最新湘教版数学九年级上册第2章 小结与复习PPT课件
一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解
适用的方程类型 (x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
三、一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤：
【易错提示】求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方 程，所以1不符合，应引起注意.
针对训练
2. 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值 为 -1 .
考点三 一元二次方程的解法
例3 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（ A ）
A. (x-1)2=6
B.(x+2)2=9
解得 x1=25, x2=35. 由题意x≤28, ∴x=25,即售价应当为25元.
【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根.
平均变化率问题
例7 菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格 对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬 菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次 下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每 次下调的百分率是多少？
C. (x+1)2=6
D.(x-2)2=9
(2) (易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程
x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（A ） A．13 B． 15 C．18 D．13或18
【解易析错(1提)配示方】法(1的)配关方键法是的配前上提一是次二项次系项数系一数半是的1平；方（；a-b)2与 （（a2+）b先)2 要求准出确方区程分x2﹣；1（3x2+）36求=0三的角两形根的，周再长根，据不三能角盲形目的地三将边三关边 长系相定加理起，来得，到而符应合养题成意检的验边三，边进长而能求否得成三三角角形形周的长好．习惯
针对训练
3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ A ）
A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤）.
公式法：a 1，b -4，c -1.
考点讲练
考点一 一元二次方程的定义
例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程， 则m的取值范围是（ A ） A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二 次项（二次项系数不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
配方法：移项，得x2 4x 1. 配方,得x2 4x 22 1 22.
x 22 5
由此可得x 2= 5，
x1 2 5, x2 2 5.
考点四 一元二次方程的根的判别式的应用
例4 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等
的实数根，则m的取值范围是（ A ）
解：设小道进出口的宽为xcm （30-2x)(20-x)=532
x2-35x+34=0 x1=1 x2=34（舍去） 答：小道进出口的宽度应为1米.
方法总结 解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要
会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之 间的关系，再列方程求解.
平移转化
5.下列所给方程中，没有实数根的是（ D ）
A. x2+x=0
B. 5x2-4x-1=0
C.3x2-4x+1=0
D. 4x2-5x+2=0
6.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个
不相等的实数根，则m的值可能是 0 （写出一个即
可）．
考点五 一元二次方程的根与系数的关系 例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n， 则m2－mn＋n2＝ 25 ．
3.项数和系数： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
一次项： ax2 一次项系数：a 二次项： bx 二次项系数：b 常数项：c
4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程．
二、解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型
审
设
列
解
检
答
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法． （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重 要，决定着能否顺利解决实际问题． （4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
根的判别式： Δ=b2-4ac
根与系数的关系 x1
x2
b a
x1
x2
c a
一元二次方 几何问题、数字问题 程 的 应 用 营销问题、平均变化率问题
解析 根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2 ＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25.
【重要变形】 ①x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2;
②(x1 x2 )2
(x1
x2 )2
4x1x2
③
1 x1
b2 - 4ac=-42 -4 1 -1 =20 0.
方程有两个不相等的实数根
x b b2 4ac -4 20 2 5.
2a
2 1
x1 2 5, x2 2 5.
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤）.
针对训练
1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 4
项系数是 -2 ，常数项是 0
.
，一次
考点二 一元二次方程的根的应用 例2 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一 个根为0,则m= -1 .
解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定 会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为 未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的 解题方法我们称之为“有根必代”.
1 x2
x1 x2 x1 x2
针对训练
7. 已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22
的值等于（ A ）
A. 7
B. -2
3
C. 2
D.
3 2
考点六 一元二次方程的应用
市场销售问题
例6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成 本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天 能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少 售出4件. (1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为 多少？ （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于 每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润， 销售价应当为多少元？
解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得 5（1-x)2=3.2
解得 x1=1.8 (舍去）, x2=0.2=20%. 答：平均每次下调的百分率是20%.
例8 为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我 市某单位准备将院内一个长为30m,宽为20m的长方形空 地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平 行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示， 要是种植花草的面积为532m2,，那么小道的宽度应为多 少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为 平行四边形）
A. m 4 B. m<2
3
C. m ≥0
D. m<0
解析 根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式 Δ >0,即 42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得m 4 ,故选A.
3
【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式， 这样能帮助我们正确确定a,b,c的值.
针对训练
（注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等）
课堂小结
一元二次方 程的定义
概念：①整式方程； ②一元； ③二次. 一般形式：ax2bx+c=0 (a≠0)
直接开平方法
一元二次方 程的解法
一元二次方程
配方法 公式法
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
因式分解法
根的判别式及 根与系数的关系
解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如
下：设公司每天的销售价为x元.
单件利润 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
4
32
128
涨价销售
x-20
32-2(x-24)
150
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
第2章 一元二次方程
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、一元二次方程的基本概念
1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的 方程叫做一元二次方程． 2.一般形式：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
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数学：2.5《第二章复习》课件(湘教版九年级上)
3.
练习巩固 4. 课堂小结 布置作业 5.
一、判断下列命题的真假.
有一个角是45°的直角三角形是等腰直
角三角形. 真命题 素数不可能是偶数.假命题 黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人. 假命题
有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形
是锐角三角形. 假命题 若y(1-y)=0，则y=0. 假命题
回顾交流 情景引入 探索新知 知识应用 练习巩固 课堂小结 布置作业
∴ ∠ BDC ＝ ∠B+∠C+ ∠BAC （等量代换）
A
例. 如图，已知AD是△ABD
回顾B 交流1
D
和△ACD的公共边.求证： ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
2
情景引入
C
证法二：
探索新知 连接BC.
知识应用 在ABC中，BAC ABD ACD 1 2 1800,
练习巩固 在BDC中，BDC 1 2 1800 (三角形内角和定理).
平行线的判定： 公理：同位角相等，两直线平行． 定理：同旁内角互补，两直结平行． 定理：内错角相等，两直线平行． 平行线的性质： 公理：两直线平行，同位角相等． 定理：两直结平行，内错角相等． 定理：两直线平行，同旁内角互 补．
证明命题的一般步骤:
回顾交流 情景引入 探索新知 知识应用 练习巩固
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
A
回顾交流 已知：△ABC
情景引入 求证：△ABC中至少有BC的三个角都小于 知识应用 60°，那么三角之和必小于180°， 练习巩固 这与“三角形三个内角和等于180°” 课堂小结 相矛盾。因此，△ABC中至少有一个 布置作业 角大于或等于60°.
知识应用
A E
练习巩固 4. 课堂小结 布置作业 5.
一、判断下列命题的真假.
有一个角是45°的直角三角形是等腰直
角三角形. 真命题 素数不可能是偶数.假命题 黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人. 假命题
有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形
是锐角三角形. 假命题 若y(1-y)=0，则y=0. 假命题
回顾交流 情景引入 探索新知 知识应用 练习巩固 课堂小结 布置作业
∴ ∠ BDC ＝ ∠B+∠C+ ∠BAC （等量代换）
A
例. 如图，已知AD是△ABD
回顾B 交流1
D
和△ACD的公共边.求证： ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
2
情景引入
C
证法二：
探索新知 连接BC.
知识应用 在ABC中，BAC ABD ACD 1 2 1800,
练习巩固 在BDC中，BDC 1 2 1800 (三角形内角和定理).
平行线的判定： 公理：同位角相等，两直线平行． 定理：同旁内角互补，两直结平行． 定理：内错角相等，两直线平行． 平行线的性质： 公理：两直线平行，同位角相等． 定理：两直结平行，内错角相等． 定理：两直线平行，同旁内角互 补．
证明命题的一般步骤:
回顾交流 情景引入 探索新知 知识应用 练习巩固
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
A
回顾交流 已知：△ABC
情景引入 求证：△ABC中至少有BC的三个角都小于 知识应用 60°，那么三角之和必小于180°， 练习巩固 这与“三角形三个内角和等于180°” 课堂小结 相矛盾。因此，△ABC中至少有一个 布置作业 角大于或等于60°.
知识应用
A E
湘教版九年级数学上册精品教学课件 第二章 一元二次方程 一元二次方程应用：复率问题课件
思考:(1)若设年平均增长 上网计算
率为x,你能用x的代数式 表示2002年的台数吗? 3200
机总台数
(万台)
(2)已知2002年的台数 2400
是多少? (3)据此,你能列出方
1600
. 800 350
.892
.
1254
. .3089
2083 年份
程吗?
0 2000年 2000年 2001年 2002年 2003年
892（1+x)2=2083
(1+x)2= 2083
892
x1
x 2083 1
892
2083 892
1≈52.8%
x2
2083 892
1 (不合题意，舍去）
答：从2000年12月31日至2002年12月31日我国计算机上网总台数的年平均增长
率是52.8%.
2023年2月20日3时21分
依次类推n次降低后的值为 a •( 1 x )n
2023年2月20日3时21分
3
问题:截止到2000年12月31日，我国的上网计算机总数为 892万台；截止到2002年12月31日，我国的上网计算机总 数以达2083万台. （1）求2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计 算机台数的年平均增长率（精确到0.1%）.
某单位为节省经费,在两个月内将开支从 每月1600元降到900元,求这个单位平均每 月降低的百分率是多少?
2023年2月20日3时21分
9
练一练:
某校坚持对学生进行近视眼的防治,近视学生 人数逐年减少.据统计,今年的近视学生人数是 前年人数的75℅,那么这两年平均每年近视学 生人数降低的百分率是多少(精确到1℅)?
九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.5 一元二次方程的应用课件 (新版)湘教版.pptx
4
例1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实 惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元将 为81元，求平均每次降价的百分率。
分析：问题中涉及的等量关系是： 原价×(1-平均每次降价的百分率)2=现行售价
5
解:设平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系得
100(1-x)2=81 整理，得(1-x)2=0.81 解得 x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去）
20
归纳总结
列：方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么? 2.设:设未知数,语句完整,有单位(同一)的要注明单位; 3.列:列代数式,找出相等关系列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.
7
解：根据等量关系得 (x-21)(350-10x)=400
整理，得 x2-56x+775=0 解得 x1=25，x2=31 又因为21×120%=25.2，即售价不能超过25.2元，
所以x=31不合题意，应当舍去，故x=25，从而卖 出350-10x=350-10×25=100（件） 答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价 是25元。
3
由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是： 今年的使用率×(1+年平均增长率)2=后年的使用率
设这两年秸秆的使用率的年平均增长率为x，则根据等量关
系，可列出方程：
40%(1+x)2=90% 整理，得(1+x)2=2.25 解得x1=0.5=50%，x2= -2.5（不合题意，舍去）
因此，这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%。
例1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实 惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元将 为81元，求平均每次降价的百分率。
分析：问题中涉及的等量关系是： 原价×(1-平均每次降价的百分率)2=现行售价
5
解:设平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系得
100(1-x)2=81 整理，得(1-x)2=0.81 解得 x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去）
20
归纳总结
列：方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么? 2.设:设未知数,语句完整,有单位(同一)的要注明单位; 3.列:列代数式,找出相等关系列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.
7
解：根据等量关系得 (x-21)(350-10x)=400
整理，得 x2-56x+775=0 解得 x1=25，x2=31 又因为21×120%=25.2，即售价不能超过25.2元，
所以x=31不合题意，应当舍去，故x=25，从而卖 出350-10x=350-10×25=100（件） 答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价 是25元。
3
由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是： 今年的使用率×(1+年平均增长率)2=后年的使用率
设这两年秸秆的使用率的年平均增长率为x，则根据等量关
系，可列出方程：
40%(1+x)2=90% 整理，得(1+x)2=2.25 解得x1=0.5=50%，x2= -2.5（不合题意，舍去）
因此，这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%。
九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程课件 (新版)湘教版.pptx
x
35cm
x
x
x
35cm
4
解：设人行道的宽度为x m，则草坪的边长为 35-2x m.
根据题意，列出方程 (35-2x)2= 900 把方程通过移项，写成 (35-2x)2-900 =0 即4x2-140x+325=0
5
问题二 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆 . 求该市两年来汽
8
例：下列方程是否为一元二次方程，若是，指出其二次
项系数、一次项系数和常数项。
3x(1-x)+10=2(x+2)
解：去括号，得： 3x-3x2+10=2x+4
可以写成：3x2-x-6=0
整理，得： -3x2+x+6=0
二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6。
9
例：已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一 个根是3，求a的值.
7
4x2-140x+325=0 25x2 50x 11 0.
上述两个方程有什么共同特点？ 如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只
含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一 元二次方程，它的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0），
其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程 。
6
分析： 问题涉及的等量关系是：
两年后的汽车拥有量 = 前年的汽车拥有量 × （1+年平均增长率）2 .
解： 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x .
根据等量关系，可以列出方程
湘教版九年级数学上册上课课件 第2章 一元二次方程 章末复习
解：根据题意，得AP=2x cm，CQ=x cm， ∵∠B=90°，AC=10，BC=6， ∴AB=8，BQ=(6-x)cm，BP=(8-2x)cm.
假设存在这样的x，使得四边形APQC的面积等
于16 cm2.
则1 6 8 1 6 x8 2x 16
2
2
整理，得
x2-10x+16=0
解得 x1=2 ，x2 =8. 但x2 =8时不合题意，因为P从A到B只需4s.
(2)6x2-7x2 =3x +5; (4)(2y-1 ) ( 2y+5 )=6y +4.
解：(1)原方程可化为
5x2- 49=0
所以该方程的二次项系数是5、一次项系数是0、常数项是-49.
课堂练习
A组
1.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出其中的二次 项系数、一次项系数和常数项.
(1) 5x2= 49; (3) 0.01t2- 3t=2t- 1;
由此得 解得
x=0或 5x -7=0.
x1=0
，x2
=
7 5
.
(5) x(x-2)-3x2=0
解：原方程可化为 x2+x =0.
把方程左边因式分解，得 x (x +1)=0,
由此得
x=0或 x +1 =0.
解得
x1=0 ，x2 =-1.
(6)x2-4x＋4=64
解：原方程可化为 (x-2)2=64.
面积的2倍.求桌布下垂的长度. 解：设桌布下垂的长度为x m，则根据 等量关系得
(2x+1.5)(2x+1)=1.5×1×2 整理，得 8x2+10x-3=0，
解得 x1=0.25 ，x2 =-1.5(不合题意，舍去). 答：桌布下垂的长度为0.25m，
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7. 相似三角形的应用 (1) 测高 (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在 同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
(2) 测距 (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形 求解.
8. 位似 (1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连 线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位 似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似 比也称为位似比) (2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心 的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在 一条直线上.
一次项： ax2 一次项系数：a 二次项： bx 二次项系数：b 常数项：c
4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程．
二、解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型
一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解
3. 黄金分割
A
C
B
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
AC ABBC AC Nhomakorabea那么称线段AB被点C 黄金分割
点C叫做线段AB的 黄金分割点
AC与AB（或BC与AC）的比叫做 黄金比
黄金比
5 1 ≈0.618 2
4. 图形的相似 (1) 形状相同的图形
(2) 相似多边形
①表象：大小不等， 形状相同. ②实质：各对应角相 等、各对应边成比例.
适用的方程类型 (x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
【课件】2022年湘教版初中数学九年级上第二章 一元二次方程2
解：设道路的宽为 x 米 可列方程为 (32-2x)(20-2x)=540
2x 20
2x 20-2x
32-2x
32
在宽为20m, 长为32m的矩形地面上修筑四条道路,余 下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3：2， 且使小路所占面积是矩形面积的四分之一,求道路的宽 为多少？
小路所占面积是矩形 面积的四分之一
试一试：如图，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩形 铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个 无盖的长方体盒子，使它的底面积为364 cm2. 求截去 的小正方形的边长. 解：设截去的小正方形的边长为x cm，则无盖长方体 盒子的底面边长分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm. 根据题意，有 (40-2x)(28-2x)=364．
整理得， x2-34x+189=0.
解得 x1=27，x2=7．
如果截去的小正方形的边长为27cm，那么左下角和 右下角的两个小正方形的边长之和为54cm，这超过了矩 形铁皮的长40cm. 因此x1=27不合题意，应当舍去．
即所截去的小正方形的边长为7cm,
典例精析
例1：如图，在一块宽为20m, 长为32m的矩形地面上 修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草 坪的面积为540㎡,求道路的宽为多少？
•同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且
当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，问点
解PQ：出设发点几P秒、后Q出，发可x使s后△可P使CQ△面P积CQ为的9c面m积2 为9cm2，
由题意得 AP=xcm，PC=(6-x)cm,CQ=2xcm. B
则由S
PCQ
1 2
PC • CQ 可得
湘教版九年级上册数学精品教学课件 第2章 一元二次方程 第2课时 图形面积问题
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例2 如图，要利用一面墙（墙长为 25 m）建羊圈，用
100 米的围栏围成总面积为 400 m2 的三个大小相同的矩
形羊圈，求羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是多少米 ？
解：设 AB 长是 x m. (100 - 4x)x = 400 整理得 x2 - 25x + 100 = 0.
运用常见几何图形的 面积公式构建等量关系
几何图形问 题与一元二 次方程
类型
课本封面问题
彩条/小路宽 度问题
常采用图形 平移聚零为 整，方便列 方程
动点面积问题
用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料
围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m
的门，所围鸡场的长、宽分别为多少时，面积为 80 m2？
解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为 x m，
则平行于住房墙的一边长 (25 − 2x + 1) m.
由题意得 x(25 − 2x + 1) = 80，
上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使
草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？
方法一：
x
解：设道路的宽为 x m. 则
20 32 32x 20x x2 540. 20
x
还有其他列法吗？
32
方法二：
x
解：设道路的宽为 x m. 则
(32 − x)(20 − x) = 540.
20
整理，得 x2 − 52x + 100 = 0.
解得
x1=
17 3
229
0.62，x2=
17
3
229
湘教版九年级数学上册第2章一元二次方程单元复习课件
A．a＝5 B．a＞5 C．a≥5 D．a≠5
6．(202X·南通)用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，变形后的结果正确的是( D)
A．(x＋4)2＝－9 B．(x＋4)2＝－7
C．(x＋4)2＝25
D．(x＋4)2＝7
7．方程 x2＋x－1＝0 的一个根是( D )
A．1－ 5
B．1－2 5
C．－1＋ 5
12．(202X·潍坊)关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平 方和为12，则m＝______－__2__.
13．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－(n－1)＝0有两个不相等的实数根． (1)求n的取值范围； 解：由题意可知：Δ＝4＋4(n－1)＞0，∴n＞0 (2)当n为取值范围内的最小整数时，求此方程的根． 解：由(1)知，n＝1.当n＝1时，此时方程为：x2＋2x＝0，解得：x＝0或x＝－2
10．(202X·宁波)能说明命题“关于x的方程x2－4x＋m＝0一定有实数根”是假
命题的反例为( D)
A．m＝－1
B．m＝0
C．m＝4
D．m＝5
11．(202X·淄博)若x1＋x2＝3，x12＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是
( A)
A．x2－3x＋2＝0 B．x2＋3x－2＝0 C．x2＋3x＋2＝0 D．x2－3x－2＝0
D．
5－1 2
8．(202X·桂林)一元二次方程(x－3)(x－2)＝0的根是____x_1＝__3_，__x_2_＝__2__．
9．解方程： (1)x2－6x＝－2；
解：∵x2－6x＝－2，∴x2－6x＋9＝－2＋9， 即(x－3)2＝7，则 x－3＝± 7 ，∴x1＝3＋ 7 ，x2＝3－ 7
6．(202X·南通)用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，变形后的结果正确的是( D)
A．(x＋4)2＝－9 B．(x＋4)2＝－7
C．(x＋4)2＝25
D．(x＋4)2＝7
7．方程 x2＋x－1＝0 的一个根是( D )
A．1－ 5
B．1－2 5
C．－1＋ 5
12．(202X·潍坊)关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平 方和为12，则m＝______－__2__.
13．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－(n－1)＝0有两个不相等的实数根． (1)求n的取值范围； 解：由题意可知：Δ＝4＋4(n－1)＞0，∴n＞0 (2)当n为取值范围内的最小整数时，求此方程的根． 解：由(1)知，n＝1.当n＝1时，此时方程为：x2＋2x＝0，解得：x＝0或x＝－2
10．(202X·宁波)能说明命题“关于x的方程x2－4x＋m＝0一定有实数根”是假
命题的反例为( D)
A．m＝－1
B．m＝0
C．m＝4
D．m＝5
11．(202X·淄博)若x1＋x2＝3，x12＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是
( A)
A．x2－3x＋2＝0 B．x2＋3x－2＝0 C．x2＋3x＋2＝0 D．x2－3x－2＝0
D．
5－1 2
8．(202X·桂林)一元二次方程(x－3)(x－2)＝0的根是____x_1＝__3_，__x_2_＝__2__．
9．解方程： (1)x2－6x＝－2；
解：∵x2－6x＝－2，∴x2－6x＋9＝－2＋9， 即(x－3)2＝7，则 x－3＝± 7 ，∴x1＝3＋ 7 ，x2＝3－ 7
(湘教版)九年级数学上册教案第二章一元二次方程小结与复习(二)
1．已知方程的一根，求方程的另一根及k的值．
2．不解方程，求某些代数式的值．
3．已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程．
4．已知两数的和与两数的积，求这两个数．
5．二次三项式的因式分解．
……
运用根与系数的关系，还大大缩简了复杂的运算量，它的应用，启发学生领会数学知识，并能运用数学知识提高分析问题、解决问题的能力．
2．教材P57 15．
3．（补充）（1）不解方程2x2＋3x-1＝0，求作一个一元二次方程，使它的根是已知方程各根的平方的倒数．
（2）已知关于x的方程x2＋2（m-2）x＋m4＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m值并解此方程．
个案修改
练习5
将下列各式因式分解：
（1）4x2-8x-1；（2）2abx2＋（a2＋2b2）x＋ab．
三、全课小结
（1）本节课复习的基本的知识点
（2）通过本节课的学习，进一步提高学生综合分析问题、解决问题的能力．通过数学知识的应用，培养学生用数学的意识，激发学生学习数学的兴趣．
四、作业
1．教材P56页5、6、7
情感态度与价值观:进一步理解转化的思想方法，由此获得对事物可以转化的进一步认识．
重点
一元二次方程根与系数的关系以及它的简单应用．
难点
根与系数关系的灵活应用．
教学方法
课型
教具
教学过程
一、创设情境、导入新课
一元二次方程的根与系数的关系是指一元二次方程两根和与两根积和系数的关系，它在下面几方面有着广泛的应用．
二、探究新知与课堂练习
练习1
选择题
（1）以两数-2，5为根的一元二次方程是[ ]
A．x2-3x-10＝0 B．x2-10x＋3＝0
2．不解方程，求某些代数式的值．
3．已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程．
4．已知两数的和与两数的积，求这两个数．
5．二次三项式的因式分解．
……
运用根与系数的关系，还大大缩简了复杂的运算量，它的应用，启发学生领会数学知识，并能运用数学知识提高分析问题、解决问题的能力．
2．教材P57 15．
3．（补充）（1）不解方程2x2＋3x-1＝0，求作一个一元二次方程，使它的根是已知方程各根的平方的倒数．
（2）已知关于x的方程x2＋2（m-2）x＋m4＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m值并解此方程．
个案修改
练习5
将下列各式因式分解：
（1）4x2-8x-1；（2）2abx2＋（a2＋2b2）x＋ab．
三、全课小结
（1）本节课复习的基本的知识点
（2）通过本节课的学习，进一步提高学生综合分析问题、解决问题的能力．通过数学知识的应用，培养学生用数学的意识，激发学生学习数学的兴趣．
四、作业
1．教材P56页5、6、7
情感态度与价值观:进一步理解转化的思想方法，由此获得对事物可以转化的进一步认识．
重点
一元二次方程根与系数的关系以及它的简单应用．
难点
根与系数关系的灵活应用．
教学方法
课型
教具
教学过程
一、创设情境、导入新课
一元二次方程的根与系数的关系是指一元二次方程两根和与两根积和系数的关系，它在下面几方面有着广泛的应用．
二、探究新知与课堂练习
练习1
选择题
（1）以两数-2，5为根的一元二次方程是[ ]
A．x2-3x-10＝0 B．x2-10x＋3＝0