2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷

2017年镇海中学数学竞赛模拟试卷（3）
姓名_______
一、填空题，每题8分 1.设1
sin cos 2
+=x x ，则33sin cos +=x x
2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i
3.已知等差数列121000,,a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a
4. 集合
[][][]{}{}231,2,,100++∈x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的
最大整数。

5.若关于x 的方程2=x
x ae 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是
6. 在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中，设
O 为正方体的中心，点,M N 分别在棱111,A D CC 上，112
,23
==A
M CN ,则四面体1OMNB 的体积等于
7. 已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于
二、简答题
8.已知数列{}n a 满足211012
2391,5,2-----===n n n n a a a a a a ，2≥n 。

用数学归纳法证明：
223+=-n n a
9.证明：对任意的实数,,a b c ≥并
求等号成立的充分必要条件。

10.求满足1≤-≤n m m n mn 的所有正整数对(,)m n
2017年高中数学竞赛模拟试卷（3）答案
一、
填空题，每题8分
1.设1
sin cos 2
+=
x x ，则33sin cos +=x x 解答：由1sin cos 2+=
x x ，可得112s i n c o s 4+=x
x ，故3
sin cos 8
=-x x ，从而33sin cos +=x x 221311
(sin cos )(sin cos sin cos )(1)2816
+-+=
+=x x x x x x 2.设i 为虚数单位，化简20162016(1)(1)++-=i i 解答：由2(1)2+=i i ，可得2016
1(1)2+=i ，同理可得20161(1)2-=i 故
201620161009(1)(1)2++-=i i
3.已知等差数列121000,,
a a a 的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则1=a
解答：设等差数列的公差为d ，则有11004950100+=a d ，1100949501000+=a d 解得
10.505=a
4. 集合
[][][]{}{}231,2,,100++∈x x x x R 共有 个元素，其中[]x 表示不超过x 的
最大整数。

解答：设[][][]()23=++f x x x x 则有(1)()6+=+f x f x ，当01≤<x 时，()f x 的所有可
能
值
为
0,1,2,3.
由
此
()
f x 得值域{}6
,61,
62,6
3
=+++∈S k k
k k k Z ,
[][][]{}{}231,2,
,100417167++∈=⨯-=x x x x R 个元素。

5.若关于x 的方程2=x
x ae 有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是
解答：设2()-=x f x x e ，则2'()(2)-=-x
f x x x e
当0≤x 时，2()-=x
f x x e 单调递减，当
02≤≤x 时，2()-=x f x x e 单调递增，当2≥x 时，2()-=x f x x e 单调递减，(0)0=f ，
2(2)4-=f e ，当→+∞x 时()0→f x 因此，2()-==x f x x e a 有三个不同的实根当且仅
当2
04-<<a e
6.在如图所示的单位正方体1111-ABCD A BC D 中，设
O 为正方体的中心，点,M N 分别在棱111,A D CC 上，112
,23
==A
M CN ,则四面体1OMNB 的体积等于 解答：以A 为原点，1,,AB AD AA 为
,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则有11112
(,,0),(0,,1),(1,1,),(1,0,1)
2223
O M N B 由此四面体1OMNB 的体积1111
672
=⨯⨯=V OB ON OM
7.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个
焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于
解答：不妨设椭圆E 的方程为22
221(0)+=>>x y a b a b
，P
经过E 的两个焦点，222=+x cy c
222=+a b c ，P 与E 恰有三个交点，所以2=c b ，则E 得离心率等于=
=
c e a 二、
简答题
8.已知数列{}n a 满足2
11012
2391,5,2-----===n n n n a a a a a a ，2≥n 。

用数学归纳法证明：
223+=-n n a
证明：2301123,523,==-==-a a 从而223+=-n n a 对0,1=n 成立。

当2≥n 时假设1123+-=-n n a ，223-=-n n a 由递推公式可得
2121221122392(23)3(23)94215292322(23)23
+++---------⨯-⨯+====---n n n n n n n n n n
n a a a a 由此，223+=-n n a 对一切0≥n 成立。

9.证明：对任意的实数,,a b c ≥并
求等号成立的充分必要条件。

+≥两边平方
22222
2()42()()⇔+++++++++a a b c b c a a b c b c
移项合并21
()2
⇔
+++a a b c bc 两边平方展开可得
4322222
4322222
()()()1()(()2)()2⇔++++++++≥+++++++++a a b c a b bc c abc b c b c a a b c a b c bc c abc b c b c
移项合并 22222233
()()042
⇔
+≥⇔-≥a b c a bc a b c 不等式成立的必要是()0-=a b c
当0=a 不等式等号成立等价于0≥bc ，当=b c 时不等式等号成立。

综上所述，不等式等号成立的充分必要条件是0=a 且0≥bc 或者=b c
证明方法二：设向量(),()22αβ=+
=+b c a a
则αβ+=
αβ+==根据三角不等式αβαβ+≥+即可得所要证明的不等式，不等号成立的充分必要条件
是αβ、平行且方向相同。

当αβ∥时，(-()=0()022
++⇔-=）
b c c a b a a b c ，以下同证明方法一。

10.求满足1≤-≤n m m n mn 的所有正整数对(,)m n
解答：引理1: ln ()=
x
f x x
在](0,e 上单调递增，在[),+∞e 上单调递减。

引理2：当0>x 时，ln(1)+<x x
由引理1可得ln ln >⇔
>n m m n
m n m n
有以下情形， 情形一：1,2=≥n m ，(,)m n 均满足题设
情形二：2,5=≥m n 设2
()22,5=--≥x
g x x x x 则'
()2ln2220=-->x
g x x
由(5)3,(6)16=-=g g ，可得满足题设条件的(,)m n 只有(2,5)
情形三：3,2==m n 易知满足要求。

情形四：3,1≥≥+m n m ，设
()=--x m g x m x mx 当1≥+x m 时
'11()ln 0--=-->--≥->x m m m m g x m m mx m x mx m x m 所以 ()=--x m g x m x mx 单调递增，因此，
111()(1)(1)(1)(1)(1)++⎡
⎤≥+=-+-+=-+-+⎢⎥⎣
⎦m m m m g n g m m m m m m m m m m
当3=m 时，()5=g m
当4≥m 时，()(1)0>-+>m g m m m m 无(,)m n 满足题设条件。

综上，所有满足题设条件的正整数为{}
(,1),(2,5)(3,2)2≥m m。