新版北师大八年级下数学第五章分式与分式方程知识点总结
北师大版八年级数学下册5.1《认识分式》知识点精讲
知识点总结教学设计一、教材分析本节课是北师大版八年级下册第五章《分式与分式方程》的内容，共两课时。
本设计是第一课时。
本节课是分式的起始课，是学生学习了整式、因式分解基础上进行的的，是下一步学习分式的性质、分式的运算以及分式方程的前提，所以分式的概念及分式在什么条件下有意义是本节课的重点和难点。
因为分式与分数类似，所以为了突破重点和难点，采用了类比的学习方法，让学生学会自主探索，合作交流，老师的讲和学生的学相结合。
分式是表示现实世界中一类量的数学模型，为了让学生体会这一点，在课题引入时从实际生活情景出发，让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程。
二、学情分析学生的知识技能基础：学生在小学学过分数，其实分式是分数的“代数化”，所以其性质与运算是完全类似的．在前面的学习中学生已经学会用字母表示实际问题中的数量关系，其中包括整式与分式等数量关系．学生的活动经验基础：在整式的学习中，学生初步具备了用整式表示现实情境中的数量关系，建立数学模型的思想．在相关的学习中学生初步具备了观察、归纳、类比、猜想的能力以及自主探索、合作交流的能力．三、教学任务本节共分2个课时，这是第1课时，主要内容是了解分式的定义以及分式有意义、无意义、值为零的条件。
本节课的具体教学目标为：知识与技能：1、能用分式表示具体情境中的数量关系，体会分式是刻画现实世界中一类量的数学模型，进一步发展符号意识。
2、了解分式的概念，明确分式和整式的区别；3、会求分式的值，理解分式有意义、无意义及值为零的条件。
过程与方法：本节课通过“观察——类比——合作交流——概括、归纳——辩证”的途径，培养学生观察、分析及理解问题的能力，发展学生的数学抽象、数学建模思维，获得正确的学习方式。
情感态度价值观：感受数学知识源于生活，又服务于生活，体会数学学科的一些核心素养，如数学抽象、数学建模对研究问题时的引领作用，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型。
教学重点：了解分式的概念，明确分式和整式的区别。
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程
八下第 五 章 分式与分式方程专题复习【本章知识框架】一、 认识分式1、定义：A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则把B A 称为分式。
例如：a b 2，-x x -+41x xy2、性质：分子和分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，数学语言：a b =m a m b⋅⋅（m )0≠,a b =m a m b ÷÷（m )0≠※ 约分：（1）定义：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为约分。
（2）约分的关键：提取公因式（当分子分母为多项式时先分解因式）3、运算：（1）乘除法：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘（2）加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算（通分，找最小公倍数，当分母为多项式时先分解因式）运算结果形式化成最简分数，分子一定要展开，分母不作要求4、经典题型解法：a 、有无意义：分式有意义的条件：分母不为0分式无意义的条件：分母为0分式值为0的条件：分子为0B 、平方法、换元法、整体代入法、倒数法二、分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程2、解法：a 、转化法：将分式方程转化为整式方程。
检验：将所得的根代入最简分母，分母为0，则为增根B 、换元法：主要使方程形式简化3、题型解法：方程有增根： 增根必满足（1）满足化解后的整式方程（2）使分母为零方程无解： 无解必满足 （1）整式方程无解（2）有界但为增根4、实际问题：尽量少设元【本章经典错题再现（10~15道）】选择题1、 若分式112--X X 的值为0，则x 的值为( )A, -1 B, 0 C, 1 D, 1±2、下列分式最简分式是（ ）A 、1212+-X X B 、121-+X X C 、-XY X Y XY X -+-2222 D 、122362+-X X 3、已知311=-Y X ,则代数YXY X Y XY X ---+232的值为（ ） A 、-27 B 、-211 C 、29 D 、43 4、在正数范围内定义一种运算 ＊，其规则为a ＊b=ba 11+,根据这个规则X ＊(X+1)=23的解为（ ） A 、 X=32 B 、X=1 C 、X=-32或1 D 、X=32或-1 填空题1、 当X 为_______，分式622||-+-x x x 的值为零 2、 若分式aa ++13的值为正，则a 的取值范围______________ 3、 不论X 取何值，分式M X X +-221总有意义，则M 的取值范围 解答题1、解方程（1）22-x x =1-x -21 （2）3-x x -621-x =21（3） 42-x x +22+x =x x x 2222-- （4）x x 22+-22-+x x =xx x 2222--4、 计算题：（1） （-3)2b a ÷（2322）b a3、分式化简求值（1）122-x -X ÷12222+++X X X +11-X ,其中X=2(2) (ba b a ba bab a +---++22222)÷b a b a -+,其中a=-2,b=3(3) 若分式2521-n ，51+n 的最简公分母为11.求n 的值 4、应用题（1）某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用60元钱买这种水果，可以比打折前多买3斤，求该种水果打折前的单价是多少？（2）某市为绿化环境计划植树2400棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多20%，结果提前8天完成任务，则原计划每天植树多少【本章巩固练习（10~15道）】选择题1、当x 为任意实数时，下列分式一定有意义（ ）2、A, 21XX + B, 121+-X X C, 121+-X X D, 1||1-+X X 2、若解分式方程X X m X X ++-+2112=X X 1+产生增根，则m 的值是（ ） A 、 -1或者-2 B 、 -1或者2 C 、 1或者2 D 、 1或者-23、若Y a YX 2-X 2a 22-÷aYaX Y X ++2)(的值为5，则a 的值是（A 、 5B 、 -5C 、51D 、-51 4、已知X+Y=43.X-Y=3,则（Y X XY Y X -+-4）(Y X XY Y X +-+4)的值是（ ） A 、 48 B 、23 C 、16 D 、12填空题1、 当m 为___________时，关于x 的方程234222+=-+-X X mX X 无解 2、 当K 为 时，分式方程XX X K X X 5)1(216-++=-有增根。
北师大版数学八年级下册 第五章分式与分式方程总复习课件
知识回顾
6.分式方程的概念
分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． 7. 解分式方程的基本思想方法
分式方程转化为整式方程.
8. 解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验.
知识回顾
9. 列分式方程解应用题的步骤和注意事项 列分式方程解应用题的一般步骤 审题：弄清已知量与所求量之间的关系 否则称间接设未知数，用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来； 列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；
a a
a c ad bc b a b = . = ， b d bd c c c ac a c a d ad = ， = = . b d b c bc d bd
a n an ）= n b b
（n为正整数）
5约分，通分 根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中公因式约分，叫做约分． 根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的 分式，叫做通分．
随堂检测
a－b a2－b2 4. 计算：1－ ÷2 2. a＋2b a ＋4ab＋4b a－b （a＋2b）2 解：原式＝1－ · a＋2b （a＋b）（a－b） a＋2b ＝1－ a＋b a＋b－（a＋2b） ＝ a＋b b ＝－ . a＋b
随堂检测
2x2＋2x x2－x x 5.先化简： ( x2－1 －x2－2x＋1)÷x＋1
然后解答下列问题：
(1)当x＝3时，求代数式的值；
(2)原代数式的值能等于－1吗？为什么？
2x（x＋1） x（x－1） x＋1 解：原式＝[ － 2 ]· （x＋1）（x－1） （x－1） x 2x x x＋1 ＝( － )· x－1 x－1 x x x＋1 ＝ · x－1 x x＋1 ＝ x－1
北师版八年级下册数学第5章 分式与分式方程 解分式方程
感悟新知
1.
解方程：(1)
3＝ x－1
4 x
；
(2)
2
x x－3
＋
5 3－2
x
＝4.
知1－练
解：(1)
3＝ x－1
4 x
.
方程两边都乘x(x－1)，得3x＝4(x－1)．
解这个方程，得x＝4.
检验：将x＝4代入原方程，得左边＝1＝右边．
所以，x＝4是原方程的根．
感悟新知
(2)
x 2x－3
＋
3－52 x ＝4.
感悟新知
知识点 3 分式方程的增根
议一议
在解方程时1，x小亮的1 解法2 如下: x2 2x
方程两边都乘x－2,得 1－x＝－1－2(x－2). 解这个方程，得x＝2.
你认为x＝2是原方程的根吗？与同伴交流.
知2－讲
感悟新知
归纳
知3－讲
在这里，x＝2不是原方程的根，因为它使得原 分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根.
知1－练
感悟新知
例2 解分式方程：
(1) x (2) x2 4
2 x2
1； x2
x1 x1
3 x2 x
. 2
导引：解分式方程的步骤： ①去分母，化分式方程为整式方程； ②解整式方程； ③检验，并写出原分式方程的根．
知1－练
感悟新知
(1) x
2
1；
x2 4 x 2 x 2
解：
x
2 1,
x 2x 2 x 2 x 2
第5章分式与分式方程
5.4分式方程
第2课时解分式方程
学习目标
1 课时讲解
解分式方程 分式方程的根（解） 分式方程的增根
北师大版八年级下册第五章分式与分式方程
一、二、三、四、 认识分一般地，用有字母，那分式的基本分式的值不把一个分式分子和分母分式的两个分式相母；b d a c ⋅两个分乘．b a ÷分式的同分母的分异分母的分加减法法则异分母的分 分式方
分母中含有使得原分式分式
用A 、B 表那么称A B
本性质：分不变．（b a 式的分子和母没有公因的乘除法相乘，把分bd ac
=式相除，d b c b c a d a
=⋅=的加减法
分式相加减分式相加减则进行计算分式化为同方程有未知数的式方程的分北师大第五章表示两个整为分式．式的分子与b m a m ⋅=⋅，b a 和分母的公因因式的分式称分子相乘的积把除式bc ad 减，分母不变减，先通分，算．b d a c ±同分母的分式的方程叫做分分母为零的整大版八年分式与分式，A B ÷与分母都乘b m a m
÷=÷(因式约去，称为最简分积作为积的的分子和变，把分子，化为同分bc ad ac ac =±=式的过程称分式方程．
整式方程的级下册
分式方程可以表示成（或除以）同)0m ≠） 这种变形称分式．
的分子，把分分母颠倒子相加减．分母的分式，bc ad ac
±称为分式的通的根称为原方 成
A B 的形式同一个不等称为分式的分母相乘的位置后再b c b a a
±=，然后再按通分．（最简方程的增根式．如果B 中等于零的整式的约分．的积作为积的与被除c a ±按同分母分式简公分母）
根．中含式，
的分
式相
式的。
北师大版八年级下册第五章：分式与分式方程专题一【认识分式】知识点+经典例题+变式训练(无答案)
第五章 分式与分式方程专题一：认识分式知识点一：概念例1：在下列式子中哪些是整式，哪些是分式？x 3-，y x ，π3y x +，y x 232，x 81-，y +53，5y x -，a a 1-，5-，xx 2，）（1232+x ，x y 1+，ba ab •。
挑战自我，勇攀高分1.下列代数式：3a ，x x 12+，）b a y -(1，πx ，2y x +中分式有（ ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个知识点二：分式有意义和无意义的条件例1：当x 取什么值时，分式235+-x x 有意义？例2：分式)3)(2(1---x x x 有意义，则x 应满足条件是（ ） A 、x ≠1 B 、x ≠2 C 、x ≠2且x ≠3 D 、x ≠2或x ≠3.例3：若分式2312++-x x x 的值等于零，则=x _________。
例4：对于分式13-+x a x ，当x=-a 时，下列结论正确的是（ ） A 、分式无意义 B 、分式的值为0C 、当a ≠-31时，分式的值为0 D 、当a ≠31时，分式的值为0.挑战自我，勇攀高分1.若分式12-x 有意义，则x 的取值范围是（ )A 1≠xB 1>xC 1=xD 1<x2.若分式1122+-a a 有意义，则（ ） Ａ、ａ≠１ Ｂ、ａ≠－１ Ｃ、ａ≠±１ Ｄ、ａ为任何数3.若分式1-x x 无意义,则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1±4.分式112+-x x 的值为0.则（ ） A 1-=x B 1=x C 1±=x D 0=x5.对于分式xb a b a x 32+-++，已知当1=x 时，分式的值为0；当2-=x ，分式无意义，试求a ，b 的值。
知识点三：分式的基本性质例1：填空（1）22322+=+x x x x ；（2）2)(y x y x y x +=+-；（3）b a ab ab a -=-2知识点四：约分与最简分式例1：化简下列各式：（1）xyy x 2；（2）2205b ab ；（3）12122+--x x x 。
最新新版北师大八年级下数学第五章分式与分式方程知识点总结
第五章：分式与分式方程5.1认识分式一般地，用,A B 表示两个整式，A B ÷可以表示成A B 的形式，如果B 中含有字母，那么称A B为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都不能为零.例1， 下列各式中哪些是整式？哪些是分式？211(1);;(3);(4);2242b a b x xy x y a x ++-+- (2) 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值保持不变. 这一性质可以用式子表示为：,(0)b b m b b m m a a m a a m⋅÷==≠⋅÷. 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.例2， 化简下列分式 2225(1);;20xy a ab x y b ab++ (2) 在化简的结果中，如果分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果成为最简分式或是整式.5.2分式的乘除法两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后在与被除式相乘. 这一法则可以用式子表示为：;b d bd b d b c bc a c ac a c a d ad⋅=÷=⋅= . 例3， 计算2222244(1);(4);2x xy xy x xy y x y x y x y x y+-+÷÷---+ (2) 5.3分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.这一法则可以用式子表示为：b c b c a a a±±=. 例4，计算222(1);(2);(3);22a b x y m n n n a b b a x y y x n m n m n m ++++-------- 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分，为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（最简公分母）作为它们的共同分母.异分母分式的加减法法则是：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.这一法则可以用式子表示为：;b d bc ad bc ad a c ac ac ac±±=±= 例5，计算22111(1);(2);(3);423332a b a a a x x a b --+---+ 5.4分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程.因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就好了，如果使原方程中分式的分母的值等于零，则舍去此根.例7， 解方程 653121(1);(2)1;(3)2;1(1)4433x x y x x x x x y y+--=+==-++---- 。
北师大版八年级下册数学 第五章 分式与分式方程(知识点)
第五章分式与分式方程知识点1：分式的概念1、分式的定义：一般地，用A,B表示两个正式，A÷B可以表示成AB的形式。
如果B中含有字母，那么称AB为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。
分式需要满足的三个条件：（1）是形如AB的式子；（2）A,B都整式；（3）分母B中必须含有字母。
分式有意义的条件：分母不能为0.分式无意义的条件：分母等于0.分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0.知识点2：分式的性质2、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
字母表示：AB =A·CB·C，AB=A÷CB÷C(C≠0，其中A,B,C均是整式)运用条件：（1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算；（2）“乘（或除以）”的对象必须是同一个不等于0的整式。
3、分式的符号法则法则内容：分式的分子、分母与分式本身的符号同时改变其中两个，分式的值不变。
字母表示：AB =−A−B=−−AB=−A−B知识点3：分式的约分与通分4、分式的约分约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，即A·CB·C =AB（C为整式且C≠0）.约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子、分母的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个多项式，那么先分解因式，再约去分子、分母的公因式。
最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
5、分式的通分通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
用字母表示：将AB 和CD通分，AB=A·DB·D，CD=B·CB·D（分母都为B·D）。
通分的步骤：（1）将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解；（2）确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高次幂的积；（3）将分子、分母同乘一个因式，使分母变为最简公分母。
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第五章：分式与分式方程
５.1认识分式
一般地,用,A B 表示两个整式,A B ÷可以表示成
A B 的形式，如果B 中含有字母,那么称A B
为分式，其中A 称为分式的分子,B 称为分式的分母,对于任意一个分式,分母都不能为零．
例1， 下列各式中哪些是整式？哪些是分式？
211(1);;(3);(4);2242
b a b x xy x y a x ++-+- (2) 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以)同一个不等于零的整式,分式的值保持不变.
这一性质可以用式子表示为:,(0)b b m b b m m a a m a a m
⋅÷==≠⋅÷． 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.
例２, 化简下列分式 2225(1);;20xy a ab x y b ab
++ (2) 在化简的结果中，如果分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式,化简分式时,通常要使结果成为最简分式或是整式.
5.2分式的乘除法
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后在与被除式相乘.
这一法则可以用式子表示为:;b d bd b d b c bc a c ac a c a d ad
⋅=÷=⋅= . 例3, 计算
222
2244(1);(4);2x xy xy x xy y x y x y x y x y
+-+÷÷---+ (2) ５.３分式的加减法
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
这一法则可以用式子表示为:b c b c a a a
±±=. 例4，计算
222(1);(2);(3);22a b x y m n n n a b b a x y y x n m n m n m
++++-------- 根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分,为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（最简公分母)作为它们的共同分母.
异分母分式的加减法法则是:
异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 这一法则可以用式子表示为：;b d bc ad bc ad a c ac ac ac
±±=±= 例5，计算
22111(1);(2);(3);423332a b a a a x x a b
--+---+
5.４分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的分母的值等于零就好了,如果使原方程中分式的分母的值等于零，则舍去此根．
例7， 解方程
653121(1);(2)1;(3)2;1(1)4433x x y x x x x x y y
+--=+==-++---- 。