4-2-2-考点强化：与斜面相关联的平抛运动
斜面类平抛运动知识点总结
斜面类平抛运动知识点总结一、斜面类平抛运动的基本概念1. 斜面类平抛运动的定义斜面类平抛运动是指物体在一个倾斜角度的斜面上进行平抛运动的过程。
在该运动过程中，物体的平抛轨迹既包括水平方向运动，又包括斜面上的运动。
2. 基本参数在斜面类平抛运动中，一般会涉及到以下几个基本参数：- 初速度（v0）：物体在斜面上的初速度，包括水平方向速度、竖直方向速度和斜面方向速度。
- 初角度（θ）：物体的初速度与斜面法线的夹角。
- 初位置（x0，y0）：物体的初始位置坐标。
- 加速度（a）：物体在斜面上的加速度，包括水平方向加速度和斜面方向加速度。
- 时间（t）：物体在斜面类平抛运动中的运动时间。
3. 运动规律斜面类平抛运动遵循以下几个基本的运动规律：- 牛顿运动定律：物体在斜面上的平抛运动符合牛顿运动定律，即物体在斜面上会受到斜面法线方向的支持力和重力的作用。
- 运动方程：斜面类平抛运动可以用运动方程来描述，包括物体在水平方向和斜面方向上的位移、速度和加速度的关系。
- 动能和重力势能转化：斜面类平抛运动过程中，物体的动能和重力势能会相互转化，这是斜面类平抛运动的一个重要特点。
二、斜面类平抛运动的相关公式在斜面类平抛运动中，涉及到一些基本公式和物理规律，下面列举几个重要的公式：1. 物体在斜面上的加速度斜面类平抛运动中，物体在斜面上的加速度可以用以下公式来计算：a = g*sin(θ)其中，a为物体在斜面上的加速度，g为重力加速度，θ为斜面的倾角。
2. 物体在水平方向上的运动距离斜面类平抛运动中，物体在水平方向上的运动距离可以用以下公式来计算：x = v0*cos(θ)*t其中，x为物体在水平方向上的位移，v0为物体的初速度，θ为斜面的倾角，t为运动时间。
3. 物体在竖直方向上的运动距离斜面类平抛运动中，物体在竖直方向上的运动距离可以用以下公式来计算：y = v0*sin(θ)*t - 0.5*g*t^2其中，y为物体在竖直方向上的位移，v0为物体的初速度，θ为斜面的倾角，t为运动时间，g为重力加速度。
高中物理必修二 新教材 讲义 专题提升二 平抛运动规律的应用
专题提升二 平抛运动规律的应用[学习目标]1.熟练运用平抛运动的规律解决相关问题。
2.掌握平抛运动与斜面结合问题的解题方法。
3.分析物理情境确定平抛运动的临界条件和极值问题。
提升1 平抛运动的两个重要推论1.推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。
即x OB ＝12x A 。
推导：如图，从速度的分解来看，速度偏向角的正切值tan θ＝v y v x ＝gtv 0①将速度v 反向延长，速度偏向角的正切值tan θ＝y Ax A －x OB ＝12gt2v 0t －x OB②联立①②式解得x OB ＝12v 0t ＝12x A 。
2.推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
推导：速度偏向角的正切值tan θ＝gtv 0①位移偏向角的正切值 tan α＝y A x A ＝12gt 2v 0t ＝gt 2v 0②联立①②式可得tan θ＝2tan α。
【例1】如图所示，一小球自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上，小球与斜面接触时速度方向与水平方向的夹角φ满足()A.tan φ＝sin θB.tan φ＝cos θC.tan φ＝tan θD.tan φ＝2tan θ答案D解析如题图所示，接触斜面时位移方向与水平方向的夹角为θ，由平抛运动的推论可知，速度方向与水平方向的夹角φ与θ满足tan φ＝2tan θ，D正确。
【训练1】如图所示，薄半球壳ACB的水平直径为AB，C为最低点，半径为R。
一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力。
则下列判断正确的是()A.只要v0足够大，小球可以击中B点B.v0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同C.v0取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上D.无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上答案D解析小球从A点抛出后做平抛运动，在竖直方向上会发生位移，所以无论v0多大，小球不可能到达B点，A错误；小球落在球壳上的速度方向和水平方向之，当v0不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方间的夹角的正切值tan θ＝gt v向之间的夹角不会相同，B错误；小球撞击在圆弧左侧时，速度方向斜向右下方，不可能与半球壳垂直；当小球撞击在圆弧右侧时，根据平抛运动的推论：平抛运动速度的反向延长线交水平位移的中点，可知，由于圆心不在水平位移的中点，所以小球撞在半球壳上的速度反向延长线不可能通过圆心，也就不可能垂直撞击半球壳，故C错误，D正确。
平抛运动斜面问题
4.2 平抛运动的规律和应用（二）考点:斜面上的平抛运动典型例题[例1] 如图4-2-1所示，斜面倾角为300，小球从A 点以初速度v 0水平抛出，恰好落到斜面B 点，求：①AB 间的距离；②物体在空中飞行的时间；③从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大？[例2]一斜面倾角为θ，A 、B 两个小球均以水平初速度v0水平抛出(如图4－2－2所示，A 球垂直撞在斜面上，B 球落到斜面上的位移最短，不计空气阻力，则A 、B 两个小球下落时间tA 与tB 之间的关系为( )A ．tA ＝tB B ．tA ＝2tBC ．tB ＝2tAD ．无法确定[例3] 如图4-2-3所示，一个斜面固定在水平面上，从斜面顶端以不同初速度v0水平抛出一小球，得到小球在`空中运动时间t 与初速度v0的关系如下表所示，g 取10 m/s2试求：v 0/m ·s －1…2…910…t /s …0.400… 1.000 1.000…(1)v0＝2 m/s 时平抛水平位移s ；(2)斜面的高度h ；(3)斜面的倾角θ。
针对训练:1．某同学在篮球训练中，以一定的初速度投篮，篮球水平击中篮板，现在他向前走一小段距离，与篮板更近，再次投篮，出手高度和第一次相同，篮球又恰好水平击中篮板上的同一点，则( )A ．第二次投篮篮球的初速度大些B ．第二次击中篮板时篮球的速度大些图4-2-1C．第二次投篮时篮球初速度与水平方向的夹角大些D．第二次投篮时篮球在空中飞行时间长些2.如图1所示，在水平地面上固定一倾角为θ=37°、表面光滑的斜面体，物体A以v1=6 m/s的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出.如果当A上滑到最高点时恰好被B物体击中.（A、B均可看做质点，sin37°=0.6,cos37°=0.8,取g=10 2m/s）求：(1)物体A上滑到最高点所用的时间t;(2)物体B抛出时的初速度v2;(3)物体A、B间初始位置的高度差h.图13．如图2所示，在距地面2l的高空A处以水平初速度v0＝gl投掷飞镖，在与A点水平距离为l的水平地面上的B点有一个气球，选择适当时机让气球以速度v0＝gl匀速上升，在升空过程中被飞镖击中。
平抛运动的推论及与斜面结合问题(课件)-高中物理(人教版2019必修第二册)
到斜面上
速度方向
vy＝gt
θ 与 v0、t 的关系：
vx v0
tan θ＝ ＝
vy gt
分解位移，构建位移三角形
θ 与 v0、t 的关系：
运动情形
题干信息
vx v0
tan θ＝ ＝
vy 分析方法
gt
分解速度，构建速度三角形
分解位移，构建位移三角形
从空中水平抛出垂直落
从斜面水平抛出又落到
到斜面上
斜面上
这些极值点也往往是临界点。
2.求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)若有必要,画出临界轨迹。
37°＝ ，
03
平抛运动的临界问题
1.临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着
“起止点”,而这些“起止点”往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,
C. a 的水平速度比 b 的小
D. b 的初速度比 c 的大
4.做平抛（或类平抛）运动的物体，设其位移偏向角为α，速度偏向角
为θ，则在任意时刻、任意位置有tanθ=2tanα。
证明：
v x v0
v y gt
x v0 t
1
y
gt 2
2
O
vy
gt
tan
vx
v0
1 2
gt
y 2
第五章 抛体运动
5.4.2平抛运动的推论
与斜面有关的平抛运动
与斜面有关的平抛运动与斜面有关的平抛运动，包括两种情况：(1)物体从空中抛出落在斜面上；(2)物体从斜面上抛出落在斜面上．在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度的关系，从而使问题得到顺利解决．两种情况的特点及分析方法对比如下：方法内容斜面飞行时间总结分解速度水平方向：v x＝v0竖直方向：v y＝gt合速度：v＝v x2＋v y2特点：tan θ＝v xv y＝v0gtt＝v0g tan θ分解速度，构建速度三角形分解位移水平方向：x＝v0t竖直方向：y＝12gt2合位移：s＝x2＋y2特点：tan θ＝yx＝gt2v0t＝2v0tan θg分解位移，构建位移三角形【例1】如图所示，以9.8 m/s的水平初速度v 0抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为30°的固定斜面上，这段飞行所用的时间为(不计空气阻力，g取9.8 m/s2)()A.23s B.223s ， C. 3 s D.2 s【例2】如图所示，AB为固定斜面倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点．求：(空气阻力不计，重力加速度为g)(1)A、B间的距离及小球在空中飞行的时间；(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？【例3】如图所示，B 为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O 的连线与竖直方向的夹角为α.一小球在圆轨道左侧的A 点以速度v 0平抛，恰好沿B 点的切线方向进入圆轨道.已知重力加速度为g ，则A 、B 之间的水平距离为( )A.v 20tan αgB.2v 20tan αgC.v 20g tan αD.2v 20g tan α【例4】如图所示，在倾角为37°的斜面上从A 点以6 m/s 的初速度水平抛出一个小球，小球落在B 点，求：(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力)(1)A 、B 两点间的距离和小球在空中飞行的时间；(2)小球刚碰到斜面时的速度方向与水平方向夹角的正切值．【例5】如图所示，一个小球从高h ＝10 m 处以水平速度v 0＝10 m/s 抛出，撞在倾角θ＝45°的斜面上的P 点，已知AC ＝5 m ．g ＝10 m/s 2，不计空气阻力，求：(1)P 、C 之间的距离；(2)小球撞击P 点时速度的大小和方向．课后作业1.如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落到了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打在斜面上，则v1、v2之比为()A．1∶2B．2∶1 C．3∶2 D．2∶32.如图所示，斜面与水平面之间的夹角为45°，在斜面底端A点正上方高度为10 m处的O 点，以5 m/s的速度水平抛出一个小球，飞行一段时间后撞在斜面上，不计空气阻力，这段飞行所用的时间为(g取10 m/s2)()A．2 s B. 2 s C．1 s D．0.5 s3.如图所示，一个倾角为37°的斜面固定在水平面上，在斜面底端正上方的O点将一小球以速度v0＝3 m/s水平抛出，经过一段时间后，小球垂直打在斜面P点处.(小球可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，则()A.小球击中斜面时的速度大小为5 m/sB.小球击中斜面时的速度大小为4 m/sC.小球做平抛运动的水平位移是1.6 mD.小球做平抛运动的竖直位移是1 m4.将一小球以水平速度v0＝10 m/s从O点向右抛出，经 3 s小球恰好垂直落到斜面上的A点，不计空气阻力，g＝10 m/s2，B点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，下列判断正确的是()A.斜面的倾角是60°B.小球的抛出点距斜面的竖直高度约是15 mC.若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P的上方D.若将小球以水平速度v0′＝5 m/s向右抛出，它一定落在AB的中点P处5.如图所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上(忽略空气阻力)( )A.两次小球运动时间之比t 1∶t 2＝1∶2B.两次小球运动时间之比t 1∶t 2＝1∶2C.两次小球抛出时初速度之比v 01∶v 02＝1∶2D.两次小球抛出时初速度之比v 01∶v 02＝1∶46.如图所示，从斜面上的A 点以速度v 0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面上的B 点，已知AB ＝75 m ，α＝37°，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，下列说法正确的是( )A.物体的位移大小为60 mB.物体飞行的时间为6 sC.物体的初速度v 0大小为20 m/sD.物体在B 点的速度大小为30 m/s7.如图所示，可视为质点的小球，位于半径为3m 半圆柱体左端点A 的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B 点.过B 点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°，则初速度为(不计空气阻力，重力加速度g 取10 m/s 2)( )A.553 m/sB.4 3 m/sC.3 5 m/sD.152m/s8.如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为α＝53°的固定斜面顶端并刚好沿斜面下滑，已知平台到斜面顶端的高度为h ＝0.8 m ，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求： (1)小球水平抛出的初速度大小v 0； (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x .与斜面有关的平抛运动参考答案【例1】【答案】 C【解析】 如图所示，把末速度分解成水平方向的分速度v 0和竖直方向的分速度v y ，则有：tan 30°＝v 0v y ，v y ＝gt ，联立得：t＝v 0g tan 30°＝3v 0g＝ 3 s ，故C 正确． 【例2】【答案】 (1)4v 0 23g 23v 03g (2)3v 03g 3v 0 212g【解析】 (1)设飞行时间为t ，则有：水平方向位移l AB cos 30°＝v 0t 竖直方向位移l AB sin 30°＝12gt 2解得：t ＝2v 0g tan 30°＝23v 03g ，l AB ＝4v 023g .(2)方法二(结合斜抛运动分解)如图所示，把初速度v 0、重力加速度g 都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量．在垂直斜面方向上，小球做的是以v 0y 为初速度、g y 为加速度的“竖直上抛”运动．小球到达离斜面最远处时，速度v y ＝0， 由v y ＝v 0y －g y t ′可得：t ′＝v 0y g y ＝v 0sin 30°g cos 30°＝v 0g tan 30°＝3v 03g小球离斜面的最大距离y ＝v 0y22g y ＝v 0 2sin 2 30°2g cos 30°＝3v 0 212g.【例3】【答案】 A【解析】 如图所示，对在B 点时的速度进行分解，小球运动的时间t ＝v y g ＝v 0tan αg，则A 、B 间的水平距离x ＝v 0t ＝v 20tan αg，故A 正确，B 、C 、D 错误.【例4】【答案】 (1)6.75 m 0.9 s (2)32【解析】 (1)如图所示，小球落到B 点时位移与初速度的夹角为37°，设运动时间为t . 则tan 37°＝h x ＝12gt 2v 0t ＝56t又因为tan 37°＝34，解得：t ＝0.9 s所以x ＝v 0t ＝5.4 m则A 、B 两点间的距离l ＝xcos 37°＝6.75 m(2)设小球落到B 点时速度方向和水平方向的夹角为α，则tan α＝v y v 0＝gt v 0＝32.【例5】【答案】 (1)5 2 m (2)10 2 m/s 方向垂直于斜面向下 【解析】 (1)设P 、C 之间的距离为L ，根据平抛运动规律有： AC ＋L cos θ＝v 0t ，h －L sin θ＝12gt 2联立解得：L ＝5 2 m ，t ＝1 s.(2)小球撞击P 点时的水平速度v 0＝10 m/s 竖直速度v y ＝gt ＝10 m/s所以小球撞击P 点时速度的大小v ＝v 02＋v y 2＝10 2 m/s设小球撞击P 点时的速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝v yv 0＝1 解得：α＝45°故小球撞击P 点时速度方向垂直于斜面向下．课后作业1.【答案】C【解析】球A 做平抛运动，根据分位移公式，有x ＝v 1t ，y ＝12gt 2，又tan 30°＝yx ，联立解得v 1＝32gt ；小球B 恰好垂直打到斜面上，则有tan 30°＝v 2v y ＝v 2gt ，则得v 2＝33gt ，可得v 1∶v 2＝3∶2，故C 正确，A 、B 、D 错误． 2.【答案】C【解析】设小球撞到斜面AB 中的一点D 上，则小球的水平运动的时间与竖直下落的时间相等，设飞行时间为t ，则根据几何关系可得v 0t ＝10 m －12gt 2，代入数据解得t ＝1 s ，故选项C正确． 3.【答案】 A【解析】 P 点小球的速度方向与斜面垂直，则有：tan 37°＝v 0v y ，解得：v y ＝v 0tan 37°＝334 m/s＝4 m/s ，小球击中斜面时的速度大小为：v ＝v 20＋v 2y ＝32＋42 m/s ＝5 m/s ，A 正确，B 错误；小球运动的时间：t ＝v y g ＝410 s ＝0.4 s ，可知水平位移：x ＝v 0t ＝3×0.4 m ＝1.2 m ，竖直位移：y ＝12gt 2＝12×10×0.42 m ＝0.8 m ，C 、D 错误.4.【答案】 C【解析】 设斜面倾角为θ，对小球在A 点的速度进行分解有tan θ＝v 0gt，解得θ＝30°，A 错误；小球距过A 点水平面的距离为h ＝12gt 2＝15 m ，所以小球的抛出点距斜面的竖直高度一定大于15 m ，B 错误；若小球的初速度为v 0′＝5 m/s ，过A 点做水平面，小球落到水平面的水平位移是小球以初速度v 0＝10 m/s 抛出时的一半，延长小球运动的轨迹线，可知小球应该落在P 、A 之间，C 正确，D 错误。
2021物理鲁科版新课程一轮复习关键能力·题型突破 4.2平抛运动的规律及应用
2021高考物理鲁科版新课程一轮复习关键能力·题型突破4.2平抛运动的规律及应用温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
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关键能力·题型突破考点一平抛运动的规律单个物体的平抛运动【典例1】(多选)一位同学玩投掷飞镖游戏时，将飞镖水平抛出后击中目标。
当飞镖在飞行过程中速度的方向平行于抛出点与目标间的连线时，其大小为v。
不考虑空气阻力，已知连线与水平面间的夹角为θ，则飞镖（）世纪金榜导学号A。
初速度v0=vcos θB。
飞行时间t=C.飞行的水平距离x=D。
飞行的竖直距离y=【一题多解】选A、C。
方法一：将运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动,飞镖的初速度v0=vcos θ，选项A正确；根据平抛运动的规律有x=v0t，y=gt2，tan θ=，解得t=,x=，y=，选项C正确，B、D错误.方法二:求飞行时间还可以沿抛出点与目标间的连线和垂直连线方向建立平面直角坐标系，则沿连线方向上，飞镖做初速度为v0cos θ，加速度为gsin θ的匀加速直线运动；垂直连线方向上做初速度为v0sin θ，加速度为-gcos θ的类竖直上抛运动,故由题意可知飞镖飞到速度为v时，垂直连线方向的速度减为0,所用时间为，再次回到连线所用的时间也为(竖直上抛运动的对称性），故飞行时间为.多个物体的平抛运动【典例2】（2019·潮州模拟）甲、乙两位同学在不同位置沿水平各射出一枝箭,箭落地时,插入泥土中的形状如图所示，已知两支箭的质量、水平射程均相等,若不计空气阻力及箭长对问题的影响，则甲、乙两支箭(）世纪金榜导学号A。
空中运动时间之比为1∶B。
射出的初速度大小之比为1∶C。
下降高度之比为1∶3D.落地时动能之比为3∶1【通型通法】1.题型特征：两个物体水平抛出.2。
思维导引：【解析】选B。
根据竖直方向的自由落体运动可得h=gt2水平射程:x=v0t可得:x=v0由于水平射程相等，则：v甲=v乙①末速度的方向与水平方向之间的夹角的正切值:tan θ==可得:2gh甲=3，6gh乙=②联立①②可得：h甲=3h乙，即下落的高度之比为3∶1；根据竖直方向的自由落体运动可得h=gt2，可知运动时间之比为∶1，故A、C错误;射出的初速度大小之比为1∶，故B正确；它们下落的高度之比为3∶1;但射出的初速度大小之比为1∶,所以落地的动能之比不等于3∶1，故D错误。
平抛运动的基本规律和与斜面曲面相结合问题(解析版)
平抛运动的基本规律和与斜面曲面相结合问题特训目标特训内容目标1平抛运动基本规律(1T -4T )目标2平抛运动与斜面相结合的问题(5T -8T )目标3平抛运动与圆面相结合的问题(9T -12T )目标4平抛运动与任意曲面相结合的问题(13T -16T )【特训典例】一、平抛运动基本规律1如图，正在平直公路行驶的汽车紧急刹车，位于车厢前端、离地高度分别为H ≈3.2m 、h ≈2.4m 的两件物品，因没有固定而散落到路面，相距L ≈1m 。
由此估算刹车时的车速最接近()A.40km /hB.50km /hC.70km /hD.90km/h【答案】A【详解】汽车紧急刹车后物品做平抛运动，平抛初速度等于汽车碰撞瞬间的行驶速度，设为v 。
对于物品A ，水平方向上，有x A =vt 1竖直方式上，有h =12gt 21对于物品B ，水平方向上，有x B =vt 2竖直方式上，有H =12gt 22根据题图分析可知L =x B -x A 解得汽车的行驶速度v =9.33m/s =33.6km/h所以刹车时的车速最接近40km/h 故选A 。
2如图所示，空间有一底面处于水平地面上的长方体框架ABCD -A 1B 1C 1D 1，已知：AB :AD :AA 1=1:1:2，从顶点A 沿不同方向平抛小球(可视为质点)。
关于小球的运动，则()A.所有小球单位时间内的速率变化量均相同B.落在平面A 1B 1C 1D 1上的小球，末动能都相等C.所有击中线段CC 1的小球，击中CC 1中点处的小球末动能最小D.当运动轨迹与线段AC 1相交时，在交点处的速度偏转角均为60°【答案】C【详解】A ．所有小球都是做平抛运动，只受重力，加速度为重力加速度g ，所有小球单位时间内的速度变化率相同，故A 错误；B ．所有落在平面A 1B 1C 1D 1上的小球，下落高度相同，由t =2h g可知下落时间相同，而落到C 1点的小球水平位移最大，所以落到C 1点的小球的抛出初速度v 0最大，所以落到C 1点的小球的末速度最大，即落到C 1点的小球的末动能最大，故B 错误；C ．所有击中线段CC 1的小球水平位移相同，设为x ，击中线段CC 1某点的小球的位移偏转角为θ，那么下落到该点的高度h 为h =x tan θ又由平抛规律和动能定理有h =12gt 2；x =v 0t ；mgh =E k -12mv 20联立上式得E k =mgx tan θ+14tan θ可知当tan θ=12时，E k 有最小值，再结合题目的几何关系知该点应为线段CC 1的中点，故C 正确；D ．当运动轨迹与线段AC 1相交时，所有小球的位移偏转角相同，其正切值为tan θ=1再根据平抛推论知，所有小球速度偏转角相同，其正切值为tan ∂=2tan θ=2由此可知在交点处的速度偏转角均不为60°，故D 错误；故选C 。
第五章 专题强化 与斜面、曲面相结合的平抛运动
与斜面、曲面相结合的平抛运动[学习目标] 1.进一步掌握平抛运动规律，了解平抛运动与斜面、曲面相结合问题的特点.2.熟练运用平抛运动规律解决相关问题．一、与斜面有关的平抛运动运动情形题干信息分析方法从空中水平抛出垂直落到斜面上速度方向分解速度，构建速度三角形v x＝v 0v y＝gtθ与v0、t的关系：tan θ＝v xv y＝v0gt从斜面水平抛出又落到斜面上位移方向分解位移，构建位移三角形x＝v0ty＝12gt2θ与v0、t的关系：tan θ＝yx＝gt2v0例1(2022·江苏南京高一期末)跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞出一段距离后着陆，如图所示，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，测得AB间的距离是75 m，斜坡与水平方向的夹角为37 °，不计空气阻力，取sin 37 °＝0.6，cos 37 °＝0.8，g＝10 m/s2，求：(1)运动员在空中飞行的时间；(2)运动员从A处水平飞出的速度大小．思考：运动员何时离斜面最远？例2 如图所示，小球以v 0＝15 m/s 的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上．求这一过程中：(不计空气阻力，g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(1)小球在空中的飞行时间t ； (2)抛出点距撞击点的高度h .例3 如图所示，若质点以初速度v 0正对倾角为θ＝37°的斜面水平抛出，要求质点到达斜面时位移最小，则质点的飞行时间为(重力加速度为g ，tan 37°＝34)( )A.3v 04gB.3v 08gC.8v 03gD.4v 03g1．在分析与斜面有关的平抛运动问题时，注意分析题干信息，强调的是速度方向还是位移方向，然后进行分解并利用两分量与已知角的关系求解． 2．与斜面有关的平抛运动拓展运动情形题干信息 分析方法 斜面外开始，要求以最短位移打到斜面位移方向分解位移x ＝v 0t y ＝12gt 2tan α＝x y＝2v 0gt斜面外开始，沿斜面方向落入斜面速度方向分解速度v x ＝v 0 v y ＝gt tan α＝v yv x＝gt v 0二、平抛运动与曲面相结合例4 如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O 为圆心，且AB 为沿水平方向的直径．一物体在A 点以水平向右的初速度v A 抛出，与此同时另一物体在B 点以向左的水平初速度v B 抛出，两物体都落到容器的同一点P .已知∠BAP ＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.下列说法正确的是( )A ．物体B 比A 先到达P 点 B ．物体A 比B 先到达P 点C ．抛出时，两物体的速度大小之比为v A ∶v B ＝16∶9D ．抛出时，两物体的速度大小之比为v A ∶v B ＝4∶3例5 (2022·南通中学高一检测)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，运动过程中恰好与半圆轨道相切于B 点．O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R ，OB 与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g ，则小球抛出时的初速度为( )A.3gR2 B.33gR2C.3gR2 D.3gR3。
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见 tan φ＝2tan θ＝1.50，选项 C 正确。答案 C
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【拓展】 在【例2】中,若运动员从O点飞出的初速度为20 m/s,则 运动员离开O点后离斜坡的最远距离为( )
A.30 m B.15 m C.18 m D.9 m 解析 将运动员的初速度 v0 和加速度 g 分别沿垂直于斜面和平行于斜面方向进行
3 A.4 m
2 B. 3 m
2 C. 2 m
4 D.3 m
解析
设
AB
高为
h，落地点到
C
点的距离为
x，由
h v0＝xt 和题意知tan
θ＋x＝2tahn 2h
θ＋x， h
g
g
解得 x＝34 m，D 正确。答案 D
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2.(多选)如图,小球在倾角为θ的斜面上方O点处以速度v0水平抛出,落在斜面上的A点时 速度的方向与斜面垂直,重力加速度为g,根据上述条件可以求出( )
A.小球由O点到A点的时间 B.O点距离地面的高度 C.小球在A点速度的大小 D.小球从O点到A点的水平距离 解析 小球速度方向与斜面垂直，根据平行四边形定则知，
tan θ＝gv0t，故 t＝gtavn0 θ，选项 A 正确；由时间 t 可根据 y＝12gt2 求得小球下降高度，而
分解，如图所示，初速度 v0 沿垂直斜面方向上的分量为 v1＝v0sin θ，加速度 g 在垂直于 斜面方向上的分量为 a1＝gcos θ，根据分运动各自独立的原理可知，离斜面的最大距离 仅由 v1 和 a1 决定，当垂直于斜面的分速度的大小 减为零时，运动员离斜面的距离最大，最大距离 d＝2va211＝2vg20scions2θθ＝9 m。选项 D 正确。答案 D
首先考虑什 么分量？
转到解析
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解析 设小球落在斜面上时，水平速度为v，速度与水平方向的夹角为α，位移与水平方
向的夹角为θ，小球运动的时间为t，则tan α＝vg0t，tan θ＝12vg0tt2＝2gvt0，可知tan α＝2tan θ，因为
小球落在斜面上时，位移与水平方向的夹角为定值，可知两球接触斜面的瞬间，速度方向相
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【例2】(2019·河南信阳一模)如图所示,一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑 行后从O点水平飞出,经过3 s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点,斜坡与水平面 的夹角θ＝37°,不计空气阻力(sin 37°＝0.6,cos 37°＝0.8,g取10 m/s2)。则运动员落到斜坡 上时速度方向与水平方向的夹角φ满足( )
同，选项A正确；根据tan
θ＝
gt 2v0
可得t＝
2v0tan g
θ ，因为甲、乙两球初速度大小之比为1∶2，
因此两球做平抛运动的时间之比为1∶2，选项B错误；根据平抛运动竖直方向位移公式h＝
1 2
gt2并结合B选项的分析可知，甲、乙两球下落的高度之比为1∶4，根据相似三角形知识可知
A、C两点间的距离与B、D两点间的距离之比为1∶4，选项C正确；甲、乙两球运动时间之
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【例 4】 (多选)(2019·安徽黄山 4 月模拟)如图所示，甲、乙两个小球同时从一固定 的足够长斜面上的 A、B 两点分别以 v0、2v0 的速度水平抛出，分别落在斜面上的 C、D 两点(图中未画出)，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A．甲、乙两球接触斜面前的瞬间，速度方向相同 B．甲、乙两球做平抛运动的时间之比为 1∶4 C．A、C 两点间的距离与 B、D 两点间的距离之比为 1∶4 D．甲、乙两球接触斜面前的瞬间，速度大小之比为 1∶ 2
A.tan φ＝1.33 B.tan φ＝1.44 C.tan φ＝1.50 D.tan φ＝2.00
解析 运动员落到斜坡上的瞬间，对其速度进行分解，如图所示。竖直分速度
vy＝gt，与水平分速度 v0 的比值 tan φ＝vv0y＝vg0t；竖直分位
移 y＝21gt2，与水平分位移 x＝v0t 的比值 tan θ＝yx＝2gvt0，可
一、物体从空中抛出落在斜面上,如图所示
分解速度: 水平:vx=v0
垂直撞击Βιβλιοθήκη v0斜面竖直:vy=gt
y
tanθ=vx /vy= v0/gt
x
v0
分解位移: 水平:x=v0t 竖直:y=gt2/2
θ
vy v
θ
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一、物体从斜面上抛出落在斜面上(如右图所示)
分解位移: 水平:x=v0t 竖直:y=gt2/2
分解速度: 水平:vx=v0 竖直:vy=gt
tan y gt
x 2v0
tanα v y gt
vx
v0
v0
θ
α
θ
v
vy
v0
y x
方法指导 在解答该类问题时,除要运用平抛运动的位移和速度规律外,还要充分利用 斜面倾角,找出斜面倾角同位移和速度的关系,从而使问题得到顺利解决。
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考点2 与斜面相关联的平抛运动
01
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CONTENTS
02
多维训练
03 备选训练
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模型阐述:平抛运动与斜面相结合的模型,其特点是做平抛运动的物体落在斜
面上,包括两种情况:
(1)物体从空中抛出落在斜面上; (2)从斜面上抛出落在斜面上。
tanθ= vy/vx= gt/v0
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方法技巧——与斜面相关联的平抛运动的分解方法与技巧
(1)如果知道速度的大小或方向,应首先考虑分解速度。 (2)如果知道位移的大小或方向,应首先考虑分解位移。 (3)两种分解方法 ①沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动; ②沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的匀减速运动。
比为1∶2，则竖直分速度大小之比为1∶2，因为两球落在斜面上时速度方向相同，故由几何
知识可知，两球接触斜面的瞬间，速度大小之比为1∶2，选项D错误。
答案 AC
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1．(2019·河南高三教学质检)如图 8 所示，斜面体 ABC 固定在水平地面上，斜面的 高 AB 为 2 m，倾角为 θ＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，且 D 是斜面的中点，在 A 点和 D 点分别以相同的初速度水平抛出相同的小球， 结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到 C 点的水平距离为( )