设总磁通为0B φ,并联支路的磁通为1B φ和2B φ;并联磁路的磁阻分别为1m R 和2m R ,总磁阻为m R .按磁路定理:,11m B m R φε= 22m B m R φε=,/ 1B1m m R εφ=∴ ,/ 2B2m m R εφ=又021B B B φφφ=+m m B m m R R R /)/ ()/( 02m 1m εφεε==+∴21/1/1/1m m m R R R +=12.一电磁铁铁芯的形状如附图所示,线圈的匝为1000,空气隙长度0.2=l 毫米.磁路的、、、c b a 三段长度与截面都相等,,气隙的磁阻比它们每个大30倍,当线圈中有电流I=1.8安培时,气隙中的磁场强度为多少奥斯特?解: 参看附图,设各支路中的磁通为Ba φ、Bb φ和Bc φ气隙中的磁场强度为H,气隙磁阻为0m R ,磁路总磁阻为m R ,按磁阻串并联的公式12122m 1m R)/()(00m m a m b m m a m b m c m R R R R R R R R ++++= 又 30/0m m c m b m a R R R R === 所以 960/630m m R R = 按磁路定理 m BC R NI φ= (1))(0m m a Ba m b Bb R R R +=φφ (2) 又Bc Bb Ba φφφ=+ (3)SH Ba 0μφ= (4)联立(1)-(4)式.解得:奥斯特米安35330000104.5/ 103.4102638.1103063306330⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯===⋅++=-l NI SR NI SR NI R R R R H m m m mb mamb μμ§5.磁场的能量和能量密度 （P631习题）2.利用高磁导率的铁磁体,在实验室产生B=5000高斯的磁场并不空难.(1) 求这磁场的能量密度m w ; (2) 要想产生能量密度等于这个值的电场,问电场强度E 的值应为多少? 这在实验上容易作到吗?解: (1) 按 022/2/)(μB H B w m =⋅=得: 3572/101)108/(5.0米焦耳⨯=⨯=-πm w (2) 按 3520/1012/米焦耳⨯==E w e ε得: 8125105.11085.8/102⨯=⨯⨯=-E 伏/米显然这个场强在实验室中是较难实现的.6.一根长直导线载有电流I, I 均匀分布在它的横截面上.证明:这导线内部单位长度的磁场能量为: πμ1620I .证: 因在电流密度均匀分布的长直导线内部)R I r /(2H ),2/()(220ππμ==R Ir B 其中R 为导线的半径,所以 )8/2/)(42220R r I H B w m πμ=⋅=, 单位长导线内的总磁能为πμπ162200I rdr w W Rm m =⋅=⎰.。
磁介质
B=B+(ralative8以电子的轨道运动为例，第i 个电子受的磁力矩B m M i i v vv ×=电子轨道角动量增量ii i L t M L v v v ⊥=d d ∴电子旋进，它引起的感应磁矩反平行于。
i m Δv0B v 这种效应在顺磁质中也有，不过与分子固有磁矩的转向效应相比弱得多。
m im i11由于介质磁化而出现的一些等效的附加电流分布。
2. 磁化电流如上图，磁介质均匀被磁化，内部各点处的分子电流会相互抵消；表面上的小分子电流没有抵消，它们方向相同，等效为表面上有一层面束缚电流。
Si m v v＝分子以顺磁质为例：由于分子的热运动，每个磁极子的取向不断在变化，但从统计平均的角度，每个磁极子对磁化强度的贡献是一样的, 将这个贡献等效为一分子磁矩，设分子m vM v在磁场中发生磁化，磁化强度MSNΔP m分m r ΔiS Ni分m r 顺磁质抗磁质2rS S i m π=v v 图示为顺磁质情形Mnm VM Vm n VMmM V V V ˆΔˆΔlim limΔ)ˆ(lim0ΔΔ0Δ分分分====→→→∑v14现为面束缚电流。
磁化n rM rt M r lrd SI ′d θ与电介质极化电荷面密度nP ˆ⋅v设：二、环路定理的应用举例[例1]书P171:无限长直螺线管充以磁介质[例2]书P172: 长同轴电缆充以磁介质19SΔS ΔSS Δ<<Δ侧lΔlΔ<<δ(2(当tg tg 211=θμμθ23* 静磁屏蔽铁磁材料的闭合壳体置于外磁场中，壳内口腔中磁感应强度大大削弱的现象。
应用：精密探头、显象管…都需要磁屏蔽。
*铁磁质具有把磁感应线聚集于自己内部的特性(磁感应线沿铁走)部分磁屏蔽25§19.4 铁磁质(ferromagnetic substance)一、磁畴（magnetic domain ）自发磁化的小区域─磁畴实验研究表明：铁磁质内部存在一个个小区域，小区域内，分子磁矩有序排列(自发磁化)。
电磁介质
(r R1 )
(r R2 )
18
§1 电介质
（３）由（１）可知
( R1 r R2 ) E 2π 0 r r
R2 U E dr
R1
dr ln R2 2π 0 r r 2π 0 r R1
Q R2 C 2π 0 r l ln U R1
L
磁介 质 I L
B dl 0 ( I 0内 I内) 0 I 0内 0 M dl L B ( 0 M ) dl I 0内 L
I0
定义
H
B
0
M
23
第六章 —— 电磁介质
§2 磁介质（一）--- 分子电流观点
B Bo B
传导电流产生 与介质有关的电流产生
B r B0
介质的相对磁导率
r 1 r 1 r >> 1
第六章 —— 电磁介质
顺磁质 抗磁质
铁磁质
22
§2 磁介质（一）--- 分子电流观点
三 有磁介质时的安培环路定理和高斯定理
1. 安培环路定理 设：I0─ 传导电流 I ─ 磁化电流
+
-
+
-+
P
+
E’ +
-
-+
第六章 —— 电磁介质
13
§1 电介质
5、电介质中高斯定理的应用 ——求解电荷和电介质都对称分布时的电场的场强。 例 如图所示，一个均匀带电球体外 有一个电介质球壳。试求场强分布。 解：如图取高斯面，则有： ε
D E
Qr 4 R 3 , r R1 0 Q E , R1 r R2 2 4r Q , r R2 4 0 r 2
川大大学物理课件76 磁介质
物理学 7.6.1
磁介质的磁化
§7.6 磁介质
一 磁介质对磁场的影响
1 磁介质 在考虑物质受磁场影响或它对磁
场的影响时，物质统称为磁介质
实验结果： B r B0
真空
B0
介质的相对磁导率
B B0 B'
I
I
磁介质
B
磁介质中的 总磁感强度
真空中的磁 介质磁化I 后的
感强度
附加磁感强度
§7.6 磁介质
二 物理学 有磁介质时的 安培环路定理
B dl
l
0Ii
0 (NI Is )
I
传导电流 分子电流
回路所包围的分子电流即为
B
C
BC所穿过的总分 子电流：
Is
ML
M dl BC
A
L
D
Is
M dl l
l B
B
(
l 0
（3）铁磁质（铁、钴、镍等）： 强磁性物质
r 1, B B0
第七章 恒定电流和恒定磁场
2
大学 二、顺磁质和抗磁质
物理学
原子的磁矩
§7.6 磁介质
1 原子、分子的磁矩
（1）圆电流的磁矩 （2）原子的磁矩
I
en m ISen
A、原子中电荷的运动: 电子的运动等
B、原子的磁矩 电子等的运动------形成电流,有磁矩 （3）分子的磁矩
2πdH I
B H 0r I
2π d
d R
H dl I I 0
I
l
r
2πdH 0, H 0
d
B H 0
§15 介质中的麦克斯韦方程组
2
2．极（磁）化电荷（流）
（A）极化 极化电荷 由于极化，正负电荷间发生了相对位移，每处的正负电荷可能不 完全抵消，这样就呈现出束缚在介质中的宏观电荷，称为极化电荷。
S 给定，计算这中间包含的所有的极化电荷 QP 。显然，完全处于区域内部或完
p
-q
所以 P jP t
o
r-
v（1.5.5）
显然，根据叠加原理，上式在有许多偶极子存在时依然正确。同时我们注意到 （1.5.5）与连续性方程一致。根据（1.5.4）和（1.5.5）可知 P P jP P 0 t t t 与连续性方程一致 （B）磁化 磁化电流 介质被磁化后产生束缚于磁介质上的磁化电流。 假设已知空间的磁化情况 M (r ) ，
综合整个环路的贡献，得
Im M dl
（1.5.6）
利用 I M jm dS 及 Stokes 定理 M dl M dS ，有
jm M
（1.5.7）
其中 jm 为描述束缚于磁介质内部的磁化电流密度。对上式两边取散度得 jm 0
s
（1.5.3）
利用 Gauss 定理，容易得到 式中 P 称为极化电荷密度．
P P
（1.5.4）
注： 仔细思考后会发现 （1.5.4） 大有问题。 比如对一个均匀极化的介质 P const. ， 故 （1.5.4） 告知体内无极化电荷分布。然而实际上极化后每个分子都呈现为一个偶极子，因此细致到 （1.5.3）是正 分子的尺度上，极化电荷的分布是非常不均匀的，不可能为 0。从数学上讲， 确的， 但条件是积分区域必须是宏观大的。 过渡到 （1.5.4） 就不是严格成立的了， 因为 Gauss 定理可以使用的前提是（1.5.3）对任意积分区域都正确。但为什么我们还可以用（1.5.4） 呢？这是因为在分子尺度上计算极化电荷以及其它物理量的分布是困难而且是没有必要 的，因为我们所关心的（实验上所能测量的）是宏观小但微观大的一个区域内的物理量的 平均值。因此，当我们考虑连续介质中的物理量时，一个空间的几何点是这样定义的：取 这样一个区间 - 微观上足够大包含了许多极化后的偶极子，但宏观仍然足够小使得我们可 以认为它是空间上的一个几何点，然后取这个区间内的微观量的平均值作为在这一几何点 的场的数值。这事实上是电动力学处理连续介质的一个基本精髓。 （1.5.2）及下面的所有处 理、甚至是目前前沿的 Meta-material 的研究均基于这个基础。
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章磁介质15第一、物质的磁化1、磁介质中的磁场设真空中的磁感应强度为的磁场中，放进了某种磁介质，在磁场和磁介质的相互作用下，磁介质产生了附加磁场，这时磁场中任意一点处的磁感应强度、磁导率2和磁介质中的磁场，定义不再等于原来真空中的磁场由于磁介质产生了附加磁场的比值为相对磁导率：介质中的磁导率：式中为真空中的磁导率3、三种磁介质方向相同，且。
与（1 ）顺磁质：顺磁质产生的略大于 1方向相反，且。
）抗磁质：抗磁质产生的与（2略小于 1方向相同，且。
（3与）铁磁质：铁磁质产生的远大于 1二、磁化强度定义为单位体积中分子磁矩的矢量和即：、磁化强度1．与分子面电流密度2的关系：、磁化强度式中为磁介质外法线方向上的单位矢量。
的环流 3 、磁化强度即磁化强度对闭合回路的线积分等于通过回路所包围面积内的总分子电流三、磁介质中的安培环路定律1、安培环流定律在有磁介质条件下的应用即：、磁场强度定义为：23、磁介质中的安培环路定律：4、应用磁介质中的安培环路定律的注意点：）的环流只与传导电流有关，与介质（或分子电流）无关。
（1）既有传导电流也与分子电流有关。
2既描写了传导电流磁场的性质也描写了）的本身（（介质对磁场的影响。
时，传导电流和磁介质的分布都必须具有特殊的对称性。
）要应用磁介质中的安培环路定律来计算磁场强度3（．5、磁介质中的几个参量间的关系：（1 ）磁化率与的关系）（2与等之间的关系（3 ）四、磁场的边界条件（界面上无传导电流）1、磁介质分界面两边磁感应强度的法向分量连续，即：2、磁介质分界面两边的磁场强度的切向分量连续，即：3、磁感应线的折射定律（意义如图15-1所示）五、铁磁物质1、磁畴：电子自旋磁矩取向相同的小区域。
15-2曲线）中2、磁化曲线（图 15-2曲线）中3、磁导率曲线（图）、磁滞回线（图15-34为饱和磁感应强度图中为剩磁，为矫顽力。
5、铁磁质与非铁磁质的主要区别：的比原来真空中的磁场铁磁物质产生的附加磁场大得多。
由于磁畴的存在，引起磁滞现象；因此严格的说与的方向也是不一定相同。
而且如要上式成立则式中，及相联系的公式不再成立，或是一个变量，是一个多值函数和点函数，如果作为常量的话，只是某种特定条件下（如静态时）的近似的处理。
在铁磁质中，以下公式仍然是正确的，如：；；；等；六、电介质与磁介质的比较表微观模型分子电矩分子磁矩描述状态电极化强度磁极化强度的物理量界面上出现磁化表面电流宏界面上出现极化电荷面密度观（束缚电荷）（束缚电流）密度效果介质对场极化电荷的场强为磁化分子面电流产生的磁场为的影响合场强合磁感强度辅助电位移矢量磁场强度物理量基本场方程极化和磁化规律参量式中：式中：间基本关系边值关系第15章磁介质【例15-1】一根无限长直圆柱形铜导线，外包一层相对磁导率为的圆筒形磁介质，导线半径为，磁介质的外半径为，导线内均匀流过电流I。
如图15-1a所示。
求：（1）磁介质内、外的磁场强度、磁感应强度的分布，并画出为磁场中某点离开圆柱轴线的r曲线（和距离）。
）磁介质内、外表面的磁化电流。
2（1）由安培环流定律【解】（的范围，即在铜导线内在得：在铜导线内，因此，在的范围内在范围内，即在介质内； , 得在范围内即在介质外得；由此可画出曲线，如图和15-1b所示。
M （2）我们先求磁化强度在介质内表面的磁化强度在介质内表面的磁化电流密度在介质内表面的磁化总面电流和内表面的外法线方向如图15-1c（即的方向）磁化强度的方向所示。
可判别出介质内表面的方向，即沿着传导电流，这样可以看出磁的总和为I，因此我们容易理解到化电流和传导电流介质内的磁感应强度比真空情况下增大了倍的道理了。
以同样的方法可以计算出介界外表面的磁化电流密度，它的大小，它的方向与传导电流方向相反（如图15-1c 所示）。
这样我们容易理解在即真空部分，由于介界内、外两表面磁化电流大小相同，方向相反，因此它们在对介质外的磁场就没有影响仍满足。
和的均匀磁介质，，在左、右两侧充满相对磁导率分别为【例15-2】一无限长细导线，通有电流I和。
所示。
试求两种磁介质中、如图15-2【解】由磁场边界条件，两介质界面处法向连续，在离导线电流距离相同的界面处的圆周上，两介质内的磁感应强度根据介质中的安培环流定理，在离电流I的圆周上有即：，在均匀介质内有代入上式得解出相应得磁场强度；磁化强度】一根沿轴向均匀磁化的细长永磁棒，磁化强度为和，求图中各点的【例15-3。
】由可知解【M表示磁棒单位长度上的磁化电流，长直永磁棒相当于一个长直螺线管。
可以直接写出图示各点的磁感应强度：，又可根据磁场强度定义式（2）求出相应各点的磁场强度。
，同样可得。
而永磁体内不存在传导电流，却存在，此例结果很难理解。
因为通电螺线管内由传导电流激发磁场，则是什么含义呢？这是因为历史原因，当人们认识到电流激发磁场以前，认为永磁体是磁荷激发的磁场。
请看下例。
，试计算图中的细长永磁棒，磁化强度为15-4】一根沿轴向均匀磁化的横截面积为S对闭合路【例的通量为多少？，以及径L 对闭合曲面的线积分S】本题中由于没有传导电流，所以【解（1）而闭合曲面S通量的（2）本例计算到此应该结束了，但为了对永磁体问题中的物理意义有个了解，对历史上的磁荷观点作一简单的介绍：）式表明磁场强度是个保守场，是个有源场，与静电场相仿。
2 ）（在永磁体问题中，由（1在静电场中有及）3（）式改写成与静电场中的相似形式2若将（．）式的积分值并不改变，可缩小到仅包围磁棒的端面，（22）式的闭合曲面S与静电场类比，若称为磁荷，将（认为磁荷均匀分布在端面上。
现将（2）式与（3）式比较，可得磁荷面密度：处的磁场7相比较，可知，在例15-3由此将它与面电荷为中磁棒端面附近的无限大平面的电场强度强度：方向相同的取正，相反的取负。
有题意指出磁棒细而长，它意味着磁6处的磁场强度大小相同，方向与而4、5、点处的磁场强度与端面附近的磁场强度比要小得多，可以认为为零。
这样等效磁荷观点的解就方便、67棒中心处5、的分布曲线。
（与求得的解得到了统一。
并能由此可方便地画出永磁棒磁场强度地通过定义式等量异号电荷产生的电力线相同，这里从略了）。
的圆柱形空hr】沿长度方向均匀磁化的，磁化强度为的细长条形磁铁内，有一半径为【例15-5高度为）2）细长空穴，试计算空腔中点处的磁场强度和磁感应强度。
（1腔，其轴平行于磁化强度；（扁平空穴。
）方法一，用磁化电流分析：因为磁化电流，它的分布如图15-5a所示，由此这细长空腔表】（【解1面磁化电流在空腔中产生的磁感应强度，正好与由例15-3知，条形磁铁在磁铁内中部区域产生的的大小相同，方向相反。
可知腔内的，由此知：。
，由于磁场强度的切向已知，条形磁铁中部区域的磁场强度方法二，由磁介质边界条件分析，由例15-3，可知，。
分量连续，由图b方法三，由磁荷观点来看。
细长磁铁与空腔端面荷密，对空腔中部的影响都很小，因此都为零。
和）由读者自行判别。
三种方法都可判别得。
（2，磁介质章第15变至，在其界面处由两块不同的磁介质，磁化强度分别为和，如图所示。
设两15.3的立方体。
块介质皆为边长为a（1）在图上画出磁化面电流的分布；（2）计算各磁化面电流的量值；（3）计算磁化面电流的和磁矩。
和的两种均匀介无限大平面导体中通有均匀面电流，其左右两侧充满相对磁导率分别为15.7质。
已知两侧磁介质中磁感应强度的量值均为，方向垂直纸面。
试求：）两介质表面上的磁化电流密度；（1）导体平面上的传导电流面密度。
2 （15.8 螺绕环内通有电流20A，环上所绕线圈共400匝，环的平均周长为40cm，利用冲击电流计测得环内计算：1.0T磁感应强度为（1）磁场强度；（2）磁化强度；（3）磁化率；（4）磁化面电流和相对磁导率。
的磁感应强度值、215.10 1一永磁环的磁化强度为，磁环上开有一很窄的细缝。
试求图中标出点和磁场强度值。
磁化强度为，方向沿z图示为一均匀磁化的圆盘形薄磁片，半径高度轴正向。
15.11）画出薄圆盘上磁化电流的分布；（1和（2、32、3点处的点靠近圆盘）；、（2）计算圆盘轴线上1）若沿y轴方向，重复（1）、（2）的讨论和计算。
（315.13 图a为铁氧气材料的矩形B-H磁滞曲线，图b为此材料制成的计算机存贮元件的环形磁芯。
磁芯的，矫顽力为。
设磁芯原磁化方向如图0.8mmb所示，欲使磁芯的磁和内、外半径分别为0.5mm 化方向翻转，试问：）轴向电流如何加？至少加至多大时，磁芯中磁化方向开始翻转？1（．2）若加脉冲电流，则脉冲峰值至少多大时，磁芯中从内而外的磁化方向全部翻转？（P如图所示，上方为真空，下方充满各向同性均匀介质，相对磁导率为15.14 。
已知介质中靠近界面，方向与界面法线成点的磁感应强度为角，试求： P点附近介质表面磁化电流面密度；（1）点的磁感应强度。
2）真空中靠近界面Q（第15章磁介质（3 ），答案（15.3 2），（2），向上。
15.7（）1，，向上3），，（），（15.81）（2，，， 15.10 ，，，15.11（2，），），0，0，0，（30，0）2 ） 0.8A 15.15（1（215.13（1）0.5A （）。
设两介质的均大于15-21，判别两介质面上的磁化电流面密度与传导电流面密度提示15.7 参阅例，及介质中的安培环流定理，可得解。
方向相同，再由关系，）15.15（1，可解。
2 （）利用磁场的边值关系，）（，（教材习题：15.11 ），2，）（（15.21）， 2 本题缺少铁环横截面积的条件。
15.3。