初三中考数学全等三角形

全等三角形

一、选择题

1. (•年山东东营,第4题3分)下列命题中是真命题的是（）

A．如果a2=b2，那么a=b

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．旋转前后的两个图形，对应点所连线段相等

D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

考点：命题与定理．

分析：利用菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质对每个选项进行判断后即可得到正确的选项．

解答：解：A、错误，如3与﹣3；

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；

C、旋转前后的两个图形，对应点所连线段不一定相等，故错误，是假命题；

D、正确，是真命题，

故选D．

点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质．

2．（•四川遂宁，第9题，4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）

A．3B．4C．6D．5

考点：角平分线的性质．

分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．

解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，

∴DE=DF，

由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

∴×4×2+×AC×2=7，

解得AC=3．

故选A．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．3．（•四川南充，第5题，3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）

A．（﹣，1）B．（﹣1，）C．（，1）D．（﹣，﹣1）

分析：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出

∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．

解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，

∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，

又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，

在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），

∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选A．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．

二、填空题

1．（•福建福州,第15题4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，

AC的中点，延长BC到点F，使

1

CF BC

2

..若AB=10，则EF的长是．

2．（•广州,第15题3分）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”

写出它的逆命题：_________，该逆命题是_____命题（填“真”或“假”）．

【考点】命题的考察以及全等三角形的判定

【分析】本题主要考察命题与逆命题的转换，以及命题真假性的判断

【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．假命题．

三、解答题

1．（•湖南怀化，第19题，10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=∠AFE，EA是∠BEF 的角平分线．求证：

（1）△ABE≌△AFE；

（2）∠FAD=∠CDE．

考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．

专题：证明题．

分析：（1）根据角平分线的性质可得∠1=∠2，再加上条件∠B=∠AFE，公共边AE，可利用AAS证明△ABE≌△AFE；

（2）首先证明AF=CD，再证明∠B=∠AFE，∠AFD=∠C可证明△AFD≌△DCE进而得到∠FAD=∠CDE．

解答：证明：（1）∵EA是∠BEF的角平分线，

∴∠1=∠2，

在△ABE和△AFE中，

，

∴△ABE≌△AFE（AAS）；

（2）∵△ABE≌△AFE，

∴AB=AF，

∵四边形ABCD平行四边形，

∴AB=CD，AD∥CB，AB∥CD，

∴AF=CD，∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，

∵∠B=∠AFE，∠AFE+∠AFD=180°，

∴∠AFD=∠C，

在△AFD和△DCE中，

，

∴△AFD≌△DCE（AAS），

∴∠FAD=∠CDE．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确证明△AFD≌△DCE．

2.（•湖南张家界，第24题，10分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．（1）证明：△CBF≌△CDF；

（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；

（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．

考点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．

分析：（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可证明△CBF≌△CDF．

（2）由△ABC≌△ADC可知，△ABC与△ADC是轴对称图形，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，因为OC=OA，所以AC与BD互相垂直平分，即可证得四边形ABCD 是菱形，然后根据勾股定理全等AB长，进而求得四边形的面积．

（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD．

解答：（1）证明：在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BCA=∠DCA，

在△CBF和CADF中，

，

∴△CBF≌△CDF（SAS），

（2）解：∵△ABC≌△ADC，

∴△ABC和△ADC是轴对称图形，

∴OB=OD，BD⊥AC，

∵OA=OC，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，

∵AC=2，BD=2，

∴OA=，OB=1，

∴AB===2，

∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8．

（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，

理由：∵四边形ABCD为菱形，

∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，

∵△BCF≌△DCF，

∴∠CBF=∠CDF，

∵BE⊥CD，

∴∠BEC=∠DEF=90°，

∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，

∴∠EFD=∠BCD．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．