北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学理科试题

合集下载

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学文科试题、答案及评分标准

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）2017.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么A B = （A ）{|01}x x << （B ）{|12}x x << （C ）{|10}x x -<<（D ）{|12}x x -<<2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x =（C ）2xy =（D ）sin y x x =+3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）1 （B ）0 （C ）3- （D ）10-4．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A）0x = （B0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=5．实数x ，y 满足10,10,20,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥则4y x -的取值范围是（A ）(,4]-∞（B ）(,7]-∞（C ）1[,4]2-（D ）1[,7]2-7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（A）20+（B）14+（C ）26 （D）12+6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8．8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（A ）14 （B ）13（C ）12（D ）11第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____． 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A ，(3,1)B -，则△AOB 的面积是____． 11．已知圆22(1)4x y -+=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p =____．12．函数y =____；最小值是____． 13．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．14．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，23a =，3611a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设12nn n a b a =+，其中*n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知 A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）判断A ，B 两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．（注：n 个数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：AB PD ⊥；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ；（Ⅲ）设平面PAB 平面PCD PM =，点M 在平面ABCD 上．当PA PD ⊥时，求PM 的长．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点是1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12||||4PF PF +=．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，M 是椭圆C 上一点，直线MP 和MQ 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）对于函数()f x ，若存在实数0x 满足00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的一个不动点．已知函数32()3f x x ax bx =+++，其中,a b ∈R ．（Ⅰ）当0a =时，（ⅰ）求()f x 的极值点；（ⅱ）若存在0x 既是()f x 的极值点，又是()f x 的不动点，求b 的值；（Ⅱ）若()f x 有两个相异的极值点1x ，2x ，试问：是否存在a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点？证明你的结论．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．C 4．B 5．A6．C 7．A 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．i 10．211．212．(0,)+∞；413[4,9) 注：第12，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有113,2711.a d a d +=⎧⎨+=⎩[4分] 解得12a =，1d =．[6分]所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a a n d n =+-=+．[7分]（Ⅱ）111122n n n a n b a n +=+=++．[8分] 因为数列11{}2n +是首项为14，公比为12的等比数列，[9分]所以11[1()](3)421212n n n n S -+=+-[11分] 2131122n n n +++=-．[13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [ 4分]12cos 222x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==, 解得1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为2- [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）A 05244120123(h)5x ++++=+=，[2分]B 2370(120)1205a x -++++-=+，[3分]由A B x x =，解得127a =．[4分]（Ⅱ）设A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为2A s ，2B s ，则22A Bs s <．[7分] （Ⅲ）设A 型号手机为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ；B 型号手机为1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C ．[8分]从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，不同的抽取方法有25种．[10分]抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：11(A ,B )，14(A ,B )，31(A ,B )，34(A ,B )，共4种． [11分]因此4(C)25P =，所以21(C)1(C)25P P =-=．所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是2125．[13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥，[1分] 又因为AB PA ⊥，[2分]所以AB ⊥平面PAD ，[3分]所以AB PD ⊥．[4分]（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分]因为E 为棱PD 中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[8分]又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ．[9分]（Ⅲ）在平面ABCD 上，延长AB ，CD 交于点M ．因为M AB ∈，所以M ∈平面PAB ；又M CD ∈，所以M ∈平面PCD ，所以平面PAB 平面PCD PM =．[11分]在△ADM 中，因为//BC AD ，12BC AD =，所以 22AM AB ==．[12分]因为PA PD ⊥，所以△APD 是等腰直角三角形，所以PA =[13分]由（Ⅰ）得AM ⊥平面PAD ，所以AM PA ⊥．在直角△PAM 中，PM =[14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得12||||24PF PF a +==，2a =．[2分]将点P 的坐标代入22214x y b+=，得22114b +=，解得b =[4分]所以，椭圆C 的方程是22142x y +=．[5分]（Ⅱ）依题意，得1)Q -．设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x ≠01y ≠±．[6分]直线MP的方程为1y x -=，[7分]令0y =，得0x =，[8分]所以OE =直线MQ的方程为1y x +=，[9分]令0y =，得0001x x y +=+，[10分]所以OF =．所以22002021y x OE OF y -⋅- 2200202(42)=1y y y ---[12分] =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且2()32f x x ax b '=++．[1分]当0a =时，2()3f x x b '=+．（ⅰ）① 当0b ≥时，显然()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值点．[2分]② 当0b <时，令()0f x '=，解得x =．[3分] ()f x 和()f x '的变化情况如下表：（ⅱ）若0x x =是()f x 的极值点，则有2030x b +=；若0x x =是()f x 的不动点，则有30003x bx x ++=．从上述两式中消去b ，整理得300230x x +-=．[6分]设3()23g x x x =+-．所以2()610g x x '=+>，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增．又(1)0g =，所以函数()g x 有且仅有一个零点1x =，即方程300230x x +-=的根为01x =，所以 2033b x =-=-．[8分]（Ⅱ）因为()f x 有两个相异的极值点1x ，2x ，所以方程2320x ax b ++=有两个不等实根1x ，2x ，所以24120a b ∆=->，即230a b ->．[9分]假设存在实数a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点，则1x ，2x 是方程第11页共11页 32(1)30x ax b x ++-+=的两个实根，显然1x ，20x ≠．对于实根1x ，有32111(1)30x ax b x ++-+=．①又因为211320x ax b ++=．②①3⨯-②1x ⨯，得 211(23)90ax b x +-+=．同理可得222(23)90ax b x +-+=．所以，方程2(23)90ax b x +-+=也有两个不等实根1x ，2x ．[11分] 所以1223b x x a-+=-．对于方程2320x ax b ++=，有 1223a x x +=-，所以2233a b a--=-，即2932a b -=-，这与230a b ->相矛盾！所以，不存在a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点．[13分]。

.4.西城.高三数学答案.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作北京市西城区2016年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科）2016.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．A 3．B 4．B 5．D 6．A 7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．29n - 16- 11．3 33y x =±12．6 13．21 14．○1○4注：第10，11题第一问2分，第二问3分；第14题多选、少选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 sin 3sin B C =，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得 3b c =. ………………3分由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-及π3A =，7a =， ………………5分得 227b c bc =+-，所以 222()733b b b +-=，解得 3b =. ………………7分（Ⅱ）解：由π3A =，得2π3B C =-. 所以 2πsin()3sin 3C C -=. ………………8分即31cos sin 3sin 22C C C +=， ………………11分所以35cos sin 22C C =，所以3tan 5C =. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，………………2分所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有30100075040⨯=人. ……4分（Ⅱ）解：设 “至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件A ， ………………5分由题意，得2325C 37()11C 1010P A =-=-=，因此至少有1人体育成绩在[60,70)的概率是710. ………………9分（Ⅲ）解：a , b , c 的值分别是为79, 84, 90；或79, 85, 90. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由11CC D D 为矩形，得11//CC DD ，又因为1DD ⊂平面1ADD ，1CC ⊄平面1ADD ，所以1//CC 平面1ADD ， ……………… 2分同理//BC 平面1ADD ，又因为1BCCC C =，所以平面1//BCC 平面1ADD , ……………… 3分又因为1BC ⊂平面1BCC ，所以1//BC 平面1ADD . ……………… 4分（Ⅱ）解：由平面ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=，得AB BC ⊥，又因为1AB BC ⊥，1BC BC B =，所以AB ⊥平面1BCC ，所以1AB CC ⊥，又因为四边形11CC D D 为矩形，且底面ABCD 中AB 与CD 相交一点，所以1CC ⊥平面ABCD ，因为11//CC DD ，所以1DD ⊥平面ABCD .过D 在底面ABCD 中作DM AD ⊥，所以1,,DA DM DD 两两垂直，以1,,DA DM DD 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分则(0,0,0)D ，(4,0,0)A ，(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,2)C ，1(0,0,2)D ，所以1(1,2,2)AC =-,1(4,0,2)AD =-. 设平面11AC D 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由10AC ⋅=m ，10AD ⋅=m ，得220,420,x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩令2x =，得(2,3,4)=-m . ………………8分易得平面1ADD 的法向量(0,1,0)=n . 所以329cos ,||||29⋅<>==-m n m n m n . 即平面11AC D 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值为32929. ………………10分（Ⅲ）结论：直线1BC 与CP 不可能垂直. ………………11分证明：设1(0)DD m m =>，1((0,1))DP DC λλ=∈，由(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,)C m ，(0,0,0)D ，ABCDD 1C 1Pyxz得1(1,0,)BC m =-，1(3,2,)DC m =，1(3,2,)DP DC m λλλλ==，(3,2,0)CD =--， (33,22,)CP CD DP m λλλ=+=--. ………………12分若1BC CP ⊥，则21(33)0BC CP m λλ⋅=--+=，即2(3)3m λ-=-，因为0λ≠，所以2330m λ=-+>，解得1λ>，这与01λ<<矛盾.所以直线1BC 与CP 不可能垂直. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：对()f x 求导，得1()(1)e e x x f x x a -'=+-， ………………2分所以(1)2e e f a '=-=，解得e a =. ………………3分故()e e x x f x x =-，()e x f x x '=. 令()0f x '=，得0x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：x(,0)-∞0 (0,)+∞()f x ' -0 +()f x↘↗所以函数()f x 的单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞. ………………5分（Ⅱ）解：方程2()2f x kx =-，即为2(1)e 20x x kx --+=，设函数2()(1)e 2x g x x kx =--+. ………………6分求导，得()e 2(e 2)x x g x x kx x k '=-=-．由()0g x '=，解得0x =，或ln(2)x k =. ………………7分所以当(0,)x ∈+∞变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：x (0,ln(2))kln(2)k (ln(2),)k +∞()g x ' -0 +()g x↘↗所以函数()g x 在(0,ln(2))k 单调递减，在(ln(2),)k +∞上单调递增. ………………9分由2k >，得ln(2)ln 41k >>.又因为(1)20g k =-+<，所以(ln(2))0g k <.不妨设12x x <（其中12,x x 为2()2f x kx =-的两个正实数根），因为函数()g x 在(0,ln 2)k 单调递减，且(0)10g =>，(1)20g k =-+<，所以101x <<. ………………11分同理根据函数()g x 在(ln 2,)k +∞上单调递增，且(ln(2))0g k <，可得2ln(2)ln 4x k >>，所以12214||ln 41ln ex x x x -=->-=，即 124||ln ex x ->. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，椭圆C ：221113x y m m+=， ………………1分所以21a m =，213b m=，故12226a m ==，解得16m =，所以椭圆C 的方程为22162x y +=. ………………3分因为222c a b =-=，所以离心率63c e a ==. ………………5分（Ⅱ）解：设线段AP 的中点为D ，因为||||BA BP =，所以BD AP ⊥， ………………7分由题意，直线BD 的斜率存在，设点000(,)(0)P x y y ≠，则点D 的坐标为003(,)22x y +，且直线AP 的斜率003AP y k x =-， ………………8分所以直线BD 的斜率为031AP x k y --=，所以直线BD 的方程为：000033()22y x x y x y -+-=-. ………………10分令0x =，得2200092x y y y +-=，则220009(0,)2x y B y +-，由2200162x y +=，得22063x y =-，化简，得20023(0,)2y B y --. ………………11分所以四边形OPAB 的面积OPAB OAP OAB S S S ∆∆=+200023113||3||222y y y --=⨯⨯+⨯⨯………………12分 2000233(||||)22y y y --=+ 0033(2||)22||y y =+003322||22||y y ⨯⨯≥ 33=.当且仅当00322y y =，即03[2,2]2y =±∈-时等号成立. 所以四边形OPAB 面积的最小值为33. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离为7. ………………2分（Ⅱ）解：设1a p =，其中0p ≠，且1p ≠±.由111n n n a a a ++=-，得211p a p +=-，31a p=-，411p a p -=+，5a p =，所以15a a =，因此A 中数列的项周期性重复，且每隔4项重复一次. ………………4分所以{}n b 中，432k b -=，423k b -=-，4112k b -=-，413k b =（*k ∈N ），所以{}n c 中，433k c -=，422k c -=-，4113k c -=-，412k c =（*k ∈N ）. ……………5分由111||||k ki i i i i i b c b c +==--∑∑≥，得项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大.由417||3i i i b c =-=∑， ………………6分得34564864117||||86420163i i i ii i b c b c ⨯==-=-=⨯=∑∑.所以当3456m <时，1||2016mi i i b c =-<∑.故m 的最大值为3455. ………………8分（Ⅲ）证明：假设T 中的元素个数大于或等于17个. 因为数列{}n a 中，0i a =或1，所以仅由数列前三项组成的数组123,,)(a a a 有且只有8个：,0,0)(0，,0,0)(1，,1,0)(0，,0,1)(0，,1,0)(1，,0,1)(1，,1,1)(0，,1,1)(1.那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的123,,a a a . ………………10分设这三个数列分别为1234567,,,,,,{}n c c c c c c c c ：；1234567,,,,,,{}n d d d d d d d d ：；123456,,,,,,{}n f f f f f f f f ：，其中111d f c ==，222d f c ==，333d f c ==.因为这三个数列中每两个的距离大于或等于3，所以{}n c 与{}n d 中，(4,5,6,7)i i c d i ≠=中至少有3个成立.不妨设445566,,c d c d c d ≠≠≠.由题意，得44,c d 中一个等于0，而另一个等于1.又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立，同理，得55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立，所以“(4,5,6)i i f c i ==中至少有两个成立”或“(4,5,6)i i f d i ==中至少有两个成立”中必有一个成立.所以71||2i i i f c =-∑≤和71||2i i i f d =-∑≤中必有一个成立.这与题意矛盾，所以T 中的元素个数小于或等于16. ………………13分。

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷-理数-含答案

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2017.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =-≤，那么AB =（A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤ （C ）{|10}x x -<≤（D ）{|12}x x <≤2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x = （C ）2xy =（D ）sin y x x =+3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x ±= （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（A ）3（B ）（C ）6（D ）6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是（A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]-（D ）(,1][1,)-∞-+∞8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是（A）1] （B ）[1,3] （C）1,2] （D）1]第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____．10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．13．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤ 其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ， 90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ；（Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．18．（本小题满分13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值；（Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）数字1,2,3,,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ；（Ⅱ）求集合nn A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；63 11． 3-12 13[4,9) 14．16 注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ω==, 解得 1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为 7π12x ≤≤0，所以 ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为2-． [13分]解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥， [ 1分]又因为 AB PA ⊥，所以 AB ⊥平面PAD ． [ 3分] 所以平面PAD ⊥平面ABCD ． [ 4分] （Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ． [ 5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为 //BC AD ，12BC AD =，所以 //BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ． [7分]又 BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ． [ 8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 9分] 设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ．所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=．设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ． [11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ，解得 1a =． [13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． [ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3． [ 4分]4711(0)35C P X ===； 133447C C 12(1)35C P X ===； 223447C C 18(2)35C P X ===； 3447C 4(3)35C P X ===． [ 8分] 所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =． [13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， [ 1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-． [ 2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以 (1)1f '=-，即 11a -=-， [ 3分] 所以 2a =． [ 4分] （Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥． [ 6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以 11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥． [ 8分] 令 ()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-． [10分] 因为 (0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以 (0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=． [12分] 所以 1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB = [ 2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3， [ 4分]所以 △MAB面积的最大值是2． [ 5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而 2224t n +=． [ 6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±． [ 7分]直线MA 的方程为 00()y ny n x t x t--=--， [ 8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而 000ty nx OE y n-=-． [ 9分]直线MB 的方程为00()y ny n x t x t++=--， [10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而 000ty nx OF y n+=+． [11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222202204242=n y n y y n ---- [13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =． [ 3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤，所以 ()()i j a i i a j j -+<-+，所以 i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列，所以{(1,2,3,,)}n A n =． [ 5分]又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有 i j a i a j ++≤．所以 (1,2,3,,)n n B ∈，所以 n n A B ⊆． [ 7分]所以集合nn A B 的元素个数为1． [ 8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤，所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥，又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-．依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =．所以 11a =．此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个． [10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个．综上 23111n n b b b b -=+++++，3n ≥．因为 3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=， [12分] 所以对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12n n b b -=．所以 {}n b 成等比数列． [13分]。

2017西城区高二第一学期理科数学期末试卷及答案

2
3x 2 3 y 2 1 （ C） 20 5
3x 2 3 y 2 1 （D） 5 20
7. 已知 A(3, 0) ， B(0, 4) ，动点 P( x, y ) 在线段 AB 上运动，则 xy 的最大值为（（A） 5 （B） 4 （ C） 3 （D） 2
）
8. 用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论： ① 正方体的截面不可能是直角三角形； ② 正四面体的截面不可能是直角三角形； ③ 正方体的截面可能是直角梯形； ④ 若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形. 其中，所有正确结论的序号是（（A）②③ （B）①②④ ）（C）①③ （D）①④
即分
……………8 分
x 0, 2 y z 0.
令 y 1 ，则 z 2 .所以 n (0,1, 2) .
……………10
由(Ⅰ)可知 AM (1,1, 0) 为平面 BPC 的法向量，设 n, AM 的夹角为，

n AM 1 10 则 cos . 5 2 10 n AM
EA ED ，且 AB 4 , BC CD EA ED 2 .
（Ⅰ）求证: BD 平面 ADE ；（Ⅱ）求 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段 CE 上是否存在一点 F ，使得平面 BDF 平面 CDE ，请说明理由. A E D C
B
20．（本小题满分 14 分）如图，过原点 O 引两条直线 l1 , l2 与抛物线 W1 : y 2 2 px 和 W2 : y 2 4 px （其中 p 为常数， p 0 ）分别交于四个点 A1 , B1 , A2 , B2 . （Ⅰ）求抛物线 W1 ,W2 准线间的距离；（Ⅱ）证明： A1 B1 // A2 B2 ；（Ⅲ）若 l1 l2 ，求梯形 A 1 A2 B2 B 1 面积的最小值.

北京市西城区2017届高三上学期期末考试数学(理)试题【含答案】

北京市西城区2016-2017学年度第一学期高三期末理科数学2017．1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}02A x x =<<，{}210B x x =-≤，那么AB =（）A ．{}01x x <≤B ．{}12x x -≤<C ．{}10x x -≤<D ．{}12x x ≤<2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（） A ．21y x =+B ．tan y x =C ．2x y =D ．sin y x x =+3．已知双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点是()20，，则其渐近线的方程为（）A．0x =B0y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=4．在极坐标系中，过点26P π⎛⎫⎪⎝⎭，且平行于极轴的直线的方程是（） A ．sin 1=ρθB．sin =ρθC ．cos 1=ρθD．cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（ A ．3 B．C ．6 D．6．设，a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．实数x y ，满足3060x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a 的取值范围是（）A ．[]10-，B ．[]01，C ．[]11-，D ．(][)11-∞-+∞，，8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A B 、分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则OP 的取值范围是（）A．1⎤⎦B ．[]13，C．12⎤⎦，D．11⎡⎤⎣⎦，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数11ii+=-____________． 10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =则n a =_____；6S =_____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____________． 12．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____________．13．设函数()30log x af x x x a≤≤=>⎪⎩，，其中0a >．① 若3a =，则()9f f =⎡⎤⎣⎦___________；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____________．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()2sin 22cos 16f x x x πωω⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间7012π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ；（Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A B 、两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A B 、两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a b 、是正整数，且a b ．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求A B 、的分布列；（Ⅲ）设A B 、两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a b 、的值（结论不要求证明）．已知函数()()ln sin 1f x x a x =-⋅-，其中a R ∈．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值；（Ⅱ）如果()f x 在区间()01，上为增函数，求a 的取值范围．已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求MAB ∆面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：OE OF ⋅为定值．数字()1232n n ≥，，，，的任意一个排列记作()12n a a a ，，，，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合(){12n nnA a a a S=∈，，，任意整数1i j i j n ≤<≤、，，都有}i j a i a j -≤-；集合(){12n nnB a a a S=∈，，，任意整数1i j i j n ≤<≤、，，都有}i j a i a j +≤+．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ；（Ⅱ）求集合nn A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；63 11． 3-12 13[4,9) 14．16 注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [ 4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ω==, 解得 1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为 7π12x ≤≤0，所以 ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为2-． [13分]16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥， [ 1分]又因为 AB PA ⊥，所以 AB ⊥平面PAD ． [ 3分] 所以平面PAD ⊥平面ABCD ． [ 4分] （Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ． [ 5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为 //BC AD ，12BC AD =，所以 //BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ． [7分]又 BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ． [ 8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 9分] 设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ．所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=．设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ． [11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉==|n n n ，解得 1a =． [13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． [ 3分]（Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3． [ 4分]4711(0)35C P X ===； 133447C C 12(1)35C P X ===；223447C C 18(2)35C P X ===； 3447C 4(3)35C P X ===． [ 8分]所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =． [13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， [ 1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-． [ 2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以 (1)1f '=-，即 11a -=-， [ 3分] 所以 2a =． [ 4分] （Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥． [ 6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以 11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥． [ 8分]令 ()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-． [10分] 因为 (0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以()(1)1g x g <=． [12分] 所以 1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得y =，所以||AB = [ 2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3， [ 4分]所以 △MAB[ 5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而 2224t n +=． [ 6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±． [ 7分] 直线MA 的方程为 00()y n y n x t x t--=--， [ 8分] 令0y =，得000ty nx x y n-=-，从而 000ty nx OE y n -=-． [ 9分] 直线M B 的方程为00()y n y n x t x t ++=--， [10分] 令0y =，得000ty nx x y n+=+，从而 000ty nx OF y n +=+． [11分] 所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n-- ()()2222002204242=n y n y y n ---- [13分]22022044=y n y n-- =4．所以OE OF ⋅为定值． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =． [ 3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤，所以 ()()i j a i i a j j -+<-+，所以 i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列，所以{(1,2,3,,)}n A n =． [ 5分] 又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有 i j a i a j ++≤．所以 (1,2,3,,)n n B ∈，所以 n n A B ⊆． [ 7分] 所以集合n n A B 的元素个数为1． [ 8分] （Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤，所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥，又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-．依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =．所以 11a =．此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个． [10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个．综上 23111n n b b b b -=+++++，3n ≥．因为 3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=， [12分] 所以对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12nn b b -=．所以 {}n b 成等比数列． [13分]。

北京市西城区2016届高三上学期期末考试理数试题(解析版)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【答案】A【解析】试题分析：∵A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，∴a+2≤1，即a≤﹣1，则实数a的范围为（﹣∞，﹣1]，故选：A．考点：交集及其运算．2．下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=e x﹣e﹣x C．y=lg|x| D．y=【答案】C【解析】试题分析：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=e x﹣e﹣x是奇函数．y=lg|x|是偶函数，值域为：R．y=[0，+∞）．故选：C考点：函数奇偶性的判断．3．设命题p：“若1sin2α=，则6πα=”，命题q：“若a＞b，则11a b<”，则（）A．“p∧q”为真命题 B．“p∨q”为假命题C．“￢q”为假命题D．以上都不对【答案】B 【解析】试题分析：命题p ：“若1sin 2α=，则6πα=”是假命题，命题q ：“若a ＞b ，则11a b<”，如：a=1，b=﹣1，故命题q 是假命题，故p∨q 是假命题，故选：B ．考点：复合命题的真假．4．“212*,n n n n N a a a ++∀∈=”是“数列{a n }为等比数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：若数列{a n }是等比数列，根据等比数列的性质得：212*,n n n n N a a a ++∀∈=，反之，若“212*,n n n n N a a a ++∀∈=”，当a n =0，此式也成立，但数列{a n }不是等比数列， ∴“212*,n n n n N a a a ++∀∈=”是“数列{a n }为等比数列”的必要不充分条件，故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+ 【答案】B 【解析】试题分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，其底面面积为：×（1+2）×2=3，底面周长为：高为：2，故四棱柱的表面积S=2×3+（16+，故选：B考点：由三视图求面积、体积．6．设x ，y 满足约束条件13y x x y y m -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z=x+3y 的最大值与最小值的差为7，则实数m=（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：由约束条件13y x x y y m -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩作出可行域如图，联立13y x x y -=⎧⎨+=⎩，解得A （1，2），联立1y my x =⎧⎨-=⎩，解得B （m ﹣1，m ），化z=x+3y ，得33x zy =-+．由图可知，当直线33x zy =-+过A 时，z 有最大值为7，当直线33x zy =-+过B 时，z 有最大值为4m ﹣1，由题意，7﹣（4m ﹣1）=7，解得：m=14．考点：简单线性规划．7．某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，y（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．可得：当x＞4时，所收费用y=12+[x﹣4+12]×2+1=12[]52x++，考点：程序框图；分段函数的应用；函数模型的选择与应用．8．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE=2AE ，CF=2BF ．如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得成立，那么λ的取值范围是（）A ．（0，7）B ．（4，7）C ．（0，4）D ．（﹣5，16）【答案】C 【解析】试题分析：以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则E （0，4），F （6，4）．（1）若P 在CD 上，设P （x ，0），0≤x≤6．∴PE =（﹣x ，4）， PF =（6﹣x ，4）． ∴PE PF ⋅=x 2﹣6x+16，∵x∈[0，6]，∴7≤PE PF ⋅≤16． ∴当λ=7时有一解，当7＜λ≤16时有两解．（2）若P 在AD 上，设P （0，y ），0≤y≤6．∴PE =（0，4﹣y ），PF =（6，4﹣y ）． ∴PE PF ⋅=（4﹣y ）2=y 2﹣8y+16，∵0≤y≤6，∴0≤PE PF ⋅≤16． ∴当λ=0或4＜λ≤16，有一解，当0＜λ≤4时有两解．（3）若P 在AB 上，设P （x ，6），0≤x≤6. PE =（﹣x ，﹣2），PF =（6﹣x ，﹣2）． ∴PE PF ⋅=x 2﹣6x+4，∵0≤x≤6．∴﹣7≤PE PF ⋅≤4． ∴当λ=﹣7时有一解，当﹣7＜λ≤2时有两解．（4）若P 在BC 上，设P （6，y ），0≤y≤6，∴PE =（﹣6，4﹣y ），PF =（0，4﹣y ）． ∴PE PF ⋅=（4﹣y ）2=y 2﹣8y+16，∵0≤y≤6，∴0≤PE PF ⋅≤16． ∴当λ=0或4＜λ≤16，有一解，当0＜λ≤4时有两解．综上，∴0＜λ＜4．考点：平面向量数量积的运算．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足z （1+i ）=2﹣4i ，那么z= ．【答案】13i -- 【解析】试题分析：由z （1+i ）=2﹣4i ，得24(24)(1)26131(1)(1)2i i i iz i i i i -----====--++-．故答案为：﹣1﹣3i ．考点：复数代数形式的乘除运算．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若A=B ，a=3，c=2，则cosC= ．【答案】79【解析】试题分析：∵A=B，a=3，c=2，可得：b=3，∴cosC=2229942233a b c ab +-+-=⨯⨯=79．故答案为：79．考点：余弦定理．11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为；设F 1，F 2为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且|PF 1|=4，则|PF 2|= ．【答案】12y x =±,12 【解析】试题分析：双曲线C ：221164x y -=中a=4，b=2，则渐近线方程为12y x =±，由题意P 在双曲线的左支上，则|PF 2|﹣|PF 1|=2a=8， ∴|PF 2|=12 故答案为：12y x =±，12．考点：双曲线的简单性质．12．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN= ；AMMC= ．2-，916【解析】试题分析：由题意，AO==，由切割线定理可得9=AN•（+2），∴AN=． AC==5，由切割线定理可得9=AM•5，∴AM=95， ∴MC=165， ∴916AM MC =．2-，916．考点：与圆有关的比例线段．13．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有种．（用数字作答）【答案】54 【解析】试题分析：第一类，把甲乙看做一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中（2，1，1），C 42A 33=36种，第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲乙分配到其中2个小组，A 33C 32=18种，根据分类计数原理可得，共有36+18=54种，故答案为：54．考点：排列、组合的实际应用．14．某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系664,02,0kx x t x +≤⎧=⎨>⎩且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；②当x ∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是．【答案】①④ 【解析】试题分析：∵食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系664,02,0kx x t x +≤⎧=⎨>⎩且该食品在4℃的保鲜时间是16小时． ∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=﹣12， ∴16264,02,0x x t x -+≤⎧⎪=⎨⎪>⎩，当x=6时，t=8，故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；②当x ∈[﹣6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x ∈（0，6]时，该食品的保鲜时间t 随看x 增大而逐渐减少，故错误；③到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确，故正确的结论的序号为：①④，故答案为：①④．考点：命题的真假判断与应用．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数()cos (sin )f x x x x =+-，x ∈R ．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设α＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，求α的最小值．【答案】（Ⅰ）周期是π，单调递增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k ∈Z ．【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f （x ）的单调递增区间．（Ⅱ）由题意可得g （0）=0，即sin(2)03πα+=，由此求得α的最小正值．试题解析：（Ⅰ）解：2()cos (sin )sin cos 1)f x x x x x x x =+-=+-1sin 222x x ==sin(2)3x π+，所以函数f （x ）的最小正周期22T ππ==．由222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，所以函数f （x ）的单调递增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k ∈Z ．（Ⅱ）解：由题意，得()()sin(22)3g x f x x παα=+=++，因为函数g （x ）为奇函数，且x ∈R ，所以g （0）=0，即sin(2)03πα+=，所以23k παπ+=，k ∈Z ，解得26k ππα=-，k ∈Z ，验证知其符合题意．又因为α＞0，所以α的最小值为3π．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．16．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果x=y=7，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值．（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）13；（Ⅱ）分布列见解析，期望为15；（Ⅲ）6，7，8．（Ⅱ）解：由题意，X的所有可能取值为13，15，16，18，…且3(13)8P X==，1(15)8P X==，3(16)8P X==，1(18)8P X==，…所以X的分布列为：所以()13151618158888E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）解：x的可能取值为6，7，8考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥AC．EF⊥AC．推出PA⊥底面ABCD，即可说明PA⊥EF，然后证明EF⊥平面PAC．（Ⅱ）证明MF∥PA，然后证明MF∥平面PAB，EF∥平面PAB．即可证明平面MEF∥平面PAB，从而证明ME∥平面PAB．（Ⅲ）以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面ABCD 的法向量，平面PBC的法向量，利用直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，列出方程求解即可试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠BCD=135°，∠ABC=45°．所以AB⊥AC．由E，F分别为BC，AD的中点，得EF∥AB，所以EF⊥AC．…因为侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，所以PA⊥底面ABCD．…又因为EF⊂底面ABCD，所以PA⊥EF．…又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以EF⊥平面PAC．…（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，所以MF∥PA，又因为MF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以MF∥平面PAB．…同理，得EF∥平面PAB ．又因为MF∩EF=F，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面MEF∥平面PAB ．…又因为ME ⊂平面MEF ，所以ME∥平面PAB ．…（Ⅲ）解：因为PA⊥底面ABCD ，AB⊥AC，所以AP ，AB ，AC 两两垂直，故以AB ，AC ，AP分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），D （﹣2，2，0），E （1，1，0），所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-，… 设([0,1])PM PDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--，所以M （﹣2λ，2λ，2﹣2λ），(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量m =（0，0，1）．…设平面PBC 的法向量为n =（x ，y ，z ），由0n BC ⋅=，0n PB ⋅=，得220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩令x=1，得n =（1，1，1）．…因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以cos ,cos ,ME m ME n <>=<>，即ME m ME n ME m ME n ⋅⋅=⋅⋅，所以2λ解得λ=，或λ=（舍）．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．18．已知函数f（x）=x2﹣1，函数g（x）=2tlnx，其中t≤1．（Ⅰ）如果函数f（x）与g（x）在x=1处的切线均为l，求切线l的方程及t的值；（Ⅱ）如果曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点，求t的取值范围．【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）分别求得f（x），g（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得t=1，即可得到切线的斜率和切点坐标，可得切线的方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），“曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h（x）有且仅有一个零点”．对h（x）求导，讨论①当t≤0时，②当t=1时，③当0＜t＜1时，求出单调区间，即可得到零点和所求范围．试题解析：（Ⅰ）求导，得f′（x）=2x，2'()tg xx=，（x＞0）．由题意，得切线l的斜率k=f′（1）=g′（1），即k=2t=2，解得t=1．又切点坐标为（1，0），所以切线l的方程为2x﹣y﹣2=0；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣1﹣2tlnx，x∈（0，+∞）．“曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h（x）有且仅有一个零点”．求导，得2222'()2t x th x xx x-=-=．①当t≤0时，由x∈（0，+∞），得h'（x）＞0，所以h （x ）在（0，+∞）单调递增．又因为h （1）=0，所以y=h （x ）有且仅有一个零点1，符合题意．②当t=1时，当x 变化时，h'（x ）与h （x ）的变化情况如下表所示：所以h （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x=1时，h （x ）min =h （1）=0，故y=h （x ）有且仅有一个零点1，符合题意．③当0＜t ＜1时，令h'（x ）=0，解得x =．当x 变化时，h'（x ）与h （x ）的变化情况如下表所示：所以h （x ）在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当x =时，min ()h x h ==．因为h （1）=01<，且h （x ）在)+∞上单调递增，所以(1)0h h <=．又因为存在12(0,1)t e -∈，111122()12ln 0t t t th e e t e e ----=--=>，所以存在x 0∈（0，1）使得h （x 0）=0，所以函数y=h （x ）存在两个零点x 0，1，与题意不符．综上，曲线y=f （x ）与y=g （x ）有且仅有一个公共点时，t 的范围是{t|t≤0，或t=1}．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数的零点问题的解法，注意运用构造法，通过导数求得单调性，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，点A 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1，OP 2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值14-．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a ，b 然后求出椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，验证直线OP 1，OP 2的斜率之积．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m 与椭圆联立，利用直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，推出m 2=4k 2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k 1•k 2为定值即可．试题解析：（Ⅰ）解：由题意，得c a =a 2=b 2+c 2，…又因为点A 在椭圆C 上，所以221314a b+=，解得a=2，b=1，c =所以椭圆C 的方程为2214x y +=．… （Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2+y 2=5．…证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2+y 2=r 2（r ＞0）．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m ．…由方程组2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得（4k 2+1）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，… 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即m 2=4k 2+1．… 由方程组222y kx m x y r=+⎧⎨+=⎩得（k 2+1）x 2+2kmx+m 2﹣r 2=0，… 则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->．设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -=+，… 设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x M k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m rk --⋅+⋅+-++==--+，… 将m 2=4k 2+1代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+=+-．要使得k 1k 2为定值，则224141r r-=-，即r 2=5，验证符合题意．所以当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值14-．… 当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x=±2，此时，圆x 2+y 2=5与l 的交点P 1，P 2也满足1214k k =-．综上，当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值14-．考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．20．在数字1，2，…，n （n≥2）的任意一个排列A ：a 1，a 2，…，a n 中，如果对于i ，j ∈N *，i ＜j ，有a i ＞a j ，那么就称（a i ，a j ）为一个逆序对．记排列A 中逆序对的个数为S （A ）．如n=4时，在排列B ：3，2，4，1中，逆序对有（3，2），（3，1），（2，1），（4，1），则S （B ）=4．（Ⅰ）设排列 C ：3，5，6，4，1，2，写出S （C ）的值；（Ⅱ）对于数字1，2，…，n 的一切排列A ，求所有S （A ）的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：a 1，a 2，…，a n 中两个数字a i ，a j （i ＜j ）交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A'：b 1，b 2，…，b n ，求证：S （A ）+S （A'）为奇数．【答案】（Ⅰ）10；（Ⅱ）(1)4n n -；（Ⅲ）证明见解析．所以1(1)()()2n n S D S D -+=．所以排列D 与D 1的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -．而对于数字1，2，…，n 的任意一个排列A ：a 1，a 2，…，a n ，都可以构造排列A 1：a n ，a n ﹣1，…，a 2，a 1，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -．所以所有S （A ）的算术平均值为．（Ⅲ）证明：（1）当j=i+1，即a i ，a j 相邻时，不妨设a i ＜a i+1，则排列A'为a 1，a 2，…，a i ﹣1，a i+1，a i ，a i+2，…，a n ，此时排列A'与排列A ：a 1，a 2，…，a n 相比，仅多了一个逆序对（a i+1，a i ），所以S （A'）=S （A ）+1，所以S（A）+S（A'）=2S（A）+1为奇数．（2）当j≠i+1，即a i，a j不相邻时，假设a i，a j之间有m个数字，记排列A：a1，a2，…，a i，k1，k2，…k m，a j，…，a n，先将a i向右移动一个位置，得到排列A1：a1，a2，…，a i﹣1，k1，a i，k2，…，k m，a j，…，a n，由（1）知S（A1）与S（A）的奇偶性不同，再将a i向右移动一个位置，得到排列A2：a1，a2，…，a i﹣1，k1，k2，a i，k3，…，k m，a j，…，a n，由（1）知S（A2）与S（A1）的奇偶性不同，以此类推，a i共向右移动m次，得到排列A m：a1，a2，…，k1，k2，…，k m，a i，a j，…，a n，再将a j向左移动一个位置，得到排列A m+1：a1，a2，…，a i﹣1，k1，…，k m，a j，a i，…，a n，以此类推，a j共向左移动m+1次，得到排列A2m+1：a1，a2，…，a j，k1，…，k m，a i，…，a n，即为排列A'，由（1）可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A经过2m+1次的前后两数交换位置，可以得到排列A'，所以排列A与排列A'的逆序数的奇偶性不同，所以S（A）+S（A'）为奇数．综上，得S（A）+S（A'）为奇数．考点：数列与函数的综合．：。

北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末考试数学理科试卷

北京市西城区2016— 2017学年度第一学期期末试卷高二数学〔理科〕试卷总分值：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.6. 已知双曲线的焦点在x 轴上，焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线210x y -+= 平行，则双曲线的标准方程为〔〕〔A 〕2214-=x y 〔B 〕2214-=y x 〔C 〕22331205-=x y 〔D 〕22331520-=x y7. 已知(3,0)A ，(0,4)B ，动点(,)P x y 在线段AB 上运动，则xy 的最大值为〔〕〔A 〕5〔B 〕4〔C 〕3〔D 〕28. 用一个平面截正方体和正四面体，给出以下结论：① 正方体的截面不可能是直角三角形； ② 正四面体的截面不可能是直角三角形； ③ 正方体的截面可能是直角梯形；④ 假设正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形. 其中，所有正确结论的序号是〔〕〔A 〕②③〔B 〕①②④〔C 〕①③〔D 〕①④二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否认是______________________.10. 已知点)1,0(-M ,)3,2(N . 如果直线MN 垂直于直线032=-+y ax ，那么a 等于_______.11. 在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1,AD BD 所成角的余弦值为_________.12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如下图，则该三棱柱的侧视图的面积为_________.13. 设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点. 假设3PF =，则OPF △的面积为_________.14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如下图的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及正〔主〕视图俯视图242进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________〔所有测量数据用小写英文字母表示〕，算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．〔本小题总分值13分〕如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．〔本小题总分值13分〕如图,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证:AM ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.17．〔本小题总分值13分〕已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=. (Ⅰ)当直线ll 与圆C 相交所得的弦长；(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程.A BCDPEA BCPM18．〔本小题总分值13分〕已知1F 为椭圆22143x y +=的左焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于两点,P Q . 〔Ⅰ〕假设直线l 的倾斜角为45，求PQ ；〔Ⅱ〕设直线l 的斜率为k (0)k ≠，点P 关于原点的对称点为P '，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，P Q ''所在直线的斜率为k '. 假设2k '=，求k 的值.19．〔本小题总分值14分〕如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,//DC AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =,2BC CD EA ED ====.〔Ⅰ〕求证:BD ⊥平面ADE ；〔Ⅱ〕求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；〔Ⅲ〕在线段CE 上是否存在一点F ，使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由.20．〔本小题总分值14分〕如图，过原点O 引两条直线12,l l 与抛物线21:2W y px =和22:4W y px =〔其中p 为常数，0p >〕分别交于四个点1122,,,A B A B . 〔Ⅰ〕求抛物线12,W W 准线间的距离；〔Ⅱ〕证明：1122//A B A B ；〔Ⅲ〕假设12l l ⊥，求梯形1221A A B B 面积的最小值.EABCD北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高二数学〔理科〕参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1.C ；2.D ；3. B ；4. D ；5. B ；6. A ；7. C ；8. D . 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1； 11.12.13.14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.〔本小题总分值13分〕解: (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥. ……………10分又因为ACPA A =，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.〔本小题总分值13分〕解: (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为BC AB ⊥，PAAB A =，ABCDPE O所以BC ⊥平面PAB . ……………2分所以AM BC ⊥. ……………3分因为PA AB =，M 为PB 的中点，所以AM PB ⊥. ……………4分所以AM ⊥平面PBC . ……………5分 (Ⅱ)如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则,,AP AB AZ 两两互相垂直，建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)A P B C M .(2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM = . ……………8分设平面APC 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x y z =⎧⎨+=⎩ 令1y =，则2z =-.所以(0,1,2)=-n . ……………10分由(Ⅰ)可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量，设,AM n 的夹角为α，则1cos 5AM AMα⋅===n n . ……………12分因为二面角A PCB --为锐角，所以二面角A PC B --的余弦值为10. ……………13分 17.〔本小题总分值13分〕解：(Ⅰ)由已知，直线l的方程为y =，圆C 圆心为(0,3)，………3分所以，圆心到直线l=……………5分所以，所求弦长为……………6分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，因为A 为OB 的中点，则11(2,2)B x y . ……………8分又,A B 圆C 上，所以 22111640x y y +-+=，22111441240x y y +-+=，即22111310x y y +-+=. ……………10分解得11y =，11x =±， ……………11分即(1,1)A 或(1,1)A -. ……………12分所以，直线l 的方程为y x =或y x =-. ……………13分18.〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕设1122(,),(,)P x y Q x y ，由已知，椭圆的左焦点为(1,0)-，又直线l 的倾斜角为45，所以直线l 的方程为1y x =+， ……………1分由221,3412y x x y =+⎧⎨+=⎩得27880x x +-=， ……………3分所以1287x x +=-，1287x x =-. ……………4分24||7PQ ===. ……………5分〔Ⅱ〕由22(1),3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， ……………6分所以2122834k x x k-+=+，212241234k x x k -=+. ……………8分依题意1122(,),(,)P x y Q x y ''---，且11(1)y k x =+，22(1)y k x =+，所以，12121212()y y k x x k x x x x --'==++， ……………10分其中12234x x k -==+， ……………11分结合2122834k x x k -+=+，可得k '=2=. ……………12分解得279k =，k = ……………13分19.〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕由BC CD ⊥,2BC CD ==.可得BD =由EA ED ⊥,且2EA ED ==，可得AD =又4AB =. 所以BD AD ⊥. (2)又平面EAD ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADE . ……………4分〔Ⅱ〕如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，2,0)B ，(C ，(2,0,E ，(2,BE =-，(2,0,DE =,(2,2,0)DC =-. …………6分设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n,0DC ⋅=n ，即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)=-n . ……………7分设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，则||sin |cos ,|||||BE BE BE ⋅=<>===⋅αn n n . ……………8分所以BE和平面CDE 所成的角的正弦值. ……………9分〔Ⅲ〕设CF CE =λ,[0,1]λ∈.又(2,2,0)DC =-,(22,CE =-,(0,BD =-.则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ. ……………10分设(,,)x'y'z'=m 是平面BDF 一个法向量,则0BD ⋅=m ，0DF ⋅=m ，即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ……………11分令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m . ……………12分假设平面BDF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE . ……………14分20.〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕由已知，抛物线12,W W 的准线分别为2px =-和x p =-， ……………2分所以，抛物线12,W W 准线间的距离为2p.……………4分〔Ⅱ〕设11:l y k x =，代入抛物线方程，得12,A A 的横坐标分别是212p k 和214pk . ………5分 12||||OA OA 12==，同理12||1||2OB OB =， ……………7分所以1122OA B OA B △△，所以1122//A B A B . ……………8分〔Ⅲ〕设111(,)A x y ，122(,)B x y ，直线11A B 方程为111:A B l x ty m =+，代入曲线22y px =，得21220y pty pm --=，所以122y y pt +=，1212y y pm =-. ……………9分由12l l ⊥，得12120x x y y +=，又2112y px =，2222y px =，所以221212204y y y y p+=，由1212y y pm =-，得12m p =. ……………11分所以直线11A B 方程为11:2A B l x ty p =+，同理可求出直线22A B 方程为22:4A B l x ty p =+.所以1112||2A B y =-= ……………12分22||4A B =平行线11A B l 与22A B l 之间的距离为d =，所以梯形1221A A B B 的面积11221()62S A B A B d p =+⋅= ……………13分 212p ≥当0t =时，梯形1221A A B B 的面积达最小，最小值为212p . ……………14分。

2015-2016年北京市西城区高三上学期期末数学(理)试卷

北京市西城区2015 — 2016学年度上学期期末试卷高三数学（理科） 2016.1本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（）（A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞ （C ）[1,)-+∞ （D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x =3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（）（A ）“p q ∧”为真命题（B ）“p q ∨”为假命题（C ）“q ⌝”为假命题（D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+侧(左)视图正(主)视图俯视图22 1 1开始 4x >输出y 结束否是输入xy=12○16. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（）（A ）32 （B ）32- （C ）14（D ）14-7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（）（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（）（A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-E FD P C A BB OC A NM第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠= ，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时； ○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+-，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：甲 6 6 99乙79xy（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠= ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠= ,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值.F CADPMB E18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值；（Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，点3(1,)2A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列 C ：3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；（Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7911．12y x =±12 12． 132- 91613．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+- 23sin cos (2cos 1)2x x x =+-13sin 2cos 222x x =+ ………………4分πsin(2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分（注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ）（Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ，解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>，所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分由题意，得2421()C 3P A ==，所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：X 13 15 16 18P38 1838 18……………… 8分所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠= ，所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠= ，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，z又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………5分同理，得//EF 平面PAB .又因为=MF EF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =- ，(2,2,2)PD =-- ，(2,2,0)BC =-， ………………10分设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=-- ，所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0BC ⋅= n ，0PB ⋅= n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<> m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分所以 2|22|||3λλ-=，解得332λ-=，或332λ+=（舍）. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >． ………………2分由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分（Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分① 当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分② 当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1,)+∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分③ 当01t <<时，令()0h x '=，解得x t =．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,)tt(,)t +∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增，所以当x t =时，min()()h x h t =． ………………11分因为(1)0h =，1t <，且()h x 在(,)t +∞上单调递增，所以()(1)0h t h <=.又因为存在12e (0,1)t -∈ ，111122()12ln 0t t t t h t ----=--=>e e e e ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得32c a =，222a b c =+， ………………2分又因为点3(1,)2A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，3c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分（Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d - 与排列1121,,,,n n D d d d d - ：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤），且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a - ，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -.所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分（Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时，不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++ ，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a - ，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同，再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a - ，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a - ，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '，所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同，所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分。

2017西城区高三(上)期末数学(理科)

2017西城区高三（上）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1≤0}，那么A∪B=（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x|1≤x＜2}2．（5分）下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx3．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=04．（5分）在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρsinθ=1B．ρsinθ=C．ρcosθ=1 D．ρcosθ=5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（）A．3 B．C．6 D．6．（5分）设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）实数x，y满足若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中．正四面体P﹣ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是（）A．[﹣1，+1]B．[1，3]C．[﹣1，2]D．[1，+1]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数等于．10．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，其前S n项和为a1=1，a3=4，则a n=；S6=．11．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．13．（5分）设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f[f（9）]=；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是．14．（5分）10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）若DC与平面PAB所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号1234567A型待机时间（h）120125122124124123123B型待机时间（h）118123127120124a b其中，a，b是正整数，且a＜b（Ⅰ）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X 的分布列；（Ⅲ）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．18．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣a•sin（x﹣1），其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率是﹣1，求a的值；（Ⅱ）如果f（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围．19．（14分）已知直线l：x=t与椭圆C：=1相交于A，B两点，M是椭圆C上一点（Ⅰ）当t=1时，求△MAB面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．20．（13分）数字1，2，3，…，n（n≥2）的任意一个排列记作（a1，a2，…，a n），设S n为所有这样的排列构成的集合．集合A n={（a1，a2，…，a n）∈S n|任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i+i≤a j﹣j}；集合B n={（a1，a2，…，a n}∈S n|任意整数i，j，1≤i＜n，都有a i+i≤a j+j}．（Ⅰ）用列举法表示集合A3，B3（Ⅱ）求集合A n∩B n的元素个数；（Ⅲ）记集合B n的元素个数为b n．证明：数列{b n}是等比数列．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】∵集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}，∴A∪B={﹣1≤x＜2}．故选：B．2．【解答】A．y=x2+1是偶函数，不满足条件．B．y=tanx是奇函数，但函数的定义域不是R，不满足条件．C．y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x+sinx是奇函数，满足条件．故选：D3．【解答】由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b=，可得渐近线方程为y=±x．故选B．4．【解答】∵点P（2，）的直角坐标为（，1），此点到x轴的距离为1，故经过此点到x轴的距离为1的直线的方程是y=1，故过点P且平行于极轴的直线的方程是ρsinθ=1，故选A．5．【解答】由三视图得几何体是四棱锥P﹣ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，则△PDC的高为=，所以△PDC的面积为：×4×=2，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，则两个侧面△PAD、△PBC的面积都为：×2×3=3，侧面△PAB的面积为：×4×=6，所以四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大是：6，故选C．6．【解答】若“（）⊥（）”，则“（）•（）=0，即“||2=||2”，即||=||，反之当||=||，则（）•（）=||2﹣||2=0，即（）⊥（），故“||=||”是“（）⊥（）”的充要条件，故选：C7．【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax+y得y=﹣ax+z，∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，∴当直线y=﹣ax+z经过点B（3，9）时直线截距最大，当经过点A（3，﹣3）时，直线截距最小．则直线y=﹣ax+z的斜率﹣a满足，﹣1≤﹣a≤1，即﹣1≤a≤1，故选：C8．【解答】如图所示，若固定正四面体P﹣ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，设AB的中点为M，则PM==；所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径，最大距离是PM加上球M的半径；所以﹣1≤|OP|≤+1，即|OP|的取值范围是[﹣1，+1]．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】复数===i．故答案为：i．10．【解答】设正数等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=1，a3=4，∴q2=4，q＞0，解得q=2．则a n=2n﹣1．S6==63．故答案为：2n﹣1；63．11．【解答】模拟程序的运行，可得k=1，S=1满足条件k≤3，执行循环体，S=1，k=2满足条件k≤3，执行循环体，S=0，k=3满足条件k≤3，执行循环体，S=﹣3，k=4不满足条件k≤3，退出循环，输出S的值为﹣3．故答案为：﹣3．12．【解答】△ABC中，∵c=3，C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos，求得a=，故答案为：．13．【解答】①当a=3时，f（9）=log39=2，∴f（2）=，∴f[f（9）]=，②分别画出y=f（x）与y=﹣2的图象，如图所示，函数y=f（x）﹣2有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，故a的取值范围是[4，9）故答案为：，[4，9）14．【解答】每个队需要进行9场比赛，则全胜的队得：9×2=18（分），而最后五队之间赛10场，至少共得：10×2=20（分），所以第二名的队得分至少为20×=16（分）．故答案是：16三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）因为f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1=sin2ωxcos﹣cos2ωxsin+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），所以f（x）的最小正周期T=，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤，所以，当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值为1；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值为﹣．16．【解答】证明：（Ⅰ）因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD，（1分）又因为AB⊥PA，所以AB⊥平面PAD．（3分）所以平面PAD⊥平面ABCD．（4分）解：（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF．（5分）因为E为PD的中点，所以EF∥AD，，又因为BC∥AD，，所以BC∥EF，BC=EF．所以四边形BCEG是平行四边形，EC∥BF．（7分）又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB．（8分）（Ⅲ）过P作PO⊥AD于O，连接OC．因为PA=PD，所以O为AD中点，又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．（9分）设PO=a．由题意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（1，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，a）．所以=（1，0，0），=（0，1，﹣a），=（1，1，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则y=a．所以=（0，a，1）．（11分）因为DC与平面PAB所成角为30°，所以|cos＜＞|===sin30°=，解得a=1．（13分）所以四棱锥P﹣ABCD的体积．（14分）17．【解答】（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A型手机中有台手机的待机时间不少于123小时．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，；；；．所以，X 的分布列为：X0123P（Ⅲ）若A，B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机的待机时间的方差最小时，a=124，b=125．18．【解答】（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），[（1分）]导函数为．[（2分）]因为曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率是﹣1，所以f'（1）=﹣1，即1﹣a=﹣1，[（3分）]所以a=2．[（4分）]（Ⅱ）因为f（x）在区间（0，1）上为增函数，所以对任意x∈（0，1），都有．[（6分）]因为x∈（0，1）时，cos（x﹣1）＞0，所以．[（8分）]令g（x）=x•cos（x﹣1），所以g'（x）=cos（x﹣1）﹣x•sin（x﹣1）．[（10分）]因为x∈（0，1）时，sin（x﹣1）＜0，所以x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）在区间（0，1）上单调递增，所以g（x）＜g（1）=1．[（12分）]所以a≤1．即a的取值范围是（﹣∞，1]．[（13分）]19．【解答】（Ⅰ）当t=1时，将x=1代入，解得：，∴．[（2分）]当M为椭圆C的顶点（﹣2，0）时，M到直线x=1的距离取得最大值3，[（4分）]∴△MAB面积的最大值是．[（5分）]（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为A（t，n），B（t，﹣n），从而t2+2n2=4．[（6分）]设M（x0，y0），则有，x0≠t，y0≠±n．[（7分）]直线MA的方程为，[（8分）]令y=0，得，从而．[（9分）]直线MB的方程为，[（10分）]令y=0，得，从而．[（11分）]所以=，=，[（13分）]==4．∴|OE|•|OF|为定值．[（14分）]20．【解答】（Ⅰ）A3={（1，2，3）}，B3={（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（3，2，1）}．（Ⅱ）考虑集合A n中的元素（a1，a2，a3，…，a n）．由已知，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i﹣i≤a j﹣j，所以（a i﹣i）+i＜（a j﹣j）+j，所以a i＜a j．由i，j的任意性可知，（a1，a2，a3，…，a n）是1，2，3，…，n的单调递增排列，所以A n={（1，2，3，…，n）}．又因为当a k=k（k∈N*，1≤k≤n）时，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i+i≤a j+j．所以（1，2，3，…，n）∈B n，所以A n⊆B n．所以集合A n∩B n的元素个数为1．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b n≠0．因为B2={（1，2），（2，1）}，所以b2=2．当n≥3时，考虑B n中的元素（a1，a2，a3，…，a n）．（1）假设a k=n（1≤k＜n）．由已知，a k+k≤a k+1+（k+1），所以a k≥a k+k﹣（k+1）=n﹣1，+1≤n﹣1，所以a k+1=n﹣1．又因为a k+1依此类推，若a k=n，则a k+1=n﹣1，a k+2=n﹣2，…，a n=k．①若k=1，则满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有1个．②若k=2，则a2=n，a3=n﹣1，a4=n﹣2，…，a n=2．所以a1=1．此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有1个．③若2＜k＜n，只要（a1，a2，a3，…a k﹣1）是1，2，3，…，k﹣1的满足条件的一个排列，就可以相应得到1，2，3，…，n的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有b k﹣1个．（2）假设a n=n，只需（a1，a2，a3，…a n﹣1）是1，2，3，…，n﹣1的满足条件的排列，此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有b n﹣1个．综上b n=1+1+b2+b3+…+b n﹣1，n≥3．因为b3=1+1+b2=4=2b2，且当n≥4时，b n=（1+1+b2+b3+…+b n﹣2）+b n﹣1=2b n﹣1，所以对任意n∈N*，n≥3，都有．所以{b n}成等比数列．。

北京市西城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

北京市西城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2﹣x＜2}，则集合A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，1}2．（5分）设p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p为（）A．∀平面向量和，|﹣|≥||+|| B．∃平面向量和，|﹣|＜||+||C．∃平面向量和，|﹣|＞||+|| D．∃平面向量和，|﹣|≥||+||3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b，sinB=，则（）A．A=B．A=C．s inA=D．sinA=4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．4B．5C．6D．75．（5分）设函数f（x）=3x+bcosx，x∈R，则“b=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A．最长棱的棱长为B．最长棱的棱长为3C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D．侧面四个三角形都是直角三角形7．（5分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）8．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，点B（a，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则a+b的最大值等于（）A．2B．1C．0D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数，则|z|=．10．（5分）设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果||PF1|﹣|PF2||=4，那么双曲线C的方程为；离心率为．11．（5分）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z=．2 x 3y az12．（5分）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，且AC=2AE，那么=；∠A=．13．（5分）现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是．（用数字作答）14．（5分）设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有条．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=2，x∈R的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求tan∠BAO的值．16．（13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40% 不赔不赚亏损20%概率（2）购买基金：投资结果获利20% 不赔不赚亏损10%概率p q（Ⅰ）当时，求q的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，且A1A=AB=AD=2BC=2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F．（Ⅰ）证明：A1F∥平面B1CE；（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角A1﹣EC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值．18．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣bx（a＞0）和g（x）=lnx的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（Ⅰ）若点P的坐标为，求a，b的值；（Ⅱ）已知a=b，求切点P的坐标．19．（14分）已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P（m，0）（m＞4）满足条件．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记△PMF和△PNF的面积分别为S1，S2，求证：．20．（13分）设函数f（x）=x（9﹣x），对于任意给定的m位自然数n0=（其中a1是个位数字，a2是十位数字，…），定义变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），…．（Ⅰ）若n0=2015，求n2015；（Ⅱ）当m≥3时，证明：对于任意的m（m∈N*）位自然数n均有A（n）＜10m﹣1；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），写出n m的所有可能取值．（只需写出结论）北京市西城区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2﹣x＜2}，则集合A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：B={x|x2﹣x＜2}={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B={0，1}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p为（）A．∀平面向量和，|﹣|≥||+|| B．∃平面向量和，|﹣|＜||+||C．∃平面向量和，|﹣|＞||+|| D．∃平面向量和，|﹣|≥||+||考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：由的否定的定义知p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p：∃平面向量和，|﹣|≥||+||．解答：解：由∀平面向量和的否定为：∃平面向量和，|﹣|＜||+||的否定为：|﹣|≥||+||．即有p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p：∃平面向量和，|﹣|≥||+||．故选D．点评：本题考查的否定，解题时要熟练掌握基本定义．3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b，sinB=，则（）A．A=B．A=C．s inA=D．sinA=考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，把sinB的值代入求出sinA的值，即可确定出A的度数．解答：解：把a=2b，利用正弦定理化简得：sinA=2sinB，将sinB=代入得：sinA=，∵A为锐角，∴A=．故选：A．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．4B．5C．6D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=6，y=64时，满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．解答：解：执行程序框图，有a=2，x=3，y=8不满足条件y＞10x+3，x=4，y=16不满足条件y＞10x+3，x=5，y=32不满足条件y＞10x+3，x=6，y=64满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．5．（5分）设函数f（x）=3x+bcosx，x∈R，则“b=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若b=0，则f（x）=3x为奇函数，则充分性成立，若函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣3x+bcosx=﹣3x﹣bcosx，即b=﹣b，解得b=0，即“b=0”是“函数f（x）为奇函数”充分条件和必要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．6．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A．最长棱的棱长为B．最长棱的棱长为3C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D．侧面四个三角形都是直角三角形考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．再利用三垂线定理可得△PCD是直角三角形．即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．取AD的中点O，连接OC，AC．可得四边形ABCO是平行四边形，∴OC=OD=OA=1，∴CD⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PC，因此△PCD是直角三角形．综上可得：四棱锥的侧面四个三角形都是直角三角形．故选：D．点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：求出以OP为直径的圆的方程，y2=4x代入整理，利用在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，即可求出实数m的取值范围．解答：解：以OP为直径的圆的方程为（x﹣）2+y2=，y2=4x代入整理可得x2+（4﹣m）x=0，∴x=0或x=m﹣4，∵在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，∴m﹣4＞0，∴m＞4，故选：B．点评：本题考查抛物线、圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．8．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，点B（a，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则a+b的最大值等于（）A．2B．1C．0D．3考点：简单线性规划；平面向量数量积的运算．专题：数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：由不等式组作出平面区域D，结合得到，再一次作出可行域，然后求线性目标函数z=a+b的最大值．解答：解：由作出平面区域D如图，联立，解得D（﹣1，﹣1），由，得，作出可行域如图，令z=a+b，由图可知，当b=﹣a+z过R（1，1）时z最大为2．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了平面向量数量积的坐标运算，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数，则|z|=1．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：化简已知复数可得z=﹣i，由模长公式可得．解答：解：化简可得复数===﹣i∴|z|=|﹣i|=1故答案为：1点评：本题考查复数的模长公式，化简已知复数是解决问题的关键，属基础题．10．（5分）设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果||PF1|﹣|PF2||=4，那么双曲线C的方程为；离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的b=4，由双曲线的定义可得a=2，进而得到双曲线方程，由a，b，c的关系求得c，再由离心率公式计算即可得到．解答：解：双曲线C：=1（a＞0）的b=4，由双曲线的定义，可得，||PF1|﹣|PF2||=2a=4，即a=2，c==2．则双曲线的方程为，离心率e==．故答案为：，．点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，属于基础题．11．（5分）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z=．2 x 3y az考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先利用每一纵列成等比数列，所以由第一列，可得y=1，再利用每一横行成等差数列，所以由第二行可得a=，由第三行可得z=，进而求出x ，即可求出x+y+z ．解答：解：因为每一纵列成等比数列，所以由第一列，可得y=1，又因为每一横行成等差数列，所以由第二行可得a=，由第三行可得z= 由第一列，可得x=，所以x+y+z=．故答案为：．点评：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力． 12．（5分）如图，在△ABC 中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且AC=2AE ，那么=；∠A=．考点：弦切角．专题：立体几何．分析：证明△AEF ∽△ACB ，可得===，即可得出结论．解答：解：由题意，∵以BC 为直径的半圆分别交AB 、AC 于点E 、F ， ∴∠AEF=∠C ， ∵∠EAF=∠CAB ， ∴△AEF ∽△ACB ，∴===，∴EF=1，故∠EOF=，故∠B+∠C=，∴∠A=，故答案为：，点评：本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（5分）现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是96．（用数字作答）考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：由题意，先选有3个唱歌节目放在2个小品之间，再把剩下的一个唱歌节目放在排头和排尾，问题得以解决解答：解：先选有3个唱歌节目放在2个小品之间，再把剩下的一个唱歌节目放在排头和排尾，故=96，故答案为：96点评：本题考查了分步计数原理，关键是特殊元素特殊处理，属于基础题14．（5分）设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有13条．考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由正方体自身的对称性可知，若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，由此分三种情况，即P，Q为正方体一体对角线两顶点时，P，Q为正方两相对棱中点时，P，Q为正方体对面中心时求得符合条件的直线PQ的条数．解答：解：若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，否则，正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后，中心不能回到原来的位置．共有三种情况：如图，当P，Q为正方体一体对角线两顶点时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有4条；当P，Q为正方两相对棱中点时，把正方体绕PQ旋转π，正方体回到原来的位置，此时直线共有6条；当P，Q为正方体对面中心时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有3条．综上，符合条件的直线PQ有4+6+3=13条．故答案为：13．点评：本题考查了棱柱的结构特征，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=2，x∈R的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求tan∠BAO的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=，易得最小正周期为4π，解不等式可得单调递增区间；（Ⅱ）过点B作线段BC垂直于x轴于点C．由题意得，BC=2，易得要求正切值．解答：解：（Ⅰ）化简可得==，由周期公式可得．∴函数f（x）的最小正周期为4π，由可解得，∴函数f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）过点B作线段BC垂直于x轴于点C．由题意得，BC=2，∴．点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数恒等变换，属基础题．16．（13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40% 不赔不赚亏损20%概率（2）购买基金：投资结果获利20% 不赔不赚亏损10%概率p q（Ⅰ）当时，求q的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．考点：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据p++q=1解出即可；（Ⅱ）设出各个事件后得，根据，，从而求出P的范围；（Ⅲ）分别求出EX，EY在值，通过比较得到结论．解答：（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p++q=1．…（2分）又因为，所以q=．…（3分）（Ⅱ）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，…（4分）则，且A，B独立．由上表可知，，P（B）=p．所以…（5分）==．…（6分）因为，所以．…（7分）又因为，q≥0，所以．所以．…（8分）（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X的分布列为：X 4 0 ﹣2P…（9分）则．…10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y的分布列为：Y 2 0 ﹣1P…（11分）则．…（12分）因为EX＞EY，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．…（13分）点评：本题考查了互斥事件的概率问题，考查了期望问题，是一道基础题．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，且A1A=AB=AD=2BC=2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F．（Ⅰ）证明：A1F∥平面B1CE；（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角A1﹣EC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知得平面ABCD∥平面A1B1C1D1，从而A1F∥EC，由此能证明A1F∥平面B1CE．（Ⅱ）以AB，AD，AA1分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1﹣EC﹣D的余弦值．（Ⅲ）过点F作FM⊥A1B1于点M，则FM⊥平面A1ABB1，由此能求出当F与点D1重合时，三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值为．解答：（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为ABCD﹣A1B1C1D1是棱柱，所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1．又因为平面ABCD∩平面A1ECF=EC，平面A1B1C1D1∩平面A1ECF=A1F，所以A1F∥EC．…（2分）又因为A1F⊄平面B1CE，EC⊂平面B1CE，所以A1F∥平面B1CE．…（4分）（Ⅱ）解：因为AA1⊥底面ABCD，∠BAD=90°，所以AA1，AB，AD两两垂直，以A为原点，以AB，AD，AA1分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系．…（5分）则A1（0，0，2），E（1，0，0），C（2，1，0），所以，．设平面A1ECF的法向量为，由，，得令z=1，得．…（7分）又因为平面DEC的法向量为，…（8分）所以，由图可知，二面角A1﹣EC﹣D的平面角为锐角，所以二面角A1﹣EC﹣D的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）解：过点F作FM⊥A1B1于点M，因为平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，FM⊂平面A1B1C1D1，所以FM⊥平面A1ABB1，所以…（12分）=．因为当F与点D1重合时，FM取到最大值2（此时点E与点B重合），所以当F与点D1重合时，三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值为．…（14分）点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．18．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣bx（a＞0）和g（x）=lnx的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（Ⅰ）若点P的坐标为，求a，b的值；（Ⅱ）已知a=b，求切点P的坐标．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出f（x）和g（x）的导数，求出切线的斜率，解a，b的方程，即可得到a，b；（Ⅱ）设P（s，t），则lns=as2﹣as①，f′（s）=g′（s），联立消掉a可得关于s的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一s值，进而可求P的坐标．解答：（Ⅰ）解：由题意，得，且f'（x）=2ax﹣b，，由已知，得，即，解得a=2e2，b=3e；（Ⅱ）解：若a=b，则f'（x）=2ax﹣a，，设切点坐标为（s，t），其中s＞0，由题意，得as2﹣as=lns，①，②由②，得，其中，代入①，得．（*）因为，且s＞0，所以．设函数，，则．令F'（x）=0，解得x=1或（舍）．当x变化时，F'（x）与F（x）的变化情况如下表所示，x （，1） 1 （1，+∞）F'（x）+ 0 ﹣F（x）↗极大值↘所以当x=1时，F（x）取到最大值F（1）=0，且当时F（x）＜0．因此，当且仅当x=1时F（x）=0．所以方程（*）有且仅有一解s=1．于是t=lns=0，因此切点P的坐标为（1，0）．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P（m，0）（m＞4）满足条件．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记△PMF和△PNF的面积分别为S1，S2，求证：．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出，|FA|=2，|AP|=m﹣4，利用求m的值；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理证明∠MPF=∠NPF，求出面积，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：因为椭圆C的方程为，所以a=4，，，…（2分）则，|FA|=2，|AP|=m﹣4．…（3分）因为，所以m=8．…（5分）（Ⅱ）证明：若直线l的斜率不存在，则有S1=S2，|PM|=|PN|，符合题意．…（6分）若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，…（7分）可知△＞0恒成立，且，．…（8分）因为…（10分）===，所以∠MPF=∠NPF．…（12分）因为△PMF和△PNF的面积分别为，，…（13分）所以．…（14分）点评：本题考查椭圆方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形面积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（13分）设函数f（x）=x（9﹣x），对于任意给定的m位自然数n 0=（其中a1是个位数字，a2是十位数字，…），定义变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），…．（Ⅰ）若n0=2015，求n2015；（Ⅱ）当m≥3时，证明：对于任意的m（m∈N*）位自然数n均有A（n）＜10m﹣1；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），写出n m的所有可能取值．（只需写出结论）考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：（Ⅰ）由已知中变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），将n0=2015，代入可得答案．（Ⅱ）由函数，可得对于非负整数x，均有f（x）=x（9﹣x）≤20．当x=4或5时，取到最大值，故A（n）≤20m，令g（m）=10m﹣1﹣20m，分析函数的最值上，可得结论；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），则n m的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．解答：解：（Ⅰ）n1=14+0+8+20=42，n2=20+14=34，n3=18+20=38，n4=18+8=26，n5=14+18=32，n6=18+14=32，…所以n2015=32．…（3分）证明：（Ⅱ）因为函数，所以对于非负整数x，知f（x）=x（9﹣x）≤20．（当x=4或5时，取到最大值）…（4分）因为A（n）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m），所以A（n）≤20m．…（6分）令g（m）=10m﹣1﹣20m，则g（3）=103﹣1﹣20×3＞0．当m≥3时，g（m+1）﹣g（m）=10m﹣20（m+1）﹣10m﹣1+20m=9×10m﹣1﹣20＞0，所以g（m+1）﹣g（m）＞0，函数g（m），（m∈N，且m≥3）单调递增．故g（m）≥g（3）＞0，即10m﹣1＞20m≥A（n）．所以当m≥3时，对于任意的m位自然数n均有A（n）＜10m﹣1．…（9分）解：（Ⅲ）n m的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…（14分）点评：本题考查的知识点是合情推理，其中正解理解变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f （a m）．及规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1）的含义是解答的关键．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。