八年级数学上册 5.8《三元一次方程组》例题与讲解素材 北师大版 精

*8 三元一次方程组1．三元一次方程及三元一次方程组(1)三元一次方程：含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程．(2)三元一次方程组：①定义：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组．如：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＋z ＝3，x －2z ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋2z ＝2，3x ＋2y －4z ＝3，2x －y ＝7等都是三元一次方程组．②拓展理解：a ．构成三元一次方程组中的每一个方程都必须是一次方程；b ．三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数．【例1】 下列方程组中是三元一次方程组的是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y ＝1，y ＋z ＝0，xz ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋y ＝1，1y ＋z ＝2，1z ＋x ＝6C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋d ＝1，a －c ＝2，b －d ＝3D.⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝18，n ＋t ＝12，t ＋m ＝0解析：A ，B 选项中有的方程不是三元一次方程，C 中含有四个未知数，只有D 符合三元一次概念内涵，故选D.答案：D2．三元一次方程组的解(1)三元一次方程的解：使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解．和二元一次方程一样，一个三元一次方程也有无数个解．(2)三元一次方程组的解：组成三元一次方程组的三个方程的公共解，叫做三元一次方程组的解．它也是三个数．(3)检验方法：同二元一次方程和二元一次方程组的检验方法一样，代入检验，左、右两边相等即是方程的解．释疑点 检验三元一次方程组的解三元一次方程组的解是三个数，将这三个数代入每一个方程检验，只有这些数满足方程组中的每一个方程，这些数才是这个方程组的解．【例2】 判断⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，z ＝－3是不是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝5，2x －y ＋z ＝4，2x ＋y －3z ＝10的解．答：__________(填是或不是)．解析：把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，z ＝－3代入方程组的三个方程中检验，能使三个方程的左右两边都相等，所以是方程组的解．答案：是3．三元一次方程组的解法(1)解法思想：解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程．(2)步骤：①观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；②利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ③解二元一次方程组，求出两个未知数的值；④将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；⑤写出三元一次方程组的解． (3)注意点：①三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可； ②解三元一次方程组时，每一个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确．【例3】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＋2z ＝2，3x ＋2y －4z ＝3，2x －y ＝7.①②③分析：观察方程组中每个方程的特征可知，方程③不含有字母z ，而①，②中的未知数z 的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母z ，然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解．解：①×2＋②，得5x ＋8y ＝7，④ 解③，④组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，5x ＋8y ＝7.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.把x ＝3，y ＝－1代入①，得z ＝1，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，z ＝1.4．运用三元一次方程组解实际问题 (1)方法步骤：①审题：弄清题意及题目中的数量关系； ②设：设三个未知数；③列：找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，用式子表示，列出三个方程，组成三元一次方程组；④解：解这个方程组，并检验解是否符合实际； ⑤答：回答说明实际问题的答案． 析规律 列三元一次方程组同二元一次方程组的实际应用相类似，运用三元一次方程组解决实际问题要设三个未知数，寻找三个等量关系，列出三个一次方程，组成三元一次方程组．【例4】 某个三位数是它各位数字和的27倍，已知百位数字与个位数字之和比十位数字大1，再把这个三位数的百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的三位数，新三位数比原三位数大99，求原来的三位数．解：设百位数字为a 、十位数字为b ，个位数字为c ，则这个三位数为100a ＋10b ＋c ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝b ＋1，a ＋b ＋c ＝100a ＋10b ＋c ，100a ＋10b ＋c ＋99＝100c ＋10b ＋a .化简，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝1，－73a ＋17b ＋26c ＝0，a －c ＝－1.解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，c ＝3.答：原来的三位数是243.5．三元一次方程组的解法技巧解三元一次方程组的基本思路是消元，即化三元为二元，从而转化为二元一次方程组求解，在这里关键是消元，若能根据题目的特点，灵活地进行消元，则可把方程组解得又准确又快捷，下面介绍几种常见的消元策略供参考．(1)先消系数最简单的未知数，这样可以减少运算量，简化过程．如： ⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2z ＝3，2x ＋y －3z ＝11，x ＋y ＋z ＝12中，y 的系数较简单，先消y 简单．(2)先消某个方程中缺少的未知数．若方程组中某个方程缺少某个元，把另外两个方程结合，消去这个元，转化为二元一次方程求解．如：⎩⎪⎨⎪⎧4x －9z ＝17， ①3x ＋y ＋15z ＝18， ②x ＋2y ＋3z ＝2. ③因为方程①中缺少y ，所以由②，③组合先消去y 比较简单． (3)先消去系数的绝对值相等(或成倍数关系)的未知数，如： ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＋3z ＝9，3x －2y ＋5z ＝11，5x －6y ＋7z ＝13，三个方程中y 的系数成倍数关系，因此先消去y 比较简单． (4)整体代入消元，如：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝26， ①x －y ＝1， ②2x ＋z －y ＝18. ③将方程③左边变形为(x ＋y ＋z )＋(x －y )－y ＝18，作整体代入便可消元求解．(5)整体加减消元：如： ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＋z ＝13， ①x ＋y ＋2z ＝7， ②2x ＋3y －z ＝12， ③在三个方程中，根据未知数x ，z 的系数特点，可用②＋③－①整体加减消元法来解得y 的值．再逐步求解．【例5－1】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4z ＝7，①2x ＋3y ＋z ＝9， ②5x －9y ＋7z ＝8. ③分析：因为方程①中缺少未知数y 项，故而可由②，③组合先消去y ，再求解． 解：②×3＋③，得11x ＋10z ＝35，④解由①，④组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4z ＝7，11x ＋10z ＝35.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，z ＝－2.⑤把⑤代入②，得y ＝13，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－2.【例5－2】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x －15y ＋4z ＝38，①x －3y ＋2z ＝10， ②7x －9y ＋14z ＝58. ③分析：经观察发现①中的5x －15y ＝5(x －3y )，这就与②有了联系，因此，①可化为5(x －3y ＋2z )－6z ＝38，把②整体代入该方程中，可求出z 的值，从而易得x 与y 的值．解：由①，得5(x －3y ＋2z )－6z ＝38，④ 把②整体代入④，得5×10－6z ＝38. 解这个方程，得z ＝2， 把z ＝2分别代入①，②中，得⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －15y ＝30，7x －9y ＝30.⑤解⑤，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，z ＝2.【例5－3】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝11， ①y ＋z －x ＝5， ②z ＋x －y ＝1. ③分析：方程组中每个未知数均出现了三次，且含各未知数的项系数和均为1，故可采用整体相加的方法．解：①＋②＋③，得x ＋y ＋z ＝17，④再由④分别减去①，②，③各式，分别得z ＝3，x ＝6，y ＝8.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝3.6.三元一次方程组的应用归类三元一次方程组的应用和二元一次方程组的应用类似，也主要包括两类： (1)构造方程组，通过解方程组解决问题．主要有以下几种情况． ①根据某些数学概念构造方程组，如：2x 4m y 16－5n与x3n ＋6y 2m是同类项，根据同类项定义列方程求未知数m ，n .②运用非负数的性质构造方程组．如：如果(x ＋y －2)2＋|y ＋z －4|＋|x －y ＋2|＝0，那么x ＝__________，y ＝__________，z ＝__________.根据题意列出三元一次方程组求解．③已知方程的解的情况求未知系数．如：关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3m ，x －y ＝9m 的解，也是方程3x ＋2y ＝17的解，则m的值是？根据题意构造一个以x ，y ，m 为未知数的三元一次方程组求解． 点评：这类问题的实质是变相的解方程组问题．(2)列方程解应用题，根据实际生活中的情景，列方程组解决实际问题．【例6－1】 如果方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝m ＋2，2x ＋3y ＝m 中，x 与y 的和为2，则m 的值是( )．A ．16B ．4C ．2D ．8 解析：方法一：因为x 与y的和为2，即x ＋y ＝2，所以与⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝m ＋2，2x ＋3y ＝m ，组成一个三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝m ＋2，2x ＋3y ＝m ，x ＋y ＝2.解这个方程组，求出m ＝4.方法二：也可以先解⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝m ＋2，2x ＋3y ＝m .求出x ，y 的值(含m )，再把解得的x ，y 的值代入x ＋y ＝2中，求出m .方法三：把x ＝2－y 代入⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝m ＋2，2x ＋3y ＝m ，解含y ，m 的二元一次方程组．答案：B【例6－2】 如果|x －2y ＋1|＋|z ＋y －5|＋(x －z －3)2＝0，那么x ＝__________，y ＝__________，z ＝__________.解析：根据非负数的和为0，各式都为0，列出三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，z ＋y －5＝0，x －z －3＝0.化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝－1，z ＋y ＝5，x －z ＝3.解这个方程组，得x ＝5，y ＝3，z ＝2.答案：5 3 27．运用三元一次方程组求代数式的值解三元一次方程组是对消元思想和方法的综合的、全面的运用，另一方面是将来学习二次函数的必备知识，在本章中，经常出现一类求代数式值的问题，如：已知代数式ax 2＋bx ＋c ，当x 分别取1,0,2时，式子的值分别是0，－3，－5，求当x ＝5时，代数式ax 2＋bx ＋c 的值．解法：分别将x ＝1,0,2代入代数式ax 2＋bx ＋c 中，得到一个三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，c ＝－3，4a ＋2b ＋c ＝－5.解这个三元一次方程组，求出系数a ，b ，c 的值，再将x ＝5回代，再求出当x ＝5时，式子ax 2＋bx ＋c 的值．【例7－1】 已知x ＋2y ＋3z ＝54,3x ＋2y ＋2z ＝47，2x ＋y ＋z ＝31，那么代数式x ＋y ＋z 的值是( )．A ．17B ．22C ．32D ．132解析：将三个三元一次方程组成方程组，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋3z ＝54，3x ＋2y ＋2z ＝47，2x ＋y ＋z ＝31.整体求法，将三个式子相加，得6x ＋6y ＋6z ＝132，两边都除以6，解，得x ＋y ＋z ＝22.B 正确，故选B.答案：B【例7－2】 在等式y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x 分别取1,2,3时，y 的值分别为3，－1,15.则a ＝__________，b ＝______，c ＝______；当x 取4时，y 的值为______．解析：把x ＝1,2,3分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝－1，9a ＋3b ＋c ＝15.解这个三元一次方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－34，c ＝27.所以等式是y ＝10x 2－34x ＋27，把x ＝4代入y ＝10x 2－34x ＋27中，得y ＝51.答案：10 －34 27 51 8.含比例方程的方程组的解法三元一次方程组中，有一类方程，含有比例式子，如⎩⎪⎨⎪⎧x ∶y ＝3∶2， ①y ∶z ＝5∶4， ②x ＋y ＋z ＝66. ③这类方程组的解法有两种方式，一是把方程组根据比例的性质进行化简，化为一般的三元一次方程组，按常规思路进行解决；二是设参数法，如在上面的方程组中设每一份为k ，则x ＝3k ，y ＝2k ，z ＝1.6k ，把它们分别代入③中，得3k ＋2k ＋1.6k ＝66.即6.6k ＝66，解得k ＝10，所以x＝30，y ＝20，z ＝16.从而解出方程组．【例8】 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＝y 4＝z 5，7x ＋3y －5x ＝16.①②分析：方法一：将①化简成两个方程和②组成三元一次方程组，解这个三元一次方程组；方法二：因是比例式，所以设x 3＝y 4＝z5＝t ，则x ＝3t ，y ＝4t ，z ＝5t ，代入②中即可求出t的值，解出方程组．解：设x 3＝y 4＝z5＝t ，则x ＝3t ，y ＝4t ，z ＝5t ，将它们都代入方程②，得7×3t ＋3×4t －5×5t ＝16，解得t ＝2.所以x ＝6，y ＝8，z ＝10. 所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.。