湖南省永州市2020届高三上学期第二次模拟考试 历史 Word版含答案
- 1 - 永州市2020年高考第二次模拟考试试卷 历史 一、选择题：本题共35个小题，每小题4分，共140分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 24.中国夏商之际的“方国”名称来源于商朝晚期殷墟遗址出土的甲骨卜辞，卜文中多以“X方”的形式称呼这些诸侯部落或国家，它们与中原共主王朝夏、商构成一种政治联盟关系，而西周在广阔的疆域内授土授民，既封且分。这表明 A.夏商实现了对方国的直接统治 B.方国与夏商王朝政治关系平等 C.分封制增强了对地方的控制力 D.分封制促进了边远地区的开发 25.荀子言性恶”，认为“天道自然”，主张治国需“王霸兼用”，被宋代理学家普遍视为有悖于圣人，是“儒门异端”而加以抨击和贬斥。据此推论合理的是 A.宋代理学家否定荀子是儒学家 B.荀子实际属诸子百家中的法家 C.荀子思想因不利于地主阶级统治而被否定 D.荀子思想体现了当时思想领域的融合状况 26.从汉朝到唐朝，土地兼并被视为国之大害，千方百计加以抑制。宋朝开历史之先河，采取“田制不立”“不抑兼并”的土地政策，但农作物产量倍增，工商业盛况空前，市民阶层壮大。这说明 A.土地兼并减轻了地主对农民的剥削 B.租佃经营方式适应了社会发展需要 C.不抑兼并政策导致了贫富分化严重 D.放任土地兼并会导致政府税源锐减 27.明代陶宗仪《辍耕录·贵由赤》：“贵由赤者，快行是也。每岁一试之，以脚力便捷者膺上赏……在大都，则自河西务起程；若上都，则自泥河儿起程。越三时，走一百八十里……先至者赐银一饼，馀者赐段匹有差。”对材料分析正确的是 A.朝廷组织，活动彰显民族习俗 B.经济发展，市民生活丰富多彩 C.文人作品，内容夸张不足为信 D.西学东渐，介绍古马拉松运动 28.据统计，甲午战争期间，日本共派出从军记者114名，还有15名画师、摄影师连篇累牍地报道战争的进展状况、战斗经过、双方死伤人数、俘获战利品、俘虏处置及战地情形等，战争爆发后仅一个月，有17名西方记者获得了随日军采访的许可。而清政府则拒绝外国记者随军采访，拒绝外国武官随军观战。这一差异突出反映了 A.日本发动战争蓄谋已久 B.中日近代化程度差距巨大 C.日本借机宣扬军国主义 D.舆论宣传左右了战争进程 29. - 2 -
表1是1864年至1914年间，中国各种报刊、杂志对民主的各种含义和使用数量统计。据此可知 A.早期维新派宣传革命思想不彻底 B.维新思想与宣传“人民统治”矛盾 C.资产阶级革命思想反封建较彻底 D.思想宣传的程度决定了民主的程度 30.1942年2月蒋介石出访印度，21日宋美龄广播了蒋介石的《告印度人民书》英文稿。文中说，中印两国人民命运相同，因此应并肩作战。他同时要求英国能够“不待印度人民有任何的要求，从速赋予印度国民以政治上之实权”，使他们能发挥精神和物质无限之伟力。中国领导人的这次印度之行反映了 A.抗战中中国国际地位的提高 B.英、印之间的矛盾不可调和 C.远东事务引起国际社会关注 D.中印对日作战已经转入反攻 31.表2是中国1978年和2018年各项统计指标列表。导致表中数据变化的主要原因是
A.第三次科技革命的推动 B.国家政策的调整 C.市场经济体制基本建立 D.外交政策的成熟 32.公元前406年春天，雅典的军队在菜斯波岛和阿基征西群岛间的海面上大胜斯巴达军队，但因风暴等原因损失了25艘战舰和4000名战士。有人认为损失是由于指挥官玩忽职守造成的，于是雅典公民大会判处4名指挥官死刑。该审判 A.体现法律面前公民人人平等 B.体现了雅典的人文主义情怀 C.说明直接民主保证司法公正 D.说明公民大会理性精神欠缺 33.德国在普法战争打败法国后，其内部在对待法国的政策上产生了严重分歧，有人主张恢复法国的皇帝制，而俾斯麦则力主恢复法国的共和制。据此，俾斯麦认为 A.共和制不利于法国的稳定发展 B.实行共和制度有利于欧洲和平 C.皇帝制度阻碍了法国社会进步 D.法国革命成果有助于法德和解 34.20世纪20年代中后期，苏联出现了一场住房危机，1928年最高苏维埃出台了《住房建设法案》，明确提出“有必要鼓励私人投资国有住房建设”，以缓解城市住房紧张局面。这反映了当时苏联 A.政府鼓励私营经济发展 B.新经济政策造成负面后果 C.国民经济比例严重失调 D.工业化进程加速人口流动 35.图S是1948年以来世界贸易组织(其前身为关贸总协定)成员国数量。结合所学知识可知
A.60年代经济全球化加速导致成员国数量迅速增加 B.世贸组织发展使世界各国之间贸易争端日益减少 C.90年代美苏两极格局解体推动了世贸组织的发展 D.世贸组织主导权已由发达国家转移至发展中国家 二、非选择题：共160分。第36～42题为必考题，每个试题考生都必须作答。第43～47题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共135分。 41.(25分)阅读材料，完成下列要求。 材料一 唐宋时期南北方森林普遍遭到滥砍滥伐，然而就森林破坏的程度和范围而言，中原地区更为严重。战国秦汉是中原开发的第一高潮，天然林消耗为每年43000亩到65000亩；唐宋是第二高潮，人口猛增，居民以木炭为燃料，年消耗45000亩至81000亩；清中叶起进入第三高潮，年消耗45000亩。可见天然森林逐年递减的速率，唐宋时期最高。 ——摘编自赵德馨主编《中国经济通史》 材料二 19世纪，伦敦以雾都著称于世。由于烟雾发作的渐进性、季节性和偶发性特征，也由于科学认知的相对滞后，19世纪的英国人认为烟雾只是麻烦与不便，危害不大。直到19世纪中叶，还是“几乎没有人认为它对人的健康有害，或对更广泛的环境有害”。当时最常用的描写空气污染的词汇之一是smoke nuisance(烟患，煤烟麻烦事)，它描述的是一种感觉，是一种受烟雾刺激的感觉，是一种烦恼，是让感官尤其是嗅觉难受的感觉。不过，也是从这时开始，有人认为烟雾多发导致光照不足，光照不足阻碍了植物的光合作用，影响植物正常生长发育。1880年的大雾中，皇家植物园和动物园的植物与动物健康受到黑暗天气的严重影响，温室里的植物不再生长，因缺少阳光在黑暗中半死不活。……人们不重视烟雾本身，而更关注烟雾背后的东西，即烟雾造成的混沌环境可能诱导下层社会堕落，导致社会退化危及帝国的未来等。到19世纪晚期，医生把一系列健康损害，如呼吸道疾病、佝偻病、精力衰退甚至“种族退化”都归咎于烟雾。伦敦人特别是专业人员和科学精英相信自己受到史无前例的严重大气威胁，甚至有人开始把烟雾视同“瘟疫”，以示警醒。 ——摘编自陆伟芳《19世纪英国人对伦敦烟雾的认知与态度探析》 (1)根据材料一并结合所学知识，分析唐宋时期森林覆盖率急剧下降的原因及影响。(14分) (2)根据材料二，概述英国人在19世纪对烟雾认识的变化过程。结合上述材料，就“经济发展与环境保护”写一篇小论文。(11分)(要求：观点明确：史论结合：逻辑严密；表述通畅。) 42.(12分)阅读材料，完成下列要求。 材料 1990年《国歌》电影讲述了我们中华人民共和国国歌——《义勇军进行曲》最初作为电影《风云儿女》主题歌而诞生的来龙去脉：1931年“九·一八事变”，东北三省沦陷了，正在上海积极从事抗日戏剧活动的田汉结识了东北流亡学生齐白山等人，并与这些热血青年共同投身抗日救亡运动。“一·二八”淞沪战争期间，田汉深感戏剧舞台不足以表现抗战，在夏衍的号召下，田汉等人毅然拿起摄影机，以电影武器，创作了一系列爱国影片、同时他创作的爱国歌曲也不断问世。当齐白山与义勇军伙伴相继为国捐躯的消息传来后、田汉在悲愤中为影片《凤云儿女》写下了主题歌“义勇军进行曲”，这就是传唱至今的中华人民共和国国歌。 ——摘编自电影《国歌》 根据材料并结合所学知识，自拟一个论题，并就所拟论题进行简要阐述。(要求：明确写出论题，阚述须史论结合) (二)选考题：共25分。请考生从2道地理题、3道历史题中每科任选一题作答。如果多做，则每科按所做的第一题计分。 45.(15分)【历史——选修1：历史上重大改革回眸】 材料 当年，努尔哈赤以“遗甲十三副”起家，创造了一个相当大的汗国。它实际上是一个部落联盟，分成八个旗，每一个旗自有旗主。旗主对下有完全的统治权，对上向努尔哈赤效忠。 雍正从即位的时候起，便对八旗制度进行了改革： 颁布“上谕”，禁止下五旗(镶白、正蓝、镶蓝、正红、镶红五旗)各旗旗主对担任政府官吏的旗员勒索。 他又把都察院的满洲人御史调派到八旗去，每旗二人，稽查一切。从此，各旗的内部行政，在实际上被中央直接管理。下五旗的半独立主权，名存实亡。 各旗彼此之间，也不许发生横的关系。这一旗的旗员与包衣(相当于农奴集团长官)，不许到别一旗旗主那里去当差。上三旗的旗员包衣，更绝对不许“在诸王门下行走”。 ——摘编自黎东方《细说清朝》等 (1)根据材料，概括雍正帝旗务改革的内容。(6分) (2)根据材料并结合所学知识，简评雍正帝的旗务改革。(9分) 46.(15分)【历史——选修3：20世纪的战争与和平】 材料 朝鲜半岛是整个东北亚的地理要冲，是世界上大国利益影响最为深刻的地区之一。根据雅尔塔协议，美苏军队于1945年分别进驻朝鲜半岛南北。朝鲜、韩国成立之后，美国和苏联相继撤军。1950年，朝鲜战争爆发，美国以联合国军名义出兵朝鲜。1953年朝鲜战争结束后，美韩双方签署《共同防御条约》，美国取得在韩国长期合法驻军权。1991年苏联解体后，朝韩关系总体趋向缓和，韩国人民反对美国驻军的呼声日益高涨。此时，美国的战略中心转向亚太地区，故坚持在韩国驻军，并不断要求韩国增加驻军费用。朝鲜多次呼吁美国撤走部署在韩国的核武器、停止美韩联合军演，美国以朝核问题为由拒绝撤军。 ——摘编自李华《从威慑、遏制到制衡——论驻韩美军历史角色的转换》等 (1)根据材料并结合所学知识，简析朝鲜半岛分裂的原因。(6分) (2)根据材料并结合所学知识，说明20世纪90年代以来美国坚持在韩驻军对亚太地区局势的影响。(9分) 47.(15分)【历史——选修4：中外历史人物评说】 材料 梅文鼎(1633－1721年)，清初天文学家、数学家。他在著作中，多次阐明已失传的古代历理，如郭守敬的三次内插法、黄赤相求术等，介绍第谷的西方天文学。他还借鉴西方天文仪器的原理，制成了璇玑尺、揆日仪、月道仪等多种仪器。在其著作《历学疑问》中，论述了中西历法的异同，并将许多西方天文学知识纳入中国古代学术体系中。他通过对西洋历、回回历以及我国古代各种历法系统的研究，写成我国第一部历法学专著《古今历法通考》。
湖南省永州市2020届高三上学期第二次模拟考试物理答案
v02＝2as②2分
由①②式解得 ③2分
（2）（6分）滑块速度最大时，有
mgsinθ＝kx④2分Leabharlann 滑块从释放到速度达到最大的过程中，有
mgsinθ(s＋x)＋W＝ mv ⑤2分
由④⑤解得W＝ mv －mgsinθ ⑥2分
25．（20分）解：
（1）（8分）M棒匀速时，有
对上边气体 ＝ ②2分
对下边气体 ＝ ③2分
由②③式解得V＝0.25V0，p＝4.8p02分
34．（15分）
（1）沿y轴负方向（2分）4（3分）
（2）（10分）解：
（i）设从左侧的A点入射，光在右侧半球面刚好发生全反射，由
sinθ＝ ①1分
OA＝Rsinθ②1分
S′＝πOA2③1分
S＝πR2④1分
由①～④式解得 ＝ 1分
（ii）设距O点 的光线射到半球面上的点为C点，入射角i＝30°，设折射角为r，
由 ＝n，⑤1分
得r＝60°
由图知BC＝ R，CD＝R⑥1分
光在玻璃中传播速度v＝ ⑦1分
t＝ ＋ ⑧1分
由⑤～⑧解得t＝ 1分
⑰1分
t0＝2.5s⑱1分
由⑪～⑱式解得F＝0.96－0.08t(t≤2.5s)2分
说明：最终结果未写出t≤2.5s，扣1分。
33．（1）（5分）3p0(2分) ΔU＋2p0V0(3分)
（2）（10分）解：
（i）设共打气n次，由
p0(V0＋0.3nV0)＝7p0V0①2分
由①式解得n＝20次2分
（ii）设温度升高后，上边的气体压强为p，体积为V，
q＝ t＝ ⑨1分
ΔΦ＝BLd⑩1分
湖南省永州市2020届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题及参考答案
永州市2020年高考第二次模拟考试试卷数学（理科）注意事项：1．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 2．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足21z i=+，则z 的共轭复数为A ．1i -B ．1i +C ．1i -+D ．1i -- 2．已知集合{}3A x x =<，{}2log 0B x x =>，则 A ．{}13AB x x =<<B ．A B φ=C ．{|3}A B x x =<D ．{}1AB x x =>3．执行右图所示程序框图，若输入14p =，则输出结果为 A ．2 B ．3C ．4D ．54．为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是A ．他们健身后，体重在区间[90kg ，100kg ）内的人数不变B ．他们健身后，体重在区间[100kg ，110kg ）内的人数减少了4人C ．他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg ，100kg ）D ．他们健身后，原来体重在[110kg ，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10 kg5． 已知数列113221,,,,n n a a a a a a a -是首项为8，公比为12的等比数列，则4a 等于A ．8B ．32C ．64D ．1286． 某校高三年级有男生220人，编号为1，2，…，220；女生380人，编号为221，222，…，600．为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人第4题图第3题图第9题图 进行问卷调查，第一组抽到的号码为10．现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是A ．15B ．715C ．815 D ．457． 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(1)(3)0f x f x ++-=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=A ．2-B ．0C ．2D ．20208． 已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕ=+><π的部分图像如右图 所示，且(,1),(,1)2A B π-π，则ϕ的值为A ．56π-B ．65πC ．6π-D ．6π9．北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外， 则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生 活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会 给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹 保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm ．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（保温带厚度忽略不计） A ．14 B ．14π C．214π+ D ．2116π+10．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为A ．8πB ．6πC ．4πD ．311．已知双曲线22221(,0)x ya b a b-=>的左、右焦点分别为F 1，F2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F ∆的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为A B．54 C ．53D12．数列｛a n ｝满足a n ＋1＋a n ＝11-n +（-1)n，且0＜a 6＜1．记数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则当S n 取最大值时n 为A ．11B ．12C ．11或13D ．12或13二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．第10题图13．曲线ln y x =过点(0,1)-的切线方程为 ．14．已知AB 为圆O 的弦，若||=2AB ，则OA AB ⋅= ．15． 已知以F 为焦点的抛物线C ：24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =，则|AB|= ． 16．已知函数22,1,()1|1|,.x x x t f x x t x a ⎧+-≤<=⎨--≤≤⎩（1）若t ＝1，且)(x f 值域为[-1，3），则实数a 的取值范围为 ．（2）若存在实数a ，使)(x f 值域为[-1，1]，则实数t 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必做题：60分．17．（本题满分12分）在ABC ∆中，3ABC π∠=，点D 在边AB 上，2BD =．（1）若BCD ∆的面积为CD ； （2）若cos 5BCA ∠=，cos 10DCA ∠=CD ．18．（本题满分12分）在如图三棱锥A －BCD 中，BD ⊥CD ，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ，AE ⊥平面BCD ．（1）求证：平面AEF ⊥平面ACD ；（2）若2BD CD AD ===，E 为BC 的中点， 求直线AF 与平面ABD 所成角的正弦值．19．（本题满分12分）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C 、D ，且过点，P 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12-．（1）求椭圆Γ的方程；（2）O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x = m 于点M ，当m 为何值时，⋅uu u r uuu rOP OM 为定值．第18题图ADFC E B20．（本题满分12分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （N n *∈且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<． （1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率； （2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（N k *∈且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检 验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每 组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．21．（本题满分12分）已知函数12()(1)1x f x e x x x -=+-++，1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----．证明： （1）存在唯一x 0∈（0,1），使f (x 0)＝0；（2）存在唯一x 1∈（1，2），使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<2．（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答． 如果多做，则按所做第一 题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为22x y t =-=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ．（1）写出直线1C 的极坐标方程；（2）设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ON OM的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分10分）已知函数()2f x x =-．（1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最大值为M ，若0a >，求证：213Ma a+≥．永州市2020年高考第二次模拟考试试卷数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．10x y --= 14．2- 15．16316．(1)[1,3]（2分）; (2) (1]-（3分）三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）解：（1）1sin 2BCD S BD BC B ∆=⋅⋅ ∴4BC = …………………………………………………………………3分 在BCD ∆中，由余弦定理可得2222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅⋅∴ CD =………………………………………………………………6分 （2）BCD BCA DCA ∠=∠-∠∴sin sin cos cos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠ ……8分cos 5BCA ∠=，cos 10DCA ∠=，∴sin BCA ∠=，sin DCA ∠=，∴ sin 2BCD ∠=………………………………………………………10分 在BCD ∆中，由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠，∴sin sin BD BCD BCD⋅==∠ ………………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（1）证明：因为//BD AEF 面，BCD AEF EF =面面I所以//BD EF ，因为BD CD ⊥，所以CD EF ⊥． 又因为AE ⊥面BCD ，CD BCD ⊂面，所以CD AE ⊥，而EF AE E =I ，所以CD AEF ⊥面，又CD ACD ⊂面，所以AEF ACD ⊥面面． ………………6分 （2）解：设直线AF 与平面ABD 所成交的余弦值为θ． 连接DE ，在BCD ∆中，=2BD CD =，BE EC =，BD CD ⊥，所以DE BC ⊥，且BC =，DE =又因为AE BCD ⊥面，DE BCD ⊂面，BC BCD ⊂面，所以AE DE ⊥，AE BC ⊥．在Rt ADE ∆中，DE =2AD =，所以AE = 如图，以点E 为坐标原点，分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，各点 坐标为(0,0A ，(B ，D ，C ， 因为//BD EF ，E 为BC 的中点，所以F 为CD 的中点，即F ， 设平面ABD 的法向量(,,)m x y z =，(2,0,2)BA =，(2,BD =，由m BAm BD⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即(,,)0(,,)0m BA x y z m BD x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⊥=⋅=⎪⎩，整理得00x z x y +=⎧⎨+=⎩， 令1z =-，得1x =，1y =-，则(1,1,1)m =--．……10分因为 2(AF =，所以2sin 3||||m AF m AF θ⋅==⨯， 故直线AF 与平面ABD 所成交的正弦值为3． ……………12分 （第18题图）19．（本小题满分12分）解：（1）椭圆Γ过点，∴22211a b +=，① ………2分 又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-，可求得2212b a =，②联立①②得2,a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=． ……………………………………………6分（2）方法1：由（1）知，(2,0)为-C ． 由题意可设:(2)CM y k x =+， 令x=m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=．…………………6分 ∵21284212k x k--=+，∴2122412k x k -=+，1124(2)12k y k x k =+=+， 所以222244(,)1212k kP k k-++， ……………………………………………………8分 ∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++uuu r uuu r mk k k m kOP OM m k m k k k k，…10分 要使⋅uu u r uuu rOP OM 与k 无关，只须12=m，此时⋅uu u r uuu r OP OM 恒等于4. ∴ 2=m ……………………………………………………………………………12分 方法2：:设00(,)P x y ，则00:(2)2=++y CM y x x ，令x=m ,得00(2)(,)2++y m M m x ， ∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++uu u r uuu r y m y m OP OM x y m mx x x 由2200142+=x y 有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y ，所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=uu u r uuu r m x m x m OP OM mx ，要使⋅uu u r uuu rOP OM 与0x 无关，只须12=m，此时4⋅=uu u r uuu r OP OM . ∴ 2=m …………………………………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）解：（1）如果4n =，采用逐份检验方式，设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=-∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -． ………………………3分（2）记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ，由已知得1E n ξ=，2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211k P p ξ∴==-, ()()2111nP n p ξ=+=--∴()()21(1)11n nE p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +--…………………5分 要减少检验次数，则1E ξ>2E ξ，则1(1)nn n n p >+--∴(1)1nn p ->，1(1)np n->，即111()n p n <-， ………………………7分（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ，2ξ，则由（2）知11,1k ξ=+，21,1k ξ=+， ()12()()11kE E k k p ξξ==+--，12ξξξ=+()1212()()()()2221kE E E E k k p ξξξξξ=+=+=+-- ………………10分②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ，2ξ，,m ξ， 11,1k ξ=+，21,1k ξ=+，,1,1m k ξ=+，且检验总次数12m ξξξξ=+++，()()11,1,2,,ki P p i m ξ∴==-=，()()111,1,2,,ki P k p i m ξ=+=--=()()11,1,2,ki E k k p i m ξ∴=+--=()121()()()()(1)1kk k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+--，所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1km k mk p +--． …………………12分21．（本小题满分12分）证明：(1)当x ∈（0,1）时，f ′(x )＝12()(2)1x f x e x x -=-+++＞0，函数f (x )在（0,1）上为增函数．又f (0)＝-e+1<0，f (1)＝3>0，所以存在唯一x 0∈（0,1），使f (x 0)＝0．…4分(2) 当x ∈（1，2）时，1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----, 令t =2-x , x =2-t ，x ∈（1，2），t ∈（0，1），1(2)(1)ln(1)t g t te t t --=-++, t ∈（0，1） ……………………6分记函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++，t ∈（0，1）．则h ′(t )＝1222(1)1()(1)(1)t e t t t f t t t ---+---=++． (8)分由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，f (t )<0，h ′(t )＞0，当t ∈(x 0，1)时，f (t ) >0，h ′(t ) <0．故在(0，x 0)上h (t )是增函数，又h (0)＝0，从而可知当t ∈(0，x 0]时，h (t )>0，所以h (t )在(0，x 0]上无零点．在(x 0，1)上h (t )为减函数，由h (x 0)>0，h (1)＝12－ln 2<0，知存在唯一t 1∈(x 0，1)，使h (t 1)＝0， ……………………………………………10分 故存在唯一的t 1∈(0，1)，使h (t 1)＝0．因此存在唯一的x 1＝2－t 1∈(1，2)，使g (x 1)＝g (2－t 1)＝h (t 1)＝0．因为当t ∈(0，1)时，1＋t >0，故(2)()1g t h t t -=+与g (2－t )有相同的零点，所以存在唯一的x 1∈（1，2），使g (x 1)＝0．因为x 1＝2－t 1，t 1>x 0，所以x 0＋x 1<2． …………………………………………12分 22．（本小题满分10分） 解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=，即sin()4πρθ+= …………………………5分（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(，设12(,),(,)M N ραρα，则212sin sin()1=)242ONOMπααρπαρ+=-+，由02πα<<，有32444πππα-<-<，当sin(2)=14πα-时，ONOM的最大值为2．………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）由52)(+≤xxf得⎩⎨⎧+≤-≤--≥+5225252xxxx，解得1-≥x∴不等式52)(+≤xxf的解集为[)+∞-,1．………………………5分（2） 23131)5()1()(=+--≤+---=+--+=xxxxxfxfxg当且仅当3≥x时等号成立，∴2=M，………………………7分∴22211123Ma a a aa a a+=+=++≥=．当且仅当21aa=，即1=a时等号成立．………………………10分。
2020届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题(含答案解析)
2020届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题 1．设复数z 满足21iz =+，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i - B ．1i +C ．1i -+D ．1i --【答案】B【解析】先利用复数除法的公式化简z ,再求共轭复数即可. 【详解】()()()2121111i z i i i i -===-++-,故z 的共轭复数为1i +.故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算以及共轭复数的概念,属于基础题型. 2．已知集合{}3A x x =<，{}2log 0B x x =>，则（ ） A ．{}13A B x x ⋂=<< B ．A B φ⋂= C ．{|3}A B x x =<U D ．{}1A B x x ⋃=>【答案】A【解析】根据对数不等式的解法求集合B ,再分析交集并集即可. 【详解】{}{}2log 01B x x x x =>=>.故{}13A B x x ⋂=<<,A B R =U .故选：A 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与对数不等式的求解,属于基础题型. 3．执行图中所示程序框图，若输入14p =，则输出结果为（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】根据程序框图逐步运行求解即可.【详解】由框图知：输入14p=,1,1n S==,1.14S>判定为是, 11122S=-=,2n=.2.14S>判定为是, 111244S=-=,3n=3.14S>判定为否,输出3n=.故选：B【点睛】本题主要考查了程序框图输入数据输出结果的问题,属于基础题型.4．为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（）A．他们健身后，体重在区间[90kg，100kg）内的人数不变B．他们健身后，体重在区间[100kg，110kg）内的人数减少了4人C．他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg，100kg）D．他们健身后，原来体重在[110kg，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg【答案】D【解析】根据饼图逐个选项计算分析即可. 【详解】对A,易得们健身后,体重在区间[90kg ,100kg ）内的人数占比均为0040,故A 正确. 对B,体重在区间[100kg,110kg ）内的人数减少了000000503020-=,即0020204⨯=人. 故B 正确.对C,因为健身后[80kg ,90kg ）内的人数占0030,[90kg ,100kg ）内的人数占0040,故中位数位于[90kg ,100kg ）.故C 正确.对D,易举出反例若原体重在[110kg,120kg]内的肥胖者重量为110kg ,减肥后为109kg 依然满足.故D 错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查了对饼图的理解,属于基础题型. 5．已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -L 是首项为8，公比为12的等比数列，则4a 等于（ ） A ．8 B ．32C ．64D ．128【答案】C【解析】由题可列出3241123,,,a a a a a a a 的值再累乘计算即可. 【详解】 由题, 32411238,4,2,1a a a a a a a ====,故32441123842164a a aa a a a a =⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=.故选：C 【点睛】本题主要考查了根据递推公式求解某一项的问题,属于基础题型.6．某校高三年级有男生220人，编号为1，2，…，220；女生380人，编号为221，222，…，600．为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10，现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是（ ） A ．15B ．715C ．815D ．45【答案】C【解析】根据系统抽样的方法分析抽取出来的学生编号,再分析其中男女生的个数,再利用排列组合的方法求解概率即可. 【详解】由题意知,抽取的学生编号成等差数列,首项为10,公差为6006010=. 故抽取的10人中男生有10,70,130,190,这4个号码,其余的6人为女生. 即抽到的10人中,有男生4人,女生6人, 再从这10位学生中随机抽取2人座谈, 基本事件总数21045n C ==,2人中既有男生又有女生包含的基本事件个数114624m C C =⋅=, 故2人中既有男生又有女生的概率2484515m p n ===. 故选：C 【点睛】本题主要考查了系统抽样的方法与排列组合解决概率的问题,属于中等题型. 7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(3)0f x f x ++-=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=L （ ）A ．2-B ．0C ．2D ．2020【答案】B【解析】根据奇偶性与(1)(3)0f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为4,再根据性质计算(1),(2),(3),(4)f f f f 即可. 【详解】因为奇函数()f x 满足(1)(3)0f x f x ++-=,即(1)(3)(3)f x f x f x +=--=-. 故()f x 周期为4.故(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++L ,因为20194504......3÷=.故原式[]504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)f f f f f f f =⨯++++++.令0x =,则(01)(30)0(1)(3)0(3)2f f f f f ++-=⇒+=⇒=-. 令1x =,则(11)(31)02(2)0(2)0f f f f ++-=⇒=⇒=. 又奇函数()f x 故()(4)00f f ==. 故[]()504(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)50420202020f f f f f f f ⨯++++++=⨯+-+++-=.故选：B 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与周期性的应用,需要根据题意分析函数的周期,再代入特殊值求对应的函数值.属于中等题型.8．已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，且(,1),(,1)2A B π-π，则ϕ的值为（ ）A ．56π-B ．56π C ．6π-D ．6π 【答案】D【解析】根据图像判断函数的周期,从而确定ω的值,再代入对应的点求得ϕ即可. 【详解】由图像可知,周期22T ππωω==⇒=.即()2sin(2)f x x ϕ=+,代入()0,1可知,12sin ϕ=.因为||ϕπ<,故6π=ϕ或56πϕ=.又由图可得,0x =在最高点的左侧,所以6π=ϕ. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数中参数的值,需要根据题意求得周期,代入点进行分析,同时结合图像可知ϕ的范围.属于中等题型.9．北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm ．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（）（保温带厚度忽略不计）A．14B．14πC．221414ππ++D．22116116ππ++【答案】D【解析】根据题意,因为相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一,每隔四分之一的带宽就绕一层保温带,则一共可以盖四层.故画出所求角度所在的直角三角形,再分别分析临边与斜边即可.【详解】由题,作''AP B D⊥于P.根据题意可知'B P宽为带宽的四分之一即1414⨯=,又水管直径为4 cm.故4APπ=.故轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是()2222'116cos''11614B PAB PB Aπππ+∠===++.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的实际运用,需要根据题意找到对应的边角关系进行求解,属于基础题型.10．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】A【解析】由题意可知该三棱锥底面是边长为2的等腰直角三角形,高为2.再分析外接球的直径求解即可. 【详解】由题意可知该三棱锥底面是边长为2的等腰直角三角形,高为2.故外接球直径为222+2=22.故外接球表面积22224482S R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据三视图求外接球的表面积方法,属于基础题型.11．如图，已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（ ）A ．23B ．54C ．53D 32【答案】C【解析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，联立双曲线的方程可得A 的坐标，设1||AF m =，2||AF n =，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a ，c 的方程，结合离心率公式可得所求值． 【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ， 设双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⋅++=⋅⋅，化简可得2442c m n a c a+=--①由双曲线的定义可得2m n a -=②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n ac θ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan b a θ=，22sin cos 1θθ+=，可得22sin b ca b θ==+，可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=， 即为(35)()0c a c a -+=， 可得35c a =，则53c e a ==． 故选：C. 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题．12．数列{}n a 满足()1111nn n a a n ++=-+-,且601a <<．记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则当n S 取最大值时n 为（ ）A ．11B ．12C ．11或13D ．12或13【答案】C【解析】分n 的奇偶讨论数列{}n a 的奇偶性分别满足的条件,再分析n S 的最大值即可. 【详解】由题,当n 为奇数时, ()1111n n n a a n ++=-+-,()()1211111n n n a a n ++++=-++-.故()()()()1211111111211n n n n n a a n n ++⎡⎤⎡⎤-=-++---+-=--⋅-=⎣⎦⎣⎦. 故奇数项为公差为1的等差数列.同理当n 为偶数时, ()21213nn n a a +-=--⋅-=-. 故偶数项为公差为-3的等差数列.又601a <<即2206167a a <-<⇒<<.又()12111119a a +=-+-=.所以123a <<.综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着n 的增大由正变负.故当n S 取最大值时n 为奇数.故n 为奇数且此时有()()()()11121111100011110n n n n n n n a a a a n --+++⎧--+-≥+≥⎧⎪⇒⎨⎨+≤-++-≤⎩⎪⎩ ,解得1113n ≤≤. 故11n =或13n =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了奇偶数列的应用,需要根据题意推导奇偶项数列的递推公式,再根据题意分析相邻两项之和与0的大小关系列不等式求解.属于难题.二、填空题13．曲线ln y x =过点(0,1)-的切线方程为_________． 【答案】10x y --=【解析】根据导数的几何意义设切点列式求解即可. 【详解】由题,1'yx=,设切点为()00,lnx x,则在切点处的切线斜率为1x,又切线过点(0,1)-,故0000ln(1)11xxx x--=⇒=.故切点为()1,0.故切线方程为()101101x yy x-=---=⇒.故答案为：10x y--=【点睛】本题主要考查了导数几何意义的运用,根据切点到定点的斜率等于在该点处的导函数的值列式求解即可.属于基础题型.14．已知AB为圆O的弦，若||=2AB，则OA AB⋅=u u u r u u u r_________．【答案】2-【解析】根据数量积的几何意义求解即可.【详解】由题, 作OC AB⊥于C.则()cosACOA AB OA AB OAB OA ABAOπ⋅=⋅⋅-∠=-⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2AB AC=-⋅=-u u u r故答案为：2-【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算的直接公式法,属于基础题型.15．已知以F为焦点的抛物线C：24y x=上的两点A、B满足3AF FB=uu u r uu r，则|AB|=________．【答案】163【解析】根据3AF FB=uu u r uu r可求得直线AB的倾斜角,再联立方程根据抛物线的焦半径公式求解即可. 【详解】由题,不妨设A 在第一象限.作11,AA BB 分别垂直于准线, 1BC AA ⊥于C 如图.设FB m =uu r ,由3AF FB =uu u r uu r,可得：3AF m =uuu r ,由抛物线的定义知13AA m =,1BB m =,∴ABC V 中, 32AC m m m =-=,34AB m m m =+=,故1cos 2AFx ∠=,所以直线AB 的倾斜角为3π,3∴直线AB 方程为)31y x =-,与抛物线方程联立消y 得231030x x -+= 所以121623AB x x =++=, 故答案为：163. 【点睛】本题主要考查了抛物线几何意义的运用,需要根据题中给的比例关系求出直线的倾斜角,再联立方程利用焦半径公式求解即可.属于中等题型.16．已知函数22,1,()11,.x x x t f x x t x a ⎧+-≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩（1）若1t =,且()f x 值域为[)1,3-,则实数a 的取值范围为_________． （2）若存在实数a ,使()f x 值域为[]1,1-,则实数t 的取值范围为_________． 【答案】[1,3] (21]-【解析】(1)根据题意有22,11,()11,1.x x x f x x x a ⎧+-≤<⎪=⎨--≤≤⎪⎩画出图像再分析即可.(2)先分析临界条件,再分析随着t 的改变图像的变化情况判断即可. 【详解】(1)画出图像易得,当111x --=-时3x =（舍去负值）.故实数a 的取值范围为[1,3].(2)用虚线画出22,11y x x y x =+=--的整体图像,再分析随着t 的改变图像的变化情况.由图,当221y x x =+=时,()21221x x +=⇒=-（舍去负值）.由图可知,(1,21]t ∈--时, 存在实数3a =满足()f x 值域为[]1,1-.故答案为：(1). [1,3] (2). (21]- 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数值域的问题,需要根据题意画出对应的图像,分析当参数变化时整个函数变化的情况,从而找到临界条件求得取值范围.属于中等题型.三、解答题17．在ABC ∆中，3ABC π∠=，点D 在边AB 上，2BD =．（1）若BCD ∆的面积为23CD ；（2）若5cos 5BCA ∠=，310cos 10DCA ∠=CD ．【答案】（1）CD 23=（26【解析】(1)根据三角形面积公式与余弦定理求解即可.(2)根据BCD BCA DCA ∠=∠-∠,再利用三角函数的同角三角函数关系与差角公式求解即可. 【详解】解：（1）Q 1sin 2BCD S BD BC B ∆=⋅⋅ ∴4BC =在BCD ∆中,由余弦定理可得2222212cos 42242122CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=∴CD 23=（2）Q BCD BCA DCA ∠=∠-∠∴sin sin cos cos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠ Q 5cos 5BCA ∠=,310cos 10DCA ∠=∴21cos 25sin BCA BCA -∠∠==,21cos 10sin DCA DCA -∠∠==∴3101010102552sin 552BCD ∠=⋅-⋅=在BCD ∆中,由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠, ∴sin 6sin BD BCD BCD⋅==∠【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积的运用,属于中等题型.18．在如图三棱锥A －BCD 中，BD ⊥CD ，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ，AE ⊥平面BCD ．（1）求证：平面AEF ⊥平面ACD ；（2）若2BD CD AD ===，E 为BC 的中点，求直线AF 与平面ABD 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2）23【解析】(1)证明CD AE ⊥,CD EF ⊥进而可得CD AEF ⊥面即可证明平面AEF ⊥平面ACD(2) 分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,再根据构造的直角三角形的关系求得每边的长度,再利用空间向量求解线面夹角即可. 【详解】解：（1）证明：因为//BD AEF 面,BCD AEF EF =面面I ,BD BCD ⊂面 所以//BD EF ,因为BD CD ⊥,所以CD EF ⊥． 又因为AE BCD ⊥面,CD BCD ⊂面, 所以CD AE ⊥,而EF AE E =I , 所以CD AEF ⊥面,又CD ACD ⊂面, 所以AEF ACD ⊥面面．（2）解：设直线AF 与平面ABD 所成交的余弦值为θ． 连接DE ,在BCD ∆中,=2BD CD =,BE EC =,BD CD ⊥,所以DE BC ⊥,且22BC =2DE =,又因为AE BCD ⊥面,DE BCD ⊂面,BC BCD ⊂面, 所以AE DE ⊥,AE BC ⊥．在Rt ADE ∆中,2DE =,2AD =,所以2AE =如图,以点E 为坐标原点,分别以,,EC ED EA 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,各点坐标为(0,02)A ，,(2,0,0)B -,2,0)D ,2,0,0)C ,因为//BD EF ,E 为BC 的中点,所以F 为CD 的中点,即22F , 设平面ABD 的法向量(,,)m x y z =u r,2,0,2)BA =u u u r ,2,2,0)BD =u u u r,由m BA m BD ⎧⊥⎨⊥⎩u u u v v u u u v v ,即(,,)(2,0,2)0(,,)(2,2,0)0m BA x y z m BD x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⊥=⋅=⎪⎩u u u v v u u u vv , 整理得00x z x y +=⎧⎨+=⎩,令1z =-,得1x =,1y =-,则(1,1,1)m =--u r ． 因为22(2)22AF =u u u r ,所以2sin 3||||m AF m AF θ⋅==⨯u r u u u ru r u u u r 故直线AF 与平面ABD 所成交的正弦值为23． 【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的方法,属于中等题型.19．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为C 、D ，且过点2,1)，P 是椭圆上异于C 、D 的任意一点，直线PC ，PD 的斜率之积为12-． （1）求椭圆Γ的方程；（2）O 为坐标原点，设直线CP 交定直线x = m 于点M ，当m 为何值时，OP OM ⋅uu u r uuu r为定值．【答案】（1）22142x y +=（2）2m =【解析】(1)设(),P x y ,根据题意可求得2212b a =,再代2,1)入椭圆方程即可求解.(2)根据(1)中的结论, 设直线:(2)CM y k x =+,并联立与椭圆的方程,求得(,(2))+M m k m ,222244(,)1212k kP k k-++,再表达出OP OM ⋅uu u r uuu r ,根据恒成立问题求得系数的关系即可.也可直接设00(,)P x y 表达出OP OM ⋅uu u r uuu r,利用00(,)P x y 满足椭圆的方程进行化简,同理可得m 的值. 【详解】解：（1）椭圆Γ过点(2,1),∴22211a b+=,① 又因为直线,PC PD 的斜率之积为12-,故2221122y y y x a x a x a ⋅=-⇒=-+--. 又222222222222221x y a y y b x a a b b x a a +=⇒⇒=--=--.即2212b a =,② 联立①②得2,2a b ==∴所求的椭圆方程为22142x y +=．（2）方法1：由（1）知,(2,0)为-C ．由题意可设:(2)CM y k x =+, 令x=m ,得(,(2))+M m k m ．又设11(,)P x y由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=． ∵21284212k x k --=+,∴2122412k x k -=+,1124(2)12k y k x k =+=+, 所以222244(,)1212k kP k k-++, ∴22222224(2)244282(2)12121212+-+⋅=⋅++⋅==++++uu u r uuu r mk k k m k OP OM m k m k k k k , 要使OP OM ⋅uu u r uuu r 与k 无关,只需12m=,此时OP OM ⋅uu u r uuu r 恒等于4.∴2m =方法2：:设00(,)P x y ,则00:(2)2=++y CM y x x ,令x=m ,得00(2)(,)2++y m M m x ,∴20000000(2)(2)(,)(,)22++⋅=⋅=+++uu u r uuu r y m y m OP OM x y m mx x x由2200142x y +=有220000(2)(2)2(1)42+-=-=x x x y , 所以000(2)(2)(2)2422+--++⋅=+=uu u r uuu r m x m x m OP OM mx , 要使OP OM ⋅uu u r uuu r 与0x 无关,只须12m=,此时4OP OM ⋅=u u u r u u u u r .∴2m = 【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的定值问题求解基本量的方法,同时也考查了联立直线与椭圆方程,根据椭圆上的点满足椭圆的方程,求解定值的有关问题.属于难题.20．某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有n （n *∈N 且2n ≥）份产品，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将这n 份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这n 份产品全部为正品，因而这n 份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这n 份产品究竟哪几份是次品，就要对这n 份产品逐份检验，此时这n 份产品的检验次数总共为1n +次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为(01)p p <<．（1）如果4n =，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率； （2）现对n 份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：当n 和p 满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？（3）①当2n k =（k *∈N 且2k ≥）时，将这n 份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数ξ的数学期望；②当n mk =（,k m N *∈，且2k ≥，2m ≥）时，将这n 份产品均分为m 组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数ξ的数学期望（不需证明）．【答案】（1）226(1)p p -（2）111()n p n<-（3）①()()2221k E k k p ξ=+--②()(1)1km k mk p +-- 【解析】(1)根据二项分布的方法求解即可.(2)记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,再根据题意求出对应的数学期望1E n ξ=,()211nE n n p ξ=+--再根据1E ξ>2E ξ化简求解即可.(3)①设两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,由(2)可知()12()()11kE E k k p ξξ==+--再相加即可.②根据题意可知,这m 组采用混合检验的检验次数所有的可能值均为1,1k +,再求解数学期望即可. 【详解】解：（1）如果4n =,采用逐份检验方式,设检测结果恰有两份次品的概率为222224(1)6(1)C p p p p -=-∴检测结果恰有两份次品的概率226(1)p p -．（2）记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为1ξ,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为2ξ,由已知得1E n ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1n +()()211k P p ξ∴==-,()()2111nP n p ξ=+=--∴()()21(1)11n n E p n p ξ⎡⎤=-++--⎣⎦=()11n n n p +--要减少检验次数,则1E ξ>2E ξ,则1(1)nn n n p >+--∴(1)1nn p ->,1(1)np n ->,即111()n p n<-,（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,则由（2）知11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,()12()()11k E E k k p ξξ==+--,12ξξξ=+()1212()()()()2221kE E E E k k p ξξξξξ=+=+=+--②设这m 组采用混合检验的检验次数分别为1ξ,2ξ,,m ξK ,11,1k ξ=+,21,1k ξ=+,,1,1m k ξ=+L ,且检验总次数12m ξξξξ=+++L ,()()11,1,2,,k i P p i m ξ∴==-=L ,()()111,1,2,,ki P k p i m ξ=+=--=L()()11,1,2,ki E k k p i m ξ∴=+--=L()121()()()()(1)1kk k E E E E m k mk p ξξξξξξ∴=+++=++=+--L L ,所以检验总次数ξ的数学期望()(1)1km k mk p +--． 【点睛】本题主要考查了二项分布的方法以及根据题意求离散型随机变量的数学期望方法,需要根据题意找到所有可能的取值,再列式求解.属于难题.21．已知函数12()(1)1x f x e x x x -=+-++，1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----．证明： （1）存在唯一x 0∈（0,1），使f (x 0)＝0；（2）存在唯一x 1∈（1，2），使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1<2． 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)求导后根据极值点的存在性定理证明即可.(2)令2t x =-,换元将()(2)g x g t =-m 再构造函数1(2)()ln(1)11t g t te h t t t t --==-+++,分析()h t 的单调性,结合(1)中的结论求得()h t 存在唯一的()10,1t ∈,使1()0h t =,再根据零点的大小关系即可证明. 【详解】证明：(1)当x ∈（0,1）时,f ′(x )＝12()(2)1x f x e x x -=-+++＞0,函数f (x )在（0,1）上为增函数．又f (0)＝-e+1<0,f (1)＝3>0,所以存在唯一x 0∈（0,1）,使f (x 0)＝0． (2)当x ∈（1,2）时,1()(2)(3)ln(3)x g x x e x x -=----, 令2t x =-,x =2-t ,x ∈（1,2）,t ∈（0,1）, 1(2)(1)ln(1)t g t te t t --=-++,t ∈（0,1）记函数1(2)()ln(1)11tg t te h t t t t --==-+++,t ∈（0,1）． 则h ′(t )＝1222(1)1()(1)(1)t e t t t f t t t ---+---=++．由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,f (t )<0,h ′(t )＞0, 当t ∈(x 0,1)时,f (t )>0,h ′(t )<0．故在(0,x 0)上h (t )是增函数,又h (0)＝0,从而可知当t ∈(0,x 0]时,h (t )>0,所以h (t )在(0,x 0]上无零点．在(x 0,1)上h (t )为减函数,由h (x 0)>0,h (1)＝12－ln2<0,知存在唯一t 1∈(x 0,1),使h (t 1)＝0, 故存在唯一的t 1∈(0,1),使h (t 1)＝0．因此存在唯一的x 1＝2－t 1∈(1,2),使g (x 1)＝g (2－t 1)＝h (t 1)＝0．因为当t ∈(0,1)时,1＋t >0,故(2)()1g t h t t -=+与g (2－t )有相同的零点,所以存在唯一的x 1∈（1,2）,使g (x 1)＝0．因为x 1＝2－t 1,t 1>x 0,所以x 0＋x 1<2． 【点睛】本题考查了根据导数求解隐零点的问题.需要根据题意确定零点所在区间,再根据零点满足的关系式证明函数的单调性与最值.同时也考查了构造函数证明不等式分方法,属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为22222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ．（1）写出直线1C 的极坐标方程；（2）设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ONOM的最大值． 【答案】（1）sin()24πρθ+=2）2+12【解析】(1)消去参数t 求1C 的直角坐标方程,再根据cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程化简即可.(2) 设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,再根据极坐标的几何意义求解即可.【详解】解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=, 将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=,即sin()24πρθ+=（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,设12(,),(,)M N ραρα,则212sin sin()214=)2422ON OM πααρπαρ+=-+,由02πα<<,有32444πππα-<-<, 当sin(2)=14πα-时,ON OM 的最大值为2+12． 【点睛】 本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型.23．已知函数()2f x x =-．（1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最大值为M ，若0a >，求证：213Ma a+≥． 【答案】（1）[)1,-+∞（2）见解析【解析】(1)根据绝对值不等式的方法求解即可.(2)利用绝对值的三角不等式可得2M =,再利用三元基本不等式求证即可.【详解】解：（1）由()25f x x ≤+得25025225x x x x +≥⎧⎨--≤-≤+⎩,解得1x ≥- ∴不等式()25f x x ≤+的解集为[)1,-+∞．（2）Q ()(1)(5)13132g x f x f x x x x x =+--+=---+≤--+= 当且仅当3x ≥时等号成立,∴2M =, ∴322221111233Ma a a a a a a a a a+=+=++≥⋅⋅=． 当且仅当21a a =,即1a =时等号成立． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式和三元的基本不等式的方法,属于中等题型.。
湖南省永州市2020届高三上学期第二次模拟考试理综试卷(PDF版)
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2020届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试文科综合地理参考答案
2020届永州市高三上学期第二次模拟考试
文科综合地理参考答案
一、选择题（44分，每题4分）
二、非选择题（56分）
（一）必考题（46分）
36．（22分）
（1）由于地壳运动，日月山的隆起，（2分）导致地势东高西低，河流被迫向西流动（2分）
（2）政府的补贴政策；促进旅游业发展，增加牧民收入；扩大就业；投入成本低；有利于
保护生态环境，防治荒漠化（任答3点，得6分）
（3）定西的花期已经结束；定西离青海湖距离较近；青海湖周边油菜花盛开，蜜粉源充足；
天气晴好，利于蜜蜂采集花蜜；当地正处于旅游旺季，利于销售蜂蜜（任答3点，得
6分）
（4）生态修复，植被覆盖率上升；生态退耕，灌溉引水减少；流域降水量有所增多；全球
气候变暖，近年来冰雪融水量有所增加等（任答3点，得6分）37．（24分）
（1）铁路：便于矿山设备运入和矿产品运出，保障公司人员、物资的正常运输（3分）
港口：转运铁矿石，降低运费（出口成本）（3分）
（2）卡拉加斯铁矿储量大、埋藏浅、品位高（杂质少）；露天开采，成本较低；
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2020届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．设复数z 满足(2)34z i i +=-，则|z |＝（ ）A ．2BC ．3D ．【答案】B【解析】化简得到34211255i z i i -==-+，再计算复数的模得到答案. 【详解】(2)34z i i +=-，则()()()()34234211211222555i i i i z i i i i ----====-++-，故z ==故选：B . 【点睛】本题考查了复数的化简，复数的模，意在考查学生的计算能力. 2．已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，B ＝{x |2x ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．(－2，1) B ．(－2，0)C ．(－2，0]D ．(－2，－1]【答案】C【解析】计算得到{}21A x x =-<<，{}0B x x =≤，再计算A B I 得到答案. 【详解】{}{|(1)(2)0}21A x x x x x =-+<=-<<，{}{|21}0x B x x x =≤=≤，故{}20A B x x ⋂=-<≤. 故选：C . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.3．若{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，a n >0，a 2a 4＝4，S 3＝14，则其公比q 等于（ ） A ．16B ．12C ．2D ．3【答案】B【解析】直接利用等比数列公式计算得到答案.【详解】241244a a a q ==，2311114S a a q a q =++=，且0q >，解得12q =. 故选：B . 【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，意在考查学生的计算能力.4．为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（ ）A ．他们健身后，体重在区间[90kg ，100kg ）内的人数不变B ．他们健身后，体重在区间[100kg ，110kg ）内的人数减少了4人C ．他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg ，100kg ）D ．他们健身后，原来体重在[110kg ，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg 【答案】D【解析】根据饼图逐个选项计算分析即可. 【详解】对A,易得们健身后,体重在区间[90kg ,100kg ）内的人数占比均为0040,故A 正确. 对B,体重在区间[100kg,110kg ）内的人数减少了000000503020-=,即0020204⨯=人. 故B 正确.对C,因为健身后[80kg ,90kg ）内的人数占0030,[90kg ,100kg ）内的人数占0040,故中位数位于[90kg ,100kg ）.故C 正确.对D,易举出反例若原体重在[110kg,120kg]内的肥胖者重量为110kg ,减肥后为109kg 依然满足.故D 错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查了对饼图的理解,属于基础题型.5．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别是A ，B ，左右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则该椭圆的离心率为（ ） A ．14B ．12C ．23D ．2【答案】B【解析】计算1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+，根据等差数列得到2a c =，得到答案. 【详解】1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+，成等差数列，故4c a c a c =++-，2a c =.故12e =. 故选：B . 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，根据等差数列得到2a c =是解题的关键.6．若等边△ABC 的边长为1，点M 满足12CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MA MB ⋅u u u r u u u r＝（ ）AB ．2C ．D ．0【答案】D【解析】化简得到21142MA MB CA CA CB ⋅=-+⋅u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r ，计算得到答案.【详解】()()211112242MA MB CA CM CB CM CA CB CA CA CA CB⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1111cos 0423π=-+⨯⨯=.故选：D . 【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AC 1与平面B 1BCC 1所成角的正切值为（ ） A ．1 BC．2D．3【答案】B【解析】如图所示：连接1BC ，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，故AB ⊥平面11BCC B ，即1AC B ∠为直线AC 1与平面B 1BCC 1所成角，计算得到答案.【详解】如图所示：连接1BC ，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，故AB ⊥平面11BCC B ， 即1AC B ∠为直线AC 1与平面B 1BCC 1所成角， 设长方体边长为1，则112tan 2AB AC B BC ∠===. 故选：B .【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8．某程序框图如图所示，若输出的S ＝41，则判断框内应填入（ ）A ．k >5？B ．k >6？C ．k >7？D ．k >8？【答案】A【解析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】 根据程序框图：1,1k S ==；2,5k S ==；3,11k S ==；4,19k S ==；5,29k S ==；6,41k S ==，结束. 故选：A . 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力和计算能力. 9．已知下列命题：①“若x 2＋x －2≠0，则x ≠1”为真命题；②命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0，则⌝p ：∃x 0∈R ，x 02＋1≤0； ③若2k πϕπ=+(k ∈Z )，则函数y ＝cos (2x ＋φ)为奇函数；④若a b ⋅r r >0，则a r 与b r的夹角为锐角.其中，正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据解不等式，全称命题的否定，函数的奇偶性，向量夹角依次判断每个选项得到答案. 【详解】①若x 2＋x －2≠0，则x ≠1且2x ≠-，故①为真命题；②命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0，则⌝p ：∃x 0∈R ，x 02＋1≤0，故②正确； ③若2kπϕπ=+(k ∈Z )，则函数()sin 2,cos 2cos(2)2sin 2,x k y x x k x k πϕπ⎧=+=++=⎨-⎩为奇数为偶数，均为奇函数，③正确；④若a b ⋅r r >0，则a r 与b r的夹角为锐角或零度，故④错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了解不等式，全称命题的否定，函数的奇偶性，向量夹角，意在考查学生的综合应用能力.10．已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，且(,1),(,1)2A B ππ-，则ϕ的值为（ ）A ．56π B ．6π C ．56π-D ．6π-【答案】C【解析】根据,A B 两点的坐标列方程组，解方程组求得ϕ的值. 【详解】由于函数()f x 过,A B 两点，故()()ππ2sin 122π2sin π1ff ωϕωϕ⎧⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=+=-⎩，由于0,||ωϕπ><，所以方程组解得25π6ωϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩.故选C. 【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.11．已知双曲线22124y x -=的左右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线右支上存在一点M ，使得()220OM OF F M +⋅=u u u u r u u u u r u u u u r ，则12F MF M=（ ） A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】A【解析】根据()220OM OF F M +⋅=u u u u r u u u u r u u u u r 得到25OM OF ==u u u u r u u u u r ，122F MF π∠=，故2221212MF MF F F +=，122MF MF -=，解得答案.【详解】22124y x -=，故125OF OF ==u u u r u u u u r .()()()22222220OM OF F M OM OF OM OF OM OF +⋅==+⋅--=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，故25OM OF ==u u u u r u u u u r ，故122F MF π∠=，2221212MF MF F F +=，122MF MF -=.解得18MF =，26MF =，故1243F MF M =. 故选：A . 【点睛】本题考查了双曲线中长度的计算，确定25OM OF ==u u u u r u u u u r是解题的关键.12．已知函数211,0()22,0xx f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+≥⎩，若f (x )－mx ≥0，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[0.2]B ．[－1，2]C ．[－ln 3，2]D ．[－ln 2，2]【答案】D【解析】如图所示，画出函数()f x 的图像，讨论0x ≥和0x <两种情况，分别计算原点处的切线斜率得到答案. 【详解】如图所示：画出函数()f x 的图像.当0x ≥时，()'22f x x =+，故()'02f =；当0x <时，()11'ln 22xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()'0ln 2f =-； 根据图像知：[]ln 2,2m ∈-. 故选：D .【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，转化为切线的斜率问题是解题的关键.二、填空题13．已知函数f (x )为奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 3－21x ，则f （1）＝________. 【答案】2【解析】根据函数为奇函数，得到()()11f f =--，计算得到答案. 【详解】函数()f x 为奇函数，故()()()()32111121f f ⎡⎤=--=---=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求函数值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 14．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P (23，a )，则cos 2α＝________.【答案】19-【解析】根据题意得到2cos 3α=，再利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P (23，a )，故2cos 3α=，21cos 22cos 19αα=-=-.故答案为：19-. 【点睛】本题考查了三角函数定义，二倍角公式，意在考查学生的计算能力.15．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的体积的最小值为__________(容器壁的厚度忽略不计).【答案】41416【解析】外接圆直径为长宽高分别为1,2,6的长方体的体对角线，即412R =，计算得到答案. 【详解】根据题意：外接圆直径为长宽高分别为1,2,6的长方体的体对角线，即41R =. 34414136V R π== .故答案为：41416.【点睛】本题考查了多面体的外接球问题，将直径转化为长方体的体对角线是解题的关键. 16．数列{a n }中，a 1＝3，且114n n n n n a a a a --=-+-(n ≥2)，令212(2)n n b a =-，则数列{b n }的前2020项和S 2020＝____________. 【答案】20202021【解析】化简得到()()22122n n a a n --=-+，故1112n n n b b --=，利用累加法得到21nn n b =+，故 21111n b n n n n ==-++，再利用裂项求和计算到答案. 【详解】114n n n n na a a a --=-+-，故221144n n n n a a n a a ---=+-，即()()22122n n a a n --=-+.212(2)n n b a =-，即1112n n n b b --=， ()211221111111111...221...42n n n n n n n n n b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=+-+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故21111n b n n n n ==-++. 202011111120201...12232020202120212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：20202021. 【点睛】本题考查了累加法求通项公式，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.三、解答题17．在ABC ∆中，3ABC π∠=，点D 在边AB 上，2BD =．（1）若BCD ∆的面积为CD ；（2）若cos 5BCA ∠=，cos 10DCA ∠=CD ．【答案】（1）CD =（2【解析】(1)根据三角形面积公式与余弦定理求解即可.(2)根据BCD BCA DCA ∠=∠-∠,再利用三角函数的同角三角函数关系与差角公式求解即可. 【详解】解：（1）Q 1sin 2BCD S BD BC B ∆=⋅⋅ ∴4BC =在BCD ∆中,由余弦定理可得2222212cos 42242122CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=∴CD =（2）Q BCD BCA DCA ∠=∠-∠∴sin sin cos cos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠Q cos 5BCA ∠=,cos 10DCA ∠=∴sin BCA ∠==,sin DCA ∠==∴1010sin BCD ∠==在BCD ∆中,由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠,∴sin sin BD BCD BCD⋅==∠【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积的运用,属于中等题型.18．某单位共有职工2000人，其中男职工1200人，女职工800人为调查2019年“双十一”购物节的消费情况，按照性别采用分层抽样的方法抽取了该单位100人在“双十一”当天网络购物的消费金额(单位：百元)，其频率分布直方图如下：（1）已知抽取的样本中，有3名女职工的消费不低于1000元，现从消费不低于1000元的职工中抽取3名职工进行购物指导，求抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率； （2）在“双十一”当天网络购物消费金额不低于600元者称为“购物狂”，低于600元者称为“理性购物者”.已知在抽取的样本中有18名女职工消费不低于600元，请完成上图中的列联表，并判断能否有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关. 附：参考数据与公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）710（2）列联表见解析；有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关 【解析】（1）消费不低于1000元的共有5人，其中女职工3人设为,,A B C ，男职工2人，设为,a b ，列出所有情况，再统计满足条件的情况，得到概率. （2）完善列联表，计算27.143K ≈，对比临界值表得到答案. 【详解】（1）消费不低于1000元的共有0.0252100=5⨯⨯人， 其中女职工3人设为,,A B C ，男职工2人，设为,a b . 从5名职工中选取3名职工的可能情况如下：（,,A B C ），（,,A B a ），（,,A B b ），（,,A C a ），（,,A C b ），（,,B C a ），（,,B C b ）（,,A a b ），（,,B a b ），（,,C a b ）共10种情况. 其中至少有两名女职工包括7种情况.所以抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率710P =. （2）应抽取男职工：1201000=60⨯人，抽取女职工：800100=402000⨯人，理性购物者 购物狂 合计男 48 12 60 女2218 40 合计 70 3010022(48182212)1007.14360407030K ⨯-⨯⨯=≈⨯⨯⨯，因为7.143 6.635>，所以有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关. 【点睛】本题考查了概率的计算，独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．如图所示的几何体B －ACDE 中，AB ⊥AC ，AB ＝4，AC ＝3，DC ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，点M 在线段BC 上，且AM ＝125.（1）证明：AM ⊥平面BCD ；（2）若点F 为线段BE 的中点，且三棱锥F －BCD 的体积为1，求CD 的长度. 【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】（1）证明AM DC ⊥，根据余弦定理得到95CM =，再根据勾股定理得到AM BC ⊥，得到证明.（2））取AB 的中点N ，BM 的中点P ，连接FN ，PN ，证明//FN 平面BCD ，故点F 到平面BCD 的距离等于点N 到平面BCD 的距离，设CD a =，根据体积得到答案. 【详解】（1）Q DC ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，∴AM DC ⊥.Q 在ABC ∆中，AB AC ⊥，4AB =，3AC =，∴5BC =.由2223cos 25AC CM AM ACM AC CM+-∠==⋅得221293565CM CM ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，∴95CM =. ∴AM CM AC 222+=，AM CM ∴⊥，即AM BC ⊥.Q BC DC C =I ，BC ⊂平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AM ⊥平面BCD .（2）取AB 的中点N ，BM 的中点P ，连接FN ，PN ，∴//PN AM ，1625PN AM ==，Q 点F 为线段BE 中点，∴//FN EA . Q DC ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，∴//DC EA ，DC BC ⊥，∴//FN DC . Q FN ⊄平面BCD ，DC ⊂平面BCD ，∴//FN 平面BCD ，∴点F 到平面BCD 的距离等于点N 到平面BCD 的距离， Q AM ⊥平面BCD ，∴PN ^平面BCD .设CD a =，则11651325F BCD V a -=⨯⨯⨯=三棱锥，∴1a =，即CD 长为1.【点睛】本题考查了线面垂直，根据体积求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 20．已知抛物线C ：x 2＝2y ，过点(0，2)作直线l 交抛物线于A 、B 两点. （1）证明：OA ⊥OB ；（2）若直线l 的斜率为1，过点A 、B 分别作抛物线的切线l 1，l 2，若直线l 1，l 2，相交于点P ，直线l 1，l 2交x 轴分别于点M ，N ，求△MNP 的外接圆的方程.【答案】（1）证明见解析（2）2213292416x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）设直线l ：2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程得到122x x k +=，124x x =-，故12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r，得到证明.（2）求导得到y x '=，得到切线方程21112y x x x =-和22212y x x x =-，计算点(1,2)P -，设MNP ∆的外接圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，计算得到1D =-，1F =-，32E =，得到答案. 【详解】（1）显然直线l 的斜率存在，设直线l ：2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y联立222y kx x y=+⎧⎨=⎩得2240x kx --=，∴24160k ∆=+>，122x x k +=，124x x =-，∴2121212121()04OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+=u u u r u u u r，∴OA OB ⊥.（2）Q 1k =，∴122x x +=，124x x =-，Q y x '=∴切线1l ：111()y y x x x -=-即21112y x x x =-，同理可得切线2l ：22212y x x x =-.令0y =，则11(,0)2M x ，21(,0)2N x ，联立2112221212y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得点(1,2)P -，设MNP ∆的外接圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，令0y =，则20x Dx F ++=.∴由韦达定理可得1211+22x x D =-，1214x x F =， ∴1D =-，1F =-且520D E F +-+=，∴32E =， 则圆的方程为：223102x y x y +-+-=，即2213292416x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了抛物线中的垂直关系的证明，切线问题，外接圆方程，意在考查学生的综合应用能力.21．已知函数2()ln a f x x x x x=-+.（1）若函数f (x )在定义域内是增函数，求实数a 的取值范围； （2）当a ∈[1，e )时，求方程()2af x ax =-的根的个数. 【答案】（1）14a ≥（2）有且只有一个根 【解析】（1）211()1+=0ax x f x ax x x-+'=-≥，即2max 1x a x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，求函数21x y x -=的最大值得到答案.（2）求导(1)(1)()ax x g x x--'=，讨论1a =，(1,)a e ∈两种情况，根据单调性得到()g x 的极大值为11()ln 122a g a a a=---，设1()ln 122a h a a a =---，求导得到函数单调递增，再根据零点存在定理得到答案. 【详解】（1）定义域：(0,)+∞，211()1+=0ax x f x ax x x-+'=-≥在(0,)x ∈+∞时恒成立，即210ax x -+≥在(0,)x ∈+∞时恒成立，所以(0,)x ∈+∞时，2max1x a x -⎛⎫≥⎪⎝⎭， 由于2221111111()244x y x x x x -==-=--+≤，所以14a ≥. （2）设()()2a g x f x ax =-+=2+ln 22a ax ax x x --+21(1)1(1)(1)()1ax a x ax x g x ax a x x x-++--'=--+==， ①当1a =时，()0g x '≥，()g x 在()0,∞+是单调递增，()110g =-<Q ，()14ln 402g =+>， 所以存在唯一的()01,4x ∈使()00g x =，即方程()2af x ax =-只有一个根. ②当(1,)a e ∈时，则101a<<，令()0g x '=，有1x a =或1x =.所以()g x 在1(0,)a上是增函数，在1(1)a，上是减函数，在(1+)∞，上是增函数， ()g x 的极大值为1111()1ln ln 12222a a g a a a a a a=---+=---.设1()ln 122a h a a a =---，其中(1,)a e ∈，则222111(1)()+0222a h a a a a -'=-=>.所以()h a 在(1,)a e ∈上是增函数，所以1()()2022e h a h e e <=--<，即1()0g a<， 所以()g x 在()0,1上无零点.又(1)=1<0g -，991(4)=4ln 44+ln 4ln 40222a g -+>-=+>，所以(1)(4)0g g ⋅<， 又()y g x =在(1,+)∞单调递增，所以存在唯一的()01,4x ∈使()00g x =. 即方程()2af x ax =-只有一个根. 综上所述，当[1,)a e ∈时，方程()2af x ax =-有且只有一个根. 【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，函数的零点个数问题，意在考查学生的计算能力和和综合应用能力.22．在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ．（1）写出直线1C 的极坐标方程；（2）设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ONOM的最大值．【答案】（1）sin()4πρθ+=2【解析】(1)消去参数t 求1C 的直角坐标方程,再根据cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程化简即可.(2) 设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,再根据极坐标的几何意义求解即可.【详解】解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=, 将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=,即sin()4πρθ+=（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,设12(,),(,)M N ραρα,则212sin sin()1=)42ON OM πααρπαρ+=-+, 由02πα<<,有32444πππα-<-<, 当sin(2)=14πα-时,ON OM的最大值为2．【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型. 23．已知函数()2f x x =-． （1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最大值为M ，若0a >，求证：213Ma a +≥． 【答案】（1）[)1,-+∞（2）见解析【解析】(1)根据绝对值不等式的方法求解即可.(2)利用绝对值的三角不等式可得2M =,再利用三元基本不等式求证即可. 【详解】解：（1）由()25f x x ≤+得25025225x x x x +≥⎧⎨--≤-≤+⎩,解得1x ≥-∴不等式()25f x x ≤+的解集为[)1,-+∞．（2）Q ()(1)(5)13132g x f x f x x x x x =+--+=---+≤--+= 当且仅当3x ≥时等号成立,∴2M =,∴22211123Ma a a a a a a +=+=++≥=． 当且仅当21a a =,即1a =时等号成立． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式和三元的基本不等式的方法,属于中等题型.。
【名校复习专用】湖南省永州市2020届高三语文上学期第二次模拟考试试题(含解析)
湖南省永州市2017届高三语文上学期第二次模拟考试试题（含解析）本试题卷全卷满分150分。
考试用时150分钟。
★祝考试顺利★本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第7页，第Ⅱ卷第7页至第8页。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时150分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
第Ⅰ卷阅读题（70分）一、现代文阅读（一）论述类文本阅读阅读下面的文字，完成下面小题。
“道法自然”表达了一种人与自然和谐共生的关系，它以天人合一的“内在关系”立论，迥异于西方把人和自然视为对立的“外在关系”。
“道”是必然性的普遍法则，渗透于宇宙万物之中。
人是宇宙的一部分，同样要受这种自然法则的支配。
和谐是符合自然法则的一种结果，和谐人生就是在各种关系中按照这些自然法则生活的过程。
各种不和谐现象之所以产生，都源于背离自然。
以身心健康而言，离自然越近，则离疾患越远。
面对当今世界普遍性的各种危机，我们不能不赞叹“道法自然”的智慧。
这种观念在探求生存与自由的同时，便已考虑到获取的前提，并把自然法则上升为人类的行为价值，值得现代人研究和借鉴。
工业革命以来，人类残酷地破坏着自然，自然也无情地报复着人类。
片面追求经济发展给世人带来了沉重的环境灾难，而人类再也无法承受生态恶化的报复，这造成了天人关系和社会关系的种种紧张。
时至今日，汲取“道法自然”的智慧以实现人与自然的良性循环，已显得非常迫切。
“道法自然”注重天人相合，并非让人削足适履地消极适应环境，而是要“先天而天弗违，后天而奉天时”（《周易·文言》），亦即掌握客观规律而预先防范，由于采取的措施符合天道，因而不会受到违反自然规律的惩罚。
2020届湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020届湖南省永州市高三毕业班上学期第二次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．设复数z 满足(2)34z i i +=-，则|z |＝（ ）A ．2BC ．3D ．【答案】B【解析】化简得到34211255i z i i -==-+，再计算复数的模得到答案. 【详解】(2)34z i i +=-，则()()()()34234211211222555i i i i z i i i i ----====-++-，故z ==故选：B . 【点睛】本题考查了复数的化简，复数的模，意在考查学生的计算能力. 2．已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，B ＝{x |2x ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．(－2，1) B ．(－2，0)C ．(－2，0]D ．(－2，－1]【答案】C【解析】计算得到{}21A x x =-<<，{}0B x x =≤，再计算A B 得到答案.【详解】{}{|(1)(2)0}21A x x x x x =-+<=-<<，{}{|21}0x B x x x =≤=≤，故{}20A B x x ⋂=-<≤. 故选：C . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.3．若{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，a n >0，a 2a 4＝4，S 3＝14，则其公比q 等于（ ） A ．16B ．12C ．2D ．3【答案】B【解析】直接利用等比数列公式计算得到答案.【详解】241244a a a q ==，2311114S a a q a q =++=，且0q >，解得12q =. 故选：B . 【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，意在考查学生的计算能力.4．为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示．对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（ ）A ．他们健身后，体重在区间[90kg ，100kg ）内的人数不变B ．他们健身后，体重在区间[100kg ，110kg ）内的人数减少了4人C ．他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg ，100kg ）D ．他们健身后，原来体重在[110kg ，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg 【答案】D【解析】根据饼图逐个选项计算分析即可. 【详解】对A,易得们健身后,体重在区间[90kg ,100kg ）内的人数占比均为0040,故A 正确. 对B,体重在区间[100kg,110kg ）内的人数减少了000000503020-=,即0020204⨯=人. 故B 正确.对C,因为健身后[80kg ,90kg ）内的人数占0030,[90kg ,100kg ）内的人数占0040,故中位数位于[90kg ,100kg ）.故C 正确.对D,易举出反例若原体重在[110kg,120kg]内的肥胖者重量为110kg ,减肥后为109kg 依然满足.故D 错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查了对饼图的理解,属于基础题型.5．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别是A ，B ，左右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等差数列，则该椭圆的离心率为（ ） A ．14B ．12C ．23D ．2【答案】B【解析】计算1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+，根据等差数列得到2a c =，得到答案. 【详解】1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+，成等差数列，故4c a c a c =++-，2a c =.故12e =. 故选：B . 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，根据等差数列得到2a c =是解题的关键. 6．若等边△ABC 的边长为1，点M 满足12CM CB CA =+，则MA MB ⋅＝（ ）A B ．2C ．D ．0【答案】D【解析】化简得到21142MA MB CA CA CB ⋅=-+⋅，计算得到答案.【详解】()()211112242MA MB CA CM CB CM CA CB CA CA CA CB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111cos 0423π=-+⨯⨯=.故选：D . 【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AC 1与平面B 1BCC 1所成角的正切值为（ ）A ．1B ．2C D 【答案】B【解析】如图所示：连接1BC ，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，故AB ⊥平面11BCC B ，即1AC B ∠为直线AC 1与平面B 1BCC 1所成角，计算得到答案.【详解】如图所示：连接1BC ，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，故AB ⊥平面11BCC B ， 即1AC B ∠为直线AC 1与平面B 1BCC 1所成角， 设长方体边长为1，则112tan 22AB AC B BC ∠===. 故选：B .【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8．某程序框图如图所示，若输出的S ＝41，则判断框内应填入（ ）A．k>5？B．k>6？C．k>7？D．k>8？【答案】A【解析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图：1,1k S==；2,5k S==；3,11k S==；4,19k S==；5,29k S==；6,41k S==，结束.故选：A.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力和计算能力.9．已知下列命题：①“若x2＋x－2≠0，则x≠1”为真命题；②命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则⌝p：∃x0∈R，x02＋1≤0；③若2kπϕπ=+(k∈Z)，则函数y＝cos(2x＋φ)为奇函数；④若a b⋅>0，则a与b的夹角为锐角.其中，正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据解不等式，全称命题的否定，函数的奇偶性，向量夹角依次判断每个选项【详解】①若x2＋x－2≠0，则x≠1且2x≠-，故①为真命题；②命题p：∀x∈R，x2＋1>0，则⌝p：∃x0∈R，x02＋1≤0，故②正确；③若2kπϕπ=+(k∈Z)，则函数()sin2,cos2cos(2)2sin2,x ky x x kx kπϕπ⎧=+=++=⎨-⎩为奇数为偶数，均为奇函数，③正确；④若a b⋅>0，则a与b的夹角为锐角或零度，故④错误；故选：C.【点睛】本题考查了解不等式，全称命题的否定，函数的奇偶性，向量夹角，意在考查学生的综合应用能力.10．已知函数()2sin()(0,||)f x xωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，且(,1),(,1)2A Bππ-，则ϕ的值为（）A．56πB．6πC．56π-D．6π-【答案】C【解析】根据,A B两点的坐标列方程组，解方程组求得ϕ的值.【详解】由于函数()f x过,A B两点，故()()ππ2sin122π2sinπ1ffωϕωϕ⎧⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=+=-⎩，由于0,||ωϕπ><，所以方程组解得25π6ωϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩.故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查数形结合的数学思想方法，11．已知双曲线22124y x -=的左右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线右支上存在一点M ，使得()220OM OF F M +⋅=，则12F MF M=（ ） A ．43B ．53C ．2D ．73【答案】A【解析】根据()220OM OF F M +⋅=得到25OM OF ==，122F MF π∠=，故2221212MF MF F F +=，122MF MF -=，解得答案.【详解】22124y x -=，故125OF OF ==.()()()22222220OM OF F M OM OF OM OF OMOF +⋅==+⋅--=，故25OM OF ==，故122F MF π∠=，2221212MF MF F F +=，122MF MF -=.解得18MF =，26MF =，故1243F MF M =. 故选：A . 【点睛】本题考查了双曲线中长度的计算，确定25OM OF ==是解题的关键.12．已知函数211,0()22,0xx f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+≥⎩，若f (x )－mx ≥0，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[0.2]B ．[－1，2]C ．[－ln 3，2]D ．[－ln 2，2]【答案】D【解析】如图所示，画出函数()f x 的图像，讨论0x ≥和0x <两种情况，分别计算原点处的切线斜率得到答案. 【详解】如图所示：画出函数()f x 的图像.当0x ≥时，()'22f x x =+，故()'02f =；当0x <时，()11'ln 22xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()'0ln 2f =-； 根据图像知：[]ln 2,2m ∈-. 故选：D .【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，转化为切线的斜率问题是解题的关键.二、填空题13．已知函数f (x )为奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 3－21x ，则f （1）＝________. 【答案】2【解析】根据函数为奇函数，得到()()11f f =--，计算得到答案. 【详解】函数()f x 为奇函数，故()()()()32111121f f ⎡⎤=--=---=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求函数值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 14．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P (23，a )，则cos 2α＝________. 【答案】19-【解析】根据题意得到2cos 3α=，再利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P (23，a )，故2cos 3α=，21cos 22cos 19αα=-=-.故答案为：19-. 【点睛】本题考查了三角函数定义，二倍角公式，意在考查学生的计算能力.15．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的体积的最小值为__________(容器壁的厚度忽略不计).4141【解析】外接圆直径为长宽高分别为1,2,6的长方体的体对角线，即41R =，计算得到答案. 【详解】根据题意：外接圆直径为长宽高分别为1,2,6的长方体的体对角线，即412R =. 34414136V R π== .故答案为：41416. 【点睛】本题考查了多面体的外接球问题，将直径转化为长方体的体对角线是解题的关键.16．数列{a n }中，a 1＝3，且114n n n n n a a a a --=-+-(n ≥2)，令212(2)n n b a =-，则数列{b n }的前2020项和S 2020＝____________. 【答案】20202021【解析】化简得到()()22122n n a a n --=-+，故1112n n n b b --=，利用累加法得到21nn n b =+，故 21111n b n n n n ==-++，再利用裂项求和计算到答案. 【详解】114n n n n na a a a --=-+-，故221144n n n n a a n a a ---=+-，即()()22122n n a a n --=-+.212(2)n n b a =-，即1112n n n b b --=， ()211221111111111...221...42n n n n n n n n n b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=+-+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故21111n b n n n n ==-++. 202011111120201...12232020202120212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：20202021. 【点睛】本题考查了累加法求通项公式，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.三、解答题17．在ABC ∆中，3ABC π∠=，点D 在边AB 上，2BD =．（1）若BCD ∆的面积为CD ；（2）若cos 5BCA ∠=，cos 10DCA ∠=CD ．【答案】（1）CD =（2【解析】(1)根据三角形面积公式与余弦定理求解即可.(2)根据BCD BCA DCA ∠=∠-∠,再利用三角函数的同角三角函数关系与差角公式求解即可. 【详解】 解：（1）1sin 2BCD S BD BC B ∆=⋅⋅ ∴4BC =在BCD ∆中,由余弦定理可得2222212cos 42242122CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=∴CD =（2）BCD BCA DCA ∠=∠-∠∴sin sin cos cos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠cos5BCA ∠=,cos 10DCA ∠=∴sin BCA ∠==,sin DCA ∠==∴1010sin BCD ∠==在BCD ∆中,由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠,∴sin sin BD BCD BCD⋅==∠【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积的运用,属于中等题型.18．某单位共有职工2000人，其中男职工1200人，女职工800人为调查2019年“双十一”购物节的消费情况，按照性别采用分层抽样的方法抽取了该单位100人在“双十一”当天网络购物的消费金额(单位：百元)，其频率分布直方图如下：（1）已知抽取的样本中，有3名女职工的消费不低于1000元，现从消费不低于1000元的职工中抽取3名职工进行购物指导，求抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率； （2）在“双十一”当天网络购物消费金额不低于600元者称为“购物狂”，低于600元者称为“理性购物者”.已知在抽取的样本中有18名女职工消费不低于600元，请完成上图中的列联表，并判断能否有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关. 附：参考数据与公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）710（2）列联表见解析；有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关 【解析】（1）消费不低于1000元的共有5人，其中女职工3人设为,,A B C ，男职工2人，设为,a b ，列出所有情况，再统计满足条件的情况，得到概率. （2）完善列联表，计算27.143K ≈，对比临界值表得到答案. 【详解】（1）消费不低于1000元的共有0.0252100=5⨯⨯人， 其中女职工3人设为,,A B C ，男职工2人，设为,a b . 从5名职工中选取3名职工的可能情况如下：（,,A B C ），（,,A B a ），（,,A B b ），（,,A C a ），（,,A C b ），（,,B C a ），（,,B C b ）（,,A a b ），（,,B a b ），（,,C a b ）共10种情况. 其中至少有两名女职工包括7种情况.所以抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率710P =. （2）应抽取男职工：1201000=60⨯人，抽取女职工：800100=402000⨯人，理性购物者购物狂合计男 48 12 60 女 22 18 40 合计 703010022(48182212)1007.14360407030K ⨯-⨯⨯=≈⨯⨯⨯，因为7.143 6.635>，所以有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关. 【点睛】本题考查了概率的计算，独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.19．如图所示的几何体B －ACDE 中，AB ⊥AC ，AB ＝4，AC ＝3，DC ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，点M 在线段BC 上，且AM ＝125.（1）证明：AM ⊥平面BCD ；（2）若点F 为线段BE 的中点，且三棱锥F －BCD 的体积为1，求CD 的长度. 【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】（1）证明AM DC ⊥，根据余弦定理得到95CM =，再根据勾股定理得到AM BC ⊥，得到证明.（2））取AB 的中点N ，BM 的中点P ，连接FN ，PN ，证明//FN 平面BCD ，故点F 到平面BCD 的距离等于点N 到平面BCD 的距离，设CD a =，根据体积得到答案. 【详解】 （1）DC ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，∴AM DC ⊥.在ABC∆中，AB AC ⊥，4AB =，3AC =，∴5BC =.由2223cos 25AC CM AM ACM AC CM +-∠==⋅得221293565CM CM ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，∴95CM =. ∴AM CM AC 222+=，AM CM ∴⊥，即AM BC ⊥.BCDC C =，BC ⊂平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AM ⊥平面BCD .（2）取AB 的中点N ，BM 的中点P ，连接FN ，PN ，∴//PN AM ，1625PN AM ==，点F 为线段BE 中点，∴//FN EA .DC ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，∴//DC EA ，DC BC ⊥，∴//FN DC . FN ⊄平面BCD ，DC ⊂平面BCD ，∴//FN 平面BCD ，∴点F 到平面BCD 的距离等于点N 到平面BCD 的距离，AM ⊥平面BCD ，∴PN平面BCD .设CD a =，则11651325F BCD V a -=⨯⨯⨯=三棱锥，∴1a =，即CD 长为1.【点睛】本题考查了线面垂直，根据体积求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 20．已知抛物线C ：x 2＝2y ，过点(0，2)作直线l 交抛物线于A 、B 两点. （1）证明：OA ⊥OB ；（2）若直线l 的斜率为1，过点A 、B 分别作抛物线的切线l 1，l 2，若直线l 1，l 2，相交于点P ，直线l 1，l 2交x 轴分别于点M ，N ，求△MNP 的外接圆的方程.【答案】（1）证明见解析（2）2213292416x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）设直线l ：2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立方程得到122x x k +=，124x x =-，故12120OA OB x x y y ⋅=+=，得到证明.（2）求导得到y x '=，得到切线方程21112y x x x =-和22212y x x x =-，计算点(1,2)P -，设MNP ∆的外接圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，计算得到1D =-，1F =-，32E =，得到答案. 【详解】（1）显然直线l 的斜率存在，设直线l ：2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y联立222y kx x y=+⎧⎨=⎩得2240x kx --=，∴24160k ∆=+>，122x x k +=，124x x =-，∴2121212121()04OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+=，∴OA OB ⊥.（2）1k =，∴122x x +=，124x x =-，y x '=∴切线1l ：111()y y x x x -=-即21112y x x x =-，同理可得切线2l ：22212y x x x =-.令0y =，则11(,0)2M x ，21(,0)2N x ，联立2112221212y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得点(1,2)P -，设MNP ∆的外接圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，令0y =，则20x Dx F ++=.∴由韦达定理可得1211+22x x D =-，1214x x F =， ∴1D =-，1F =-且520D E F +-+=，∴32E =， 则圆的方程为：223102x y x y +-+-=，即2213292416x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了抛物线中的垂直关系的证明，切线问题，外接圆方程，意在考查学生的综合应用能力.21．已知函数2()ln a f x x x x x=-+. （1）若函数f (x )在定义域内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当a ∈[1，e )时，求方程()2af x ax =-的根的个数. 【答案】（1）14a ≥（2）有且只有一个根 【解析】（1）211()1+=0ax x f x ax x x-+'=-≥，即2max 1x a x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，求函数21x y x -=的最大值得到答案.（2）求导(1)(1)()ax x g x x--'=，讨论1a =，(1,)a e ∈两种情况，根据单调性得到()g x 的极大值为11()ln 122a g a a a=---，设1()ln 122a h a a a =---，求导得到函数单调递增，再根据零点存在定理得到答案. 【详解】（1）定义域：(0,)+∞，211()1+=0ax x f x ax x x-+'=-≥在(0,)x ∈+∞时恒成立，即210ax x -+≥在(0,)x ∈+∞时恒成立，所以(0,)x ∈+∞时，2max1x a x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，由于2221111111()244x y x x x x -==-=--+≤，所以14a ≥. （2）设()()2a g x f x ax =-+=2+ln 22a ax ax x x --+21(1)1(1)(1)()1ax a x ax x g x ax a x x x-++--'=--+==， ①当1a =时，()0g x '≥，()g x 在()0,∞+是单调递增，()110g =-<，()14ln 402g =+>， 所以存在唯一的()01,4x ∈使()00g x =，即方程()2af x ax =-只有一个根. ②当(1,)a e ∈时，则101a <<，令()0g x '=，有1x a=或1x =. 所以()g x 在1(0,)a上是增函数，在1(1)a，上是减函数，在(1+)∞，上是增函数， ()g x 的极大值为1111()1ln ln 12222a a g a a a a a a=---+=---.设1()ln 122a h a a a =---，其中(1,)a e ∈，则222111(1)()+0222a h a a a a-'=-=>. 所以()h a 在(1,)a e ∈上是增函数，所以1()()2022e h a h e e <=--<，即1()0g a<， 所以()g x 在()0,1上无零点.又(1)=1<0g -，991(4)=4ln 44+ln 4ln 40222a g -+>-=+>，所以(1)(4)0g g ⋅<，又()y g x =在(1,+)∞单调递增，所以存在唯一的()01,4x ∈使()00g x =. 即方程()2af x ax =-只有一个根. 综上所述，当[1,)a e ∈时，方程()2af x ax =-有且只有一个根. 【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，函数的零点个数问题，意在考查学生的计算能力和和综合应用能力.22．在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2sin ρθ．（1）写出直线1C 的极坐标方程；（2）设动直线:(0)l y kx k =>与1C ，2C 分别交于点M 、N ，求ONOM的最大值．【答案】（1）sin()4πρθ+=2）2【解析】(1)消去参数t 求1C 的直角坐标方程,再根据cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程化简即可.(2) 设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,再根据极坐标的几何意义求解即可.【详解】解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=, 将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得sin cos 2ρθρθ+=,即sin()4πρθ+=（2）设直线l 的极坐标方程为=0<<)2πθαα(,设12(,),(,)M N ραρα,则212sin sin()1=)242ON OM πααρπαρ+=-+,由02πα<<,有32444πππα-<-<,当sin(2)=14πα-时,ON OM 的最大值为2． 【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标的互化以及直角坐标化极坐标的方法.同时也考查了极坐标的几何意义,属于中等题型. 23．已知函数()2f x x =-． （1）求不等式()25f x x ≤+的解集；（2）记函数()(1)(5)g x f x f x =+--+，且()g x 的最大值为M ，若0a >，求证：213Ma a+≥． 【答案】（1）[)1,-+∞（2）见解析【解析】(1)根据绝对值不等式的方法求解即可.(2)利用绝对值的三角不等式可得2M =,再利用三元基本不等式求证即可. 【详解】解：（1）由()25f x x ≤+得25025225x x x x +≥⎧⎨--≤-≤+⎩,解得1x ≥-∴不等式()25f x x ≤+的解集为[)1,-+∞．（2）()(1)(5)13132g x f x f x x x x x =+--+=---+≤--+=当且仅当3x ≥时等号成立,∴2M =,∴22211123Ma a a a a a a +=+=++≥=． 当且仅当21a a=,即1a =时等号成立． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及绝对值三角不等式和三元的基本不等式的方法,属于中等题型.。
2020届《红对勾》高三历史二轮复习【通史版】高考题型天天练：高考选择题48分标准练2 Word版含解析
高考选择题48分标准练(二)时间：15分钟分值：每小题4分满分：48分1．(2018·洛阳市高三模拟)汉代统治者在选择政治指导思想的过程中，把忠孝之道奉为至德要道，用于规范人们的观念和制约人们行为选择的政治伦理准则，对于汉代统治者来说，忠孝之道是维护汉代家天下的“大经大法”，具有其他“治道”所没有的特殊功效。
汉代以忠孝治天下( )A．推动了儒学的政治化进程B．带动了民间积极向学的风气C．遏制了思想界的活跃局面D．是对先秦民本思想的实践答案：A解析：材料“忠孝之道是维护汉代家天下的‘大经大法’”反映了儒家的忠孝思想为汉代统治者服务的特点，这推动了儒学的政治化进程，故A正确；汉代以忠孝治天下的主要目的是巩固统治，而不是倡导民间积极向学的风气，故B错误；以忠孝治天下，并不是排斥其他思想学说，故C错误；先秦民本思想与忠孝思想没有直接联系，故D错误。
2．(2018·广西桂林市高三二模)汉武帝规定，“敢私铸铁器、煮盐者，钛左趾，没入其器物”。
后世的历朝历代，也大都心照不宣地沿用了这一做法。
这主要体现了( )A．历代将汉武帝作为治国榜样B．汉代经济制度为后代所推崇C．富商大贾与小农之间的矛盾D．政府对国计民生行业的控制答案：D解析：由材料可知，汉武帝实行的盐铁官营的专卖制度为后世历朝历代所沿用，这是历代政府重视对有关国计民生的冶铁、煮盐业管控的体现，D项正确。
材料强调的是后世对汉武帝专卖制度的沿用，并非以汉武帝为榜样，也不是推崇汉代经济制度，A、B两项错误；材料体现的是政府与富商大贾间的矛盾，C项错误。
3．(2018·厦门市高三模拟)魏晋南北朝时宰相事权，由中书、门下、尚书三省协同行使。
隋唐又进一步完善为中书省拟旨、门下省审核、尚书省执行的分工协作。
宋元之际三省制消亡，仍沿袭群相旧例，设丞相、平章、参政、左、右丞等多名官员，会议处理朝廷机务。
材料中三省制演变( )A．从制度上消除了腐败的根源B．是人治与法治的紧密结合C．是权力分割与制约的产物D．加强了中央对地方的控制答案：C解析：三省制属于封建政治制度，不可能从制度上消除腐败的根源，故A错误；封建社会并不存在“法治”，故材料不能体现人治与法治的紧密结合，B错误；从魏晋南北朝到宋元之际，都以群相会议处理朝廷机务，这体现了权力分割与制约，故C正确；材料未涉及中央对地方的控制的问题，故D错误。
湖南省永州市2020届高三上学期第二次模拟考试(理数)
湖南省永州市2020届高三上学期第二次模拟考试数学（理科）注意事项：1.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
2.考试结束后，只交答题卡。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z满足21zi=+，则z的共轭复数为A.1－iB.1＋iC.－1＋iD.－1－i2.已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|log2x>0}，则A.A∩B＝{x|1<x<3}B.A∩B＝ϕC.A∪B＝{x|x<3}D.A∪B＝{x|x>1}3.执行右图所示程序框图，若输入p＝14，则输出结果为A.2B.3C.4D.54.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图(1)所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图(2)所示。
对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是A.他们健身后，体重在区间[90kg，100kg)内的人数不变B.他们健身后，体重在区间[100kg，110kg)内的人数减少了4人C.他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg ，100kg)D.他们健身后，原来体重在[110kg ，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg 5.已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -⋅⋅⋅是首项为8，公比为12的等比数列，则a 4等于 A.8 B.32 C.64 D.1286.某校高三年级有男生220人，编号为1，2，…，220；姓380人，编号为221，222，…，600。
为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查，第一组抽到的号码为10。
现从这10名学生中随机抽取2人进行座谈，则这2人中既有男生又有女生的概率是 A.15 B.715 C.815 D.457.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋1)＋f(3－x)＝0，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝A.－2B.0C.2D.20208.已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图像如右图所示，且A(2π，－l)，B(π，1)，则φ的值为A.－56π B.56π C.－6π D.6π 9.北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便。