人教版必修1 高一数学数学应用题专题讲座
高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第三章函数的应用习题课
代入 y＝a＋bx，得2415..18＝＝aa＋＋1204..40bb，， 用计算器可得a≈2.4，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型：y＝2.4＋1.8x.作出函数图象如图乙，可
以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好
地反应积雪深度与灌溉面积的关系.
解析答案
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，可以灌溉土 地多少公顷？ 解 由y＝2.4＋1.8×25，求得y＝47.4， 即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公顷.
D.430元
答案
5.一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示， 现以均匀速度往水瓶中灌水，直到罐满为止，如果水深 h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是( D )
1 23 45
答案
1.函数模型的应用实例主要包括三个方面 (1)利用给定的函数模型解决实际问题； (2)建立确定的函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题. 2.函数拟合与预测的一般步骤 (1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图.
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象； 解 利用计算机几何画板软件， 描点如图甲.
解析答案
(2)建立一个能基本反应灌溉面积变化的函数模型，并画出图象； 解 从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们 假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx. 取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，
高中数学人教A版 必修第一册 建立数学模型解决实际问题 课件
检验模型
y
y
90
90
a = 0.92270
80
a = 0.91810
80
70
70
x
O
1
2
3
4
5
x
O
1
2
3
4
5
不难发现，采用平均值作为衰减比例与实际数据更加的吻合，
因此选取的函数模型为 y=60×0.9227x+25.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 检验模型
这种采用平均值的方法在解决实际问题中也是很常见的.因为实验
所得的数据并不一定具有很强的规律性，所以我们在实验过程中应
观察散点图的分布状况，并考虑到茶
水温度降至室温就不能再降的事实，
可选择函数y=kax +25（k∈R，0<a<1，
x>0）来近似地刻画茶水温度随时间变
化的规律，
90
80
70
x
O
1
2
3
图1
4
5
建立模型
4.建立模型
如何利用以上实验数据求解函数模型中的参数k和a.
根据实际情况可知，当x=0时，y=85，可得k=60.
收集数据
追问：怎样保证测量数据的准确性以减少误差?
可多次重复实验，取平均值从而减小误差.
任务1：请同学们课后按照实验流程进行实验,获取并记录
一组数据.
下面我们看某研究人员每隔1 min测量一次茶水温度，得
到表1的一组数据.
分析数据
3·分析数据
观察实验数据会发现，随着时间的变化，茶水的温度也在发生
选取a的值？
a = 0.90320
80
80
人教新课标A版高中数学必修一 可编辑课件 第三章 函数的应函数应用题(上课用课件)
x (2)生产 x 件产品，获正品 x－ 件， 101－x x 次品 件． 101－x 日盈利额
x x a T＝x－ a－ × 101－x 101－x 3
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299－3x ＝ ×ax (x∈N*,0<x≤100)． 3(101－x)
第三章
函数的应用
以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表：
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C．②③④
D．①③④
第三章
函数的应用
[答案] B [ 解析 ] 由于生活费收入指数一直增高，而生活价格
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指数，先增后减，故人民生活水平逐年提高，故①正确；
2006年到2007年这一年，生活费收入指数直线的斜率最大， 教 说明这一年增长最快，故②正确；同理，生活价格指数上 涨最快的一年应为2006年，故③错，故选B.
125 2 (2)因为P(x)＝－20(x－ ) ＋74 125， 2 所以当x＝62或63时，P(x)max＝74 120(元)． 又MP(x)是减函数，所以当x＝1时，取最大值 2440，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大，即 第二台报警系统利润最大，MP(x)是减函数，说明随着 产量的增加，每台利润与前一台利润相比较，利润在减 小．
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第三章
函数的应用
[解析]
(1)M＝lg20－lg0.001
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20 ＝lg0.001＝lg20 000＝lg2＋lg104≈4.3 因此，这是一次约为里氏4.3级的地震． (2)由M＝lgA－lgA0，可得 A A M＝lg ⇔ ＝10M⇔A＝A0· 10M. A0 A0
第三章
函数的应用
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解-函数的应用(Ⅰ)-提高
400 4k b, 320 5k b,
k 80,
解得
所以 y＝ - 80x+72 0( x＞ 0) ．
b 720.
（ 2）当 a＝ 120 时，若购买饮料，则总费用为 120× 50＝6000（元）；若集体改饮桶装纯净水，设所用的费 用为ω元，由 380- 80x+720 ，得 x＝ 4. 25．
1
识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模
型.
第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果
.
第四步：再转译为具体问题作出解答 .
3．函数模型的综合应用
函数的应用题是利用函数模型解决实际问题。
在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段：
.
要点三：数学建模
1．数学建模的过程
2. 数学建模的步骤： 第一步：阅读理解，认真审题 读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述 中的新名词、新概念，进而把握住新信息 . 第二步：引进数学符号，建立数学模型 设自变量为 x，函数为 y，并用 x 表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知
=O.3x+1050 ， x∈[250 ， 400] ．
因为 y=O.3x+1050 是定义域上的增函数，
所以当 x=400 时，
ymax 120 1050 1170 ( 元 ) ．
可知每天应从报社买 400 份报纸．获得利润最大，每月可赚 1170 元．
人教版高一数学教材中的应用题解析与解题技巧
人教版高一数学教材中的应用题解析与解题技巧应用题是高中数学中的一个重要组成部分，它既能够帮助学生理解数学的实际应用，又能够提高学生的问题解决能力和逻辑思维能力。
本文将对人教版高一数学教材中的应用题进行解析，并提供一些解题技巧。
一、直接应用题直接应用题是指把实际问题通过数学的方式进行求解的题目。
这类题目常常涉及到面积、体积、速度等实际量的计算。
解这类题目时，首先需要理清问题的思路，然后用恰当的数学方法进行求解。
例如，在人教版高一数学教材中，有一道题目如下：甲乘坐汽车从A地到B地，全程80千米，乙骑自行车从B地到A 地，全程100千米。
如果甲每小时比乙快5千米，那么甲骑自行车，乙乘汽车的速度各是多少千米/小时？解题步骤如下：1. 设甲乘坐汽车的速度为x千米/小时，乙骑自行车的速度为y千米/小时；2. 根据题意可得到甲每小时比乙快5千米的等式，即x = y + 5；3. 根据题意可得到甲行驶时间与乙行驶时间之和等于总时间的等式，即80/x + 100/y = 3；4. 解方程组，得到x = 30，y = 25；5. 因此，甲骑自行车的速度是30千米/小时，乙乘汽车的速度是25千米/小时。
通过这道题目的解析，我们可以看出，在直接应用题中，理清思路，运用合适的数学方法是解题的关键。
二、几何应用题几何应用题是指把实际几何问题进行数学抽象和求解的题目。
这类题目常常涉及到图形的性质、相似关系、三角形的面积等内容。
解这类题目时，需要具备一定的几何知识和运用几何定理的能力。
例如，在人教版高一数学教材中，有一道题目如下：已知△ABC，D、E分别是AB、AC上的点，且AD = AE。
若BD= CE，且角BAE = 30°，则△ABC是否为等腰三角形？解题步骤如下：1. 根据题意，画出△ABC，连接DE；2. 由题目可知，AD = AE，BD = CE，则△ADE ≌△BCE；3. 由AD = AE，BD = CE，角BAE = 30°，得到角BCA = 30°；4. 由△ADE ≌△BCE，角DAE = 角BCE，得到角DAC = 角DBE；5. 所以，由角DAC = 角DBE，角BCA = 30°，可以得知△ABC为等腰三角形。
3.4 函数的应用(一)(课件) 高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)原创精品
即t(x)取得最小值时最快完成全部任务.
由f(x)=g(x)，解得x=12.5
因为x∈N*, 以下判断t(12)与t(13)的大小：
100
f(12)=
≈1.19
7×12
200
g(12)=
≈1.11
10(30−12)
所以，t(12)=1.19
3 函数模型的综合应用
100
f(13)=
≈1.10
7×13
【答案】①③
4 课堂练习
3.某商场把商品A按标价的八折售出，仍可获利30%，
若商品A的进价为100元，则标价是
【解析】
设标价为x，则实际售价为80%x，获利30%，
所以(80%x－100)÷100＝30%⇒x＝162.5.
.
4 课堂练习
4.以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，再用平行
于一边的篱笆隔开，已知篱笆的总长为定值 l，则这
时间t的函数解析式，并画出相应的图象．
解：(2)根据图示，有
2
函数模型的应用
例2．一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v(单位:km/h)与时间t(
单位:h)的关系如图所示.
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假设
这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为
2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(单位:100km)与
时间t的函数解析式，并画出相应的图象．
解：(2)这个函数的图象如图所示.
【方法总结】
使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下：
实际问题
抽象Hale Waihona Puke 括数学模型推理
演
算
实际问题
的解
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)函数模型的应用(解析版)
第20讲函数模型的应用模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会利用已知函数模型解决实际问题；2．能建立函数模型解决实际问题；3．了解拟合函数模型并解决实际问题.知识点1函数模型的选择与建立1、几种常见的函数模型（1）一次函数模型：=+y kx b （k ，b 为常数，0≠k ）（2）二次函数模型：2=++y ax bx c （,,a b c 为常数，0≠a ）（3）指数函数模型：=+x y ba c （,,a b c 为常数，0≠b ，0>a 且1≠a ）（4）对数函数模型：log =+a y m x n （,,m a n 为常数，0≠m ，0>a 且1≠a ）（5）幂函数模型：=+n y ax b （,a b 为常数，0≠a ）（6）分段函数模型：,,+<⎧=⎨+≥⎩ax b x my cx d x m ．2、建立函数模型时，求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数的模型，这种情况下，运用待定系数法求出解析式中的相关参数，就可以确定函数的解析式．（2）归纳法：先给自变量一些特殊值，计算出相应函数值，从中发现规律，在推广到一般情形，从而得到函数的解析式．（3）方程法：用x 表示自变量或其他相关量，根据问题的实际意义，运用已掌握的数学、物理的方面的知识，列出函数的解析式，此种方法形式上与列方程解应用题相仿，故称为方程法，实际上函数的解析式就是关于,x y 的方程．3、用函数模型求解应用问题的四个步骤（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建模：将自然语言化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学模型；（4）还原：将数学结论还原为实际问题．知识点2拟合函数模型的建立与求解1、数学建模：研究实际问题时，要深入调查，了解对象信息，给出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（也就是数学模型），然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程就成为数学建模．2、函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合（或数据拟合）．3、函数拟合与预测的一般步骤（1）通过原始数据、表格，绘出散点图；（2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线；（3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；（4）根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数；（5）利用选取的拟合函数进行预测；（6考点一：指数型函数模型的应用例1．（23-24高一上·河北唐山·月考）某灭活疫苗的有效保存时间T （单位：h ）与储藏的温度t （单位：C ︒）满足的函数关系为e kt b T +=（k ,b 为常数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用．若在0C ︒时的有效保存时间是1080h ，在10C ︒时的有效保存时间是120h ，则该疫苗在15C ︒时的有效保存时间是（）A ．15hB ．30hC ．40hD ．60h【答案】C【解析】由题意知1080e b =，1010120e e e k b k b +==⋅，所以()21051201ee 10809kk===，所以51e 3k =，所以151e 27k=，所以15151ee e 10804027k b k b +=⋅=⨯=.故选：C ．【变式1-1】（23-24高一下·河北石家庄·月考）某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，已知第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量n r （3g/m ）满足函数模型()0.2512.250.043n n r -=-⨯（n *∈N ），其中n 为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过30.25g/m 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A ．14次B ．15次C ．16次D ．17次【答案】C【解析】()0.2512.250.043n n r -=-⨯，由0.25n r ≤，得()0.251350n -≥，即()lg500.251lg3n -≥，得()42lg2115.17lg3n -≥+≈，又*n ∈N ，所以16n ≥，故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次.故选：C【变式1-2】（23-24高一下·湖北·1θ℃，空气的温度是0θ℃，则t min 后该物体的温度θ℃可由公式4010()e tθθθθ-=+-求得．若将温度分别为100℃和40℃的两块物体放入温度是20℃的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，至少要经过（）（取：ln 20.69=，ln 3 1.10=）A ．4.14minB ．5.52minC ．6.60minD ．7.16min【答案】D【解析】100℃的物体放入20℃的空气中冷却t min 后的温度是422080e tθ-=+，40℃的物体放入20℃的空气中冷却t min 后的温度是432020e t θ-=+，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，则42360e 10tθθ--=≤，解得4ln 64(ln 2ln 3)7.16t ≥=+=，所以至少要经过7.16min.故选：D【变式1-3】（23-24高一下·海南·月考）指数函数模型在生活生产中应用广泛，如在疾病控制与统计､物理学､生物学､人口预测等问题上都可以应用其进行解决.研究发现，某传染病传播累计感染人数I 随时间x （单位：天）的变化规律近似有如下的函数关系：0e kxI I =，其中0,I k 为常数，0I 为初始感染人数.若前3天感染人数累计增加了21%，则感染人数累计增加80%需要的时间大约为（）（参考数据：ln3 1.1,ln5 1.6,ln10 2.3≈≈≈，ln11 2.4≈）A ．10.5天B ．9天C ．8天D ．6天【答案】B【解析】当3x =时，感染人数累计增加了21%，则()300e 10.21kI I I ==+，所以3e 1.21k =，则3ln1.212ln1.1k ==，所以2ln1.13k =，所以感染人数累计增加80%可得()00e 10.8kxI I I ==+，则2ln1.13e1.8x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，此时2ln1.1ln1.83x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以9ln3ln1.8332ln 3ln 5321.1 1.659112ln1.122ln11ln102 2.4 2.3ln 10x -⨯-=⋅=⋅=⋅≈⨯=--，故感染人数累计增加80%需要的时间大约为9天.故选：B.考点二：对数型函数模型的应用例2.（23-24高一上·北京顺义·期末）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.专家发现两岁燕子的飞行速度v （单位：m /s ）可以表示为25log 10Qv =，其中Q 表示燕子耗氧量的单位数.某只两岁燕子耗氧量的单位数为1Q 时的飞行速度为1v ，耗氧量的单位数为2Q 时的飞行速度为2v ，若()217.5m /s v v -=，则12Q Q 的值为（）ABC．D．4【答案】D【解析】因为217.5v v -=，所以127.5v v -=-所以3121122222235log 5log 7.5log 2101024Q Q Q Q Q Q --=-⇒=-⇒===，故选：D 【变式2-1】（23-24高一下·广东茂名·月考）中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信通带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W 在原来的基础上增加20%，信噪比S N从1000提升至5000，则C 大约增加了（）（附：lg 20.3010≈）A ．48%B ．37%C ．28%D ．15%【答案】A【解析】由题意可得，当1000SN=时，12log 1000C W =，当5000SN=时，221.2log 5000C W =，所以()2221226lg1000lg 51.2log 50006log 50006lg 5000log 10005log 10005lg100015C W C W +====()231lg 282lg 2820.30101.48555+---⨯==≈≈，所以C 的增长率约为0048.故选：A【变式2-2】（23-24高一下·贵州遵义·月考）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p pL p =⨯，其中常数(0)p p > 是听觉下限阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级.已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）A ．12p p <B ．2310p p >C ．30100p p =D ．12100p p >【答案】C【解析】对于燃油汽车，得106020lg90p p ≤⨯≤，则92010100010p p p ≤≤，对于混合动力汽车，有25020lg 60p p ≤⨯≤，则52020101000p p p ≤≤，则12p p ≥，A 错误；对于电动汽车，有320lg40p p ⨯=，即30100p p =，C 正确；由以上可知2310p p ≤，B 错误；又5922220011001010p p p p ≥=≥，D 错误，故选：C【变式2-3】（23-24高一上·山东菏泽·月考）里氏震级M 的计算公式：0lg lg M A A =-，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，0A 是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_______倍．（）A ．6，1000B ．4，1000C ．6，10000D ．4，10000【答案】C【解析】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则()0lg lg lg1000lg0.001=336M A A =-=---=；设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，则有9lg lg 0.001,5lg lg 0.001x y =-=-，解得6210,10x y ==，所以62101000010x y ==，故选：C.考点三：根据增长率选择函数模型例3.（23-24高一上·江苏苏州·月考）在一次物理实验中，某同学采集到如下一组数据：x 0.50.99 2.01 3.98y﹣0.990.010.982.00在四个函数模型中，最能反映x ，y 函数关系的是（）A ．2y x =B ．21y x =-C ．22y x =-D ．2log y x=【答案】D【解析】对于A ，当0.5x =时，1y =，与表格相差过大，故排除，对于B ，当 2.01x =时，y =3.0401，与表格相差过大，故排除，对于C ，当 2.01x =时，y =2.02，与表格相差过大，故排除，对于D ，由对数函数性质知，表格里的数与2log y x =上的点相差较小，故正确.故选：D【变式3-1】（23-24高一上·陕西西安·月考）2006年至2018年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，无法近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（）A ．2()f x ax bx c =++B ．()e x f x a b =+C ．()e ax bf x +=D ．()ln f x a x b=+【答案】D【解析】由图知：电影放映场次逐年递增，且增速有变快的趋势，函数2()f x ax bx c =++、()e x f x a b =+、()e ax b f x +=均可以描述变化规律，而()ln f x a x b =+可以描述逐年递增，但增速有变慢的趋势，故不能描述变化规律.故选：D【变式3-2】（23-24高一上·江苏·月考）若三个变量1y 、2y 、3y ，随着变量x 的变化情况如下表.则关于分别呈函数模型：a x q +、a y t kx =+变化的变量依次是（）A ．1y 、2y 、3y B ．3y 、2y 、1y C ．1y 、3y 、2y D ．3y 、1y 、2y 【答案】B【解析】由表可知，2y 随着x 的增大而迅速的增大，是指数函数型的变化，3y 随着x 的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型的变化，1y 相对于2y 的变化要慢一些，是幂函数型的变化.故选：B.【变式3-3】（22-23高一上·广东揭阳·期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：x 1.0 2.0 4.08.0y0.010.992.023现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是（）A ．2log y x =B ．2xy =C ．223y x x =+-D ．23y x =-【答案】A【解析】由表中的数据看出：y 随x 的增大而增大，且增大的幅度越来越小，而函数2x y =，223y x x =+-在()0+∞，的增大幅度越来越大，函数23y x =-呈线性增大，只有函数2log y x =与已知数据的增大趋势接近，故选：A.考点四：拟合函数模型的建立例4.（23-24高一上·河南南阳·月考）数据显示，某IT 公司2023年2月—6月的月收入情况如下表所示：月份23456月收入（万元）1.42.565.311121.3根据上述数据，在建立该公司2023年月收入y （万元）与月份x 的函数模型时，给出两个函数模型12y x =与23xy =供选择.(1)你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；(2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】(1)用函数23xy =这一模型较好，理由见解析；(2)大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元【解析】（1）对已知数据进行描点：由图可知点()2,1.4，()3,2.56，()4,5.31，()5,11，()6,21.3基本上是落在函数23x y =的图像的附近，因此用函数23xy =这一模型较好（2）解法一：当21003x>时，即2300x >，∴lg2lg300x >，即lg22lg3x >+，∴2lg320.47718.23lg20.3010x ++>=≈，故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元.解法二：当21003x>时，即2300x >，∵82256300=<，92512300=>，故大约从第9月份开始，该公司的月收入会超过100万元【变式4-1】（23-24高一上·江苏·月考）2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T 进行一次记录，用x 表示经过单位时间的个数，用y 表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：若该变异毒株的数量单位：万个与经过)*N 个单位时间T 的关系有两个函数模型2ypx q =+与)01(x y ka k a =>>，可供选择．( 2.236≈ 2.449≈，lg 20.301≈，lg 60.778.≈(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．【答案】(1)选择函数(0,1)=>>x y ka k a 更合适，解析式为2x y =⋅；(2)11个【解析】（1）若选2y px q =+，将2x =，10y =和4x =，50y =代入可得，4101650p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得103103p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故2101033y x =-，将6x =代入2101033y x =-，250y ≠，不符合题意；若选(0,1)=>>x y ka k a ，将2x =，10y =和4x =，50y =代入可得，241050ka ka ⎧=⎨=⎩，解得2k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，故2x y =⋅，将6x =代入2x y =⋅可得，250y =，符合题意；综上所述，选择函数(0,1)=>>x y ka k a更合适，解析式为2.x y =⋅（2）设至少需要x 个单位时间，则10000x ≥，即5000x ≥，两边同时取对数可得，lg53x ≥+，则332210.5811lg 5(1lg 2)22x ≥+=+≈-，*N x ∈ ，x ∴的最小值为11，故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．【变式4-2】（22-23高一上·福建南安·月考）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y （单位：百万个）与培养时间x （单位：小时）的关系为：x234568y3.53.844.164.34.5为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：①2log y a x b =+，②y b =，③2x a y b -=+．(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；(2)利用()4,4和()8,4.5这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到5百万个．【答案】(1)2log y a x b =+，理由见解析；(2)21log 32y x =+，至少再经过14小时，细菌数量达到5百万个．【解析】（1）依题意，所选函数必须满足三个条件：（ⅰ）定义域包含[)2,+∞；（ⅱ）增函数；（ⅲ）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小．因为函数y b =的定义域为[)3,+∞，2x =时无意义；函数2x a y b -=+随着自变量的增加，函数值的增长速度变大．函数2log y a x b =+可以同时符合上述条件，所以应该选择函数2log y a x b =+．（2）依题意知22log 424log 83 4.5a b a b a b a b +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得123a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以21log 32y x =+．令21log 352y x =+≥，解得16x ≥．所以，至少再经过14小时，细菌数量达到5百万个．【变式4-3】（22-23高一上·贵州黔东南·期末）1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU ，AU 是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：行星编号()x 1（金星）2（地球）3（火星）4（）5（木星）6（土星）离太阳的距离()y 0.7 1.0 1.6 5.2110.01(1)为了描述行星离太阳的距离y 与行星编号x 之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）；①y ax b =+；②2x y a b =⨯+；③2log y a x b =+．(2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；（误差小于0.2的为吻合）(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离．【答案】(1)散点图见解析，模型②符合题意(2)*0.1520.4()x y x =⨯+∈N ，模型与数据吻合；(3)2.8AU【解析】（1）散点图如图所示：根据散点图可知，模型②符合题意；（2）将()1,0.7，()2,1，()3,1.6分别代入2x y a b =⨯+，得12320.7212 1.6a b a b a b ⎧⨯+=⎪⨯+=⎨⎪⨯+=⎩，解得0.15a =，0.4b =，所以*0.1520.4()x y x =⨯+N 当5x =时，50.1520.4 5.2y =⨯+=，误差5.21 5.20.010.2-=<，吻合，当6x =时，60.1520.410y =⨯+=，误差10.01100.010.2-=<，吻合，所以，模型与数据吻合；（3）当4x =时，40.1520.4 2.8y =⨯+=，即谷神星距太阳的距离为2.8AU.一、单选题1．（23-24高一下·云南·月考）在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为0W ，则经过t 秒后这段声音的声强变为()0e tW t W τ-=，其中τ是一个常数．把混响时间R T 定义为声音的声强衰减到原来的610-所需的时间，则R T 约为（参考数据：ln20.7,ln5 1.6≈≈）（）A ．6.72τB ．8.3τC ．13.8τD ．148τ【答案】C【解析】由题意，()6010R W T W -=，即610R Tτ--=e ，等号两边同时取自然对数得6lne ln10R T τ--=，即6ln10R Tτ-=-，所以()6ln106ln2ln513.8R T τττ=⨯=⨯⨯+≈．故选：C ．2．（23-24高一下·湖南衡阳·月考）某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.080.033lg 20.301lg 30.477≈≈≈，，）A ．2021B ．2022C ．2023D ．2024【答案】B【解析】设经过n 年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元，则150180(%2)0n ⨯>＋，于是()418%3n+>，即 1.084lg 4lg 32lg 2lg 320.3010.477log 3.83lg1.08lg1.080.033n --⨯->==≈≈，则4n =，所以该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2022.故选：B3．（23-24高一下·安徽芜湖·月考）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%100%~，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：()0e KtS t S =描述血氧饱和度()S t 随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K为参数.已知060%S =，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）（精确到0.1，参考数据：ln20.69,ln3 1.10≈≈）A ．0.3B ．0.5C ．0.7D ．1.5【答案】B【解析】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要1t -小时，由题意可得60%e 80%,60%e 90%K Kt ==，两边同时取自然对数并整理，得804lnln ln4ln32ln2ln3603K ===-=-，903lnln ln3ln2602Kt ===-；则ln3ln2 1.100.691.52ln2ln320.69 1.10t --=≈≈-⨯-，则给氧时间至少还需要0.5小时.故选：B4．（23-24高一上·湖南邵阳·月考）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足lg L a b V =+（其中a ，b 为常数），已知某同学视力的五分记录法的数据为3.0时小数记录法的数据为0.01，五分记录法的数据为4.0时小数记录法的数据为0.1，则（）A ．5a =，b lge =B ．5a =，1b =C ．5a =，ln10b =D ．1a =，5b =【答案】B【解析】由五分记录法的数据为3.0时小数记录法的数据为0.01，五分记录法的数据为4.0时小数记录法的数据为0.1，则3lg0.014lg0.1a b a b =+⎧⎨=+⎩，解得15b a =⎧⎨=⎩.故选：B.5．（23-24高一上·北京·月考）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：km /s 与燃料的质量M （单位：kg ），火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是2000ln 1Mv m ⎫⎛=+⎪⎝⎭．当燃料质量与火箭质量的比值为0t 时，火箭的最大速度可达到0km /s v ．若要使火箭的最大速度达到02km /s v ，则燃料质量与火箭质量的比值应为（）A ．22t B ．2002t t +C ．02t D ．2002t t +【答案】B【解析】设燃料质量与火箭质量的比值为x 时，火箭的最大速度达到02km /s v ，根据题意得0002000ln(1),22000ln(1)v t v x =+=+，所以04000ln(1)2000ln(1)t x +=+，所以200ln(1)2ln(1)ln(1)x t t +=+=+，可得201(1)x t +=+，所以2002x t t =+，即要使火箭的最大速度达到02km /s v ，则燃料质量与火箭质量的比值应为2002t t +.故选：B.6．（23-24高一上·全国·月考）有一组实验数据如下:t 1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A ．2log V t =B ．12log V t=C ．212t V -=D ．22V t =-【答案】C【解析】根据表中数据，作出数据的散点图，如图所示，结合选项，函数2log V t =的增长速度越来越缓慢，不符合题意；函数12log V t =随着t 的增大，V 不断减小，不符合题意；函数212t V -=的增长速度越来越快，符合题意；函数22V t =-增长速度不变，不符合题意；所以最接近的一个函数是212t V -=，故选：C二、多选题7．（23-24高三下·江西·月考）土壤是自然界中最大的生态系统，具有十分重要的作用.利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作，若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中，重金属含量m (单位:mg /L)与时间t (单位:h )满足关系式()e btam t =，已知处理1h 后，重金属含量减少20%，则（）(lg 20.301≈)A ．a 表示未经处理时土壤中的重金属含量B ．b 的值为ln 0.8C ．使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约2hD ．函数()m t 为减函数【答案】AD【解析】当0=t 时，()m t a =，故a 表示未经处理时土壤中的重金属含量，A 正确，当1t =时，(120%)e b a a --=，e 0.8b -∴=①，故ln 0.8ln 0.8b b -=⇒=-，B 错误，(150%)e bt a a --=，0.5(e )b t -∴=②，联立①②解得，0.50.8t =，则0.8lg0.5lg 2lg2lg20.301log 0.5 3.103lg0.8lg 4lg52lg2(lg10lg2)3lg2130.3011t ---=====≈≈--⨯----，故使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约3h ．C 错误，由于ln 0.80b =->，0a >，所以e bt y =单调递增，因此()e btam t =单调递减，D 正确，故选：AD 8．（22-23高一下·广西柳州·月考）如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =（0a >，且1a ≠）.下列说法正确的是（）A ．浮萍每月的增长率为2B ．第5个月时，浮萍面积就会超过230mC ．浮萍每月增加的面积都相等D ．若浮萍蔓延到22m ，23m ，26m 所经过的时间分别是1t ，2t ，3t ，则123t t t +=【答案】BD【解析】由图可得，函数过点()1,2，则12a =，即2a =，故2t y =.对于A ：浮萍每月的增长率为()122122122tt t t t+--==，故A 错误；对于B ：第5个月时，即5t =时，萍的面积523230y ==>，故B 正确；对于C ：第二个月比第一个月增加2121222y y -=-=，第三个月比第二个月增加3232224y y -=-=，即2132y y y y -≠-，故C 错误；对于D ：由题意可得31222,32,62t t t ===，所以212232log lo 6g 3,l ,og 2t t t ===，则2123222log 2log 3log 23log 6t t t +=+=⨯==，故D 正确.故选：BD.三、填空题9．（22-23高一上·浙江台州·月考）声强级（单位：dB ）由公式11210lg 10I L -⎛⎫= ⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.平时常人交谈时声强约为6210W/m -，则其声强级是dB .【答案】60【解析】由题意可得()16612121001061010I L ---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：6010．（23-24高三上·云南楚雄·期中）生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.已知土壤中某药品的残留量y （mg ）与时间t （年）近似满足关系式212log 1y a t =+（0a ≠），其中a 是残留系数，则大约经过年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的14. 1.41≈，答案保留一位小数）【答案】7.5【解析】当2t =时，212log =221y a a =+，由2121log 12a a t =+，得17.5t =≈故答案为：7.511．（23-24高一下·安徽·开学考试）中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至50℃时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是0T ，经过min t 后的温度是T ，则()()0ee 2.71828t hT T T T αα--=-≈ ，其中T α表示环境温度，h 为常数.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是90℃，放在10℃的室温中，10min 以后茶水的温度是70℃，在上述条件下，大约需要再放置min 能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1，参考数据：ln 20.7≈，ln 3 1.1≈）【答案】13.3【解析】由题意得，()1070109010eh--=-，即103e4h-=，则102ln 2ln 3h =-.设大约需要再放置min t 能达到最佳饮用口感，则()1050109010e t h+--=-，即101e2t h+-=，则10ln 2t h +=，所以102ln 2ln 310ln 2t -=+，解得10ln 310ln 2101.1100.74013.32ln 2ln 320.7 1.13t -⨯-⨯===≈-⨯-.故答案为：13.3.四、解答题12．（22-23高一上·重庆·月考）为了迎接中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某商场决定将一批进价为40元/件的商品降价出售，在市场试销中发现，此商品的销售单价x （单位：元）与日销售量y （单位：件）之间有如下表所示的关系.xL 40505560L yL603015L(1)根据表中提供的数据描出实数对(),x y 的对应点，确定y 与x 的一个函数关式()y f x =(2)设经营此商品的日销售利润为()L x （单位：元），根据上述关系，写出()L x 关于x 的函数解析式，并求日销售利润的最大值.【答案】(1)()3180,4060f x x x =-+≤≤(2)()()233004060L x x x x =-+-≤≤，所获日销售利润最大值为300元.【解析】（1）观察表格中,x y 的变化情况，猜测()f x 为一次函数，故设(),(,f x kx b k b =+为常数)，则6040060k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：3180k b =-⎧⎨=⎩，则()3180,4060f x x x =-+≤≤，把点()()50,30,55,15代入函数解析式，检验成立；所以()3180,4060f x x x =-+≤≤.（2）结合（1）中结论可得日销售利润为：()()()()240318033007200,4060L x x x x x x =--+=-+-≤≤，则()23(50)300L x x =--+，所以当50x =时，()L x 取得最大值300，综上：()()233007200,4060L x x x x =-+-≤≤；当销售单价为50元时，所获日销售利润最大值为300元.13．（22-23高一上·山东济南·期末）“宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文､自然生态和创新基因.某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本x （百万元）与利润y （百万元）的关系如下表：x （百万元）L 2L 4L 12L y （百万元）L0.4L0.8L12.8L当投资成本x 不高于12（百万元）时，利润y （百万元）与投资成本x （百万元）的关系有两个函数模型2(0)y Ax B A =+>与(0,1)x y Ta T a =>>可供选择.(1)当投资成本x 不高于12（百万元）时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)当投资成本x 高于12（百万元）时，利润y （百万元）与投资成本x （百万元）满足关系()()0.2121712.8y x x =---+，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本x （百万元）应该控制在什么范围.（结果保留到小数点后一位）（参考数据：lg20.30≈）【答案】(1)最符合实际的函数模型为(0,1)x y Ta T a =>>，解析式为15xy =⋅；(2)[]11.3,19【解析】（1）最符合实际的函数模型为(0,1)x y Ta T a =>>，理由如下：若选函数2(0)y Ax B A =+>，将点()()2,0.4,4,0.8代入可得40.4160.8A B A B +=⎧⎨+=⎩，解得14,3015A B ==，所以2143015y x =+，当12x =时，可得y =，与实际数据差别较大；若选函数(0,1)x y Ta Ta =>>，将点()()2,0.4,4,0.8代入可得240.40.8Ta Ta ⎧=⎨=⎩，解得15a T ==，所以15xy =，当12x =时，可得12.08y =，符合题意，综上可得，最符合实际的函数模型为15xy =⋅.（2）由题意知，利润y 与投资成本x 满足关系式()()1,01250.2121712.8,12x x y x x x ⎧⋅<≤⎪=⎨⎪---+>⎩,要获得不少于一个亿的利润，即10y ≥，当012x <≤时，即1105x≥，即2lg 502lg 52log 502211.3lg 2lg 2x -≥⋅=⋅=⋅≈，又因为012x <≤，所以11.312x ≤≤；当12x >时，即()()0.2121712.810x x ---+≥，可得2291900x x -+≤，解得1019x ≤≤，又因为12x >，所以1219x <≤，综上可得，11.319x ≤≤，所以要获得不少于一个亿的利润，投资成本x （千万）的范围是[]11.3,19.。
高中数学必修第一册人教A版《三角函数的应用---习题课》名师课件
典例讲解
解析
(1) 设种群数量 关于 的函数解析式为
− + = 700,
= sin( + ) + ( > 0, > 0), 则 ቊ
+ = 900,
解得 = 100, = 800
2
又周期 = 2 × (6 − 0) = 12, ∴ = = ，
建立三角函数模型求解相应的问题.
(2)由于物理学中的单摆、光波、机械波、交流电流等都具有周期性,且
与三角函数的相关知识相吻合, 因此常借助于三角函数模型来研究物理
学中的相关知识.
(3)在物理学中,物体做简谐运动时可用正弦型函数 = sin( + )表
示物体运动的位移 随时间 的变化规律.
3
∴ = 300sin 100 +
3
1
2
1
(2) 问题等价于 ⩽
，即 ⩽
, 也即 ⩾ 200 ,
100
100
故正整数 的最小值为 629
典例讲解
例3、如图,某动物种群数量在 1 月 1 日低至 700,7 月 1 日高至 900,其总量在两值
之间依正弦型曲线变化
(1)求出种群数量 y 关于时间 t 的函数表达式;(其中 t 以年初以来的月为计量单位)
到 , 设 点与地面距离为 ℎ m.
(1) 求 ℎ 与 之间关系的函数解析式;
(2) 设从 开始转动,经过 秒到达 , 求 ℎ 与 间的函数解析式.
典例讲解
解析
(1)过点 作地面的平行线 , 过点 作 的垂线 交 于 点.
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数学应用题专题讲座
素质教育呼唤应用意识，近几年来高考试题增强了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度，突出对能力的考查——重视应用。
培养用数学意识，培养分析问题和解决问题的能力。
分析近几年高考应用性问题不难得出，试题从实际出发提供公平背景，设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中数学大纲所要求掌握的概念、公式、定理和法则等基础知识和基本方法。
解决应用性问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：
解决应用性问题的关键是读题——懂题——建立数学关系式。
例1、如图，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上.写出这个梯形周长y和腰长x的函数式，并求出它的定义域.
例2、某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售出，能卖出50个.如果零售价在50元的基础上每上涨1元，其销售量就减少一个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润.
例 3、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元。
以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的。
根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8100万元可以达到小康水平.
（1）若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年
该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？
（2）试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？
例4、某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上。
（1）设AD=x(x≥10)，ED=y，试用x表示y的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明现由。
例5、从北京(北纬40°，东经120°) 飞往智利的圣地亚哥(南纬30°，西经30°)，有两条航空线供其选择：
甲航空线：从北京向西飞到纽约(北纬40，西经70°)，然后向南飞到目的地．
乙航空线：从北京向南飞到澳大利亚的弗里曼特尔(南纬30°，东经120°)，然后向西飞到目的地．
请问：哪一条航空线较短？（飞行航线走的都是球面距离）
例6、荆州市某电脑公司在市区和洪湖各有一分公司，市区分公司现有电脑6台，洪湖分公司有同一型号电脑12台，宜昌某单位向该公司购买该型号电脑10台，荆门某单位向该公司购买该型号电脑8台，已知市区运往宜昌和荆门每台电脑的运费分别是40元和30元，洪湖运往宜昌和荆门每台电脑的运费分别是80元和50元．
（1）设从洪湖调运x台至宜昌，该公司运往宜昌和荆门的总运费为y元，求y关于x 的函数关系式；
（2）若总运费不超过1000元，问能有几种调运方案？
（3）求总运费最低的调运方案及最低运费．
例7、GDP（Gross Domestic Product）称为国内生产总值. 我国这四年GDP值如下表：
年 1997 1998 1999 2000
GDP（万亿元）7.4 7.8 8.2 8.9 （1）在右边坐标系画出表示这四年我国GDP的增长曲线，并根据我国近四年GDP增长规律，由所绘曲线估计2001年我国GDP值可能在什么范围内；
（2）2000年我国人均GDP约为900美元，如果按7.5％的年平均增长率计，经过10年，在2010年时，可否翻一翻达到人均1800美元水平？试计算你的结果. （要求使用二项式定理进行估值计算）
例8、三台机器人位于一直线上（如图所示），它们所生产的零件逐一送到一个检验台，经检验合格后才能送到下一道工序继续加工.已知机器人M1的工作效率为机器人M2工作效率的2倍，机器人M3的工作效率为机器人M2工作效率的3倍，问检验台应放在何处最好，即各机器人到检验台所走距离之和最小？
例9、渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群由足够的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当空闲量.
已知鱼群的年增长量y吨和实际养鱼量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k, (k>0) （1）写出关于的函数y关于x关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）求鱼群年增长量的最大值；
（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围.
例10、海岛O上有一座海拔1km的小山，山顶没有一观察站A，上午11时测得一轮船在岛的北偏东600的C处，俯角为300，11时10分，又测得该船在岛的北偏西600的B处，俯角为600。
（1）求该船的速度；
（2）若此船以不变的速度继续前进，则它何时到达岛的正西方向？
此时轮船所在点E离海岛O的距离是多少千米？
小结：近年来高考应用题所涉及的数学知识无外乎函数、方程、不等式、数列、立体几何等高中数学中最基本、最重要的内容，其中尤其以函数应用性问题最多。
这类问题题源丰富，内容深刻，解法灵活多样，且较易与不等式、数列、几何等内容相关联，是历年高考应用问题命题的一个热点。
我们应该留心观察周围的现实世界并经常读报，以努力拓宽自已的知识面，对于一些常识性的概念如“复利”，“本息和”、“百分点”、“利润率”、“甲A联赛场数”等，都应成为我们熟知的词语。
此外，环境、能源、人口、营养保健、知识经济，科技生产生活等方面的问题我们要予以高度重视。