2020北师大版九年级数学上册 降次--解一元二次方程
【初中数学】22.2 降次-解一元二次方程(重难点)
降次-解一元二次方程（重难点、易错点）课前检测1、简述一元二次方程的常见解法，并分析和比较这几种解法的优缺点。
2、结合一元二次方程的几种解法分析一元二次方程无实数根、有两个相等的实数根和有两个不相等的实数根的情况。
3、通过配一元二次方程的一般式得到一元二次方程的求根公式。
重难点讲解1、配方法判断多项式的值。
例题1：用配方法证明：2x x-+-的值恒小于0.31216变式1：对于二次三项式21036-+,小明同学得到如下结论：无论x取何值，它的值都x x不可能是10.你是否同意他的说法？请说明理由。
2、一元二次方程的根例题2：已知方程20++=有一个根是(0)x bx a-≠，则下列代数式的值恒为常a a数的是（）C.a b+D.a b-A.a bB.ab例题3：关于x的一元二次方程20+=解的情况是___________________________；mx nx例题4：已知关于x的一元二次方程2-++-=,试证明不论m取何值，原9(7)30x m x m方程都有两个不相等的实数根。
3、根据一元二次方程根的情况判断三角形形状例题5：若,,a b c 是A B C 的三边，且关于x 的方程22(1)2(1)0a x cx b x --++=有两个相等的实数根，试判断A B C 的形状。
变式2：在R t A B C 中，090C ∠=，若,,a b c 是R t A B C 的三边，试证明关于x 的方程21()()04a c x bx c a +-+-=有两个相等的实数根。
变式3：若,,c a b 是A B C 的三条边的长，且,a b 是方程2-33+1=0x x 的两根，5c =试判断A B C 的形状。
4、根据方程的根求多项式的值例题6：（2010北京海淀第一学期期中）已知关于x 的一元二次方程21(31)04a x ax --+=有两个相等的实数根，求代数式2121a a a-++的值。
例题7：已知12,x x 是方程2310x x ++=的两实根，则312820x x ++=____________；5、根与系数关系例题8：已知关于x 的方程222(3)410x k x k k --+--=。
北师大版初中九年级上册数学课件 《用因式分解法解一元二次方程》一元二次方程PPT课件
x1
100 ， 49
x2 0
探究
10x 4.9x2 0
如果a·b=0，那么 a=0或b=0。
因式分解
x 10 4.9x 0
两个因式乘积为0，说明什么 降次，化为两个一次方程
x 0 或 10 4.9x 0
解两个一次方程，得出原方程的根
x1 0,
x2
100 49
2.04
这种解法是不是很简单？
（2）3x(x 2) 5(x 2)
（3）x2－4=0 （4）(3x＋1)2－5=0
（1）2x2－4x＋2=0 解：因式分解，得 2 (x－1) =0
x－1=0 或 2x－1=0
∴x1= x2=1
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（2） 3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得 3x(x 2) 5(x 2) 0
因式分解，得 (x 2) (3x 5) 0
x＋2=0 或 3x－5=0
∴x1=－2，
5
x2=
3
（3）x2－4=0
解：因式分解，得 (x＋2) (x－2) =0
x＋2=0 或 x－2=0
∴x1=－2， x2=2
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
x b
b2 2a
4ac
.b2
4ac
0
.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
初中数学北师大版九年级上册《2.4 用因式分解法求解一元二次方程》课件
当 Δ=b2 - 4 ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ=b2 - 4 ac＜ 0 时，方程没有实数根．
新知讲解
探究：一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果相等，
这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
（x +1+5）（x +1-5）=0．
x + 2 = 0，或 x - 2 = 0．
x +1+5 = 0，或 x +1-5 = 0．
∴ x1 = -2， x2 = 2
∴ x1 = -6， x2 = 4
注意：1.善于借用乘法公式进行因式分解.
2.整体思想
课堂练习
1．用因式分解法解方程，下列过程正确的是( A )
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16.
课堂总结
1、什么是因式分解法？
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因
式的乘积时，我们就可以利用因式分解的方法求解．这种解一元二
次方程的方法称为因式分解法．
2、因式分解法求解一元二次方程的一般步骤？
(1)整理方程，使其右边为0；
于分解成两个一次因式的乘积的
形式，再进行求解．
如果a·b＝0，那么a=0或b=0.
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
但他们的解法各不相同．
新知讲解
x2-3x=0,
即x(x-3)=0,
于是x=0，或x-3=0
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两
降次--解一元二次方程(初中数学九年级)
降次--解一元二次方程(初中数学九年级) 学情分析:在学习本节之前，学生对一元一次方程及一元一次方程的解的有关知识有一定的了解，并且九年级的学生有一定的数学思维基础，分析和概括能力相对于八年级学生有很大的提高，容易开发学生的主观能动性，适合有特殊到一般的探究方式教学内容分析:本节课主要学习运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标:1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
3、会利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况。
教学难点分析：重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．关键：理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．教学课时： 1课时教学过程：一、温故知新：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？（口答）2、用配方法解下列方程：（1）x 2-6x+5=0 （2）2x 2-7x+3=0（学生扳演，教师点评）二、自主学习：〈一〉自学课本Ｐ40---P 41思考下列问题：1、结合配方法的几个步骤，看看教材中是怎样推导出求根公式的？2、配方时，方程两边同时加是什么？3、教材中方程②()224422a acb a b x -=+能不能直接开平方求解吗？为什么？4、什么叫公式法解一元二次方程？求根公式是什么？交流与点拨：公式的推导过程既是重点又是难点，也可以由师生共同完成，在推导时，注意学生对细节的处理，教师要及时点拨；还要强调不要死记公式。
关键感受推导过程。
在处理问题3时，要结合前边学过的平方的意义，何时才能开方。
三、例题学习：例1（教材P 41例2）解下列方程：（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5x=-3 x（3）x 2-x 2= -21（4）4x 2-3x+2=0解：将方程化成一般形式 解：a=4, b= -3， c=2.x 2-x 2+21=0 b 2-4ac=（-3）2-4×4×2=9-32=-23＜0a=1, b= -2， c=21 因为在实数范围负数不能开平方，所以方b 2-4ac=(-2)2-4×1×21=0 程无实数根。
22.2.2降次--解一元二次方程公式法(一)
b b2 4ac x 2a 2a
x2
-b-
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
4ac b (2) b 4ac 0, 这时 0 4a b b 4ac ＝0 即 x
2
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根 b x1 x2 2a
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
b 而x取任何实数都不可能使 ( x ) 2a
因此方程无实数根
4ac b (3) b 4ac 0, 这时 0 4a
例2 用公式法解下列方程
（1） （2） （3 ） （4 ）
x - 4x - 7 0
2
2x - 2 2x 1 0
2
5x - 3x x 1
2
x 17 8x
2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值，
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为 互为相反数？
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
2
x2 4、写出方程的解： x1、
随堂 练习 用公式法解下列方程：
北师大版九年级数学上册用因式分解法求解一元二次方程课件
适用的方程类型 (x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
新课进行时
要点归纳 解法选择基本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时 （ax2+c=0），应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先 化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若 容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时， 用配方法也较简单.
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x-2)=0； (2) (y+2)(y-3)=0； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (4) x2=x.
(1) x1=0,x2=2； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) x1=-2,x2=2； (4) x1=0,x2=1.
新课进行时
典例精析
合适运用公式法 ① ⑦ ⑧
；
合适运用配方法 ④
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
x1
5 3
, x2
5.
5x + 1 = ±1. 解得, x 1= 0 , x2=
新课进行时
（3）x2 - 12x = 4 ;
（4）3x2 = 4x + 1；
分析：二次项的系数为1，可用配 方法来解题较快.
解：配方,得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 解得
北师大九年级上册2.2 配方法解一元二次方程 教学设计
2.2配方法解一元二次方程教学设计
观察下面的一元二次方程，试着解一解。
x2=5
2x2+3=5
x2+2x+1=5
(x+6)2+72=102
提问：观察上面的一元二次方程，它们都有什么特点？
等号一边是或者是可以化为完全平方式的形式，另一边是一个非负常数的形式.
对于这种类型的一元二次方程可以运用直接开平方法求解.
【小组讨论】怎样解方程x2+12x-15=0？
怎样将这个方程化成上述方程的形式？
将一次项12x改写成2·x·6，得x2+2·x·6=15由此可以看出，为使左边成为完全平方式，只需在方程两边都加上62
即：x2+2·x·5+62=15+62，
（x+6）2=51
两边开平方，得x+6=51
因此我们说方程x2+12x-15=0有两个根x1= 51-6, x2= -51-6
【小组讨论】上面是用什么方法解方程x2+12x-15=0？
这里，解一元二次方程的思路是将方程转化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另。
数学北师大版九年级上册2.2.1.用配方法求解一元二次方程(一).2.1降次--解一元二次方程配方法(一)
（X+a)2= b b 0
(x6)
2
51
开平方
化成两个一元 一次方程
x6 51
x 6 5 1 或 x 6-5 1
定解
x 5 16 , x 5 16 1 2
心动
不如行动
例1: 用配方法解方程
2
2
x+ 8 x 9 0
8 x 9 解: 移项得： x + 2 2 2 + 8 x 4 94 配方得： x 2 即( x + 4 ) 2 5
一次方程
开方 降次
左边：完全平方 右边：一个非负数 3、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 的步骤： 移项—配方—开方—求解—定解
1、将一元二次方程x2-2x-4=0 （x+a）2=b的形式为_______ 根为_________ 2、若x2+6x+m2 （ ）
A 3 B -3 C 3 D
，所以方程 的
4 x 2 x
问题： 1.上面等式的左边常数项和一次项系数有何关系？
常数项等于一次项系数一半的平方
做一做：根据完全平方公式填空
x2 x2 x2
2 6 +12 x+
=(x+6)2 2 )2 )2
-4 x+ 22 =(x +8 x+
42
=(x +
4
问题： 1.上面等式的左边常数项和一次项系数有何关系？ 2.对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式 ？
教材：北大师版 九年级上册
授课教师：新亨镇硕榕初级中学黄露妍
学习目标
• 1 会用配方法解二次项系数为1
《降次--解一元二次方程》
练习
解下列方程：
(1)(2a－3)2=(a－2)(3a－4)
(2)(4x－3)2=(x+3)2
小结
因式分解法的基本步骤：
（1）将方程变形，使方程的右边为零；
（2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A· B=0，则A=0或B=0，将解 一元二次方程转化为解两个一元一次方程.
小结
一元二次方程的解法：
解： (2) a=1，b=-4，c=4 b2-4ac=(-4)2- 4×1×4=0
( 4) 0 4 0 x 2 1 2
4 即x1 x 2 2 2
解： (3) a=4，b=-3，c=1 b2-4ac=(-3)2- 4×1×4= -7<0 因为在实数范围内负数没有平方 根，所以方程无实数根。
梳理
上述解法中，通过因式分解使一元 二次方程化为两个一次式的乘积等于0的 形式，再使这两个一次式分别等于0，从
而实现降次，求出方程的根，这种解法
叫做因式分解法。
1、 什么样的一元二次方程 可以用因式分解法来解？
2、用因式分解法解一元二方 程，必须要先化成一般形式吗？ 3、用因式分解法解一元二次方 程，其关键是什么？
1、配方法；
适用任何一 2、公式法； 元二次方程 3、因式分解法.
适用部分一 元二次方程
回顾与思考
☞
一元二次方程的概念
只含有 一个未知数x 的 整式方程 ，并且都可以化为 的形式 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 这样的方程叫做一元二次方程． 把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元 二次方程的一般形式，其中ax２ ， 项、一次项和常数项，a， 数．
练习
1.不计算，请你说出下列方程的根.
北师大版初中九年级上册数学课件-《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件精选全文
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
Hale Waihona Puke 知2－讲总结知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
知2－讲
原来的一元二次函 数转化成了两个一 元一次方程.
（来自教材）
例3解下列方程：
（1）x(x－2)＋x－2＝0；
（2）
5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0.
于是得
x－2＝0，或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1.
知2－讲
（2）移项、合并同类项，得 4x2－1＝0. 因式分解，得
例2解下列方程：
(1)5x2＝4x； (2)x(x－2)＝x－2.
解：(1)原方程可变形为
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0，或5x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝
4.
5 (2)原方程可变形为
x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0.
x－2＝0，或x－1＝0.
∴x1＝2，x2＝1.
将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程 3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2. 这种解法体现的数学思想是( ) A．转化思想B．函数思想 C．数形结合思想D．公理化思想
2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
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降次--解一元二次方程
配方法
◆随堂检测
1、将二次三项式x 2
-4x+1配方后得（ ）
A ．（x-2）2+3
B ．（x-2）2-3
C ．（x+2）2+3
D ．（x+2）2-3
2、已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）
A 、x 2-8x+42=31
B 、x 2-8x+42=1
C 、x 2+8x+42=1
D 、x 2-4x+4=-11 3、代数式2221
x x x ---的值为0，求x 的值． 4、解下列方程：（1）x 2+6x+5=0；（2）2x 2+6x-2=0；（3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0.
点拨：上面的方程都能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得
x=mx+n=p ≥0）.
◆典例分析
用配方法解方程22300x -=，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．
解：方程两边都除以2并移项，得2152
x x -=，
配方，得2211()15224x x -
+=+， 即21
61()24
x -=，
解得122
x -=±，
即12x x ==．
分析：配方法中的关键一步是等式两边同时加上一次项系数一半的平方。
本题中一次项系数是2
-，因
此，等式两边应同时加上2(或2才对 解：上面的过程不对，错在配方一步，改正如下：
配方，得22115248
x x -+=+，
即2121(8
x =，
解得44
x -=±，
即122x x ==-
． ◆课下作业
●拓展提高
1、配方法解方程2x 2-43
x-2=0应把它先变形为（ ） A 、（x-13）2=89 B 、（x-23）2=0 C 、（x-13）2=89 D 、（x-13）2=109
2、用配方法解方程x 2-23
x+1=0正确的解法是（ ）
A 、（x-13）2=89，x=13±3
B 、（x-13）2=-89
，原方程无解
C 、（x-23）2=59，x 1=23，x 2
D 、（x-23
）2=1，x 1=53，x 2=-13 3、无论x 、y 取任何实数，多项式222416x y x y +--+的值总是_______数．
4、如果16（x-y ）2
+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________．
5、用配方法解下列方程：（1）x 2+4x+1=0；（2）2x 2-4x-1=0；
（3）9y 2-18y-4=0；（4）x 2
6、如果a 、b 2-12b+36=0，求ab 的值． ●体验中考
1、（2009年山西太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）
A ．()216x +=
B ．()216x -=
C ．()229x +=
D ．()229x -= 2、（2009年湖北仙桃）解方程：2420x x ++=．
3、（2008年，陕西）方程2
(2)9x -=的解是（ ）
A ．125,1x x ==-
B ．125,1x x =-=
C ．1211,7x x ==-
D ．1211,7x x =-=
4、（2008年，青岛）用配方法解一元二次方程：2220x x --=.
参考答案：
◆随堂检测
1、B.
2、B.
3、解:依题意,得222010
x x x ⎧--=⎪⎨-≠⎪⎩,解得2x =． 4、解：（1）移项，得x 2+6x=-5，
配方，得x 2+6x+32=-5+32，即（x+3）2=4，
由此可得：x+3=±2，∴x 1=-1，x 2=-5
（2）移项，得2x 2+6x=-2，
二次项系数化为1，得x 2+3x=-1，
配方x 2+3x+（32）2=-1+（32
）2，
即（x+32）2=54，由此可得x+32
=±2，
∴x 1=2-32，x 2=-2-32
（3）去括号整理，得x 2
+4x-1=0， 移项，得x 2+4x=1，
配方，得（x+2）2
=5，
由此可得x+2=，∴x 1，x 2◆课下作业
●拓展提高
1、D.
2、B.
3、正 ()222224161(2)11110x y x y x y +--+=-+-+≥>.
4、x-y=54 原方程可化为[]24()50x y -+=，∴x-y=54
.
5、解：（1）x 1，x 2；（2）x 1=1+
2x 2=1-2
（3）y 1+1，y 2；（4）x 1=x 2.
62(6)0b -=，∴34060
a b +=⎧⎨-=⎩， ∴43
a =-，6
b =，∴8ab =-. ●体验中考
1、 B.分析：本题考查配方，2250x x --=，22151x x -+=+，()2
16x -=，故选B ．
2、解：242x x +=-
∴122, 2.x x =
3、A ∵2(2)9x -=，∴23x -=±,∴125,1x x ==-.故选A.
4、解得1211x x ==。