微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考
“无穷小”从“冰冷美丽”到“火热的思考”
历 史 发展过 程 ， 让学 生 明 白数 学概 念 的产 生不是 凭
空想 象 的 ， 让学 生看 到 的不 只是教 科 书那 干 巴巴的 字眼， 而是 活 生生 的历 史． 以史 为镜 ， 让 学 生 明 白一
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３－ ０ ９—１ ７ 基金项 目： 福建省教育科学“ 十二五” 规划２ ０ １ ３年 度 课 题 （ 项 目编 号 Ｆ Ｊ Ｊ Ｋ Ｃ Ｇ ３—１ ５ ８ ）
作者 简介 ： 郑雪静 （ １ ９ ７ ８一 ） ， 女， 福建泉州人 ， 硕士 ， 泉州师范学院讲师 ， 主要从事数学教育研究
张奠 宙教 授 指 出 ， 一般 把数 学成果 分 为三 种不
同的形态 ： 第 一种 是 数 学 家 建 构数 学 思想 、 发现 数 学 定理 时 的原始 形 态 ； 第二种是公开发表的， 写 在 论 文里 、 教科 书 上 的学 术 形 态 ； 第 三 种 是 数 学 教 师
在 课 堂教学 中的教 育 形 态 ． 对 于数 学 教 师 ， 其 主 要
美丽． ” …
数 学教 学 的 目标 之一 ， 就是 要把 数学 知识 的学 术形
态转化 为教 育形 态 ． 本 文拟 就 高等 数 学 的重 要 概 念—— “ 无穷小 ” 为例 ， 探究 如何 将教 科 书 中那 “ 冰冷 美 丽 ” 背后“ 火 热 的思考 ” 揭示 出来 ， 让 学 生感 受 到 高等 数 学 的学 习不 是那 些冷 冰冰 的定 义 、 公式 、 定理 和计算 ， 而是 蕴含 着火 热 的思 考 ， 让 学 生 在 思考 中理 解 数 学 、 形 成 数学 素养 ， 以提 高 学生学 习 高等数 学 的兴趣 ．
化“冰冷的美丽”为“火热的思考”
化“冰冷的美丽”为“火热的思考”美国心理学家布鲁纳说：“探索是数学的生命线。
”的确，没有探索，就不会有新的发现。
现行教材中的探究活动为探究性学习提供了一个平台，我们在教学中要转变观念，强调师生交往，构建互动的师生关系；要为学生创造主动参与学习的条件和内容，精心创设探究性问题情境，激发学生的探索欲和创造欲。
一、借助探究，激发兴趣苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。
”我们不仅要激发学生心灵深处那种强烈的探索欲望，而且要让学生有更多参与探索的机会和成功的情感体验，从而激发学生学习数学的浓烈兴趣。
【例1】①一张纸的厚度为0.09mm，那么你的身高是纸的厚度的多少倍？②将这张纸连续对折6次，这时它的厚度是多少？③假设连续对折始终是可能的，那么对折多少次，所得的厚度可以超过你的身高？先猜一猜，然后计算出实际答案，你的猜想符合实际答案吗？对于①、②两小题学生不难解决问题，对第③小题学生会有五花八门的答案，而又对自己的答案不抱有足够的信心，此时学生的探索欲望就会被激发出来，每个学生都跃跃欲试。
然后教师引导学生从②小题受到启发，去寻求答案的计算方法，最后发现答案出乎意料。
通过此例让学生在生活经验数学化、数学知识实践化的过程中体验到数学就在我们生活中。
让学生在情境中学习，在探索中求知，去探究生活中有趣而富有挑战性的问题，是激发学生学习兴趣和求知欲的有效手段。
二、体验探究，提升知识探索性学习内容立足于教村，又高于教材，许多活动内容符合基础性、多样性、层次性、开放性原则，通过类比探究、归纳探究、实验探究、发散探究、演绎探究等多种形式，进行探求新知，进行知识的再发现、再创造。
【例2】解由两个一元一次不等式组成的不等式组，在取各个不等式的解的公共部分时，有几种不同的情况？若，你能说出下列四种情况下，不等式组的解吗？用数轴试一试（请与你的同伴交流）。
学生掌握了由具体数字组成的不等式组的解法后，借助数轴独立思考，通过小组讨论，在原有的知识经验基础上进行整理与总结，从而得到解不等式组一般的结论和方法，从而达到认识的深化与认知结构的完善，使学生的思维得到自然的升华，通过归纳探究，经历知识的形成性过程，培养思维的深刻性和灵活性。
冰冷的美丽与火热的思考
“冰冷的美丽”与“火热的思考”细细读来这本书，一边读一边思考，伴随着一个个【课前慎思】进入华老师的课堂，感受着华老师的数学文化的深厚底蕴，以及在课堂上能够与学生平等对话，将有困于学生的知识，在对话中，在创设情境的探索中，让学生通过自学、互学、质疑学，让学生经历“谁无暴风劲雨时”的过程，体会到“守得云开见月明”的成功喜悦。
带着目的读这本书，一边感受华老师的个人魅力，欣赏经典的案例，一边思考以怎样的角度来写读后感，在接近尾声时，突然想起王国维先生《人间词话》的三种境界，古今之成大事业、大学问者，必经过三种境界，我在想华老师所追求的课堂不就是经过这三种境界，才能算得上好课，才能称得上好老师，不想与华老师不谋而合。
教师要想设计出一节有思维含量，或者一节有创新的课，必须经过这长期的坚持和努力，就如修仙一样，经历重重阻难，不断地反思才能进步。
必定要经历三种境界：昨夜西风凋碧树。
独上高楼，望尽天涯路。
这是第一阶段，首先就是立志，下决心。
我想不管做什么事情首先就是要自己有执着的追求，登高望远，希望自己能够上一堂好课，有着明确的目标和方向，才会努力的执着的为之奋斗。
带着这份激情和斗志，去研究一节课，查看教材内容，了解课程标准的教学目标，准确把握本节课的教学重难点，做到心中有数，感觉此时什么都非常的明了，没有什么不清楚的，就好像登上了高山，把山下的风景尽收眼底，高楼大厦、川河车流都看的清清楚楚，明确了自己的教学流程以及学生会出现的问题。
但是，这个时候的课堂是中规中矩，没有新颖之处，如果达到这个境界，我们就满足现状，去上课，那么课堂将会出现“满堂灌”的情景，学生在这样的课堂只有耳朵，没有头脑，学习效果是极差的。
这也是咱们一线教师普遍存在的现象，多数会遇到的问题，困惑于：“知识点我讲了很多遍了，学生怎么回事啊，怎么跟我没讲一样！”我们问问自己，是不是在日常教学中有这样的疑惑，或者说同事间交流的时候也吐露了心声。
可是，问题真的就出现在学生身上吗？我想首先咱们教师先要自我反思，我们只是“讲”学生听没听倒很难说。
高中数学《微积分》公开课优秀教学设计
高中数学《微积分》公开课优秀教学设计
这门课程通过多样化和创新的教学方法，将微积分概念和基本原理的研究带给了学生。
以下是我认为是优秀的教学设计：
1.引入学生
老师可以运用互动的方式，让学生把微积分中已经学过的知识点列出来，并简述其作用。
通过这种方式，可以激发学生对知识点的记忆，并为研究新的概念铺垫。
2.提供实际问题
老师可以给学生提供一个实际的问题，例如汽车在前进过程中的速度变化，让学生求出汽车在某时刻的速度。
这样的问题将把微积分知识点与现实生活联系起来，并提高学生对微积分的兴趣。
3.示范问题解决
老师可以在黑板上或电子板书上详细演示问题的解决过程。
例如，通过对汽车运动过程图像的慢动作分析，解释其速度是如何变化的。
这将有助于学生更好地理解微积分的概念。
4.引导学生练
老师可以在课堂上提供大量的练，并指导学生如何解决这些问题。
通过反复练，学生将逐渐掌握微积分的基本概念和解题技巧。
5.结合模拟测试
老师可以安排一次模拟测试，评估学生对微积分的掌握程度。
这将有助于了解学生的优势和不足，并及时引导学生进行下一步的研究。
通过以上的教学设计，学生将更容易地理解微积分的概念和解题方法，提高学习效率，也同时提高学生对微积分学习的兴趣。
数学教学中建模能力的培养——化“冰冷的美丽”为“火热的思考”
开动脑筋 ， 趣的形成 是一个 复杂的心理过 程 ， 兴 但总体 上是在充 满情趣 、 富有 魅力 的教学活动 中逐渐培养
起来 的．
很多数学系 的学生对所学 的专业有 一定 的抵触 情绪 ， 到数学 枯燥无 味 ， 感 没有 学 习的动力 ， 很多 学生 给数学起 了个名称 ：冰冷 的美丽 ”作 为数学 教师 ， “ ． 面对这类 学生 ， 先应该 端正 学生对数 学 的态度． 学 首 让 生体会 到数学是一 门基础 的学科 ， 在学数 学的过程 中 ， 最重要 的不是要 记住各种 各样 的定 理 ， 而是要 培养
数学的特点不仅在于概念 的抽象性 、 辑 的严 密性 、 论 的明确性 和体 系的完 整性 ， 逻 结 而且 在于它 应用
的广泛性 ， 进入 ２ ０世纪 以来 ， 随着科学技术 的迅速 发展和计算机 的 日益普及 ， 们对各种 问题 的要求 越来 人 越精确 ， 使得数学的应用越来越广泛 和深入 ， 特别是在 即将进入 ２ 世纪 的知识经 济时代 ， 学科学 的地 位 １ 数 会发生巨大的变化 ， 它正在从 国或经济和科技 的后 备走 到 了前沿． 济发 展 的全 球化 、 经 计算 机的迅猛发展 ， 数理论 与方法的不断扩充使得数学 已经成 为 当代 高科 技 的一 个重要 组成部 分 和思想库 ， 数学 已经成为一 种 能够普遍 实施的技 术． 培养学生数学应用 的意识和能力 已经成 为数学教学 的一个重要方 面．
（ 中央 民族 大学 理 学 院 ， 京 １ ０ ８ ） 北 ０ ０ １
［ 摘
要］ 以 提高 学 生数 学 能力 为 目标 ， 强 数 学 教学 中对 学 生 建 模 能 力 的 培 养 ， 端 正学 生 学 习态 度 、 加 要 培
高中微积分教学方法总结
高中微积分教学方法总结微积分是高中数学教育中的重要组成部分，对于培养学生的数学思维和解决实际问题的能力具有重要作用。
本文将总结高中微积分教学方法，探讨如何有效地教授微积分知识，提高学生学习成绩和兴趣。
1. 建立数学基础知识在教授微积分之前，首先需要确保学生具备相关的数学基础知识，包括代数、几何和三角学等。
可以通过复习和巩固这些基础知识，为学生进一步学习微积分打下坚实的基础。
此外，还可以通过引入实际问题和例子，帮助学生理解微积分概念的应用。
2. 引入生动的教学案例微积分是一门抽象的学科，常常让学生感到晦涩难懂。
为了激发学生的学习兴趣，教师可以引入一些生动的教学案例，让学生从实际问题出发理解微积分的概念和原理。
例如，可以利用汽车行驶的例子引入导数的概念，通过计算速度和加速度的关系，帮助学生理解导数的物理意义。
3. 培养问题解决能力微积分的核心在于问题求解，因此在教学中要注重培养学生的问题解决能力。
可以通过提供一系列的问题，引导学生运用微积分知识去解决实际问题。
在解题过程中，教师可以引导学生思考解题思路和方法，激发他们的创造力和想象力。
4. 创设合适的学习环境为了提高学生的学习效果，教师应该创设一个积极、互动和开放的学习环境。
可以通过小组讨论、实验和研究项目等方式，培养学生的合作精神和探究能力。
同时，教师还应鼓励学生提问和质疑，促进他们对微积分知识的深入理解。
5. 运用多媒体技术辅助教学随着科技的发展，多媒体技术已经成为教学不可或缺的一部分。
教师可以使用投影仪、电子白板等多媒体设备，将微积分知识以图像、动画和视频的形式呈现给学生，提高他们的学习兴趣和理解能力。
此外，还可以利用互联网资源，为学生提供更多的学习资料和习题。
总结起来，高中微积分教学的关键在于激发学生的学习兴趣，培养他们的问题解决能力和创造力。
通过建立数学基础知识、引入生动的教学案例、创设合适的学习环境和运用多媒体技术等方法，可以提高学生的学习成绩和对微积分的认识。
变“冰冷的美丽”为“火热的思考”──小学数学教学内容呈现方式之管见
数学小学教学参考新课程教材图文并茂、生动有趣,贴近学生的生活,充满时代气息,无论是内容的选择还是呈现方式上,都很好地体现了“以学生发展为本”的理念。
它以现实生活为背景,力求形成“问题情境———探究新知———建立模型———解释应用与拓展”的基本教学模式,以儿童化、生活化的方式反映数学的思想方法。
尽管如此,然而教材还是数学知识与思想的浓缩本,呈现给学生的往往都是高度概括和抽象化的静态知识,而隐藏在知识背后的关于知识产生与形成时艰难的探索历程、丰富的思维过程、精彩动人的故事等数学文化和数学背景,很难一一列入教材。
著名数学教育家弗赖登塔尔曾经这样描述数学的表达形式:“没有一种数学的思想,以它被发现时的那个样子公开发表出来。
一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在一边,使得火热的发明变成冰冷的美丽。
”教学时如果照本宣科,就会不利于引发学生产生问题,不利于促进学生的思考和探究,不利于学生主动建构知识。
数学知识学术形态的表现形式枯燥、乏味,给人一种冰冷的感觉,但是数学的思考却是火热的、生动的、活泼的。
那么,怎样解决这一矛盾呢?张奠宙教授曾经提出:“数学教学的目标之一是要把数学知识的学术形态转化为教育形态,通过数学知识的教育形式散发出数学的巨大魅力,体现数学的价值,揭示数学的本质,感染学生、激励学生,让数学‘冰冷的美丽’焕发学生‘火热的思考’。
”一、变“静态预设”为“动态生成”教材总是静态、固化地呈现编者事先预设的教学思路,而在实际教学中,教师的组织教学、学生的生活经验和知识背景以及思维状况都是不确定的,真正的教学过程总是动态生成的。
因此,学生的学习实际常常不可避免地会与教材的编写预设发生矛盾。
比如教学“两位数加两位数(进位)”一课时,例题是34+16。
教材是让学生先用小棒摆一摆或用计数器拨一拨,再用竖式计算。
然而实际教学中,在学生自主探索算法时,往往提出的是口算或直接用竖式计算的方法。
妙趣横生,追求本质——从一堂课的片段赏析谈开去
>2020年9月（下旬）投稿邮箱:************.com数学教学通讯妙趣横生，追求本质———从一堂课的片段赏析谈开去李立军重庆市礼嘉中学校401122［摘要］数学来源于生活又高于生活,本节课的教学设计直指数学本质,营造了轻松、和谐的课堂氛围.同时又将生活情境与数学知识相融合,让学生们懂得用数学的眼光去观察世界,从数学的角度去思考、解决问题.多次的数学实验让学生们通过观察、类比、猜想、归纳等方式亲近数学,突出了学生的感受、体验及合乎逻辑的思考,让学生们因体验而兴趣盎然,达到了愿学、乐学、做中学、玩中学的教育境界,这就是一种无痕、自然教育.［关键词］体验;本质;兴趣作者简介:李立军(1972-),中学高级教师,重庆市两江新区高中数学兼职教研员,曾获得黑龙江省劳动模范,重庆市骨干教师,重庆市优秀班主任,省级优质课比赛一等奖,省级课件比赛一等奖.教学既是科学又是艺术,教无定法但必得法.对于这句话每位教师都有着自己的理解和实践,我们经常思考怎样将数学“冰冷的美丽化作火热的思考”,又在探寻如何将高中数学课上得神采飞扬、意犹未尽,对此众说纷纭、百家争鸣.前不久参加重庆市高中数学教学能力提升研修培训,培训期间大量地听课、评课,有些课堂也免不了让人乏味而昏昏欲睡.而国家赛课一等奖获得者、重庆市育才中学王景老师的一节“随机事件的概率”录像课则让人不觉一震,只觉得这堂课的设计妙趣横生、浑然天成,令学生能够在体验、参与、感受中探求数学实质,深入浅出,举重若轻.一节课下来,听课者感觉余音绕梁,令人回味.笔者针对这堂课的片段进行了赏析与评论,以期大家研讨之用.1：用寓言故事引课农夫嫌自己家的秧苗长得太慢,于是想到了一个办法,把每根禾苗都拔高一截,这样就可以提前丰收了.拔苗助长———不可能事件.(2)宋国有个农夫,他的田地里有一截树桩.一天,一只野兔撞在树桩上死了.农夫便认为只要守在树桩旁边,一定能再捡到兔子.守株待兔———随机事件.(3)愚公家门前有两座大山挡着路,他决心从自己开始挖山,自己死后有儿子,儿子死了还有孙子,子子孙孙无穷无尽地挖,一定可以把山挖平.愚公移山———必然事件.赏析:一堂课的引入至关重要,它是课堂情绪的奠基,起到调动学生积极性、引发学习兴趣的作用.三个成语学生都不陌生,在引入新课时,创设有趣味又有悬念的寓言故事情境成功激发了学生的好奇心、求知欲,这种类似于语文课的开题方式让人耳目一新.当揭示了“事件”这个主题之后,学生才恍然大悟,留下非常深刻的印象.本节课从学生所熟悉的事物入手,易于学生理解,可以很快激发学生的学习热情,尤其是三个实例与三种事件高度吻合,孔子曰“知之者不如好之者,好之者不如乐之者”,浓厚的兴趣是学生学习动机的体现.这种峰回路转的创意让人眼前一亮,让我们也不禁为教师的精巧设计而喝彩!2：扑克牌中的事件试分析:“从一堆扑克牌中任意抽一张,抽到的是红牌”,这是什么事件?必然事件不可能事件随机事件图1赏析:如果说寓言故事的引入偏向于感性认识的话,那么,扑克牌的引入就更偏向于理性认识,从另一个角度让学生再次体验.这个片段对学生刚刚领会的认知起到巩固的作用,由此完整地26投稿邮箱:************.com数学教学通讯建立了新的认知体系.它仍然从学生的生活实际入手,不同于前面寓言故事的跌宕起伏、耐人寻味,但它以更为舒缓的节奏将学生的兴奋点维持住,让学生在一种平静的心态中夯实了对于概念的理解.3：生活中对三种事件的举例思考:你能举出一些现实生活中的不可能事件、必然事件以及随机事件的实例吗?赏析:数学概念是构建数学大厦的基石,是丰富多彩的数学思想和方法的源头活水,它的延伸、迁移、转化和拓展形成了解决数学问题的起点.在学生对概念有了初步的认识之后,通过生活问题对概念进行辨析,发散了学生的思维.这是新课标中的用数学的眼光观察世界,用数学的角度分析世界,用数学的语言表达世界的具体体现.这也同样是一种问题情境的创设,为前面的概念引入、理解、辨析、定位画上了一个圆满的句号.4：小组合作，在随机数表中找“9”（如图2）赏析:教师的目的在于为接下来的频数、频率、概率做好铺垫,并非平铺直叙,而是将学生作为学习的主体,在数学课上亲自动手.这种数学实验让学生通过观察、归纳、类比、猜想等来理解数学,突出学生的感受、体验及合乎逻辑的思考,让学生因体验而兴趣盎然,达到了愿学、乐学、做中学、玩中学的目的,润物因自然而无声,这就是一种无痕教育.同时让学生懂得数学实验、数据处理对于数学研究的重要性,进而得到科学研究的方法.数学课堂的合作交流必不可少.一堂课是否高效主要的标准在于每个学生是否知识达标,如果一个教师在下课后可以自豪地说“这节课的基本知识或核心内容全班每个同学都掌握了”,这毫无疑问会是一节好课.但事实上做到此点何其难,课堂上的教师不可能对每位学生的疑问作出解答,因此,小组合作必不可少,充分发挥小组成员交流、互助、质疑、答疑、补充等种种优势,有利于以点带面,达到双赢的目的.5：计算机模拟掷硬币（如图3）赏析:在上一个片段学生已经开始找到感觉之后,教师运用多媒体先进技术再次将学生的注意力牵引,提升了学生的兴奋点,使得本节课的教学节奏一波三折,同时对学生的感官是一种震撼、一种冲击;更为重要的是,将上一次的有限实验中的“遗憾”进行了弥补.这次无限的实验将数据处理得更加直观,结论由先前的“犹豫”以极短的起跑线,迅速过渡到“坚定而自豪”这种猜想验证,学生由此形成了愉悦体验,这就是我们常说的,肯定、激励、评价比无数掌声的鼓励显得厚重;也因学生前面有着相同的经历而产生共鸣,并对今后的创造、创新产生了足够的憧憬与信心.最后引入几个著名科学家的抛掷实验的数据,让学生很自然地将自己的行为与科学家进行对比,得出数学科学的所有成绩并非凭空想象,并非只是来自一颗非凡的大脑,同样是来自于执着的追求和不懈的努力.数学史的渗透成功将学生带入了一次高质量的情感、态度、价值观教育,无声胜有声.6：运用所学知识解析现象根据频率和概率的相关知识,解释下列问题:(1)天气预报说下周星期一降水概率为90%,下周星期三降水概率为10%,于是有位同学说:“下周星期一肯定下雨,下周星期三肯定不下雨.”(2)小明的爸爸昨天一次买了10注体育彩票,结果中了一注一等奖,他高兴地说:“这种彩票中奖率高,中一等奖的概率是10%!”(3)理论证明双色球一等奖中奖概率为1/177221088,是指买177221088张彩票就一定能中一个一等奖吗?(4)一个病人去看病,医生告诉他这个病的治愈概率有9成,病人很高兴.医生接着说:之前已经有9个病人被我治好了.话还没说完,病人拔腿就跑.赏析:在教师完成了频率、概率的分析与理解之后,本以为会有一些关于概率的计算方面的题目,没想到教师的教学图2图3272020年9月（下旬）<>2020年9月（下旬）投稿邮箱:************.com数学教学通讯Ax+By+C=0,Bx -Ay+Ay 0-Bx 0=0.将Q ′(x 1,y 1)代入得到Ax 1+By 1+C=0,Bx 1-Ay 1+Ay 0-Bx 0=0(1),此时我们的目标为PQ ′=(x 0-x 1)2+(y 0-y 1)2√,从目标可以看出,Q ′(x 1,y 1)是不可解出的,就需要将x 0-x 1和y 0-y 1看成两个整体,故可以将(1)式改造为Ax 1-Ax 0+By 1-By 0=-Ax 0-By 0-C ,Bx 1-Ay 1+Ay 0-Bx 0=0(2),对(2)继续向目标改进A (x 1-x 0)+B (y 1-y 0)=-Ax 0-By 0-C ,B (x 1-x 0)+A (y 0-y 1)=0,将x 0-x 1和y 0-y 1看成两个未知数,解方程组可得x 1-x 0=AA 2+B 2×(-Ax 0-By 0-C ),y 1-y 0=BA(x 1-x 0),⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐代入目标形式,即得PQ ′=(x 0-x 1)2+(y 0-y 1)2√=Ax 0+By 0+C A 2+B2√.基于上述正弦定理的复习,几何问题还可以借助向量工具来解决.由此,教师可以引导学生对本问题进行更为深度的学习.设上述问题中的直线l 与垂线l′的交点为Q (x Q,y Q ),通过计算可以得到直线l 的法向量是n =(A ,B ),PQ 垂直于直线l ,所以PQ ∥n ,故n =n,所以PQ==A (x 0-x Q )+B (y 0-y Q )A 2+B2√.又因为点Q (x Q ,y Q )在直线l 上,即Ax Q +By Q +C=0,所以Ax 0+By 0+CA 2+B2√经过思维重组,适当优化后,整个证明过程中,并没有过于复杂的运算,这样的过程符合了重思维、轻计算的新课程改革方向.这样的过程更是学生深度学习的过程,是对知识的内涵与本质的又一次深度学习.这样的深度学习是高效的,在优化过程中,学生不仅仅学到了具体的结论性知识,更是学到了如何去设立目标、设而不求、构造整体思维,又如何去将定值问题进行动态处理,还培养了学生借助常规工具（向量等）求解几何问题的意识等等,这样的复习更具有对问题宏观思路的掌握,对问题本质与内涵的理解,学习的思维层次深,复习效果自然也就高效.当然点到直线公式的推导还有很多其他解法,以上是以优化运算与转变策略为例,谈谈教师如何引导学生进行深度学习,教师也可以根据具体教学需要,从其他角度进行引导深度学习.学生的深度学习,不仅仅关乎学生的成长,也提升教师的专业素养,是教学相长的一次机会.高三的复习不能仅仅停留在结论性知识的识记复习层面上,更应该注重对问题本质的深度复习,这样的复习才能帮助学生掌握更高层面的知识、方法、思想等,才能提升学生的核心素养,促进教师的专业素养,从而达到教学相长的目的.参考文献：[1]徐树旺.聚焦数学本质凸显定位选择———“正弦定理(第一课时)”的教学思考[J ].中学数学教学参考,2018(31).[2]胡云飞.基于深度学习的课堂教学思考[J ].中国数学教育,2017(24).(上接第5页)设计再一次峰回路转.“数学来源于生活又将应用于生活”在这个片段彰显无疑,这恰恰构成了本节课的“点睛之笔”.练习一来自于平常生活中的下雨,学生的辩证思维开始起飞;练习二来自于父子间的中奖对话,从生活中的平常小事给予了学生启迪,令人不禁莞尔一笑;练习三更进一步,从双色球这个热点问题入手,使学生的思维再次得以提升;练习四显得幽默生动,学生哄堂大笑.这些练习的选取,体现了教师的设计智慧,同时让学生发自肺腑地觉得数学有用,和日常生活有联系,更为重要的是,这几个练习直指数学本质,将生活知识提升为数学知识,让学生懂得从数学的角度去思考问题、解决问题,数学文化跃然纸上.7：课外探究探究1:做同时掷两枚硬币的试验,观察试验结果.(1)试验可能出现的结果有几种,分别把它们表示出来.(2)做100次这样的试验,每种结果出现的频数、频率各是多少?重复(2)的操作,你会发现什么?你能估计“两个正面朝上”的概率吗?探究2:电脑在今天已走进了千家万户,大大提高了人们的学习和工作效率.当你的指尖敲打着电脑键盘时,有时你是否想过,键盘上的字母为什么不按顺序排列?我们不妨一起来做一次统计,选取一篇英文文章,然后统计总的字母数,每个字母出现的频数与频率,你能发现什么?赏析:一个操作性很强的课外探究将数学学习从课上延伸到课外,同时为下节课的进一步学习提供了数据参考,充分体现了数学并不仅仅体现在课上,在社会生活中它同样具有很强的持续性和可发展性.课外探究的不仅仅是知识的延伸,它体现了数学的价值所在,生活中处处有数学,数学可以对我们的生活起到很好的指导意义,数学的存在成了我们很多想法和创意的理论支撑!著名美学家朱光潜先生有一句名言:“课堂教学是一种表演艺术.”这种表演艺术在王景老师这节课上有着充分的体现,让我们在身临其境,近距离体会到教师挥洒自如的魅力,感受到了学生一步步经历认识、理解、掌握的过程.都说教无定法但必得法,所谓的法就是来自以学生为主体的全方位考虑,于精细处做文章的设计.这样,以学定教才会显得游刃有余,才会让学生发自内心地领会数学好玩、数学好学、乐学数学.笔者思想,这也是我们每一位教师在教育事业中永恒追求的目标.28。
“冰冷”的美丽与“火热”的思考——例谈数学教学活动化
能 创 造 、善 创 造 。 ］
同 样 的 教 学 内 容 ， 笔 者 设 计 了 不 同 的 练 习 ， 施 教 后 有 着 不 同 的 思 考 与 收 获 。 改 革 课 堂 练 习 设 计 ， 是 小 学 数 学教 学改革 的重要 组成 部分 。 我 们只有在 关注个 体差异 、 突 出 个 性 发 展 的 前 提 下 ，设 计 多 元 、 开 放 、 动 态 的 发 展 性 练 习 ， 才 能 为 学 生 的 成 长 创 造 一 种 积 极 向 上 、 民 主 宽 松 的 氛 围 ， 才 能 促 进 每 一 个 个 体 生 命 全 面 、 健 康 、 持 续 地 发展 。◇
学 生 兴 趣 盎 然 ，教 室 里 热 闹极
确 定 位 置 的 知 识 。 ” ［ 思 著 名 心理 学 家皮 亚 杰 从 反
了 。 渐 地 ， 部 分 学 生 都 找 到 了 自 发 生认 识 论 的 角 度 曾 深 刻 揭 示 出 ： 渐 大
己 的座 位 ，可 是 有 三 个 学 生 却 拿 着 “ 童 的 思 维 是 从 动 作 开 始 的 ， 切 断 儿 手 里 的卡 片 在 发 பைடு நூலகம் ， 脸 涨得 通 红 。 动 作 与 思维 的 联 系 ， 思 维 就 不 能 发 小
看 似 平 常 ， 实 则充 分 体 现 了 编 题 者 的创 造 意识 ，加 深 了 学 生对质数和 合数 的理解 。
可 以 说 ， 学 生 本 身 就 是 数 学
表 达 方 式 是 形 式 化 的 ，但 在 课 堂 上 写 着 “ ３ 第 （ ） ” 他 知 道 应 该 第 组 个 ，
置》 学 片段 教
引入 新 知 时 ，我 设 计 了 一 个 找
数学教学故事演讲稿
将冰冷的美丽还原成火热的思考各位领导各位老师大家好：今天我演讲的题目是《将冰冷的美丽还原成火热的思考》。
“三尺讲台，一方净土。
”14 年前，我怀着对老师的崇拜，对教育事业的向往，投入了教师这个行业，走上向往已久的讲台。
“做一个好老师，加油！” 一个发自心底的声音时刻告诫我、激励我。
我挑灯夜战，书写教案；我挥起教鞭，板起面孔；我大声讲解，直至嘶哑⋯⋯最初的激情消退后，我发现，在我的课堂上，学生们整齐划一，他们的表情日趋简单，他们的表达规范而模式化。
我突然有了疑问：我的大包大揽是否是简单的复制？是否束缚了学生的思维？是否又扼杀了儿童的天性呢？一次偶然的机会，我看到这样一句话：“书本上的知识一旦成为范本，思考就变成了冰冷的美丽。
老师就是要将这种冰冷的美丽还原成火热的思考。
”一语惊醒了梦中人，我的课堂该怎样将冰冷的美丽变成学生火热的思考呢？我究竟该怎样做？矿区“校本革命”的春风吹散了我的迷茫，实验小学“五环七步教学法”的创建让我在实践中解惑。
去年六年级的学生在学习圆这一单元时，我考虑到这个年龄的孩子已经有了一定的知识基础，掌握新知识新技能的能力已经越来越强，，但是，他们也开始叛逆，他们不愿意上课回答问题，不愿意学课本上的知识，，不愿意按照老师和家长安排的去做，所以我做了一个大胆的尝试，把教学计划中安排的一个月的学习时间全部给了学生，我和学生们只用了一节课了解了圆这一单元的学习重难点，设计这次活动的框架问题，划分了小组。
接下来的活动大家都是在小组里进行的，各小组确定了本组研究的主要问题，进行了小组分工，找到了研究方法，安排了活动计划。
整整一个月的时间他们在自己选择的主题中，在自己安排的计划里快乐的忙碌着。
在孩子们主动的学习中，我看到了，听到了，他们火热的思考，他们通过查找资料找到了圆的历史，他们动手实践推导出了圆的周长和面积公式，他们发现了数学中转化的思想，他们通过测量，计算得出实验小学操场准确的周长和面积，并得出了确定起跑线的数据，他们知道了蒙古包、井盖、车轮为什么是圆形的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考张奠宙(华东师范大学数学系上海 201962) (本文是作者在 2005 年 11 月 7 日首届全国大学数学课程报告论坛大会报告) 数学成果通常具有三种不同的形态.第一，数学家构建数学思想、发现数学定理时的原始形态.其次是公开发表，写在论文里、教科书里的学术形态.最后，则是数学教师在课堂上向学生讲课的教育形态. 国际数学教育委员会前主席、数学家H弗赖登塔尔H.Freudenthal(1908-1990)有一句名言：没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来.一个问题被解决以后，相应地发展成一种形式化的技巧，结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽.(Freudenthal,Hans.1983.Didactical Phenomenology of Mathematical Structures.Dordrecht:Reidel.P.9) 事实上，教科书里陈述的数学，往往是冰冷的美丽.因此，数学教师的责任在于把数学的学术形态转化为教育形态，使学生既能高效率地进行火热的思考，又能比较容易接受，理解隐藏在冰冷美丽背后的数学本质. 一、微积分在中国的一个世纪 1859 年，李善兰和伟列亚力翻译《代微积拾级》，微积分学传入中国.这时离开微积分的创立已经近 200 年.但是，这毕竟是中国文化现代化的重要标志，甚至具有一定的国际意义.在 19 世纪 70 年代，日本的数学家能够读到的微积分著作，1 / 8依然只有李善兰的这一译本.日本使用的微积分名词，微分、积分，都从《代微积拾级》而来. 李善兰是一个值得纪念的数学家.他是中国传统数学的最后一人，又是现代中国数学发端的代表人物.在中国出版的微积分著作中，应该提到他的名字. 2005 年是废除科举的100 周年.当时的京师大学堂曾经开设微积分课程.用的就是《代微积拾级》，那是竖排本，不能使用拉丁字母和微积分通用符号，现在读来宛如天书. 彳者，天之微分也.禾者，积分也.禾彳天，言天微之积分也. 用今天的符号表示是dx. 这样的中学为体、西学为用，拒绝与国际接轨的做法，读者当然非常累. 100 年前，全国懂得微积分的不过百人. 在 1919 年的五四运动推动下， 1920 年代高等教育大发展.各地大学纷纷兴办数学系，微积分学成为理工科大学生的必修果.但是，那时的大学生数量很少，通常也只学初等微积分，高等微积分则依然十分神秘.英美留学归来一些数学教授，甚至还有人不能掌握 - 语言．真正的较大范围普及微积分，是新中国建立以后的事情.笔者于 1951 年进入大连工学院的应用数学系，一年级采用斯米尔诺夫编著的《数学教程》第一卷(当时还是讲义，尚未出版)，开宗明义便学习极限的定义.这在解放前是不会有的.任课老师徐润炎先生，在黑板上写的读法是一不是龙，印象深刻.在全面学习苏联政策的影响下，苏联数学学派严谨、抽象、形式化的数学风格，使得中国数学教学逐渐成熟.中国的微积分教学的特征，至今依然是形式化的处理占主导地位. 进入 21 世纪，中国高等教育大发展，微积分教学进入新时代.今天的中学，也普遍教授微---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 积分(上海除外).微积分飞入寻常百姓家，不再神秘，而改进微积分教学，也就成了当务之急. 那么，我们应该怎样进行微积分教学?这使我们想起阳春白雪和下里巴人的故事.宋玉的《对楚王问》说：客有歌於郢中者，其始曰［下里巴人］，国人属而和者数千人;其为［阳阿薤露］，国人属而和者数百人；其为［阳春白雪］，国中属而和者不过数十人；引商刻羽，杂以流征，国中属而和者不过数人而己.是其曲弥高，其和弥寡. 如果说，李善兰时代的微积分是引商刻羽，五四以后还是阳春白雪， 1950年代的微积分相当于阳阿薤露，那么今天的微积分已经是下里巴人了. 让更多的人知道和掌握微积分的思想方法，成为当代数学教育的重要任务. 二、透过形式主义的美丽，领略微积分的无穷魅力多少年来，我们都是宣扬微积分的形式美丽.- 语言的伟大，极限连续导数积分的不变演绎顺序，推理证明成为微积分教学的主旋律.形式主义的美丽，几乎掩盖了微积分本身的无穷魅力.尽管严密的形式主义表示十分重要，阳春白雪是永远不可缺少的.然而大多数人确实难以欣赏形式主义的美丽.今天，作为下里巴人的微积分，应该通过火热的思考充分展现微积分的魅力. 在微积分教学中，我们总是按照定义定理推论习题的逻辑顺序展开，学生只是被动地接受一个一个概念，却不知道为什么要这样做.优秀学生要到后来才恍然大悟，一般的学生只能囫囵吞枣，不知所云.最近看到一篇高等职业技术学院的微积分教学大纲，除了按极限、连续、导数、微分的逻辑顺序展开之外，3 / 8特别是要讲左右极限.是否有必要涉及这样的枝节问题?数学本原问题是处理数学教学的灵魂，让职业学校的学生会用微积分观点看问题才是最主要的.没有思想的数学等于废了武功(郑绍远).剑招可以生疏，剑法不能忘记(李大潜).萧树铁先生在一份《高等数学》教学改革报告中要求：讲推理，更要讲道理. 确实，微积分教学应该多讲道理，避免把充满人类智慧的微积分思想淹没在形式主义的海洋里.关肇直先生说过：- 推理曾被认为已经使微积分建立在严格的基础之上，其缺点在于丢失了牛顿、莱布尼兹那种微积分的生动的直观［1］.西南师大的陈重穆先生曾经呼吁淡化形式，注重实质［2］ .项武义先生则一再主张返朴归真，平易近人.姜伯驹先生说：在某种意义上说，会用微积分比会证明更重要.我想他们的意思都是一样的.微积分教学不能只让学生背诵一些求极限，求导数、求不定积分那样的符号运算，面对冰冷的微积分形式，使他们无法体会微积分思想的实质.尽可能恢复原始的火热思考，并以现代数学水平加以处理. 例如， 17 世纪的一些伟大的数学家，曾经使用无穷小方法得到了许多重要的科学结论.由于逻辑上存在缺陷，经过分析严密化运动，在形式主义数学哲学的影响下，无穷小成为一种错误，离开了微积分课本.其实，这个无穷小量，就是微分 dx.在积分学中，它是构造微元 f(x)dx 的基本的思考途径.然而，今天的微积分教学，已经把生动的原始形态当作陈旧的垃圾丢弃了.未免可---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 惜. 记得袁枚(清)在《随园诗话》里说过学如箭镞，才如弓弩，识以领之，方能中鹄.与知识、能力相比，数学思想，才是最重要的.我们不能把微积分淹没在形式主义的海洋里. 我国数学教学受形式主义数学观的影响比较大，是历史条件所决定的.前已提及， 1950 年代苏联数学学派对中国数学影响非常深刻.数学分析课程的严谨程度远超过英美的教材.微积分课程也没有初等微积分和高等微积分的层次，语言也是在 1950 年代得到普及.流行的数学学科的特性是抽象性、严谨性，以及因为抽象而获得的广泛应用性.崇尚严密，当然是进步.但是，事情还有另一面：数学思想往往是朴素的，创新在开始时多半是不严密的.储存在人们头脑里的理解，通常又是生动而粗略的. 长期以来，中国传统文化主张治学严谨，清代的考据学派和逻辑推理一脉相承.此外，数学哲理界不断地提到三次数学危机，关注数学基础的严密性.《自然辩证法》教材，反复强调 19 世纪以来的非欧几何、群论、四元数、分析严密化等理性思维的成就，对于影响人类进程的傅立叶方程、流体力学方程、马克斯韦尔电磁学方程的成果则较少提及.数学，似乎只能是公理化的、形式主义、演绎式的那付模样. 总之，数学是一种文明，数学不只是事实的推砌；数学不限于技巧的运用；数学解题不等于创造；数学整体不等于数学杂技.数学考试只是把人已经做过的题目重做一遍而已.数学思想、观念的突破性创新，是对数学文明的主要推动力. 2019 年在国际数学教育大会上，日本数5 / 8学会主席藤田宏教授认为，世界上出现过四个数学高峰，成为人类文明的火车头：●古希腊文明：欧氏《几何原本》为代表；●文艺复兴和 17 世纪的科学黄金时代；牛顿的微积分为代表；●19 世纪与 20 世纪上半叶科学文明：非欧几何、希尔伯特、黎曼几何与相对论为代表；●信息时代文明：信息论、控制论、冯诺依曼的计算机方案为代表. 数学在 20 世纪下半叶发生巨大变化，其情势和牛顿时代相同，数学大量渗入各个学科，大刀阔斧地解决各种各样的问题，尽管开始时不大严格. 试看 1948 年的数学地图.美国数学家仙农发表《通信的数学理论》，创立了信息论.维纳在这一年发表《控制论》，冯诺依曼创造了电子计算机的方案.这三件数学工作，影响了人类的进程.这些工作，都不是形式主义数学所能完成的. 由于各种原因，中国数学没有能够参与这一进程.我国的数学哲学深受形式主义的影响，以至数学观还停留在第三个时期.影响所及，数学教学，包括微积分教学，就会过分强调形式主义的演绎，而却忽视数学直观、数学思想、数学应用的培养. 形式主义数学哲学观在中国占据着统治地位，一个明显的例子是关于布尔巴基学派的认识.如果说希尔伯特的形式主义是一种关于数学基础的哲学流派，那么布尔巴基学派则将形式主义数学观深入到整个数学.它形成于 1930 年代，兴盛于 1960 年代.---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 他们认为只有用三种基本结构加以整理的《数学原本》，才是严谨的数学.但是，在信息技术革命的冲击下， 1970 年以后，年轻的数学家开始走出布尔巴基学派的光环，投身于更广泛的数学应用，产生了诸如分形、混沌、孤立子、小波、量子群、超弦、密码等许多新的学科.布尔巴基的《数学原本》终于在 1970 年停止出版新的卷次，基本结束.反观我国，吴文俊先生在 1950 年代曾在《数学通报》上介绍布尔巴基学派，并没有引起反响.却在 1980 年代，当该学派已经走下坡路的时刻，在国内推崇(包括自然辩证法这样的政治课)结构主义的数学观，这是和形式主义数学观一脉相承的. 陈省身材先生说过：我和布尔巴基学派的创始人都是好朋友，但是他们的工作不能解决我的问题.比如Stokes定理成立的充分必要条件(结构)就写不出来. 当然，数学表示需要形式化，严密的数学学术形态必然是形式化的.微积分的形式化表示，是 19 世纪许多数学家努力的结果，分析的严格化成为又一个数学高峰的标志.因此，对于以数学为主要工具的专业来说，形式化的学术形态是极端重要的.至于一般使用数学的理、工、农、经等专业，微积分思想和算法之间要取得适当的平衡，只能适度地强调形式化.对于把微积分作为文化背景、常识素养的人来说，形式化的算法就不大重要，关键是微积分的文化价值，以及科学意义. （未完待续）参考文献 1.关肇直.数学推理导演个性与认识论众的实践标准.《数学学报》7 / 81976(1). 2.陈重穆.淡化形式，注重实质.《数学教育学报》 ,1993(4).。