[推荐学习]2019届中考数学第三章函数第七节二次函数的综合应用要题检测

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中考数学课外提升作业第三章函数第七节二次函数与几何综合题类型一：二次函数与线段问题

∵OF2＋OB2＝BF2，
∴1－m2＋1＝4295，∴m＝±15.
1 ∵－1<m<0，∴m＝－5.
3．在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C(0，6)，其中 AB＝8，tan∠
1 ACO＝3. (1)求抛物线的表达式；
②将抛物线 L 向左平移 m(m＞0)个单位得到抛物线 L1.过点 M 作 MN∥y 轴，交抛物线 L1 于点 N.P 是抛物线 L1 上一点，横坐标为－1，过点 P 作 PE∥x 轴，交抛物线 L 于点 E，点 E 在抛物线 L 对称轴的右侧．若 PE＋MN＝10，求 m 的值．
解：(1)把点 A(0，－5)，B(5，0)的坐标分别代入 y＝x2＋bx＋c，
(ⅰ)如解图1，当点N在点M及下即方0，<m≤ 6时，PQ＝5－2m－(－1)＝6－2m， MN＝－3－(m2－9)＝6－m2. 由平移性质得 QE＝m. ∴PE＝6－2m＋m＝6－m， ∵PE＋MN＝10，∴6－m＋6－m2＝10，解得 m1＝－2(舍去)，m2＝1.
(ⅱ)如解图2，
当点 N 在点 M 上方，点 Q 在点 P 及右侧，即 6<m ≤3 时，PE＝6－m，MN＝m2－6， ∵PE＋MN＝10， ∴6－m＋m2－6＝10.
∵PD∥AC， ∴∠ACB＝∠CEP，即∠ACO＋45°＝∠EPQ＋45°. ∴∠EPQ＝∠ACO， ∴tan∠EPQ＝13.
过点 E 作 EF⊥PQ 于点 F，
1
10
2
则 EF＝FQ＝4PQ，PE＝ 4 PQ，EQ＝ 4 PQ.
∴
5PE－BE＝5
4
2 PQ－

中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题及答案

中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知函数y1=mx2+n，y2=mx+n(m>0)，当p<x<q时，y1<y2，则（）A．0<q−p<2B．0<q−p≤2C．0<q−p<1D．0<q−p≤12．一次函数y=bx+a(b≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．函数y=mx+m和函数y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．4．小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m，则y1<y2；④当-1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④5．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）A．﹣734或﹣12B．﹣734或2C．﹣12或2D．﹣694或﹣126．如图，函数y1＝|x2﹣m|的图象如图，坐标系中一次函数y2＝x＋b的图象记为y2，则以下说法中：①当m＝1，且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1；②当m＝4，且y1与y2只有两个交点时，b＞174或﹣2＜b＜2；③当m＝﹣b时，y1与y2一定有交点：④当m＝b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）.正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．直线y=ax﹣6与抛物线y=x2﹣4x+3只有一个交点，则a的值为（）A．a=2B．a=10C．a=2或a=﹣10D．a=2或a=108．已知一次函数y1=2x−2，二次函数y2=x2，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1和y2，则下列表述正确的是（）A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．y1，y2的大小关系不确定9．已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)部分自变量和对应的函数值如表：x…-10245…y1…01356…y2…0-1059…21A．-1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜-1或x＞5D．x＜-1或x＞410．对于每个x，函数y是y1=-x+6，y2=-2x2+4x+6这两个函数的较小值，则函数y的最大值是（）A．3B．4C．5D．611．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（）A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800mB．线段CD的函数解析式为s=32t+400（25≤t≤50）C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快D．曲线段AB的函数解析式为s=-3（t-20）2+1200（5≤t≤20）12．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y= 12x2+bx+c的顶点，则抛物线y= 12x2+bx+c与直线y=1交点的个数是（）A．0个或1个B．0个或2个C．1个或2个D．0个、1个或2个二、填空题13．抛物线y=2x2+x+a与直线y=−x+3没有交点，则a的取值范围是．14．如图，已知抛物线y1=−2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2，例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1<y2，此时M=0，下列判断：①当x<0时，y1>y2；②当x<0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是−12或√22.其中正确的是.15．如图，已知直线y=﹣34x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣12x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣34x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．16．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如表：x…﹣10245…y1…01356…y2…0﹣1059…21的取值范围是．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A、B两点，且CB=3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P(x，y)(x>0)，写出y关于x的函数表达式为：.18．直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是.三、综合题19．随着互联网的普及，某手机厂商采用先网络预定，然后根据订单量生产手机的方式销售，2015年该厂商将推出一款新手机，根据相关统计数据预测，定价为2200元，日预订量为20000台，若定价每减少100元，则日预订量增加10000台．（1）设定价减少x元，预订量为y台，写出y与x的函数关系式；（2）若每台手机的成本是1200元，求所获的利润w（元）与x（元）的函数关系式，并说明当定价为多少时所获利润最大；（3）若手机加工成每天最多加工50000台，且每批手机会有5%的故障率，通过计算说明每天最多接受的预订量为多少？按最大量接受预订时，每台售价多少元？20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．21．如图，已知抛物线 y =−12x 2+bx +c 经过A （2，0）、B （0，-6）两点，其对称轴与轴交于点C（1）求该抛物线和直线BC 的解析式；（2）设抛物线与直线BC 相交于点D ，连结AB 、AD ，求△ABD 的面积.22．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量 y （万件）与售价 x （元/件）的函数关系式为 y ={−2x +140，(40≤x <60)−x +80.(60≤x ≤70)（1）当售价为60元/件时，年销售量为万件；（2）当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？（3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出 x 的取值范围.23．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点A(1，b)．（1）求a ，b 的值；（2）求抛物线y ＝ax 2与直线y ＝－2的两个交点B ，C 的坐标(B 点在C 点右侧)；（3）求△OBC 的面积．24．如图，平面直角坐标系中，抛物线 y =ax 2+bx +c 经过 A(−1,0) ， B(3,0) 两点，与 y 轴交于点 C(0,−3) ，点 D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）设P(m,n)为对称轴上一点，若∠PCD为钝角，求n的取值范围.参考答案1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】C 12．【答案】D 13．【答案】a >3.5 14．【答案】③④15．【答案】﹣1，4，4+2 √5 ，4﹣2 √5 16．【答案】x ＜﹣1或x ＞4 17．【答案】y =83x 218．【答案】（-1，1）和（2，4）19．【答案】（1）解：根据题意：y ＝20000+ x 100 ×10000＝100x+20000（2）解：设所获的利润w （元）则W ＝（2200﹣1200﹣x ）（100x+20000）＝﹣100（x ﹣400）2+36000000；所以当降价400元，即定价为2200﹣400＝1800元时，所获利润最大（3）解：根据题意每天最多接受50000（1﹣0.05）＝47500台此时47500＝100x+20000 解得：x ＝275．所以最大量接受预订时，每台定价2200﹣275＝1925元．20．【答案】（1）解：由题意 {4a −2b +2=64b +2b +2=2 解得 {a =12b =−1∴抛物线解析式为y= 12x 2﹣x+2．（2）解：∵y= 12 x 2﹣x+2= 12 （x ﹣1）2+ 32．∴顶点坐标（1，3 2）∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3）∴S△BDC=S△BDH+S△DHC= 12×32•3+ 12×32•1=3．（3）解：由{y=−12x+by=12x2−x+2消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0∴b= 15 8当直线y=﹣12x+b经过点C时，b=3当直线y=﹣12x+b经过点B时，b=5∵直线y=﹣12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点∴158＜b≤3．21．【答案】（1）解：将A（2，0）、B（0，-6）代入y=−12x2+bx+c中可得{−12×22+2b+c=0c=−6解得：b=4；c=-6∴该抛物线的解析式为y=−12x2+4x−6∴抛物线对称轴为x=−42×(−12)=4∴C(4,0)设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)将B（0，-6），C(4，0)代入得解得：k=32,b=−6∴直线BC 的解析式为 y =32x −6（2）解：连立方程组可得 {y =32x −6y =−12x 2+4x −6解得 {x =5y =32∴D(5， 32)∴△ABD 的面积为 12×2×(23+6)=15222．【答案】（1）20（2）解：设销售该产品的年利润为 W 万元当 40≤x <60 时， W =(x −30)(−2x +140)=−2(x −50)2+800 . ∵－2<0 ∴当 x =50 时当 60≤x ≤70 时 ∵−1<0 ∴当 x =60 时 ∵800>600 ∴当 x =50 时∴当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元. （3）解： 45≤x ≤55 理由如下：由题意得(x −30)(−2x +140)≥750解得 45≤x ≤5523．【答案】（1）解：∵点 A(1，b) 在直线 y =2x −3 上∴b =−1∴点 A 坐标 (1，−1)把点 A(1，−1) 代入 y =ax 2 得到 a =−1∴a =b =−1.（2）解：由 {y =−x 2y =−2 解得 {x =√2y =−2 或 {x =−√2y =−2 ∴点 C 坐标 (−√2，−2)，点 B 坐标 (√2，−2). （3）解： S △BOC =12×2√2×2=2√2.24．【答案】（1）解：由已知，设 y =a(x +1)(x −3)把C(0,−3)代入，得−3a=−3∴y=(x+1)(x−3)即y=x2−2x−3.（2）解：由y=x2−2x−3，得y=(x−1)2−4∴顶点D(1,−4).过点D作DH⊥y轴于点H，连结BC交对称轴于点E，连结DC.∵B(3,0)，C(0,−3)∴OB=OC=3∴∠BCO=∠DCH=45°∴∠DCE=90°设BC函数表达式为y=kx+b把B(3,0)，C(0,−3)两点代入y=kx+b得{k=1b=−3即BC函数表达式为y=x−3∵点E在对称轴上∴点E横坐标为1，代入y=x−3得E(1,−2)由∠PCD为钝角，则点P在点E上方即n>−2.第11页共11页。

中考数学二次函数综合经典题及答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式； ()2求ABC 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【解析】【分析】(1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC 的面积计算拆分为APFCPFS S+即可.【详解】()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++， ∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-，又∵函数图象经过点()6,0A -， ∴20(62)4a =-+- 解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-；()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点，∴点C 的坐标是()0,3-，又当0y =时，有21304y x x =+-=，解得16x =-，22x =， ∴点B 的坐标是()2,0，则11831222ABCSAB OC =⋅=⨯⨯=； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+， ∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -， ∴603k b b -+=⎧⎨-=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APCAPFCPFSS SPF AE PF OE =+=⋅+⋅ 2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APCS有最大值274，此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.2．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】【分析】（1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得45215x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E ，(0,1)F ∵点M 在AOB ∆内，∴405b <<当点,C D 关于抛物线对称轴（直线x b =）对称时，1344b b -=-，∴12b = 且二次函数图象的开口向下，顶点M 在直线41y x =+上综上：①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y <.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.3．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x 元．（1）写出销售量y （件）和获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系；（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】（1）y ＝﹣10x+1000；w=﹣10x 2+1300x ﹣30000 （2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【解析】【分析】（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y ＝600﹣10（x ﹣40），再利用w= y•（x ﹣30）即可表示出w 与x 之间的关系式；（2）先将w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x ＝46时有最大值，代入求值即可解题.【详解】解：（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：w＝y•（x﹣30）＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65∴当44≤x≤46时，y随x的增大而增大∴当x＝46时，w最大值＝8640元即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.4．已知点A（﹣1，2）、B（3，6）在抛物线y=ax2+bx上(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x 轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；(3)如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣x；(2)证明见解析；(3)当运动时间为或秒时，QM=2PM．【解析】【分析】（1）（1）A，B的坐标代入抛物线y=ax2+bx中确定解析式；（2）把A点坐标代入所设的AF的解析式，与抛物线的解析式构成方程组，解得G点坐标，再通过证明三角形相似，得到同位角相等，两直线平行；（3）具体见详解.【详解】．解：（1）将点A（﹣1，2）、B（3，6）代入中，，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（2）证明：设直线AF的解析式为y=kx+m，将点A（﹣1，2）代入y=kx+m中，即﹣k+m=2，∴k=m﹣2，∴直线AF的解析式为y=（m﹣2）x+m．联立直线AF和抛物线解析式成方程组，，解得：或，∴点G的坐标为（m，m2﹣m）．∵GH⊥x轴，∴点H的坐标为（m，0）．∵抛物线的解析式为y=x2﹣x=x（x﹣1），∴点E的坐标为（1，0）．过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，如图1所示．∵点A（﹣1，2），∴A′（﹣1，0），∴AE=2，AA′=2．∴ =1， = =1，∴= ，∵∠AA′E=∠FOH，∴△AA′E∽△FOH，∴∠AEA′=∠FHO，∴FH∥AE．（3）设直线AB的解析式为y=k0x+b0，将A（﹣1，2）、B（3，6）代入y=k0x+b0中，得，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+3，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣3，t），点Q的坐标为（t，0）．当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQ M′，如图2所示，∵QM=2PM，∴ =，∴QM′=QP'=2，MM′=PP'=t，∴点M的坐标为（t﹣2， t）．又∵点M在抛物线y=x2﹣x上，∴ t=（t﹣2）2﹣（t﹣2），解得：t=；当点M在线段QP的延长线上时，同理可得出点M的坐标为（t﹣6，2t），∵点M在抛物线y=x2﹣x上，∴2t=（t﹣6）2﹣（t﹣6），解得：t=．综上所述：当运动时间秒或时，QM=2PM．【点睛】本题考查二次函数综合运用，综合能力是解题关键.5．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；(2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数y＝kx(k为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；(3)若直线y＝2bx+2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)，与抛物线y＝ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2＝1，求点P(ca，ba)与原点O的距离OP的取值范围．【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t的值为﹣4、﹣2或2；(3)①证明见解析；≤OPOP≠1．【解析】【分析】（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；（2）把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t和k分别表示出y1、y2、y3，再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）①由直线解析式可求得x1＝﹣cb，联立直线和抛物线解析式消去y，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x2+x3＝﹣ba，x2x3＝ca，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c＝0，可得c＝﹣(a+b)，由a＞2b＞3c可求得ba的取值范围，令m＝ba，利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP2的取值范围，从而可求得OP的取值范围．【详解】（1）不能，理由如下：∵1、2、3的倒数分别为1、12、13，∴12+13≠1，1+12≠13，1+13≠12，∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；（2）∵M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数kx(k为常数，k≠0)的图象上，∴y 1、y 2、y 3均不为0，且y 1＝k t ，y 2＝1k t +，y 3＝3k t +， ∴11y ＝t k ，21y ＝1t k +，31y ＝3t k +， ∵y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”， ∴有以下三种情况：当11y ＝21y +31y 时，则t k ＝1t k ++3t k +，即t ＝t+1+t+3，解得t ＝﹣4；当21y ＝11y +31y 时，则1t k +＝t k +3t k+，即t+1＝t+t+3，解得t ＝﹣2；当31y ＝11y +21y 时，则3t k +＝t k +1t k+，即t+3＝t+t+1，解得t ＝2； ∴t 的值为﹣4、﹣2或2；（3）①∵a 、b 、c 均不为0， ∴x 1，x 2，x 3都不为0，∵直线y ＝2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)， ∴0＝2bx 1+2c ，解得x 1＝﹣cb，联立直线与抛物线解析式，消去y 可得2bx+2c ＝ax 2+3bx+3c ，即ax 2+bx+c ＝0， ∵直线与抛物线交与B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点， ∴x 2、x 3是方程ax 2+bx+c ＝0的两根， ∴x 2+x 3＝﹣b a ，x 2x 3＝c a， ∴21x +31x ＝2323x x x x +＝b a c a-＝﹣b c ＝11x ，∴x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”； ②∵x 2＝1， ∴a+b+c ＝0， ∴c ＝﹣a ﹣b ， ∵a ＞2b ＞3c ，∴a ＞2b ＞3(﹣a ﹣b)，且a ＞0，整理可得253a b b a>⎧⎨>-⎩，解得﹣35＜b a ＜12，∵P(c a ，ba)， ∴OP 2＝(c a )2+(b a )2＝(a b a --)2+(b a )2＝2(b a )2+2b a +1＝2(b a +12)2+12，令m ＝b a ，则﹣35＜m ＜12且m≠0，且OP 2＝2(m+12)2+12， ∵2＞0，∴当﹣35＜m ＜﹣12时，OP 2随m 的增大而减小，当m ＝﹣35时，OP 2有最大临界值1325，当m ＝﹣12时，OP 2有最小临界值12，当﹣12＜m ＜12时，OP 2随m 的增大而增大，当m ＝﹣12时，OP 2有最小临界值12，当m ＝12时，OP 2有最大临界值52， ∴12≤OP 2<52且OP 2≠1， ∵P 到原点的距离为非负数，∴≤OP且OP ≠1．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在(1)中注意利用和谐三数组的定义，在(2)中由和谐三数组得到关于t 的方程是解题的关键，在(3)①中用a 、b 、c 分别表示出x 1，x 2，x 3是解题的关键，在(3)②中把OP 2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．6．已知函数()()22,1,222x nx n x n y n nx x x n ⎧-++≥⎪=⎨-++<⎪⎩（n 为常数）（1）当5n =，①点()4,P b 在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为()()2,24,2A B 、，当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4，求n 的取值范围．【答案】（1）①92b =②458；（2）1845n <≤，823n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n >或3142n ≤<．【解析】【分析】（1）①将()4,P b 代入2155222y x x =-++；②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x <时，当52x =时有最大值为458；故函数的最大值为458；（2）将点()4,2代入2y x nx n =-++中，得到185n =，所以1845n <≤时，图象与线段AB 只有一个交点；将点()2,2）代入2y x nx n =-++和21222n n y x x =-++中，得到82,3n n ==，所以823n ≤<时图象与线段AB 只有一个交点；（3）当xn =时，42n >，得到8n >；当2n x =时，1482n +≤，得到312n ≥，当x n=时，22y n n n n =-++=，4n <．【详解】解：（1）当5n =时，()()225551555222x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨-++<⎪⎩， ①将()4,P b 代入2155222y x x =-++， ∴92b =； ②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x <时，当52x =时有最大值为458； ∴函数的最大值为458；（2）将点()4,2代入2y x nx n =-++中，∴185n =， ∴1845n <≤时，图象与线段AB 只有一个交点；将点()2,2代入2y x nx n =-++中， ∴2n =，将点()2,2代入21222n ny x x =-++中，∴83n =， ∴823n ≤<时图象与线段AB 只有一个交点；综上所述：1845n <≤，823n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）当xn =时，22112222n n y n n =-++=，42n>，∴8n >；当2n x =时，182n y =+， 1482n +≤，∴312n ≥，当xn =时，22y n n n n =-++=，4n <；∴函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n >或3142n ≤<．【点睛】考核知识点：二次函数综合.数形结合分析问题是关键.7．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+53x+c 的图象经过点C （0，2）和点D （4，﹣2）．点E 是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E 的坐标．（2）如图①，若点M 是二次函数图象上的点，且在直线CE 的上方，连接MC ，OE ，ME ．求四边形COEM 面积的最大值及此时点M 的坐标．（3）如图②，经过A 、B 、C 三点的圆交y 轴于点F ，求点F 的坐标．【答案】（1）E （3，1）；（2）S 最大=214，M 坐标为（32，3）；（3）F 坐标为（0，﹣32）．【解析】【分析】1）把C 与D 坐标代入二次函数解析式求出a 与c 的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E 坐标即可；（2）过M 作MH 垂直于x 轴，与直线CE 交于点H ，四边形COEM 面积最大即为三角形CME 面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M 坐标即可；（3）令y=0，求出x 的值，得出A 与B 坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC 与三角形BOF 相似，由相似得比例求出OF 的长，即可确定出F 坐标．【详解】（1）把C （0，2），D （4，﹣2）代入二次函数解析式得：2016232a c c ⎧++=-⎪⎨⎪=⎩ ，解得：2a 32c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，即二次函数解析式为y=﹣23x 2+53x+2，联立一次函数解析式得：2225233y x y x x ﹣﹣=+⎧⎪⎨=++⎪⎩，消去y 得：﹣13x+2=﹣23x 2+53x+2，解得：x=0或x=3，则E （3，1）；（2）如图①，过M 作MH ∥y 轴，交CE 于点H ，设M （m ，﹣23m 2+53m+2），则H （m ，﹣13m+2）， ∴MH=（﹣23m 2+53m+2）﹣（﹣13m+2）=﹣23m 2+2m ， S 四边形COEM =S △OCE +S △CME =12×2×3+12MH•3=﹣m 2+3m+3，当m=﹣a b =32时，S 最大=214，此时M 坐标为（32，3）；（3）连接BF ，如图②所示，当﹣23x 2+53x+20=0时，x 1=5+734，x 2=5-734， ∴OA=73-54，OB=5+734， ∵∠ACO=∠ABF ，∠AOC=∠FOB ， ∴△AOC ∽△FOB ，∴OA OCOF OB = ，即73-5245+734OF = ，解得：OF=32，则F 坐标为（0，﹣32）．【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．8．已知抛物线27y x 3x 4=--的顶点为点D ，并与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ．（1）求点A 、B 、C 、D 的坐标；（2）在y 轴的正半轴上是否存在点P ，使以点P 、O 、A 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）取点E （34-，0）和点F （0，），直线l 经过E 、F 两点，点G 是线段BD 的中点．①点G 是否在直线l 上，请说明理由；②在抛物线上是否存在点M ，使点M 关于直线l 的对称点在x 轴上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1） D （32，﹣4）（2） P （0，74）或（0，17）（3）详见解析【解析】【分析】（1）令y=0，解关于x 的一元二次方程求出A 、B 的坐标，令x=0求出点C 的坐标，再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点D 的坐标．（2）根据点A 、C 的坐标求出OA 、OC 的长，再分OA 和OA 是对应边，OA 和OC 是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出OP 的长，从而得解．（3）①设直线l 的解析式为y=kx+b （k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出直线l 的解析式，再利用中点公式求出点G 的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验证即可． ②设抛物线的对称轴与x 轴交点为H ，求出OE 、OF 、HD 、HB 的长，然后求出△OEF 和△HDB 相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD ，然后求出EG ⊥BD ，从而得到直线l 是线段BD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D 关于直线l 的对称点就是B ，从而判断出点M 就是直线DE 与抛物线的交点．再设直线DE 的解析式为y=mx+n ，利用待定系数法求一次函数解析求出直线DE 的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M ．【详解】解：（1）在27y x 3x 4=--中，令y=0，则27x 3x 04--=，整理得，4x 2﹣12x ﹣7=0，解得x 1=12-，x 2=72．∴A （12-，0），B （72，0）．在27y x 3x 4=--中，令x=0，则y=74-．∴C （0，74-）． ∵()227413b 334ac b 442a 2124a 41⎛⎫⨯⨯--- ⎪--⎝⎭-=-===-⨯⨯，，∴顶点D （32，﹣4）．（2）在y 轴正半轴上存在符合条件的点P ．设点P 的坐标为（0，y ）， ∵A （12-，0），C （0，74-），∴OA=12，OC=74，OP=y ， ①若OA 和OA 是对应边，则△AOP ∽△AOC ，∴OP OA OC OA =．∴y=OC=74，此时点P （0，74）． ②若OA 和OC 是对应边，则△POA ∽△AOC ，∴OP OAOA OC=，即1y 21724=．解得y=17，此时点P （0，17）．综上所述，符合条件的点P 有两个，P （0，74）或（0，17）．（3）①设直线l 的解析式为y=kx+b （k≠0），∵直线l 经过点E （32-，0）和点F （0，34-）， ∴3k b 023b 4⎧-+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1k 23b 4⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线l 的解析式为13y x 24=--． ∵B （72，0），D （32，﹣4）， ∴[]1735104222222+=+-=-（），（），∴线段BD 的中点G 的坐标为（52，﹣2）．当x=52时，153y 2224=-⨯-=-，∴点G 在直线l 上． ②在抛物线上存在符合条件的点M ．设抛物线的对称轴与x 轴交点为H ，则点H 的坐标为（32，0）， ∵E （32-，0）、F （0，34-），B （72，0）、D （32，﹣4）， ∴OE=32，OF=72，HD=4，HB=72﹣32=2． ∵，∠OEF=∠HDB ，∴△OEF ∽△HDB ．∴∠OFE=∠HBD ． ∵∠OEF+∠OFE=90°，∴∠OEF+∠HBD=90°． ∴∠EGB=180°﹣（∠OEF+∠HBD ） =180°﹣90°=90°，∴直线l 是线段BD 的垂直平分线． ∴点D 关于直线l 的对称点就是点B ． ∴点M 就是直线DE 与抛物线的交点．设直线DE 的解析式为y=mx+n ， ∵D （32，﹣4），E （32-，0）， ∴，解得．∴直线DE 的解析式为．联立，解得，．∴符合条件的点M 有两个，是（32，﹣4）或（，）．9．如图1，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （1，0）两点，过点B 的直线y=kx+23分别与y 轴及抛物线交于点C ，D ．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；（3）如图2，将直线BD 沿y 轴向下平移4个单位后，与x 轴，y 轴分别交于E ，F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=228233x x +-，BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）t 的值为4915129±、233．（3）N 点坐标为（﹣2，﹣2），M 点坐标为（﹣32，﹣54），213 【解析】分析：（1）利用待定系数法求解可得；（2）先求得点D 的坐标，过点D 分别作DE ⊥x 轴、DF ⊥y 轴，分P 1D ⊥P 1C 、P 2D ⊥DC 、P 3C ⊥DC 三种情况，利用相似三角形的性质逐一求解可得；（3）通过作对称点，将折线转化成两点间距离，应用两点之间线段最短．详解：（1）把A （﹣4，0），B （1，0）代入y=ax 2+2x+c ，得168020a c a c -+=⎧⎨++=⎩，解得：2383a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线解析式为：y=228233x x +-， ∵过点B 的直线y=kx+23， ∴代入（1，0），得：k=﹣23， ∴BD 解析式为y=﹣2233x +；（2）由2282332233y x x y x ﹣⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得交点坐标为D （﹣5，4），如图1，过D 作DE ⊥x 轴于点E ，作DF ⊥y 轴于点F ，当P 1D ⊥P 1C 时，△P 1DC 为直角三角形，则△DEP 1∽△P 1OC ，∴DE PO =PE OC ，即4t=523t -，解得t=151296±，当P 2D ⊥DC 于点D 时，△P 2DC 为直角三角形由△P 2DB ∽△DEB 得DB EB =2P BDB， 5252，解得：t=233；当P 3C ⊥DC 时，△DFC ∽△COP 3，∴DF OC =3CF P O ，即523=103t，解得：t=49， ∴t 的值为49、151296±、233．（3）由已知直线EF 解析式为：y=﹣23x ﹣103，在抛物线上取点D 的对称点D′，过点D′作D′N ⊥EF 于点N ，交抛物线对称轴于点M过点N 作NH ⊥DD′于点H ，此时，DM+MN=D′N 最小．则△EOF ∽△NHD′ 设点N 坐标为（a ，﹣21033a -）， ∴OE NH =OF HD '，即52104()33a ---=1032a -，解得：a=﹣2，则N 点坐标为（﹣2，﹣2），求得直线ND′的解析式为y=32x+1，当x=﹣32时，y=﹣54， ∴M 点坐标为（﹣32，﹣54），此时，DM+MN 22D H NH '+2246+13点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b a-=1，故P （1，0）；（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b a -=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-；当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （16）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．。

2019年中考真题二次函数几何方面的应用分类汇编(PDF版含解析)

知识点 19 二次函数几何方面的应用 2019
第一批
一、选择题
1. （2019·乐山）如图，抛物线 y 1 x2 4 与 x 轴交于 A 、 B 两点， P 是以点 C （0,3）为圆心，2 4
为半径的圆上的动点， Q 是线段 PA的中点，连结 OQ .则线段 OQ 的最大值是（）
A． 3
FH 1 m
在 Rt△BFH 中，由 BH 2 FH 2 =BF 2 得 (k 2)2 (1 m)2 m2
m k2 4k 5 2
FH =1 m k2 4k 3 2

tan BFH

BH FH

4 2k k2 4k 3
3 2
x
)＝
3
3
10
50 3
50
10
5 25
－ 2 x2+10x＝ 2 m2,当 x＝ 3 时,mn 取得最大值为 3 ,∴ 2 m2＝ 3 ,∴m 最大＝ 3 ,∴m+n＝ 2 m＝ 3 .
3. （2019·凉山）如图，正方形 ABCD 中，AB=12, AE = 1 AB，点 P 在 BC 上运动（不与 B、C 重合）， 4
3
7
所以当 M，D，N，F 为顶点的四边形周长最小时， F (0, 5) ， N ( 5 , 0) ．
3
7
（3）解：本题的答案为 9 2 15 ．
解题分析：如图（2），当两点 A、B 距离是定值，直线 CD 是一条固定的直线，点 P 在
直线 CD 上移动，由下图可以看出只有当过 A、B 的圆与直线 CD 相切时 APB 最大．
∵ k 0 k 2
当 OA=OB 时即 5 4 (k 2)2

2019年中考二次函数综合题专项训练 (附详细分析与解答)

2019年二次函数综合题专项训练一、面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．备用图2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．二、平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．三、周长类6．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．四、等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．五、综合类10．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分析与解答1、分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2、分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．解答：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（32，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3、分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．4、分析：（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．解答：解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②P A′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．（10分）5、分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①AD PB、②AB PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．解答：解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即P A∥BD则构成平行四边形只能是P ADB或P ABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|P A=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．6、分析：（1）根据抛物线y=经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c即可；（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON=，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．解答：解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5时，y=，当x=2时，y=，∴点C和点D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，当x=时，y=，∴P（），（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，设对称轴交x于点F，则（PF+OM）•OF=（+t）×，∵，S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×=，S=（﹣），=﹣（0＜t＜4），a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）．7、分析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），8、分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）9、分析：（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B的坐标；（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，去分析则可求得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上；②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2），同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2上；③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3），同理可证△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2﹣x﹣2上；故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．10、分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD 为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．11、分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．解答：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=．∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1．（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E的坐标为（4，1）．如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点M，则M（2，1），∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．（4）存在．如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）如答图③所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．12、分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD为直角三角形．解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3∴OB=OC∴∠OCB=45°∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1∴DF=CF∴∠DCF=45°∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°∴△BCD为直角三角形．（3）①△BCD的三边，==，又=，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时，=，即=，解得：d=1﹣3，此时，两个三角形不相似；⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，=，即=，解得：e=﹣9，符合条件．总之，符合条件的点P的坐标为：．。

中考数学考点系统复习第三章函数第七节二次函数的综合应用

2．★(2022·连云港)如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 y＝－0.2x2 ＋x＋2.25 运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05 m，则他距篮筐中心的水平距离 OH 是 44 m.
重难点 2：二次函数的综合应用如图，等腰梯形 ABCD 中，AB＝4，CD＝9，∠C＝60°，动点 P 从点 C 出发沿 CD 方向向点 D 运动，动点 Q 同时以相同速度从点 D 出发沿 DA 方向向终点 A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
∴CE＝1.5，DE＝2.∴点D的纵坐标为－1.5，令－12(x－4)2＋12＝－1.5，解得x＝4＋3 3 ≈9.19或x＝4－3 3 ≈－1.19(不合题意，舍去)，∴ D(9.19，－1.5)． ∴OC＝9.19－2＝7.19≈7.2(m)． ∴OC的长约为7.2 m.
命题点2：二次函数的综合应用(近6年考查2次)
【分层分析】(3)令获得的周利润等于2 000元，列方程为－－2(2x－(x8－5)2＋ 2＋42 4505＝0＝2 0200，结合w的函数图象可知x的取值范围为7078≤05≤)x2≤x≤1001，00 再0结00合物价部门规定该品牌宁夏特产的销售单价不得高于85元/kg即可
得到销售单价的取值范围．
段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年
北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66 m ，基准点K到起跳台的水平距离为75 m，高度为h m (h为定值)．设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

2019年中考数学专题汇编二次函数-综合题(一)(word版有答案解析)

九上数学 -二次函数 -综合题（一）一．解答题（共40 小题）2 1．（2019?赤峰）如图，直线 y＝﹣ x+3 与 x 轴、y 轴分别交于B、C 两点，抛物线 y＝﹣ x +bx+c 经过点 B、 C，与 x 轴另一交点为 A，极点为 D．（1）求抛物线的分析式；（2）在 x 轴上找一点 E，使 EC+ED 的值最小，求 EC+ED 的最小值；（3）在抛物线的对称轴上能否存在一点 P，使得∠ APB ＝∠ OCB？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明原因．2．（ 2019?通辽）已知，如图，抛物线2y＝ ax +bx+c（ a≠ 0）的极点为 M（ 1，9），经过抛物线上的两点 A（﹣ 3，﹣ 7）和 B（ 3， m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（ 1）求抛物线的分析式和直线AB 的分析式．（ 2）在抛物线上 A、 M 两点之间的部分（不包含A、 M 两点），能否存在点D，使得 S△DAC＝ 2S△DCM？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明原因．（ 3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点A，M，P，Q 为极点的四边形是平行四边形时，直接写出知足条件的点P 的坐标．3．（ 2019?吉林）如图，抛物线y＝（ x﹣1）2+k 与 x 轴订交于A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴订交于点C（ 0，﹣ 3）． P 为抛物线上一点，横坐标为m，且 m＞0．（1）求此抛物线的分析式；（2）当点 P 位于 x 轴下方时，求△ ABP 面积的最大值；（3）设此抛物线在点 C 与点 P 之间部分（含点 C 和点 P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求 h 对于 m 的函数分析式，并写出自变量m 的取值范围；②当 h＝9 时，直接写出△BCP 的面积．4．（ 2019?绥化）已知抛物线2x＝，交 x 轴于点 A、 B，交 y y＝ax +bx+3 的对称轴为直线轴于点 C，且点 A 坐标为 A（﹣ 2， 0）．直线 y＝﹣ mx﹣ m（ m＞ 0）与抛物线交于点P、（1）求该抛物线的分析式；（2）若 n＝﹣ 5，且△ CPQ 的面积为 3，求 m 的值；（ 3）当 m≠1 时，若 n＝﹣ 3m，直线 AQ 交 y 轴于点 K ．设△ PQK 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数分析式．5．（ 2019?齐齐哈尔）综合与研究如图，抛物线y＝ x2+bx+c 与x 轴交于A、 B 两点，与y 轴交于 C 点， OA＝ 2， OC＝6，连结 AC 和 BC．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）点 D 在抛物线的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，点 D 的坐标为．（ 3）点 E 是第四象限内抛物线上的动点，连结CE 和 BE．求△ BCE 面积的最大值及此时点 E 的坐标；（ 4）若点 M 是 y 轴上的动点，在座标平面内能否存在点N，使以点A、 C、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明原因．6．（ 2019?襄阳）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+3 与 x 轴， y 轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝ 1 的抛物线过B， C 两点，且交x 轴于另一点A，连结 AC．（ 1）直接写出点A，点 B，点 C 的坐标和抛物线的分析式；（ 2）已知点 P 为第一象限内抛物线上一点，当点 P 到直线 BC 的距离最大时，求点坐标；（ 3）抛物线上能否存在一点Q （点 C 除外），使以点 Q ，A ， B 为极点的三角形与△相像？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明原因．P 的ABC7．（ 2019?随州）如图 1，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线 2y ＝ ax +bx+c 与 y轴交于点 A （ 0， 6），与 x 轴交于点 B （﹣ 2， 0），C （ 6，0）．（ 1）直接写出抛物线的分析式及其对称轴；（ 2）如图 2，连结 AB ， AC ，设点 P （m ， n ）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右边，过点 P 作 PD ⊥ AC 于点 E ，交 x 轴于点 D ，过点 P 作 PG ∥ AB 交 AC 于点 F ，交 x 轴于点 G ．设线段 DG 的长为 d ，求 d 与 m 的函数关系式，并注明m 的取值范围；（ 3）在（ 2）的条件下，若△ PDG 的面积为，① 求点 P 的坐标；② 设 M 为直线 AP 上一动点，连结 OM 交直线 AC 于点 S ，则点 M 在运动过程中，在抛物线上能否存在点 R ，使得△ ARS 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 M 及其对应的点 R 的坐标；若不存在，请说明原因．8．（ 2019?梧州）如图，已知 ⊙A 的圆心为点（3，0），抛物线 y ＝ ax 2﹣x+c 过点 A ，与⊙ A交于 B 、 C 两点，连结 AB 、 AC ，且 AB ⊥ AC ，B 、 C 两点的纵坐标分别是2、 1．（ 1）请直接写出点 B 的坐标，并求 a 、 c 的值；（ 2）直线 y ＝ kx+1 经过点 B ，与 x 轴交于点 D ．点 E （与点 D 不重合）在该直线上，且AD ＝ AE ，请判断点 E 能否在此抛物线上，并说明原因；（ 3）假如直线 y ＝ k 1x ﹣ 1 与 ⊙A 相切，请直接写出知足此条件的直线分析式．9．（ 2019?柳州）如图，直线 y ＝ x ﹣ 3 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 C ，点 B 的坐标为（ 1，0），抛物线 y ＝ ax 2+bx+c （a ≠ 0）经过 A ， B ， C 三点，抛物线的极点为点D ，对称轴与 x 轴的交点为点 E ，点 E 对于原点的对称点为F ，连结 CE ，以点 F 为圆心，CE 的长为半径作圆，点 P 为直线 y ＝x ﹣ 3 上的一个动点．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）求△ BDP 周长的最小值；（ 3）若动点 P 与点 C 不重合，点 Q 为 ⊙F 上的随意一点，当过 P ， Q 两点的直线与抛物线交于M ， N 两点（点 M 在点 N的面积．PQ 的最大值等于CE 时，的左边），求四边形 ABMN210．（ 2019?张家界）已知抛物线 y ＝ax +bx+c （ a ≠ 0）过点 A （ 1， 0）， B （3， 0）两点，与y 轴交于点 C ， OC ＝ 3．（ 1）求抛物线的分析式及极点D 的坐标；（ 2）过点 A 作 AM ⊥ BC ，垂足为 M ，求证：四边形 ADBM 为正方形；（ 3）点 P 为抛物线在直线 BC 下方图形上的一动点，当△ PBC 面积最大时，求点 P 的坐标；（4）若点 Q 为线段 OC 上的一动点，问： AQ+ QC 能否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明原因．211．（ 2019?贵阳）如图，二次函数y＝ x +bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点C，且对于直线 x＝ 1 对称，点 A 的坐标为（﹣ 1，0）．（ 1）求二次函数的表达式；（ 2）连结 BC，若点 P 在 y 轴上时， BP 和 BC 的夹角为15°，求线段 CP 的长度；（ 3）当 a≤ x≤ a+1 时，二次函数22a，求 a 的值．y＝ x +bx+c 的最小值为12．（ 2019?包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y＝ ax +bx+2（ a≠ 0）与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0）两点，与y 轴交于点 C，连结 BC．（1）求该抛物线的分析式，并写出它的对称轴；（2）点 D 为抛物线对称轴上一点，连结CD 、BD ，若∠ DCB ＝∠ CBD ，求点 D 的坐标；（ 3）已知 F（ 1， 1），若 E（ x，y）是抛物线上一个动点（此中1＜ x＜ 2），连结 CE、CF、EF，求△CEF 面积的最大值及此时点 E 的坐标．（ 4）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上能否存在点M，使得以B，C，M，N 为极点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出全部知足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明原因．213．（2019?烟台）如图，极点为M 的抛物线y＝ ax +bx+3 与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0），B 两点，与 y 轴交于点C，过点 C 作 CD⊥ y 轴交抛物线于另一点D，作 DE ⊥ x 轴，垂足为点E，双曲线 y＝（x＞0）经过点D，连结MD，BD．（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）点 N，F 分别是 x 轴， y 轴上的两点，当以M，D ， N， F 为极点的四边形周长最小时，求出点N， F 的坐标；（ 3）动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿OC 方向运动，运动时间为t 秒，当 t 为什么值时，∠BPD 的度数最大？（请直接写出结果）14．（ 2019?玉林）已知二次函数：y＝ ax2+（ 2a+1）x+2 （ a＜ 0）．（ 1）求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；（ 2）当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 a 为负整数时，求 a 的值及二次函数的分析式并画出二次函数的图象（不用列表，只需求用其与x 轴的两个交点 A，B（ A 在 B 的左边），与 y 轴的交点 C 及其极点 D 这四点画出二次函数的大概图象，同时标出 A ，B ， C ， D 的地点）；（ 3）在（ 2）的条件下，二次函数的图象上能否存在一点求出点 P 的坐标；假如不存在，请说明原因．P 使∠ PCA ＝ 75°？假如存在，15．（2019?桂林）如图，抛物线 2轴交于点 A （﹣ 2，0）和 B （ l ，0），与 yy ＝﹣ x +bx+c 与 x 轴交于点 C ．（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）作射线 AC ，将射线 AC 绕点 A 顺时针旋转 90°交抛物线于另一点 D ，在射线 AD上能否存在一点 H ，使△ CHB 的周长最小．若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明原因；（ 3）在（ 2）的条件下，点 Q 为抛物线的极点，点 P 为射线 AD 上的一个动点，且点 P的横坐标为 t ，过点 P 作 x 轴的垂线 l ，垂足为 E ，点 P 从点 A 出发沿 AD 方向运动，直线 l 随之运动，当﹣ 2＜ t ＜1 时，直线 l 将四边形 ABCQ 切割成左右两部分，设在直线 l左边部分的面积为S ，求 S 对于 t 的函数表达式．16．（ 2019?河北）如图，若 b 是正数，直线 l ：y ＝ b 与 y 轴交于点 A ；直线 a ： y ＝ x ﹣b 与 y轴交于点 B ；抛物线 L ： y ＝﹣ x 2+bx 的极点为 C ，且 L 与 x 轴右交点为 D ．（ 1）若 AB ＝8，求 b 的值，并求此时 L 的对称轴与 a 的交点坐标；（ 2）当点 C 在 l 下方时，求点 C 与 l 距离的最大值；（ 3）设 x 0≠ 0，点（ x 0，y 1），（ x 0， y 2），（ x 0， y 3）分别在l ， a 和 L 上，且y 3是 y 1， y 2的均匀数，求点（ x 0， 0）与点D 间的距离；（4）在 L 和分别直接写出a 所围成的关闭图形的界限上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”b ＝ 2019 和 b ＝ 2019.5 时“美点”的个数．，217．（ 2019?常州）如图，二次函数 y ＝﹣ x +bx+3 的图象与 x 轴交于点 A 、B ，与 y 轴交于点C ，点 A 的坐标为（﹣ 1， 0），点 D 为 OC 的中点，点 P 在抛物线上．（ 1） b ＝；（ 2）若点 P 在第一象限，过点 P 作 PH ⊥ x 轴，垂足为 H ，PH 与 BC 、BD 分别交于点 M 、N ．能否存在这样的点 P ，使得 PM ＝ MN ＝ NH ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因；（ 3）若点 P 的横坐标小于 3，过点 P 作 PQ ⊥ BD ，垂足为 Q ，直线 PQ 与 x 轴交于点 R ，且 S △PQB ＝ 2S △ QRB ，求点 P 的坐标．18．（ 2019?荆州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的极点 A ，C 的坐标分别为（ 6， 0），（ 4， 3），经过 B ， C 两点的抛物线与 x 轴的一个交点 D 的坐标为（ 1，0）．（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）若∠ AOC 的均分线交 BC 于点 E ，交抛物线的对称轴于点F ，点当 PE+PF 的值最小时，求点P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，过点 A 作 OE 的垂线交 BC 于点 H ，点 M ，N对称轴上的动点，能否存在这样的点M ， N ，使得以点 M ， N ，H ，EP 是 x 轴上一动点，分别为抛物线及其为极点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标，若不存在，说明原因．19．（ 2019?河南）如图，抛物线2两点，交 y 轴于点 C．直线 y y＝ ax + x+c 交 x 轴于 A， B＝﹣ x﹣ 2 经过点 A，C．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）点 P 是抛物线上一动点，过点P 作 x 轴的垂线，交直线AC 于点 M，设点 P 的横坐标为 m．①当△ PCM 是直角三角形时，求点P 的坐标；②作点 B 对于点 C 的对称点 B'，则平面内存在直线l，使点 M，B，B′到该直线的距离都相等．当点 P 在 y 轴右边的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l ：y＝ kx+b 的分析式．（ k，b 可用含 m 的式子表示）20．（ 2019?镇江）如图，二次函数2图象的极点为 D ，对称轴是直线1，一次y＝﹣ x +4x+5函数 y＝ x+1 的图象与 x 轴交于点 A，且与直线 DA 对于 l 的对称直线交于点B．（ 1）点 D 的坐标是；（ 2）直线 l 与直线 AB 交于点 C， N 是线段 DC 上一点（不与点D、 C 重合），点 N 的纵坐标为 n．过点 N 作直线与线段DA、DB 分别交于点P、Q，使得△ DPQ 与△ DAB 相像．①当 n＝时，求DP的长；②若对于每一个确立的n 的值，有且只有一个△DPQ 与△ DAB 相像，请直接写出n 的取值范围．21．（ 2019?湘西州）如图，抛物线2y＝ ax +bx（a＞ 0）过点 E（ 8，0），矩形 ABCD 的边 AB在线段 OE 上（点 A 在点 B 的左边），点 C、 D 在抛物线上，∠ BAD 的均分线 AM 交 BC 于点 M，点 N 是 CD 的中点，已知 OA＝2，且 OA：AD＝ 1： 3．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）F、 G 分别为 x 轴， y 轴上的动点，按序连结M、 N、 G、 F 组成四边形 MNGF ，求四边形 MNGF 周长的最小值；（ 3）在 x 轴下方且在抛物线上能否存在点P，使△ ODP 中 OD 边上的高为？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因；（ 4）矩形 ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K 、L，且直线 KL 均分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．222．（ 2019?邵阳）如图，二次函数y＝﹣x +bx+c 的图象过原点，与x 轴的另一个交点为（8， 0）（ 1）求该二次函数的分析式；（ 2）在 x 轴上方作 x 轴的平行线y 1＝ m ，交二次函数图象于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点D 、点 C ．当矩形 ABCD 为正方形时，求 m 的值；（ 3）在（ 2）的条件下，动点 P 从点 A 出发沿射线 AB 以每秒 1 个单位长度匀速运动，同时动点 Q 以相同的速度从点A 出发沿线段 AD 匀速运动，抵达点D 时立刻原速返回，当动点 Q 返回到点 A 时， P 、Q 两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒（ t ＞0）．过点 P向 x 轴作垂线，交抛物线于点E ，交直线 AC 于点F ，问：以 A 、E 、F 、Q 四点为极点构成的四边形可否是平行四边形．若能，恳求出t 的值；若不可以，请说明原因．23．（ 2019?广西）假如抛物线 C 1 的极点在拋物线 C 2 上，抛物线 C 2 的极点也在拋物线 C 1 上时，那么我们称抛物线C 1 与 C 2“互为关系”的抛物线．如图1，已知抛物线 C 1： y 1＝ x 2+x 与 C 2： y 2＝ax 2+x+c 是“互为关系”的拋物线，点A ，B 分别是抛物线C 1，C 2的极点，抛物线 C 2 经过点 D （ 6，﹣ 1）．（ 1）直接写出 A ， B 的坐标和抛物线 C 2 的分析式；（ 2）抛物线 C 2 上能否存在点 E ，使得△ ABE 是直角三角形？假如存在，恳求出点 E 的坐标；假如不存在，请说明原因；（ 3）如图 2，点 F （﹣ 6，3）在抛物线 C 1 上，点 M ， N 分别是抛物线 C 1，C 2 上的动点，且点 M ，N 的横坐标相同，记△ AFM 面积为 S 1（当点 M 与点 A ，F 重合时 S 1＝ 0），△ ABN的面积为S 2（当点N 与点A ，B 重合时，S 2＝ 0），令S ＝ S 1+S 2，察看图象，当y 1 ≤y 2 时，写出x 的取值范围，并求出在此范围内S 的最大值．24．（ 2019?贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（﹣ 1， 0），且 OA＝ OC2＝ 4OB，抛物线y＝ ax +bx+c（ a≠0）图象经过A，B， C 三点．（ 1）求 A，C 两点的坐标；（ 2）求抛物线的分析式；（ 3）若点 P 是直线 AC 下方的抛物线上的一个动点，作 PD ⊥ AC 于点 D，当 PD 的值最大时，求此时点 P 的坐标及 PD 的最大值．25．（ 2019?黄冈）如图①，在平面直角坐标系（ 0，2），D（ 2，0）四点，动点 M 以每秒xOy 中，已知 A（﹣ 2， 2）， B（﹣ 2， 0），C 个单位长度的速度沿 B→ C→ D 运动（ M 不与点 B、点 D 重合），设运动时间为t（秒）．（ 1）求经过 A、 C、D 三点的抛物线的分析式；（ 2）点 P 在（ 1）中的抛物线上，当 M 为 BC 的中点时，若△ PAM≌△ PBM ，求点 P 的坐标；（ 3）当 M 在 CD 上运动时，如图② ．过点 M 作 MF ⊥x 轴，垂足为 F ， ME ⊥AB，垂足为E．设矩形 MEBF 与△ BCD 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值；（ 4）点 Q 为 x 轴上一点，直线AQ 与直线 BC 交于点 H，与 y 轴交于点K．能否存在点Q，使得△ HOK 为等腰三角形？若存在，直接写出切合条件的全部Q 点的坐标；若不存在，请说明原因．26．（ 2019?毕节市）已知抛物线2y＝ ax +bx+3 经过点 A（ 1，0）和点 B（﹣ 3，0），与 y 轴交于点 C，点 P 为第二象限内抛物线上的动点．（ 1）抛物线的分析式为，抛物线的极点坐标为；（ 2）如图 1，连结 OP 交 BC 于点 D ，当 S△CPD： S△BPD＝ 1： 2 时，恳求出点 D 的坐标；（ 3）如图 2，点 E 的坐标为（ 0，﹣ 1），点 G 为 x 轴负半轴上的一点，∠OGE ＝ 15°，连结 PE，若∠ PEG＝ 2∠ OGE ，恳求出点P 的坐标；（ 4）如图 3，能否存在点P，使四边形BOCP 的面积为8？若存在，恳求出点P 的坐标；若不存在，请说明原因．227．（ 2019?贵港）如图，已知抛物线y＝ ax +bx+c 的极点为A（ 4， 3），与 y 轴订交于点 B （0，﹣ 5），对称轴为直线 l ，点 M 是线段 AB 的中点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出点 M 的坐标并求直线 AB 的表达式；（3）设动点 P，Q 分别在抛物线和对称轴 l 上，当以 A，P，Q，M 为极点的四边形是平行四边形时，求 P， Q 两点的坐标．228．（ 2019?福建）已知抛物y＝ax +bx+c（ b＜0）与 x 轴只有一个公共点．（ 1）若抛物线与x 轴的公共点坐标为（2， 0），求 a、 c 知足的关系式；（ 2）设 A 为抛物线上的必定点，直线l：y＝ kx+1﹣ k 与抛物线交于点B、C，直线 BD 垂直于直线y＝﹣ 1，垂足为点D．当 k＝ 0 时，直线l 与抛物线的一个交点在y 轴上，且△ABC 为等腰直角三角形．①求点 A 的坐标和抛物线的分析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有 A、D 、 C 三点共线．29．（ 2019?淮安）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于 A、B 两点， D 为极点，此中点 B 的坐标为（ 5， 0），点 D 的坐标为（ 1， 3）．（ 1）求该二次函数的表达式；（ 2）点 E 是线段 BD 上的一点，过点 E 作 x 轴的垂线，垂足为 F ，且 ED ＝ EF，求点 E 的坐标．（ 3）试问在该二次函数图象上能否存在点G，使得△ ADG 的面积是△ BDG 的面积的？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明原因．30．（ 2019?黄石）如图，已知抛物线y＝2x +bx+c 经过点 A（﹣ 1，0）、 B（5， 0）．（ 1）求抛物线的分析式，并写出极点M 的坐标；（ 2）若点 C 在抛物线上，且点 C 的横坐标为 8，求四边形 AMBC 的面积；（ 3）定点 D （0， m）在 y 轴上，若将抛物线的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位获得一条新的抛物线，点P 在新的抛物线上运动，求定点 D 与动点 P 之间距离的最小值 d（用含 m 的代数式表示）31．（ 2019?广东）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x﹣与 x 轴交x +于点 A、 B（点 A 在点 B 右边），点 D 为抛物线的极点，点 C 在 y 轴的正半轴上， CD 交x 轴于点 F ，△ CAD 绕点 C 顺时针旋转获得△ CFE，点 A 恰巧旋转到点F，连结 BE．（ 1）求点 A、B、 D 的坐标；（ 2）求证：四边形 BFCE 是平行四边形；（ 3）如图 2，过极点 D 作 DD 1⊥ x 轴于点 D 1，点 P 是抛物线上一动点，过点P作 PM⊥x 轴，点 M 为垂足，使得△ PAM 与△ DD 1A 相像（不含全等）．① 求出一个知足以上条件的点P 的横坐标；②直接回答这样的点P 共有几个？232．（ 2019?海南）如图，已知抛物线y＝ ax +bx+5 经过 A（﹣ 5， 0）， B（﹣ 4，﹣ 3）两点，与 x 轴的另一个交点为 C，极点为 D ，连结CD．（ 1）求该抛物线的表达式；（2）点 P 为该抛物线上一动点（与点B、 C 不重合），设点 P 的横坐标为 t．①当点 P 在直线 BC 的下方运动时，求△ PBC 的面积的最大值；② 该抛物线上能否存在点P ，使得∠ PBC ＝∠ BCD ？若存在，求出全部点P 的坐标；若不存在，请说明原因．33．（ 2019?十堰）已知抛物线 y ＝ a （ x ﹣ 2）2 +c 经过点 A （﹣ 2， 0）和 C （ 0，），与 x 轴交于另一点 B ，极点为 D ．（ 1）求抛物线的分析式，并写出D 点的坐标；（ 2）如图，点 E ， F 分别在线段 AB ，BD 上（ E 点不与 A ， B 重合），且∠ DEF ＝∠ A ，则△ DEF 可否为等腰三角形？若能，求出 BE 的长；若不可以，请说明原因；（ 3）若点 P 在抛物线上，且＝m ，试确立知足条件的点 P 的个数．34．（ 2019?山西）综合与研究如图，抛物线 y ＝ ax 2+bx+6 经过点 A （﹣ 2，0）， B （ 4，0）两点，与 y 轴交于点 C ，点 D 是抛物线上一个动点，设点 D 的横坐标为 m （1＜ m ＜ 4）．连结 AC ， BC ， DB ， DC ．（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）△ BCD 的面积等于△ AOC 的面积的时，求 m 的值；（ 3）在（ 2）的条件下，若点 M 是 x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断能否存在这样的点 M ，使得以点 B ， D ，M ，N 为极点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明原因．35．（ 2019?眉山）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣2x +bx+c 经过点 A（﹣ 5，0）和点 B（ 1， 0）．（ 1）求抛物线的分析式及极点 D 的坐标；（2）点 P 是抛物线上 A、D 之间的一点，过点线于点 G，过点 G 作 GF⊥ x 轴于点 F，当矩形P 作 PE⊥ x 轴于点 E，PG⊥ y 轴，交抛物PEFG 的周长最大时，求点 P 的横坐标；（ 3）如图 2，连结 AD 、BD，点 M 在线段MN 交线段 AD 于点 N，能否存在这样点 AN 的长；若不存在，请说明原因．AB 上（不与 A、B 重合），作∠ DMN ＝∠DBA ，M，使得△ DMN 为等腰三角形？若存在，求出236．（ 2019?新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax +bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）， C（ 0， 4）三点．（ 1）求抛物线的分析式及极点 D 的坐标；（ 2）将（ 1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h（ h＞ 0）个单位长度，获得新抛物线．若新抛物线的极点 D ′在△ ABC 内，求 h 的取值范围；（3）点 P 为线段 BC 上一动点（点 P 不与点 B， C 重合），过点 P 作 x 轴的垂线交（ 1）中的抛物线于点 Q，当△ PQC 与△ ABC 相像时，求△ PQC 的面积．37．（ 2019?呼和浩特）已知二次函数 y ＝ ax 2﹣ bx+c 且 a ＝ b ，若一次函数 y ＝kx+4 与二次函数的图象交于点 A （ 2，0）．（ 1）写出一次函数的分析式，并求出二次函数与x 轴交点坐标；（ 2）当 a ＞ c 时，求证：直线 y ＝ kx+4 与抛物线 y ＝ ax 2﹣ bx+c 必定还有另一个异于点A的交点；（ 3）当 c ＜ a ≤ c+3 时，求出直线 y ＝ kx+4 记抛物线极点为 M ，抛物线对称轴与直线与抛物线 y ＝ax 2﹣ bx+c 的另一个交点 B 的坐标；y ＝ kx+4 的交点为 N ，设 S ＝S △ AMN ﹣ S △BMN ，写出 S 对于 a 的函数，并判断 S 能否有最大值？假如有，求出最大值；假如没有，请说明原因．38．（ 2019?益阳）在平面直角坐标系xOy 中，极点为 A 的抛物线与 x 轴交于 B 、C 两点，与y 轴交于点 D ，已知 A （ 1， 4）， B （ 3， 0）．（ 1）求抛物线对应的二次函数表达式；（ 2）研究：如图 1，连结 OA ，作 DE ∥OA 交 BA 的延伸线于点E ，连结 OE 交 AD 于点F ， M 是 BE 的中点，则 OM 能否将四边形OBAD 分红面积相等的两部分？请说明原因；（ 3）应用：如图 2，P （m ，n ）是抛物线在第四象限的图象上的点，且 m+n ＝﹣ 1，连结PA 、 PC ，在线段 PC 上确立一点 M ，使 AN 均分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若点 A 、B 的坐标分别为（ x 1，y 1）、（ x 2，y 2），则线段 AB 的中点坐标为（，）．39．（ 2019?孝感）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y ＝ ax2﹣ 2ax ﹣8a 与 x 轴订交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C （ 0，﹣ 4）．（ 1）点 A 的坐标为，点 B 的坐标为，线段 AC 的长为，抛物线的分析式为．（ 2）点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点．① 假如在 x 轴上存在点Q ，使得以点 B 、 C 、 P 、Q 为极点的四边形是平行四边形．求点Q 的坐标．② 如图 2，过点 P 作 PE ∥CA 交线段 BC 于点 E ，过点 P 作直线 x ＝ t 交 BC 于点 F ，交 x轴于点 G ，记 PE ＝ f ，求 f 对于 t 的函数分析式；当t 取 m 和 4﹣ m （ 0＜ m ＜ 2）时，试比较 f 的对应函数值 f 1 和 f 2 的大小．40．（ 2019?咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣ x+2 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，抛物线 y ＝﹣x 2+bx+c 经过 A ，B 两点且与 x 轴的负半轴交于点C ．（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）若点 D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当∠ABD ＝ 2∠BAC 时，求点 D 的坐标；（ 3）已知E， F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当B， O， E，F 为极点的四边形是平行四边形时，直接写出全部切合条件的 E 点的坐标．九上数学 -二次函数 -综合题（一）参照答案与试题分析一．解答题（共40 小题）2 1．（2019?赤峰）如图，直线 y＝﹣ x+3 与 x 轴、y 轴分别交于B、C 两点，抛物线 y＝﹣ x +bx+c 经过点 B、 C，与 x 轴另一交点为 A，极点为 D．（1）求抛物线的分析式；（2）在 x 轴上找一点 E，使 EC+ED 的值最小，求 EC+ED 的最小值；（3）在抛物线的对称轴上能否存在一点 P，使得∠ APB ＝∠ OCB？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明原因．【解答】解：（ 1）直线 y＝﹣ x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于 B、C 两点，则点 B、C 的坐标分别为（ 3， 0）、（0， 3），将点 B、 C 的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣ x2+2x+3，令 y＝ 0，则x＝﹣ 1 或 3，故点 A（﹣ 1， 0）；（ 2）如图 1，作点 C 对于 x 轴的对称点 C′，连结 CD′交 x 轴于点 E，则此时 EC+ED 为最小，函数极点坐标为（ 1， 4），点 C ′（ 0，﹣ 3），将 CD 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线 CD 的表达式为： y ＝ 7x ﹣3，当 y ＝ 0 时， x ＝，故点 E （， x ）；（ 3）① 当点 P 在 x 轴上方时，以下列图2，∵ OB ＝ OC ＝3，则∠ OCB ＝ 45°＝∠ APB ，过点 B 作 BH ⊥ AP 于点 H ，设 PH ＝ BH ＝m ，则 PB ＝ PA ＝ m ，由勾股定理得： AB 2＝AH 2+BH 2，22 2，16＝ m +（ m ﹣m ），解得： m ＝ 8+4则 PB 2＝ 2m 2＝ 16+8则 y P ＝＝ 2+2；② 当点 P 在 x 轴下方时，则 y P ＝﹣（ 2）；故点 P 的坐标为（ 1， 2）或（1，﹣2﹣2）．22．（ 2019?通辽）已知，如图，抛物线y＝ ax +bx+c（ a≠ 0）的极点为M（ 1，9），经过抛物线上的两点A（﹣ 3，﹣ 7）和B（ 3， m）的直线交抛物线的对称轴于点C．（ 1）求抛物线的分析式和直线AB 的分析式．（ 2）在抛物线上A、 M 两点之间的部分（不包含A、 M 两点），能否存在点D，使得S△DAC＝ 2S△DCM？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明原因．（ 3）若点 P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点A，M，P，Q 为极点的四边形是平行四边形时，直接写出知足条件的点P 的坐标．【解答】解：（ 1）二次函数表达式为：y＝ a（x﹣ 1）2+9，将点 A 的坐标代入上式并解得：a＝﹣ 1，2故抛物线的表达式为：y＝﹣ x +2x+8①，则点 B（ 3， 5），将点 A、 B 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线 AB 的表达式为： y＝ 2x﹣ 1；（ 2）存在，原因：二次函数对称轴为：x＝ 1，则点 C（ 1， 1），过点 D 作 y 轴的平行线交AB 于点 H，2设点 D （ x ，﹣ x +2x+8），点 H （ x ， 2x ﹣ 1），∵ S △DAC ＝ 2S △ DCM ，则 S △DAC ＝ DH （ x C ﹣x A ）＝ 2﹣ 2x+1 ）（ 1+3 ）＝（ 9﹣ 1）（ 1﹣ x ）× 2，（﹣ x +2x+8解得： x ＝﹣ 1 或 5（舍去 5），故点 D （﹣ 1， 5）；（ 3）设点 Q （ m ， 0）、点 P （ s ， t ）， t ＝﹣ s 2+2s+8，① 当 AM 是平行四边形的一条边时，点 M 向左平移 4 个单位向下平移 16 个单位获得 A ，同理，点 Q （ m ，0）向左平移 4 个单位向下平移16 个单位为（ m ﹣ 4，﹣ 16），即为点 P ，即： m ﹣ 4＝s ，﹣ 6＝ t ，而 t ＝﹣ s 2+2s+8 ，解得： s ＝6 或﹣ 4，故点 P （ 6，﹣ 16）或（﹣ 4，﹣ 16）；② 当 AM 是平行四边形的对角线时，由中点公式得： m+s ＝﹣ 2， t ＝ 2，而 t ＝﹣ s 2+2s+8，解得： s ＝1，故点 P （ 1，2）或（ 1﹣综上，点 P （ 6，﹣ 16）或（﹣，2）；4，﹣ 16）或（ 1 ， 2）或（ 1﹣，2）．3．（ 2019?吉林）如图，抛物线 y ＝（ x ﹣1） 2+k 与 x 轴订交于 A ，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴订交于点 C （ 0，﹣ 3）． P 为抛物线上一点，横坐标为 m ，且 m ＞0．（ 1）求此抛物线的分析式；（ 2）当点 P 位于 x 轴下方时，求△ ABP 面积的最大值；（ 3）设此抛物线在点 C 与点 P 之间部分（含点 C 和点 P ）最高点与最低点的纵坐标之差为 h ．① 求 h 对于 m 的函数分析式，并写出自变量m 的取值范围；② 当 h ＝9 时，直接写出△ BCP 的面积．2【解答】解：（ 1）将点 C （ 0，﹣ 3）代入 y ＝（ x ﹣ 1） +k ，得 k ＝﹣ 4，∴ y ＝（ x ﹣ 1） 2﹣ 4＝ x 2﹣ 2x ﹣ 3；（ 2）令 y ＝ 0， x ＝﹣ 1 或 x ＝ 3，∴ A （﹣ 1， 0）， B （ 3， 0），∴ AB ＝ 4；抛物线极点为（ 1，﹣ 4），当 P 位于抛物线极点时，△ ABP 的面积有最大值，S ＝＝8；22（ 3）① 当 0＜ m ≤ 1 时， h ＝﹣ 3﹣（ m ﹣ 2m ﹣ 3）＝﹣ m +2m ；当 1＜m ≤ 2 时， h ＝﹣ 1﹣（﹣ 4）＝ 1；当 m ＞ 2 时， h ＝ m 2﹣ 2m ﹣ 3﹣（﹣ 4）＝ m 2﹣ 2m+1；② 当 h ＝9 时2若﹣ m +2 m ＝ 9，此时△＜ 0， m 无解；若 m 2﹣ 2m+1＝ 9，则 m ＝ 4，∴ P （ 4， 5），∵ B （ 3， 0），C （ 0，﹣ 3），∴△ BCP 的面积＝8× 4﹣5×1﹣（ 4+1）× 3＝ 6；24．（ 2019?绥化）已知抛物线 y ＝ax +bx+3 的对称轴为直线 x ＝，交 x 轴于点 A 、 B ，交 y轴于点C ，且点 A 坐标为A （﹣ 2， 0）．直线 y ＝﹣ mx ﹣ m （ m ＞ 0）与抛物线交于点P 、Q （点P 在点Q 的右边），交y 轴于点H ．（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）若 n ＝﹣ 5，且△ CPQ 的面积为 3，求 m 的值；（ 3）当 m ≠1 时，若 n ＝﹣ 3m ，直线 AQ 交 y 轴于点 K ．设△ PQK 的面积为 S ，求 S 与 m之间的函数分析式．【解答】解：（ 1）将点 A （﹣ 2，0）代入分析式，得 4a ﹣ 2b+3＝ 0，∵ x ＝﹣＝，∴ a ＝﹣ ， b ＝；∴ y ＝﹣ x 2+ x+3；（ 2）设点 Q 横坐标 x 1，点 P 的横坐标 x 2，则有 x 1＜x 2，把 n ＝﹣ 5 代入 y ＝﹣ mx ﹣ n ，∴ y ＝﹣ mx+5，联立 y ＝﹣ mx+5 ， y ＝﹣2x + x+3 得：﹣ mx+5＝﹣ x 2+ x+3，∴ x 2﹣（ 2m+1） x+4 ＝ 0，∴ x 1+x 2＝ 2m+1， x 1x 2＝ 4，∵△ CPQ 的面积为 3；∴ S △CPQ ＝ S △CHP ﹣ S △CHQ ，即 HC （ x 2﹣ x 1）＝ 3，∴ x 2﹣ x 1＝3，∴﹣ 4x 1x 2＝ 9，∴（ 2m+1 ）2＝ 25，∴ m ＝ 2 或 m ＝﹣ 3， ∵ m ＞ 0，∴ m ＝ 2；（ 3）当 n ＝﹣ 3m 时， PQ 分析式为 y ＝﹣ mx+3m ， ∴ H （ 0， 3m ），∵ y ＝﹣ mx+3m 与 y ＝﹣ x 2+ x+3 订交于点 P 与 Q ， ∴﹣ mx+3 m ＝﹣ x 2+ x+3，∴ x ＝ 3 或 x ＝ 2m ﹣ 2，当 2m ﹣ 2＜ 3 时，有 0＜ m ＜，∵点 P 在点 Q 的右边，2∴ P （ 3， 0），Q （ 2m ﹣ 2，﹣ 2m +5m ），∴ AQ 的直线分析式为 y ＝x+5﹣ 2m ，∴ K （ 0， 5﹣ 2m ），∴ HK ＝ |5m ﹣ 5|＝ 5|m ﹣ 1|，① 当 0＜m ＜ 1 时，如图 ① ， HK ＝ 5﹣5m ，∴ S △PQK ＝ S △PHK +S △ QHK ＝HK （ x P ﹣ x Q ）＝（ 5﹣5m ）（ 5﹣ 2m ）＝5m 2﹣m+ ，② 当 1＜m ＜时，如图 ② ， HK ＝5m ﹣ 5，∴ S △PQK ＝﹣ 5m2，+ m ﹣③ 当 2m ﹣ 2＞3 时，如图 ③ ，有 m ＞，2∴ P （ 2m ﹣2，﹣ 2m +5m ）， Q （ 3，0）， K （ 0， 0），∴ S △PQK ＝ × KQ |y P |＝（2m 2﹣ 5m ）＝ 3m 2﹣ m ，综上所述， S ＝；5．（ 2019?齐齐哈尔）综合与研究如图，抛物线 y ＝ x 2+bx+c 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点， OA ＝ 2， OC ＝6，连结 AC 和 BC ．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）点 D 在抛物线的对称轴上，当△ ACD 的周长最小时，点 D 的坐标为（，﹣5）．（ 3）点 E 是第四象限内抛物线上的动点，连结CE 和 BE ．求△ BCE 面积的最大值及此时点 E 的坐标；（ 4）若点 M 是 y 轴上的动点，在座标平面内能否存在点N ，使以点 A 、 C 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明原因．【解答】解：（ 1）∵ OA ＝ 2，OC ＝ 6∴ A （﹣ 2， 0）， C （ 0，﹣ 6）2∵抛物线 y ＝ x +bx+c 过点 A 、 C∴解得：∴抛物线分析式为y ＝ x 2﹣ x ﹣6（ 2）∵当 y ＝ 0 时， x 2﹣ x ﹣ 6＝ 0，解得： x 1＝﹣ 2， x 2＝ 3∴ B （ 3， 0），抛物线对称轴为直线 x ＝∵点 D 在直线 x ＝上，点 A 、 B 对于直线 x ＝对称∴ x D ＝， AD ＝BD∴当点 B 、 D 、 C 在同向来线上时， C △ACD ＝ AC+AD+CD ＝ AC+BD +CD ＝ AC+BC 最小设直线 BC 分析式为 y ＝ kx ﹣ 6∴ 3k ﹣6＝ 0，解得： k ＝ 2∴直线 BC ：y ＝ 2x ﹣ 6∴y D＝2× ﹣ 6＝﹣ 5∴D（，﹣ 5）故答案为：（，﹣ 5）（ 3）过点 E 作 EG⊥ x 轴于点 G，交直线 BC 与点 F设 E（ t， t 2﹣t ﹣ 6）（ 0＜ t＜ 3），则 F （ t， 2t﹣ 6）∴ EF＝ 2t﹣ 6﹣（ t 2﹣t ﹣ 6）＝﹣ t2+3t∴ S△BCE＝ S△BEF+S△CEF＝EF?BG+ EF?OG＝EF（ BG+OG ）＝EF?OB ＝× 3（﹣2 2t +3t）＝﹣（t﹣）+∴当 t＝时，△ BCE面积最大∴ y E＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点 E 坐标为（，﹣）时，△ BCE面积最大，最大值为．（4）存在点 N，使以点 A、 C、 M、 N 为极点的四边形是菱形．∵ A（﹣ 2， 0）， C（ 0，﹣ 6）∴ AC＝①若 AC 为菱形的边长，如图3，则 MN∥AC 且， MN ＝AC＝ 2∴ N1（﹣ 2， 2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）②若 AC 为菱形的对角线，如图4，则 AN4∥ CM 4， AN4＝ CN4设 N4（﹣ 2，n）∴﹣ n＝解得： n＝﹣∴ N4（﹣ 2，﹣）综上所述，点N 坐标为（﹣ 2， 2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．。

二次函数综合应用题(有答案)中考题必练经典(学有余力的看)

函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1. 求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。

需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下)(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。

2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。

（一般式化为定点式）最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。

(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。

3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。

推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x 的取值范围。

备选思路一：先将不等号看做等号，求出x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x 的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。

这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。

一、求利润的最值1. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。

当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。

宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。

根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。

设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。

(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。

(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000； (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890，当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。

2019年中考数学真题分类专项训练--二次函数综合题

2019年中考数学真题分类专项训练--二次函数综合题1．（2019广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y =233373848x x +-与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（3）如图2，过顶点D 作DD 1⊥x 轴于点D 1，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM ⊥x 轴，点M 为垂足，使得△PAM 与△DD 1A 相似（不含全等）． ①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标； ②直接回答这样的点P 共有几个？解：（1233373x x +-=0，解得x 1=1，x 2=–7．∴A （1，0），B （–7，0）．由y 233373x x +-233)23x +-D （–3，–3（2）∵DD 1⊥x 轴于点D 1，∴∠COF =∠DD 1F =90°，∵∠D 1FD =∠CFO ，∴△DD 1F ∽△COF ，∴11D D COFD OF=，∵D （–3，–23）， ∴D 1D =23，OD =3，∵AC =CF ，CO ⊥AF ，∴OF =OA =1， ∴D 1F =D 1O –OF =3–1=2231OC=， ∴OC 3CA =CF =FA =2，∴△ACF 是等边三角形，∴∠AFC =∠ACF ， ∵△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ， ∴∠ECF =∠AFC =60°，∴EC ∥BF ， ∵EC =DC 223(323)++=6， ∵BF =6，∴EC =BF ，∴四边形BFCE 是平行四边形；（3）∵点P 是抛物线上一动点， ∴设P 点（x ，233373848x x +-）， ①当点P 在B 点的左侧时， ∵△PAM 与△DD 1A 相似， ∴11DD D A PM MA =或11DD D AAM PM=，41848x=-或1848x=-，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–11或x1=1（不合题意舍去）x2=–373；当点P在A点的右侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴11DDPMAM D A=或11D APMMA DD=，∴28481x xx=-或28481x xx-=-，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=–53（不合题意舍去）；当点P在AB之间时，∵△PAM与△DD1A相似，∴PMAM=11DDD A或PMMA=11D ADD，∴28481x xx=-或28481x xx-=-，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=–53；综上所述，点P的横坐标为–11或–373或–53；②由①得，这样的点P共有3个．2．（2019深圳）如图，抛物线经y=ax2+bx+c过点A（-1，0），点C（0，3），且OB=OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标．解：（1）∵OB =OC ， ∴点B （3，0），则抛物线的表达式为：y =a （x +1）（x -3）=a （x 2-2x -3）=ax 2-2ax -3a ，故-3a =3，解得：a =-1，故抛物线的表达式为：y =-x 2+2x +3，对称轴为x =1．（2）ACDE 的周长=AC +DE +CD +AE ，其中AC 10=、DE =1是常数，故CD +AE 最小时，周长最小，取点C 关于函数对称点C （2，3），则CD =C ′D ，取点A ′（-1，1），则A ′D =AE ，故：CD +AE =A ′D +DC ′，则当A ′、D 、C ′三点共线时，CD +AE =A ′D +DC ′最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值=AC +DE +CD +AE 101=+A ′D +DC ′101=+A ′C ′10113=（3）如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，又∵S △PCB ∶S △PCA 12=EB ×（y C -y P ）∶12AE ×（y C -y P ）=BE ∶AE ，则BE ∶AE =3∶5或5∶3，则AE 52=或32，即：点E 的坐标为（32，0）或（12，0），将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +3，解得：k =-6或-2，故直线CP 的表达式为：y =-2x +3或y =-6x +3，联立22363y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩并解得：x =4或8（不合题意值已舍去），故点P 的坐标为（4，-5）或（8，-45）．3.（2019雅安）已知二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象过点（2，-1），点P （P 与O 不重合）是图象上的一点，直线l 过点（0，1）且平行于x 轴。

中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附有答案

中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附有答案一、单选题(共12题；共24分)1．已知直线y=kx+2过一、二、三象限，则直线y=kx+2与抛物线y=x2−2x+3的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个2．已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)部分自变量和对应的函数值如表：x…-10245…y1…01356…y2…0-1059…21A．-1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜-1或x＞5D．x＜-1或x＞43．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+n与C1、C2共有3个不同的交点，则n的取值范围是（）A．−2＜n＜18B．−3＜n＜−74C．−3＜n＜−2D．−3＜n＜−1584．已知直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（-1，0）、（2，0），抛物线与直线交点的横坐标为1和，那么不等式mx+n ＜ax2+bx+c ＜0的解集是()A．1＜x＜2B．x＜或x＞1C．＜x＜2D．-1＜x＜25．若min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，当y=min{x2,x+2,8−x}时(x≥0)，则y的最大值是（）A．4B．5C．6D．7 6．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点.若二次函数y= x2−x+c（c为常数）在−2<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．−2<c<14B．−4<c<94C．−4<c<14D．−10<c<947．二次函数y1=x2+bx+c与一次函数y2=kx−9的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使y1<y2，则x的取值范围是（）A．2<x<3B．x>2C．x<3D．x<2或x>38．将二次函数y=−x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时b的值为（）A．−214或−3B．−134或−3C．214或−3D．134或−39．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=12x2+bx+c的顶点，则方程12x2+bx+c=1的解的个数是（）A．0或2B．0或1C．1或2D．0，1或210．如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，同时点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动，当点P移动到点A时P、Q同时停止移动。

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第七节二次函数的综合应用
姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟
1．(2018·衡阳中考)如图，已知直线y ＝－2x ＋4分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线过A ，B 两点，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作PC⊥x 轴于点C ，交抛物线于点D.
(1)若抛物线的解析式为y ＝－2x 2
＋2x ＋4，设其顶点为M ，其对称轴交AB 于点N.
①求点M ，N 的坐标；
②是否存在点P ，使四边形MNPD 为菱形？并说明理由；
(2)当点P 的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B ，P ，D 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
2．(2018·枣庄中考)如图1，已知二次函数y ＝ax 2＋32
x ＋c(a≠0)的图象与y 轴交于点A(0，4)，与x 轴交于点B ，C ，点C 坐标为(8，0)，连接AB ，AC.
(1)请直接写出二次函数y ＝ax 2＋32
x ＋c 的解析式； (2)判断△ABC 的形状，并说明理由；
(3)若点N 在x 轴上运动，当以点A ，N ，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标；
(4)如图2，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．
图1
图2
3．(2018·眉山中考)如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(0，3)，B(1，0)，其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE，PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
(3)如图2，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：(1)①如图，
∵y＝－2x 2＋2x ＋4＝－2(x －12)2＋92，
∴顶点M 的坐标为(12，92)．
当x ＝12时，y ＝－2×12＋4＝3，
则点N 的坐标为(12，3)．
②不存在．理由如下：
MN ＝92－3＝32.
设P 点坐标为(m ，－2m ＋4)，则D(m ，－2m 2＋2m ＋4)，
∴PD＝－2m 2＋2m ＋4－(－2m ＋4)＝－2m 2＋4m.
∵PD∥MN，
当PD ＝MN 时，四边形MNPD 为平行四边形，
即－2m 2＋4m ＝32，解得m 1＝12(舍去)，m 2＝32，
此时P 点坐标为(32
，1)． ∵PN＝（12－32
）2＋（3－1）2＝5， ∴PN≠MN ，
∴平行四边形MNPD 不为菱形，
∴不存在点P ，使四边形MNPD 为菱形．
(2)存在．
如图，
OB ＝4，OA ＝2，则AB ＝22＋42
＝2 5.
当x ＝1时，y ＝－2x ＋4＝2，则P(1，2)，
∴PB＝12＋（2－4）2＝ 5.
设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋4，
把A(2，0)代入得4a ＋2b ＋4＝0，解得b ＝－2a －2，
∴抛物线的解析式为y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋4.
当x ＝1时，y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋4＝a －2a －2＋4＝2－a ，则D(1，2－a)，
∴PD＝2－a －2＝－a.
∵DC∥OB，∴∠DPB＝∠OBA，
∴当PD BO ＝PB BA 时，△PDB∽△BOA，即－a 4＝525
，解得a ＝－2，
此时抛物线的解析式为y ＝－2x 2＋2x ＋4；
当PD BA ＝PB BO 时，△PDB∽△BAO，即－a 25＝54，解得a ＝－52
，此时抛物线的解析式为y ＝－52
x 2＋3x ＋4.
综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y ＝－2x 2＋2x ＋4或y ＝－52
x 2＋3x ＋4. 2．解：(1)y ＝－14x 2＋32
x ＋4. 提示：∵二次函数y ＝ax 2＋32
x ＋c 的图象与y 轴交于点A(0，4)，与x 轴交于点B ，C ，点C 坐标为(8，0)， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧c ＝4，64a ＋12＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，c ＝4，
∴抛物线解析式为y ＝－14x 2＋32
x ＋4. (2)△ABC 是直角三角形．理由如下：
令y ＝0，则－14x 2＋32
x ＋4＝0，解得x 1＝8，x 2＝－2，
∴点B 的坐标为(－2，0)．
在Rt△ABO 中，AB 2＝BO 2＋AO 2＝22＋42
＝20，
在Rt△AOC 中，AC 2＝AO 2＋CO 2＝42＋82＝80.
又∵BC＝OB ＋OC ＝2＋8＝10，
∴在△ABC 中，AB 2＋AC 2＝20＋80＝102＝BC 2，
∴△ABC 是直角三角形．
(3)∵A(0，4)，C(8，0)，∴AC＝42＋82＝4 5.
①以A 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于点N ，此时N 的坐标为(－8，0)；
②以C 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于点N ，此时N 的坐标为(8－45，0)或(8＋45，0)； ③作AC 的垂直平分线，交x 轴于点N ，此时N 的坐标为(3，0)．
综上所述，若点N 在x 轴上运动，当以点A ，N ，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点N 的坐标分别为(－8，0)，(8－45，0)，(8＋45，0)，(3，0)．
(4)设点N 的坐标为(n ，0)，则BN ＝n ＋2.
如图，过点M 作MD⊥x 轴于点D ，
∴MD∥OA，
∴△BMD∽△BAO，∴BM BA ＝MD OA
. ∵MN∥AC，
∴
BM BA ＝BN BC ， ∴MD OA ＝BN BC
. ∵OA＝4，BC ＝10，BN ＝n ＋2，
∴MD＝25
(n ＋2)． ∵S △AMN ＝S △ABN －S △BMN ＝12BN·OA－12
BN·MD ＝12(n ＋2)×4－12×25
(n ＋2)2 ＝－15
(n －3)2＋5，当n ＝3时，S △AMN 最大，
∴当△AMN 面积最大时，N 点坐标为(3，0)．
3．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，
a ＋
b ＋
c ＝0，－b 2a
＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3，
∴y＝x 2－4x ＋3.
(2)根据题意得E(3，3)，直线OE 的解析式为y ＝x.
如图，过点P 作PQ∥y 轴交OE 于点Q.
设P(m ，m 2
－4m ＋3)，则Q(m ，m)，
∴S 四边形AOPE ＝S △AOE ＋S △EOP
＝3×32＋32
[m －(m 2－4m ＋3)] ＝－32
(m 2－5m) ＝－32(m －52)2＋758
， ∴当m ＝52时，四边形AOPE 面积最大，最大面积为758
. (3)存在．符合条件的点P 的坐标为(3＋52，1－52)或(3－52，1＋52)或(5＋52，1＋52)或(5－52，1－52
)．。