学习微积分在数学文化中的价值
微积分在中学数学教学中的应用
微积分在中学数学教学中的应用摘要微积分是高中数学新增加的容,也是大学数学的重要的基础课程,容包括导数和积分两个重要概念以及它们的应用；微积分是现代数学的基础,提供以直代曲,把非线性问题转化为线性问题解决的思维方式,在人类思想文化的发展中占有特殊的地位.在高中阶段开设部分微积分的容,不但是社会、经济、科学文化发展在数学课程上的要求,也是实现高中教育性目标和发展性目标的要求.微积分的容,在我国高中数学课程容中的选择和教学要求中,没有得到它应有的体现,难以满足我国社会、经济、科学文化高速的发展对它的要求和体现微积分自身的价值.对高中微积分的研究多数是中学是否开设微积分以及开设微积分的深度和广度的探讨.论文立足于教材《全日制普通高级中学教科书数学》第三册〔选修2—2〔人民教育 ,从微积分产生的时代背景和历史意义出发,简要分析了国外对微积分教学的研究现状和意义,论述了高中开设微积分知识的必要性和可行性,通过对高中微积分课程的主要容的分析和研究,结合现代教育教学理论,归纳并总结了微积分在高中数学教学中的地位、作用和应用.并希望这些意见和建议对高中数学微积分的教学和发展具有一定的积极意义.关键词：微积分；导数；应用目录1引言12文献综述32.1国外研究现状32.2国外研究现状评价32.3提出问题43微积分在中学数学教学中的应用43.1微积分与中学数学的联系43.2微积分在中学数学中的地位和作用43.3微积分在中学数学解题中的应用5导数在求曲线的切线中的应用5导数在不等式证明中的应用5导数在恒等式证明中的应用的6导数法在求函数极值、最大〔小值中的应用7 导数在几何上的应用9导数在方程解的问题上的应用9导数在数列问题中的应用9运用微分学知识研究函数图像[4]104定积分在中学数学中的应用104.1定积分在求曲边形面积上的应用104.2积分在不等式证明中的应用114.3定积分在组合恒等式证明中的应用115提高现代数学教师数学修养的必要性、可行性12 5.1提高现代数学教师修养的必要性125.2提高现代数学教师修养的可行性126结论126.1主要发现126.2启示126.3局限性126.4努力方面13参考文献131引言微积分的产生具有悠久的历史渊源.在中国,公元前4世纪前,恒团,公龙等提出的"一尺之锤,日取其半,万事不竭"；公园3世纪徽的"割圆术"和公元5—6世纪祖冲之、祖横对圆周率、面积和体积的研究〔祖冲之在徽割圆术的基础上首先地计算了地球的体积,都包含着微积分概念的萌芽.在欧洲,公元前3世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究〔穷竭法,也都包含着上述的萌芽.欧洲文艺复兴之后,资本主义生产方式兴起,生产力有了较大发展.到了16世纪,由于航海、机械制造以及军事上的需要,运动的研究成了自然科学的中心议题.于是在数学中开始研究各种变化过程中的变化的量间的依赖关系,变量的引进,形成了数学中的转折点.在伽利略等人的数学著作中,都包含着微积分的初步想法.到了17世纪,生产的发展提出了许多技术上的新要求,而要实现技术要求必须有相应的科学知识,例如流体力学、机械力学等都有了突飞猛进的发展.在资本主义社会的商品生产中,贸易活动占有重要的地位,与此相关的海运事业迅速发展,向外扩的军事需要,也促进了航海的发展.航海需要精确而方便地确定位置〔经纬度、预报气象,天文学因而发展起来,所有这些发展都对数学提出了新的要求,这些要求变现为一些急需解决的问题,可以分为一下四种类型：〔1球运动物体的瞬时速度和加速度.〔2已知曲线求其切线.〔3已知函数求函数的极大值和极小值.〔4求曲线的长度.这些问题都是17世纪时,其他科学,尤其是天文学和力学极其某些技术科学所提出的基本数学问题.总之,到17世纪前叶,已经积累了许多关于微积分思想的成果,但微积分作为一门学科来发展,还是由于牛顿和莱布尼茨总结了诸多数学家的工作之后,分别独立建立了微积分学,他们建立微积分的出发点都是直观无穷小量.牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分学,17世纪早期,数学家们已经建立起一系列求解无限小问题〔诸如曲线的切线、曲率、极值,求运动的瞬时速度以及面积、体积、曲线长度以及物体重心的计算的特殊方法.牛顿超越前人的功绩在于将这些特殊的技巧归结为一般的算法,特别是确立了微分与积分的逆运算关系〔微积分基本定理.微积分的产生具有深远的历史意义.一方面,它极促进了数学科学的发展,丰富了数学科学的思想宝库,随着微积分的理论基础逐步完善,以微积分为基础的数学分析科学得到空前发展,建立了多种数学分支,如微分方程、积分方程、复变函数、拓扑学、流形等.另一方面,微积分在力学、天文学以及物理和其它科学技术中的应用,极促进了以上科学的发展.2文献综述2.1国外研究现状国,由于历史的原因,我国对微积分的教学研究和把微积分容引入课堂相对比较滞后.自从1961年的大纲将微积分初步的知识纳入我国中学数学以后,广大的教育工作者在不同的时期,从不同的角度,利用不同的方法,对高中阶段微积分初步的教学目标、课程目的、容选取、教材编排以及教学方法等一系列的问题进行了一定的理论探索和实践研究,取得了一定的成果.早在1983年,的孟季和老师就针对1978年的高中数学大纲编著了《中学微积分教材教法》[1]一书,对当时大纲中所列出的中学微积分容进行了教学和教法的探讨.而在现阶段,教育学院的宏安教授、西北师大学附属中学教师高维纵和五中的特级教师袁桐等人,也分别从不同的角度对微积分课程容的选择、教学和教法等进行了有益的探索.在这一研究领域中有影响的另外一些学者和研究集体,也都从不同的角度和层面进行了广发而深入的研究.这些集体和个人的研究中,有一些还是国家和地方教育研究的重要课题.可见,高中微积分课程和教学的探索是一个重要的研究领域.国外,对微积分的教学研究较早,并且微积分的知识进入中学课本也较国超前.早在20世纪初,德国著名数学家F·克莱因就主微积分知识要进入中学.20世纪50年代末在美国兴起的"新数学"运动及后来60年代末在法国进行的"现代数学教育改革"运动,他们的主之一就是要求中小学数学课程容体现现代数学的发展,将微积分知识纳入中学数学课程.进入上个世纪80年代,各国又掀起了新一轮的微积分课程的改革.美、英、法、日、俄罗斯、国和我国的地区等国家和地区都相继出版了新的针对高中阶段学生学习的微积分教材.例如,日本,文英堂,竹之修,高等学校新编,数学II〔1998；我国地区高中三年级学习使用的《理科数学》上、下册〔1988；英国,剑桥大学SMP教材系列,纯数学〔1997；俄罗斯出版了由吉洪诺夫担任科学指导,阿利莫夫等主编的高中"代数与分析初步"〔2000等新编高中微积分教材,都在课程容的选择、编制和教学上进行了有益的探索.2.2国外研究现状评价文献分别就微积分在中学数学应用中的重要性及微积分在求导和曲边形面积的计算中的意义举例做了说明,文献中主要阐述微积分在中学数学解题中的几种应用方法,没有全面的介绍中学数学中常用的微积分数学思想.而且文献中对微积分在中学数学中怎样应用的问题提及较少,对学生在应用微积分时存在的问题也未给出详细说明.2.3提出问题在一些发达的省市,微积分已纳入高考,对微积分的进一步学习迫在眉睫,但就部分高中生而言,他们已具备较强的学习能力,数学学习过程中会根据教师的指导,除学好基础知识外,还会体会微积分的思想,总结微积分在各方面的应用.但对普通高中多数学生,要教好掌握高中数学知识尚且困难,更谈不上对微积分的具体应用有更进一步的了解.因此,除对问题解决中应用微积分外,还要对应用微积分过程中学生可能遇到的难点及解决办法作探讨,包括了解中学数学与微积分的联系、微积分在中学数学中的地位和作用等.3微积分在中学数学教学中的应用3.1微积分与中学数学的联系微积分是高三数学第三册〔选修2—2的进一步延伸和发展,而这恰是高三学生步入大学需要继续学习微积分的基础.作为学习和研究数学的步骤,无疑是要先学习和掌握初等的微积分知识,进入大学后才能更好的学习和应用微积分.反之,学习高等数学中的微积分能加深对初等数学中微积分的理解和掌握,可以开阔思路、提高数学修养和解决问题的能力.但由于中学数学知识几乎很难和高等数学知识直接衔接,使不少大一新生一接触到"数学分析"时,就对数学专业课产生了畏惧、抵触情绪.而且高等数学中的微积分理论与中学教学又严重脱节,许多大学师毕业生对如何运用微积分理论指导中学数学感到迷茫；毫无头绪.为了解决上述长期存在的问题,研究微积分在中学数学教学中的应用是一项有效的措施.3.2微积分在中学数学中的地位和作用微积分在高中阶段只从几何意义的角度出发讲了导数、微分、定积分三部分的容,为中学生进入大学埋下伏笔,微积分在中学数学解题中提供了新的方法,同时也提供了重要的思想,为中学生以后进一步学好微积分打下基础．在中学数学中我们可以用微积分的一些观点引伸出解初等数学问题的某些技巧, 这些初等的方可以为中学生所接受, 而应用这些方法都可以将表面上看来完全无关的初等数学问题用几乎相同的方法解出.同时也可以对中学数学中的难题证明起到一些简化的作用.微积分的数学思想方法不仅在初等数学中有广泛的应用, 而且用微积分的观点往往可以揭示数学问题的本质, 从而使学生不仅知其然而且知其所以然.3.3微积分在中学数学解题中的应用导数在求曲线的切线中的应用在中学教材里,由于初等数学知识本身的极限性,对切线的定义是建立在直线与圆和直线与圆锥曲线只有之个交点的基础上的,并且切线是不能穿过切线的.因此,求曲线的切线方法一般都是将直线方程与曲线方程组成方程组,消去y ,化成关于x 的一元二次方程,利用判别式0=∆来求解的.现在我们知道曲线上某点处的切线是曲线过该点的割线在这一点的极限位置,即只要曲线在这点的极限存在并连续,那么它的切线就存在.并且切线可以通过切点穿过这条曲线,即一条切线除切点外,还可能与这条曲线有其它的公共点,因此我们可以用导数的方法求曲线的切线.例1<20XX 卷 理科>已知函数()x x x f ln 2-=,求曲线()x f y =在点()()1,1f A 处的切线方程.解：函数()x f 的定义域为()∞+，0, ()xx f 21'-,()0>x 因为 ()11=f ,()11'-=f所以曲线()x f y =在点()()1,1f A 处的切线方程为：即02=-+y x因此,用导数的方法不仅修正了切线的定义,还可以用来求一些较为复杂的曲线的切线.导数在不等式证明中的应用不等式不但是研究高等数学的重要工具,包括解不等式和不等式的证明两大部分容.相对来说,前者较易,后者较难.虽然在中学教材中也介绍了不等式证明的一些常用方法,如：比较法、分析综合法、反证法、数学归纳法等,但这些方法毕竟带有局限性,对于一些比较复杂的问题往往就不起作用,而且还有这些情况,题目略有不同,证明方法就迥然不同.总之,证明不等式是方法很多,要得出确定的方法几乎是不可能的.因此,不等式是证明在中学数学中是一个显著的难点.微积分却为不等式的明提供了强有力的方法和工具.下面通过例题分析说明利用导数证明不等式的基本方法和规律.例2已知函数x x x f -+=)1ln()(,求证：当1->x 时,恒有 证明：构造函数111)1ln()(-+++=x x x g , 从其导数入手即可证明：∴当01<<-x 时,0)(>'x f ,即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时,0)(<'x f ,即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-,单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为：因此,当1->x 时,0)0()(=≤f x f ,即∴x x ≤+)1ln( 〔右面得证现证左面,令111)1ln()(-+++=x x x g ,则： 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ,即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数,在),0(+∞∈x 上为增函数,故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为：0)0()(min ==g x g ,∴当1->x 时,0)0()(=≥g x g ,即： ∴111)1ln(+-≥+x x ,综上可知,当1->x 时,有： 从此例可以看到,导数作为证明不等式的工具,方法简单、实用.而且渗透了很强的数学思想.导数在恒等式证明中的应用的恒等式的证明在数学的各个分支几乎都要用到,这里就恒等式的三种情况〔组合恒等式、代数恒等式、三角恒等式利用导数的方法来证明更加简便.例3求证1321232-⋅=++++n n n n n nn nC C C C解 方法一 利用组合数公式 11--=k n k n nC kC ,则这种方法简单,但是技巧强,若想不到这样或者遗忘公式,就无法作答.方法二 由二项式定理展开得：由幂函数的导数公式()1'-=n n nx x ,对上式两边求导得：()13211321--++++=+n n n n n n n x nC C x C C x n令1=x ,即可得： 利用微积分中导数这种运算工具不仅能使问题变得简单,更重要的是可以优化解题过程,开阔学生视野,发展学生思维.例3证明()()2112111321x nx x n nx x x n n n -++-=+++++-证明：()'3212321n n x x x x nx x x ++++=++++-例4 ()π=--343arccos arccos 3x x x ,⎪⎭⎫ ⎝⎛≤21x 证明：令()()343arccos arccos 3x x x X F --=,则 当2121<<-x 时,()0131322'=-+--=xx x F 故在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21,()c X F ≡ 令0=x ,则()()0arccos 20403arccos 0arccos 30=⨯-⨯-=F故π=c ,所以在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21, 又π=⎪⎭⎫ ⎝⎛±21F ,所以当21≤x 时 在三角学中,有时从关于正〔余弦的恒等式出发,通过求导,即可得到有关余〔正弦的相应很等式恒等式.导数法在求函数极值、最大〔小值中的应用一、求函数()x f 极值的方法[3]一般地,求函数()x f y =的极值的方法是：解方程()0'=x f ,当()00'=x f 时：⑴如果在0x 附近的左侧()00'>x f ,右侧()00'<x f ,那么()0'x f 是极大值； ⑵如果在0x 附近的左侧()00'<x f ,右侧()00'>x f ,那么()0'x f 是极小值.二、求函数()x f 最值的方法我们知道,如果()x f 在闭区间[]b a ,上连续,那么()x f 必可在[]b a ,上取得最大值和最小值.求最值的方法是：先求出()x f 在[]b a ,上的所有极值点,设1x ,2x ,……,n x ,则如果确知()x f 的最值存在的话,这个方法也适用于开区间和无穷区间.例5求()44313+-=x x x f 的极值 解：因为()44313+-=x x x f ,所以 令()0'=x f ,解得2=x 或2-=x .下面分两种情况讨论：①当()00'>x f 时,2>x 或2-<x ；②当()00'<x f 时,22<<-x当x 变化时,()0'x f ,()x f 的变化如下表：因此,当2-=x 时,()x f 有极大值,极大值为当2=x 时,()x f 有极小值,极小值为例6求()44313+-=x x x f 在[]3,0上的最大值与最小值.解：由例4可知,在[]3,0上,当2=x 时,有极小值,并且极小值为()342-=f 又由于()40=f ,()13=f因此函数在[]3,0上的最大值是4,最小值是34-. 通过这两个例题我们看到,求函数极大〔小值和最大〔小时,运用导数在计算过程中简单快捷.通过例题我们看到,初等方法只能处理一些特殊问题,有很大的局限性,并且往往需要一定的技巧,还容易遗漏一些极值点,导数法不但方法简单、统一,易于掌握和运用,而且不会漏掉极值点,更重要的是它的应用围比初等方法广得多.导数在几何上的应用导数在方程解的问题上的应用利用导数判定单调性,可研究方程根的个数问题.例若3>m ,则方程0123=+-mx x 在[]2,0上有多少根？解：设()123+-=mx x x f ,则()mx x x f 232'-=,当3>m 且[]2,0∈m 时,()0'<x f ,故()x f 在()2,0上单调递减,而()x f 在0=x 与2=x 处都连续,且()010>=f ,()0492<-=m f故()x f 在[]2,0上只有一个根．导数在数列问题中的应用导数是解决函数问题的有力工具, 更为数学解题注入了新的活力. 由于数列可看作特殊的函数, 所以自然可联想、尝试、应用导数知识解决数列问题.例已知数列{}n a 满足：n nn a a a 3231+-=+,*∈N n ,且()1,01∈a ,求证： 证明：构造函数()x x x f 23213+-=,则： 当()1,0∈x 时,()0'>x f ,所以()x f 在()1,0上是增函数.因为()1,01∈a ,即：故1=n 时,原不等式成立.设k n =时,原不等式成立,即10<<k a因为()x f 在()1,0上是增函数,所以又()00=f ,()11=f ,所以()10<<k a f ,即即1+=k n 时,原不等式成立,故：当*∈N n 时,导数在数列中的应用还远不止这些,如利用导数还可以确定数列的最大项和最小项、研究数列的增减性、求数列的前n 项和等,但基本思想方法是一样的,在这里就不一一例举.运用微分学知识研究函数图像[4]函数图像的直观性有着别的工具不可替代的作用,特别是在说明一个函数的整体情况及其特性的时候,其作用尤为明显,这就要求我们能正确地作出函数的图形．学微分学之前,用描点法作图是十分必要的,不过它有缺陷,带有一定的盲目性、点取得不够多也许就会得到一个错误的图像等．而运用微分学作出的函数图像,就能克服描点法作图的缺点,可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断．一般来说,讨论函数图像的步骤是：例4定积分在中学数学中的应用定积分是新课标中选修2—2新加的容,《课标》对定积分的定位如下："〔1通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例,从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念,为以后进一步学习微积分打下基础；〔2通过实例,直观了解微积分基本定理的含义；〔3了解微积分的文化价值．可见,高中课程学习定积分,重在粗浅地领略其主要思想和基本方法,从一些实例中初步认识定积分的工具作用．纵观这几年新课改地区高考主要在定积分的求法,定积分的简单应用尤其是利用定积分求面积上作文章．4.1定积分在求曲边形面积上的应用定积分的几何意义[3]：如果在区间[]b a ,上函数()x f 连续且恒有()0≥x f ,那么定积分()⎰ba dx x f 表示直线a x =,b x =,0=y 和曲线()x f y =所围成的曲边梯形的面积. 例<20XX 卷理科> 求直线l 过抛物线y x C 4:2=的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于 解析：本题考查抛物线的性质,定积分的计算.利用微积分基本定理求解.因为l 的方程是1=y ,所求面积等于一个矩形的面积减去一个积分值,即38122442420322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=-=⎰x dx x S 例 4.2积分在不等式证明中的应用利用导数之所以能证明不等式,主要是因为导数可以判断函数的单调性,可以求函数的极值和最值,此外还可以应用微分中值定理等等.而积分与微分互为逆运算,积分本身又具有单调性,此外也有积分中值定理,再加上积分明显的几何直观,使积分在不等的证明中也有广泛的应用.例 比较12-和()21ln +的大小解： ∵1211102102-=+=+⎰x dx x x 而当10≤≤x 时,有22111x x x +>+∴由积分单调性得 4.3定积分在组合恒等式证明中的应用选择适当的二项式,通过求导运算,可以证明组合恒等式,这是我们在3.3中已经介绍过.同样,选择适当的二项式,通过积分运算,也可以证明组合恒等式.例 证明()11113121210+=+-+-+-n C n C C C n n n n n n证明：考虑积分()⎰-=101dx x I n的两种算法： ①1110011+==-=⎰⎰-=n du u du u I n n x u ②()dx x C I n k k n k k n ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-==-1001 比较积分I 的两种计算结果,即得所证.局限于高中对微积分不做过深的研究,如定积分在求平面区域的面积,求平面曲线的弧长,求旋转体的体积,求旋转体的侧面积等方面的应用在这就不做过多的讨论. 5提高现代数学教师数学修养的必要性、可行性5.1提高现代数学教师修养的必要性5.2提高现代数学教师修养的可行性6结论6.1主要发现微积分在高考中越来越来被重视,且题型灵活多变,一般的学生难于把握,在解决的过程中更是困难重重,在解题中很难找到清晰的思路.然而当学生能够灵活掌握导数在解题中的应用以及数学思想方法,以其为指导,并熟练掌握微积分的基础知识以后,问题就能够迎刃而解,使得在解决微积分问题时思路清晰,运算简便,尤其是导数在求函数的单调性、极大〔小值和定积分在计算曲边形面积时对学生的帮助很大.6.2启示从上面的研究中可以看出微积分在求曲线的斜率、不等式的证明、函数的单调性以及求极大极小值、曲边梯形等有着广泛的应用,以后在处理微积分问题时,若能灵活应用微积分在这些方面的数学思想,对学生学习则会起到事半功倍的效果；微积分是高中教材选修2—2新增的容,无论是对于教师还是学生都是"新"的.作为教师要从思想方法上指导学生,6.3局限性本文主要就几种微积分在中学数学上的应用举例说明,其主要是归结概括,还有诸多知识需待补充,微积分在中学数学中的应用远远不止这些,未能一一例举.而本只介绍了几种微积分常用思想,其余的还有待进一步探讨.6.4努力方面微积分在中学数学中应用的领域众多,并不是短时间就可以学习掌握的.学好微积分是学习数学的关键,应用微积分可以解决很多数学数学问题,需进一步学习积累,灵活应用,以解决各类数学问题.参考文献[1]孟季和.中学微积分教材教法[M].：,1983：73—221[2]发祯.微积分在中学数学中的应用[M].教育,1991[3] 人民教育课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书《数学》〔选修2—2.人民教育.2009.。
微积分在数学学习和生活中的应用
２．１ 运用启发式教学法 。增强学生的安全用电意识 如何安全用 电，是每位维修 电工人员都应该十分重视 的问题 。在教
学过程之初 ，就应该对 每位 学生加强这方面的思想教育 。如果 学生发生 触 电事故 ，或是在 学习过程 中，因为操作不 当，造成对设备 的损害 ，都 是 令人难过 的大事 为了适 应现代 化教学的需要，教授应该对学生进行 启 发 。在讲授安全用 电知识 之时，教师若一味地将书本 山的知识 告诉给 学 生 ，这样不能调动大家 的积极性 ，学生会有“逆反 ，，』 理 ，一旦发 生这样 的 现象 ，不但不 能将 知识传授给学 生，还会对他们 的职业生涯规 划产生 影 响。电工维修课程是十分 注重实验的教学，因此 ，在实践教学 中，应 该对 平 时容易造成 的安全事 故进行 二次回放，这样，他们有 了切身地体会 ，在 用 电上 ，一 定 会 更 加 地 注 意 。 ２．２ 理论知识融合于实践操作教 学
受到社会各 界的关注 ，如何通 过提 高我们学 习微 积分数学文化 的认识 已成 为教育部 门的一个研 究热点 。 ．
关键词 ：微积 分：数学学 习：生活 ：应用
中图分类号 ：０１７２
文献标 识码 ：Ｂ
文章编号 ：１００４—７３４４（２０１３）１４—００３９—０２
ｌ 引 言
微积 分作为整个数学发展过程 中的重要主线 ，对 数学的发展起着举 足轻 重的作用 在解决一动态 问题时 ，可 以运用微积分 的原理建立一个 动态模型；在 经济和生活方面 也具有很重要 的作用 。因此 ，学好微积分对 我 们解决实 际问题至关重要 ，尤其是要很好 的掌握它 的思想方法 ，具有 重 要的现 实意义 。
根 小 于 ａ。 证法 一（采用初等方法证明）
学习数学文化感想
学习数学文化感想数学是一门科学，也是一门艺术。
它不仅仅是一种工具和方法，更是一种文化。
在学习数学的过程中，我深深感受到了数学文化的魅力和价值。
通过学习数学，我不仅仅获得了解决问题和探索世界的能力，还得到了一种思维方式和一种文化的启示。
下面，我将分享一下我对数学文化的感想。
首先，数学文化给我带来了严谨的思维方式。
在学习数学的过程中，我学会了思考问题的逻辑和条理，注重细节和精确性。
在解决数学问题时，我需要使用合适的方法和步骤，不能随意瞎猜或胡乱计算。
数学要求我们用推理和证明来解决问题，这培养了我们的逻辑思维和严密性。
这种思维方式不仅限于数学领域，也可以用到其他学科和生活中。
无论是解决科学问题、社会问题还是人际关系问题，都需要有严谨的思维方式。
数学文化教会了我如何认真思考、明确目标和方法，从而解决问题。
其次，数学文化让我更加了解世界和自然。
数学是自然界和人类活动的一种描述方式，通过数学，我们可以发现、理解和表达一切事物的规律和关系。
在学习数学的过程中，我接触到了大量的数学模型和理论，如概率、统计、微积分等等。
这些数学概念和原理不仅帮助我们更好地理解自然界和社会现象，还可以用来解决实际问题。
例如，概率论和统计学可以用来分析数据，预测未来的发展趋势；微积分可以用来描述物体的运动和变化，求解最优化问题。
通过学习数学，我懂得了为什么数学在科学研究和工程应用中起着重要的作用，也更加尊重和欣赏数学这门科学。
另外，数学文化培养了我对美的追求和艺术的欣赏。
数学是一门优美的艺术，它蕴含了许多美妙的定理和推理。
通过学习数学，我领略到了美丽的数学公式、几何结构和数学定律。
数学中的美感不仅体现在形式上，还体现在思维和创造力上。
解决一个数学问题，就像一场智力游戏，需要我们发挥想象力和创造力。
数学的艺术之美令人陶醉，激发了我对知识和智慧的追求。
我越是深入地学习数学，就越能体验到其中的美妙和乐趣，也越能欣赏并感受到数学这项艺术。
总之，学习数学文化给我带来了很多宝贵的收获。
数学中的数学文化
数学中的数学文化数学，作为一门学科，不仅仅是一种工具或一种技巧，更被视为一门文化。
数学的发展历程中积累了大量的知识和智慧，形成了独特的数学文化。
本文将从数学的起源、数学在不同文化中的演化以及数学在当代社会中的价值等方面来探讨数学中的数学文化。
1. 数学的起源早在古代，人类就开始使用简单的数学概念进行计数和测量。
埃及古老的文明中就包含了一些基本的数学知识，例如使用分数来记录土地的面积。
古希腊的数学家们则通过逻辑推理和证明，建立了几何学的基础。
古代中国的数学文化也有着独特之处。
中国古代数学家发明了竖式计算法，创造了很多数学方法和公式，例如《九章算术》等。
古代印度则发展了代数学和无穷级数的概念。
2. 数学在不同文化中的演化随着各个文化的发展，数学在各地得到了不同的发展和应用。
在古希腊，数学主要以几何学为主，欧几里得的《几何原本》成为了后世几何学的基础。
在中国，算术和代数学发展得更加深入，奠定了中国古代数学的基础。
在阿拉伯世界，伊斯兰教的传播使得阿拉伯数学得到了繁荣。
阿拉伯数学家通过对古希腊、中国和印度数学的吸收和整合，发展了代数学、三角学和算法等方面的知识，对欧洲的数学发展产生了重大影响。
在近代，西方的数学成为了全球数学发展的主流。
牛顿和莱布尼茨的微积分奠定了现代数学的基石，同时，数学在物理学、工程学和经济学等领域中的应用也越来越广泛。
3. 数学文化的当代价值在当代社会，数学文化发挥着重要的作用。
数学是一种思维的工具，它培养了逻辑推理和问题解决的能力。
数学中的证明过程要求严密的逻辑思维，这对于提高人们的思维能力和分析能力具有重要意义。
数学是一门国际性的学科，各个国家和文化都在数学中进行交流和合作。
跨越国界的数学研究和合作促进了不同文化之间的相互理解和交流。
在科学研究和技术创新中，数学是不可或缺的。
数学为物理学、工程学、经济学等领域提供了重要的工具和方法，推动了人类社会的进步和发展。
此外，数学文化也是一种艺术的表现形式。
数学文化在实践中的渗透应用——以微积分及教学为例
来形容 ， 仿 佛 它是一 座不 可 逾越 的高 山。然 而 ， 随着 润 最大 。 这些 问题 的解 决 ， 无 不 体现 微 积 分数 学 文 化
社 会 的进 步 ， 科 技 的发展 ， 数 学 方法 比任何 一种 科 学 在 实 际应用 中的价值 … 。
方法 的应 用范 围都 更 为广泛 ， 或者说 ， 任 何 一 门学 科
５ ９
—
—
应用 ”等方法 ， 经过 这样 长时 间 的训 练 ， 可 以提
升 人 的综合 能 力 ， 比如 在运 算 能 力 、 自学 能 力 、 推 理 能力 、 思 维方 法等 方面发 挥重 要 的作 用 。 对 人进 行 知
ｆ Ｘ ２ ｄ ｘ＋…… ＋（ 一１ ） ｋ ｆ Ｘ ２ ｋ ｄ ｘ＋……
即 ａ ｒ ｃ ｔ ｇ ｘ ＝ 一 争＋ 等 … （ 一 １ ）
＋
识 体 系建 设 具 有关 键 作 用 ， 数 学 模 型 设计 过 程 中需 要 把知 识 和 文 化结 合 在 一 起 ， 把 其 实 际 价值 结 合 在
一
起， 提 升数 学综 合应用 管理 水平 Ｊ 。 （ 一 ） 自学能 力的培 养 我 们知 道 ， 微 积 分 数 学 文 化 中最 基 本 的 概 念 就
为２ ． ５ 元 ／吨公 里 、 并设 运输 工具 的载 重量都 是 １ 吨。 则此 时 ， 作 为一个 公 司的老 板 ， 就必 须 考 虑如 何 分 配
一
般人 们 一提起 数 学 ， 都 会 用 抽象 、 精 确等 等 词 货 物 的运 输 ， 才 能使 得 总收 益 减 去 总成 本 后 的 总 利
用 数 学方 法 的领域 。许 多相 同形式 的数 学模 型可 用 如 何选 择一 种既 实 惠又符 合 自己实践 能 力 的贷 款 方 于不 同 的 实 际 问 题 ， 并 且 具 有 重 要 的 类 比 和 借 鉴 式 ， 成 为想贷 款买 房 的人首 先应该 考 虑 的事 情 。
“微积分”教学中融入数学文化的教学设计
试 教 育 向 素 质 教 育 转 变 ，从 精 英 数 学 教 育 向 大 众 数 学 教 育
转 变 。” 大 学 数 学 教 育 也 要 服 务 于 这 一 主 题 ， 把 培 养 学 生
数 学 教 学 并 不 只 是 一 种 有 趣 的 活 动 ，仅 仅 使 数 学 变 得 有 趣 起 来 ，并 不 能 保 证 学 习 定 会 获 得 成 功 。 因 为 ，数 学 教 学 的 成 功 还 需 要 艰 苦 的 工 作 ，还 需 要 学 好 课 本 上 的 数 学 知 识 。 实 现 数 学 教 育 目的 ，培 养 学 生 数 学 素 质 ，数 学 知 识 是 根 本 ，是 培 养 其 它 数 学 能 力 的 基 础 ，如 果 数 学 知 识 都 没 有 掌 握 好 ，数 学 教 育 就 成 了一 句 空 话 。如 果 学 生 连 极 限 、连
时间不 宜过多 。若 教师仅仅 为 了吸引学生的兴趣 ，把注意
力 和 大 量 的 时 间都 放 到 相 应 的 活 动 或 情 景 上 ，而 不 能 把 重 点 集 中 于 数 学 内容 ，就 会 喧 宾 夺 主 ，本 末 倒 置 。 ２发 动 学 生 参 与 ．
所吸引，也有效解决 了第一 阶段研究中出现的进度 问题 。在
的 数 学 素 质 ，作 为 “ 积 分 ” 的 主要 教 学 目 的 。 微
一
、
“ 积 分 ” 教 学 中 融 入 数 学 文 化 的 流 程 微
教 学 并 无 固 定 模 式 ，因 此 “ 积 分 ”教 学 中融 人 数 学 微
文 化 也 可 以 有 多 种 模 式 ，本 文 将 笔 者 在 研 究 与 实 践 中所 采 用 的融入模式做一个概 括。 在研 究 的 第 一 阶段 ，主 要 在课 堂 教 学 时 介绍 与知 识 点 相 关 的数 学 家 故事 、数 学 事 件 等 数 学史 知 识 ，往 往 占用 了较 多 的课 堂 时 间 ，影 响 了教 学 进 度 。此 外 ，在 融 人 数 学 文 化 时 ， 与知 识 点 的联 系不 很 紧 密 ，如单 纯 向学 生 展 示 数 学 的美 、数 学 在 人 类文 明 中 的 巨大 作 用 ，与教 学 的融 合 比较 生硬 ，较 流 于 表 面 。在 第 二 阶段 研 究 中 ，则 总 结 经 验 ，充分 发动 学 生 ， 让 学 生 在课 余 时 间 收 集相 关 数 学 史 资 料 ，既 调 动他 们 的学 习 积 极性 ，还 促 使 部 分 学 生不 由 自主 地 被 数 学 深厚 的文 化 内涵
中学数学中开设微积分课程的必要性
中学数学中开设微积分课程的必要性发表时间：2012-01-13T13:39:11.140Z 来源：《少年智力开发报》2011年第7期供稿作者：吴建煌[导读] 高中开设微积分课程利于高中生初步了解大学数学，避免出现今后发现对数学根本不感兴趣，影响今后自身发展.南平四中吴建煌1衔接高等数学与拓展初等数学的需要初等数学是高等数学的基础，二者有着本质的联系，将高等数学的方法应用于中学，使其内在的本质得以体现，进而指导初等数学的教学.针对目前我国高中与大学知识的脱轨现象出现的一系列问题，如许多从高中刚过渡到大学的学生往往较难理解大学数学的一些概念，表现出一些无从学起的茫然，产生高中数学与大学数学似乎根本就毫不相干的疑问.因此，高中开设微积分课程有利于高中生初步了解大学数学，避免出现今后发现原来对数学根本不感兴趣，影响今后自身发展的现象.此外，由于初等数学本身的局限性，许多问题用初等数学的方法显得复杂，而用微积分的方法则可以优化解题过程.高中引入微积分可以使解题方法多样化，发散学生的思维，使数学不再枯燥、单调.2培养学生创新思维能力在传统的教学过程中，学生被当作知识灌输的“容器”，老师教什么，学生学什么，学生完全处于被动状态.这种教法不利于学生创新思维能力的培养，在教学过程中，应该要以学生为主体，以教师为主导，让学生参与教学过程活动，引导学生掌握一些数学发现的思维方法.创新思维能力培养是数学教育的基本目标之一.创新思维能激发学生求知欲，增强学生学习信心.微积分中蕴含着重要的思想和方法，这些思想和方法有利于学生形成辩证逻辑思维.同时，微积分引入高中数学也体现了与时俱进的精神，社会需要创新型人才，因此，高中课程改革应更注重提高学生的创新思维能力.3普及数学文化在现代人，特别是在追求个性、时尚的中学生，文化的东西似乎总是容易被忽略掉，对事物的认识比较局限于表面.许多学过数学的人反映数学似乎不过是那些呆板的数学公式、定理，似乎缺少了一些深层次的东西---数学文化.我个人认为，要对一个事物有更好的认识，首先要对它的文化有一定的了解才能做到对它有进一步的认识.因此高中注重传授学生数学知识的同时，也应注重对数学文化的弘扬.文化是教育最有效的启发式之一.将数学文化结合进数学教学，可以激发学生学习数学的兴趣，树立正确的数学观.通过微积分的学习，学生可以品味到人类文化进步的喜悦与精神胜利.此外，我国高中开设微积分课程也是与国际接轨的需要，如美国等许多国家高中已经开设微积分课程了.所以我国高中开设微积分课程就显得非常必要.。
微积分中数学文化教学的案例与分析
．
‘
用半 径把 圆分 割成 ｎ等 份 ， 到 ｎ个 小 扇形 ． 着 ／的增 得 随 ／ ， 加 ， ｎ较大 时 ， 当 小扇 形 的弧线就 接 近于直 线 ， 小扇 形接 近 于等
图 １ 圆 的 面 积公 式 推 导
腰三角形 ， 其高接近于ｒ 半径． 设小扇形面积为 Ａ Ｓ， 弧长为Ａ ｌ ；
第３ ０卷 第 ９期 ２１ ００年 ９月
绍
兴
文
理பைடு நூலகம்
学
院
学
报
Ｖｏ． ０ Ｎｏ ９ １３ ． Ｓ ｐ ． ０１ ｅ ｔ２ ０
Ｊ ＯＵＲＮＡＩ Ｆ Ｓ ０ ＨＡＯ ＮＧ ＵＮ ＶＥＲ Ｉ Ｙ ＸＩ Ｉ ＳＴ
微 积分 中 数 学 文 化 教学 的案 例 与 分 析
吴 菊凤
（浙 江 邮 电 职业 技 术 学 院 ， 江 绍 兴 ３ ２ １ ） 浙 １０ ６
用。 － Ｍ． ¨ ２ 克莱因认为 ：在最广泛的意义上说 ， “ 数学是一种精神 ， 一种理性的精神． 正是这种精神 ， 使得人 类 的思 维得 以运 用到最 完美 的程度 ， 正是 这种精 神 ， 也 试图决 定性地 影 响人类 的物质 、 德 和社会 生活 ； 道 试
图 回答 有关人 类 自身提 出 的问题 ； 力 去理解 和控 制 自然 ； 力去探 索 和确立 已获得 知识 的最深刻 的和最 努 尽 完 善 的 内涵 ． 这 是我们 目前 崇 尚数学 文化 教学 的理 由所在 ． ” 由于 数学精 神 是 内含于 数学知识 体 系之 中 的， 因此 ， 的传授 应立 足于课 堂教 学 ， 在 数学知 识及其 应用 方法 的传 授过 程 中 自然 而然地 加 以渗透 ， 它 要 让
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第一章绪论1.1 课题背景和意义如今，数学已成为大学生的必修课之一，而微积分则是数学学习中的重要的基础课程，贯穿整个数学学习的始终。
随着我国教育思想的根本转变，如何贯彻落实素质教育，提高学生运用数学思想在实际运用中的作用则越来越受到社会各界的关注，对于如何通过对微积分的学习来提高我们对数学文化的认识也成为教育部门积极探讨的话题。
可见，研究微积分在数学文化中的价值有着重要的现实意义。
所谓微积分，故名思义，它包括微分学和积分学。
但在数学发展的长河中，它们是相互独立地发展起来的，先有积分再有微分，最后才有微积分。
同时我们也应该看到，微积分的创立远非几个人的工作，它经历了一个漫长而曲折的过程。
早期的数学家们勇于开拓并征服了众多的科学领域，把微积分应用到天文学、力学、光学、热学等各个领域，为微积分的发展提供了广阔的空间，并在此过程中形成了数学的一些重要分支，如微分方程、无穷级数、微分几何、变分法、复变函数等等，大大扩展了数学研究的围。
所以，微积分的建立与发展对数学历史发展有着重要的意义。
数学的发展有其悠久的历史，尤其是微积分的发展，不但是一部文明史，而且也是一部文化发展的史书。
无论是公元600年以前的早期数学，还是公元前600年到300年之间的古希腊数学，数学都作为一门有组织的、独立的和科学的学课而存在。
但此时的数学，往往是为数不多的数学家们研究的对象，普及率很低，人们普遍使用的数学仅仅停留在简单的加减乘除阶段。
经过数百年的发展与演变，如今的数学已然已经成为一门大众化的课程，我们从小学开始就学习数学，从简单的加减乘除开始到复杂的高等数学，可以说数学贯穿了我们整个学习生涯，对他的研究已经不在是少数几个数学家的专利，而是我们普及义务教育的基础的和重要的课程。
微积分作为整个数学发展过程中的重要主线，对数学的发展起着举足轻重的作用。
17世纪后半叶，英国的牛顿和德国的莱布尼茨以其卓越的天才首先明确地认识到求积问题和作切线问题之间的互逆关系，建立了微积分基本定理，并且系统地总结出了一套强有力的算法，也正是因为这几点，使他们俩成为微积分的创立人。
微积分建立以后，分析学飞快地向前发展，18世纪达到了空前灿烂的程度，其容的丰富，使人来不及检查和巩固这一领域的理论基础，因而遭受到了种种非难。
到了19世纪初年，许多迫切的问题已基本上得到解决，数学家便开始了基础的重建与严格化。
微积分这部无穷交响乐的演奏过程，引人注目的变化则是20世纪初，数学家们将函数的积分概念作了推广，提出了包罗广泛的积分理论，既实变函数论，而现在国已有不少学者对此作出了比较深入的研究。
而今，我们在总结前人已有的研究的基础上，更加应该注重把它的思想方法运用到实际中来，解决实际问题，从而使微积分的价值得以体现。
例如：我们在解决一动态问题时，对于学过微积分并掌握得很好的同学来说，他们可以运用微积分的原理建立一个模型，用动态的方法轻松得解决。
而对那些没有学过微积分或者学的很少的人来说，他们对于这个问题则只能用静态的方法来处理，显然两者运算结果的差距会很大，用简单的静态的方法比运用微积分的原理的方法结果误差会更大些，更不精确些。
因此，学好微积分对我们解决实际问题至关重要，尤其是要很好的掌握它的思想方法，具有重要的现实意义。
1.2国外文献综述我国于2001年颁布了《义务教育阶段国家数学课程标准》，在其基本理念中明确提出：“数学是人类生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行运算、推理和证明，数学模型可以有效的描述自然现象和社会现象，数学为其他学科提供了语言、思维和方法，是一切重大技术发展的基础，数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用。
”现在国外已有不少学者在这方面做出了较深入的研究，比如：渺在文献中着重阐述了微积分在数学文化方面的各种价值。
第一，微积分具有思维价值。
如果把微积分的研究单纯地看作一种技术，是谈不上对学生的思维养成的。
正如当代著名数学家苛朗曾指出的：“微积分，或数学分析，是人类思维的伟大成果之一。
”，所以我们应着重分析微积分对人的思维方式的培养。
例如在一种新产品的销售模型上，厂家和商家总是采取各种措施，他们希望对产品的销售速度与销售数量做到心中有数，以便于组织安排。
此时，如果我们运用微积分的思维方式安排一个数学模型来描绘产品推销速度，并由此分析出有用结果，以指导生产和销售。
这种运用微积分的思维价值的批判的、理性的、开放的思维方式的养成有利于学生的认识结构的优化，开阔思路，从而能使学生形成良好的创造性思维和创新意识。
第二，微积分具有美学价值。
数学美一直是指引数学家前进和奋斗不息的一盏明灯，而微积分的美，尤其具有数学美的特性。
因为微积分中概念、定理、算法是一曲曲令人神往的歌曲，是一首首令人回味无穷的诗歌，在此基础上构成的微积分，体现了数学美，同时也反映了数学本质，它们都以科学、匀称、明快的语言表达出来，体现数学的简洁美、和谐美、奇异美。
其中微积分的简洁美首先表现在符号美。
我们知道，符号可使人们摆脱一些约束，集中精力于主要环节，增加了人们的思维能力，极促进了数学的发展。
如前所述，牛顿和莱布尼兹各自独立地发展了微积分，由于两个人研究的出发点不同，两人使用的符号也不一致。
尽管如此，这些符号却被沿用至今。
可以看到，微积分符号的产生与数学发展的背景有着密切的联系，同一概念开始运用不同的符号，人们在使用过程中不断对其进行鉴别，以确定优劣性，其中蕴涵着一个审美过程。
其次表现在统一美。
如多元微积分中的三个公式：格林公式、高斯公式、斯托克司公式都是牛顿——莱布尼兹公式的推广，同时又可用高维空间的斯托克公式的推广，给人一种清新的感觉。
而统一美的另外表现形式是把微积分应用于中学数学的统一，同时提高了中学数学的品位。
对以上微积分的分析，使人们认识到，看待事物不能用简单的“二分法”，看待纷繁复杂的世界要抓住事物的本质，从多方面、多角度去考察，让人们以动态的、辨证的、全面的、系统的观点看待问题。
年仁德在文献中[15]中研究了微积分在数学文化中的价值。
第一，微积分的学习可以培养人的创新精神。
微积分是一门创新的科学，可以说创新是没有止境的，而且每一步的创新都是前人的丰富和完善。
正如H.汉克指出：“在大多数科学里，一代人推倒另一代人所修筑的东西，一个人所建立的另一个人要加以摧毁。
只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层楼。
”数学文化几千年的发展实践，已经充分证明了这一点。
第二，微积分的学习可以感受到数学文化的艺术魅力。
把文学语言与数学语言相结合，可以发现美学价值另具神韵。
敬书在文献中着重指出微积分在数学文化中的重要价值。
他认为，首先，我们学习数学尤其是学习微积分，应该把它看成是我们思维的工具。
(a)数学具有严谨的逻辑性、高度抽象性、丰富的直觉和想象性，这就决定了数学是一种思维工具。
(b)数学是人们分析问题和解决问题的思想工具，其研究方法是抽象的。
人们总是通过科学抽象，建立模型，在数学模型上展开数学推导和计算，形成对问题的认识，把握现实力量。
(c)数学赋予知识以逻辑的严密性和结论的可靠性，是使认识从感性认识上升到理性认识的阶段，并使理性认识进一步深化的重要手段。
(d)数学是辨证的辅助工具和表现方式，即用数学符号语言、公式等表示各种辨证的关系和转化，是一个运用数学进行思维的过程。
其次，数学是一种思想方法。
数学是研究量的科学，在提炼量的规律性的基础上形成各种量的推导和演算的方法，为解决问题提供数量分析和计算工具，提供推理工具和建立模型，具有一般方法论的性质和特征。
1.3 本文的研究容第一部分：认识学习微积分思想在解决实际问题中的必要性、重要性，在绪论中已有较详细的阐述。
第二部分：如何体现微积分在实际运用中的重要价值，进一步运用例子加以说明。
第二章学习微积分在实际应用中的价值2.1 学习微积分在经济领域的价值众所周知，当今数学的应用几乎遍及所有的科技领域，它不仅为自然科学、工程技术以及社会科学提供了有力的工具，而且随着现代科学技术和社会的发展，不断产生新的高科技，成为现代经济技术的关键部分。
微积分作为数学的一个重要的分支，在经济学、管理科学中也有着广泛的应用，随着计算机技术及其它高科技的普及和发展，它在经济及管理中的重要作用性日渐突出，并且越来越多的渗透到经济领域。
2.1.1微积分中的极限理论在经济中的应用学过微积分的人肯定都知道在我们刚开始学习微积分的时候就会首先学习极限的定义，即给定数列{Xn }.如果当n无限增大时，Xn无限趋近于某个确定的常数a，我们就说数列Xn当n→∞（读作n趋向无穷大）时以a为极限，记为∞→nlim X n =a 或 X n→a.这样一个基本的定义在我们的经济领域却有着广泛的应用。
例如，货币理论中的连续复利问题：设一笔贷款A(本金)年利率为r，则k年后的本利和为Ak =Ao(l+r)k气若一年分n期计息，年利率仍为r,每期利率为nr，一年后的本利和为A1=A(1+nr)n而k年后的本利和为Ak=A(1+nr)nk，让n→∞，则k年后的本利和为Ak =∞→nlim A0(1+nr)nk=Ae nk，即有连续复利公式:Ak=Ae nk。
2.1.2微积分中的导数理论在经济中的应用例如：经济学的边际成本C二定义为:增加一个单位产品引起总成本CT的变化。
边际收益定义为:附加销售一个商品引起总收益RT的变化。
总成本和总收益都是产量Q的函数。
所以，边际成本和边际收益在数学上可以表达为各自总函数的导数。
也就是:若:Cr =Cr(Q),Rr=Rr(Q),则Cm=dQdCr,Rm=dQdRr。
边际概念的实质就是经济函数的导数。
例2. 设某企业总成本函数Cr=0.001Q3-0.3Q2+20Q+500(元)，求:边际成本函数和产量Q=30件时的边际成本，并解释后者的经济意义。
解：边际成本函数：C m =dQdC r =0.003Q 2-0.6Q+20 Q=30单位时的边际成本：C m |Q=30=(0.003Q 2-0.6Q+20)|Q=30=4.7(元/件)经济意义:表示生产第30件产品时所花费的成本为4.7元。
2.1.3 微积分中的极值理论在经济中的应用例 5. 设某厂成本C 关于产量Q 的函数为:C(Q)=5Q+200(元)，收人函数为:R(Q)=325Q-Q 2(元)。
间每批生产多少件产品才能使利润L(Q)最大?要解决此类经济中的极值问题，则必须用到微积分中的极值理论。
解：L(Q)=R(Q)-C(Q)=320Q-Q 2=-200L'(Q)=320-2Q令L'(Q)=0，得Q=160(件)∴ L"( Q )=-2<0 , ∴L(160 )=25400(元)为极大值，也就是最大值。