梁的内力剪力和弯矩
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梁的内力图—剪力图和弯矩图(23)
6kN
1
1
A 2mΒιβλιοθήκη 6kN m2 q 2kN m 3 4
5
B
2
34
5
C
3m
3m
FQ1 6kN M1 6 2 12kNm FQ2 6 13 7kN M 2 6 2 12kNm
FA 13kN
问题：最大内力的数
FB 5kN
FQ3 6 13 23 1kN
变化的（有的大、有的小）。
一、 梁的内力图—剪力图和弯矩图
1 、剪力方程和弯矩方程
由前面的知识可知：梁的剪力和弯矩是随截面位置
变化而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点取 在梁左端，向右为正向, 坐标x表示截面位置，则FQ和M
就随x的变化而变化，V和M就是x的函数，这个函数式就 叫剪力方程和弯矩方程。
南充职业技术学院土木工程系建筑力学多媒体课件
任课 陈德先 教师
授课 12造价与建 班级 筑
授课 时间
2013/
学 时
4
课 剪力图和弯矩图 题
课型 新授课
教学 方法
讲练结合法
教学 熟练列出剪力方程和弯矩方程、并绘制剪力图和弯矩图； 目的 利用载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系绘制剪力图和弯
矩图.
教学 剪力图和弯矩图；剪力、弯矩和荷载集度的微分关系及其 重点 应用.
l，求梁剪力、弯矩方程的微分，并画剪力、弯矩图。
q
解 :1.建立剪力、弯矩方程
A x
B
l
FQ x
ql ql 2/2
FQ (x) qx M (x) qx x qx2
22
2.对剪力、弯矩方程取微分
dM (x) dx
梁的内力剪力和弯矩
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
例 计算横截面E、横截面A+与 D-的剪力与弯矩。
FAy 2F FBy 3F
解：
F
y
0, FSE FAy 0
FSE FAy 2F
l M E M e FAy 0 2
l M 0 , M F E Ay M e 0 C 2
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
4.2.1 截面法求梁的内力
FS－剪力 M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
4.2 梁的内力——剪力和弯矩 符合的规定：
使微段沿顺时针方 向转动的剪力为正
使微段弯曲呈凹 形的弯矩为正
使横截面顶部受 压的弯矩为正
4.2 梁的内力——剪力和弯矩
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.1 梁的受力与变形特点 1. 受力特征 外力的作用线垂直于杆轴线（即横向力）或外力 偶位于轴线平面内。 2. 变形特征 变形前为直线的轴线，变形后成为曲线。这种变 形形式称为弯曲。 凡是以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.2 平面弯矩的概念 工程中常见梁的横截面 往往至少有一根纵向对称轴， 该对称轴与梁轴线组成一全 梁的纵向对称面，当梁上所 有外力（包括荷载和反力）
均作用在此纵向对称面内时，
梁轴线变形后的曲线也在此 纵向对称面内，这种弯曲称
为平面弯曲。
4.1 工程实际中的受弯杆
4.1.3 梁的简化——计算简图的选取
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁，梁的长度称为跨度。。
1.弯曲变形和平面弯曲 A B
q
A B
4.1 工程实际中的受弯杆
梁弯曲时横截面上的内力剪力与弯矩
力和弯矩有突变，因此，应用截面法求任一指定截面上的剪 力和弯矩时，截面不能取在集中力或集中力偶的作用截面处。
第二节 梁弯曲时横截面上的内力--剪力和弯矩
一、用截面法求梁的内力
mALeabharlann BxmFl
a)
M
FB
M
B
F
b)
如图(7-3a)所示，为了求出
x FQ F c)
FQ′
M′
l-x d)
图7-3
梁横截面m-m上的内力，在 m-
FB
m
MB 处将梁断开，取左段梁为研究对
象，由平衡方程可求得
∑Fy=0 F – FQ =0
梁各指定截面的剪力和弯矩。
解 (1)求梁支座的约束力
取整个梁为研究对象，画受力图列平衡方程求解得
1 23 45
M
D
1
A
C
FAM 5 C
B
a △ △ C△ △
FB
2a
2a 2a
图7-5
∑MB( F )=0
-FA×4a-MC+q×2a×5a=0
7qa
得
FA= 4
∑Fy=0 FB+FA-q×2a=0
qa
3-3截面：取3-3截面左段梁计算，得
FQ3
q 2a
FA
2qa
7qa 4
qa 4
M 3 q 2a a 2qa2
4-4截面：取4-4截面右段梁计算，得
FQ4
FB
qa 4
M
4
FB
2a M
C
qa2 2
3qa2
5qa2 2
5-5截面：取5-5截面右段梁计算，得
FQ5
FB
qa 4
第二节 梁弯曲时横截面上的内力--剪力和弯矩
一、用截面法求梁的内力
mALeabharlann BxmFl
a)
M
FB
M
B
F
b)
如图(7-3a)所示，为了求出
x FQ F c)
FQ′
M′
l-x d)
图7-3
梁横截面m-m上的内力，在 m-
FB
m
MB 处将梁断开，取左段梁为研究对
象，由平衡方程可求得
∑Fy=0 F – FQ =0
梁各指定截面的剪力和弯矩。
解 (1)求梁支座的约束力
取整个梁为研究对象，画受力图列平衡方程求解得
1 23 45
M
D
1
A
C
FAM 5 C
B
a △ △ C△ △
FB
2a
2a 2a
图7-5
∑MB( F )=0
-FA×4a-MC+q×2a×5a=0
7qa
得
FA= 4
∑Fy=0 FB+FA-q×2a=0
qa
3-3截面：取3-3截面左段梁计算，得
FQ3
q 2a
FA
2qa
7qa 4
qa 4
M 3 q 2a a 2qa2
4-4截面：取4-4截面右段梁计算，得
FQ4
FB
qa 4
M
4
FB
2a M
C
qa2 2
3qa2
5qa2 2
5-5截面：取5-5截面右段梁计算，得
FQ5
FB
qa 4
梁的内力——剪力和弯矩
上的内力来代替，如图4-7（b）所示。根据静力平衡条件，在
截面m-m上必然存在着一个沿截面方向的内力FS。由平衡方程
∑Y=0
FA-FS=0
得 FS=FA
FS称为剪力，它是横截面上分布内力系在截面方向的合力。
由图4-7（b）中可以看出，剪力FS和支座反力 FA组成了一个力偶，因而，在横截面m-m上还 必然存在着一个内力偶M与之平衡，由平衡方
∑Y=0 FB-FS3=0
∑MO=0 FB×1m-M3=0
FS3=-FB=-10kN
M3=FB×1m=10kN·m
计算结果明，FS3的实际方向与假设的相反，为 负剪力；M3为正弯矩。 从上述例题中可以总结出如下规律：
1） 梁的任一横截面上的剪力，在数值上等于 该截面左边（或右边）梁上所有外力在截面方 向投影的代数和。截面左边梁上向上的外力或 右边梁上向下的外力在该截面方向上的投影为 正，反之为负。
图4-7
为了使无论取左段梁还是右段梁得到的同一截面上的FS和M不仅 大小相等，而且正负号一致，需要根据梁的变形来规定FS和M的 符号。
1 剪力的符号规定
梁截面上的剪力对所取梁段内任一点的矩为顺时针方向转动时为 正，反之为负，如图4-8（a）所示。
2 弯矩的符号规定 梁截面上的弯矩使所取梁段上部受压、下部受拉时为正，反之为 负，如图4-8（b）所示。 根据上述正负号的规定，在图4-7（b）、（c）两种情况中，横 截面m-m上的剪力FS和弯矩M均为正。
程
∑MO=0
M-FAx=0
得 M=FAx
M称为弯矩，它是横截面上分布内力系的合力
偶矩。
1.2剪力和弯矩的符号规定
在上面的讨论中，如果取右段梁为研究对象，同样也可求得横截 面m-m上的剪力FS和弯矩M，如图4-7（c）所示。但是，根据 力的作用与反作用定律，取左段梁与右段梁作为研究对象求得的 剪力FS和弯矩M虽然大小相等，但方向相反。
梁的内力图2-2-3-1
注：最后利用规律3、4、5校核 规律3 规律
例： 画出 V图和 M 图。 图和 解：1、求反力 由∑MA= 0，FB= 148 kN. ， ∑MB= 0，FA= 72 kN. ， 2、判断各段V、M图形状 判断各段V 分段 q V M AC q=0 水平线 斜直线 CB q=c＜0 ＜ 下斜直线 下凸曲线 下凸曲线 BD q=c＜0 ＜ 下斜直线 下凸曲线 下凸曲线 A FA
0
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 分段建立方程， 分段建立方程，依方程而作图。
0 x x
M
二 、列方程法画内力图（基本方法） 列方程法画内力图（基本方法） 列方程法画内力图 例：简支梁受均布荷载作用，如图示， 简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1 、求支座反力 (利用结构对称 利用结构对称 性简化计算； 性简化计算；悬臂结构可不求反力）
2
、剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标， 以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直 于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标， 于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘 制表示V(x) M(x)的图象 V(x)和 的图象。 制表示V(x)和M(x)的图象。这种图象分别称为 剪力图和弯矩图，简称V图和M 剪力图和弯矩图，简称V图和M图。 绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧， 绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧， 负号的剪力画在x轴的下侧；正弯矩画在x 负号的剪力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下 负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受 侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受 拉的一侧。 拉的一侧。 V
A FA V
(kN)
1
平面弯曲—梁的内力(建筑力学)
∑Fy=0 FQ1 ＋ FP=0 FQ1=－FP =－100kN (负剪力)
∑M1=0 M1＋FP×a=0 M1=－FP a= －100×1.5 =－150kN·m (负弯矩)
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩 ∑Fy=0 －FQ2－FP＋FAy =0 FQ2=25kN (正) ∑M2=0 M2＋FP×a=0 M2=－150kN·m (负)
弯曲内力
利用截面法求内力时应注意以下几点： １）为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。 ２）作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知 的剪力和弯矩通常均按正方向假定。 ３）在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作 隔离体上的外力来看待。因此，平衡方程中剪力、弯矩的 正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身 的正、负号相混淆。
=－15×1×2.5－30×3 =－127.5kN·m
计算结果为负，说明1-1截 面上弯矩的实际方向与图中 假定的方向相反，即1-1截面 上的弯矩为负值。
弯曲内力
（2）求2-2截面上的剪力和弯矩
取2-2截面的右侧为隔离体。
∑Fy =0 FQ2－FP－q×1=0 FQ2= FP＋q×1 =30＋15×1=45kN (正剪力)
弯曲内力
例10-3 直接用规律求图示简支梁指定截面上的剪力和弯矩。 已知：M=8kN·m，q=2kN/m
解 （1）求支座反力 FAy=1kN(↓) FBy=5kN(↑)
（2）求1-1截面上的剪力和弯矩。
取该截面的左侧为隔离体 FQ1=－FAy =－1kN
M1=8kN·m
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩。 取该截面的右侧为隔离体
FQ2=q×2－Fby =(2×2－5)kN=－1kN
∑M1=0 M1＋FP×a=0 M1=－FP a= －100×1.5 =－150kN·m (负弯矩)
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩 ∑Fy=0 －FQ2－FP＋FAy =0 FQ2=25kN (正) ∑M2=0 M2＋FP×a=0 M2=－150kN·m (负)
弯曲内力
利用截面法求内力时应注意以下几点： １）为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。 ２）作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知 的剪力和弯矩通常均按正方向假定。 ３）在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作 隔离体上的外力来看待。因此，平衡方程中剪力、弯矩的 正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身 的正、负号相混淆。
=－15×1×2.5－30×3 =－127.5kN·m
计算结果为负，说明1-1截 面上弯矩的实际方向与图中 假定的方向相反，即1-1截面 上的弯矩为负值。
弯曲内力
（2）求2-2截面上的剪力和弯矩
取2-2截面的右侧为隔离体。
∑Fy =0 FQ2－FP－q×1=0 FQ2= FP＋q×1 =30＋15×1=45kN (正剪力)
弯曲内力
例10-3 直接用规律求图示简支梁指定截面上的剪力和弯矩。 已知：M=8kN·m，q=2kN/m
解 （1）求支座反力 FAy=1kN(↓) FBy=5kN(↑)
（2）求1-1截面上的剪力和弯矩。
取该截面的左侧为隔离体 FQ1=－FAy =－1kN
M1=8kN·m
弯曲内力
（3）求2-2截面上的剪力和弯矩。 取该截面的右侧为隔离体
FQ2=q×2－Fby =(2×2－5)kN=－1kN
工程力学梁的内力及其求法
取梁分析，受力如图b
? MC ? 0
解得
? MB ? 0
FB
l
?
F
l 2
?
0
F FB ? ? 2
?? ?
3l , ? FC l ? F 2 ? 0
F (a) A
l/2
C l/2
F (b) A
C FC
D
B
l/2
B FB
解得
FC
?
3F 2
（2）计算D截面上的剪力 FSD和弯矩MD
? Fy ? 0 , FC ? F ? FSD ? 0
F
(a) A
CLeabharlann DB得FSD
?
FC
?
F
?
F 2
l/2
l/2
l/2
对截面D的形心O取矩
F (c) A
C
D
F SD MD
? MO ? 0,
?
FC
l 2
?
Fl
?
MD
?
0
FC
MD D
B
F SD
FB
l Fl
得
MD
? ? Fl ? FC
?? 2
4
（上侧纤维受拉）
简便法：
(1) 横截面上的剪力，在数值上等于该截面任意一侧（左侧或右侧）脱离体 上所有外力沿该截面投影的代数和。如果外力对截面有顺时针转动的趋势则为 正，反之为负。
§9-2 梁的内力及其求法
一、梁的剪力和弯矩
(a) A FA
F m
m x
l
(b) A
FS M
FA F
(c)
M
FS
梁在竖向荷载作用下，其横截面上的内力有剪 力和弯矩。
梁的内力 剪力弯矩方程 剪力弯矩图
q=0 FS M q >0 q<0 当q<0,
(3)若某截面处FS=0
dF S dx
q(x)
dM dx
FS
d M dx
2
2
q(x)
则该截面上M取极值：当q>0, M取到极小值 当q<0, M取到极大值 （4）集中力F作用处，FS突变，跳跃值为F，M有尖点； q>0 q<0
集中力偶M作用处，M突变，跳跃值为M， FS不受影响。 F M
例题
例 题 2
2qa
A
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
qa2 q
B C
解： 1.求约束力
FB q 2 a a 2 qa 3 a qa 2a 7 2 qa ( )
2
D
a
3 2 qa
FB a
a
a 2
FD
F D 4 qa
7 2
qa
1 2
qa ( )
D
FD
FD
F Ax 1 2 2 ( kN )( )
A
FAx
FAy
2m
F Ay 5 3 2 kN ( )
例题
例 题 4
5kN B
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
4kN· m C
2.作内力图 D 3kN 轴力图： AB段 F N 2 kN
1m
1m
(F S )
1 qa
2
2.作内力图
1 2 qa
M
7 2
1 4 qa
2
B
2 qa
2
2qa (M)
qa
8
(3)若某截面处FS=0
dF S dx
q(x)
dM dx
FS
d M dx
2
2
q(x)
则该截面上M取极值：当q>0, M取到极小值 当q<0, M取到极大值 （4）集中力F作用处，FS突变，跳跃值为F，M有尖点； q>0 q<0
集中力偶M作用处，M突变，跳跃值为M， FS不受影响。 F M
例题
例 题 2
2qa
A
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
qa2 q
B C
解： 1.求约束力
FB q 2 a a 2 qa 3 a qa 2a 7 2 qa ( )
2
D
a
3 2 qa
FB a
a
a 2
FD
F D 4 qa
7 2
qa
1 2
qa ( )
D
FD
FD
F Ax 1 2 2 ( kN )( )
A
FAx
FAy
2m
F Ay 5 3 2 kN ( )
例题
例 题 4
5kN B
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
4kN· m C
2.作内力图 D 3kN 轴力图： AB段 F N 2 kN
1m
1m
(F S )
1 qa
2
2.作内力图
1 2 qa
M
7 2
1 4 qa
2
B
2 qa
2
2qa (M)
qa
8
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XA MA
A
YA
4.1.4 梁的基本形式
静定梁：仅由静力平衡条件可唯一确定梁的全部 支反力和内力。
①简支梁 (simple supported beam)
②悬臂梁 (cantilever beam)
③外伸梁(overhanging beam)
§4-2 梁的内力—剪力和弯矩
4.2.1 截面法求梁的内力
M
Q
RB
内力的正负规定:
①剪力Q(shear): 绕研究对象顺时针转为正 （使之左上右下错动）；反之为负。
Q(+)
Q(–)
Q(+)
Q(–)
②弯矩M (moment)：使梁变成凹形的为正弯矩；使 梁变成凸形的为负弯矩。或者说：使梁上 侧纤维受压，下侧纤维受拉为正。
M(+)
M(+)
M(–)
M(–)
[例4-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。
ql 1
2q
解：1-1截面:
Fy 0: Q1 ql
1a ql
2b
MC 0 : M1 qlx1
O M1 x1 Q1
2-2截面:
Fy 0 :
Q2 qx2 a ql
mO 0 :
ql
x2
O M2 Q2
qlx2
M2
1 2
q( x2
a)2
0
M2
1 2
q( x2
a)2
qlx2
4.1.4 直接法求梁的内力
口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。
11
例题 4-2
计算1-1,2-2截面的剪力和弯矩。
注：若求得的支反力为负 值，则需按实际方向画出！
解：计算支反力
11:FA 50kN FB 10kN
FA
FB
Q1 (20 50 10 0.5)kN
25kN
M1 (201.5 50 0.5 10 0.5 0.25)kN m 6.25kN m
RB (2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
CB两段考虑，以A为原点。
M(x) RA x Q(x)
AC段：
Q(x)
RA
Fb l
0
x
a
RA
x Fb /l
F
M(x)
M(x)
RA
x
Fb l
x0
x
a
Q(x)
CB段：
Q( x)
RA
F
l
a
x
l
Q
+
-
M(x)
RA
x
Fx
a
Fa l
l
xa
x
l
Fa /l (3)绘制剪力图、弯矩图：
剪力方程(equation of shearing force) ： Q=Q（x） 弯矩方程(equation of bending moment) ：M=M（x）
2. 剪力图(diagram of shearing force)和弯矩图(diagram of
bending moment)：表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形。
M
+
在集中力F作用点处，Q图
Fab /l
发生突变，M图出现折点！
A
mC
B
x
RA
a
b RB
l
解：(1)计算支反力：
MA 0 : RB m / l MB 0 : RA m / l
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
M(x)
CB两段考虑，以A为原点。
RA RA
x Q(x) m
x
M(x) Q(x)
Q
计算步骤：
x
(1)确定支座反力；
(2)分段建立剪力、弯矩方程；
x
(3)作剪力图、弯矩图。
M
（弯矩图画在梁受拉的一侧！）
[例4-3]q 求图示简支梁的内力方程并画内力图。
A
RA
x l
B 解:(1)计算支反力：以整梁为
研究对象
RB
q
对称 ∴RA RB ql / 2 ()
M(x) RA x Q(x)
22:
QQ22(（ 2100 50101001..55）)kNkN 15kN15kN
MM2
2
(2（0120.505.051.05 .2150
11.500.705.5）20k)kNN
mm
6.265.k2N5kmN m（可用右段进行验证!）
12
（与保留左端求得结果一致）
§4-3 剪力图与弯矩图
1. 内力方程：
ql /2 + Q
ql /2
(2)建立剪力、弯矩方程：
∑Fy 0：
Q(x) ql－qx0 x l
2
∑MC
0：M (
x)
ql 2
x
q 2
x 2 0
x
l
M +
ql 2/8
(3)绘制剪力图、弯矩图
在Q=0处，M取得最大值。
F
解:(1)计算支反力：
A
B
RA
C
x a
b
l
RA Fb / l RB Fa / l ()
第四章 梁的内力—剪力和弯矩
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5
工程实际中的受弯杆 梁的内力—剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 荷载、剪力和弯矩间的关系 用叠加原理作剪力图和弯矩图
4.1 工程实际中的受弯杆
2
4.1.1 梁的受力与变形特点
受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。 变形特点：原为直线的轴线变为曲线。 梁(beam)——以弯曲变形为主的构件。
a
F11
m
例：求截面1-1上的内力。 A
B
解：(1)确定支反力RA和RB
RA
x1
(2)取左段梁为脱离体：
RB
F1
Fy 0 : RA F1 Q 0
CM
Q RA F1
RA
MC 0:
M F1( x a) RA x 0
M RA x F1( x a)
x
Q
对截面形心C取矩！
m
二、载荷简化
1. 集中力(N，kN)
P
2. 集中力偶(Nm， kNm)
m
m
q
3. 分布载荷(N/m，kN/m)
三、 支座简化
①固定铰支座（fixed support） ：2个约束
②可动铰支座(hinge support） ： 1个约束
A
YA
A
A
A
XA
A
A
YA
③固定端（fixed-end support）：3个约束
4.1.2 平面弯曲的概念
P
q
m
对称轴 (symmetrical axis)
杆件轴线
纵向对称面
平面弯曲(plane bending)：当所有外力(或者外力的 合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内 弯曲成一条平面曲线。
4.1.3 梁的简化—计算简图的选取 计算简图
—表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。 一、梁本身的简化：以轴线代替梁，长度称为跨度。
Q Fi
i
M Mi
i
(1) 某横截面上的剪力Fs，在数值上等于该横截面左侧
或者右侧梁上外力(不包括力偶）的代数和。该横截面 左侧梁上的外力向上取正值，向下取负值；该横截面右 侧梁上的外力向上取负值，向下取正值。
(2) 某横截面上的弯矩M，在数值上等于该横截面左侧 或者右侧梁上外力对该横截面形心取矩的代数和。该横 截面左侧梁上的外力对截面形心取矩顺时针为正值，逆 时针为负值；该横截面右侧梁上的外力对截面形心取矩 逆时针为正值，顺时针为负值。
A
YA
4.1.4 梁的基本形式
静定梁：仅由静力平衡条件可唯一确定梁的全部 支反力和内力。
①简支梁 (simple supported beam)
②悬臂梁 (cantilever beam)
③外伸梁(overhanging beam)
§4-2 梁的内力—剪力和弯矩
4.2.1 截面法求梁的内力
M
Q
RB
内力的正负规定:
①剪力Q(shear): 绕研究对象顺时针转为正 （使之左上右下错动）；反之为负。
Q(+)
Q(–)
Q(+)
Q(–)
②弯矩M (moment)：使梁变成凹形的为正弯矩；使 梁变成凸形的为负弯矩。或者说：使梁上 侧纤维受压，下侧纤维受拉为正。
M(+)
M(+)
M(–)
M(–)
[例4-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。
ql 1
2q
解：1-1截面:
Fy 0: Q1 ql
1a ql
2b
MC 0 : M1 qlx1
O M1 x1 Q1
2-2截面:
Fy 0 :
Q2 qx2 a ql
mO 0 :
ql
x2
O M2 Q2
qlx2
M2
1 2
q( x2
a)2
0
M2
1 2
q( x2
a)2
qlx2
4.1.4 直接法求梁的内力
口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。
11
例题 4-2
计算1-1,2-2截面的剪力和弯矩。
注：若求得的支反力为负 值，则需按实际方向画出！
解：计算支反力
11:FA 50kN FB 10kN
FA
FB
Q1 (20 50 10 0.5)kN
25kN
M1 (201.5 50 0.5 10 0.5 0.25)kN m 6.25kN m
RB (2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
CB两段考虑，以A为原点。
M(x) RA x Q(x)
AC段：
Q(x)
RA
Fb l
0
x
a
RA
x Fb /l
F
M(x)
M(x)
RA
x
Fb l
x0
x
a
Q(x)
CB段：
Q( x)
RA
F
l
a
x
l
Q
+
-
M(x)
RA
x
Fx
a
Fa l
l
xa
x
l
Fa /l (3)绘制剪力图、弯矩图：
剪力方程(equation of shearing force) ： Q=Q（x） 弯矩方程(equation of bending moment) ：M=M（x）
2. 剪力图(diagram of shearing force)和弯矩图(diagram of
bending moment)：表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形。
M
+
在集中力F作用点处，Q图
Fab /l
发生突变，M图出现折点！
A
mC
B
x
RA
a
b RB
l
解：(1)计算支反力：
MA 0 : RB m / l MB 0 : RA m / l
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
M(x)
CB两段考虑，以A为原点。
RA RA
x Q(x) m
x
M(x) Q(x)
Q
计算步骤：
x
(1)确定支座反力；
(2)分段建立剪力、弯矩方程；
x
(3)作剪力图、弯矩图。
M
（弯矩图画在梁受拉的一侧！）
[例4-3]q 求图示简支梁的内力方程并画内力图。
A
RA
x l
B 解:(1)计算支反力：以整梁为
研究对象
RB
q
对称 ∴RA RB ql / 2 ()
M(x) RA x Q(x)
22:
QQ22(（ 2100 50101001..55）)kNkN 15kN15kN
MM2
2
(2（0120.505.051.05 .2150
11.500.705.5）20k)kNN
mm
6.265.k2N5kmN m（可用右段进行验证!）
12
（与保留左端求得结果一致）
§4-3 剪力图与弯矩图
1. 内力方程：
ql /2 + Q
ql /2
(2)建立剪力、弯矩方程：
∑Fy 0：
Q(x) ql－qx0 x l
2
∑MC
0：M (
x)
ql 2
x
q 2
x 2 0
x
l
M +
ql 2/8
(3)绘制剪力图、弯矩图
在Q=0处，M取得最大值。
F
解:(1)计算支反力：
A
B
RA
C
x a
b
l
RA Fb / l RB Fa / l ()
第四章 梁的内力—剪力和弯矩
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5
工程实际中的受弯杆 梁的内力—剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 荷载、剪力和弯矩间的关系 用叠加原理作剪力图和弯矩图
4.1 工程实际中的受弯杆
2
4.1.1 梁的受力与变形特点
受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。 变形特点：原为直线的轴线变为曲线。 梁(beam)——以弯曲变形为主的构件。
a
F11
m
例：求截面1-1上的内力。 A
B
解：(1)确定支反力RA和RB
RA
x1
(2)取左段梁为脱离体：
RB
F1
Fy 0 : RA F1 Q 0
CM
Q RA F1
RA
MC 0:
M F1( x a) RA x 0
M RA x F1( x a)
x
Q
对截面形心C取矩！
m
二、载荷简化
1. 集中力(N，kN)
P
2. 集中力偶(Nm， kNm)
m
m
q
3. 分布载荷(N/m，kN/m)
三、 支座简化
①固定铰支座（fixed support） ：2个约束
②可动铰支座(hinge support） ： 1个约束
A
YA
A
A
A
XA
A
A
YA
③固定端（fixed-end support）：3个约束
4.1.2 平面弯曲的概念
P
q
m
对称轴 (symmetrical axis)
杆件轴线
纵向对称面
平面弯曲(plane bending)：当所有外力(或者外力的 合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内 弯曲成一条平面曲线。
4.1.3 梁的简化—计算简图的选取 计算简图
—表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。 一、梁本身的简化：以轴线代替梁，长度称为跨度。
Q Fi
i
M Mi
i
(1) 某横截面上的剪力Fs，在数值上等于该横截面左侧
或者右侧梁上外力(不包括力偶）的代数和。该横截面 左侧梁上的外力向上取正值，向下取负值；该横截面右 侧梁上的外力向上取负值，向下取正值。
(2) 某横截面上的弯矩M，在数值上等于该横截面左侧 或者右侧梁上外力对该横截面形心取矩的代数和。该横 截面左侧梁上的外力对截面形心取矩顺时针为正值，逆 时针为负值；该横截面右侧梁上的外力对截面形心取矩 逆时针为正值，顺时针为负值。