推荐-2018年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试 精品
第9届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试
第九届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试班级 姓名一、选择题1、如图是函数c bx ax x f ++=2)(的图象，那么--（ ）（A ）0,0,0><<c b a （B ）0,0,0<>>c b a （C ）0,0,0>><c b a （D ）0,0,0>>>c b a2、某种菌类生长很快，长度每天增长1倍，在20天中长成4米，那么长成41米要--------------------------------（ ）（A ）411天 （B ）5天 （C ）16天 （D ）12天3、函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若1)()(21=-x f x f ，则)()(21x f x f -的值等于----------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）2 （B ）21（C ）1 （D ）2log a4、平面外一直线和这个平面所成的角为θ，则θ的范围是-------------------------（ ）（A ）0︒<θ<180︒ （B ）0︒<θ<90︒ （C ）0︒<θ≤90︒ （D ）0︒≤θ≤90︒5、P 、Q 、R 、S 分别表示长方体集合、直平行六面体集合、直四棱柱集合、正四棱柱集合，它们之间的关系为-----------------------------------------------------------（ ）（A ）R ⊃Q ⊃P ⊃S （B ）R ⊃Q ⊃S ⊃P （C ）S ⊂P=Q ⊂R （D ）S ⊂R,P ⊂Q,R ⊆Q,Q ⊆R6、︒=70log 21tg a ，︒=25sin log 21b ，︒=25cos )21(c ，则------------------------（ ）（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）b c a << （D ）a b c <<7、)(x f 是定义域为R 的奇函数，方程0)(=x f 的解集为M ，且M 中有有限个元素，则----------------------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）M 可能是∅（B ）M 中元素的个数是偶数 （C ）M 中元素的个数是奇数（D ）M 中元素的个数可以是偶数，也可以是奇数。
第4届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试
第四届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试班级 姓名一、 选择题1、如果函数)(x f y =有反函数，函数)(x f y =的图象过点),(b a -，则---------（ ）（A ）)(1x f y -=的图象过点),(b a -，)(1y f x -=的图象过点),(a b -。
（B ）)(1x f y -=的图象过点),(a b -，)(1y f x -=的图象过点),(b a -。
（C ）)(1x f y -=的图象过点),(a b -，)(1y f x -=的图象过点),(b a -。
（D ）)(1x f y -=的图象过点),(a b --，)(1y f x -=的图象过点),(b a --。
2、函数)(x f y =的定义域和值域都是-R ，那么函数)(x f y --=的图象----（ ）（A ）在第一象限（B ）在第二象限（C ）在第三象限（D ）在第四象限3、正方体的对角线长度是3，则正方体的表面积是------------------------------（ ）（A ）33 （B ）6 （C ）36 （D ）124、三棱锥A-BCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则C 在面ABD 内的射影是∆ABD 的（A ）重心 （B ）垂心 （C ）外心 （D ）内心------------------------------（ ）5、奇函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，函数)(1x f y -=在),0[+∞上是减函数，则)(x f y -=在]0,(-∞上-----------------------------------------------------------------（ ）（A ）是增函数 （B ）是减函数 （C ）有时是增函数，有时是减函数（D ）有时是增函数，有时是减函数，有时是常函数6、函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象间的关系是--------------------（ ）（A ）关于y 轴对称 （B ）关于x 轴对称（C ）关于直线a x 2=对称 （D ）关于直线a x =对称7、对于任何Z k ∈，都有)cos()sin(ππαπαk k ++=+，则α的值是------------（ ） （A ）4ππ+k （B ）43ππ+k （C ）2ππ+k （D ）43ππ-k （以上Z k ∈） 8、不等式0>tgx 的解集是P 1，不等式0cos sin >⋅x x 的解集是P 2，不等式0csc sec >⋅x x 的解集是P 3，则有------------------------------------------------------（ ）（A ）321P P P ==（B ）321P P P =⊂（C ）321P P P ⊂=（D ）123P P P =⊂9、用棱长为a 的正方体，削成一个体积最大的正四面体，这个正四面体的表面积是（A ）243a （B ）223a （C ）23a （D ）232a -------------（ ） 10、正n )3,(≥∈n N n 棱台上、下底面、侧面的面积依次是21,S S )0(12>>S S ，侧S ，若侧S S S =-)(212，则棱台侧面与底面所成二面角的大小是------------（ ）（A ）30︒ （B ）45︒ （C ）60︒ （D ）75︒11、三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90︒，M 为底面ABC 内的任意一点，∠APM=α，∠BPM=β，36sin =α，66cos =β，则∠CPM 的值是----------（ ） （A ）30︒（B ）45︒ （C ）60︒ （D ）75︒12、如果对任何),1(+∞∈x ，都有βαx x >，则有理数α、β间的关系是-------（ ）（A ）α0>，β0<（B ）α0<，β0>（C ）α>β（D ）|α|>|β|13、定义在R 上的函数)(x f y =有反函数，则函数b a x f y ++=)(的图象与b a x f y ++=-)(1的图象间的关系是-------------------------------------------------（ ）（A ） 关于直线b a x y ++=对称 （B ）关于直线b a y x ++=对称（C ）关于直线b a x y -+=对称 （D ）关于直线b a y x -+=对称14、函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=。
第17届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)
（ ）ｘ一３ 或 ３ Ｄ２ ５ ５—２
（ ）ｏ ｃ ｃＳａ＝０ （ ）ｏ Ｄ ｃｓ ａ的符 号不 确 定 ４ 设 ａ＞０ ａ≠１若 Ｙ＝ａ ． ， ． 的 反 函数 的 图像 经过 点
（ ｌ Ａ）６
８ 区间［ ， 在映射 ／ 一２ ． ０ ｍ］ ‘ ： ＋ｍ所得
的像 集 区 问 为 ［ ｂ ． 区 间 ［ ｂ 的 长 度 ａ， ］ 若 ａ， ］ 比区 间 ［， 的 长度 大 ５ 则 ｍ＝（ ０ ｍ］ ，
则当 ｒ ５ ， 一 ／ ＝ ／ ０ 时 ／ ７ — ， ０ ≤２ ７ ， ， ）
；
当 ２０５＜／≤２０７时 ，／ （， ０ ７ ０ ， ｒ一ｆ ／ ， ７ ）＝ ｌ ． ｓ ・Ｏ ＝ｌ贝 Ｏ 口 ｓ ２若 ｉ Ｃ ｎ口 ８ ，０ Ｓ ・ｉ Ｃ ｎ卢＝
ｆ 厕
， 一 ≤ ＜； ｏ
ｂ ｃ 导， ＝ ， 、 Ｂ Ｃ的大，Ｊ ：０ ｃ １则 ｓ 、 Ｊｌ ， ￣
－
序为（
） ．
２若 ／ ） 的定 义域 为 Ａ， （ ＝ ． ‘ ＝Ｉ （ ｇ ）
／ ＋１ 一 （ ‘ （ ） ／ ）的定 义域 为 Ｂ， （ 则
（ ＵＢ＝Ｒ Ａ）
（ ） ∈Ｂ Ｃ
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２０ 第 ８ ０６年 期
３ ３
第 １ 届“ ７ 希望杯＂ 全国数学邀请赛（ 高一）
（ ） ．
第 一 试
一
（） Ａ ｂ＝０ （） Ｃ ｄ＝０
（ Ｃ Ｂ） ＝０ （） １ ｂ＝ｄ＝０ ）
、
选 择题 （ 每小题 ４分 ， ４ ） 共 ０分
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中 等 数 学
（ ｎ ＝／ ＋／ Ａ） ７ ７ ， ， （ ） ＝ ｎ一１ Ｃｎ ３
第7届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试
第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试班级 姓名一、选择题1、集合}2,1,0{的子集个数为------------------------------------------------------------（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）82、函数b x a x f +=sin )(的最大值是-------------------------------------------------（ ）（A ）||b a + （B ）b a +|| （C ）b a + （D ）||b a +3、函数)1(2sin 2x y -=的最小正周期是---------------------------------------------（ ）（A ）π2 （B ）π （C ）π4 （D ）π34、在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 与B 1D 间的距离是------------（ ）（A ）22 （B ）1 （C ）45 （D ）23 5、以下命题中，正确的是----------------------------------------------------------------（ ）（A ）两个平面斜交，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面都不垂直。
（B ）过平面α的一条斜线的平面与α一定不垂直。
（C ）a ，b 是异面直线，过a 必能作一个平面与b 垂直。
（D ）同垂直于一个平面的两个平面平行。
6、在一个正方体中取四个顶点作为一个四面体的顶点，在这样的一个四面体中，直角三角形最多有----------------------------------------------------------------------------（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个7、若关于x 的方程12)1(2+=+a x 和ax x 2)2(2=+中至少有一个方程具有两个不等实根，则实数a 的集合为--------------------------------------------------------------（ ）（A ）),21(+∞-（B ）),4()0,1(+∞- （C ）)4,0( （D ）R 8、若)4,2(∈x ，22x a =，2)2(x b =，x c 22=，则c b a ,,的大小关系是-----（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）b a c >> （D ）c a b >>9、方程1)1(22=--+x x x 的整数解的个数是---------------------------------------（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）510、有三个命题：①函数))((x g f y =，其中)(x g u =在区间D 上是增函数，)(u f y =在区间D 上是减函数，则函数))((x g f y =在区间D 上是减函数。
海宁市教师进修学校(教研室)
海宁市教师进修学校（教研室）关于公布第17届“希望杯”全国数学邀请赛海宁市级奖的通知各有关学校：2006年第17届“希望杯”全国数学邀请赛，经过3月19日一试，由市教研室组织进行复评，现将各项获奖情况公布如下：海宁市一等奖七年级23名、八年级20名高一年级29名、高二年级18名海宁市二等奖七年级45名、八年级43名高一年级47名、高二年级30名海宁市三等奖七年级52名、八年级68名高一年级49名、高二年级39名详细名单见附件海宁市教师进修学校（教研室）2006年5月10日附件：七年级参加全国数学“希望杯”邀请赛获海宁市级奖名单序号分序姓名学校指导教师奖级1 1 郑炜海宁市南苑中学顾锦霞一等奖2 2 何晨曦海宁市第一中学周仙芬一等奖3 3 许兆丰海宁市第一中学汪建忠一等奖4 4 沈哲海宁市实验初中朱悦一等奖5 5 吴侃卿海宁市郭店初中徐剑英一等奖6 6 徐贝帝海宁市狮岭学校张榴芬一等奖7 7 吴甄琦海宁市实验初中张益锋一等奖8 8 戴弘申海宁市第一中学沈炳祥一等奖9 9 陆炜上外附属浙江宏达学校孙国平一等奖10 10 曹意上外附属浙江宏达学校孙国平一等奖11 11 戴立波上外附属浙江宏达学校孙国平一等奖12 12 章斌杰海宁市新仓初中陈振锋一等奖13 13 赵思奕海宁市第一中学周仙芬一等奖14 14 许天波海宁市第一中学汪建忠一等奖15 15 朱碧莹海宁市第一中学汪建忠一等奖16 16 王欣煜海宁市第一中学金惠良一等奖17 17 章依薇海宁市第一中学张卫东一等奖18 18 王舒怡上外附属浙江宏达学校程礼辉一等奖19 19 胡文奇上外附属浙江宏达学校孙国平一等奖20 20 顾存孝上外附属浙江宏达学校孙国平一等奖21 21 孙垚杰上外附属浙江宏达学校孙国平一等奖22 22 张佳冬上外附属浙江宏达学校孙国平一等奖23 23 郑纯上外附属浙江宏达学校孙国平一等奖24 1 周炎海宁市许巷初中潘亚梅二等奖25 2 王滢海宁市长安镇中学董选思二等奖26 3 王宇杰海宁市长安镇中学董选思二等奖27 4 张林婷海宁市庆云中学二等奖28 5 虞浩彬海宁市新仓初中陈振锋二等奖29 6 金于人海宁市实验初中朱悦二等奖30 7 林上耀海宁市实验初中张益锋二等奖31 8 金琦海宁市南苑中学葛华二等奖32 9 梅立霄海宁市南苑中学吴李忠二等奖33 10 洪依迪海宁市第一中学周仙芬二等奖34 11 朱景辉海宁市第一中学金惠良二等奖35 12 沈豪辉海宁市第一中学张卫东二等奖36 13 朱燕依海宁市第一中学王浩群二等奖37 14 朱新怡上外附属浙江宏达学校周树华二等奖38 15 潘天立上外附属浙江宏达学校孙国平二等奖39 16 李晔上外附属浙江宏达学校孙国平二等奖40 17 俞晨飞上外附属浙江宏达学校孙国平二等奖41 18 严赵宇上外附属浙江宏达学校孙国平二等奖42 19 沈敏剑上外附属浙江宏达学校程礼辉二等奖43 20 金焱立海宁市许巷初中焦曼二等奖44 21 陈俞涛海宁市辛江初中张学良二等奖45 22 诸佳妮海宁市辛江初中余立晴二等奖46 23 於依海宁市长安镇中学王华二等奖47 24 吕佳成海宁市周王庙初中尹红芳二等奖48 25 张权海宁市丁桥初中李述清二等奖49 26 茹云杰海宁市丁桥初中胡洁二等奖50 27 张梓园海宁市丰士初中钱利高二等奖51 28 石月海宁市新仓初中陈振锋二等奖52 29 董叶慧海宁市实验初中朱悦二等奖53 30 黄正晖海宁市实验初中张益锋二等奖54 31 阮园婷海宁市南苑中学葛华二等奖55 32 陈玉莲海宁市南苑中学葛华二等奖56 33 金嘉超海宁市南苑中学葛华二等奖57 34 周秋萍海宁市南苑中学章云林二等奖58 35 林巽一海宁市南苑中学顾锦霞二等奖59 36 张乐舟海宁市南苑中学顾锦霞二等奖60 37 朱惠凤海宁市南苑中学徐正贞二等奖61 38 林赟海宁市南苑中学吴李忠二等奖62 39 许周乐海宁市第一中学汪建忠二等奖63 40 周加晖海宁市第一中学金惠良二等奖64 41 杨翰笙海宁市第一中学张卫东二等奖65 42 沈斌上外附属浙江宏达学校孙国平二等奖66 43 陈佳伊上外附属浙江宏达学校孙国平二等奖67 44 洑晓燕上外附属浙江宏达学校孙国平二等奖68 45 金赞上外附属浙江宏达学校孙国平二等奖69 1 潘清清海宁市许巷初中付杰明三等奖70 2 钱梦哪海宁市沈士初中王冯珠三等奖71 3 陈丹敏海宁市沈士初中赵宇三等奖72 4 张薇海宁市长安镇中学阮永强三等奖73 5 高阳海宁市长安镇中学陈淑梅三等奖74 6 丁国梅海宁市钱塘江初中倪建法三等奖75 7 施方成海宁市郭店初中贝铭华三等奖76 8 李佳丽海宁市丁桥初中胡洁三等奖77 9 周炽晓海宁市丰士初中钱利高三等奖78 10 邱雨萍海宁市斜桥初中三等奖79 11 王梦海宁市庆云中学三等奖80 12 周桢杰海宁市庆云中学三等奖81 13 杜伟佳海宁市祝场初中虞建平三等奖82 14 吴雪莲海宁市双山实验学校沈利明三等奖83 15 王佳辉海宁市双山实验学校沈利明三等奖84 16 周雯婷海宁市马桥中学李瞻静三等奖85 17 王集海宁市湖塘初中姚建祥三等奖86 18 张金辉海宁市谈桥初中俞建中三等奖87 19 刘凯海宁市黄湾初中陆建彬三等奖88 20 叶志凯海宁市实验初中朱悦三等奖89 21 宋玲芳海宁市实验初中张益锋三等奖90 22 胡晨奇海宁市实验初中朱悦三等奖91 23 叶正罡海宁市实验初中张益锋三等奖92 24 滕林飞海宁市实验初中张益锋三等奖93 25 吴佳峰海宁市南苑中学吴李忠三等奖94 26 沈姚熠海宁市南苑中学葛华三等奖95 27 钟斌杰海宁市南苑中学葛华三等奖96 28 陈寅笛海宁市南苑中学葛华三等奖97 29 王是裔海宁市南苑中学葛华三等奖98 30 张周佳海宁市南苑中学俞伟祥三等奖99 31 周骏涛海宁市南苑中学俞伟祥三等奖100 32 印恬田海宁市第一中学周仙芬三等奖101 33 钱秋瑜海宁市第一中学汪建忠三等奖102 34 冯旭东海宁市第一中学汪建忠三等奖103 35 冯冰海宁市第一中学金惠良三等奖104 36 施羽希海宁市第一中学金惠良三等奖105 37 章晨天海宁市第一中学王浩群三等奖106 38 姚咪海宁市第一中学王浩群三等奖107 39 沈佩绮海宁市第三中学邱建明三等奖108 40 马平劼上外附属浙江宏达学校周树华三等奖109 41 胡莹盈上外附属浙江宏达学校周树华三等奖110 42 冯旭佳上外附属浙江宏达学校周树华三等奖111 43 连川上外附属浙江宏达学校孙国平三等奖112 44 张樱子上外附属浙江宏达学校孙国平三等奖113 45 朱宫昊上外附属浙江宏达学校孙国平三等奖114 46 戴敏怡上外附属浙江宏达学校孙国平三等奖115 47 徐许臻越上外附属浙江宏达学校孙国平三等奖116 48 钱婧婧上外附属浙江宏达学校孙国平三等奖117 49 程渊上外附属浙江宏达学校孙国平三等奖118 50 吴丹妮上外附属浙江宏达学校孙国平三等奖119 51 顾吏乾上外附属浙江宏达学校孙国平三等奖120 52 王林忠上外附属浙江宏达学校孙国平三等奖八年级参加全国数学“希望杯”邀请赛获海宁市级奖名单序号分序姓名学校指导教师奖级1 1 叶刚峰上外附属浙江宏达学校马金康一等奖2 2 董摩扬上外附属浙江宏达学校马金康一等奖3 3 沈宏烈上外附属浙江宏达学校马金康一等奖4 4 周沉沉海宁市第一中学计惠英一等奖5 5 王钰圆海宁市第一中学朱海琴一等奖6 6 龙宵飞上外附属浙江宏达学校马金康一等奖7 7 章乃文海宁市第一中学计惠英一等奖8 8 杨颖妍上外附属浙江宏达学校马金康一等奖9 9 沈跳上外附属浙江宏达学校马金康一等奖10 10 杨彦煜上外附属浙江宏达学校马金康一等奖11 11 沈忠杰上外附属浙江宏达学校谈建彪一等奖12 12 张技涛海宁市马桥中学许卫红一等奖13 13 陈东方上外附属浙江宏达学校马金康一等奖14 14 严煜皓海宁市实验初中方王兴一等奖15 15 沈浙超海宁市第一中学计惠英一等奖16 16 周鑫海宁市第一中学王娟益一等奖17 17 濮振谦海宁市第一中学王娟益一等奖18 18 宋诗妍海宁市第一中学石生华一等奖19 19 柴绮丽上外附属浙江宏达学校谈建彪一等奖20 20 潘晓强上外附属浙江宏达学校马金康一等奖21 1 张桢栋海宁市斜桥初中二等奖22 2 郑晓鑫海宁市实验初中戴月萍二等奖23 3 方闻杰海宁市南苑中学陆新明二等奖24 4 金逸兰海宁中学蔡利荣二等奖25 5 朱羚劼上外附属浙江宏达学校马金康二等奖26 6 马杰婕海宁市南苑中学朱晓萍二等奖27 7 肖楹萍海宁市南苑中学朱晓萍二等奖28 8 俞东豪海宁市南苑中学沈红琴二等奖29 9 王路遥海宁市南苑中学陆新明二等奖30 10 羊跻聪海宁市第一中学王娟益二等奖31 11 李梦嘉海宁市第一中学石生华二等奖32 12 高赟彬海宁中学蔡利荣二等奖33 13 顾凯上外附属浙江宏达学校谈建彪二等奖34 14 潘超笛上外附属浙江宏达学校谈建彪二等奖35 15 钱启宇上外附属浙江宏达学校马金康二等奖36 16 王喆上外附属浙江宏达学校马金康二等奖37 17 祝天宇上外附属浙江宏达学校马金康二等奖38 18 顾佳辉海宁市丁桥初中吴国强二等奖39 19 祝星晨海宁市丰士初中朱豪良二等奖40 20 张韵倩海宁市实验初中褚明霞二等奖41 21 李栋海宁市南苑中学陆培忠二等奖42 22 徐灏赟海宁市南苑中学陆新明二等奖43 23 邱晨锴海宁市第一中学黄慧玲二等奖44 24 徐敏上外附属浙江宏达学校马金康二等奖45 25 俞栋杰上外附属浙江宏达学校马金康二等奖46 26 孙怡婷海宁市郭店初中严妙林二等奖47 27 查宜强海宁市斜桥初中二等奖48 28 许江波海宁市祝场初中胡国杰二等奖49 29 顾文超海宁市马桥中学许卫红二等奖50 30 褚梦迪海宁市实验初中方王兴二等奖51 31 金洋海宁市实验初中戴月萍二等奖52 32 陆齐力海宁市南苑中学陆培忠二等奖53 33 胡涛海宁市南苑中学沈红琴二等奖54 34 计金艳海宁市南苑中学陆新明二等奖55 35 郑荻海宁市第一中学王娟益二等奖56 36 吴滨沂海宁市第一中学朱海琴二等奖57 37 马韵铄海宁市第一中学黄慧玲二等奖58 38 吴旻诚海宁市第一中学郑自英二等奖59 39 苏夏翔海宁中学刘芳二等奖60 40 褚轶宁上外附属浙江宏达学校马金康二等奖61 41 赵阳晨上外附属浙江宏达学校谈建彪二等奖62 42 凌志超上外附属浙江宏达学校谈建彪二等奖63 43 诸方睿上外附属浙江宏达学校马金康二等奖64 1 孙颖哲海宁市许村中学三等奖65 2 陈凯骅海宁市沈士初中张立新三等奖66 3 张超士海宁市丁桥初中陈娥三等奖67 4 王超骏海宁市斜桥初中三等奖68 5 吴怡恒海宁市双山实验学校周明海三等奖69 6 贾孝恺海宁市谈桥初中陶积成三等奖70 7 钱志恒海宁市实验初中褚明霞三等奖71 8 方晔海宁市实验初中方王兴三等奖72 9 李杰麟海宁市实验初中戴月萍三等奖73 10 钱诚海宁市南苑中学吴清薇三等奖74 11 虞科望海宁市南苑中学吴清薇三等奖75 12 顾申浩海宁市南苑中学朱晓萍三等奖76 13 顾燕南海宁市南苑中学陆新明三等奖77 14 金单捷海宁市第一中学计惠英三等奖78 15 周全海宁市第一中学计惠英三等奖79 16 刘辰昂海宁市第一中学王娟益三等奖80 17 罗斌斌海宁市第一中学黄慧玲三等奖81 18 陈涛海宁市第一中学郑自英三等奖82 19 王超海宁市第一中学郑自英三等奖83 20 张振豪上外附属浙江宏达学校谈建彪三等奖84 21 褚天麟上外附属浙江宏达学校马金康三等奖85 22 祝方琦上外附属浙江宏达学校马金康三等奖86 23 邹青青上外附属浙江宏达学校谈建彪三等奖87 24 姚佳恒上外附属浙江宏达学校谈建彪三等奖88 25 吴佳风上外附属浙江宏达学校谈建彪三等奖89 26 杜辉上外附属浙江宏达学校谈建彪三等奖90 27 周心怡上外附属浙江宏达学校谈建彪三等奖91 28 余桢慧海宁市许巷初中严妙清三等奖92 29 杨冰烨海宁市许村中学三等奖93 30 姚银晓海宁市辛江初中陈文学三等奖94 31 朱雨辉海宁市钱塘江初中姚志强三等奖95 32 王静妮海宁市郭店初中沈志明三等奖96 33 王微恒海宁市郭店初中严妙林三等奖97 34 吴彬海宁市郭店初中严妙林三等奖98 35 钱峥妍海宁市丁桥初中吴国强三等奖99 36 沈婷海宁市丁桥初中黄新元三等奖100 37 褚天成海宁市丁桥初中陈娥三等奖101 38 孙涛海宁市丰士初中朱豪良三等奖102 39 项煜飞海宁市斜桥初中三等奖103 40 李梦笑海宁市斜桥初中三等奖104 41 张琳芳海宁市斜桥初中三等奖105 42 庄淼清海宁市斜桥初中三等奖106 43 郭晓娟海宁市庆云中学三等奖107 44 张晓娟海宁市狮岭学校朱周良三等奖108 45 周哲贤海宁市湖塘初中叶正华三等奖109 46 林枫海宁市新仓初中石永红三等奖110 47 孙燕杰海宁市实验初中方王兴三等奖111 48 俞垭美海宁市实验初中戴月萍三等奖112 49 吴家华海宁市实验初中褚明霞三等奖113 50 蒋佳卿海宁市实验初中方王兴三等奖114 51 边韵强海宁市实验初中戴月萍三等奖115 52 丰帆海宁市南苑中学吴清薇三等奖116 53 俞凯丽海宁市南苑中学陆培忠三等奖117 54 朱可迪海宁市南苑中学陆培忠三等奖118 55 曹恒海宁市南苑中学朱晓萍三等奖119 56 周杰海宁市南苑中学朱晓萍三等奖120 57 宋银燕海宁市南苑中学沈红琴三等奖121 58 徐鑫海宁市南苑中学陆新明三等奖122 59 江页海宁市第一中学计惠英三等奖123 60 李秋涛海宁市第一中学计惠英三等奖124 61 朱佳峰海宁市第一中学王娟益三等奖125 62 沈史辉海宁市第一中学黄慧玲三等奖126 63 沈王恺上外附属浙江宏达学校马金康三等奖127 64 贾天宇上外附属浙江宏达学校谈建彪三等奖128 65 王苏强上外附属浙江宏达学校谈建彪三等奖129 66 朱迦榕上外附属浙江宏达学校马金康三等奖130 67 金泽羽上外附属浙江宏达学校马金康三等奖131 68 王江上外附属浙江宏达学校谈建彪三等奖高一年级参加全国数学“希望杯”邀请赛获海宁市级奖名单序号分序姓名学校指导教师奖级1 1 黄河清海宁市高级中学王增伟一等奖2 2 赵安海宁市高级中学王增伟一等奖3 3 夏黄靖海宁市高级中学王增伟一等奖4 4 郁俊杰海宁市高级中学王增伟一等奖5 5 张渊海宁市高级中学王增伟一等奖6 6 祝星元海宁市高级中学王增伟一等奖7 7 张徐毓海宁市高级中学王增伟一等奖8 8 范彬海宁市高级中学王增伟一等奖9 9 吴梦迪海宁市高级中学王增伟一等奖10 10 金昕艳海宁市高级中学王增伟一等奖11 11 许涛海宁市高级中学江阿庆一等奖12 12 陆佳斌海宁市高级中学张深一等奖13 13 凌少波海宁市高级中学王增伟一等奖14 14 胡方洲海宁市高级中学王增伟一等奖15 15 韩一士海宁市高级中学王增伟一等奖16 16 张王峥海宁市高级中学王增伟一等奖17 17 高欣海宁市高级中学王增伟一等奖18 18 马戴杰海宁市高级中学王增伟一等奖19 19 凌晨海宁市高级中学王增伟一等奖21 21 沈晓定海宁市高级中学王增伟一等奖22 22 戴一德海宁市高级中学王增伟一等奖23 23 张钰海宁市高级中学黄海平一等奖24 24 郭兴海宁市高级中学郁林一等奖25 25 王倩倩海宁市高级中学王增伟一等奖26 26 冯彬海宁市高级中学江阿庆一等奖27 27 范豪凯海宁市高级中学江阿庆一等奖28 28 殷肖文海宁市高级中学江阿庆一等奖29 29 常国彬海宁市第一中学一等奖30 1 顾前晶海宁市高级中学王增伟二等奖31 2 王禛义海宁市高级中学王增伟二等奖32 3 濮新海宁市第一中学二等奖33 4 陈文垚海宁市高级中学王增伟二等奖34 5 沈建杰海宁市高级中学王增伟二等奖35 6 张岑岭海宁市高级中学王增伟二等奖36 7 陈佳祺海宁市高级中学王增伟二等奖37 8 葛权毅海宁市高级中学王增伟二等奖38 9 高峰海宁市高级中学郁林二等奖39 10 王晓嫣海宁市高级中学江阿庆二等奖40 11 施晨钟海宁市第一中学二等奖41 12 潘煜海宁市高级中学王增伟二等奖42 13 傅宁海宁市高级中学王增伟二等奖43 14 宋天曦海宁市高级中学王增伟二等奖44 15 周振宇海宁市高级中学王增伟二等奖45 16 陈佳乐海宁市高级中学王增伟二等奖46 17 黄震宇海宁市高级中学张深二等奖47 18 陈诗羽海宁市高级中学郁林二等奖48 19 王明杰海宁市第一中学二等奖49 20 沈海辉海宁市宏达高级中学张益萍二等奖50 21 毛静宜海宁市高级中学王增伟二等奖51 22 陈奕海宁市高级中学王增伟二等奖52 23 李靖海宁市高级中学王增伟二等奖53 24 冯頔海宁市高级中学王增伟二等奖54 25 苏震宇海宁市高级中学方兰二等奖55 26 方利锋海宁市高级中学张深二等奖56 27 李涛海宁市第一中学二等奖57 28 李吴宁海宁市第一中学二等奖58 29 万晓彬海宁市第一中学二等奖59 30 高锋斌海宁市宏达高级中学周刚二等奖61 32 濮奇律海宁市高级中学王增伟二等奖62 33 贾鑫超海宁市第一中学二等奖63 34 吴涛海宁市第一中学二等奖64 35 杨宇超海宁市高级中学江阿庆二等奖65 36 万颖蓉海宁市高级中学江阿庆二等奖66 37 万敏怡海宁市高级中学江阿庆二等奖67 38 王佳宁海宁市高级中学江阿庆二等奖68 39 俞一佳海宁市高级中学江阿庆二等奖69 40 许迪海宁市高级中学张深二等奖70 41 虞森杰海宁市高级中学张深二等奖71 42 张焘海宁市高级中学张深二等奖72 43 陈晖海宁市高级中学张深二等奖73 44 瞿佳贤海宁市高级中学张深二等奖74 45 许林方海宁市第一中学二等奖75 46 沈刚海宁市第一中学二等奖76 47 陆鑫海宁市宏达高级中学周刚二等奖77 1 张佳丽海宁市第一中学三等奖78 2 沈金辉海宁市第一中学三等奖79 3 王佳伟海宁市第一中学三等奖80 4 沈海兵海宁市宏达高级中学周刚三等奖81 5 沈程佳海宁市宏达高级中学周刚三等奖82 6 谈晨飞海宁市南苑中学杨庆香三等奖83 7 王元珏海宁市第一中学三等奖84 8 蔡东炬海宁市第一中学三等奖85 9 蒋振杰海宁市第一中学三等奖86 10 马晨力海宁市第一中学三等奖87 11 徐敏海宁市第一中学三等奖88 12 顾云杰海宁市第一中学三等奖89 13 褚江辉海宁市第一中学三等奖90 14 金超海宁市宏达高级中学周刚三等奖91 15 宓叶锋海宁市宏达高级中学周刚三等奖92 16 章潇海宁市宏达高级中学张益萍三等奖93 17 王凌耀海宁市宏达高级中学周刚三等奖94 18 吴超海宁市第一中学三等奖95 19 曹燕妮海宁市第一中学三等奖96 20 宓伟德海宁市南苑中学张少勇三等奖97 21 马宁海宁市高级中学王增伟三等奖98 22 陈天龙海宁市第一中学三等奖99 23 陈志远海宁市第一中学三等奖100 24 费金叶海宁市第一中学三等奖101 25 洪文益海宁市第一中学三等奖102 26 沈鎏瑕海宁中学姚利良三等奖103 27 裴龙凯海宁市宏达高级中学张益萍三等奖104 28 虞芳银海宁市宏达高级中学张益萍三等奖105 29 吕伟海宁市宏达高级中学张益萍三等奖106 30 曹超峰海宁市宏达高级中学周刚三等奖107 31 陈曹阳海宁市宏达高级中学周刚三等奖108 32 尚亭浩海宁市第一中学三等奖109 33 施敏海宁市第一中学三等奖110 34 朱海斌海宁市第一中学三等奖111 35 沈哲飞海宁市第一中学三等奖112 36 朱勤超海宁市第一中学三等奖113 37 姚新峰海宁市第二中学严晨浩三等奖114 38 沈雨佳海宁市第二中学查云峰三等奖115 39 许海波海宁市第二中学查云峰三等奖116 40 金益新海宁市第三中学封福洪三等奖117 41 沈斌海宁中学姚利良三等奖118 42 赵晓樱海宁中学姚利良三等奖119 43 李燕萍海宁中学李新雨三等奖120 44 俞力海宁中学陈增清三等奖121 45 钱高峰海宁市南苑中学苏加新三等奖122 46 包磊海宁市南苑中学苏加新三等奖123 47 邬晓锋海宁市南苑中学杨庆香三等奖124 48 张文墅海宁市南苑中学苏加新三等奖125 49 林佳辉海宁市南苑中学杨庆香三等奖高二年级参加全国数学“希望杯”邀请赛获海宁市级奖名单序号分序姓名学校指导教师一试成绩1 1 钟陈超海宁市高级中学顾贯石一等奖2 2 何威迪海宁市高级中学朱国华一等奖3 3 徐俊海宁市高级中学顾贯石一等奖4 4 张霁婷海宁市高级中学顾贯石一等奖5 5 居思行海宁市高级中学顾贯石一等奖6 6 金立希海宁市高级中学朱国华一等奖7 7 韩潇倩海宁市高级中学顾贯石一等奖8 8 陈超海宁市高级中学顾贯石一等奖9 9 徐志浩海宁市高级中学黄海平一等奖10 10 江洁海宁市高级中学黄海平一等奖11 11 马烨海宁市第一中学一等奖12 12 沈陈霄海宁市高级中学朱荣一等奖13 13 宋天翼海宁市高级中学朱荣一等奖14 14 祝华溢海宁市高级中学朱荣一等奖15 15 丁晔昊海宁市高级中学朱国华一等奖16 16 杨潇萦海宁市高级中学朱国华一等奖17 17 王芳海宁市高级中学黄海平一等奖18 18 郁星海宁市高级中学黄海平一等奖19 1 顾一欢海宁市高级中学朱荣二等奖20 2 陈浮海宁市高级中学朱荣二等奖21 3 冯张潇海宁市高级中学朱荣二等奖22 4 徐振波海宁市高级中学朱国华二等奖23 5 袁龙杰海宁市高级中学朱国华二等奖24 6 封晨海宁市高级中学顾贯石二等奖25 7 蒋晴海宁市高级中学顾贯石二等奖26 8 尤添鋆海宁市高级中学黄海平二等奖27 9 沈诚海宁市高级中学顾贯石二等奖28 10 杨钱洁海宁市第一中学二等奖29 11 沈林锋海宁市第一中学二等奖30 12 林张燚海宁市第一中学二等奖31 13 刘晓林海宁市南苑中学陈宏二等奖32 14 张炜海宁市高级中学朱荣二等奖33 15 顾鼎鼎海宁市高级中学朱荣二等奖34 16 周超海宁市高级中学朱国华二等奖35 17 沈杰海宁市高级中学黄海平二等奖36 18 沈斌海宁市高级中学朱国华二等奖37 19 宓姚萍海宁市高级中学朱国华二等奖38 20 凌丹海宁市高级中学朱国华二等奖39 21 顾霄琳海宁市高级中学顾贯石二等奖40 22 陈天宇海宁市高级中学黄海平二等奖41 23 崔森杰海宁市第一中学二等奖42 24 俞晨海宁市第一中学二等奖43 25 张骏海宁市第一中学二等奖44 26 金江平海宁市第一中学二等奖45 27 杨晨帆海宁市第一中学二等奖46 28 朱涛海宁市宏达高级中学宋晓弟二等奖47 29 沈宁海宁市宏达高级中学宋晓弟二等奖48 30 钱宁海宁市宏达高级中学宋晓弟二等奖49 1 徐晓玲海宁市宏达高级中学徐克义三等奖50 2 黄藏一海宁市宏达高级中学宋晓弟三等奖51 3 张益斌海宁市第一中学三等奖。
第17届“希望杯”全国数学邀请赛试题
第１７届“希望杯”全国数学邀请赛试题初中一年级 第１试 一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．１．在数轴上，点Ａ对应的数是－２００６，点Ｂ对应的数是＋１７．则Ａ、Ｂ两点的距离是（）（Ａ）１９８９． （Ｂ）１９９９．（Ｃ）２０１３．（Ｄ）２０２３．２．有如下四个命题：①两个符号相反的分数之间必定有一个正整数；②两个符号相反的分数之间必定有一个负整数；③两个符号相反的分数之间必定有一个整数；④两个符号相反的分数之间必定有一个有理数．其中真命题的个数为（）（Ａ）１． （Ｂ）２． （Ｃ）３． （Ｄ）４．图１３．图１是某中学参加选修课学生人数的扇形统计图，从图中可以看出参加数学选修课的学生为参加选修课学生总人数的（）（Ａ）１２％． （Ｂ）２２％．（Ｃ）３２％． （Ｄ）２０％．４．如果ａ＜－３，那么（）（Ａ）ａ＋２ａ＋３＜ａ＋１ａ＋２＜ａａ＋１．（Ｂ）ａ＋１ａ＋２＜ａａ＋１＜ａ＋２ａ＋３．（Ｃ）ａａ＋１＜ａ＋１ａ＋２＜ａ＋２ａ＋３．（Ｄ）ａａ＋１＜ａ＋２ａ＋３＜ａ＋１ａ＋２．５．如图２的交通标志中，轴对称图形有（）（Ａ）４个．（Ｂ）３个．（Ｃ）２个．（Ｄ）１个．图２６．对于数ｘ，符号［ｘ］表示不大于ｘ的最大整数．例如［３．１４］＝３，［－７．５９］＝－８．则满足关系式［３ｘ＋７７］＝４的ｘ的整数值有（）（Ａ）６个．（Ｂ）５个．（Ｃ）４个．（Ｄ）３个．图３７．在图３所示的４×４的方格表中，记∠ＡＢＤ＝α，∠ＤＥＦ＝β，∠ＣＧＨ＝γ，则α，β，γ的大小关系是（）（Ａ）β＜α＜γ．（Ｂ）β＜γ＜α．（Ｃ）α＜γ＜β．（Ｄ）α＜β＜γ．８．方程ｘ＋ｙ＋ｚ＝７的正整数解有（）（Ａ）１０组．（Ｂ）１２组．（Ｃ）１５组．（Ｄ）１６组．图４９．如图４，ＡＢＣＤ与ＢＥＦＧ是并列放在一起的两个正方形．Ｏ是ＢＦ与ＥＧ的交点．如果正方形ＡＢＣＤ的面积是９平方厘米，ＣＧ＝２厘米．则·４３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期△ＤＥＯ的面积是（）．（Ａ）６．２５平方厘米．（Ｂ）５．７５平方厘米．（Ｃ）４．５０平方厘米．（Ｄ）３．７５平方厘米．１０．有如下四个叙述：①当０＜ｘ＜１时，１１＋ｘ＜１－ｘ＋ｘ２．②当０＜ｘ＜１时，１１＋ｘ＞１－ｘ＋ｘ２．③当－１＜ｘ＜０时，１１＋ｘ＜１－ｘ＋ｘ２．④当－１＜ｘ＜０时，１１＋ｘ＞１－ｘ＋ｘ２．其中正确的叙述是（）（Ａ）①③．（Ｂ）②④．（Ｃ）①④．（Ｄ）②③．二、Ａ组填空题１１．神舟六号飞船的速度为７．８千米／秒，航天员费俊龙用３分钟在舱内连做４个“前滚翻”，那么当费俊龙“翻”完一个跟斗时，飞船飞行了千米．１２．已知ａ＋ｂ＝３，ａ２ｂ＋ａｂ２＝－３０，则ａ２－ａｂ＋ｂ２＋１１＝．１３．图５为某工厂２００３年至２００５年的利润和资产统计表，由图可知资产利润率最高的年份是年．（注：资产利润率＝利润总资产）图５１４．计算：１３×１７×－２１３＋０．１２５（）÷－１１１６（）１－１２－１８＝．图６ １５．图６是一个程序流向图，请你看图说出“终止”处的计算结果是．１６．已知ｍ－２的倒数是－１４１ｍ＋２（），则ｍ２＋１ｍ２的值是．１７．ｎ是自然数，如果ｎ＋２０和ｎ－２１都是完全平方数，则ｎ等于．１８．Ｉｆ ｘ＝２ｉｓ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ１９１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＋１０｛｝＝１，ｔｈｅｎ ａ＝．（英汉词典：ｅｑｕａｔｉｏｎ方程；ｓｏｌｕｔｉｏｎ解）１９．将（１＋２ｘ－３ｘ２）２展开，所得多项式的系数和是．图７２０．如图７所示，圆的周长为４个单位长度，在圆的４等分点处，顺时针方向依次标上数字０，１，２，３．先让圆周上数字０所对应的点与数轴上的数－１所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，使数轴上－２，－３，－４，…所对应的点与圆周上３，２，１，…所对应的点重合，那么数轴上数－２００６与圆周上对应的数是．三、Ｂ组填空题２１．把一块正方体木块的表面涂上漆，再把它锯成２７块大小相同的小正方体．在这些小正方体中，没涂漆的有个，至少被漆２个面的有块．图８２２．如图８所示，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝８厘米，ＢＣ＝６厘米．分别以ＡＣ、ＢＣ为边向形外作正方形ＡＥＤＣ、ＢＣＦＧ．三角形ＢＥＦ的面积为ａ，六边形ＡＥＤＦＧＢ面积为Ｓ．则ａ＝平方厘米，且ａＳ＝．·５３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版２３．世界十大沙漠的面积见下表：（面积单位：万平方千米）名称撒哈拉沙漠阿拉伯沙漠利比亚沙漠澳大利亚沙漠戈壁沙漠面积８６０ ２３３ １６９ １５５ １０４名称巴塔哥尼亚沙漠鲁卜哈利沙漠卡拉哈里沙漠大沙沙漠塔克拉玛干沙漠面积６７ ６５ ５２ ４１ ３２十大沙漠的总面积为万平方千米．已知地球陆地面积为１．４９亿平方千米，占地球表面积的２９．２％，则十大沙漠的总面积占地球表面积的％（精确到千分位）．２４．甲自Ａ向Ｂ走了５．５分钟时，乙自Ｂ向Ａ行走，每分钟比甲多走３０米．他们于途中Ｃ处相遇．甲自Ａ到达Ｃ用时比自Ｃ到Ｂ用时多４分钟，乙自Ｃ到Ａ用时比自Ｂ到Ｃ用时多３分钟．则甲从Ａ到Ｃ用了分钟，Ａ、Ｂ两处的距离是米．２５．将１，２，３，４，５，６，７，８，９按任意顺序写成一排，其中相邻的３个数字组成一个三位数．共有七个三位数，求这七个三位数的和．则所得这些三位数之和的最小值是．参考答案一、选择题题号１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０答案Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 提示１．Ａ，Ｂ两点间的距离是＋１７－（－２００６）＝１７＋２００６＝２０２３．故选（Ｄ）．２．如－１２和１２之间既没有正整数，也没有负整数，所以命题①，②不正确．０介于两个符号相反的分数之间，所以命题③，④正确．故选（Ｂ）．３．参加数学兴趣小组的学生占参加课外活动学生总人数的１００％－１７％－２６％－３５％＝２２％．故选（Ｂ）．４．因为ａ＋２ａ＋３＝１－１ａ＋３，ａ＋１ａ＋２＝１－１ａ＋２，ａａ＋１＝１－１ａ＋１，又ａ＋１＜ａ＋２＜ａ＋３＜０，可得０＜－（ａ＋３）＜－（ａ＋２）＜－（ａ＋１），所以－１ａ＋１＜－１ａ＋２＜－１ａ＋３，因此ａａ＋１＜ａ＋１ａ＋２＜ａ＋２ａ＋３．故选（Ｃ）．５．第一、第三两个交通标志是轴对称图形，其他两个交通标志不是轴对称图形，故选（Ｃ）．６．解不等式４≤３ｘ＋７７＜５，得整数解ｘ＝７，８，９．故选（Ｄ）．７．观察图形，易知 ∠ＡＢＤ＝α＞９０°，∠ＤＥＦ＝β＜９０°，∠ＣＧＨ＝γ＝９０°，所以β＜γ＜α．故选（Ｂ）．８．因为ｘ，ｙ，ｚ均为正整数，且ｘ＋ｙ＋ｚ＝７，所以１≤ｘ≤５．下面分类讨论：当ｘ＝１时，有５组解；当ｘ＝２时，有４组解；当ｘ＝３时，有３组解；当ｘ＝４时，有２组解；当ｘ＝５时，有１组解．共计５＋４＋３＋２＋１＝１５（组）解．故选（Ｃ）．９．如图９，连接ＢＤ，易知ＢＤ∥ＥＧ，图９所以△ＥＤＯ与△ＢＥＯ的面积相等．由于Ｏ是正方形ＢＥＦＧ的对角线ＢＦ与ＥＧ的交点，所以△ＢＥＯ的面积等于正方形ＢＥＦＧ面积的四分之一．因为正方形ＡＢＣＤ的面积是９平方厘米，所以边长ＢＣ＝３厘米．又ＣＧ＝２厘米，因此，ＢＧ＝５厘米，正方形ＢＥＦＧ的面积等于２５平方厘米．所以△ＥＤＯ的面积＝△ＢＥＯ的面积＝２５４＝６．２５（平方厘米）．故选（Ａ）．·６３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期１０．当０＜ｘ＜１或－１＜ｘ＜０时，１１＋ｘ和１－ｘ＋ｘ２都大于０，所以两式的比值大于０．又（１－ｘ＋ｘ２）÷１１＋ｘ＝（１－ｘ＋ｘ２）（１＋ｘ）＝１＋ｘ３，当０＜ｘ＜１时，１＋ｘ３＞１，所以①正确，②不正确；当－１＜ｘ＜０时，１＋ｘ３＜１，所以③不正确，④正确．故选（Ｃ）．二、Ａ组填空题题号１１ １２ １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０答案３５１ ５０ ２００４ １６－３２９４４２１－４ ０ ３ 提示１１．费俊龙“翻”一个跟斗的时间为（３×６０÷４）秒，神舟六号飞船飞行的速度为７．８千米／秒，所以在费俊龙“翻”一个跟头的时间内飞船飞行了７．８×３×６０÷４＝３５１（千米）．１２．因为ａ＋ｂ＝３，ａ２ｂ＋ａｂ２＝ａｂ（ａ＋ｂ）＝－３０，所以ａｂ＝－１０．故 ａ２－ａｂ＋ｂ２＋１１＝（ａ＋ｂ）２－３ａｂ＋１１＝３２－３×（－１０）＋１１＝５０．１３．计算得２００３年的资产利润率＝３００３０００×１００％＝１０％，２００４年的资产利润率＝３６０３２００×１００％＝１１．２５％，２００５年的资产利润率＝４８０５０００×１００％＝９．６％，所以资产利润率最高的年份是２００４年．１４．１３×１７×－２１３＋０．１２５（）÷－１１１６（）１－１２－１８＝１７×－２＋１３８（）×－１６１７（）３８＝１６．１５．只要按照程序的过程走就可以看出结果应该是－２的５次方，等于－３２．１６．译文：如果ｍ－２的倒数是－１４１ｍ＋２（），那么ｍ２＋１ｍ２＝．解 由条件知 ｍ－２＝－４１ｍ＋２，即（ｍ－２）１ｍ＋２（）＝－４，１－２ｍ＋２ｍ＝０．所以１ｍ－ｍ＝１２，两边平方，再整理得 ｍ２＋１ｍ２＝９４．１７．设ｎ＋２０＝ａ２，ｎ－２１＝ｂ２（ａ，ｂ均为整数），则ａ２－ｂ２＝（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）＝４１，且ａ２＞ｂ２，又因为４１是质数，所以ａ－ｂ＝１，ａ＋ｂ＝４１；｛或ａ－ｂ＝４１，ａ＋ｂ＝１；｛或ａ－ｂ＝－１，ａ＋ｂ＝－４１；｛或ａ－ｂ＝－４１，ａ＋ｂ＝－１．｛方程组的两式相加，得２ａ＝４２，或２ａ＝－４２，即ａ＝２１，或ａ＝－２１，从而ｎ＝ａ２－２０＝４４１－２０＝４２１．１８．译文：已知ｘ＝２是方程１９１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＋１０｛｝＝１的解，那么ａ＝．解 从外向里逐层去括号：１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＋１０＝９，１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＝－１，１３ｘ＋ａ２＋４（）－７＝－６，１３ｘ＋ａ２＋４（）＝１，ｘ＋ａ２＋４＝３，ｘ＋ａ２＝－１，ｘ＋ａ＝－２．将ｘ＝２代入上式，得ａ＝－４．·７３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版１９．多项式ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋ａ２ｘｎ－２＋…＋ａｍ－１ｘ１＋ａｎ的系数和为ａ０＋ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ－１＋ａｎ，故只需令多项式ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋ａ２ｘｎ－２＋…＋ａｎ－１ｘ１＋ａｎ中的ｘ＝１即可．所以（１＋２ｘ－３ｘ２）２的展开式的系数和为（１＋２－３）２＝０．２０．因为｜（－２００６）－（－１）｜＝２００５＝５０１×４＋１，所以数轴上的数－２００６与圆周上的数３相对应．三、Ｂ组填空题题号２１ ２２ ２３ ２４ ２５答案１；２０ ６６；１４８ １７７８；３．４８ １０；１４４０ ４６４８；３１２２ 提示２１．８个角上的小正方体三面涂漆，１２条棱上各有１块小正方体两面涂漆，６个面上各有１块小正方体一面涂漆，还剩１块中心的小正方体没有涂漆．所以没涂漆的小正方体有１块，至少被漆２个面的小正方体有８＋１２＝２０（块）．２２．易知Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＣＤＦ＝１２×６×８＝２４（平方厘米），正方形ＡＣＤＥ的面积＝８２＝６４（平方厘米），正方形ＢＣＦＧ的面积＝６２＝３６（平方厘米）．所以 六边形ＡＥＤＦＧＢ的面积＝２４＋２４＋６４＋３６＝１４８（平方厘米）．连接ＣＥ，则Ｓ△ＣＦＥ＝Ｓ△ＣＦＤ＝２４（平方厘米），Ｓ△ＣＢＥ＝Ｓ△ＣＢＡ＝２４（平方厘米），又Ｓ△ＢＣＦ＝６２２＝１８（平方厘米）．所以三角形ＢＥＦ的面积２４＋２４＋１８＝６６（平方厘米）．２３．十大沙漠的总面积为８６０＋２３３＋１６９＋１５５＋１０４＋６７＋６５＋５２＋４１＋３２＝１７７８（万平方千米），地球陆地面积为１．４９亿平方千米＝１．４９×１０４万平方千米，占地球表面积的２９．２％，所以地球表面积为１．４９×１０４÷２９．２％（万平方千米）．故十大沙漠的总面积占地球表面积的１７７８１．４９×１０４÷２９．２％＝３．４８％．２４．解法１ 设甲与乙相遇时甲行走了ｔ分钟，则甲自Ｃ到达Ｂ处所用时间是（ｔ－４）分钟，乙自Ｂ到达Ｃ处所用时间是（ｔ－５．５）分钟，乙自Ｃ到达Ａ处所用时间是（ｔ－２．５）分钟．设甲的速度是ｖ米／分，则乙的速度是（ｖ＋３０）米／分．列方程组，得ｔｖ＝（ｔ－２．５）（ｖ＋３０），（ｔ－４）ｖ＝（ｔ－５．５）（ｖ＋３０）．｛即３０ｔ－２．５ｖ－７５＝０，３０ｔ－１．５ｖ－１６５＝０．｛解得ｔ＝１０，ｖ＝９０．｛所以Ａ，Ｂ两处的距离为（２ｔ－４）ｖ＝１６×９０＝１４４０（米）．解法２ 设甲的速度是ｖ米／分，则乙的速度是（ｖ＋３０）米／分．列方程组，得ＡＣ－ＢＣ＝４ｖ，ＡＣ－ＢＣ＝３（ｖ＋３０）．｛解得ｖ＝９０．又设甲与乙相遇时乙行走了ｔ分钟，则（５．５＋ｔ）×９０－（９０＋３０）ｔ＝９０×４，解得ｔ＝４．５．所以甲从Ａ到Ｃ所用时间是５．５＋４．５＝１０（分钟），Ａ，Ｂ两处的距离为９０×１０＋（９０＋３０）×４．５＝１４４０（米）．２５．设排列的九个数为ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ依题意知，所求的七个三位数的和为ａｂｃ＋ｂｃｄ＋ｃｄｅ＋ｄｅｆ＋ｅｆｇ＋ｆｇｈ＋ｇｈｉ＝１００ａ＋１１０ｂ＋１１１（ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ）＋１１ｈ＋ｉ，为使所求的七个三位数的和最大，应选取ａ＝３，ｂ＝４，ｃ～ｇ选５～９，ｈ＝２，ｉ＝１，此时，最大的和为４６４８．为使所求的七个三位数的和最小，应选取ａ＝７，ｂ＝６，ｃ～ｇ选１～５，ｈ＝８，ｉ＝９，此时，最小的和为３１２２．·８３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期初中一年级 第２试一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．１．ａ和ｂ是满足ａｂ≠０的有理数，现有四个命题：①ａ－２ｂ２＋４的相反数是２－ａｂ２＋４；②ａ－ｂ的相反数是ａ的相反数与ｂ的相反数的差；③ａｂ的相反数是ａ的相反数和ｂ的相反数的乘积；④ａｂ的倒数是ａ的倒数和ｂ的倒数的乘积．其中真命题有（）（Ａ）１个． （Ｂ）２个． （Ｃ）３个． （Ｄ）４个．２．在下面的图形中，不是正方体的平面展开图的是（）３．在代数式ｘｙ２中，ｘ与ｙ的值各减少２５％，则该代数式的值减少了（）（Ａ）５０％．（Ｂ）７５％．（Ｃ）３７６４．（Ｄ）２７６４．４．若ａ＜ｂ＜０＜ｃ＜ｄ，则以下四个结论中正确的是（）（Ａ）ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ一定是正数．（Ｂ）ｄ＋ｃ－ａ－ｂ可能是负数．（Ｃ）ｄ－ｃ－ｂ－ａ一定是正数．图１（Ｄ）ｃ－ｄ－ｂ－ａ一定是正数．５．在图１中，ＤＡ＝ＤＢ＝ＤＣ，则ｘ的值是（）（Ａ）１０．（Ｂ）２０．（Ｃ）３０．（Ｄ）４０．６．已知ａ，ｂ，ｃ都是整数，ｍ＝｜ａ＋ｂ｜＋｜ｂ－ｃ｜＋｜ａ－ｃ｜，那么（）（Ａ）ｍ一定是奇数．（Ｂ）ｍ一定是偶数．（Ｃ）仅当ａ，ｂ，ｃ同奇或同偶时，ｍ是偶数．（Ｄ）ｍ的奇偶性不能确定．７．三角形三边的长ａ，ｂ，ｃ都是整数，且［ａ，ｂ，ｃ］＝６０，（ａ，ｂ）＝４，（ｂ，ｃ）＝３．（注：［ａ，ｂ，ｃ］表示ａ，ｂ，ｃ的最小公倍数；（ａ，ｂ）表示ａ，ｂ的最大公约数），则ａ＋ｂ＋ｃ的最小值是（）（Ａ）３０．（Ｂ）３１．（Ｃ）３２．（Ｄ）３３．图２８．如图２，矩形ＡＢＣＤ由３×４个小正方形组成．此图中，不是正方形的矩形有（）（Ａ）４０个． （Ｂ）３８个．（Ｃ）３６个．（Ｄ）３４个．９．设ａ是有理数，用［ａ］表示不超过ａ的最大整数，如［１．７］＝１，［－１］＝－１，［０］＝０，［－１．２］＝－２，则在以下四个结论中正确的是（）（Ａ）［ａ］＋［－ａ］＝０．（Ｂ）［ａ］＋［－ａ］等于０或１．（Ｃ）［ａ］＋［－ａ］≠０．（Ｄ）［ａ］＋［－ａ］等于０或－１．１０．Ｏｎ ｔｈｅ ｎｕｍ ｂｅｒ ａｘｉｓ，ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏｐｏｉｎｔｓ Ａａｎｄ Ｂｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｎｕｍ ｂｅｒｓ ７ａｎｄ ｂ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎＡａｎｄ Ｂｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ １０．Ｌｅｔ ｍ＝５－２ｂ，ｔｈｅｎｔｈｅ ｒａｎｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｍｉｓ（）（Ａ）－１＜ｍ＜３９．（Ｂ）－３９＜ｍ＜１．（Ｃ）－２９＜ｍ＜１１．（Ｄ）－１１＜ｍ＜２９．（英汉词典：ｎｕｍｂｅｒ ａｘｉｓ数轴；ｐｏｉｎｔ点；ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｔｏ对应于…；ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ分别地；ｄｉｓｔａｎｃｅ距离；ｌｅｓｓ ｔｈａｎ小于；ｖａｌｕｅ值、数值；ｒａｎｇｅ范围）·９３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版二、填空题１１．１１２－２５６＋３１１２－４１９２０＋５１３０－６４１４２＋７１５６－８７１７２＋９１９０＝．１２．若ｍ＋ｎ－ｐ＝０，则ｍ１ｎ－１ｐ（）＋ｎ１ｍ－１ｐ（）－ｐ１ｍ＋１ｎ（）的值等于．图３１３．图３是一个小区的街道图，Ａ，Ｂ，Ｃ，…，Ｘ，Ｙ，Ｚ是道路交叉的１７个路口，站在任一路口都可以沿直线看到过这个路口的所有街道．现要使岗哨们能看到小区的所有街道，那么，最少要设个岗哨．１４．如果ｍ－１ｍ＝－３，那么ｍ３－１ｍ３＝．１５．１＋２＋３＋４＋５＋…＋２００５＋２００６１－１１００４（）１－１１００５（）１－１１００６（）…１－１２００６（）＝．１６．乒乓球比赛结束后，将若干个乒乓球发给优胜者．取其中的一半加半个发给第一名；取余下的一半加半个发给第二名；又取余下的一半加半个发给第三名；再取余下的一半加半个发给第四名；最后取余下的一半加半个发给第五名，乒乓球正好全部发完．这些乒乓球共有个．１７．有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为２９、２３、２１和１７岁，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是岁．１８．初一（２）班的同学站成一排，他们先自左向右从“１”开始报数，然后又自右向左从“１”开始报数，结果发现两次报数时，报“２０”的两名同学之间（包括这两名同学）恰有１５人，则全班同学共有人．１９．２ ｍ＋２００６＋２ ｍ（ｍ是正整数）的末位数字是．２０．Ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ａ，ｂ，ｃ，ｄ ａｒｅ ａｌｌ ｉｎｔｅｇｅｒｓ，ａｎｄ ｆｏｕｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ（ａ－２ｂ）ｘ＝１，（ｂ－３ｃ）ｙ＝１（ｃ－４ｄ）ｚ＝１，ｗ＋１００＝ｄ ｈａｖｅ ａｌｗａｙｓｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｘ，ｙ，ｚ，ｗ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒｓｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｏｆ ａｉｓ．（英汉词典：ｔｏ ａｓｓｕｍｅ假设；ｉｎｔｅｇｅｒ整数；ｅｑｕａｔｉｏｎ方程；ｓｏｌｕｔｉｏｎ（方程的）解；ｐｏｓｉｔｉｖｅ正的；ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ分别地；ｍｉｎｉｍｕｍ最小值）三、解答题要求：写出推算过程２１．（１）证明：奇数的平方被８除余１．（２）请你进一步证明：２００６不能表示为１０个奇数的平方之和．图４２２．如图４所示，△ＡＢＣ的面积为１，Ｅ是ＡＣ的中点，Ｏ是ＢＥ的中点．连结ＡＯ并延长交ＢＣ于Ｄ，连结ＣＯ并延长ＡＢ于Ｆ．求四边形ＢＤＯＦ的面积．２３．老师带着两名学生到离学校３３千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托车，速度为２５千米／小时．这辆摩托车后座可带乘１名学生，带人后速度为２０千米／小时．学生步行的速度为５千米／小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过３个小时．参考答案一、选择题题号１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０答案Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ 提示１．因为－ａ－２ｂ２＋４＝２－ａｂ２＋４，所以命题①是真命题；因为ａ－ｂ的相反数为－（ａ－ｂ）＝－ａ－（－ｂ），所以命题②的真命题；·０４·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期因为ａｂ的相反数为－ａｂ，（－ａ）（－ｂ）＝ａｂ，又ａｂ≠０，所以－ａｂ≠ａｂ，因此③不是真命题；因为ａｂ≠０，所以ａｂ的倒数为１ａｂ＝１ａ·１ｂ，因此，④是真命题．故选（Ｃ）．２．观察即知，选（Ｃ）．３．因为ｘ（１－２５％）·［ｙ（１－２５％）］２＝２７６４ｘｙ２，所以代数式的值减少了１－２７６４＝３７６４．故选（Ｃ）．４．当ａ＝－５，ｂ＝－４，ｃ＝１，ｄ＝２时，（Ａ）不成立；当ａ＝－５，ｂ＝－４，ｃ＝１，ｄ＝２０时，（Ｄ）不成立；又因为ａ＜ｂ＜０＜ｃ＜ｄ，所以ｄ＋ｃ＞０，①ｄ－ｃ＞０，②－ａ＞０，③－ｂ＞０，④①＋③＋④，得 ｄ＋ｃ－ａ－ｂ＞０，②＋③＋④，得 ｄ－ｃ－ｂ－ａ＞０，即（Ｂ）不正确，（Ｃ）正确．故选（Ｃ）．５．根据三角形内角和定理，并利用等腰三角形两底角相等，得２ｘ＋３０×２＋５０×２＝１８０，解得ｘ＝１０．故选（Ａ）．６．因为ａ，ｂ，ｃ，均为整数，又奇数＋奇数＝偶数；偶数＋偶数＝偶数；奇数－奇数＝偶数；偶数－偶数＝偶数；奇数－偶数＝奇数；偶数－奇数＝奇数；所以当ａ，ｂ，ｃ同奇或同偶时，ｍ为偶数；当ａ，ｂ，ｃ中有两个奇数一个偶数时，ｍ为偶数；当ａ，ｂ，ｃ中有两个偶数一个奇数时，ｍ为偶数；故选（Ｂ）．７．由题意知ｂ既能被４整除，又能被３整除，所以ｂ能被１２整除．又６０能被ｂ整除，所以ｂ＝１２或６０．（１）若ｂ＝１２，则６０÷ｂ＝５，因为（５，４）＝１，（５，３）＝１，所以ａ，ｃ中至少有一个含因数５．若ａ含因数５，则ａ≥２０，又ｃ≥３，所以ａ＋ｂ＋ｃ≥２０＋１２＋３＝３５；若ｃ含因数５，则ｃ≥１５，又ａ≥４，所以ａ＋ｂ＋ｃ≥４＋１２＋１５＝３１，取ａ＝４，ｂ＝１２，ｃ＝１５，能构成三角形．（２）若ｂ＝６０，则ａ＋ｂ＋ｃ＞６０＞３１．综上知，ａ＋ｂ＋ｃ的最小值为３１．故选（Ｂ）．８．从５条竖线中取２条，共有５×４２＝１０（种）取法，从４条横线中取２条，共有４×３２＝６（种）取法．２条竖线和２条横线可组成１个矩形，所以图中的矩形共有１０×６＝６０（个），其中，正方形有４×３＋３×２＋２×１＝２０（个），所以，不是正方形的矩形有６０－２０＝４０（个）．故选（Ａ）．·１４·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版９．当ａ＝１．１时，［ａ］＝１，［－ａ］＝－２，所以（Ａ）、（Ｂ）不成立．当ａ＝１时，［ａ］＝１，［－ａ］＝－１，所以（Ｃ）不成立．当ａ≥０时，ａ可以写成ａ＝［ａ］＋｛ａ｝，而０≤｛ａ｝＜１，－ａ＝－［ａ］－｛ａ｝．如果｛ａ｝＝０，即ａ是正整数，则［－ａ］＝－［ａ］，所以［ａ］＋［－ａ］＝０．如果｛ａ｝＞０，则［－ａ］＝－［ａ］＝－１，所以［ａ］＋［－ａ］＝－１．当ａ＜０时，令ｂ＝－ａ＞０，将上面讨论中的ａ换成ｂ，仍可以得到［ａ］＋［－ａ］等于０或－１．故选（Ｄ）．１０．译文：点Ａ和点Ｂ分别对应于数轴上的两个数７和ｂ，且｜ＡＢ｜＜１０．如果ｍ＝５－２ｂ，那么ｍ的取值范围是（ ）（Ａ）－１＜ｍ＜３９．（Ｂ）－３９＜ｍ＜１．（Ｃ）－２９＜ｍ＜１１．（Ｄ）－１１＜ｍ＜２９．解 由题意知｜ＡＢ｜＝｜ｂ－７｜＜１０，所以－３＜ｂ＜１７，即－２９＜５－２ｂ＜１１．故选（Ｃ）．二、填空题题号１１ １２ １３ １４ １５答案１９１０－３ ４－３６ ４０２６０４２题号１６ １７ １８ １９ ２０答案３１ １８ ５３或２５ ０ ２４３３ 提示１１．原式＝１＋１２＋３－２５６（）＋１１２＋ ５－４１９２０（）＋１３０＋７－６４１４２（）＋１５６＋ ９－８７１７２（）＋１９０＝１＋１２＋１６＋１１２＋１２０＋１３０＋１４２＋１５６＋１７２＋１９０＝１＋１－１２（）＋１２－１３（）＋１３－１４（）＋ １４－１５（）＋…＋１８－１９（）＋１９－１１０（）＝２－１１０＝１－９１０．１２．因为ｍ＋ｎ－ｐ＝０，所以ｍ－ｐ＝－ｎ，ｎ－ｐ＝－ｍ，ｍ＋ｎ＝ｐ，即 ｍ１ｎ－１ｐ（）＋ｎ１ｍ－１ｐ（）－ｐ１ｍ＋１ｎ（）＝ｍｎ－ｍｐ＋ｎｍ－ｎｐ－ｐｍ＋ｐｎ（）＝ｍｎ－ｐｎ（）＋ｎｍ－ｐｍ（）－ｍｐ＋ｎｐ（）＝ｍ－ｐｎ＋ｎ－ｐｍ－ｍ＋ｎｐ＝－１－１－１＝－３．１３．因为ＤＳ，ＡＸ，ＥＹ，ＦＺ是小区中４条彼此平行的街道，守望每条街道都需要１个岗哨，因此，守望这４条彼此平行的街道至少需要４个岗哨．即守望这个小区的所有街道需要安排的岗哨不能少于４个．在Ｄ，Ｎ，Ｙ，Ｆ路口设４个岗哨即可守望小区的所有街道，因此，最少要设４个岗哨．１４．ｍ３－１ｍ２＝ｍ－１ｍ（）ｍ２＋１１ｍ２（）＝－３ ｍ２－２＋１ｍ２＋３（）＝－３ ｍ－１ｍ（）２＋３［］＝－３×１２＝－３６．·２４·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期１５．原式＝（１＋２００６）×１００３１００３２００６＝２００７×２００６＝４０２６０４２．１６．设共有乒乓球ｘ个，则第一名得乒乓球的个数为ｘ２＋１２＝１２（ｘ＋１）；第二名得乒乓球的个数为１２ｘ－ｘ＋１２（）＋１２＝１４（ｘ＋１）；第三名得乒乓球的个数为１２ｘ－ｘ＋１２－ｘ＋１４（）＋１２＝１８（ｘ＋１）；以此类推，第四名得乒乓球的个数为ｘ＋１１６；第五名得ｘ＋１３２．依题意ｘ＋１２＋ｘ＋１４＋ｘ＋１８＋ｘ＋１１６＋ｘ＋１３２＝ｘ，即（ｘ＋１）１２＋１４＋１８＋１１６＋１３２（）＝ｘ．解得ｘ＝３１．１７．设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别是ａ，ｂ，ｃ，ｄ，则有ａ＋ｂ＋ｃ３＋ｄ＝２９，ｂ＋ｃ＋ｄ３＋ａ＝２３，ｃ＋ｄ＋ａ３＋ｂ＝２１，ｄ＋ａ＋ｂ３＋ｃ＝１７．烅烄烆将四个式子相加并化简，得ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝４５，再将上面方程组的每个式子乘以３后分别与（＊）式相减，得ａ＝１２，ｂ＝９，ｃ＝３，ｄ＝２１．由对称性，知甲、乙、丙、丁四人中年龄最大的是２１岁，年龄最小的是３岁．所以最大年龄与最小年龄的差为２１－３＝１８（岁）．１８．有如图５所示的两种情况：图５所以全班共有２０＋２０＋１３＝５３（人），或２０＋（２０－１５）＝２５（人）．１９．因为２ ｍ＋２００６＋２ ｍ＝２ ｍ（２２００６＋１），而２２００６＝（２４）５０１×２２＝１６５０１×４，乘积的个位数字是４，所以２２００６＋１的个位数字是５，又２ ｍ为偶数，所以ｍｍ＋２００６＋２ ｍ的末位数字为０．２０．译文：设ａ，ｂ，ｃ，ｄ均为整数，且关于ｘ，ｙ，ｚ，ｗ的四个方程（ａ－２ｂ）ｘ＝１，（ｂ－３ｃ）ｙ＝１，（ｃ－４ｄ）ｚ＝１，ｗ＋１００＝ｄ的根都是正数，则ａ可能取得的最小值是．解 因为方程（ａ－２ｂ）ｘ＝１的根ｘ＞０，所以ａ－２ｂ＞０，又因为ａ，ｂ均为整数，所以ａ－２ｂ也为整数，即ａ－２ｂ≥１，ａ≥２ｂ＋１．同理可得ｂ≥３ｃ＋１，ｃ≥４ｄ＋１，ｄ≥１０１．所以ａ≥２ｂ＋１≥２（３ｃ＋１）＋１＝６ｃ＋３≥６（４ｄ＋１）＋３＝２４ｄ＋９≥２４×１０１＋９＝２４３３，故ａ可能取得的最小值为２４３３．三、解答题２１．（１）设ｎ为任意整数，则２ｎ＋１为任意奇数．那么（２ｎ＋１）２＝２ｎ２＋４ｎ＋１＝４ｎ（ｎ＋１）＋１．由于ｎ（ｎ＋１）能被２整除，·３４·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版所以４ｎ（ｎ＋１）能被８整除，所以４ｎ（ｎ＋１）＋１被８除余１．因此，奇数的平方被８除余１．（２）假设２００６可以表示为１０个奇数的平方之和，也就是ｘ２１＋ｘ２２＋ｘ２３＋…＋ｘ２１０＝２００６，（其中ｘ１，ｘ２，ｘ３，…，ｘ１０都是奇数）等式左边被８除余２，而２００６被８除余６．矛盾！因此，２００６不能表示为１０个奇数的平方之和．２２．设Ｓ△ＢＤＦ＝ｘ，Ｓ△ＢＯＤ＝ｙ．因为Ｅ是ＡＣ的中点，Ｏ是ＢＥ的中点，且Ｓ△ＡＢＣ＝１，所以Ｓ△ＡＯＥ＝Ｓ△ＣＯＥ＝Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ△ＣＯＢ＝１４．则Ｓ△ＡＯＦ＝１４－ｘ，Ｓ△ＡＣＦ＝３４－ｘ，Ｓ△ＢＣＦ＝１４＋ｘ．由Ｓ△ＡＯＦＳ△ＢＯＦ＝ＡＦＢＦ＝Ｓ△ＡＣＦＳ△ＢＣＦ，得１４－ｘｘ＝３４－ｘ１４＋ｘ，即１１６－ｘ２＝３４ｘ－ｘ２，得ｘ＝１１２．又Ｓ△ＣＯＤ＝１４－ｙ，Ｓ△ＡＣＤ＝３４－ｙ，Ｓ△ＡＢＤ＝１４＋ｙ．由Ｓ△ＢＯＤＳ△ＣＯＤ＝ＢＤＣＤ＝Ｓ△ＡＢＤＳ△ＡＣＤ，得ｙ１４－ｙ＝１４＋ｙ３４－ｙ，即１１６－ｙ２＝３４ｙ－ｙ２，得ｙ＝１１２．所以Ｓ四边形ＢＤＯＦ＝ｘ＋ｙ＝１１２＋１１２＝１６．２３．要使师生二人都到达博物馆的时间尽可能短，可设计方案如下：设学生为甲、乙二人．乙先步行，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师带乘乙，与步行的甲同时到达博物馆．如果６所示，设老师带甲乘摩托车行驶了ｘ千米，用了ｘ２０小时，比乙多行了ｘ２０×（２０－５）＝３４ｘ（千米）．图６这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了３４ｘ÷（２５＋５）＝ｘ４０（小时）．乙遇到老师时，已经步行了ｘ２０＋ｘ４０（）×５＝３８ｘ（千米），离博物馆还有３３－３８ｘ（千米）．要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有ｘ＝３３－３８ｘ，解得ｘ＝２４．即甲先乘摩托车行驶２４千米，用了１．２小时，再步行９千米，用了１．８小时，共计３小时．因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过３个小时．·４４·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期。
小学四年级希望杯历年数学竞赛试题与答案1-14届(最新全套完整版)
第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。
2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。
3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。
4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。
5．如果规定a※b ＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是。
6．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是，温差最大的景区是。
7．AOB是三角形的纸，OA＝OB，图中的虚线是折痕，至少折次就可以得到8个相同的三角形。
8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有，它们的和等于。
9．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。
这时四个组的书一样多。
这说明甲组原来有书本。
10．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有个，小朋友共组。
11．在 a＝20032003×2002和 b＝20022003×2003中，较大的数是，它比较小的数大。
12．小明的家离学校2千米，小光的家离学校3千米，小明和小光的家相距千米。
13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。
甲说：“我会开。
”乙说：“我不会开。
”丙说：“甲不会开。
”三人的话只有一句是真话。
会开车的是。
14．为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。
回校后，小明补给小光28元。
小明、小光各带了元，每本书价元。
第13届“希望杯”全国数学邀请赛高一第一试
第十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一 第1试一．选择题1． 已知}3|{},4|{2<=>=x x N x x M ，则下列等式中正确的是---------------------------（ ） (A))}2|{-≥=x x N M (B)R N M = (C)}3|{<=x x N M (D)R N M =2．设x x g -=1)(，且当1≠x 时，x x x g f -=1)]([，则)21(f 等于-------------------------（ ） (A)2 (B)1 (C)31 (D)0 3．设)()(),()(,3)()(),5()(4321x f x f x f x f x f x f x f x f --=-=-=+=，则下列表述中正确的是---------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）(A))(1x f 的图象是由)(x f 的图象往右平移5个单位得到(B))(2x f 的图象是由)(x f 的图象往上平移3个单位得到(C))(3x f 是偶函数(D))(4x f 的图象是将)(x f 的图象绕原点旋转180得到4．已知x x x f 2001)(2-=，若n m n f m f ≠=),()(，则)(n m f +等于-------------------（ ） (A)2001 (B)2001- (C)0 (D)1000.55．已知数列}{n a 满足11,211+-==+n n a a a ，则2001a 等于-------------------------------------（ ） (A)23- (B)31- (C)1 (D)2 6．命题:P 有些三角形是直角三角形，则命题P 为-------------------------------------------------（ ）(A)有些三角形不是直角三角形 (B)有些三角形是锐角或钝角三角形(C)所有三角形都不是直角三角形 (D)不是三角形就不是直角三角形7．Let f be a function such that )()()(y f x f y x f ⋅=+ for any real numbers x and y. If161)1(=f ,then the value of )1(-f is--------------------------------------------------------------------（ ） (A)16 (B)161 (C)161- (D)16- 8．设)sin(cos )(),cos(sin )(x xg x x f ==，则（ ）(A))(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数 (B) )(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数(C) )(x f 为偶函数，)(x g 为偶函数 (D) )(x f 为奇函数，)(x g 为奇函数9．已知集合}032|{},0)152(log |{2223≤--=>--=a ax x x B x x x A ，若∅≠B A ，则实数a 的取值范围是（ ） (A))0,34(- (B)),34()4,(+∞--∞ (C)),2()34,(+∞--∞ (D)),2()0,34(+∞- 10．在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ）(A)若向量),(y x =，向量),(x y -=，则⊥(B)四边形ABCD 是菱形的充要条件是=且||||=(C)点G 是ABC ∆的重心，则0=++(D) ABC ∆中，和的夹角等于A - 180二、A 组填空题11．公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+成立的条件是_________________________. 12．若2523παπ<<，且32sin =α，则α2在第_____________象限. 13．函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+-≥+=1,111,1x x x x y 的反函数是_______________________________. 14．已知数列}{n a 中，131+=+n n n a a a ，且719=a ，则=2002a _____________. 15．不等式x x x 13512≤+的解集为________________________________.16．已知函数5)3(42)(2+-+=x a ax x f 是在区间)3,(-∞上的减函数，则a 的取值范围是________________________.17．在ABC ∆中，AB CH S AB ABC ⊥==∆,22,3于H ，HB AH 2=，则与B ∠的两边相切且圆心在CH 上的圆的半径等于___________________.18．使不等式22115+>-+x x x 成立的x 的正整数值是__________________. 19．Let a and b the two real roots of the quadratic equation 0)43()1(22=+++--k k x k x ,where k is some real number. The largest possible value of 22b a + is ________________________.20．用)(n S 表示自然数n 的数字和，例如18909)909(,101)10(=++==+=S S ，若对任何N n ∈，都有x n S n ≠+)(，满足这个条件的最大的两位数x 的值是_______________.三、B 组填空题21．若等比数列}{n a 是递增数列，则首项1a 及公比q 应满足的条件是_______________.22．函数)1,0()(≠>=a a a x f x 在区间]2,1[上的最大值比最小值大3a ，则=a ________. 23．已知函数R x x x x f y ∈++-==,182)(2，对于R t ∈，在区间]2,[+t t 上，将函数)(x f 的最大值表示为t 的函数)(t g ，则=)(t g ________________________.24．设函数x y 6.03-=与函数x y 6.0=的图象交于点),(111y x P ，对任意N n ∈且1>n ，将过点)3,0(和点)0,(1-n x 的直线与直线x y 6.0=的交点的坐标记为),(n n n y x P ，则点321,,P P P 的坐标依次为__________________________________，点2002P 的坐标为_______.25．若抛物线c bx ax y ++=2过点)4,0(-，且与直线x y =的交点A 、B 关于直线x y -=对称，又24||=AB ，则=a _________，=b ___________，=c _________________.。
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2018年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)
第一试
一、选择题
1．设S ＝{(x ，y )|xy ＞0}，T ＝{(x ，y )|x ＞0且y ＞0}，则( )
A 、S ∪T ＝S
B 、S ∪T ＝T
C 、S ∩T ＝S
D 、S ∩T ＝Φ
2．若f (x )＝1
x
的定义域为A ，g (x )＝f (x ＋1)－f (x )的定义域为B ，那么( )
A 、A ∪
B ＝B
B 、A ≠⊃B
C 、A ⊆B
D 、A ∩B ＝Φ
3．已知ta nα＞1，且sinα＋cosα＜0，则( )
A 、cosα＞0
B 、cosα＜0
C 、cosα＝0
D 、cosα符号不确定
4．设a ＞0，a ≠1，若y ＝a x 的反函数的图像经过点(
22，－1
4
)，则a ＝( ) A 、16 B 、4 C 、2 D 、 2
5．已知a ≠0，函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像关于原点对称的充要条件是( )
A 、b ＝0
B 、c ＝0
C 、d ＝0
D 、b ＝d ＝0 6．若△ABC 三条边长依次为a ＝sin 34，b ＝cos 34，c ＝1，则三内角A 、B 、C 的大小顺序为( )
A 、A ＜
B ＜
C B 、B ＜A ＜C C 、C ＜B ＜A
D 、C ＜A ＜B
7．若实数x 满足log 2x ＝3＋2cosθ，则|x －2|＋|x －33|等于( )
A 、35－2x
B 、31
C 、2x －35
D 、2x －35或35－2x 8．区间[0，m ]在映射f :x →2x ＋m 所得的象集区间为[a ，b ]，若区间[a ，b ]的长度比区间[0，m ]的长度达5，则m ＝( )
A 、5
B 、10
C 、2.5
D 、1
9．设数列{a n }(a n ＞0)的前n 项和是S n ，且a n 与2的算术平均值等于S n 与2的几何平均值，则{a n }的通项为( )
A 、a n ＝n 2＋n
B 、a n ＝n 2－n
C 、a n ＝3n －1
D 、a n ＝4n －2 10．函数f (x )＝－9x 2－6ax ＋2a －a 2在区间[－13，1
3
]上的最大值为－3，则a 的值为( )
A 、－32
B 、6＋2或－ 2
C 、6＋2或2－ 6
D 、2－6或－ 2
二、A 组填空题
11．已知定义在非零自然数集上的函数f (n )＝⎩⎨⎧n ＋2 n ≤2005
f (f (n －4))，n ＞2005
，则当n ≤2018时，n －f (n )
＝____________；当2018＜n ≤2018时，n －f (n )＝____________. 12．若sinαcosβ＝1，则cosαsinβ＝____________. 13．化简
sin 7π
8
＋sin 3π
8
的结果为______________. 14．There are 2018 balls lined up in a row . There are coloured to be red ，white ，blue and black in the following order :5 red ，4 white ，1 blue ，3 black ，5 red ，4 white ，1 blue ，3 black …….Then the last ball is coloured to be _______________.
(英汉词典：to lined up in a row 排列成一行；to colour 染色；order 顺序、次序)
15．已知集合A ＝{x |x ＝3n ，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝4n ＋1，n ∈N *}，将A ∩B 的元素按照从小到大排列成一个数列{a n }，则a 3＝_____________；数列{a n }的通项公式为_______________. 16．Suppose that the graph of quadratic function f (x ) passes through the origin ，and there holds f (x ＋2)＝f (x )＋x ＋2 for all x ∈R . Then the expression of f (x ) is _________.
(英汉词典：graph 图像、图形；quadratic 二次的、平方的；origin 原点；to hold 成立；expression 表达式)
17．tan 24°＋3tan 24°tan 36°＋tan 36°＝______________.
18．计算：12－22＋32－42＋……＋20182－20182＝______________.
19．王先生乘坐一辆出租车前往首都国际机场，该车起价10元(3公里以内)，3公里以外每行驶0.6公里增加1元，当王先生到达机场时，计价器显示应付费34元，设王先生乘车路程为s 公里，则s 的取值范围是______________.
20．已知f (x )＝⎩
⎨⎧2x ＋1，(1
2≤x ＜0)
e x ＋e
－x 2
，(x ≥0)，则f －
1(x )＝___________________.
三、B 组填空题 21．设f (x )＝x 2＋mx ＋1，若对于任意的x ∈R ，f (x )＞0恒成立，则m 的取值范围是__________. 22．试写出不定方程x 2－2y 2＝1的两组整数解为______________，______________. 23．函数y ＝sin [2(x －π
3)＋Φ]是偶函数，且0＜Φ＜π，则Φ＝____________;其单调减区间是
_____________________.
24．数列1，2，3，1，2，3，……的通项公式a n ＝_____________，前n 项和S n ＝______________.(分别用一个式子表示)
25．已知数列{a n }的前10项依次为12，13，23，14，24，34，15，25，35，4
5，那么这个数列的第2018
项是_____________，它的前2018项和为________________.
参考答案选择题：ABBBDABADB。