微积分的哲学意义
微积分中蕴涵的哲学意义
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２０ 年 ０７
第 ２ 期 Ｏ
微积分中蕴涵的哲学意义
吴保 来 李 耀 （ 河科 技学 院 河南 郑 州 ５ ０ ３） 黄 ０６
那 在历史上 ． 许多哲学家对数学非常感兴趣 ， 达 哥拉斯学派、 有 毕 柏 微 积 分 的发 明权 的争 论 为 人 们 所 熟 知 ， 么 这 种 争 论 在 排 除 了 时 间 的 拉 图、 笛卡儿 、 莱布尼茨 、 罗素 、 怀特海等 ， 甚至他们其 中有的人本身就 先 后 之 外 是 以什 么 作 为 发 明 的标 准 的 呢 ？ 以 独创 性 来 衡 量 是 否 恰 当 他 是 数 学 家 。为 什 么 他 们 会 对 数 学那 么 关 注 呢 ？数 学 和 哲 学 有 什 么 关 系 呢 ？牛 顿 和 莱 布 尼 茨 之 间 相 互 并 没 有 借 鉴 各 自 的成 果 ， 们 都 是 自己 独 立 思考 而 创 立 了微 积 分 。 首 创 权 的争 夺 不 仅 牵 涉 到 科 学 家 的 科 学 对 呢？ 牛 数 学 是 一 门研 究 空 间 形 式 和 数 量 关 系 的科 学 ， “ 以 被 看 作 是 荣 誉 而且 也 关 系 到 民族 自豪 感 的 。 顿 和 莱 布 尼 茨 的争 执 就 意 味 着 英 它 可 那么科学 的无 国界性 是否存在 呢？科学的世界 个处 理抽 象实 体 以及对这 些抽 象实 体作 抽象 运算 的推 理形 式体 国人 和德 国人 的争执 ， 主 义 难道 只 是一 个 梦想 吗 ？ 此建 立 一套 公 平 的规 则 就 显 的犹 为 必 要 因 系 。 ” ｉ 以最 初 的数 学 概 念 就 是 “ ” “ ” 概 念 。 Ｅ ｌ 所 形 和 数 的 他 人们在长期 的生产实践 和生活实践 中发 现事物之 间是存在着 区 了 。科 学 家 就 是参 加科 学 竞 赛 的参 与 者 ， 们 都 要 遵 守 这 些 公 正 的竞 后 别 的 。一 方 面 ， 们 的形 态 各 不 相 同 ； 一 方 面 ， 在 形 态 相 同 或 相 似 赛 规 则 ． 人 也 可 以通 过 这 些 规 则 来 评 价 这 些 科 学 家 。 怎 样 建 立 这 样 它 另 外 的事 物 其多 寡 也 不 一 样 。所 以经 过 实 践 和 思考 后 ， 们 的 头 脑 中产 生 的科 学 规 则 的工 作 正是 由科 学 哲 学 家 来 完 成 的 。 人 二 、 积 分 所 蕴 涵 的 辩 证 法 的 问题 微 了“ ” “ ” 形 和 数 的概 念 。 这两个数学 概念的产生 ， 志着人类认识 水平的一 次飞跃 ， 标 因为 微 积 分 的创 立 标 志 着 数 学 由 “ 量 数 学 ” 代 发 展 到 “ 量 数 学 ” 常 时 变 这 两 个 概 念 都 是抽 象 性很 强 的概 念 。 为 了计 数 ， 仅 要 有 可 以计 数 的 时 代 。这 次 转 变 具 有 重 大 的哲 学 意 义 。变 量 数学 中 的一 些 基 本 概 念 如 “ 不 对 象 ． 且 还 要 有 一 种 在 考察 对 象 时撇 开 对 象 的 其 它 一 切 特 性 而 仅 仅 变 量 、 数 、 限 、 分 、 分 、 分 法 和积 分 法 等从 本 质 上 看 是 辩 证 法 而 函 极 微 积 微 顾 及 到 数 目的 能 力 ” 这种 能 力 ， ｌ ２， 就是 人 类 抽 象 思 维 的能 力 。 在 数 学 中 的 运 用 。 如 恩 格 斯 所 指 出 的 ：数 学 中 的 转折 点 是笛 卡 儿 的 正 “ 哲 学 所 关 涉 的对 象不 是经 验 的对 象 而 是超 经 验 的 对 象 ， 宇 宙 万 变 数 。 了 变 数 ， 动 进 人 了 数 学 ， 了 变数 ， 证 法 进 人 了数 学 ， 了 如 有 运 有 辩 有 物的本原、 存在 、 体或本体 ， 括人在 内所有存在物的来源和归宿等 变数 ． 实 包 微分和积分也 就立刻成 为必要 的了。” ｌ ４ 辩证法在微积分 中体现 等 。 哲 学 也 关 注 一 些 比较 具 体 和 现 实 的 问题 ， 认 识 论 、 理 学 、 史 了 曲 线 形 和 直 线 形 、 限 和 有 限 、 如 伦 历 无 近似 和 准确 、 变 和 质 变 等 范 畴 的对 量 哲 学 、 会 政 治 哲 学 等 问 题 ， 过 这 些 问题 也 属 于 最 基 本 的 问题 ， 社 不 而越 立 统 一 。 它 使 得 局 部 与 整 体 ， 观 与宏 观 ， 程 与 状 态 ， 间 与 阶段 的 微 过 瞬 是 基 本 的 问 题 就 越 不 容 易 回 答 ， 以哲 学 同样 需要 理 性 思 维 的能 力 。 所 联系更加明确。 使我们既可以居高临下 ， 从整体角度考虑问题 ， 又可 以 从 古 希 腊 的 数 学 和 哲 学 的 起 源 中可 以 清 楚 地 看 到 两 者 之 间 的 关 析 理 人 微 ． 微 分 角 度 考 虑 问 题 。 从 系 在 此 之 后 两 千 多 年 的 漫 长 岁 月 中 ． 学 和 数 学 相 互 影 响 ， 互 促 哲 相 这 种 对 立统 一 的 规律 在微 积 分 中是 怎样 得 到体 现 的 呢 ？ 例 如 ， 近 进 ， 同 得 到 了 发 展 。 学 是 一 门 公 理 化 的 演 绎 体 系 ， 的 一 系列 原理 似 和 精 确 是 一 对 立统 一 的 关 系 ，二者 在 一 定 条 件 下 可 以 相 互 转 化 ， 共 数 它 这 都 可 以 从 最 初 的 几 个 不 证 自明 的 公 理 推 论 出 来 。而 哲 学 ， 如 许 多哲 就 是 微 积 分 中 通 过 求极 限 而 获得 精确 值 的 重要 方 法 。 晋 南 北 朝 时期 正 魏 学 家 认 为 的 那 样 ， 该 成 为 象 数 学 和 数 学 化 的 物 理 学 那 样 的严 密 的科 的我国的数学家刘徽提出割圆术作为计算 圆的周长 、 应 面积 以及 圆周率 学 体 系 ． 而 数 学 就 理 所 当 然 地 成 了 哲 学 构 造 体 系 的典 范 。用 数 学 的 的 基 础 。 其 方 法 是 “ 之 弥 细 ， 失 弥少 ， 之 又 割 ， 至 于 不 可 割 ， 因 割 所 割 以 则 演 绎 体 系 来 构 建 哲 学 体 系 一 直 是 西 方哲 学 家 的 一个 梦 想 。 与 圆 台体 而 无 所 失 矣 。 也 就 是 说 ： 徽 用 圆 内 接 正 多边 形 去逐 步 逼 近 ” 刘 哲 学 被 看 作 是 一 切 科 学 知 识 的 基 础 ． 对 具 体 科 学 的概 括 、 是 总结 ， 圆。祖冲之按刘徽割圆术从正六边形连续算到正 ２ ５ ６边形 时， 到 ４７ 得 并 指 导 各 个 科 学 。 数 学在 自然科 学 中 的 作 用 ， 像 哲 学 在 整 个 科 学 体 圆 周 率 竹 的 上 下 限 ：． １９ ６ ， ３１ １９ ７ 就 ３１ ５ ２ ＜ｒ ．４ ５ ２ 。圆 内 正多 边 形 的 面积 可 ４ ｒ ＜ 系中的作用一样—— 研究整个世 界 ， 得出普遍规律 。数学是总结 自然 以 近 似 地 看 作 是 圆 的 面 积 ， 正 多 边 形 的 边 为 ｎ条 时 ， 极 限 后 就 得 当 取 界普遍存在的空间形式和数量关系 ， 而指 导 自然科 学的发展 。 从 到 了精 确 的 值 ， 就 是 通 过 极 限法 ， 近 似 中认 识 了精 确 。 也 是 通 过 这 从 这 在数学发展 史上 ， “ 从 常量 数 学 ” 展 到 “ 量 数 学 ” 标 志 着 数 学 极限法使直线形和 曲线形等同起 来的例证 。 发 变 ， 圆内内接正多 边形 的边数 终 于 成 为 了 一 门 高 度 抽 象 的 科 学 。 微 积 分 的诞 生 则 是 数 学 发展 的 三 增 加 只是 量 的变 化 ． 是 不 断 的 增 加 直 至 无 限 的 过 程 ， 多 边 形 就 转 而 但 使 个 重 要 里 程 碑 之 一 。 同 样 ， 也 体 现 了 数 学 从 静 止 走 向 了运 动 和 变 化 化 成 圆 ． 就 是 质 的 变 化 。 以 ． 积 分 的 产 生 就 克 服 了 直 线与 曲线 和 它 这 所 微 的哲学思想。 圆 的 不 可 通 约 性 ． 而 使数 学 成 为辩 证法 的辅 助 工 具 和 表 现 方 式 。 从 正 如 前 面 所说 ， 学 是来 源 于生 产 实 践 和 生 活 实 践 。微 积 分 的创 数 三 、 积 分 为 解 决 芝 诺 悖 论 提 供 了 新 的 思维 角 度 。 微 立 也 是 为 了 解 决 十 七 世 纪 的科 学 问题 。 当 时 ， 四类 问 题 困扰 着数 学 有 在 古 希 腊 ， 利 亚 学 派 的 芝 诺 曾提 出 了 几 个 悖 论 ， 中 有 一 个 是 爱 其 家 和 科 学 家 。这 四类 问题 分 别 是 ：． Ｉ已知 物 体 运 动 的 路 程 与 时 间 的关 阿 基 里 斯 追 不 上 乌 龟 ， 主 要 揭 示 了运 动 中 包 含 的 矛 盾 ， 别 是 提 出 它 特 系 ， 物 体 在 任 意 时刻 的 速 度 和 加 速 度 ： 过来 ， 知 物 体 运 动 的加 速 了 无 穷 可 分 性 没 连 续 性 的 问题 。 个 悖论 的 关键 是 使用 了两 种 不 同 的 求 反 已 这 度 与 速度 ， 物 体 在 任 意 时 刻 的 速 度与 路 程 。２求 曲线 的切 线 问 题 。３ 时 间 测 度 ｎ原 来 ， 们 用来 测 量 时 间 的任 何 一 种 “ ” 是 依 靠 一 种 周 求 ． ． Ｉ 我 钟 都 求 函数 的 最 大 值 和 最 小 值 问 题 。４求 积 问 题 ． 曲线 的 弧 长 ． 线 围成 期 性 的 过 程 作 标 准 的 。 太 阳每 天 的 东 升 西 落 ， �
微积分和辩证法
微积分和辩证法
微积分是数学的一门学科，它研究的是变化的规律，而辩证法则
是哲学的一门学科，它关注的是矛盾与变化的规律。
两者在不同的领
域内发展，但在对于理解变化以及事物发展方面有着共通之处。
微积分研究的是连续变化的规律，比如说速度、加速度、曲线的
变化等。
它的核心概念是导数和积分。
导数可以计算函数的斜率以及
变化率，而积分则可以求出曲线下面的面积。
微积分可以用在物理、
经济、地理等多个领域，帮助人们更好地理解变化的规律。
辩证法是一种思维方式，旨在探究事物内部的矛盾性和变化规律。
辩证法关注的是对立面之间的相互作用，并认为这种对立推动了事物
的发展。
在辩证法中，矛盾体现的是事物内部的矛盾以及事物之间的
矛盾，而变化则指的是事物内部的转化以及整个事物的演变。
尽管微积分和辩证法的研究对象有所不同，但它们都探讨的是事
物的变化规律。
在微积分中，函数的变化可以用导数和积分来描述，
而在辩证法中，则是通过对立面之间的相互作用以及矛盾来探讨事物
变化的规律。
微积分中的函数变化可以帮助人们更好地理解物理、经
济等领域的变化情况，而辩证法则可以帮助人们更好地理解社会、文化等领域的变化情况。
总的来说，微积分和辩证法都是研究事物变化规律的学科，它们在不同的领域内发挥重要作用，但都对于人们理解事物的变化规律有很大的帮助。
微积分注重于运用数学模型研究变化规律，而辩证法则强调对立面之间的相互作用和矛盾推动事物变化的规律。
两者在研究变化规律方面有着不同的途径，但它们共同体现了事物内在的复杂性和多样性，展示了人类对于认识世界的深刻理解。
恩格斯评价微积分的原话
恩格斯评价微积分的原话恩格斯在评价微积分时，简直是把这个复杂的数学领域说得有趣极了。
想象一下，一个哲学家坐在那里，喝着咖啡，神情专注地思考。
恩格斯可不是那种书呆子，他很明白，微积分其实就像生活中的各种变化。
你看，生活总是起起落落，有时像波浪，有时又像平静的湖面。
微积分就是在这些变化中找到规律。
他觉得微积分的美妙之处在于它能够把这些复杂的变化都整理得井井有条。
想想看，我们每天都在用微积分，比如你喝咖啡的时间。
如果你把咖啡倒得太快，可能会洒出来，这就是一个变化的过程。
恩格斯的点评其实是在告诉我们，微积分并不是那些高高在上的数学公式，而是我们生活中的一部分。
每一个公式后面都有故事，每一次变化都有它的意义。
他用一种轻松的语气，向大家展示了微积分背后的哲学思想。
再说说那个“极限”概念，这玩意儿可真是有趣。
极限就像你追求目标的过程，慢慢接近，但又永远不完全到达。
听起来是不是像在说追梦？恩格斯把这些理论和我们日常生活结合在一起，让人觉得微积分不是高高在上的抽象，而是贴近生活的智慧。
他认为，理解微积分能帮助我们更好地认识世界，理解变化，这可不是开玩笑。
恩格斯还有个观点，让我觉得特别幽默。
他说，微积分就像一位严肃的老师，教会我们如何面对复杂的现实。
生活中的问题就像那些难解的方程式，让人抓耳挠腮。
但是，如果我们能学会用微积分的眼光去看待这些问题，就会发现其实没那么复杂。
就像你找不到钥匙的时候，心里别急，放松心情，最终会找到的。
再来聊聊微积分的应用。
恩格斯提到，这玩意儿在工业革命中发挥了巨大的作用。
工厂的生产效率、机器的运转速度，哪一样少得了微积分的帮助呢？那时候的人们可真是了不起，能把这些数学理论应用到实际工作中。
想想那些工人，手里拿着工具，头脑中却在运算微积分，真是个神奇的画面。
这种跨越时代的智慧，恰恰说明了微积分的伟大。
恩格斯也指出，微积分在科学发展中的重要性，像是物理学、工程学都离不开它的身影。
每当我们探索未知领域时，微积分就像一把钥匙，帮助我们打开新的大门。
论微积分的哲学思想
论微积分的哲学思想摘要院微积分是分析解决问题的一种方法。
微积分体现了数学从静止走向运动和变化的哲学思想。
“微分”、“积分”相对独立，又相互作用，共同营造了这个丰富多彩、运动统一的世界。
微积分哲学观既是世界观也是方法论，它使得局部与整体，微观与宏观，过程与状态，瞬间与阶段的联系更加明确，使我们既可以居高临下，从整体角度分析问题，又可以析理入微，从微分角度考虑问题。
Abstract: Calculus is one way to solve and analyze the problem. Calculus shows the philosophy ofmathematics from standstill tomovement and change. "Differential" and "Integral" are relatively independent, interact each other, and create the colorful, moved andunified world. Calculus philosophy is both a worldview and methodology, and it makes the relationship between the part and the whole,micro and macro, process and status, instant and stage more clear, so that we can both look down, analyze the problem from the overallperspective, and also consider the problem from differential angle.关键词院微积分；哲学思想；研究探讨Key words: Calculus；philosophy；research and exploration中图分类号院O172 文献标识码院A 文章编号院1006-4311（2014）10-0327-020引言数学是一门研究空间形式和数量关系的科学，它可以被看作是一个处理抽象实体以及对这些抽象实体作抽象运算的推理形式体系。
浅谈微积分中的哲学思想对学生人格素养的培养
摘 要： 本文通过对微 积分中概 念的分析 ， 揭示 了其中蕴涵的 哲学思想 ， 井结合 实际 ， 微积分 中的哲学思想与学生的人 格素 养的培 养有 把 机地 结合起来 ，帮助学生 获得 正确认 识问题和 分析 问题 的一 种思维 方法 。 关键词 ： 微积分 哲学思想 人格 培养 中 图分 类号 ： ０ Ｇ４ ２ 文献 标识 码 ： Ａ 文章编号 ： ６ ４ ０ ８ （ ０ ９ ０ （） ０ ５ － ２ １ ７ － ９ ｘ ２ ０ ） ６ｃ－ ２ ２ ０
一
值 定 理 、柯 西 中值 定 理 ， 们 之 间 的 关 系 它 充 分体 现 了这 种 “ 由特殊 到一 般” 的思 想 。 又如 ， 通过 一元 函数的 极 限 、导 数 、积分 可 以推 广到 二元 、多元 函数 的极 限、导数 、积 分 。反 过 来 ， 可 以 从 一 般 问题 考 查 其 特 也 如 ，ｘ （ ） ．（ ｘ — ０ — ０ １ 殊 情 形 ， 微 积 分 中 常 利 用 函数 项 级 数 的 ） ｘ ｛－ ｏ Ｘ） ｝ ） ） （ ｆ ｏ ｉ ， （ （ ） 的左 边表 示 曲线 ｘ ， １式 ）而右 边 表 求和 得 到 一 些 数 项 级 数 的 求 和 。 示 曲线 ＝ ） 上过 点 ） ） 的切 线 。 理 解 了 微 积 分 中 的 特 殊 与 一 般 ， 而 推 因此 ， １ 式 表 示 在 一 定 条 件 下 （ （） — 广 之 就 理 解 了社 会 生 活 与实 践 中的 共 性 与 时 ） 曲线 与 直 线 近 似 相 等 。直 线 与 曲线 对 个 性 ， ， 共性 是 一 般 的 普遍 的 情 况 ， 性 是特 个 立 统一 和相 互 转 化 在 这 一个 公式 中得 到 了 殊 情 况 ， 性存 在 于 个性 之 中 ， 性 包 含共 共 个 集 中体 现 。对 于 曲线 ） 来讲 ， 外在 的 整 性 ， 比共 性 的 内容 要 丰 富 ， 能 完 全 融于 但 不 体 的是 曲 线 ， 在 某 一 点 的 附 近 又 可 以看 共 性 之 中 ， 也 是 我 们 理 解 世 界 多样 性 的 ・ 而 这 作 是 直 线 ， 为 近 似 计 算 提 供 了方 便 。 这 个 方 面 。 因此 ， 性 为 我 们 每 一 个 人提 个 不 仅 是 微 分 ， 积 分 中 许 多 概 念 的 建 供 了发 挥 优 势 的 思 想 基 础 ， 共 性 却 给 了 微 而 立 过 程 中也 可以 看到 以 “ ”代 “ 。如 我 们 判 断 个 性 偏 离 轨 道 的 尺 度 。 直 曲” 通 过 斜 率 的 变 化 得 到 曲 线 的 性 质 ， 而 作 １ ４ 局 部与 整体 的对立 统一 从 ． 出 函数 图像 ． 如 ， 积 分 的 概 念 是 通 过 又 定 从 辩 证 法 的 观 点 来 看 ， 体 与 局 部 是 整 “ 割 一 近 似 代 替 一 求 和 ～ 取 极 限 ” 四 步 相互 联 系 、 相 互 转 化 的 ， 体 是 部 分 的 有 分 整 骤 建 立起 来的 ， 似 代替 中 ， “ ” 的长 机 统 一 。 在 微 积 分 中 ， 过 局 部 的 性 质 来 近 用 直 通 方 形 去 近 似 代 替 小 曲边 梯 形 ， “ ” 代 揭 示 整 体 的性 质 ， 通 过 整体 来 刻 画 局部 ， 以 直 又 “ ” 并 最 终取 极 限 得 到 了定 积 分 的概 念 ， 是 一 个 经 常 用 到 的重 要 方 法 。微 积分 中导 曲 ， 定积 分的 核心 思 想 ． 现 了 “ 与 曲 ”的辩 数 是 一 个 局 部 概 念 ， 微 分 中值 定 理建 立 体 直 而 证 观 。 局 部 以 直 代 曲 ， 透在 整 个 微 积 分 了导 数 和 函数 之 间 的 桥 梁 ， 渗 它使 我 们 能 够 学 的研 究 中 ， 解 决 数 学 问 题 的 一 个 重 要 通过 函数 的 局 部 性 质 （ 数 ） 究 其 整 体 性 是 导 研 数学思想 。 质 。 如 曲线 的 单调 性 、 凹 凸性 都是 用局 部 在 教 学 中 帮助 学 生 理 解 直 与 曲 的对 立 性 质 刻 画整 体 性 质 的典 型例 证 。如 判断 一 统 一 及 相 互 转 化 ， 于 学 生 的生 活 实 践 和 个 函数 某 区 间 内 任 一 点 （ 部 ） 一 阶 导 数 对 局 的 人 际 交 往具 有 一 定 的 启 发意 义 。如 每 个 人 的正 负号 ， 我们 就 能 得知 这 个 区 间（ 体） 整 的 的待 人 处事 方 式 中都 有 “ ”的一 面 ， 有 单 调 性 。 微 分 与 积 分 中 ， 曲 也 变量 变化 过 程 中 “ ” 的 一 面 ， 不 过 是 各 占 比 例 不 同 而 的局 部 与 整体 之 间的 相 互 对 立 统一 的辩 证 直 只 已。一 味 地 “ ”或 一 味 地 “ ”都 可 能 关 系 ， 得 整 个 微 积 分 在 这 对 矛 盾 的 基 础 曲 直 使 会 在生 活 中碰 钉 子 。通 过 微 积 分 中 直 与 曲 上 得 以 展 开 。 闭 区 间 套 定 理 的 应 用 ， 在 就 的 辩 证 关 系 ， 以 知 道 ， 在 的 整 体 的 于 把 整 体 性 质 落 到 某 个 局 部 ， 有 限覆 盖 可 外 而 “ 曲”可 用 内在 的局 部 的 “ ” 来代 替
微积分的人生哲学
微积分的人生哲学
一、追求规律
微积分的本质是寻求规律，每一个问题都有它的规律，只要我们认真
去找，一定能找到答案。
在人生的道路上，也同样如此，有些事情也有自
己的规律，我们只要寻求规律并遵守它，就能获得最大的成功和幸福。
二、拥有坚定可靠的信念
想要成功，一个人必须有坚定可靠的信念，尤其是关于自己的信念。
当步伐正确，选择正确，能够做到最好，越来越多的案例证明，人们的信
念是成功的基石。
三、始终拥有勇气
勇气让人变得强大，甚至可以改变一切。
人们不断面对各种挑战，只
有勇气才能正视它们，它能让我们把焦点放在未来而不是现在，开始行动、改变状况，找出解决问题的途径，达成目标。
微积分的思想
1、微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
2、微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的。
从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。
从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题。
“变”这个字是微积分最大的奥义，要从哲学的角度来理解数学，而不是单纯的会计算。
所有的数理能力最后都要上升为自身的哲学，这样才能作到天人合一。
3、微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。
此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。
并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。
微积分的历史方法及哲学思想
微积分的历史方法及哲学思想微积分是一门研究极限、导数、积分和级数的数学学科，其应用涉及到物理、工程、金融等领域。
微积分的发展历程可以追溯到古希腊时期，从那时起，人们就一直在探索和发展微积分的方法和思想。
本文将回顾微积分的历史方法及哲学思想。
古希腊时期数学作为一门学科在古希腊时期首次被建立起来，最初的数学研究主要是从几何出发的。
古希腊著名数学家欧多克斯是首位发现微积分思想的数学家。
他思考了一个问题：如果一个圆周被无限分割，这个圆的周长和面积是多少？欧多克斯采用了类比法，将圆分割成无数个小扇形并逐渐减小，接着他证明了，如果将这种精确的方法无限进行下去，就会得到圆的周长和面积的精确值。
这个方法就是微积分思想的雏形。
这个方法不仅解决了当时人们关于圆的周长和面积的问题，而且也成为了古希腊无理数的重要证明方法，为后来微积分的发展打下了基础。
牛顿和莱布尼兹时期16世纪末至17世纪初，欧洲出现了一些突破性的数学思想和方法，其中最重要的两个是牛顿和莱布尼兹的微积分理论。
牛顿和莱布尼兹同时独立发明了微积分，他们分别使用就那么放孤傲单纯的前人们所没有思考过的新形式-导数和积分，将微积分理论发展到一个新的高度。
导数和积分让微积分的运算更加简单和快捷，而且这种表述方法更加灵活，所以微积分的表述方式和运算方法有了根本性的变革。
在不断探索的过程中，两位数学家都发现了原函数和不定积分的概念。
他们的微积分理论被广泛应用于自然科学领域，并开始凭借此方法解决一些物理和工程问题。
应用思想微积分的应用思想不仅仅局限于数学领域，而且在现代科学中运用得非常广泛。
微积分的应用已经涉及了物理学、信息学、生物学等众多学科领域。
这些领域中的大量问题在微积分的帮助下被系统地解决了。
微积分方法不仅可以用于测量、分析、计算和模拟自然现象，还可以广泛应用于工程、商业和行业领域的模型和计算中。
在金融领域中，微积分被广泛应用于风险和投资的分析和模拟中。
在医学方面，微积分被应用于生理降解分析和肢体移动的建模中。
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一． 1.复习课本基本知识概念，
2. 串一串前几章的知识脉络，函数、极限、导数与微分及其应用、不定积分、定积
分等几个概念的联系。
二．几点比较感兴趣的多余的思考
泰勒公式的哲学意义
在人类历史上，人类对泰勒展开式的兴趣之所以那么高，完完全全是因为（x-a）的n次方，（x-a）的n次方是多项式，多项式是当时人类最熟悉的函数形式之一。
但是在比较高等的数学里，我们有兴趣的完完全全是f(x)在a处的n阶导数这一项。
这个n 阶导数完全刻画出了泰勒展开式最重要的一个特征，叫做：“一叶知秋”。
什么叫做“一叶知秋”，就是说一片叶子掉下来，我就知道秋天到了。
好，f(x)在a处的n阶导数，导数的定义是什么，导数的定义是在x趋近于a的时候在a的临域所发生的事情。
f(x)在a处的n阶导数就是它的一阶变化率，二阶变化率，三阶变化率... 但是呢，它始终是在a的旁边一点点。
我只要知道a点附近的这些东西，除以n的阶乘，再乘以（x-a）的n次方，我就完完全全可以知道函数在整个坐标系里的行为是什么，就知道了这个函数是什么。
也就是说，我只要得到a附近的一点点的信息，我就可以知道这个函数长什么样子。
不只是这些，a还可以动，也就是说，函数上任意一点的临域都包含着函数的全部讯息！这就是泰勒展开式最重要的意义。
事实上泰勒展开式所研究的函数的种类，是数学上很稀少的一类，叫做解析函数。
我们的人生是解析函数吗？如果是的话，我们可以在最短最短时间内我们所经历的一切，外推到整个人生。
所以说，如果人生是解析函数的话，那就太棒了。
我们只要活一点点，我们就可以用一点点的生涯去幻想无穷无尽的生命到底是长什么样子。
微积分的哲学意义
根据自然辩证法和现代物理学的观点。
自然界是由无数个层次组成的系统。
按其质量的相对的大小可作如下排列：。
总星系——恒星系——太阳系——地球上的物体——分子和原子——基本粒子。
如果我们把前一个层次当作一个原函数看待，那么后一个层次便是微分所得到的“导数”或称“微商”。
这样连续地微分下去，可以得到一次微分dx；二次微分dx²；三次微分dx³。
直到n次微分dxｎ。
由此看出高次微分处处有自己的原型。
它与物质世界的各个层次建立了一一对应关系。
物质是无限可分的。
微分过程也是无限的。
物质不灭，微分不止。
这就是微积分同物质世界的对应关系。
微分或积分的过程正是反映了物质的不同层次之间物质形态的相互转化和运动形态的相互转化。
微积分的辩证内容
1.代数运算转化为微分运算——量变到质变的飞跃
微积分是从代数和几何的领域中发展起来的。
代数方法向微分方法转化，代数运算的结果转化为微分运算的出发点，是数学发展中的一条极重要的规律。
促进这种转化的动因是数学本身内部的矛盾运动，即客观事物内部矛盾运动在数学领域中的抽象。
这一规律的发现和总结，
首先应归功于马克思。
是他第一次把代数运算与微分运算联系起来了，阐明了微分是怎样起源于代数，而后又怎样开始自己独立的矛盾运动。
他指出了从代数运算转变为微分运算是一个否定之否定过程。
是量变到质变的飞跃
如果按照“（dx²）＝0”的方法行事，那么全部运算变成“0＝0”，一切消失了，什么也得不到。
然而，尽管牛、莱运算的方法是错误的，但结果却是正确的。
错误的运算得出了正确结果，本身就是一个矛盾。
它揭示了在一定条件下荒谬也可以转化为正确。
牛、莱从错误的运算方法出发，通过“变魔术”的方法，求出了函数y＝x²的微商即y′＝（x²）′＝2x，实现荒廖向正确转化
2.极限——量与质、有限与无限的对立统一
极限理论是整个微积分的理论基础，它贯穿于微积分学的始终。
微积分基本问题的解决，主要概念的建立，都依赖于极限方法。
极限概念是客观事物质的规定性和量的规定性的辩证统一，即质和量的辩证统一。
数学上的极限概念和哲学的“度”的概念是一致的。
辩证法认为：一切发展变化的事物在其发展的各个阶段上总要保持自己质的数量界限。
在这个界限内事物就存在。
超出了这个界限，该事物便转化为他事物。
变化着的事物，在变化过程逐步趋近于一个稳定状态，用数学的语言说即趋向于某一个“常量”。
这种趋于稳定的过程，数学上叫做极限过程。
这个“常量”就是数学中的极限。
哲学上称之为“度”。
当客观事物在极限（度）范围内变化时，相对而言主要是量的变化，而无明显质的变化。
从而保持了该事物的相对稳定性。
一旦变化达到了极限的位置，就会出现质的飞跃，原来的事物消失了，新的事物诞生了。
极限概念又是一个有限与无限的对立统一。
有限与无限是客观世界中普遍存在的一对矛盾。
物质、运动、时间、空间等等，从量的方面来说都是有限与无限的对立统一。
现实世界中的有限与无限，反映到人们的头脑中，经过思维的加工，构成了数学中“量”的有限与无限的矛盾运动，即它们之间的相互转化。
微积分在研究变量的关系时，突破了有限，一直深入到无限之中去。
它巧妙和不断地运用有限与无限的相互转化取得了一批批重大成果。
而这个巧妙的方法就是极限方法
3.、“直”与“曲”在微积分中的同一性
恩格斯说：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”○15这句话高度概括了微积分的基本思想。
全部微积分学就是建立在解决“直”与“曲”的矛盾，实现这一矛盾相互转化的基础上。
4、牛顿—莱布尼茨公式——联结微分与积分的桥梁
唯物辩证法是关于普遍联系的科学。
微分与积分是一对矛盾的两个方面。
它们之间的联系集中表现在互逆关系上。
微分是已知原函数求导数（微商）；积分则是已知导数求原函数。
微分与积分的互逆关系，揭示了导数与原函数的对立统一关系。
原函数经过微分转化为导数。
导数在积分过程中又还原为原函数。
微分与积分相互转化的辩证过程普遍存在于自然界中
但在数学领域里，这种互逆关系在“牛顿—莱布尼茨公式”诞生前一直被隐藏，未被人们所认识。
这是因为微分与积分在发展历史上各有渊源。
三．自己学习的经验交流
图像法。