直线与圆知识点总结
九年级直线与圆知识点总结
九年级直线与圆知识点总结直线与圆是数学中的基础概念，也是九年级数学学习的重点内容之一。
本文旨在对九年级直线与圆的知识点进行总结和归纳，帮助同学们更好地掌握和理解这一部分知识。
一、直线的基本性质直线是由无数个点组成的，没有宽度和厚度。
直线有无限延伸的特点，可以沿着两个方向无限延伸。
直线的方向可以用斜率来表示，斜率等于直线上两点间的纵坐标差值除以横坐标差值。
二、直线的表示方法直线可以用方程来表示，其中最常见的是一般式方程和斜截式方程。
一般式方程表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数。
斜截式方程表示为y=kx+b，其中k为斜率，b为y轴截距。
三、直线的性质与判断直线可以与坐标轴相交，根据与坐标轴的交点数目可以判断直线在坐标平面上的位置。
若直线与x轴交于一个点，则斜率为零；若直线与y轴交于一个点，则斜率不存在或为无穷大；若直线与x 轴和y轴都不相交，则斜率既不为零也不为无穷大。
四、直线的特殊情况平行于x轴的直线的斜率为零，平行于y轴的直线的斜率不存在或为无穷大。
垂直于x轴的直线与x轴的夹角为90度，垂直于y轴的直线与y轴的夹角也为90度。
五、圆的基本概念圆是由平面上离一个固定点的距离都相等的点构成的图形。
圆由圆心和半径组成，其中圆心表示为O，半径表示为r。
六、圆的表示方法圆可以用方程来表示，最常见的是标准方程和一般方程。
标准方程表示为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
一般方程表示为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
七、圆的性质与判断圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离，圆的直径是经过圆心的一条线段，长度等于半径的两倍。
圆的周长等于2πr，其中π为圆周率，约等于3.14159。
八、直线与圆的关系直线可以与圆相切、相交或者不相交。
如果直线刚好与圆相切，那么直线与圆的切点就是切线的一个端点，切线与半径垂直；如果直线与圆相交于两个不重合的交点，那么直线称为弦，弦的中点必定在圆的半径上。
直线与圆知识点
一、基本概念斜率与倾斜角x轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角。
倾斜角α∈0,π)，直线的斜率，常用k表示，即k=tanα。
倾斜角是π2时，k不存在当k=0时，直线平行于轴或与轴重合；当k>0时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k的增大而增大；当k<0时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角k随的增大而减小；二、基本公式1. P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式|P1P2|=√(x1−x2)2+(y1−y2)22. P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线斜率公式k=y1−y2x1−x2=tanα(x1≠x2,α≠π2)3.直线方程的几种形式（1）点斜式：直线的斜率k存在且过(x0,y0)，y−y0=k(x−x0)（2）斜截式：直线的斜率k存在且过(0,b)，y=kx+b（3）两点式：y−y1y2−y1=x−x1x2−x1，不能表示垂直于坐标轴的直线。
（4）截距式：xa +yb=1不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线。
（5）一般式：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，能表示平面上任何一条直线4.两直线平行，则k1=k2⟺A1B2－A2B1＝0；两直线垂直，则k1k2=−1⟺A1A2＋B1B2＝05.点到直线距离公式：点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为：d=00√22两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，则l1与l2的距离为d=12√226. 圆的标准方程：(x−a)2+(y−b)2=r2圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心(−D2,−E2)，半径r=12√D2+E2−4F7. 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断1．两圆之间存在以下三种位置关系(1)两圆相交，有两个公共点；(2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；(3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点。
直线与圆的位置关系的数学知识点
直线与圆的位置关系的数学知识点
直线与圆的位置关系的数学知识点
①直线和圆无公共点，称相离。
AB与圆O相离，dr。
②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。
AB 与⊙O相交，d
③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
AB与⊙O相切，d=r。
(d为圆心到直线的距离)
平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程
如果b^2-4ac0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴(或垂直于x轴)，将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1
当x=-C/Ax2时，直线与圆相离;。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程是解析几何中的基本知识点，下面是关于直线与圆的方程的一些重要知识点总结：
直线方程知识点总结：
1. 直线的点斜式方程：y-y0=k(x-x0)，其中 (x0, y0) 为直线上的一点，k 为直线的斜率。
2. 直线的斜截式方程：y=kx+b，其中 k 为直线的斜率，b 为 y 轴上的截距。
3. 直线的两点式方程：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，其中 (x1, y1) 和
(x2, y2) 为直线上的两点。
4. 直线的截距式方程：x/a + y/b = 1，其中 a 和 b 分别为直线在 x 轴和 y 轴上的截距。
5. 直线的一般式方程：Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数，且 A 和
B 不为 0。
圆的方程知识点总结：
1. 圆的标准式方程：(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径。
2. 圆的参数式方程：x=h+rcosθ, y=k+rsinθ，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径，θ 为参数。
3. 圆的极坐标式方程：ρ=r，其中 r 为半径，θ 为极角。
4. 圆的直径式方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中 D、E、F 为常数。
5. 圆的一般式方程：x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。
在直线与圆的方程中，还有一些重要的知识点和概念，如直线的法线式和参数式，圆的切线和割线等。
理解和掌握这些概念和公式对于解决几何问题非常重要。
圆与直线知识点总结
圆与直线知识点总结一、圆的基本概念圆是平面上与一个给定点距离相等的点的集合。
这个给定点叫做圆心，与圆心距离相等的距离叫做半径。
圆通常用“O”表示圆心，“r”表示半径。
如果圆心为坐标原点(0,0)，那么圆的方程可以表示为x²+y²=r²。
圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，其长度为圆的半径的两倍，可以表示为d=2r。
圆的常见性质：1. 圆的周长：圆的周长叫做圆的周长，通常用C表示。
圆的周长可以用圆的直径或者半径表示。
圆的周长公式为：C=2πr或者C=πd。
其中π是一个无限不循环小数，它约等于3.14159。
2. 圆的面积：圆的面积叫做圆的面积，通常用S表示。
圆的面积公式为S=πr²。
3. 圆的弧长与扇形面积：圆的一部分叫做弧，连接两个圆周上的点的线段叫做弦，弧与弦所夹的部分叫做扇形。
弧的长度叫做圆的弧长，可以表示为l=α/180°×πr。
扇形的面积可以表示为S=1/2r²θ。
二、圆与直线的位置关系1. 直线与圆的相交：直线与圆的位置关系主要有相交、外切、内切和相离四种情况。
直线与圆相交的情况有两点相交和两点重合两种情况。
2. 判别方法：通过解析几何的方法可以判别直线与圆的位置关系。
设直线的方程为y=kx+b，圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，通过联立直线方程与圆的方程，可以求解直线与圆的交点。
根据交点的数量和位置可以判断直线与圆的位置关系。
三、圆与直线的解析几何1. 直线的方程：直线的方程通常用一般式、点斜式、斜截式等形式表示。
一般式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数。
点斜式为y-y₁=k(x-x₁)，其中k是斜率，(x₁,y₁)是直线上的一个点。
斜截式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
2. 圆的方程：圆的方程通常用标准方程和一般方程表示。
标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，一般方程为Ax²+By²+Cx+Dy+E=0。
中职直线与圆的方程知识点总结
中职直线与圆的方程知识点总结一、直线的方程在二维平面上，直线可以由一元一次方程表示，其一般形式为:Ax + By + C = 0其中 A、B 和 C 是实数且 A 和 B 不同时为 0。
斜截式方程：斜率为 k，截距为 b 的直线方程可以表示为：y = kx + b其中 k 是斜率，b 是截距。
点斜式方程：已知直线上一点（x₁, y₁）和直线的斜率 k，可以使用以下点斜式方程表示直线：y - y₁ = k(x - x₁)二、圆的方程在二维平面上，圆可以由圆心的坐标 (h, k) 和半径 r 表示，其标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²三、直线与圆的关系直线与圆有以下几种关系：1.直线与圆相切：当直线与圆只有一个交点时，即直线与圆相切。
相切的直线与圆的切线相切于圆的一点。
2.直线与圆相离：当直线与圆没有交点时，即直线与圆相离。
3.直线与圆相交：当直线与圆有两个交点时，即直线与圆相交。
相交的直线与圆会穿过圆的两个点。
4.直线在圆上：当直线经过圆心时，即直线在圆上。
四、直线与圆的方程求解1.判断直线与圆的位置关系：–将直线方程代入圆的标准方程，得到一个一元二次方程；–计算一元二次方程的判别式；–根据判别式的值得出直线与圆的位置关系。
2.求直线与圆的交点坐标：–将直线方程代入圆的标准方程，得到一个二元一次方程组；–解方程组，求得交点坐标。
五、举例例 1：判断直线与圆的位置关系，直线方程为 y = 2x + 1，圆的标准方程为 (x - 3)² + (y - 4)² = 9。
将直线方程代入圆的标准方程得到：(x - 3)² + (2x + 1 - 4)² = 9化简得：5x² - 14x + 9 = 0计算判别式 D = (-14)² - 4 * 5 * 9 = 4，判别式大于 0，因此直线与圆相交。
直线与圆知识点总结
直线与圆知识点总结1. 直线与圆的位置关系：- 直线与圆可能相交于两个点，这种情况称为相交。
- 直线与圆可能与圆外部割线相切于一点，这种情况称为相切。
- 直线可能与圆没有交点，这种情况称为相离。
2. 判断直线与圆的位置关系：- 使用勾股定理可以判断直线与圆是否相交。
设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。
若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。
- 使用两点式可以判断直线与圆的位置关系。
设直线上两点为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
计算直线的斜率m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，若直线的斜率存在且非零，则直线与圆相交或相离；若直线的斜率不存在或为0，则直线可能与圆相切或相离。
将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。
若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。
3. 求直线与圆的交点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
解这个方程即可得到直线与圆的交点的x坐标。
将得到的x坐标代入直线的方程，可以求得对应的y坐标。
4. 求直线与圆的切点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
直线和圆的方程知识点
§07. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠） 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）4. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）5. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A CBy Ax d +++=.⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离为d ，则有2221B A C C d +-=.注；直线系方程1. 与直线：A x +B y +C= 0平行的直线系方程是：A x +B y +m =0.( m ∊R, C ≠m ).2. 与直线：A x +B y +C= 0垂直的直线系方程是：B x -A y +m =0.( m ∊R)3. 过定点（x 1,y 1）的直线系方程是： A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B 不全为0)4. 过直线l 1、l 2交点的直线系方程：（A 1x +B 1y +C 1）+λ( A 2x +B 2y +C 2）=0 (λ∊R ） 注：该直线系不含l 2.7. 关于点对称和关于某直线对称：⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. ⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.注：①曲线、直线关于一直线（b x y +±=）对称的解法：y 换x ，x 换y. 例：曲线f (x ,y )=0关于直线y =x –2对称曲线方程是f (y +2 ,x –2)=0.②曲线C: f (x ,y )=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f (2a – x , 2b – y )=0.二、圆的方程.1 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.注：特殊圆的方程：①与x 轴相切的圆方程222)()(b b y a x =±+- )],(),(,[b a b a b r -=或圆心 ②与y 轴相切的圆方程222)()(a b y a x =-+± )],(),(,[b a b a a r -=或圆心 ③与x 轴y 轴都相切的圆方程222)()(a a y a x =±+± )],(,[a a a r ±±=圆心2. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422 F E D -+时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422F E D -+时，方程无图形（称虚圆）.注：①圆的参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）. ②方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.③圆的直径或方程：已知0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A4. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-⇔5. 直线和圆的位置关系：设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ； 圆心),(b a C 到直线l 的距离22B A C Bb Aa d +++=.①r d =时，l 与C 相切；附：若两圆相切，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++002222211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为公切线方程. ②r d 时，l 与C 相交；附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D .③r d 时，l 与C 相离.由代数特征判断：方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-0)()(222C Bx Ax r b y a x 用代入法，得关于x （或y ）的一元二次方程，其判别式为∆，则：l ⇔=∆0与C 相切；l ⇔∆0 与C 相交；l ⇔∆0 与C 相离.注：若两圆为同心圆则011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x 相减，不表示直线.三、曲线和方程1.曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C 和方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：1） 曲线C 上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解（纯粹性）；2） 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上（完备性）。
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直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：（1 ）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 X 轴相交的直线l , 如果把X 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线I 重合时所转的最小正角记为，那么 就叫 做直线的倾斜角。
当直线I 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围 0, < 2 一过点P （ J3,1）,Q （0,m ）的直线的倾斜角的范围 [―,——],那么m 值的范围是 3 3（答：m2 或 m 4）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线 的斜率k ，即k = tan （ 丰90° ）;倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点R （x 1,yJ 、卩2&2』2）的直线的斜率为 k a （1,k ），直线的方向向量与直线的斜率有何关系? 如（1）两条直线钭率相等是这两条直线平行的一X 1 X 2 ； （ 3）直线的方向向量 x 1x 2 （4）应用：证明三点共线： k AB k BC 。
_________ 条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数x, y 满足3x 2y 5 0 （ 1 x 3），则上的最大值、最小值分别为 ___________ （答:x（1）点斜式：已知直线过点 （x 0,y 0）斜率为k ，则直线方程为kx b ,它不包括垂直于 x 轴的直线。
（3）两点式：已知直线经过R （X 1,yJ 、卩:化皿）两点，则直线方程为 —―丄 —―生，它不包括垂直于坐y 2 y 1 X 2 X 1标轴的直线。
（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a,b ,则直线方程为—1 ,a b它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
（5） 一般式：任何直线均可写成Ax By C 0（A,B 不同时为0）的形式。
如（1）经过点（2,1）且方向向量为v =（ — 1, . 3 ）的直线的点斜式方程是 _____________________ （答：y 1 V3（x 2） ） ； （ 2 ）直线（m 2）x （2 m 1）y （3m 4） 0 ,不管 m 怎样变化恒过点 _______ （答：（1, 2） ）；（3）若曲线y a | x |与y x a （a 0）有两个公共点，则a 的取值范围是 ____________ （答: a 1）提醒:（1）直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线， 还 有截距式呢？）； （2）直线在坐标轴上的截距可正、 可负、也可为0.直线两截距相等 直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为 1或直线过原点。
如过点A （1,4），且纵横截距的绝对值相等的直线共有―条（答：3）4.设直线方程的一些常用技巧 ：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b ； （2）知直线横截距X 0，常设其方程为x my x °（它不适用于斜率为 0的直线）；（3）知直线过 点（x °,y °），当斜率k 存在时，常设其方程为 y k （x x 。
） y 。
，当斜率k 不存在时，则其 方程如（1）直线xcos .. 3y 20的倾斜角的范围是5（答：[。
，評它，））；（2）1）3、直线的方程y y 。
k （x x 0）,它不包括垂直于 x 轴的直线。
（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为 b 和斜率k ，则直线方程为y为x X0 ；（4）与直线I : Ax By C 0平行的直线可表示为Ax By G 0 ；（ 5）与直线I : Ax By C 0垂直的直线可表示为Bx Ay C1 0.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：- |Ax0By0C(1)点P(x0,y0)到直线Ax By C 0的距离d 1;V A2B2(2)两平行线h：Ax By G 0,l2 : Ax By C2 0 间的距离为d [C；。
21V A2B26、直线h：A,x B,y G 0与直线l2: A>x B2y C2 0的位置关系：(1) 平行A1 B2 A2B1 0 (斜率)且B1C2 :B2C1 0 (在y轴上截距)；(2) 相交A1 B2 A2B1 0 ；(3) 重合A1 B2 A2B1 0 且B1C2B2C10。
提醒 :(1) A B i C i A I B i、Ai B i —1仅是两直线平行、相交、重A2 B2 C2A2B2A2 B2 C2合的充分不必要条件！为什么？( 2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；(3)直线11: A^x B i y C i 0 与直线I2 : A?x B2y C2 0垂直A i A2 B1B2 0。
如(1)设直线11 : x my 6 0 和12: (m 2)x 3y 2m 0，当m = ___________________________________ 时11n 12；当m =________ 时l i I2 ;当m ____________ 时l i与12相交；当m = __________ 时l i与12重合(答：1—1; ; m 3且m 1; 3)； (2)已知直线|的方程为3x 4y 12 0，则与I平行，2且过点(一1, 3)的直线方程是_________ (答: 3x 4y 9 0 )； (3)两条直线ax y 4 0与x y 2 0相交于第一象限，则实数a的取值范围是___________ (答: 1 a 2 )； (4)设a,b,c分别是△ ABC中/ A、/ B、/ C所对边的边长，则直线sin Agx ay c 0与bx sin Bgy sinC 0的位置关系是 _________ (答：垂直)；(5)已知点^(x1,y1)是直线l:f(x,y) 0 上一点，P>(x2, y2)是直线l 外一点，则方程f (x, y) f (x1, y-i) f(x2, y2)= 0所表示的直线与I的关系是_______ (答：平行)；(6)直线I过点(1,0)，且被两平行直线3x y 6 0和3x y 3 0所截得的线段长为 9，则直线I的方程是_____________________ (答：4x 3y 4 0和 x 1)7、到角和夹角公式：(1) l i到I2的角是指直线l i绕着交点按逆时针方向转到和直线I2重k k合所转的角，0, 且tan二」1( k i k2 1) ； (2) l i与I2的夹角是指不大于直k1k2k k角的角，(0,—]且tan =丨一-I ( k i k2 1)。
提醒：解析几何中角的问题常用2 1 k1k2到角公式或向量知识求解。
如已知点M是直线2x y 4 0与x轴的交点，把直线I绕点M逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是___________ (答: 3x y 6 0)8、对称(中心对称和轴对称) 问题一一代入法：如(1)已知点M(a,b)与点N关于x 轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x y 0对称，则点Q的坐标为 (答：(b,a) )； (2)已知直线l i与I2的夹角平分线为y x，若l i的方程为ax by c 0(ab 0)，那么J的方程是 ___________________ (答：bx ay c 0)； (3)点人(4，5)关于直线|的对称点为E ( — 2,7)，则|的方程是______________ (答：y=3x+ 3) ；( 4)已知一束光线通过点A (—3，5)，经直线I :3x — 4y+4=0反射。
如果反射光线通过点E (2， 15)，则反射光线所在直线的方程是 _________________ (答：18x + y 51 0 )； (5)已知△ ABC顶点A(3，—1 )，AB边上的中线所在直线的方程为 6x+10y — 59=0，/ B的平分线所在的方程为x — 4y+10=0,求EC 边所在的直线方程 (答：2x 9y 65 0 ); (6)直线2x —y — 4=0 上有一点P,它与两定点A (4, — 1 )、B ( 3,4 )的距离之差最大，则P 的坐标是 ____________________ (答： (5,6 ))； (7)已知 A X 轴，B l : y x ,C(2, 1), VABC 周长的最小值为 ______ (答： "0)。
提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。
9、简单的线性规划： (1)二元一次不等式表示的平面区域： ①法一：先把二元一次不等式改写成 y kx b 或y kx b 的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线l ，有等号时用实线表示包含直线 I ；③设点Pd^yJ ,Q(X 2, y 2)，若 A% By !C 与 Ax 2 By 2 C 同号，则 P, Q 在直线 l 的同侧，异号则在直线I 的异侧。
如已知点A ( — 2, 4), B (4, 2),且直线I : y kx 2与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是 ____________________ (答：一，一3 U 1,+)(2) 线性规划问题中的有关概念：① 满足关于x, y 的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。
② 关于变量x, y 的解析式叫目标函数，关于变量x,y 一次式的目标函数叫线性目标函数；③ 求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④ 满足线性约束条件的解(x, y )叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤ 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解； (3) 求解线性规划问题的步骤是什么？ ①根据实际问题的约束条件列出不等式； ②作 出可行域，写出目标函数； ③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。
如(1)线性目 标函数z=2x — y 在线性约束条件1下，取最小值的最优解是 (答: (— 1, 1)); ( 2)一 2点(—2, t )在直线2x — 3y+6=0的上方，则t 的取值范围是 ______________ (答：t -)； ( 3)3不等式|x 11 | y 11 2表示的平面区域的面积是 _______________ (答：8)； (4)如果实数x,yx y 2 0满足x y 4 0，则z | x 2y 41的最大值 ____________________ (答: 21)2x y 5 0(4) 在求解线性规划问题时要注意 注意作图规范。