初三数学方程和方程组的解法例题解析
初三数学方程组与不等式组试题答案及解析
初三数学方程组与不等式组试题答案及解析1.方程组的实数解个数为A．0B．1C．2D．4【答案】A【解析】解：第二个方程整理得：，把第一个方程代入得到：，∴x=y=0而x=y=0又不满足第一个方程．故原方程组无解．故选A。
2. 8与12的最大公因数是_______________.【答案】4【解析】分析：根据题意先求出8和12的因数，然后从这些因数中找出它们的最大公因数．解：8的因数有：1、2、4、8；12的因数有：1、2、3、4、6、12；∴8与12的最大公因数是4，故答案为4．3.在中央电视台2套“开心辞典”节目中，有一期的某道题目是：如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一个香蕉的重量的（）A．倍B．倍C．倍D．倍【答案】B【解析】设一个苹果的重量为x、一个香蕉的重量为y、一个砝码的重量为z，先用含z的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再求即可．解：设一个苹果的重量为x、一个香蕉的重量为y、一个砝码的重量为z，由题意得，解得x=2z，y=z，故=故选B．本题先通过解三元一次方程组，求得用z表示的x，y的值后而求解．4.已知456456=23´a´7´11´13´b，其中a、b均为质数。
若b>a，则b-a之值为何？A．12B．14C．16D．18【答案】C【解析】5.飞行中的炮弹经x秒后的高度为y米，且高度与时间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第秒．【答案】10.5【解析】依据题意可知当t=7,14时高度相等，则根据抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），的轴对称性可知其对称轴为直线且实际问题（飞行中的炮弹）a<0故当x=10.5时即抛物线最高，故填10.56.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可．试题解析：∵2x-4＞0，∴2x＞4，∴x＞2，故选B．【考点】解一元一次不等式．7.对于实数a、b，定义一种新运算“”为：a b=，这里等式右边是通常的四则运算．例如：13=．（1）解方程；（2）若,均为自然数，且满足等式，求满足条件的所有数对（,）．【答案】x=；（3,4）（5,3）（7,2）（9,1）（11,0）．【解析】首先根据题意列出分式方向，然后进行求解；根据题意得出二元一次方程组，然后根据解的特殊性得出方程组的解．试题解析：（1）根据题意，得即：解得：经检验，是原方程的解且符合题意，∴原方程的解为．（2），∴即：∵,均为自然数，∴或或或或或，经检验，不是原方程的解，∴满足条件的所有数对（x,y）为（3,4）（5,3）（7,2）（9,1）（11,0），共五对．【考点】新定义、分式方程、二元一次方程组．8.（2015山东省德州市，8，3分）下列命题中，真命题的个数是（）①若-1<x< -，则-2<<-1；②若-1≤x≤2，则1≤x2≤4；③凸多边形的外角和为360°；④三角形中，若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】①③④正确，当x取0与-1之间的数时，结论错误，②不正确，故选B．【考点】解不等式；多边形的内角和；锐角三角函数间的关系．9.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．试题解析：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产（x+50）台．依题意得：故选A．【考点】由实际问题抽象出分式方程．10.（本题满分10分）某工厂生产的某种产品按质量分为8个等级，第1等级（最低等级）的产品一天能生产85件，每件利润8元．每提高一个等级，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x等级的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤8），求出y关于x的函数关系式；（2）若生产第x等级的产品一天的总利润为900元，求该产品的质量等级．【答案】（1）y＝－10x2＋150x＋540（其中x是正整数，且1≤x≤8）；（2）第3等级．【解析】（1）根据总利润y=每件的利润×件数，即可求出y与x的函数关系式；（2）令y=900，然后解方程即可．试题解析：解：（1）∵第一等级的产品一天能生产85件，每件利润8元，每提高一个等级，每件利润加2元，但一天生产量减少5件．∴第x等级，提高的等级是x－1．∴y＝[8＋2（x－1）][85－5（x－1）]，即y＝－10x2＋150x＋540（其中x是正整数，且1≤x≤8）；（2）由题意可得：―10x2＋150x＋540＝900整理得：x2―15x＋36＝0解得：x1＝3，x2＝12（舍去）．答：该产品的质量等级为第3等级．【考点】1．函数的应用；2．函数与方程．11.设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算=ad-bc，则满足等式=1的x的值为．【答案】-10【解析】根据题中的新定义化简已知方程，求出方程的解即可得到x的值．试题解析：根据题中的新定义得：去分母得：3x-4x-4=6，移项合并得：-x=10，解得：x=-10【考点】解一元一次方程．12.（8分）（2015•佛山）某景点的门票价格如表：某校七年级（1）、（2）两班计划去游览该景点，其中（1）班人数少于50人，（2）班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．（1）两个班各有多少名学生？（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？【答案】（1）七年级（1）班有49人、七年级（2）班有53人；（2）196元，106元．【解析】（1）设七年级（1）班有x人、七年级（2）班有y人，根据如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元建立方程组求出其解即可；（2）用一张票节省的费用×该班人数即可求解．试题解析：解：（1）设七年级（1）班有x人、七年级（2）班有y人，由题意，得，解得：．答：七年级（1）班有49人、七年级（2）班有53人；（2）七年级（1）班节省的费用为：（12﹣8）×49=196元，七年级（2）班节省的费用为：（12﹣10）×53=106元．【考点】一元一次方程的应用13.（6分）在上信息技术课时，张老师布置了一个练习计算机打字速度的学习任务，过了一段时间，张老师发现小聪打一篇1000字的文章与小明打一篇900字的文章所用的时间相同．已知小聪每分钟比小明每分钟多打5个字，请你求出小聪、小明两人每分钟各打多少个字？【答案】小聪每分钟打50个字，小明每分钟打45个字．【解析】设小明每分钟打x个字，则小聪每分钟打（x+5）个字，然后根据等量关系：小聪打一篇1000字的文章与小明打一篇900字的文章所用的时间相同，列分式方程可解决问题；（也可以列方程组解决问题）试题解析：解：设小明每分钟打x个字，则小聪每分钟打（x+5）个字，由题意得=，解得：x=45，经检验：x=45是原方程的解．答：小聪每分钟打50个字，小明每分钟打45个字．【考点】分式方程的应用．14.阅读材料：用配方法求最值．已知，为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．示例：当时，求的最小值．解：，当，即时，的最小值为6．（1）尝试：当时，求的最小值．（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？【答案】（1）3；（2）10，2.5．【解析】（1）首先根据，可得，然后应用配方法，即可求出答案．（2）首先根据题意，求出年平均费用，然后应用配方法，求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年平均费用为多少万元即可．试题解析：（1）=≥=3，∴当，即x=1时，y的最小值为3；（2）年平均费用==≥=2+0.5=2.5，∴当，即n=10时，最少年平均费用为2.5万元．【考点】1．配方法的应用；2．阅读型；3．最值问题；4．综合题．15.（10分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？【答案】56．【解析】设降价x元，表示出售价和销售量，根据题意列出方程求解即可．试题解析：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，解得x=1或x=4，又顾客得实惠，故取x=4，应定价为56元，答：应将销售单价定位56元．【考点】1．一元二次方程的应用；2．销售问题．16.（3分）某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为．【答案】．【解析】每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：．故答案为：．【考点】1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题．17.（5分）已知实数a，b是方程的两根，求的值．【答案】﹣3．【解析】由根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法进行计算．试题解析：∵实数a，b是方程的两根，∴，，∴===﹣3．【考点】根与系数的关系．18.2015年1月20日遵义市政府工作报告公布：2013年全市生产总值约为1585亿元，经过连续两年增长后，预计2015年将达到2180亿元．设平均每年增长的百分率为，可列方程为．【答案】．【解析】2014年的生产总值为1585（1+x）亿元，则2015年的生产总值为=，可得方程为．故答案为：．【考点】一元二次方程的应用．19.方程x2-3x=0的根为．【答案】x1=0，x2=3．【解析】因式分解得，x（x-3）=0，解得，x1=0，x2=3．【考点】解一元二次方程-因式分解法．20.某商场购进一品服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装的标价是元.【答案】400.【解析】设该服装的标价为x元，由题意得，0.6x-200=200×20%，解得：x=400．【考点】1.分式方程的应用；2.一元一次方程的应用．21.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】此题考查了一元一次不等式组的解法和在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线是解题的关键.由①得：x≤1，由②得：x＞﹣3，则不等式组的解集是﹣3＜x≤1.【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组22.计算：；（2））解不等式组，并写出它的非负整数解．【答案】（1）7；（2），非负整数解为0，1，2，3【解析】（1）利用乘方的意义、绝对值的意义、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别运算，即可求得计算结果；（2）先求出不等式组的解集，然后在解集中求出非负整数即可．试题解析：（1）原式==7；（2）解不等式组，得，所以它的非负整数解为0，1，2，3．【考点】1．实数的运算；2．解一元一次不等式组；3．一元一次不等式组的整数解；4．特殊角的三角函数值．23.求不等式组的正整数解．【答案】1、2、3、4．【解析】先求出不等式组的解集，再从不等式组的解集中找出适合条件的正整数即可．试题解析：解不等式2x+1＞0，得：x＞-，解不等式x＞2x-5，得：x＜5，∴不等式组的解集为-＜x＜5，∵x是正整数，∴x=1、2、3、4．【考点】一元一次不等式组的整数解．24.（8分）已知关于x的方程（1）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根；（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】（1）m=1；0 （2）见解析【解析】（1）把根代入方程可求得m，解方程或用根与系数的关系可求得另一根；（2）求方程的根的判别式，从判别式求证结果.试题解析：解：（1）将代入方程得，，解得；方程为，即另一根为0．（2）∵△=，∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【考点】一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式25.已知方程的一个根是1，则m的值是______,它的另一个根是________。
线性方程组的解法例题线性方程组的解法
线性方程组的解法例题线性方程组的解法第二章线性方程组的解法n阶线性方程组的一般形式为:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1 ax,ax, ,ax b 2112222nn2(2.0.1)an1x1,an2x2, ,annxn bnAx b用矩阵表示为: 其中A称为系数矩阵，x称为解向量，b称为常数向量(简称方程组自由项)，它们分别为:x1 b1 a11a12a1nx b aa2122a2n x 2 b 21，， Axn bn an1an2ann如果矩阵A非奇异，即A的行列式值det(A) 0，则根据克莱姆(Cramer)规则，方程组有唯一解:Di,i 1,2, ,n xi D其中D det(A)，Di表示D中等i列换b后所得的行列式值。
但克莱姆规则不适用于求解线性代数方程组，因为计算工作量大得难以容忍。
实际用于求解线性代数方程组的计算方法主要有两种:一是消去法，它属于直接解法;二是迭代解法。
消去法的优点是可以预先估计计算工作量，并且根据消去法的基本原理，可以得到矩阵运算(如矩阵求逆等)的求解方法。
但是，由于实际计算过程总存在有误差，由消去法得到的结果并不是绝对精确的，存在数值计算的稳定性问题。
迭代解法的优点是简单，便于编制计算机程序。
在迭代解法中，必须考虑迭收敛速度快慢的问题。
?2.1 线性方程组的直接计算求解线性代数方程组的直接解法主要是消去法(或称消元2法)。
消去法的基本思想是通过初等行变换:将一个方程乘以某个常数，以及将两个方程相加或相减，减少方程中的未知数数目，最终使每个方程中含一个未知数，从而得到所需要的解。
2.1.1 三角形方程组的计算对下三角形方程组:a11x1 b1ax,ax b 2112222(2.1.1)an1x1,an2x2, ,annxn bn可以通过前代的方法求解:先从第1个方程求出x1，代入第2个方程求出x2，依次类推，可以逐次前代求出所有xi(i 1,2, ,n)，计算公式如下:b1x1 a11i～1bi～ aij xj(2.1.2)j 13xi , i 2, 3, , n aii对上三角形方程组:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1ax, ,ax b 2222nn2annxn bn(2.1.3)可以通过回代的方法求解:先从第n个方程求出xn，代入第n～1个方程求出xn～1，依次类推，可以逐次回代求出所有xi(i n,n～1, ,1)，计算公式如下:bnxn annnbi～ aij xj(2.1.4)j i,1xi , i n～1, n～2, , 1 aii2n 前代法和回代法的计算量都是次四则运算。
初中数学方程与不等式之二元二次方程组解析含答案(1)
初中数学方程与不等式之二元二次方程组解析含答案(1)一、选择题1．解方程组：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩. 【答案】12123232,22x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩. 【解析】【分析】把第一个方程化为x=3y ，代入第二个方程，即可求解. 【详解】由方程①，得x ＝3y③，将③代入②，得(3y )2+y 2＝20，整理，得y 2＝2，解这个方程，得y 1＝2，y 2＝﹣2④，将④代入③，得x 1＝32，2x ＝﹣32，所以，原方程组的解是11322x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 11322x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 【点睛】该题主要考查了代入法解二元二次方程组，代入的目的是为了消元，化二元为一元方程，从而得解.2．阅读材料，解答问题材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如的方程组． 如：由（2）得，代入（1）消元得到关于的方程： ，将代入得：，方程组的解为 请你用代入消元法解方程组：【答案】解：由（1）得，代入（2）得化简得：，把，分别代入得：， ，【解析】这是阅读理解题，考查学生的阅读理解能力，把二元二次方程组利用代入消元转化成一元二次方程，解出一元二次方程的解，再求另一个未知数的解即可3．如图，要建一个面积为45 m 2的长方形养鸡场(分为两片)，养鸡场的一边靠着一面长为14m 的墙，另几条边用总长为22 m 的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽l m 的门.求这个养鸡场的长与宽.【答案】这个养鸡场的长为9m ，宽为5 m.【解析】试题分析：设鸡场的长为x m ，宽为y m ，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．解：设鸡场的长为xm ，宽为ym ，由题意可得：322245x y xy +-=⎧⎨=⎩，且x <14，解得y =3或5； 当y =3时，x =15；∵x <14，∴不合题意，舍去；当y =5时，x =9，经检验符合题意．答：这个养鸡场的长为9m ，宽为5m.4．解方程组：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩. 【答案】1121x y =⎧⎨=-⎩，2212x y =⎧⎨=-⎩，3321x y =-⎧⎨=⎩，4412x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】试题分析：变形方程组中的①，得两个一元一次方程，与组中的②联立得方程组，求解方程组即可．试题解析：解：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩①②由①得：（x ﹣y ）2=9所以x ﹣y =3③，x ﹣y =﹣3④③②与④②联立得：22223355x y x y x y x y -=-=-⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩， 解方程组2235x y x y -=⎧⎨+=⎩，得：12122112x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，； 解方程组2235x y x y -=-⎧⎨+=⎩，得：34342112x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，． 所以原方程组的解为：3124312422111122x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，，，． 点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，由两个二元二次方程组成的方程组，通常采用变形组中的一个二次方程为两个一元一次方程用代入法求解．5．解方程组221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩【答案】1143x y =-⎧⎨=-⎩，2201x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.【详解】解：221? 444y x x xy y ①②=+⎧⎨-+=⎩由②得，()224x y -= ③，把①代入③，得()2214x x ⎡⎤-+=⎣⎦，即：()224x +=，所以，x+2=2或x+2=-2所以，x 1=-4,x 2=0,把x 1=-4,x 2=0,分别代入①，得y 1=-3,y 2=1.所以，方程组的解是 1143x y =-⎧⎨=-⎩，2201x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.6．解方程组【答案】原方程组的解为：， 【解析】【分析】把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，把x 代入第一个方程，求出y 即可.【详解】 解：把①代入②得：x 2-4x （x +1）+4（x +1）2=4，x 2+4x =0，解得：x =-4或x =0，当x =-4时，y =-3，当x =0时，y =1， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.7．解方程组：2220334x y x y y -=⎧⎨+-=⎩. 【答案】21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩【解析】【分析】 由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．【详解】解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩①② , 由①得：2x y =………… ③将③代入②，化简整理，得：2340y y +-=，解得：13y y ==-或，将13y y ==-或代入①，得：21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．8．解方程组：22694(1)23(2)x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩【答案】1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将①中的x 2 -6xy+9y 2分解因式为：（x-3y ）2，则x-3y=±2，与②组合成两个方程组，解出即可【详解】解：由①，得（x ﹣3y ）2＝4，∴x ﹣3y ＝±2，∴原方程组可转化为：3323x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或3-223x y x y -=⎧⎨-=⎩ 解得1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解为：1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则9．解方程组：22235,230.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩． 【解析】【分析】先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元一次方程，然后分别与第一个方程联立成二元一次方程组，分别解方程组即可．【详解】由②得：()()30x y x y -+=；所以，0x y -=或30x y +=；整理得：2350x y x y +=⎧⎨-=⎩或23530x y x y +=⎧⎨+=⎩； 解得：11x y =⎧⎨=⎩或553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩； 所以，原方程组的解为1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩； 【点睛】本题主要考查二元二次方程组的解法，能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的关键．10．解方程组22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩【答案】12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ 3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即可.【详解】22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩①②, ①式左边分解因式得，()20x y x y -++=（），∴x-y+2=0或x+y=0，原方程组转化为以下两个方程组：（i ）22208x y x y -+=⎧⎨+=⎩或（ii ）22+08x y x y =⎧⎨+=⎩ 解方程组（i ）得，12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，解方程组（ii ）得，3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩,所以，原方程组的解是:12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.11．解方程组：222449x xyx xy y⎧+=⎪⎨++=⎪⎩【答案】123434120033,,,333322x xx xy yy y==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩【解析】【分析】由第一个等式可得x（x+y）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y）2=9可得出x和y的值．【详解】∵x(x+y)=0，①当x=0时,(x+2y)2 =9，解得：y1=32,y2=−32；②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3，解得：33xy=-=⎧⎨⎩或33xy==-⎧⎨⎩.综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322x xx xy yy y==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩.【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.12．解方程组:223403x xy yx y⎧--=⎨-=⎩【答案】1141xy=⎧⎨=⎩或223232xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；【解析】【分析】由代入消元法，消去一个未知数x ，得到关于y 的一元二次方程，然后用公式法解出y 的值，然后计算出x ，即可得到方程组的解.【详解】解：223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②， 由②得：3x y =+③，把③代入①，得22(3)3(3)40y y y y +-+-=，整理得：26390y y +-=，∵2494692250b ac ∆=-=+⨯⨯=>，∴用求根公式法，得326y -±=⨯， 解得：1=1y ，232y =-； ∴14x =，232x =； ∴方程组的解为：1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，利用代入消元法把解方程组转变为解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.13．解方程组：222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩【答案】1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】【分析】由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．【详解】222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=⎧⎨+=⎩①③或221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①④，解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩；所以方程组的解为：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．14．解方程组： 22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩,2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【解析】【分析】由完全平方公式，组中②可变形为（x +2y ）2＝9，即x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3．这样原方程组可变形为关于x 、y 的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的解．【详解】22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩①② 由②得：（x +2y ）2＝9，即：x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3所以原方程组可化为3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩； 3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩． 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩；得1111x y =⎧⎨=⎩； 解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩．得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴原方程组的解是得1111x y =⎧⎨=⎩；得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法．把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．15．解二元二次方程组210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩【答案】121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩ 【解析】【分析】把方程①变形为y=1-x ，利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．【详解】 解：210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩①② ， 把①变形y ＝1﹣x ，代入②得x 2﹣（1﹣x ）﹣2x ﹣1＝0，化简整理得x 2﹣x ﹣2＝0，∴x 1＝2，x 2＝﹣1，把x ＝2代入①得y ＝﹣1，把x ＝﹣1代入①得y ＝2，所以原方程组的解为：121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩． 【点睛】本题考查二元二次方程组的解法，一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．16．前年甲厂全年的产值比乙厂多12万元，在其后的两年内，两个厂的产值都有所增加：甲厂每年的产值比上一年递增10万元，而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数．去年甲厂全年的产值仍比乙厂多6万元，而今年甲厂全年产值反而比乙厂少3.2万元．前年甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？【答案】前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%．【解析】【分析】根据题意，设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，则甲厂前年的产值为（x+12）万元，利用甲厂和乙厂的产值关系列出二元二次方程组，解得即可．【详解】设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，根据题意得 ()()()()21210161210101 3.2x x y x x y ++-+=⎧⎪⎨+++=+-⎪⎩解得8020%x y =⎧⎨=⎩80+12=92（万元），答：前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%，故答案为：92，80，20%．【点睛】本题考查了方程组的列式求解问题，二元二次方程组的求解，根据等量关系列出方程组是解题的关键．17．解方程组2210260x y x x y -+=⎧⎨--+=⎩【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】由（1）得21y x =+，代入到（2）中整理为关于x 的一元二次方程，求出x 的值，并分别求出对应的y 值即可.【详解】解： ()()221012602x y x x y ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩， 由（1），得21y x =+（3），把（3）代入（2），整理，得2540x x -+=，解这个方程，得121,4x x ==，把11x =代入（3），得13y =，把24x =代入（3），得29y =，所以原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩.. 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.18．解方程组：22444{10x xy y x y -+=++=①②．【答案】110{1x y ==-，2243{13xy =-=．【解析】试题分析：由①得出x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2． 原方程可化为：22{1x y x y -=+=-，22{1x y x y -=-+=-． 解得，原方程的解是110{1x y ==-，2243{13x y =-=．考点：高次方程．19．△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交于AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交于CD 于H ，（1）如图1，若∠EFC=∠A ，求证：CE•CD=CH •BC ；（2）如图2，若BH 平分∠ABC ，CE=CF ，BF=3，AE=2，求EF 的长；（3）如图3，若CE≠CF ，∠CEF=∠B ，∠ACB=60°，CH=5，CE=43，求AC BC的值．【答案】（1）见解析;（2）6 ; （3）57. 【解析】【分析】（1）只要证明△ECH ∽△BCD ，可得EC BC =CH CD，即可推出CE•CD=CH•BC ； （2）如图2中，连接AH ．只要证明△AEH ∽△HFB ，可得AE HF =EH FB ，推出FH 2=6，推出6，即可解决问题．（3）只要证明△ECF ∽△BCA ，求出CF 即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB，∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB，∴△ECH∽△BCD，∴EC CH BC CD=，∴CE•CD=CH•BC．（2）解：如图2中，连接AH．∵BH、CH都是△ABC的角平分线，∴AH是△ABC的角平分线，∴∠BHC=180°﹣12（∠ABC+∠ACB）=180°﹣12（180°﹣∠BAC）=90°+12BAC=90°+∠HAE，∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，∴CH⊥EF，HF=HE，∴∠CHF=90°，∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°，∴∠HAE=∠BHF，∵∠CFE=∠CEF，∴∠AEH=∠BFH，∴△AEH∽△HFB，∴AE EH HF FB=，∴FH2=6，∴HE=HF=6，∴EF=26．（3）解：如图3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．设HF=x，FN=y．∵∠HCM=∠HCN=30°，HC=5，∴HM=HN=52，53，∵∴∵S △HCF ：S △HCE =FH ：EH=FC ：EC ， ∴x（）：， 又∵x 2=y 2+（52）2， 解得∴CF=7， ∵∠CEF=∠B ，∠ECF=∠ACB ，∴△ECF ∽△BCA ， ∴EC CF BC AC=，∴AC CF BC EC ===57． 【点睛】本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、二元二次方程组等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．20．某起重机厂四月份生产A 型起重机25台,B 型起重机若干台.从五月份起, A 型起重机月增长率相同,B 型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A 型起重机是B 型起重机的2倍,六月份A 、 B 型起重机共生产54台.求四月份生产B 型起重机的台数和从五月份起A 型起重机的月增长率.【答案】四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%【解析】【分析】设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y,根据题目中的等量关系列出方程组求解即可.【详解】解：设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y.根据题意 ，可列方程组()()()()2251232513254y x y x ⎧+=+⎪⎨+++⨯=⎪⎩解得：x=12,y=0.2答：四月份生产B型起重机12台,从五月份起A型起重机的月增长率为20%.【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，解题的关键是找准题中的等量关系.。
初三数学二元一次方程组试题答案及解析
初三数学二元一次方程组试题答案及解析1.海南五月瓜果飘香，某超市出售的“无核荔枝”和“鸡蛋芒果”单价分别为每千克26元和22元.李叔叔购买这两种水果共30千克，共花了708元.请问李叔叔购买这两种水果各多少千克？【答案】18.【解析】设李叔叔购买“无核荔枝”x千克，购买“鸡蛋芒果”y千克，根据总质量为30千克，总花费为708元，可得出方程组，解出即可．试题解析：解：设李叔叔购买“无核荔枝” x千克，购买“鸡蛋芒果” y千克，由题意，得：，解得：．答：李叔叔购买“无核荔枝”12千克，购买“鸡蛋芒果”18千克．【考点】二元一次方程组的应用．2.方程组的解是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】利用加减消元法求出方程组的解即可作出判断：，①﹣②得：3y=30，即y=10，将y=10代入①得：x+10=60，即x=50，则方程组的解为．故选C.【考点】解二元一次方程组．3.解方程组．【答案】．【解析】先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可.试题解析：解：，①+②得：7x=14，解得：x=2，把x=2代入①得6+y=3，解得：y=﹣3，∴原方程组的解是．【考点】解二元一次方程组．4.今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（）A．2种B．3种C．4种D．5种【答案】B【解析】设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，依题意得，把③代入①②得，解得z=（k为整数）．又∵z为正整数，∴当k=1时，z=7；当k=2时，z=5；当k=16时，z=1．综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种情况．故选：B．【考点】二元一次方程的应用5.二元一次方程组的解为【答案】．【解析】利用加减消元法求出解即可．试题解析：①×3-②×2得：11x=33，即x=3，将x=3代入②得：y=2，则方程组的解为．【考点】解二元一次方程组．6.若x、y满足方程组，则x﹣y的值等于（）A．﹣1B．1C．2D．3【答案】A.【解析】，②﹣①得：2x﹣2y=﹣2，则x﹣y=﹣1，故选A【考点】解二元一次方程组．7.方程组的解是 .【答案】.【解析】将代入得.∴方程组的解是.【考点】解二元一次方程组.8.在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动. 有A、B 两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有0，2，3；B组卡片上分别写有－5，－1，1.每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同.甲从A组中随机抽取一张记为x，乙从B组中随机抽取一张记为y.（1）若甲抽出的数字是2，乙抽出的数是－1，它们恰好是ax－y=5的解，求a的值；（2）求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax－y=5的解的概率.（请用树形图或列表法求解）【答案】（1）a="2" （2）P=【解析】（1）将x=2，y=-1代入方程计算即可求出a的值；（2）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax-y=5的解的情况数，即可求出所求的概率．试题解析：（1）将x=2，y=-1代入方程得：2a+1=5，即a=2；（2）列表得：所有等可能的情况有9种，其中（x，y）恰好为方程2x-y=5的解的情况有（0，-5），（2，-1），（3，1），共3种情况，则P==【考点】1、列表法和树状图发；2、二元一次方程的解.9.在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中的三角形ABC是格点三角形，其中S=2，N=0，L=6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是 _.经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数，则当N=5，L=14时，S= .（用数值作答）【答案】7、3、10； 11.【解析】由图可知图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是7、3、10.不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时，S=1，N=0，L=6∵格点多边形的面积S=aN+bL+c，∴结合图中的格点三角形ABC及多边形DEFGHI可得，解得.∴.将N=5，L=14代入可得S=11．【考点】1.探索规律题（图形的变化类）；2.新定义；3.网格问题；4.认识平面图形；5.特殊元素法和待定系数法的应用．10.陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格（单位：元）为（）A．19B．18C．16D．15【答案】C．【解析】要求出第三束气球的价格，根据第一、二束气球的价格列出方程组，应用整体思想求值：设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个，由题意，得，两式相加，得，4x+4y=32，即2x+2y=16.故选C．【考点】1.二元一次方程组的应用；2.求代数式的值；3.整体思想的应用.11.解方程组：【答案】或.【解析】将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与②联立构成两个二元一次方程组求解即可.由①得，即或，∴原方程组可化为或.解得；解得.∴原方程组的解为或.【考点】解二元二次方程组.12.已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为（）A．±2B．C．2D．4【答案】C【解析】由是二元一次方程组的解，根据二元一次方程根的定义，可得，即可求得m与n的值，继而求得2m﹣n的算术平方根．解：∵是二元一次方程组的解，∴，解得：，∴2m﹣n=4，∴2m﹣n的算术平方根为2．故选C．13.若关于x、y的二元一次方程组的解满足x＋y＞1，则k的取值范围是________．【答案】k＞2【解析】①＋②，得3x＋3y＝3k－3，x＋y＝k－1∵x＋y＞1，∴k－1＞1，k＞2.∴k的取值范围是k＞2.14.解方程组：【答案】解：①+②可得：3x=6，解得：x=2，将x=2代入①可得：y=﹣1。
初三数学一元二次方程经典例题及答案解析
初三数学一元二次方程经典例题1．某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，销售单价应定在什么范围？（3）如果在（2）的条件下，网店每天销售的利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？2．已知关于x的元二次方程（x+2）（x﹣3）＝|k|（1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）设（x+2）（x﹣3）＝|k|的两个实数根分别为x1、x2，若x12+x22＝21，求k的值．3．解下列方程：（1）x2+6x﹣1＝0；（2）3x（1﹣x）＝2﹣2x．4．直接写出下列方程的根．（1）x2＝4x；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0；（3）2y2﹣y＝6；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0．5．某商店出售A、B两种商品，一月份这两种商品的利润都是10万元，后因某种原因确定增加出售A种商品的数量，使A种商品每月利润的增长率都为a，同时减少B种商品的数量，使B种商品每月利润减少的百分率也都是a，（1）分别求出二月份出售A和B两种商品的利润是多少万元？（2）求出三月份出售A、B两种商品的总利润是多少万元？初三数学一元二次方程经典例题答案1．某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，销售单价应定在什么范围？（3）如果在（2）的条件下，网店每天销售的利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式；（2）由销售量不低于240件，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合该工艺品的成本价，即可得出结论；（3）根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合（2）的结论即可确定该种工艺品销售单价．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（40，300），（55，150）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700．（2）当y≥240时，﹣10x+700≥240，解得：x≤46，∵成本为30元/件，∴30＜x≤46．答：销售单价应大于30元/件，小于等于46元/件．（3）依题意，得：（x﹣30）（﹣10x+700）＝3750，整理，得：x2﹣100x+2475＝0，解得：x1＝45，x2＝55．∵30＜x≤46，∴x＝45．答：该种工艺品销售单价是45元/件．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于x的一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．2．已知关于x的元二次方程（x+2）（x﹣3）＝|k|（1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）设（x+2）（x﹣3）＝|k|的两个实数根分别为x1、x2，若x12+x22＝21，求k的值．【分析】（1）将方程化为一般式后根据判别式即可求出答案；（2）利用根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：x2﹣x﹣6﹣|k|＝0，△＝1+4（6+|k|）＝25+4|k|＞0，∴对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）原方程可化为x2﹣x﹣6﹣|k|＝0，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣6﹣|k|，∵x12+x22＝21，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝21，∴1﹣2（﹣6﹣|k|）＝21，∴|k|＝4，∴k＝±4，【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型．3．解下列方程：（1）x2+6x﹣1＝0；（2）3x（1﹣x）＝2﹣2x．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2+6x＝1，∴x2+6x+9＝1+9，即（x+3）2＝10，则x+3＝±，∴x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；（2）∵3x（1﹣x）＝2（1﹣x），∴3x（1﹣x）﹣2（1﹣x）＝0，则（1﹣x）（3x﹣2）＝0，∴1﹣x＝0或3x﹣2＝0，解得x＝1或x＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．直接写出下列方程的根．（1）x2＝4x；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0；（3）2y2﹣y＝6；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0．【分析】（1）利用因式分解法求解；（2）利用直接开平方法求解；（3）利用因式分解法求解；（4）利用因式分解法求解．【解答】解：（1）x2＝4x，x2﹣4x＝0．x（x﹣4）＝0，解得x1＝0，x2＝4；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0，（x﹣1）2＝6，∴x﹣1＝±，解得x1＝1+，x2＝1﹣；（3）2y2﹣y＝6，2y2﹣y﹣6＝0，（2y+3）（y﹣2）＝0，解得y1＝﹣，y2＝2；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0，2x﹣1＝，∴x1＝，x2＝．【点评】此题主要考查一元二次方程的一般解法：直接开平方法、因式分解法等，对不同的方程要选择合适的方法．5．某商店出售A、B两种商品，一月份这两种商品的利润都是10万元，后因某种原因确定增加出售A种商品的数量，使A种商品每月利润的增长率都为a，同时减少B种商品的数量，使B种商品每月利润减少的百分率也都是a，（1）分别求出二月份出售A和B两种商品的利润是多少万元？（2）求出三月份出售A、B两种商品的总利润是多少万元？【分析】（1）根据“A种商品每月利润的增长率都为a，使B种商品每月利润减少的百分率也都是a”列出代数式；（2）在（1）的基础上分别求得三月份出售A和B两种商品的利润，然后求和即可．【解答】解：（1）由题意，得二月份出售A商品的利润：10（1+a）万元．二月份出售A商品的利润：10（1﹣a）万元．（2）根据题意，得10（1+a）2+10（1﹣a）2＝20a2+20（万元）答：三月份出售A、B两种商品的总利润是（20a2+20）万元．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．。
新初中数学方程与不等式之二元一次方程组真题汇编及答案解析(2)
新初中数学方程与不等式之二元一次方程组真题汇编及答案解析(2)一、选择题1．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为x 厘米和y 厘米，则依题意所列方程组正确的是（ ）A ．2753x y y x +=⎧⎨=⎩B ．2753x y x y +=⎧⎨=⎩C ．2753x y y x -=⎧⎨=⎩D ．2753x y x y +=⎧⎨=⎩ 【答案】B【解析】【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为x+2y ，宽又是75厘米，故x+2y=75，矩的长可以表示为2x ，或x+3y ，故2x=3y+x ，整理得x=3y ，联立两个方程即可．【详解】根据图示可得，2753x y x y +=⎧⎨=⎩故选B ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．2．二元一次方程3420x y +=的正整数解有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【答案】A【解析】【分析】通过将方程变形，得到以x 的代数式，利用倍数逻辑关系，枚举法可得．【详解】 ∵由3420x y += 可得，34y 203, 54x y x =-=- ，,x y 是正整数． ∴根据题意，x 是4的倍数，则05x y ==，（不符题意）；4,2x y == 是方程的解，8,1x y ==- （不符题意）．故答案是A ．【点睛】本题既考查正整数的概念又考查代数式的变形，理解二元一次方程解的概念是本题的关键．3．若（x+y﹣1）2+|x﹣y+5|＝0，则x＝（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1【答案】A【解析】【分析】由已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x即可.【详解】解：∵（x+y﹣1）2+|x﹣y+5|＝0，∴1050 x yx y+-=⎧⎨-+=⎩，解得：23xy=-⎧⎨=⎩，故选：A.【点睛】本题主要考查了非负数的性质和二元一次方程组的解法，根据两个非负数的和为零则这两个数均为零得出方程组是解决此题的的关键.4．已知x、y满足方程组2827x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x+y的值是()A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【解析】【分析】把两个方程相加可得3x+3y=15，进而可得答案.【详解】两个方程相加，得3x+3y=15，∴x+y=5，故选B.【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，灵活运用整体思想是解题关键．5．x=2y=7⎧⎨⎩是方程mx-3y=2的一个解，则m为( )A．8 B．232C．－232D．－192【答案】B【解析】【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出m的值．【详解】解：把x=2y=7⎧⎨⎩代入方程得：2m-21=2，解得：m=232，故选：B．【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．6．二元一次方程2x+y＝5的正整数解有（）A．一组B．2组C．3组D．无数组【答案】B【解析】【分析】由于要求二元一次方程的正整数解，可分别把x=1、2、3分别代入方程，求出对应的值，从而确定二元一次方程的正整数解．【详解】解：当x=1，则2+y=5，解得y=3，当x=2，则4+y=5，解得y=1，当x=3，则6+y=5，解得y=-1，所以原二元一次方程的正整数解为，．故选B．【点睛】本题考查了解二元一次方程：二元一次方程有无数组解；常常要确定二元一次方程的特殊解．7．已知关于x的方程x-2m=7和x-5=3m是同解方程，则m值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】C【解析】【分析】根据同解方程，可得方程组，根据解方程组，可得答案．【详解】解：由题意，得2753x m x m -=⎧⎨-=⎩①②， 由①得：7+2x m =，由②得：3+5x m =，∴7+23+5m m =，解得：2m =，故选C.【点睛】本题考查了同解方程，利用同解方程得出方程组是解题关键．8．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有120张白铁皮，设用x 张制盒身，y 张制盒底，得方程组 ( )A ．1204010x y y x +=⎧⎨=⎩B ．1201040x y y x +=⎧⎨=⎩C ．1204020x y y x +=⎧⎨=⎩D ．1202040x y y x +=⎧⎨=⎩【答案】C【解析】【分析】 首先根据题意可以得出以下两个等量关系：①制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮的张数=120，②盒身的个数×2=盒底的个数，据此进一步列出方程组即可.【详解】∵一共有120张白铁皮，其中x 张制作盒身，y 张制作盒底，∴120x y +=，又∵每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒， ∴4020y x =，∴可列方程组为：1204020x y y x +=⎧⎨=⎩， 故选：C.【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意正确找出相应的等量关系是解题关键.9．若方程组32232732x y k x y k -=-⎧⎨+=-⎩的解满足2020x y +=，则k 等于( ) A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】D【解析】【分析】把两个方程相加，可得5x +5y =5k-5，再根据2020x y +=可得到关于k 的方程，进而求k【详解】解：32232732x y k x y k -=-⎧⎨+=-⎩①② ①+②得 5x +5y =5k-5，∴x +y =k -1.∵2020x y +=，∴k -1=2020，∴k=2021．故选：D ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，依据方程系数特点整体代入是求值的关键．10．二元一次方程3x+y ＝7的正整数解有( )组．A ．0B ．1C ．2D ．无数 【答案】C【解析】【分析】分别令x=1、2进行计算即可得【详解】解:方程3x+y=7，变形得:y=7-3x ，当x=1时，y=4;当x=2时，y=1，则方程的正整数解有二组故本题答案应为：C【点睛】本题考查了二元一次方程的解，给出一个未知数的值求出另一个未知数的值即可.11．已知2728x y x y +=⎧⎨+=⎩，那么x y -的值是（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】观察方程组，利用第一个方程减去第二个方程即可求解.【详解】2728x y x y ①②+=⎧⎨+=⎩， ①-②得，x-y=-1.故选A.【点睛】本题考查了二元一次方程的解法，利用整体思想可以是本题解决过程变得简单.12．某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得+5分，每答错一题得－3分，不答的题得－1分．已知欢欢这次竞赛得了72分，设欢欢答对了x 道题，答错了y 道题，则( )A ．5372x y -=B ．5372x y +=C ．6292x y -=D ．6292x y +=【答案】C【解析】【分析】设欢欢答对了x 道题，答错了y 道题，根据“每答对一题得+5分，每答错一题得－3分，不答的题得－1分，已知欢欢这次竞赛得了72分”列出方程．【详解】解：设答对了x 道题，答错了y 道题，则不答的题有()20x y -- 道，依题意得：()532072x y x y ----=，化简得：6292x y -=．故选：C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系，列出方程，注意：本题中的等量关系之一为：答对的题目数量+答错的题目数量+不答的题目数量=20．13．已知关于x,y 的二元一次方程组323223x y m x y m +=-⎧⎨+=⎩的解适合方程25x y -=,则m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】整理方程为3x+7y=2,与25x y -=组成新的方程组,求解得31x y =⎧⎨=-⎩,代入原方程组中任意一个方程即可求出m.【详解】解：将m=2x+3y 代入3232x y m +=-中得,3x+7y=2,∵x,y 的二元一次方程组323223x y m x y m+=-⎧⎨+=⎩ 的解适合方程25x y -=, ∴联立方程组25372x y x y -=⎧⎨+=⎩,解得：31x y =⎧⎨=-⎩, ∴23m x y =+=3,故选C.【点睛】本题考查解二元一次方程组的方法,属于简单题,熟练掌握加减消元和代入消元的方法是解题关键.14．幼儿园阿姨分别给甲、乙两个小朋友若干颗糖果，她们数了一下，甲说“把你的一半给我，我就有14颗糖果”，乙说：“那把你的一半给我，我就有16颗糖果．”那么原来甲小朋友有糖果（ ）颗．A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】B【解析】【分析】设原来甲小朋友有x 颗，乙小朋友有y 颗，根据描述建立二元一次方程组求解．【详解】设原来甲小朋友有x 颗，乙小朋友有y 颗，由题意得： 11421162x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得812x y =⎧⎨=⎩∴甲小朋友原来有8颗故选B ．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，题目较简单，根据描述建立方程是解题的关键．15．某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x 元，水笔每支为y 元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（）A．3201036x yx y-=⎧⎨+=⎩B．3201036x yx y+=⎧⎨+=⎩C．3201036y xx y-=⎧⎨+=⎩D．3102036x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】B【解析】分析：根据等量关系“一本练习本和一支水笔的单价合计为3元”，“20本练习本的总价+10支水笔的总价=36”，列方程组求解即可．详解：设练习本每本为x元，水笔每支为y元，根据单价的等量关系可得方程为x+y=3，根据总价36得到的方程为20x+10y=36，所以可列方程为：3 201036 x yx y+⎧⎨+⎩＝＝，故选：B．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，得到单价和总价的2个等量关系是解决本题的关键．16．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问甲乙持钱各几何？”其大意是：今有甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有.问甲、乙两人各带了多少钱？设甲带钱为，乙带钱为，根据题意，可列方程组为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的，据此列方程组可得．【详解】解：设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意，得：故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．17．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（ ）A ．106cmB ．110cmC ．114cmD ．116cm 【答案】A【解析】【分析】通过观察图形，可知题中有两个等量关系：单独一个纸杯的高度加上3个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于9，单独一个纸杯的高度加上8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于14．根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm ，单独一个纸杯的高度为ycm ， 则29714x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得17x y =⎧⎨=⎩则99x +y ＝99×1+7＝106即把100个纸杯整齐的叠放在一起时的高度约是106cm ．故选：A ．【点睛】本题以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映了物体的数量关系，这是近年来比较流行的一种命题形式，主要考查信息的收集、处理能力．本题易错点是误把9cm 当作3个纸杯的高度，把14cm 当作8个纸杯的高度．18．若关于x ，y 的方程组3,25x y m x y m -=+⎧⎨+=⎩的解满足x ＞y ＞0，则m 的取值范围是( )． A ．m ＞2B ．m ＞－3C ．－3＜m ＜2D ．m ＜3或m ＞2 【答案】A【解析】【分析】先解方程组用含m 的代数式表示出x 、y 的值，再根据x ＞y ＞0列不等式组求解即可.【详解】解325x y m x y m -=+⎧⎨+=⎩，得 212x m y m =+⎧⎨=-⎩.∵x ＞y ＞0，∴21220m m m +>-⎧⎨->⎩ ， 解之得m ＞2.故选A.【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，用含m 的代数式表示出x 、y 的值是解答本题的关键.19．若关于,x y 的方程组2315x y a x y +=-⎧⎨-=⎩的解满足3,x y +=则a 的值是 （ ） A ．4 B ．1- C ．2 D ．1【答案】D【解析】【分析】①2⨯+②得21x y a +=+，再根据3x y +=，即可求出a 的值．【详解】2315x y a x y +=-⎧⎨-=⎩①②①2⨯+②得3363x y a +=+21x y a +=+∵3,x y +=∴1a =故答案为：D ．【点睛】本题考查了解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．20．若关于x ，y 的方程组2315x y m x y +=-⎧⎨-=⎩的解满足x ＋y ＝3，则m 的值为 ( ) A ．-2B ．2C ．-1D ．1 【答案】D【解析】【分析】首先把m 看成常数，然后进一步解关于x 与y 的方程组，求得用m 表示的x 与y 的值后，再进一步代入3x y +=加以求解即可.【详解】由题意得：2315x y m x y +=-⎧⎨-=⎩①②， ∴由①−②可得：()2315x y x y m +--=--，化简可得：336y m =-，即：2y m =-，将其代入②可得：25x m -+=，∴3x m =+∵3x y +=，∴323m m ++-=，∴1m =，故选：D.【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.。
初三数学方程和方程组的解法知识精讲 人教版
初三数学方程和方程组的解法知识精讲 人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：方程和方程组的解法方程和方程组的解法是方程知识的核心内容。
同学们要灵活掌握方程解法的多样性。
【典型例题】例1. 写出一个以x ＝3为根的一元一次方程。
分析：这是一道考查学生发散思维能力的试题。
答案不唯一，题目是已知方程的解，来构造方程，可求出x －3＝0或2x －6＝0等。
例2. ()()求关于的一元一次方程的解。
x k x k x k 211180-+--=- 分析：由已知可知原方程为一元一次方程，分两种情况：（1）当指数k －1＝1时，即k ＝2时，原方程化为3x ＋x －8＝0，解之得：x ＝2；（2）当k 2－1＝0且k －1≠0时，也就是当k ＝－1时，原方程化为－2x －8＝0，解之得：x ＝－4，所以原方程的解为x ＝2或x ＝－4。
答：x ＝2或x ＝－4例3. 填空：当，时，方程有唯一解。
当，时，方程无解。
当，时，方程有无穷多解。
ab ax x b a bax x b ab ax x b +=-+=-+=-111 分析：本题实质就是解方程ax x b +=-1()()根据解方程的步骤，原方程可化为a x b -=-+11此方程分三种情况解：（）当，即时，原方程有唯一解。
（）当，，即，时，原方程无解。
（）当，，即，时，原方程有无穷多解。
110121010113101011a a a b a b a b a b -≠≠-=-+≠=≠--=-+===-()()通过此题，总结出一般规律：方程ax ＝b 的解（）当时，方程的解为；（）当，时，方程无解；（）当，时，方程的解为全体实数。
10200300a x b aa b a b ≠==≠==例4. ()已知，求的值。
x y x y x y --+++=+233202分析：两个非负数之和为0，则这两个数须同时为0。
所以解方程组求出、，再计算的值。
x y x y x y x y --=++=⎧⎨⎩+230320 解：由已知，得：x y x y --=<>++=<>⎧⎨⎩23013202由得：，<>-<>+=∴=-215501y y()将代入得：y x =-<>---=112130得：x ＝1∴==-⎧⎨⎩∴+=x y x y 110例5. 如果是方程的一个根，求的值，并求出另一个x x kx k k =---=2502根。
初三数学二元一次方程组试题答案及解析
初三数学二元一次方程组试题答案及解析1.小明带7元钱去买中性笔和橡皮（两种文具都买），中性笔每支2元，橡皮每块1元，那么中性笔能买支．【答案】1或2或3【解析】∵小明带7元钱去买中性笔和橡皮（两种文具都买），中性笔每支2元，橡皮每块1元，∴当买中性笔1只，则可以买橡皮5只，当买中性笔2只，则可以买橡皮3只，当买中性笔3只，则可以买橡皮1只，【考点】二元一次方程的应用2.为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为20cm，那么11只饭碗摞起来的高度更接近（）A．21cm B．22cm C．23cm D．24cm【答案】C．【解析】设碗的个数为x个，碗的高度为ycm，由题意可知碗的高度和碗的个数的关系式为y=kx+b，由题意得，，解得：，则11只饭碗摞起来的高度为： ×11+5=（cm）．更接近23cm．故选C．【考点】二元一次方程组的应用．3.方程组的解是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：，（1）+（2）得，3x=6，x=2，把x=2代入（1）得，y=﹣1，∴原方程组的解．故选D．【考点】解二元一次方程组4.解方程组：．【答案】【解析】由加减消元法即可求出方程组的解试题解析：，①+②得：3x=9，即x=3，将x=3代入②得：y=﹣1，则方程组的解为【考点】二元一次方程组的解法5.解方程组：【答案】或.【解析】将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与②联立构成两个二元一次方程组求解即可.由①得，即或，∴原方程组可化为或.解得；解得.∴原方程组的解为或.【考点】解二元二次方程组.6.（1）计算：（2）A、B两人共解方程组,由于A看错了方程（1）中的a,得到的解是,而B 看错了方程（2）中的b, 得到的解是,试求的值.【答案】（1）9；（2）2.【解析】（1）根据负整数指数幂、零次幂、特殊角的三角函数值及二次根式的意义进行计算即可求出答案.（2）把A解得的方程组的解代入方程组第2个方程，求出ｂ的值，再把B求得的方程组的解代入方程组第一个方程求出a的值，然后把a、b的值代入所给的代数式中，利用乘方的意义进行计算即可.试题解析：（1）原式=9+2+1-3=9.（2）由题意有-12-b=-2，5a+20=15解得a=－1 , b=－10则有=1+1=2.考点: 1.实数的混合运算；2.二元一次方程组的解.7.已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为()A．－1B．1C．2D．3【答案】A【解析】∵是二元一次方程组的解，∴解得∴a－b＝－1.8.二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】①＋②得，3x＝9，解得x＝3，把x＝3代入①得，3＋y＝3，解得y＝0，所以，原方程组的解是9.甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树8棵，6棵，10棵．若乙在A地植树10小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早9小时完成，则乙应在A地植树小时后立即转到B地。
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初三数学方程和方程组的解法例题解析
一. 本周教学内容：
方程和方程组的解法
方程和方程组的解法是方程知识的核心内容。
同学们要灵活掌握方程解法的多样性。
例1. 写出一个以x ＝3为根的一元一次方程。
分析：这是一道考查学生发散思维能力的试题。
答案不唯一，题目是已知方程的解，来构造方程，可求出x －3＝0或2x －6＝0等。
例2. ()()求关于的一元一次方程的解。
x k x k x k 211180-+--=-
分析：由已知可知原方程为一元一次方程，分两种情况：
（1）当指数k －1＝1时，即k ＝2时，原方程化为3x ＋x －8＝0，解之得：x ＝2；
（2）当k 2－1＝0且k －1≠0时，也就是当k ＝－1时，原方程化为－2x －8＝0，解之得：x ＝－4，所以原方程的解为x ＝2或x ＝－4。
答：x ＝2或x ＝－4
例3. 填空：
当，时，方程有唯一解。
当，时，方程无解。
当，时，方程有无穷多解。
a b ax x b a
b ax x b a b ax x b +=-+=-+=-111
分析：本题实质就是解方程ax x b +=-1
()()根据解方程的步骤，原方程可化为a x b -=-+11
此方程分三种情况解：
（）当，即时，原方程有唯一解。
（）当，，即，时，原方程无解。
（）当，，即，时，原方程有无穷多解。
110121010113101011a a a b a b a b a b -≠≠-=-+≠=≠--=-+===-()()
通过此题，总结出一般规律：
方程ax ＝b 的解 （）当时，方程的解为；（）当，时，方程无解；（）当，时，方程的解为全体实数。
10200300a x b a
a b a b ≠=
=≠==
例4. ()已知，求的值。
x y x y x y --+++=+233202
分析：两个非负数之和为0，则这两个数须同时为0。
所以解方程组求出、，再计算的值。
x y x y x y x y --=++=⎧⎨⎩+230320
解：由已知，得：x y x y --=<>++=<>⎧⎨⎩23013202
由得：，<>-<>+=∴=-215501y y
()将代入得：y x =-<>---=112130
得：x ＝1
∴==-⎧⎨⎩∴+=x y x y 110
例5. 如果是方程的一个根，求的值，并求出另一个x x kx k k =---=2502 根。
分析一：本题考查了对方程中的未知数和参数的认识，以及未知数与参数之间的互相转化。
由条件“x ＝2是方程x 2－kx －k －5＝0的一个根”可知x 2－kx －k －5＝0是以x 为未知数，k 为参数的方程，但把x ＝2代入方程后，x 由未知数转化为已知数，方程则转化为以k 为未知数的方程了，实际上将通过解关于k 的方程来求k 的值。
解法一：由于x ＝2是方程x 2－kx －k －5＝0的一个根，所以把x ＝2代入方程，得： 225013
2---=∴=-k k k ， ∴--⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭
⎪-=原方程为x x 2131350 即31402x x +-=
()()左边因式分解：3720x x +-= ∴=-=x x 1273
2， ∴=-方程另一根为x 73
说明：求出方程3x 2＋x －14＝0后，也可利用“根系关系”来求另一根。
方法二：本题求k 和“另一根”两个未知数，可通过列二元方程组求解。
解：设另一个根为β
∴---==--+=⎧⎨⎩22502522k k k k ββ（或）（这是根据根系关系）
解得：k =-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1
373
β
说明：本题如果把“求k 的值”一问去掉，直接求“另一个根”，那么“求k 的值”将成为解题者需主动采取的步骤，将能体现对能力的更高要求，值得注意。
例6. 从下列四个选项中选出合适的一项，将题目补充完整后再解答。
如果a 是关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的根，并且a ≠0，求________的值。
A ab B b a
C a b
D a b ....+- 解析：解答这类“完善试题”的问题应着眼于题设条件，看从中能推出何种结果。
由是方程的根，得：a a ab a 20++=
a a
b a b ≠∴++=+=-0101，，即
应选C 。
例7. ()()解方程：2353x x x -=-
分析：本题应该用因式分解方法来解。
注意在方程变形过程不能用含未知数的代数式去除方程两边，这道题不能用（x －3）除方程两
边，否则可能导致丢根。
解：()() 2353x x x -=-
()()∴---=23530x x x
()()即2530x x --= ∴=
=x x 12523，
例8. 解方程：123
812022x x --+= 分析：若按一般解分式方程的方法解，去分母后，将出现关于x 的4次方程，
计算较难。
观察－8x 2＋12，有因式2x 2－3，所以可使用换元法解方程。
本题不
能很明显地看出使用换元法。
需先进行变形，这是对学生主动使用数学方法能力的考查，也是对能力水平的较高要求。
解：()方程变形为：123
423022x x ---=
设，原方程化为：
y x y y =--=231402 ∴-=4102y y =±12
经检验：都是的根。
y y
y =±-=12140 由可得：，y x x =-=∴=±12231272
2 由可得：，y x x =--=-∴=±12231252
2 ∴=±=±原方程的根为或x x 7252
例9. 用配方法解方程：37402x x -+=
分析：配方法作为一种重要的数学方法，同学们要掌握。
解：移项，得：3742x x -=- 方程各项都除以，得：373432x x -
=- 配方，得：x x 22
273764376-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-+⎛⎝ ⎫⎭
⎪ x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=761362
x -
=±7616 ∴==x x 1243
1， 例10. 若关于的方程有增根，求的值。
x x x a x a 2413
0-+--= 分析：分式方程有增根，则分母为0；又因为分式值为0，所以分子必为0。
注意，，不能把x ＝3代入原分式方程求a 的值。
解：由题意得：x x a x 241030
-+-=-=⎧⎨⎩
解得：a =4
一. 填空题。
1. 已知关于x 的方程()()211322
k x k x k -+-=-是一元二次方程，则k 的取值范围是_____________。
2. 已知x =3是方程()x a x a 210+-+=的一个根，则a ＝_____________。
3. 完成下面配方： （1）x x 228-+=(
)()。