第31届俄罗斯数学奥林匹克

合集下载

高中学科竞赛简介

题两部分，满分120分。其中填空题8道，0分。加试（二试）考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解
答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平
面几何、代数、数论、组合数学等。根据最新消息，2011年数学联赛的试题规则与2010年相同。
道题，每天三道，每个得分点三分，每题21分；第8天：阅卷（学生参观
考察），主试委员会根据分数确定一、二、三等奖获奖名单；前20至30 名选手进入国家集训队；第9天：闭幕式。国家集训队3、4月份集训，通过考试选出6人进入国家队，国家队的考试由平时测验和最后考试两部分组成；平时测验成绩和最后考试成绩各占一半。六月份进行为期3周的集训，7月份参加IMO，过程同CMO。中国数学奥林匹克（CMO）：省一和国家一二三等奖有保送高校资格。省二有自主招生资格，通过自主招生后自动保送。
中国西部数学奥林匹克概述
简介中国西部数学奥林匹克（Chinese Western Mathematical Olympiad，缩写为CWMO），是为位于中国西部省份（包括江西）的中学生举办的数学竞赛，由中国数学奥林匹克委员会举办，一般定于每年11月份举行。目的是为了鼓励西部地区中学生学习数学的兴趣。自从2001年举办第一届竞赛
东道主。按IMO的规定，每一届的东道主必须向上一届的所有参赛国发出
邀请，而新参加的国家则应当向东道主表明参加的意愿，再由东道主发出邀请。 1988年第29届，根据香港的建议，IMO首次设立了荣誉奖，奖给那些虽然未得金、银、铜牌，但至少有一道题得满分的选手。这一措施，大大调动了各参赛国及参赛选手的积极性。
三、国际数学奥林匹克（IMO）
（2）每个参赛团组织一个参赛队，成员不超过8人，其中队员不超

2018年度国外数学竞赛试题翻译汇编

2018 年度国外数学竞赛试题翻译汇编
(升级版)
赵力 2019 - 06 - 19
时间，就像高铁，一眨眼，就过站了……
人生很简单总有一些风景，注定要错过与其执着，不如随缘只要懂得“珍惜、知足、感恩”就可以了！
笑看世事繁华，淡定人生心态不索不可取，不求不可得学会感恩，做人做事，无憾我心不再奢望浮华之梦，不再……
v
纯属公益, 免费使用分享, 只送不卖
2018 年亚太地区数学奥林匹克试题
时间，一点不像高铁，过了站，居然买不到回来的车票！
生命，不就如一场雨吗你曾无知地在其间雀跃，曾痴迷地在其间沉吟但更多时候你得忍受那些寒冷与潮湿，那些无奈与寂寞并且以晴日的幻想来度日
当你握紧双手，里面什么也没有当你打开双手，世界就在你手中
纯属公益, 免费使用分享, 只送不卖
目录
2018 年亚太地区数学奥林匹克 ……………………………………… 1 2018 年波罗的海地区数学奥林匹克 ………………………………… 2 2018 年第 10 届 Benelux 数学奥林匹克 ……………………………… 5 2018 年巴尔干地区数学奥林匹克 …………………………………… 6 2018 年巴尔干地区数学奥林匹克预选题…………………………… 7 2018 年巴尔干地区初中数学奥林匹克 ……………………………… 10 2018 年高加索地区数学奥林匹克 …………………………………… 11 2018 年中美洲及加勒比地区数学奥林匹克 ………………………… 13 2018 年 Cono Sur 数学奥林匹克 ……………………………………… 14 2018 年捷克-波兰-斯洛伐克联合数学竞赛 ………………………… 15 2018 年捷克和斯洛伐克数学奥林匹克 ……………………………… 16 2018 年多瑙河地区数学奥林匹克 …………………………………… 17 2018 年欧洲女子数学奥林匹克 ……………………………………… 19 2018 年欧洲数学杯奥林匹克 ………………………………………… 21 2018 年拉丁美洲数学奥林匹克 ……………………………………… 23 2018 年国际大都市数学竞赛(IOM) ………………………………… 24 2018 年第 2 届 IMO 复仇赛 …………………………………………… 25 2018 年第 5 届伊朗几何奥林匹克 …………………………………… 26 2018 年第 17 届基辅数学节竞赛 …………………………………… 30 2018 年地中海地区数学竞赛 ………………………………………… 32 2018 年中欧数学奥林匹克 …………………………………………… 33 2018 年北欧数学奥林匹克 …………………………………………… 35 2018 年泛非数学奥林匹克 …………………………………………… 36 2018 年泛非数学奥林匹克预选题 …………………………………… 38 2018 年罗马尼亚大师杯数学奥林匹克 ……………………………… 42

2.奥林匹克竞赛资料

IMO资料中国代表队在历届国际数学奥林匹克竞赛中的成绩统计历届国际数学奥林匹克竞赛中国获奖学校名单及奖牌历届国际数学奥林匹克竞赛中国获奖学生名单中国也曾先后主办过三届国际奥林匹克学科竞赛：1990年的第31届国际数学奥林匹克竞赛，1994年的第25届国际物理奥林匹克竞赛和1995年的第27届国际化学奥林匹克竞赛。

在世纪之交的2000年，我国将主办第12届国际信息学奥林匹克竞赛。

中国青少年在历届国际奥林匹克学科竞赛的获奖情况第41届国际数学奥林匹克于2000年7月13日至25日在韩国大田举行。

参加本次国际数学奥林匹克的共有82支参赛队的461名选手。

中国队六名队员全部获得金牌，并以218分的总成绩一举获得团体总分第一。

今年中国队的主教练是北京大学数学系张筑生教授，领队是北京大学数学系王杰教授，副领队是南京师范大学数学系陈永高教授。

六名队员及其得分是：恽之玮(江苏常州高级中学)，42分，金牌；李鑫(广东华南师大附中)，38分，金牌；袁新意(湖北黄冈中学)，32分，金牌；朱琪慧(广东华南师大附中)，36分，金牌；吴忠涛(上海中学)，31分，金牌；刘志鹏(湖南长沙一中)，39分，金牌。

总分金牌数银牌数铜牌数1 中国218 6 0 02 俄罗斯215 5 1 03 美国184 3 3 04 韩国172 3 3 0注：每个选手满分为42分。

本次竞赛的金牌分数线为30分；银牌分数线为21分；铜牌分数线为11分。

最终共有39名选手获得金牌、71名选手获得银牌、119名选手获得铜牌2001年第42届国际数学奥林匹克竞赛是在美国华盛顿市郊乔治·梅森大学举行的。

参加本次奥赛的选手共有473人，分别来自83个国家和地区。

比赛包括6道题，每题7分，答题时间一共是9小时。

比赛结果，有39名学生获得金牌，81人获得银牌，122人获得铜牌。

中国代表队的学生是：北京人大附中的肖梁，长沙市第一中学的张志强，湖南师大附中的余君，湖北武钢三中的郑晖，江苏启东中学的陈建鑫和东北育才学校的瞿枫。

第31届中国数学奥林匹克获奖名单及集训队名单

名次省、姓名性别学校1上海张盛桐男上海市上海中学2吉林于翔宇男吉大附中3安徽孟培坤男马鞍山二中3广东黄峄凡男广东广雅中学3湖北王逸轩男武钢三中6河北杨远男石家庄二中6江苏韩啸男南师附中6上海于奕清男华东师范大学第二附属中学6上海鲁一逍男上海市上海中学10湖北段明阳男华中师大一附中11北京赵浩宇男人大附中12广西唐珑珂男南宁市第二中学12北京贾泽宇男人大附中14北京孙谦男人大附中14湖北傅颢硕男华中师大一附中16北京林一衡男人大附中16重庆郑洋男重庆巴蜀中学16河北高瑞奇男石家庄二中16河南熊泽都男河南省实验中学16湖南江朗男长沙市雅礼中学16上海黄小雨男上海市上海中学16四川卢维潇男成都七中16浙江李永亮男乐成寄宿中学24河南朱宇轩男郑州外国语学校24湖北严子恒男武钢三中24浙江吴雨航男宁波市镇海中学27辽宁梁宇辰男东北育才学校27四川方一杰男成都七中嘉祥外国语学校29北京尚正元男人大附中29广东吴天昊男深圳中学29湖北王云崧男黄冈中学第 31 届中国数学奥林匹克获奖名单一等奖(112 人)29湖北郑云汉男襄阳市四中29辽宁孟响男大连第二十四中29陕西武江铮男西工大附中29天津赵川喆男天津一中36河北解说女衡水中学36湖北叶胥达男黄冈中学36湖北张嘉琦女华中师大一附中36湖北冯多多男华中师大一附中36辽宁王瑞男大连育明高中36四川叶添男成都七中嘉祥外国语学校36浙江滕丁维男乐成寄宿中学43重庆罗子茗男重庆南开中学43福建吴林桐男厦门双十中学43广东曾琳女华南师范大学附属中学43广东唐山茖男华南师范大学附属中学43贵州卜辰璟男贵阳一中43湖南宋政钦男湖南师大附属中学43湖南左都云男湖南师大附属中学43吉林张博渊男东北师大附中43江苏丁力煌男南京外国语学校43辽宁邓佳蕊女东北育才学校43辽宁孔繁浩男东北育才学校43辽宁苏海舰男辽宁省实验中学43山东贝泰睿男泰安一中43上海梅灵捷男复旦大学附属中学43上海高皓天男上海市上海中学43上海蒋诗琪女上海市上海中学43浙江张劲松男宁波市镇海中学43浙江俞志远男宁波市镇海中学61北京欧阳铭晖男人大附中61广东何天成男华南师范大学附属中学61河北张祺男衡水中学61湖南邱添男长沙市雅礼中学61吉林曲梓安男吉大附中61吉林孙伟舰男东北师大附中61上海庄子杰男上海市上海中学61上海顾思远男上海市上海中学61浙江贝思捷女宁波市镇海中学61浙江骆思腾男温州中学71广东郑含之女深圳中学71浙江周俊英男浙江省诸暨中学71浙江蔡天乐男杭州二中74海南郭义销男海南中学74湖南周文杰男湖南师大附属中学74湖南刘其灵男湖南师大附属中学74江苏李煦恒男江苏省扬州中学74山东刘坤女山东临沂第一中学74上海李欣哲男华东师范大学第二附属中学74上海范峻昊男上海市上海中学74新疆李通宇男乌鲁木齐市第一中学82安徽潘文初男合肥一中82北京邱厚德男人大附中82湖南王文瑞男长沙市雅礼中学82四川陈绪高男成都七中82浙江林可男温州中学87广东胡颀轩男深圳中学87海南林道哲男海南中学87黑龙江秦家琰男哈三中87黑龙江姜岩男哈师大附中87吉林李政铎男东北师大附中87吉林郭鹏男东北师大附中87江苏纪一博男南师附中87江西曾奕男临川二中87辽宁梁子昂男大连第二十四中87四川彭淏男成都七中87天津尹嘉晖男天津市耀华中学87浙江徐士奥男乐成寄宿中学87浙江朱峰谷男乐成寄宿中学87浙江黄贤凯男乐成寄宿中学101安徽张淞源男合肥一中101安徽张文昌男合肥一中101福建林挺男福建师范大学附属中学101广东王迩东男华南师范大学附属中学101河北杨帅杰男石家庄二中101河北张苏男衡水中学101湖南吴茁男长沙市雅礼中学101湖南刘恺睿男长沙市雅礼中学101江西黄国正男鹰潭市第一中学101四川罗月桐男成都七中101天津袁弘睿男天津市耀华中学101浙江蔡湘泽男乐成寄宿中学二等奖(124 人)113安徽胡杨男合肥一中113北京刘睿男北师大实验中学113广东张心捷男华南师范大学附属中学113河南古家旗男郑州市第一中学113湖北刘鹏飞男武汉二中113湖南谭华为男长沙市长郡中学113湖南刘宇峰男长沙市雅礼中学113吉林王皞琪男东北师范大学附属中学113辽宁李笑东男大连第二十四中113陕西陈嘉昊男西安高新第一中学113陕西陈煜女西安交大附中113浙江何陶然男杭州二中125北京李冬煜男十一学校125北京黄巍男北师大实验中学125广东沈城烽男华南师范大学附属中学125广西叶展宏男柳州高级中学125湖南仝方舟男长沙市长郡中学125湖南陈裕丰男长沙市长郡中学125江苏侯霁开男江苏省天一中学125山东倪中一男青岛二中125浙江洪俊伟男温州育英国际实验学校134安徽方晗兵男安徽池州市东至二中134北京彭俊尧男人大附中134北京薛彦钊男人大附中134河北刘天乐男石家庄二中134黑龙江迟舒乘男哈三中134湖北叶文昊男华中师大一附中134湖北崔锦成男华中师大一附中134湖南李文斌男长沙市长郡中学134江西章宇哲男吉安一中134山东常静楠女聊城一中134山西钱晨亮男山西大学附属中学134陕西刘溪恒男西安高新第一中学134陕西侯明荣女西安高新第一中学134上海崔琦文男华东师范大学第二附属中学134四川刘俊松男四川省绵阳中学134天津崔圣宇男天津市南开中学150甘肃胡明源男西北师大附中150河北霍明佳女衡水中学150湖南李师铨男长沙市雅礼中学150吉林于子越男吉大附中150江苏朱煜晨男南京外国语学校150江苏严淳译男江苏省启东中学150江西陈峻松男吉安一中150山东赵俊焱男胜利一中150上海赵轶凡男华东师范大学第二附属中学150上海乐兆颖女华东师范大学第二附属中学150上海贡安琦女上海市上海中学150云南陈致远男云南师大附中150浙江朱民哲男宁波市镇海蛟川书院163安徽王恒屹男安庆一中163北京王啸辰男清华附中163福建叶子逸男厦门双十中学163广东童家宝男中山纪念中学163广东程佳文男深圳中学163湖南肖新宇男长沙市雅礼中学163江西余扬昊男江西师大附中163上海朱昦曈女上海市市北初级中学163新疆张泽安男乌鲁木齐市第一中学163浙江金理泽男杭州学军中学173北京王雪莹女人大附中173重庆王杰文男重庆南开中学173重庆瞿国一男重庆育才中学173福建李昱男泉州第五中学173福建王明璋男晋江市养正中学173河北杨宇轩男邯郸一中173河南李元泽男郑州市第一中学173湖北范威男武汉二中173吉林卢旭洋男吉大附中173吉林初炜康男吉大附中173江苏高轶寒女南京外国语学校173江苏杨志强男江苏省姜堰中学173江西卢健男鹰潭市第一中学173山东李兆林男山东章丘四中173上海冷涛男华东师范大学第二附属中学173四川刘鹏达男成都外国语学校173浙江肖逸南男杭州二中190北京许鹤凡男北京四中190福建王靖涛男厦门第一中学190甘肃宋德英女西北师大附中190河北李高瞻男石家庄二中190河北李冀维男石家庄二中190黑龙江黄桢男哈三中190湖北宋英剑男襄阳市四中190四川钟梓源男成都七中198北京孙榕泽男人大附中198北京彭宇辰男北师大实验中学198重庆冯欣宇男重庆巴蜀中学198福建林虹灏男福州第一中学198广东卢瑞彬男华南师范大学附属中学198河南冯润康男郑州外国语学校198江西祝奇文男余江县第一中学198辽宁刘松昆男大连育明高中198辽宁任一诺男大连第二十四中198山东胡家琦男山东省莱芜市第一中学198四川向雍立男成都七中198天津李杰宇男天津南开中学198浙江罗昊男宁波市镇海中学211福建陈宇凡男厦门双十中学211福建张雨荷女厦门双十中学211广东李振男深圳外国语学校211广西莫家熙男南宁市第三中学211河南夏燚男郑州市第一中学211河南黄珮伦男郑州市第一中学211湖北曾御柏男武汉二中211湖北赵乐祺女武钢三中211湖南易晓冬男长沙市第一中学211吉林张湛唯男东北师大附中211江苏吴昊男江苏省常州高级中学211江苏李正辉男江苏省平潮高级中学211山西屈开儒女运城市康杰中学211陕西宋彦轲男西工大附中211陕西淮泽宇女西安交大附中211四川李为远女成都七中211天津穆禧龙男天津市南开中学211云南高敏博男云南师大附中211浙江苑之宇男杭州二中230北京周展平男人大附中230河南夏萌霏男郑州外国语学校230湖北孙上雯女武钢三中230江苏徐蔡博男江苏省启东中学230上海朱峰男上海市上海中学230四川冯一倡男成都七中230四川陈奕宏男四川省南充高中三等奖(109 人)237广东齐文轩男深圳中学237贵州王崇宇男遵义市第一高级中学237河南李子健男安阳市第一中学237湖北郑建昊男黄冈中学237江西杨铖男吉安一中237辽宁毕梦达男辽宁省实验中学237山西张天远男运城市康杰中学237陕西陈百良男西安铁一中237上海沈梓暘男复旦大学附属中学237四川邓心砚男成都七中247安徽于越韬男安徽淮北一中247河北倪行健男石家庄二中247江西蒋瑞辰男九江一中247江西彭帆男吉安一中247辽宁梁玮达男大连第二十四中247上海徐可涵女上海市上海中学247四川宣涵潇男成都七中247天津李宇轩男天津市耀华中学247天津晏妮女天津市耀华中学247天津王一然男天津市实验中学247云南徐恺男云南师大附中258广东叶浩宇女深圳中学258河南梁嘉豪男郑州外国语学校258河南陈徐行男郑州市第一中学258湖北白宇川男华中师大一附中258湖南段剑儒男长沙市雅礼中学258吉林曲江明男东北师大附中258吉林陈阳男吉大附中258内蒙古高乾男呼和浩特市第二中学258宁夏寇金润男银川一中258宁夏王卓凡男银川一中258陕西唐家璇男西安高新第一中学258上海吴嘉诚男复旦大学附属中学258上海韩笑男上海市市北初级中学273北京董玥女清华附中273福建赖嘉琪女泉州第五中学273甘肃贺智桐男甘肃省兰州第一中学273广东刘盼女华南师范大学附属中学273黑龙江李无为男大庆一中273湖北涂博威男华中师大一附中273湖南罗文林男湖南师大附属中学273辽宁李沛桐男东北育才学校273宁夏张兴昊男银川二中273四川杨鸿铭男成都七中273四川李奇颗男四川省南充高中273北京夏晨曦男北师大二附中273重庆龙利男重庆巴蜀中学273重庆覃移杭男重庆巴蜀中学273广西奉明璇男柳州高级中学273黑龙江王浩程男哈三中273黑龙江韩昊辰男哈师大附中273黑龙江史宇辰男哈师大附中273黑龙江毛宇鹏男大庆一中273吉林张天昊男吉大附中273吉林于卓男东北师范大学附属中学273吉林于钟博男吉大附中273江西彭奕涛男南昌二中273江西彭逸凡男江西省景德镇一中273山东张浩哲男山东省实验中学273山西潘杰男太原五中273陕西侯谷庾男西安高新第一中学273陕西吉宇轩男西安高新第一中学273陕西王一涵男西工大附中273四川马润杰男四川省绵阳中学273四川周洋男四川省绵阳中学273天津李峪林男天津市耀华中学273天津于蕴晨女天津一中273西藏王一琪女西藏民大附中273新疆石宜民男乌鲁木齐市第七十中学273云南李筱航男云南师大附中309安徽王海涵男安徽淮北一中309北京卢丹葳女北师大实验中学309重庆宋金峰男重庆巴蜀中学309重庆廖铁犁男重庆南开中学309重庆席子涵男重庆南开中学309重庆曾俊齐男重庆南开中学309重庆孙鸿蕊女重庆南开中学309重庆邓嵎木男西南大学附属中学309重庆马辛宇男重庆一中309甘肃付泽邦男西北师大附中309甘肃王镜权男甘肃省兰州第一中学309广东邓海航男深圳市高级中学309贵州刘赞辉男贵阳一中309贵州武洪锐男贵阳一中309海南陈太毅男海南中学309海南冯思钦男海南中学309河北张俊豪男衡水中学309黑龙江滕飞男大庆外国语学校309江苏马行宇男江苏省淮阴中学309内蒙古吴涛男鄂尔多斯市一中309内蒙古于心蕊女赤峰四中309内蒙古丁力男赤峰二中309宁夏石文江男固原一中309青海吴俊辰男青海湟川中学309青海王悦翔男青海湟川中学309青海桑宇晨男青海油田一中309青海肖睿轩男青海湟川中学309山东韩增瑞男山东省泰安第一中学309山西贾泽军男山西大学附属中学309山西高凯龙男长治二中309陕西王乙成男西安交大附中309上海周毅皓男华东师范大学第二附属中学309西藏李瑜女林芝市第一中学309西藏魏林巍男林芝市第一中学309西藏王雪蕾女林芝市第一中学309新疆蔡敬斌男乌鲁木齐市第一中学309新疆李佳玉女乌鲁木齐市第一中学。

数学竞赛几何变换 (第十二届夏令营)

几何变换(第十二届夏令营)湖南师大附中数学竞赛组自公元前3世纪古希腊数学家欧几里得(Euclid)的《几何原本》问世以来, 平面几何就作为数学的一个分支而存在于世. 由于平面几何有其鲜明的的直觉与严谨、精确、简明的语言, 并且经常出现一些极具挑战性的问题, 因而这一古老的数学分支一直保持着青春的活力, 以极具魅力的姿态展现在我们面前. 世界各国无不将平面几何作为培养本国公民的逻辑思维能力、空间想象能力和推理论证能力的重要题材. 由匈牙利于1894年首开先河的国内外各级数学竞赛活动更是将平面几何作为常规的竞赛内容, 并且从1959年开始举办的每年一届(1980年因特殊原因中断)的国际中学生数学竞赛(通称国际数学奥林匹克)中, 在同一届出现两道平面几何题的情况已是屡见不鲜.但是, 传统的平面几何都是采用公理化方法处理的, 这种方法将平面图形视为静止的图形, 其优点是便于掌握几何图形本身的内在规律. 但用这种静止的观点研究平面几何的一个最大缺陷是: 难以发现不同几何事实之间的联系. 欲深刻揭示客观事物之间的联系, 掌握运动的事物的空间形式最本质的东西——在运动中始终保持不变的性质, 仅用静止的观点是远远不够的, 必须动静结合, 用运动、变化的观点来研究客观事物的运动形式和变化规律. 就平面几何而言, 按照德国数学家克莱因(F. Klein)于1872年提出的观点, 平面几何是研究平面图形在运动、变化过程中的不变性质和不变量的科学.几何变换作为一种现代数学思想方法, 正是采用运动、变化的观点来研究平面几何的. 面对一个平面几何问题, 几何变换往往能有效地帮助我们顺利地实现由条件到结论的逻辑沟通. 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换. 平面几何中的几何变换主要有合同变换、相似变换和反演变换等.1 知识方法1.1 合同变换在一个几何变换f下, 如果任意两个之间的距离等于变化后的两点之间的距离, 则称f是一个合同变换.合同变换只改变图形的相对位置, 不改变其性质和大小. 合同变换有三种基本形式: 平移变换, 轴反射变换, 旋转变换.(一) 平移变换将平面图形上的每一个点都按一个定方向移动定距离的变换叫作平移变换.记为()T a , 定方向a 称为平移方向, 定距离称为平移距离.显然, 在平移变换下, 两对应线段平行(或共线)且相等. 因此, 凡已知条件中含有平行线段, 特别是含有相等线段的平面几何问题, 往往可用平移变换简单处理. 平移可移线段, 也可移角或整个图形.例1.1 平面上一个单位正方形与距离为1的两条平行线均相交, 使得正方形被两条平行线截出两个三角形(在两条平行线之外). 证明: 这两个三角形的周长之和与正方形在平面上的位置无关. (第15届亚洲—太平洋数学奥林匹克, 2003)证明: 如图所示, 设直线1l //2l , 1l 与2l 的距离为1,单位正方形ABCD 的边,AB AD 分别与1l 交于,P Q , 边,BC CD 分别与2l 交于,R S . 作平移变换()T PA , 设1122',','l l l l R R →→→, 则'R 在2'l 上, 1'l 过正方形的顶点A . 因点A 到2'l 的距离等于AB , 所以2'l 决不会与边,AB AD 相交. 设2'l 与边,BC CD 分别交于,E F , 则有',,,R F RS SF PA ER AQ === 进而, ',ER PQ = 于是''AP PQ AQ RC CS RS SF ER ER RC CS R F EC CF EF +++++=+++++=++ 过顶点A 作2'l 的垂线, 设垂足为H , 则1AH AB AD ===. 由于,,AB EC AD CF AH EF ⊥⊥⊥, 所以, 点A 是CEF ∆的C -旁心, 且,,B H D 分别为CEF ∆的C -旁心圆与三边的切点, 所以,EH BE HF FD ==, 从而2EC CF EF BC CD ++=+=, 即2AP PQ AQ RC CS RS +++++=. 这就是说, APQ ∆的周长与CSR ∆的周长之和等于2. 它与正方形在平面上的位置无关.(二) 轴反射变换如果直线l 垂直平分连接两点,'A A 的线段'AA , 则称两点,'A A 关于直线l 对称. 其中'()A A 叫作点(')A A 关于直线l 的对称点.把平面上图形中任一点都变到它关于定直线l 的对称点的变换, 叫作关于直线l 的轴反射变换, 记为()S l , 直线l 叫作反射轴.显然, 在轴反射变换下, 对应线段相等, 两对应直线或者相交于反射轴上, 或者与反射轴平行. 通过轴反射变换构成(或部分构成)轴对称图形是处理平面几何问题的重要思想方法.例1.2 在锐角ABC ∆中, AB AC <, AD 是边BC 上的高, P 是线段AD 上一点. 过P 作PE AC ⊥, 垂足为E , 作PF AB ⊥, 垂足为F . 12,O O 分别是,BDF CDE ∆∆的外心. 求证:12,,,O O E F 四点共圆的充要条件为P 是ABC ∆的垂心. (全国高中数学联赛, 2007)证明: 如图所示, 由,PD BC PF AB ⊥⊥知,,,B D P F 四点共圆, 且BP 为其直径, 所以BDF ∆的外心1O 为BP 的中点. 同理, ,,,C D P E 四点共圆, 且2O 是CP 的中点. 因此, 12O O //BC , 所以21O O P CBP ∠=∠.充分性. 设P 是ABC ∆的垂心, 由于,PE AC PF AB ⊥⊥, 所以1,,,B O P E 四点共线, 2,,,C O P F 四点共线, ,,,B C E F 四点共圆. 于是由21O O P CBP ∠=∠得212O O E CBE CFE O FE ∠=∠=∠=∠, 故12,,,O O E F 四点共圆.必要性. 因为1O 是Rt BFP ∆的斜边PB 的中点, 2O 是Rt CEP ∆的斜边PC 的中点, 所以12PO F PBA ∠=∠, 2O EC ACP ∠=∠. 因为,,,A F E P 四点共圆, 所以FEP FAP ∠=∠. 于是212112O O F O O P PO F CBP PBA CBA PBF ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠2229090FEO FEP PEO FAP O EC FAP ACP ∠=∠+∠=∠+-∠=∠+-∠这样, 若12,,,O O E F 四点共圆, 则212180O O F FEO ∠+∠= . 因而有90180CBA PBF FAP ACP ∠+∠+∠+-∠=再注意90CBA FAP ∠+∠= , 即得PBF ACP ∠=∠, 也就是PBA ACP ∠=∠.作反射变换()S AD , 设'B B →, 因AB AC <, AD BC ⊥, 所以BD CD <, 于是'B 在线段CD 上, 且','PB B CBP AB P PBA ∠=∠∠=∠. 因PBA ACP ∠=∠, 所以'AB P ACP ∠=∠, 从而,,',A P B C 四点共圆. 于是'90PB B PAC ACB ∠=∠=-∠ , 所以90CBP ACB ∠=-∠ , 所以, BP AC ⊥. 而AP BC ⊥, 故P 是ABC ∆的垂心.(三) 旋转变换将平面上图形中每一个点都绕一个定点O 按定方向(逆时针或顺时针)转动定角θ的变换, 叫作旋转变换, 记为(,)R O θ. 点O 叫作旋转中心, θ叫作转幅或旋转角.易知, 在旋转变换下, 两对应线段相等, 两对应直线的交角等于转幅. 对于已知条件中含有正方形或等腰三角形或其它特殊图形问题, 往往可运用旋转变换来处理.特别是在转幅为90 的旋转变换下, 两对应线段垂直且相等. 而转幅为180 的旋转变换称为中心对称变换, 记为()C O . 在中心对称变换下, 任意一对对应点的连线段都通过旋转中心(此时称为对称中心), 且被对称中心所平分. 由于中心对称变换的这一特殊性, 凡是与中点有关的平面几何问题, 我们可以考虑用中心对称变换处理.例1.3 设圆1T 与圆2T 交于,A B 两点. 圆1T 在A 点的切线交圆2T 于C , 圆2T在A 点的切线交圆1T 于D . M 是CD 的中点. 求证:CAM DAB ∠=∠. (中国国家队培训, 2007)证明: 如图所示, 作中心对称变换()C M , 设'A A →, 则四边形'ACA D 是一个平行四边形. 设AB 的延长线交'CA 于E , 则AEC BAD BCA ∠=∠=∠. 又CAE ADB ∠=∠, 所以ABC ACE DBA ∆∆∆ , 于是,AC AB AE CE AE AC DA BA ==. 两式相乘, 并注意到'AC DA =, 得'AC CE AD DA =. 而'ACE ADA ∠=∠, 所以'ACE ADA ∆∆ , 则'CAE DAA ∠=∠, 故CAM DAB ∠=∠.例1.4 在ABC ∆中, AB AC =, ,,D E F 分别为直线,,BC AB AC 上的点, 且DE //AC , DF //AB , M 为ABC ∆的外接圆上BC的中点. 求证: MD EF ⊥. (伊朗国家队选拔考试, 2005)证明: 如图所示, 因AB AC =, DF //AB ,所以CF DF =. 又四边形EAFD 显然为平行四边形, 则AE DF CF ==. 于是, 设ABC ∆的外心为O , 作旋转变换(,2)R O CBA (其中,CBA 表示始边为射线BC , 终边为射线BA 的有向角), 则,,C A A B →→ 且F E →, 所以OE OF =. 因此, 设EF 的中点为N , 则ON EF ⊥.另一方面, 因四边形EAFD 是平行四边形, 所以N 也是AD 的中点. 又AB AC =, M 为ABC ∆的外接圆上 BC的中点, 所以AM 为ABC ∆的外接圆的直径, 从而O 为AM 的中点, 故ON //MD . 于是由ON EF ⊥, 即知MD EF ⊥.1.2 相似变换在一个几何变换f 下, 若对于平面上任意两点,A B , 以及对应点','A B , 总有''A B kAB =(k 为非零实数), 则称这个变换f 是一个相似变换. 非零实数k 叫作相似比, 相似比为k 的相似变换记为()H k .显然, 相似变换既改变图形的相对位置, 也改变图形的大小, 但不改变图形的形状. 当1k =时, (1)H 就是合同变换. 讨论相似变换时, 常讨论位似变换、位似旋转变换以及位似轴反射变换.(一) 位似变换设O 是平面上一定点, H 是平面上的变换, 若对于任一双对应点,'A A , 都有'OA kOA =(k 为非零实数), 则称H 为位似变换. 记为(,)H O k , O 叫作位似中心, k 叫作相似比或位似系数. A 与'A 在O 点的同侧时0k >, 此时O 为外分点, 此种变换称为正位似(或顺位似); A 与'A 在O 点的两侧时0k <, 此时O 为内分点, 此种变换称为反位似(或逆位似).显然, 位似变换是特殊的相似变换. 有此问题借助于位似变换求解比相似变换更简洁.例1.5 设ABC ∆的内切圆与边,,BC CA AB 分别切于点,,D E F . 求证: ABC ∆的外心O , 内心I 与DEF ∆的垂心H 三点共线. (第12届伊朗数学奥林匹克, 1995; 第97届匈牙利数学奥林匹克, 1997; 第51届保加利亚数学奥林匹克, 2002)证法一: 如图(1)所示, 设ABC ∆的内切圆半径与外接圆半径分别为,r R , R k r =⋅.作位似变换(,)H I k -, 设'''DEF D E F ∆→∆,则'D I R =. 再设ABC ∆的外接圆上的 BC(不含点A )的中点为M , 则OM //'D I 且'OM D I =, 所以四边形'OMID 是平行四边形, 于是'D O //IM , 注意到,,A I M 共线, 所以'D O //AI . 又AI EF ⊥, 所以'D O EF ⊥. 但EF //''E F , 从而'''D O E F ⊥. 同理, '''E O F D ⊥, 所以O 是'''D E F ∆的垂心, 因此H O →. 故,,H I O 三点共线, 且HI r IO R=.证法二: 如图(2)所示, 设直线,,DH EH FH分别与ABC ∆的内切圆交于另一点,,P Q R , 则DEF ∆的三边分别垂直平分,,HP HQ HR , 所以DQ DH DR ==, 由此可知QR //BC . 同样地,RP //CA , PQ //AB , 因此ABC ∆与PQR ∆是位似的. 而,O I 分别是ABC ∆与PQR ∆的外心, ,I H 分别是ABC ∆与PQR ∆的内心, 故,,O I H 三点共线, 且HI r IO R=.(二) 位似旋转变换具有共同中心的位似变换(,)H O k 和旋转变换(,)R O θ复合便得位似旋转变换(,,)S O k θ, 即(,,)(,)(,)(,)(,)S O k H O k R O R O H O k θθθ=⋅=⋅.例1.6 设圆1T 与圆2T 交于,A B 两点, 一直线过点A 分别与圆1T 、圆2T 交于另一点C 和D , 点,,M N K 分别是线段,,CD BC BD 上的点, 且MN // BD , MK //BC . 再设点,E F 分别在圆1T 的 BC(不含点A )上和圆2T 的 BD(不含点A )上, 且EN BC ⊥, FK BD ⊥. 求证: 90EMF ∠= .(第43届IMO 预选题, 2004; 第22届伊朗数学奥林匹克, 2004)证明: 如图所示, 设圆1T 与圆2T 的半径分别为12,,r r 12r k r =⋅, 作位似旋转变换(,,)S B k DBC , 因割线CD 过两圆的另一个交点, 所以D C →. 设','K K F F →→, 则'K 在BC 上, 'F 在圆1T 上, 且''F K BC ⊥,'K C KD MD NB BC BD CD BC===, 所以, 'K C BN =. 设''F K 的延长线交圆1T 于L , 则有''EBN BF K ∠=∠, 而''BF K BFK ∠=∠, 于是EBN BFK ∠=∠. 又,BKF ENB ∠∠皆为直角, 因此BFK EBN ∆∆ . 但由MN // BD , MK // BC 知, 四边形MNBK 是平行四边形, 所以,,BK MN BN MK ==. 于是, 易知MNE FKM ∠=∠, 因此MEN FMK ∆∆ . 再注意到,EN BC FK BD ⊥⊥, 即知EM MF ⊥.(三) 位似轴反射变换就目前的情况来看, 位似轴反射变换的应用似乎尚不及其他几种几何变换. 但作为一种不可或缺的几何变换, 应该有其广泛的用武之地. 实际上, 对于梯形、圆内接四边形、对角线等问题, 都有可能用得上位似轴反射变换.例1.7 已知圆内接凸四边形ABCD , F 是AC 与BD 的交点, E 是AD 与BC 的交点, ,M N 分别是AB 和CD 的中点. 求证:1||2MN AB CD EF CD AB=-. (第46届保加利亚数学奥林匹克(第3轮), 1997)证明: 如图所示, 设AB k CD =⋅, 以E为位似中心, k 为位似比作位似轴反射变换, 使,C A D B →→. 设1F F →, 则1EF k EF =⋅. 同样地, 如果以1k -为位似比作位似轴反射变换, 使,A C B D →→. 设2F F →, 则12EF k EF -=⋅, 且12,F F 都在EF 关于AEB ∠的平分线对称的直线上, 所以11212||||||F F EF EF k k EF -=-=-⋅另一方面, 由ABF DCF ∆∆ , 1BAF DCF ∆∆ 知1ABF BAF ∆∆ , 从而1ABF BAF ∆≅∆, 所以四边形1AF BF 是一个平行四边形, 因此M 是1FF 的中点. 同理, N 是2FF 的中点. 于是11211||22MN F F k k EF -==-⋅, 故 111||||22MN AB CD k k EF CD AB-=-=- 1.3 反演变换设O 是平面α上一定点, 对于α上任意异于点O 的点A , 有在OA 所在直线上的点'A , 满足'0OA OA k ⋅=≠, 则称法则I 为平面α上的反演变换, 记为(,)I O k . 其中O 为反演中心或者反演极, k 为反演幂; A 与'A 在点O 的两侧时0k <, 否则0k >; A 与'A 为此反演变换下的一对反演点(或反点), 显然A 与'A 互为反点(但点O 的反点不存在或为无穷远点); 点A 集的像'A 集称为此反演变换下的反演形(或反形).由于0k <时的反演变换(,)I O k 是反演变换(,||)I O k 和以O 为中心的中心对称变换的复合, 我们只就0k >讨论反演变换即可.令r =则2'OA OA r ⋅=. 此时, 反演变换的几何意义则可知如图所示, 并称以O 为圆心, r 为半径的圆为反演变换2(,)I O r 的基圆.由此几何意义, 我们可作出与'AA 垂直的过A 的直线l 及过'A 的直线'l 的反形分别为下图中的圆'c 及圆c , 反之以,'OA OA 为直径的圆c , 圆'c 的反形分别为直线',l l .由反演变换(0k >)的定义及几何意义, 即推出反演变换有下列有趣性质: 性质1 基圆上的点仍变为自己, 基圆内的点(O 除外)变为基圆外的点, 反之亦然.性质2 不共线的任意两对反演点必共圆, 过一对反演点的圆必与基圆正交(即交点处两圆的切线互相垂直).性质3 过反演中心的直线变为本身(中心除外), 过反演中心的圆变为不过反演中心的直线, 特别地过反演中心的相切两圆变为不过反演中心的两平行直线; 过反演中心的相交圆变为不过反演中心的相交直线.性质4 不过反演中心的直线变为过反演中心的圆, 且反演中心在直线上射影的反点是过反演中心的直径的另一端点; 不过反演中心的圆变为不过反演中心的圆, 特别地, (1) 以反演中心为圆心的圆变为同心圆; (2) 不过反演中心的相切(交)圆变为不过反演中心的相切(交)圆; (3) 圆11(,)O R 和圆22(,)O R 若以点O 为反演中心, 反演幂为(0)k k >, 则212222||k R R OO R ⋅=-, 212222||k OO OO OO R ⋅=-. 性质5 在反演变换下, (1) 圆和圆、圆和直线、直线和直线的交角保持不变;(2) 共线(直线或圆)点(中心除外)的反点共反形线(圆和直线), 共点(中心除外)线的反形共发形点.例1.8 设M 为ABC ∆的边BC 的中点, 点P 为ABM ∆的外接圆上 AB (不含点M )的中点, 点Q 为AMC ∆的外接圆上AC (不含点M )的中点. 求证: AM PQ ⊥.(第57届波兰数学奥林匹克, 2006)证明: 如图所示, 以M 为反演中心、MB 为反演半径作反演变换, 则,B C 皆为自反点, 直线AM 为自反直线. 设A 的反点为'A , 则'A 在直线AM 上, 且ABM ∆的外接圆的反形为直线'A B , AMC ∆d 的外接圆的反形为直线'A C , 点P 的反点'P 为直线PM 与'A B 的交点, 点Q 的反点'Q 为直线QM 与'A C 的交点, 直线PQ 的反形为''MP Q ∆的外接圆. 因,MP MQ 分别平分AMB ∠和AMC ∠, 所以, ''MP MQ ⊥, 且''''''''A P MA MA A Q P B MB MC Q C=== 从而''P Q //BC . 设'A M 与''P Q 交于N . 因M 是BC 的中点, 所以N 是''P Q 的中点. 再注意''MP MQ ⊥即知N 为''MP Q ∆的外心, 这说明直线'A M 与''MP Q ∆的外接圆正交, 因此直线AM 与PQ 正交, 即AM PQ ⊥.2 范例选讲2.1 合同变换例2.1 设ABC ∆是一个正三角形, 12,A A 在边BC 上, 12,B B 在边CA 上,12,C C 在边AB 上, 且凸六边形121212A A B B C C 的六边长都相等. 求证: 三条直线121212,,A B B C C A 交于一点. (第46届IMO , 2005)证明: 如图所示, 作平移变换12()T B A , 则12B A →, 设2B K →, 则12122A A B B KA ==, 且2160KA A ∠= , 所以12KA A ∆是正三角形, 因此11212KA A A C C ==, 且由2160A A K CBA ∠==∠ 知, 1KA //12C C , 所以121C C A K 是平行四边形, 于是12121C K C A B C ==, 又21221B K B A B C ==, 所以21KB C ∆也是正三角形.于是, 由221B KA B 是平行四边形, 12KA A ∆与21KB C ∆都是正三角形可知,121121A A B C B B ∠=∠. 同理, 121121B B C C C A ∠=∠, 所以212121AB C BC A CA B ∠=∠=∠再注意212121B AC C BA A CB ∠=∠=∠, 212121B C C A A B ==即得121212AC B BAC CB A ∆≅∆≅∆进而可知111111AC B BAC CB A ∆≅∆≅∆, 所以111A B C ∆是正三角形. 于是1111A B AC =, 又2121B B B C =, 因此12A B 是11B C 的垂直平分线, 从而12A B 通过111A B C ∆的中心O , 同理1212,B C C A 都通过111A B C ∆的中心O . 故121212,,A B B C C A 三线共点.实际上, 在本题中, 222A B C ∆也是正三角形, 且111A B C ∆、222A B C ∆、ABC ∆这三个正三角形的中心都是点O .例2.2 在凸四边形ABCD 中, 对角线BD 既不平分ABC ∠, 也不平分CDA ∠,点P 在四边形的内部, 满足PBC DBA ∠=∠,PDC BDA ∠=∠. 证明: 四边形ABCD 内接于圆的充分必要条件是PA PC =. (第45届IMO , 2004)证明: 如图所示.必要性. 设四边形ABCD 内接于圆. 以AC 的垂直平分线为反射轴作轴反射变换, 设','B B D D →→, 则','B D 都在圆上, 且','CB AB CD AD ==, 所以'B DC ADB PDC ∠=∠=∠, 这说明',,B P D 三点共线. 同理, ',,D P B 三点共线, 所以点P 是'B D 与'BD 的交点, 因而P 在反射轴上, 即P 在AC 的垂直平分线上, 故PA PC =.充分性. 设PA PC =. 分别延长,BP DP 与BCD ∆的外接圆交于点','D B , 则有''PB C DB C DBC ABP ∠=∠=∠=∠, ''PD C BD C BDC ADP ∠=∠=∠=∠, ''BPD B PD ∠=∠. 因,',,'B B D D 四点共圆, ''PBD PB D ∠=∠, 所以''PBD PB D ∆∆ . 又''CB D CBP DBA =∠=∠, ''B D C PDC ADB ∠=∠=∠, 因此''CB D ABD ∆∆ , 从而''ABPD CB PD 四边形四边形. 但PC PA =, 所以''ABPD CB PD ≅四边形四边形. 这说明四边形ABPD 与四边形''CB PD 关于'BPB ∠的平分线互相对称. 而,',,',B B C D D 共圆, 所以',,,,'B B A D D 共圆, 即,,',,',A B B C D D 六点共圆. 故四边形ABCD 内接于圆.例2.3 设H 为ABC ∆的垂心, ,,D E F 为ABC ∆的外接圆上三点, 且AD //BE //CF , ,,S T U 分别为,,D E F 关于边,,BC CA AB 的对称点. 求证: ,,,S T U H 四点共圆. (中国国家队选拔考试, 2006)证明: 我们先证明如下引理: 设,O H 分别为ABC ∆的外心和垂心, P 为ABC ∆的外接圆上任意一点, P 关于BC 的中点的对称点为Q , 则直线AP 关于OH 的中点对称的直线是QH 的垂直平分线.引理的证明. 事实上, 如右图所示, 过A 作ABC ∆的外接圆的直径'AA , 则'A 与ABC ∆的垂心H 也关于BC 的中点对称, 所以QH //'A P 且'QH A P =. 又'A P AP ⊥, 因此QH AP ⊥. 设,D N分别为,AP QH 的中点, 则'2,A P OD = 2QH NH =, 于是OD //NH 且OD NH =. 而AP OD ⊥, 故直线AP 关于OH 的中点对称的直线是QH 的垂直平分线.回到原题. 如下图所示, 过得D 作BC 的平行线与ABC ∆的外接圆交于另一点P . 由AD //BE //CF 易知PE //CA , PF //AB . 因PD //BC , S 是点D 关于BC 的对称点, 所以点P 关于BC 的中点的对称点是S . 于是, 设ABC ∆的外心为O , OH 的中点为M , 作中心对称变换()C M , 由引理可知, 直线AP 的像直线是HS的垂直平分线. 同理, 直线,BP CP 的像直线分别是,HT HU 的垂直平分线.而,,AP BP CP 有公共点P , 因此,,HS HT HU 的垂直平分线交于一点.故,,,S T U H 四点共圆.进一步, 我们还可以证明()STU 与ABC ∆的外接圆是等圆.事实上, 因,,PS PT PU 的中点分别是ABC ∆的三边的中点, 所以()STU 的半径是ABC ∆的中点三角形的外接圆的半径的两倍, 而ABC ∆的外接圆的半径也是其中点三角形的外接圆半径的两倍. 故()STU 与ABC ∆的外接圆是等圆.在本题中, 我们首先将四点共圆的问题转化成三线共点问题, 然后巧妙地通过中心对称变换使问题得到顺利的解决.例2.4 设ABCD 是一个正方形, 以AB 为直径作一个圆T , P 是边CD 上的任意一点, ,PA PB 分别与圆交于,E F 两点. 求证:直线DE 与CF 的交点Q 在圆T 上, 且AQ DP QB PC=. (第44届塞尔维亚和黑山国家数学竞赛, 2006)证明: 如图所示. 设,BE AD 交于R , ,AF BC 交于S , 则,,,F S C P 四点共圆, 所以SPC SFC ∠=∠. 令O 为正方形ABCD 的中心, 作旋转变换(,90)R O , 则,,B C C D D A →→→, 而,AS BP BR AP ⊥⊥, 所以,S P P R →→, 从而PRD SPC ∠=∠. 显然, BC 为圆T 的切线, 所以CBP BAF ∠=∠. 因//AD BC , 所以=+=+RPB PRD CBP SPC CBP ∠∠∠∠∠. 再设CQ 与AB 交于T , 因//AB DC , 则=ATQ DCQ ∠∠, 于是=+=+=+==RPB SPC CBP SFC BAF AFQ BAF ATQ DCQ ∠∠∠∠∠∠∠∠∠又由,,,R E P D 四点共圆, 知=BRP QDC ∠∠, 因此PRB CDQ ∆∆ , 从而=PBR CQD ∠∠, 即=FBE FQE ∠∠, 这说明,,,E Q B F 四点共圆, 换句话说, 点Q 在圆T 上. 再由,,,R E P D 四点共圆, 知===PRD PED AEQ ABQ ∠∠∠∠, 而=90=RDP BQA ∠∠ , 所以PDR AQB ∆∆ , 于是=AQ PD QB DR, 又=DR CP , 故AQ DP QB PC =. 2.2 相似变换例2.5 设12,O O 是半径不等的外离两圆. ,AB CD 是两圆的两条外公切线,EF 是两圆的一条内公切线, 切点,,A C E 在1O 上, 切点,,B D F 在2O 上. 再设1EO 与AC 交于K , 2FO 与BD 交于L . 求证: KL平分EF . (罗马尼亚国家队选拔赛, 2007)证明: 如图所示, 设两条外公切线交于O , 内公切线EF 与外公切线,AB CD 分别交于,P Q , 以O 为位似中心作位似变换, 使12O O →, 则AC BD →, 而12//O E O F , 所以12O E O F →直线直线, 于是AC 与直线1O E 的交点→BD 与直线2O F 的交点, 即K L →, 因此,,O K L 三点共线. 过L 作EF 的平行线分别与直线,AB CD 交于,R S , 则2O L RS ⊥, 而22,O B BR O D SD ⊥⊥, 所以2,,,R B L O 四点共圆, 2,,,O L S D 四点共圆, 再注意到22O B O D =, 于是2222SRO LBO O DL O SR ∠=∠=∠=∠所以22O R O S =, 因此L 平分RS . 而//PQ RS , 所以OL 平分PQ , 即KL 平分PQ . 又PF QE =, 故KL 平分EF .例2.6 在ABC ∆的外部作PAB ∆与QAC ∆, 使得,AP AB AQ AC ==, 且PAB CAQ ∠=∠. 设,BQ CP 交于R , BCR ∆的外心为O . 求证: AO PQ ⊥. (中国国家队培训, 2006)证法一: 如右图所示, 易知APC ABQ ∆≅∆, 所以APR ABR ∠=∠. 因此,,,A P B R 四点共圆, 从而PRB PAB ∠=∠. 于是22COB PRB PAB ∠=∠=∠. 设BC k BO =⋅, 作位似旋转变换(,,)S B k OBC , 则O C →. 设'A A →, 则'2A AB COB PAB ∠=∠=∠, 所以'A AP PAB CAQ ∠=∠=∠. 又由OC OB =, 有'AA AB =. 于是, 再作旋转变换(,)R A PAB , 则,'C Q A P →→, 从而(,)(,,)R A PAB S B k OBC AO PQ → .另一方面, 由,2OB OC BOC PAB =∠=∠知90PAB OBC ∠+∠= , 因此存在点1O , 使得1(,)(,,)(,,90)R A PAB S B k OBC S O k = . 这说明在位似旋转变换1(,,90)S O k 下, 有AO PQ →. 故AO PQ ⊥.证法二: 若下图所示. 同证法一, 有22BOC PRB PAB ∠=∠=∠. 设M 为BC的中点, 则OM BC ⊥. 再分别过,B C 作,AP AQ 的垂线, 垂足分别为,E F , 则CFA CMO BMO BEA ∆∆≅∆∆于是, 设CO k CM =⋅, FCA θ= , 则1(,,)(,,)S C k S B k M OM θθ-→→ 所以, 1(,,)(,,)(,1,2)(,2)S B k S C k S M R M θθθθ-==. 而1(,,)(,,)S C k S B k F A E θθ-→→, 因此在旋转变换(,2)R M θ下, F E →, 所以ME MF =且2FME θ∠=. 因OA 与等腰MEF ∆的两腰,ME MF 的交角都等于θ, 所以OA EF ⊥. 另一方面, 由CFA BEA ∆ , 有AE AE AF AF AP AB AC AQ===, 所以//EF PQ , 故OA PQ ⊥.2.3 反演变换例2.7 设圆T 与直线l 相离, AB 是圆T 的垂直于l 的直径, 点B 离l 较近,C 是圆T 上不同于,A B 的任意一点, 直线AC 交l于D , 过D 作圆T 的切线DE , E 是切点, 直线BE 与l 交于F , AF 与圆T 交于另一点G . 求证:点G 关于AB 的对称点在直线CF 上. (德国国家队选拔考试, 2005)证明: 如图所示, 设AB 与直线l 交于M , 则,,,A E M F 四点共圆, 再由DE 与圆T 相切可知EDF EOA ∆∆ , 所以DF DE =, 且EOD EAF ∆∆ , 从而DOE FAE ∠=∠. 但2GOE FAE ∠=∠, 所以GOD DOE ∠=∠, 从而GOD EOD ∆≅∆, 所以DG 也为圆T 的切线, G 为切点, DG DE DF ==. 设点,G F 关于直线AB 的对称点分别为','G F , 则'G 在圆T 上, 且'F DFG FGD ∠=∠=∠, 所以,,,'A G D F 四点共圆. 于是, 作反演变换(,)I A AG AF ⋅, 则,F G 互为反点, ','F G 互为反点, 这说明圆T 与直线l 互为反形, 所以,C D 互为反点. 又,,,'A G D F 四点共圆, 这个圆与直线FC 互为反形, 所以,,'F C G 共线, 即点G 关于AB 的对称点在直线CF 上.3 训练习题3.1 合同变换练3.1 设四边形ABCD 外切于圆, ,A B ∠∠的外角平分线交于点K , ,B C ∠∠的外角平分线交于点L , ,C D ∠∠的外角平分线交于点M , ,D A ∠∠的外角平分线交于点N . 再设,,,ABK BCL CDM DAN ∆∆∆∆的垂心分别为1111,,,K L M N . 求证: 四边形1111K L M N 是平行四边形. (第30届俄罗斯数学奥林匹克, 2004)练3.2 设,C D 是以O 为圆心、AB 为直径的半圆上任意两点, 过B 作圆O 的切线交直线CD 于P , 直线PO 与直线,CA AD 分别交于,E F . 证明: OE OF =. (第4届中国东南地区数学奥林匹克, 2007)练3.3 设,D T 是ABC ∆的边BC 上的两点, 且AT 平分BAC ∠, P 是过D 且平行于AT 的直线上的一点, 直线BP 交CA 于E , 直线CP 交AB 于F . 求证: BT DC =的充分必要条件是BF CE =. (必要性: 第19届墨西哥数学奥林匹克, 2005)练3.4 设ABC ∆是一个正三角形. P 是其内部满足条件=120BPC ∠ 的一个动点. 延长CP 交AB 于M , 延长BP 交AC 于N . 求AMN ∆的外心的轨迹.(第17届拉丁美洲数学奥林匹克, 2002)3.2 相似变换练3.5 在ABC ∆中, AB AC ≠, 中线AM 交ABC ∆的内切圆于,E F 两点, 分别过,E F 两点作BC 的平行线交ABC ∆的内切圆于另一点,K L , 直线,AK AL 分别交BC 于,P Q . 求证: BP QC =. (第46届IMO 预选题, 2005; 第47届伊朗国家队选拔考试, 2006)练3.6 设,b c I I 分别是ABC ∆的,B C --旁心旁心, P 是ABC ∆的外接圆上一点. 证明: ABC ∆的外心是b I AP ∆和c I AP ∆的外心的连线段的中点. (第30届俄罗斯数学奥林匹克, 2004)3.3 反演变换练3.7 设,a I I 分别是分别为ABC ∆的内心和A -旁心, a II 与BC 交于D , 与ABC ∆的外接圆交于M . 设N 是 AM 的中点, ABC ∆的外接圆分别与,a NI NI 交于另一点,S T . 求证: ,,S D T 三点共线. (第18届伊朗数学奥林匹克, 2001) 4 习题解答4.1 合同变换练3.1设四边形ABCD 外切于圆, ,A B ∠∠的外角平分线交于点K , ,B C ∠∠的外角平分线交于点L , ,C D ∠∠的外角平分线交于点M , ,D A ∠∠的外角平分线交于点N . 再设,,,ABK BCL CDM DAN ∆∆∆∆的垂心分别为1111,,,K L M N . 求证: 四边形1111K L M N 是平行四边形. (第30届俄罗斯数学奥林匹克, 2004)证明: 如图所示, 设四边形ABCD 的内切圆圆心为O . 由于内角平分线和外角平分线互相垂直, 所以,OA NK OB KL ⊥⊥.又1AK 是ABK ∆的高, 所以1AK BK ⊥, 因此1AK //OB . 同理, 1BK //OA , 从而四边形1AK BO 是平行四边形. 同样地, 四边形111,,BLCO CM DO DN AO 皆为平行四边形. 于是 ()()1111T AO T OC K N BD L M →→但()()()()T OC T AO T OC OA T AC =+= , 因而()1111T AC K N L M → . 故四边形1111K L M N 是平行四边形.练3.2 设,C D 是以O 为圆心、AB 为直径的半圆上任意两点, 过B 作圆O 的切线交直线CD 于P , 直线PO 与直线,CA AD 分别交于,E F . 证明:OE OF =. (第4届中国东南地区数学奥林匹克, 2007)证明: 如图所示. 以过圆心O 且垂直于EF 的直线为轴作轴反射变换, 设'A A →, 则'A 仍在圆O 上, 且'FOA AOE BOP ∠=∠=∠, 所以'PA 也是圆O 的切线, 因此',,,A O B P 四点共圆. 于是''''A DA A BA A BO A PO ∠=∠=∠=∠, 从而',,,A D P F 四点也共圆, 所以'''A FO A DC A BC ∠=∠=∠.另一方面, 因AB 是圆O 的直径, 所以BC EC ⊥. 又显然有'A B EF ⊥, 由此可知'A BC OEA ∠=∠, 因此'A FO OEA ∠=∠. 再注意'FOA EOA ∠=∠, 'OA OA =, 即知'A OF AOE ∆≅∆, 故OE OF =.练3.3 设,D T 是ABC ∆的边BC 上的两点, 且AT 平分BAC ∠, P 是过D 且平行于AT 的直线上的一点, 直线BP 交CA 于E , 直线CP 交AB 于F . 求证: BT DC =的充分必要条件是BF CE =. (必要性: 第19届墨西哥数学奥林匹克, 2005)证明: 如图所示, 设M 为BC 的中点, 作中心对称变换()C M , 则C B →.设'A A →, 则四边形'ABA C 是平行四边形. 再设直线'A B 与CF 交于Q , 则有''A C BF A Q BQ =, CP CE PQ BQ=. 于是, '''//.BT DC T D A D CAB AD AT =⇔→⇔∠⇔为的平分线而//PD AT , 故'=',,''='A C CP BT DC A D P A P CA B A Q PQ ⇔⇔∠⇔三点共线为的平分线又''A C BF A Q BQ =, CP CE PQ BQ =, 所以===BF CE BT DC BF CE BQ BQ⇔⇔. 练3.4 设ABC ∆是一个正三角形. P 是其内部满足条件=120BPC ∠ 的一个动点. 延长CP 交AB 于M , 延长BP 交AC 于N .求AMN ∆的外心的轨迹.(第17届拉丁美洲数学奥林匹克, 2002)证明: 如图所示, 设AMN ∆的外心为O ,ABC ∆的中心为Q , 分别过点,B C 作BC 的垂线交AQ 的垂直平分线于,E F , 易知, 当P B →时, O E →; 当P C →时, O F →.下面证明: 当P 在ABC ∆内变动时, 点O 的轨迹是线段EF (不包括端点). 事实上, 设点P 满足条件, 作旋转变换(,120)R Q , 则,,A B B C C A →→→. 因=120BPC ∠ , 所以N M →. 注意=60BAC ∠ , 因此,P Q 都在AMN ∆的外接圆上, 所以AMN ∆的外心O 在AQ 的垂直平分线EF 上.反之, 设AMN ∆的外心O 在线段EF 上, 以O 为圆心、OA 为半径作圆分别交,AB AC 于,M N . 由于AQ 平分BAC ∠, 所以=QN QM . 从而在旋转变换。

历年中国参加国际数学奥林匹克竞赛选手详细去向第26届IMO

历年中国参加国际数学奥林匹克竞赛选手详细去向第26届IMO（1985年，芬兰赫尔辛基）吴思皓（男）上海向明中学确规定铜牌上海交通大学王锋（男）北京大学（根据yongcheng先生提供的信息修订）目前作企业软件第27届IMO（1986年，波兰华沙）李平立（男）天津南开中学金牌北京大学方为民（男）河南实验中学金牌北京大学张浩（男）上海大同中学金牌复旦大学荆秦（女）陕西西安八十五中银牌北京大学，现在美国哈佛大学任教林强（男）湖北黄冈中学铜牌中国科技大学第28届IMO（1987年，古巴哈瓦那）刘雄（男）湖南湘阴中学金牌南开大学滕峻（女）北京大学附中金牌北京大学林强（男）湖北黄冈中学银牌中国科技大学潘于刚（男）上海向明中学银牌北京大学何建勋（男）广东华南师范大学附中铜牌中国科技大学高峡（男）北京大学附中铜牌北京大学，现在北大任教第29届IMO（1988年，澳大利亚堪培拉）团体总分第二陈晞（男）上海复旦大学附中金牌复旦大学，美国密苏里大学，美国哈佛大学，现在加拿大Alberta大学数学系任教授韦国恒（男）湖北武汉武钢三中银牌北京大学查宇涵（男）南京十中银牌北京大学，在中科院数学所任副研究员邹钢（男）江苏镇江中学银牌北京大学王健梅（女）天津南开中学银牌北京大学何宏宇（男）以满分成绩获第29届国际数学奥林匹金牌，1993年破格列入美国数学家协会会员，1994年获博士学位，现任亚特兰大乔治大学教授、博士生导师，从事现代数学研究前沿的《李群》《微分几何》等方向的研究，在《李群》的研究上已有重大突破。

第30届IMO（1989年，原德意志联邦共和国布伦瑞克）团体总分第一罗华章（男）重庆水川中学金牌北京大学俞扬（男）吉林东北师范大学附中金牌吉林大学霍晓明（男）江西景德镇景光中学金牌中国科技大学唐若曦（男）四川成都九中银牌中国科技大学颜华菲（女）北京中国人民大学附中银牌北京大学本科，1997年获美国麻省理工博士，现任Texax A&M Uneversity 数学系教授，美国数学会常务理事会成员，Mathematical Reviews评论员。

1959年至历届imo试题

第一届（1959年）罗马尼亚布拉索夫（Bra şov ，Romania ）1. 求证314421++n n 对每个自然数 n 都是最简分数。

（波兰）2. 设A x x x x =--+-+1212，试在以下3种情况下分别求出x 的实数解： a)2=A ；b)A =1；c)A =2。

（罗马尼亚）3. a 、b 、c 都是实数，已知关于 cos x 的二次方程0cos cos 2=++c x b x a试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当a =4,b =2,c =-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。

（匈牙利）4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c ，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

（匈牙利）5. 在线段AB 上任意选取一点M ，在AB 的同一侧分别以 AM 、MB 为底作正方形AMCD 、 MBEF ，这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P 、Q ，设这两个外接圆又交于 M 、N 。

a) 求证：AF 、BC 相交于N 点；b) 求证：不论点M 如何选取，直线MN 都通过定点S ；c) 当M 在A 与B 之间变动时，求线段PQ 的中点的轨迹。

（罗马尼亚）6. 两个平面P 、Q 的公共边为 p ，A 为P 上给定一点，C 为Q 上给定一点，并且这两点都不在直线p 上。

试作一等腰梯形ABCD （AB 平行于CD ），使得它有一个内切圆，并且顶点B 、D 分别落在平面P 和Q 上。

（捷克斯洛伐克）第二届（1960年）罗马尼亚锡纳亚（Sinaia ，Romania ）1. 找出所有具有下列性质的三位数N ：N 能被11整除且商等于N 的各位数字的平方和。

（保加利亚）2. 寻找使下式成立的实数x ：（匈牙利）()92211422+<+-x xx3. 直角三角形ABC 的斜边BC 的长为a ，将它分成n 等份（n 为奇数），令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A 到BC 边的高长为h ，求证：（罗马尼亚）()an nh14tan 2-=α 4. 已知从A 、B 两点引出的高线长h a 、h b 以及从 A 引出的中线长m a ，求作三角形ABC 。

第31届中国数学奥林匹克获奖名单

第31届中国数学奥林匹克获奖名单一等奖(112人)名次省、市、自治区姓名性别学校1 上海张盛桐男上海市上海中学2 吉林于翔宇男吉大附中3 安徽孟培坤男马鞍山二中3 广东黄峄凡男广东广雅中学3 湖北王逸轩男武钢三中6 河北杨远男石家庄二中6 江苏韩啸男南师附中6 上海于奕清男华东师范大学第二附属中学6 上海鲁一逍男上海市上海中学10 湖北段明阳男华中师大一附中11 北京赵浩宇男人大附中12 广西唐珑珂男南宁市第二中学12 北京贾泽宇男人大附中14 北京孙谦男人大附中14 湖北傅颢硕男华中师大一附中16 北京林一衡男人大附中16 重庆郑洋男重庆巴蜀中学16 河北高瑞奇男石家庄二中16 河南熊泽都男河南省实验中学16 湖南江朗男长沙市雅礼中学16 上海黄小雨男上海市上海中学16 四川卢维潇男成都七中16 浙江李永亮男乐成寄宿中学24 河南朱宇轩男郑州外国语学校24 湖北严子恒男武钢三中24 浙江吴雨航男宁波市镇海中学27 辽宁梁宇辰男东北育才学校27 四川方一杰男成都七中嘉祥外国语学校29 北京尚正元男人大附中29 广东吴天昊男深圳中学29 湖北王云崧男黄冈中学29 湖北郑云汉男襄阳市四中29 辽宁孟响男大连第二十四中29 陕西武江铮男西工大附中29 天津赵川喆男天津一中36 河北解说女衡水中学36 湖北叶胥达男黄冈中学36 湖北张嘉琦女华中师大一附中36 湖北冯多多男华中师大一附中36 辽宁王瑞男大连育明高中36 四川叶添男成都七中嘉祥外国语学校36 浙江滕丁维男乐成寄宿中学43 重庆罗子茗男重庆南开中学43 福建吴林桐男厦门双十中学43 广东曾琳女华南师范大学附属中学43 广东唐山茖男华南师范大学附属中学43 贵州卜辰璟男贵阳一中43 湖南宋政钦男湖南师大附属中学43 湖南左都云男湖南师大附属中学43 吉林张博渊男东北师大附中43 江苏丁力煌男南京外国语学校43 辽宁邓佳蕊女东北育才学校43 辽宁孔繁浩男东北育才学校43 辽宁苏海舰男辽宁省实验中学43 山东贝泰睿男泰安一中43 上海梅灵捷男复旦大学附属中学43 上海高皓天男上海市上海中学43 上海蒋诗琪女上海市上海中学43 浙江张劲松男宁波市镇海中学43 浙江俞志远男宁波市镇海中学61 北京欧阳铭晖男人大附中61 广东何天成男华南师范大学附属中学61 河北张祺男衡水中学61 湖南邱添男长沙市雅礼中学61 吉林曲梓安男吉大附中61 吉林孙伟舰男东北师大附中61 上海庄子杰男上海市上海中学61 上海顾思远男上海市上海中学61 浙江贝思捷女宁波市镇海中学61 浙江骆思腾男温州中学71 广东郑含之女深圳中学71 浙江周俊英男浙江省诸暨中学71 浙江蔡天乐男杭州二中74 海南郭义销男海南中学74 湖南周文杰男湖南师大附属中学74 湖南刘其灵男湖南师大附属中学74 江苏李煦恒男江苏省扬州中学74 山东刘坤女山东临沂第一中学74 上海李欣哲男华东师范大学第二附属中学74 上海范峻昊男上海市上海中学74 新疆李通宇男乌鲁木齐市第一中学82 安徽潘文初男合肥一中82 北京邱厚德男人大附中82 湖南王文瑞男长沙市雅礼中学82 四川陈绪高男成都七中82 浙江林可男温州中学87 广东胡颀轩男深圳中学87 海南林道哲男海南中学87 黑龙江秦家琰男哈三中87 黑龙江姜岩男哈师大附中87 吉林李政铎男东北师大附中87 吉林郭鹏男东北师大附中87 江苏纪一博男南师附中87 江西曾奕男临川二中87 辽宁梁子昂男大连第二十四中87 四川彭淏男成都七中87 天津尹嘉晖男天津市耀华中学87 浙江徐士奥男乐成寄宿中学87 浙江朱峰谷男乐成寄宿中学87 浙江黄贤凯男乐成寄宿中学101 安徽张淞源男合肥一中101 安徽张文昌男合肥一中101 福建林挺男福建师范大学附属中学101 广东王迩东男华南师范大学附属中学101 河北杨帅杰男石家庄二中101 河北张苏男衡水中学101 湖南吴茁男长沙市雅礼中学101 湖南刘恺睿男长沙市雅礼中学101 江西黄国正男鹰潭市第一中学101 四川罗月桐男成都七中101 天津袁弘睿男天津市耀华中学101 浙江蔡湘泽男乐成寄宿中学二等奖(124人)113 安徽胡杨男合肥一中113 北京刘睿男北师大实验中学113 广东张心捷男华南师范大学附属中学113 河南古家旗男郑州市第一中学113 湖北刘鹏飞男武汉二中113 湖南谭华为男长沙市长郡中学113 湖南刘宇峰男长沙市雅礼中学113 吉林王皞琪男东北师范大学附属中学113 辽宁李笑东男大连第二十四中113 陕西陈嘉昊男西安高新第一中学113 陕西陈煜女西安交大附中113 浙江何陶然男杭州二中125 北京李冬煜男十一学校125 北京黄巍男北师大实验中学125 广东沈城烽男华南师范大学附属中学125 广西叶展宏男柳州高级中学125 湖南仝方舟男长沙市长郡中学125 湖南陈裕丰男长沙市长郡中学125 江苏侯霁开男江苏省天一中学125 山东倪中一男青岛二中125 浙江洪俊伟男温州育英国际实验学校134 安徽方晗兵男安徽池州市东至二中134 北京彭俊尧男人大附中134 北京薛彦钊男人大附中134 河北刘天乐男石家庄二中134 黑龙江迟舒乘男哈三中134 湖北叶文昊男华中师大一附中134 湖北崔锦成男华中师大一附中134 湖南李文斌男长沙市长郡中学134 江西章宇哲男吉安一中134 山东常静楠女聊城一中134 山西钱晨亮男山西大学附属中学134 陕西刘溪恒男西安高新第一中学134 陕西侯明荣女西安高新第一中学134 上海崔琦文男华东师范大学第二附属中学134 四川刘俊松男四川省绵阳中学134 天津崔圣宇男天津市南开中学150 甘肃胡明源男西北师大附中150 河北霍明佳女衡水中学150 湖南李师铨男长沙市雅礼中学150 吉林于子越男吉大附中150 江苏朱煜晨男南京外国语学校150 江苏严淳译男江苏省启东中学150 江西陈峻松男吉安一中150 山东赵俊焱男胜利一中150 上海赵轶凡男华东师范大学第二附属中学150 上海乐兆颖女华东师范大学第二附属中学150 上海贡安琦女上海市上海中学150 云南陈致远男云南师大附中150 浙江朱民哲男宁波市镇海蛟川书院163 安徽王恒屹男安庆一中163 北京王啸辰男清华附中163 福建叶子逸男厦门双十中学163 广东童家宝男中山纪念中学163 广东程佳文男深圳中学163 湖南肖新宇男长沙市雅礼中学163 江西余扬昊男江西师大附中163 上海朱昦曈女上海市市北初级中学163 新疆张泽安男乌鲁木齐市第一中学163 浙江金理泽男杭州学军中学173 北京王雪莹女人大附中173 重庆王杰文男重庆南开中学173 重庆瞿国一男重庆育才中学173 福建李昱男泉州第五中学173 福建王明璋男晋江市养正中学173 河北杨宇轩男邯郸一中173 河南李元泽男郑州市第一中学173 湖北范威男武汉二中173 吉林卢旭洋男吉大附中173 吉林初炜康男吉大附中173 江苏高轶寒女南京外国语学校173 江苏杨志强男江苏省姜堰中学173 江西卢健男鹰潭市第一中学173 山东李兆林男山东章丘四中173 上海冷涛男华东师范大学第二附属中学173 四川刘鹏达男成都外国语学校173 浙江肖逸南男杭州二中190 北京许鹤凡男北京四中190 福建王靖涛男厦门第一中学190 甘肃宋德英女西北师大附中190 河北李高瞻男石家庄二中190 河北李冀维男石家庄二中190 黑龙江黄桢男哈三中190 湖北宋英剑男襄阳市四中190 四川钟梓源男成都七中198 北京孙榕泽男人大附中198 北京彭宇辰男北师大实验中学198 重庆冯欣宇男重庆巴蜀中学198 福建林虹灏男福州第一中学198 广东卢瑞彬男华南师范大学附属中学198 河南冯润康男郑州外国语学校198 江西祝奇文男余江县第一中学198 辽宁刘松昆男大连育明高中198 辽宁任一诺男大连第二十四中198 山东胡家琦男山东省莱芜市第一中学198 四川向雍立男成都七中198 天津李杰宇男天津南开中学198 浙江罗昊男宁波市镇海中学211 福建陈宇凡男厦门双十中学211 福建张雨荷女厦门双十中学211 广东李振男深圳外国语学校211 广西莫家熙男南宁市第三中学211 河南夏燚男郑州市第一中学211 河南黄珮伦男郑州市第一中学211 湖北曾御柏男武汉二中211 湖北赵乐祺女武钢三中211 湖南易晓冬男长沙市第一中学211 吉林张湛唯男东北师大附中211 江苏吴昊男江苏省常州高级中学211 江苏李正辉男江苏省平潮高级中学211 山西屈开儒女运城市康杰中学211 陕西宋彦轲男西工大附中211 陕西淮泽宇女西安交大附中211 四川李为远女成都七中211 天津穆禧龙男天津市南开中学211 云南高敏博男云南师大附中211 浙江苑之宇男杭州二中230 北京周展平男人大附中230 河南夏萌霏男郑州外国语学校230 湖北孙上雯女武钢三中230 江苏徐蔡博男江苏省启东中学230 上海朱峰男上海市上海中学230 四川冯一倡男成都七中230 四川陈奕宏男四川省南充高中三等奖(109人)237 广东齐文轩男深圳中学237 贵州王崇宇男遵义市第一高级中学237 河南李子健男安阳市第一中学237 湖北郑建昊男黄冈中学237 江西杨铖男吉安一中237 辽宁毕梦达男辽宁省实验中学237 山西张天远男运城市康杰中学237 陕西陈百良男西安铁一中237 上海沈梓暘男复旦大学附属中学237 四川邓心砚男成都七中247 安徽于越韬男安徽淮北一中247 河北倪行健男石家庄二中247 江西蒋瑞辰男九江一中247 江西彭帆男吉安一中247 辽宁梁玮达男大连第二十四中247 上海徐可涵女上海市上海中学247 四川宣涵潇男成都七中247 天津李宇轩男天津市耀华中学247 天津晏妮女天津市耀华中学247 天津王一然男天津市实验中学247 云南徐恺男云南师大附中258 广东叶浩宇女深圳中学258 河南梁嘉豪男郑州外国语学校258 河南陈徐行男郑州市第一中学258 湖北白宇川男华中师大一附中258 湖南段剑儒男长沙市雅礼中学258 吉林曲江明男东北师大附中258 吉林陈阳男吉大附中258 内蒙古高乾男呼和浩特市第二中学258 宁夏寇金润男银川一中258 宁夏王卓凡男银川一中258 陕西唐家璇男西安高新第一中学258 上海吴嘉诚男复旦大学附属中学258 上海韩笑男上海市市北初级中学273 北京董玥女清华附中273 福建赖嘉琪女泉州第五中学273 甘肃贺智桐男甘肃省兰州第一中学273 广东刘盼女华南师范大学附属中学273 黑龙江李无为男大庆一中273 湖北涂博威男华中师大一附中273 湖南罗文林男湖南师大附属中学273 辽宁李沛桐男东北育才学校273 宁夏张兴昊男银川二中273 四川杨鸿铭男成都七中273 四川李奇颗男四川省南充高中273 北京夏晨曦男北师大二附中273 重庆龙利男重庆巴蜀中学273 重庆覃移杭男重庆巴蜀中学273 广西奉明璇男柳州高级中学273 黑龙江王浩程男哈三中273 黑龙江韩昊辰男哈师大附中273 黑龙江史宇辰男哈师大附中273 黑龙江毛宇鹏男大庆一中273 吉林张天昊男吉大附中273 吉林于卓男东北师范大学附属中学273 吉林于钟博男吉大附中273 江西彭奕涛男南昌二中273 江西彭逸凡男江西省景德镇一中273 山东张浩哲男山东省实验中学273 山西潘杰男太原五中273 陕西侯谷庾男西安高新第一中学273 陕西吉宇轩男西安高新第一中学273 陕西王一涵男西工大附中273 四川马润杰男四川省绵阳中学273 四川周洋男四川省绵阳中学273 天津李峪林男天津市耀华中学273 天津于蕴晨女天津一中273 西藏王一琪女西藏民大附中273 新疆石宜民男乌鲁木齐市第七十中学273 云南李筱航男云南师大附中309 安徽王海涵男安徽淮北一中309 北京卢丹葳女北师大实验中学309 重庆宋金峰男重庆巴蜀中学309 重庆廖铁犁男重庆南开中学309 重庆席子涵男重庆南开中学309 重庆曾俊齐男重庆南开中学309 重庆孙鸿蕊女重庆南开中学309 重庆邓嵎木男西南大学附属中学309 重庆马辛宇男重庆一中309 甘肃付泽邦男西北师大附中309 甘肃王镜权男甘肃省兰州第一中学309 广东邓海航男深圳市高级中学309 贵州刘赞辉男贵阳一中309 贵州武洪锐男贵阳一中309 海南陈太毅男海南中学309 海南冯思钦男海南中学309 河北张俊豪男衡水中学309 黑龙江滕飞男大庆外国语学校309 江苏马行宇男江苏省淮阴中学309 内蒙古吴涛男鄂尔多斯市一中309 内蒙古于心蕊女赤峰四中309 内蒙古丁力男赤峰二中309 宁夏石文江男固原一中309 青海吴俊辰男青海湟川中学309 青海王悦翔男青海湟川中学309 青海桑宇晨男青海油田一中309 青海肖睿轩男青海湟川中学309 山东韩增瑞男山东省泰安第一中学309 山西贾泽军男山西大学附属中学309 山西高凯龙男长治二中309 陕西王乙成男西安交大附中309 上海周毅皓男华东师范大学第二附属中学309 西藏李瑜女林芝市第一中学309 西藏魏林巍男林芝市第一中学309 西藏王雪蕾女林芝市第一中学309 新疆蔡敬斌男乌鲁木齐市第一中学309 新疆李佳玉女乌鲁木齐市第一中学。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

周 ω′B 、ω′C 交点的直线平分 △ABC 的周界.
10. 5. 在 8 ×8 的国际象棋棋盘上放 16
枚棋子车. 试问 :它们之中至少有多少“对”棋
子可以相互搏杀 (同在一行或同在一列里且
它们之间没有其他棋子的一对车可以相互搏
杀) ?
10. 6. 同 9. 7.
10. 7. 已知正整数 x 、y 满足 2 x2 - 1 =
>
S. 证
明:
a1
1 +
a2
+
a2
1 +
a3
+
a3
1 +
a1
> 1.
9. 4. 在桌上放着 365 张卡片 ,在它们的
背面分别写着互不相同的数. 瓦夏每付 1 卢
布 ,可以任选 3 张卡片 ,要求贝佳将它们自左
至右按照背面所写的数的递增顺序排列. 试
问 ,瓦夏能否付出 2 000 卢布就一定能够达
到如下目的 :将所有 365 张卡片全部自左至
×22 方格表的各个方格中 (每格写有一个整
数) . 试问 :阿列克能否选择 2 个具有公共边
或公共顶点的方格 ,使得写在它们之中的数
的和是 4 的倍数 ?
9. 3. 设 a1 > 1 , a2 > 1 , a3 > 1 , a1 + a2 +
a3
=
S . 已知对
i
=
1
,2
,3
,都有
ai
a2i -
1
证明 : p ≥q + 2. 11. 5. 是否存在有界函数 f : R →R ,使得
f (1) > 0 ,且对一切的 x 、y ∈R ,都有 f 2 ( x + y) ≥f 2 ( x) + 2 f ( xy) + f 2 ( y)
成立 ? 11. 6. 试问 : 能否在空间中放置 12 个长
2005 年第 8 期
27
第 31 届俄罗斯数学奥林匹克
第 31 届俄罗斯数学奥林匹克于 2005 年 4 月 24 —29 日在俄罗斯下诺夫哥罗德市举行. 与以往各届一样 ,
竞赛分年级进行 ,举行两天考试 ,每天 5 个小时考 4 道题. 我国派出了由湖北省 6 名中学生组成的代表队参加
了此次竞赛 ,他们分别来自武钢三中、黄冈中学和华中师大一附中 ,其中 4 名高二学生参加了十年级的竞赛 ,2
y15 . 证明 :如果 x > 1 ,则 x 能被 5 整除.
10. 8. 无限大的白色方格纸上有有限个
方格被染为黑色 ,每个黑色方格都有偶数个
(0 ,2 或 4 个) 白色方格与它有公共边. 证明 :
可以将剩下的每个白色方格染成红色或绿
色 ,使得每个黑色方格的邻格中红色方格和
名高一学生参加了九年级的竞赛. 我国参赛的 6 名队员均获得奖牌 ,来自华中师大一附中的柳智宇同学在十
年级竞赛中成绩名列第一.
九年级
{20 ,21 ,22 , …,22 005 } 分为两个不交的非空子集 A 、B , 使得方程
9. 1. 给定平行四边形 ABCD ( AB < BC) , x2 - S (A) x + S ( B) = 0 有整数根 ? 其中 S ( M)
在它的边 BC 与 CD 上任取两点 P、Q ,使得表示数集 M 中所有元素的和.
CP = CQ. 证明 :对 P、Q 的一切不同取法 ,所
9. 7. 在锐角 △ABC 中作高 AA′、BB′. 令
得的 △A PQ 的外接圆都经过一个除了点 A
以外的公共点.
9. 2. 列莎将正整数 1 至 222 分别写在 22
绿色方格的个数都相等 (有公共边的方格称
为相邻) .
十一年级
11. 1. 设 a1 , a2 , …, a50 , b1 , b2 , …, b50 为互不相同的数 ,使得方程
| x - a1 | + | x - a2 | + …+ | x - a50 | = | x - b1 | + | x - b2 | + …+ | x - b50 | 有有限个根. 试问 :最多可能有多少个根 ? 11. 2. 同 10. 3. 11. 3. 设 △ABC 的三个旁切圆分别与边 BC 、CA 、AB 相切于点 A′、B′、C′. △A′B′C 、 △AB′C′、△A′BC′的外接圆分别与 △ABC 的外接圆再次相交于点 C1 、A1 、B1 . 证明 : △A1 B1 C1 与 △ABC 的内切圆在各自三条边上的切点所形成的三角形相似. 11. 4. 设正整数 x 、y 、z ( x > 2 , y > 1) 满足等式 xy + 1 = z2 . 以 p 表示 x 的不同的质约数的个数 ,以 q 表示 y 的不同的质约数的个数.
十年级
10
.
1
.
试
找
出
不
能
表
示
为
2 2
a c
-
2b 2d
的形式
的最小的正整数 ,其中 a 、b 、c 、d 都是正整
数.
10. 2. 在 2 ×n 方格表的每个方格中都写
有一个正数 ,使得每一列中的两个数的和都
等于 1. 证明 : 可以自每一列中删去一个数 ,
使得每一行中剩下的数的和不超过
n
+ 4
1
.
9. 5. 已知 10 个互不相同的非零数 ,它们
10. 3. 在 2 005 张卡片的背面分别写有
之中任意两个数的和或积是有理数. 证明 :每 2 005 个不同的实数 ,每一次提问可以指着其
个数的平方都是有理数.
中任意三张卡片询问写在它们之上的 3 个数
9. 6. 试问 :可有多少种方式将数集
所组成的数集. 试问 :最少可以通过多少次提
28
中等数学
问 ,就一定能了解清楚写在每张卡片背面的
都是什么数 ?
10. 4.
在
△AB C
中
,圆
ω B
、ωC
分别是与
边 AC 、AB 相切 ,且与其余两边延长线相切的
旁切圆. 圆 ω′B 、ωB 关于边 AC 的中点对称 ;圆
ω′C 、ωC 关于边 AB 的中点对称. 证明 :经过圆

右按照背面所写的数的递增顺序排列在桌面
上?
D 是 △ABC 外接圆的ACB 上的一点. 假设直线 AA′、BD 相交于点 P ,直线 BB′、AD 相交于点 Q ,证明 : 直线 A′B′通过线段 PQ 的中点.
9. 8. 围绕一个圆桌坐着来自 50 个国家的 100 名代表 ,每个国家 2 名代表. 证明 : 可以将他们分成两组 ,使得每一组都是由来自 50 个国家的 50 名代表组成 ,并且每一个人都至多与自己的一个邻座的人同组.