平面向量强化训练经典题型含详细答案

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一．选择题（共30小题）

1．（2011•重庆）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2011•辽宁）若为单位向量，且=0，，则的最大值
为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．2

3．（2011•湖北）若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于（ ）
A．﹣ B． C． D．
4．（2011•湖北）已知向量∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范
围为（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣2，3] C．[﹣3，2] D．[﹣3，3]

5．（2011•广东）已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）．若λ为实数，（（a+λb）∥c），则λ=（ ）
A． B． C．1 D．2

6．（2011•番禺区）如图，已知=，=，=3，用，表示，则等于（ ）

A．+ B．+ C．+ D．+
7．（2011•番禺区）已知A（3，﹣6）、B（﹣5，2）、C（6，﹣9），则A分的比λ等于（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣

8．（2010•重庆）已知向量a，b满足a•b=0，|a|=1，|b|=2，，则|2a﹣b|=（ ）
A．0 B． C．4 D．8

9．（2010•天津）如图，在△ABC中，AD⊥AB，BCsinB=，，则=（ ）

A． B． C． D．
10．（2010•广东）若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）满足条件（8﹣）•=30，则x=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．（2010•福建）若向量=（x，3）（x∈R），则“x=4”是“|a|=5”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

12．（2010•湖南）若非零向量a，b满足|a|=|b|，（2a+b）•b=0，则a与b的夹角为（ ）
A．30° B．60 C．120° D．150°

13．（2010•湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则等于（ ）
A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16
14．（2010•安徽）（安徽卷理3文3）设向量，，则下列结论中正确的是（ ）

A． B． C．与垂直 D．
15．（2009•浙江）已知向量=（1，2），=（2，﹣3）．若向量满足（+）∥，⊥（+），则=（ ）
A．（，） B．（﹣，﹣） C．（，） D．（﹣，﹣）

16．（2009•四川）已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y=x，点
在双曲线上、则•=（ ）
A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．4
17．（2009•陕西）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学，则等
于（ ）
A． B． C． D．

18．（2009•山东）设p是△ABC所在平面内的一点，，则（ ）
A． B． C． D．

19．（2008•山东）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m=（，﹣1），n=（cosA，sinA）．若
m⊥n，且αcosB+bcosA=csinC，则角A，B的大小分别为（ ）

A．， B．， C．， D．，

20．（2008•辽宁）已知四边形ABCD的三个顶点A（0，2），B（﹣1，﹣2），C（3，1），且，则顶点D的
坐标为（ ）
A． B． C．（3，2） D．（1，3）

21．（2008•湖南）在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则=（ ）
A． B． C． D．
22．（2008•海南）已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），与垂直，则λ是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
23．（2008•广东）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则=（ ）
A．（﹣5，﹣10） B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4）
24．（2007•辽宁）若向量a与b不共线，a•b≠0，且，则向量a与c的夹角为（ ）

A．0 B． C． D．
25．（2007•湖北）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，
则的概率是（ ）
A． B． C． D．
26．（2007•北京）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（ ）
A． B． C． D．
27．（2006•陕西）已知非零向量与满足（+）•=0，且•=﹣，则△ABC为（ ）
A．等腰非等边三角形 B．等边三角形 C．三边均不相等的三角形 D．直角三角形
28．（2006•辽宁）△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量，，
若，则角C的大小为（ ）
A． B． C． D．
29．（2006•湖南）已知，且关于x的方程有实根，则与的夹角的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．

30．（2006•广东）如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量=（ ）

A． B． C． D．
答案与评分标准
一．选择题（共30小题）

1．（2011•重庆）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：平面向量数量积的运算。
专题：计算题。
分析：利用向量的运算法则求出两个向量的和；利用向量共线的充要条件列出方程求出k；利用向量的数量积公式
求出值．

解答：解：∵=（3，k+2）
∵共线
∴k+2=3k
解得k=1

∴=（1，1）

∴=1×2+1×2=4
故选D
点评：本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查向量的数量积公式．

2．（2011•辽宁）若为单位向量，且=0，，则的最大值
为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．2
考点：平面向量数量积的运算；向量的模。
专题：计算题；整体思想。

分析：根据及为单位向量，可以得到，要求

的最大值，只需求的最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求得．
解答：解：∵，
即﹣+≤0，
又∵为单位向量，且=0，
∴，

而=
=3﹣2≤3﹣2=1．
∴的最大值为1．
故选B．
点评：此题是个中档题．考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，特别注意有关模的问题一般采取平方进行解
决，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力．

3．（2011•湖北）若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于（ ）
A．﹣ B． C． D．
考点：数量积表示两个向量的夹角。
分析：由已知中向量=（1，2），=（1，﹣1），我们可以计算出2+与的坐标，代入向量夹角公式即可
得到答案．
解答：解：∵=（1，2），=（1，﹣1），
∴2+=（3，3）
=（0，3）
则（2+）•（）=9
|2|=，||=3
∴cosθ==
∴θ=
故选C
点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，其中利用公式，是利用向量求夹角的最
常用的方法，一定要熟练掌握．

4．（2011•湖北）已知向量∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范
围为（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣2，3] C．[﹣3，2] D．[﹣3，3]
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；简单线性规划的应用。
专题：数形结合。

分析：根据平面向量的垂直的坐标运算法则，我们易根据已知中的=（x+z，3），=（2，y﹣z），⊥，构造出
一个关于x，y，z的方程，即关于Z的目标函数，画了约束条件|x|+|y|≤1对应的平面区域，并求出各个角点的坐标，
代入即可求出目标函数的最值，进而给出z的取值范围．

解答：解：∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），

又∵⊥
∴（x+z）×2+3×（y﹣z）=2x+3y﹣z=0，
即z=2x+3y
∵满足不等式|x|+|y|≤1的平面区域如下图所示：

由图可知当x=0，y=1时，z取最大值3，
当x=0，y=﹣1时，z取最小值﹣3，
故z的取值范围为[﹣3，3]
故选D

点评：本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，简单线性规划的应用，其中利用平面向量的垂直
的坐标运算法则，求出目标函数的解析式是解答本题的关键．

5．（2011•广东）已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）．若λ为实数，（（a+λb）∥c），则λ=（ ）
A． B． C．1 D．2
考点：平面向量共线（平行）的坐标表示。
专题：计算题。

分析：根据所给的两个向量的坐标，写出要用的+λ向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标
表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可．
解答：解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．
∴=（1+λ，2）
∵（+λ）∥，
∴4（1+λ）﹣6=0，
∴

故选B．
点评：本题考查两个向量平行的坐标表示，考查两个向量坐标形式的加减数乘运算，考查方程思想的应用，是一个
基础题．

6．（2011•番禺区）如图，已知=，=，=3，用，表示，则等于（ ）

A．+ B．+ C．+ D．+
考点：向量加减混合运算及其几何意义。
专题：计算题。