2018年高考数学 考点一遍过 专题52 几何概型 理
专题52 几何概型（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.（2）了解几何概型的意义.一、几何概型1．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2．几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.（2）每个基本事件发生的可能性相等.3．几何概型的概率计算公式() P AA构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.4．必记结论（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；（3）与体积有关的几何概型.二、随机模拟用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.这个方法的基本步骤是：（1）用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；（2）统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；（3）计算频率()n Mf AN=作为所求概率的近似值.注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值.考向一与长度有关的几何概型求解与长度有关的几何概型的问题的关键是将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度，进而求解．此处的“长度”可以是线段的长短，也可以是时间的长短等.注意：在寻找事件A发生对应的区域时，确定边界点是问题的关键，但边界点能否取到不会影响事件A的概率.典例1 某学校星期一至星期五每天上午都安排五节课,每节课的时间为40分钟．第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟．某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间到达教室,则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率是A．12B．13C．23D．35【答案】A故所求概率为201402=,选A．3典例2 在区间[]0,2上随机抽取一个数x ,则事件“1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭”发生的概率为 A ．34 B ．23 C ．13D ．14【答案】A【解析】区间[]0,2的长度为2,由1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭可得302x ≤≤,所以所求事件的概率为P =33224-=.1．公共汽车在7:00到7:20内随机到达某站,李老师从家里赶往学校上班,7:15到达该站,则她能等到公共汽车的概率为A ．13 B ．23 C ．14D ．342．在长度为10的线段AB 上任取一点C (不同于A ,B ),则以AC ,BC 为半径的圆的面积之和小于58π的概率为 A ．B ．C ．D ．考向二 与面积有关的几何概型求解与面积有关的几何概型的问题的关键是构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型的概率计算公式，从而求得随机事件的概率. 必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．“面积比”是求几何概型的一种重要的方法.典例3 在如图所示的扇形AOB中,∠AOB=,半圆C切AO于点D,与圆弧AB切于点B,若随机向扇形AOB内投一点,则该点落在半圆C外的概率为．．．．-,典例4 如图,已知A(a,0)(a>0),B是函数f(x)=2x2图象上的一点,C(0,2),若在矩形OABC内任取一点P,则点P落在阴影部分的概率为________.5【答案】3．圆O 内有一内接正三角形,向圆O 内随机投一点,则该点落在正三角形内的概率为 A．8π B．2π C． 4πD．π4．已知1Ω是集合()22{,|1}x y x y +≤所表示的区域，2Ω是集合(){,|1}x y x y +≤所表示的区域，向区域1Ω内随机地投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为________.考向三 与体积有关的几何概型的求法用体积计算概率时，要注意所求概率与所求事件构成的区域的体积的关系，准确计算出所求事件构成的区域的体积，确定出基本事件构成的区域的体积，求体积比即可.一般当所给随机事件是用三个连续变量进行描述或当概率问题涉及体积时，可以考虑用此方法求解.典例5 一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器六个表面中至少有一个的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,即始终保持与正方体玻璃容器六个表面的距离均大于10,飞行才是安全的.假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到任意位置的可能性相等,那么蜜蜂飞行安全的概率是A．512B．23C．127D．425【答案】C5．如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食落在圆锥外面”的概率是A．π14-B．π12C．π4D．π112-考向四随机模拟的应用利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A的面积,解题的依据是根据随机模拟估计概率()AP A=随机取的点落在中的随机取点频数的总次数，然后根据()随机取点构的成事全部件的区结果构成的区域面积域面积AP A=列等式求解.7典例6 《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明,如图是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成朱(红)色及黄色,其面积分别称朱实、黄实,利用2×勾×股+(股-勾)2=4×朱实+黄实=弦实,化简得勾2+股2=弦2.设勾股形中勾股比为1若向弦图内随机抛掷3000颗图钉,则落在黄色图形内的图钉数约为A ．134B ．268C ．402D ．536【答案】C6．如图,在一不规则区域内,有一边长为1 m 的正方形,向区域内随机地撒1000颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为 375,以此试验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为A ．83m 2B ．2 m 2C ．38m 2D ．3 m 21．在[]0,π内任取一个实数x ，则1sin 2x ≤的概率为 A ．2 3B ．1 2C ．13D ．1 42．若任取[]0,1、x y ∈,则点(),P x y 满足y x >的概率为A ．23 B ．13 C ．12D ．343．在区间[]0,4上随机地选择一个数,p 则方程2380x px p -+-=有两个正根的概率为A ．13 B ．23 C ．12D ．144．在直角坐标系中,任取n 个满足x 2+y 2≤1的点(x ,y ),其中满足|x|+|y|≤1的点有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为A ．4mn B ．4n m C ．2m nD ．2n m5．某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间内试飞一种新型模型飞机,为保证模型飞机安全,模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米,则模型飞机“安全飞行”的概率为 A ．127 B ．116 C ．38D ．8276．如图,在矩形ABCD 中,AB BC =1,以A 为圆心、1为半径作圆弧DE ,点E 在线段AB 上,在圆弧DE 上任取一点P ,则直线AP 与线段BC 有公共点的概率是9A ．1 4B ．13 C ．25D ．357．已知函数()2,01(e 1,1e x x f x x x⎧≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩为自然对数的底数)的图象与直线e 、x x =轴围成的区域为E ,直线e 1、x y ==与x 轴、y 轴围成的区域为F ,在区域F 内任取一点,则该点落在区域E 内的概率为A ．43e B ．23e C ．23D ．2e8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A ．3π 10B ．3π 20C ．3π110-D ．3π120-9．有一根长为1米的细绳,将细绳随机剪断,则两截的长度都大于18米的概率为__________. 10．一个正方体的外接球的表面积为48π,从这个正方体内任取一点,则该点取自正方体的内切球内的概率为__________.11．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一天内随机到达,若两船同时到达则有一艘必须等待,试求这两艘轮船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率.12．某班早晨7：30开始上早读课，该班学生小陈和小李在早上7：10至7：30之间到班，且两人在此时间段的任何时刻到班是等可能的.(1)在平面直角坐标系中画出两人到班的所有可能结果表示的区域； (2)求小陈比小李至少晚5分钟到班的概率.13．已知函数()22(,f x ax bx a a b =-+∈R ).(1)若a 从集合{}0,1,2,3中任取一个元素,b 从集合{}0,1,2,3中任取一个元素,求方程()0f x =有实根的概率;(2)若b 从区间[]0,2中任取一个数,a 从区间[]0,3中任取一个数,求方程()0f x =没有实根的概率.1．（2017新课标全国Ⅰ理科）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是11A ．14B ．π8C ．12D ．π42．（2016新课标全国Ⅰ理科）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12 C ．23D ．343．（2017江苏）记函数()f x =D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．4．（2016山东理科）在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为.1．【答案】C2．【答案】C【解析】设AC =x ,则BC =10-x ,0<x <10,由题意πx 2+π(10-x )2<58π,得x 2-10x +21<0,得3<x <7, 故所求的概率为.3．【答案】C4．【答案】2π【解析】易知1Ω的面积1πS =,2 Ω的面积22S =, 根据几何概型可得所求事件的概率为P=2.π5．【答案】D【解析】由题意可知,正方体的体积V =8,圆锥的体积V 1=212ππ1233⨯⨯⨯=,所以“鱼食落在圆锥外面”的概率是P=1π112V V V -=-. 6．【答案】A【解析】由几何概型的概率计算公式及题意可近似得到正方形不规则图形S S =3751000,所以该不规则图形的面积大约为1000375=83(m 2).1．【答案】C【解析】若1sin 2x ≤,则在[]0,π内π5π0π66或x x ≤≤≤≤， 所以所求概率为π216π03P ⨯==-.选C ．2．【答案】C【解析】根据几何概型的概率计算公式可知P =11112112⨯⨯=⨯.故选C ．3．【答案】A13【解析】因为方程2380x px p -+-=有两个正根,所以()243800,380p p p p ∆⎧=--≥⎪>⎨⎪->⎩所以8p ≥或 84,3p <≤ 又因为[]0,4,p ∈所以所求概率为841343P -==. 4．【答案】D5．【答案】D【解析】依题意得,模型飞机“安全飞行”的概率为(626-)3=827,故选D. 6．【答案】B【解析】连接AC ,交圆弧DE 于点M .在Rt △ABC 中,ABBC =1,所以tan ∠BAC=BC AB =即∠BAC =π6. 要使直线AP 与线段BC 有公共点,则点P 必须在圆弧EM 上,于是所求概率为P =π16π32=.故选B ． 7．【答案】A【解析】由题意，区域F 的面积为e; 区域E 的面积S =1e2011d d x x x x +⎰⎰=31e 0114|ln |33x x +=, 所以在区域F 内任取一点,则该点落在区域E 内的概率为43e. 8．【答案】D【解析】由题意，直角三角形内切圆的半径r =8151732+-=， 所以现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率P =18159π3π211208152⨯⨯-=-⨯⨯. 9．【答案】3410．【答案】【解析】因为一个正方体的外接球的表面积为48π,所以这个正方体的棱长为4,而棱长为4的正方体的体积为43,该正方体的内切球的半径为2,体积为×23,所以所求概率P =.11．【解析】设甲船到达的时间为x ,乙船到达的时间为y ,则0≤x <24,0≤y <24.若有一艘在停靠泊位时必须等待,则|y-x|<6,如图中阴影部分所示,15所以所求概率为1-=1-=.12．【解析】（1）用，x y 分别表示小陈、小李到班的时间，则][10,3010,30，x y ⎡⎤∈∈⎣⎦，所有可能结果对应坐标平面内一个正方形区域ABCD，如图所示．（2）小陈比小李至少晚到5分钟，即5x y -≥，对应区域为△BEF ，则所求概率为1151592202032△BEFABCDS P S ⨯⨯===⨯．“b a ≥或0a =”.于是此时,a b 的取值情况为()()()()()()()()()()0,0,0,1,0,2,0,3,1,2,1,3,2,3,1,1,2,2,3,3,即A 包含的基本事件数为10．故 “方程()0f x =有实根”的概率为()105168P A ==． （2）从区间[]0,2中任取一个数,b 从区间[]0,3中任取一个数,a 则试验的全部结果构成区域(){,|03,02}a b a b ≤≤≤≤, 这是一个长方形区域,其面积为236⨯=,设“方程()0f x =没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为(){,|03,02,}a b a b a b ≤≤≤≤>，其面积为162242-⨯⨯=．由几何概型的概率计算公式可得“方程()0f x =没有实根”的概率为()4263P B ==．1．【答案】B秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p 满足1142p <<，故选B ． 【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 2．【答案】B【解析】由题意，这是一个几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B ． 【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等. 3．【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--． 【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要17设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 4．【答案】34【解析】直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即3d =<，解得3344k -<<，而[1,1]k ?，所以所求概率P =33224=.。
2018届高考数学(理)热点题型：解析几何(Word版,含答案解析,全站免费)
双曲线的渐近线方程为 y＝±bax，
2b 由题意得 a2＋ b2＝ 3，②
联立 ①② 解得 b＝ 3，a＝1，
2
所求双曲线的方程为 x2－y3＝ 1，选 D.
(2)设点 B 为椭圆的左焦点，点 M(2，1)在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥ |AB|＋ |AC|＝2a，所以 |AM |＋|AC|≥ 2a－ |BM|，而 a＝ 4，|BM|＝ （ 2＋ 3）2＋1＝ 26，所
M 的纵坐标
1 yM＝－ 4，
x＝ பைடு நூலகம்，
所以点 M 在定直线 y＝－ 14上.
②由①知直线 l 的方程为 y＝mx－m22，
m2
m2
令 x＝0，得 y＝－ 2 ，所以 G 0，－ 2 ，
又
P
m2 m， 2
，F
1 0， 2
，D
2m3 4m2＋
1，
－m2 2（4m2＋
1）
，
所以
S1＝
12·
（ |GF|·m＝
【类题通法】 (1)在椭圆和双曲线中，椭圆和双曲线的定义把曲线上的点到两个焦
点的距离联系在一起，可以把曲线上的点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点
的距离， 也可以结合三角形的知识， 求出曲线上的点到两个焦点的距离 . 在抛物线
中，利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数
形结合的思想去解决有关的最值问题 .
0)，因为过 F1 且倾斜角为 45°的直线 l 的斜率为 1，所以直线 l 的方程为 y＝x＋ 2，
y＝x＋ 2，
则原点到
| l 的距离 d＝
2| ＝1，故 ②正确；③设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
2018届高考数学艺体生文化课复习讲义考点50 几何概型
考点五十 几何概型知识梳理1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3．几何概型的两个特点几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性． 4．几何概型与古典概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个．典例剖析题型一 与长度有关的几何概型例1 (2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为________． 答案 35解析 在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.变式训练 (2015山东文)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为________． 答案 34解析 由－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2，∴0≤x ≤32. ∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P ＝32－02－0＝34.解题要点 基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率． 题型二 与面积有关的几何概型例2 (2014·高考辽宁卷) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．答案 π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ，则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.变式训练 (2015福建文)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案 14解析 由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∴S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P ＝326＝14.解题要点 求解与面积有关的几何概型的注意点：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．题型三 与体积有关的几何概型例3 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 1－π12解析 点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12. 变式训练 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.解题要点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．当堂练习1．(2015陕西文)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为________． 答案 14－12π解析 由|z |≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π＝14－12π.2．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________． 答案127解析 由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.3. 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12之间的概率为________． 答案 13解析 由－12＜sin x ＜12，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，得－π6＜x ＜π6.所求概率为π6－⎝⎛⎭⎫－π6π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝13.4．在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为________． 答案 45解析 由(x ＋1)(x －3)≤0，得－1≤x ≤3.由几何概型得所求概率为45.5．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为__________． 答案 23解析 由3a －1＞0得a ＞13，由几何概型知P ＝1－131＝23.课后作业一、 填空题1．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间的概率为________． 答案 15解析 可以判断属于几何概型．记正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间为事件A ，那么正方形的边长为[5,7]内，则事件A 构成的区域长度是7－5＝2(cm)，全部试验结果构成的区域长度是10cm ，则P (A )＝210＝15.2．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是________． 答案310解析 这是一个与长度有关的几何概型．所求的概率P ＝(10，13)的区间长度(10，20]的区间长度＝310.3．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为________． 答案 23解析 由题意如图知点C 在C 1C 2线段上时分成两条线段围成的矩形面积小于32cm 2, ∴P ＝812＝23.4．如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机的撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为________．答案235解析 据题意得S 阴影S 矩形＝S 阴影2×5＝138300⇒S 阴影＝235.5．假设△ABC 为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率为________． 答案334π解析 设圆O 的半径为R ，“所投点落在△ABC 内”为事件A ，则P (A )＝34AB 2πR 2＝34(3R )2πR 2＝33. 6．一只蚂蚁在一直角边长为1cm 的等腰直角三角形ABC (∠B ＝90°)的边上爬行，则蚂蚁距A 点不超过1cm 的概率为________． 答案 2－ 2解析 如图，E 为斜边AC 上的点，且AE ＝1cm ，则蚂蚁应在线段AE 及边AB 上爬行，所求概率P ＝22＋2＝2－ 2. 7．(2015湖北文)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则________． 答案 p 1<12<p 2解析 在直角坐标系中，依次作出不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≤12，xy≤12的可行域如图所示：依题意，p 1＝S △ABO S 四边形OCDE ，p 2＝S 曲边多边形OEGFC S 四边形OCDE，而12＝S △OEC S 四边形OCDE ，所以p 1<12<p 2.8．在区间[20,80]内任取一个实数m ，则实数m 落在区间[50,75]内的概率为________． 答案512解析 选择区间长度度量，则所求概率为75－5080－20＝512.9．(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝______.答案 3解析 由图知要使|x |≤m 的概率为56，易得m ＝3.10． (2014·福建文)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析 几何概型与随机模拟实验的关系．由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18.∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.11．取一个边长为2a 的正方形及其内切圆如图，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率为______________________．答案 π4解析 记“豆子落入圆内”为事件A ，则P (A )＝μA μΩ＝圆面积正方形面积＝πa 24a 2＝π4.二、解答题12．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.(1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率．解析 (1)易知基本事件(a ，b )共有36个，方程有两正根(借助根与系数的关系)等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16，设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，a ，b ∈N *}，其面积为16. 设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为14×π×42＝4π.故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.13．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解析 (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8. 因x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π， 故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S 2＝4，所求概率为P 2＝S 2S ＝12.。
2018浙江高考数学知识点汇总
2018高考数学知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。
∅注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂ （答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭10133. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n ，22,12,12---n n n 非空真子集个数是真子集个数是非空子集个数是4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）的取值范围。
()），，·∴，∵·∴，∵（259351055550353322Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⇒≥--∉<--∈a aa M aa M5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().⌝ 若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 至少有一个为真、为真，当且仅当若q p q p ∨ 若为真，当且仅当为假⌝p p6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。
）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，A 中元素不可剩余，允许B 中有元素剩余。
） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？10. 如何求复合函数的定义域？ []如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_ []（答：，）a a -11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域） ()()如：求函数的反函数f x xx xx ()=+≥-<⎧⎨⎪⎩⎪1002()()（答：）f x x x x x -=->--<⎧⎨⎪⎩⎪1110() 13. 反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？[]（内层）（外层），则，（)()()(x f y x u u f y ϕϕ===∴……）15. 如何利用导数判断函数的单调性？()在区间，内，若总有则为增函数。
【步步高】2018版高考数学(理)(人教)大一轮复习文档讲义：第十二章12.3几何概型
1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型中，事件A的概率的计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).3．几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率f n(A)＝MN作为所求概率的近似值．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2015·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121()2log x +≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14 答案 A解析 由－1≤121()2log x +≤1，得12≤x ＋12≤2，∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P ＝32－02－0＝34.3．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()答案 A解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．4．(2017·南昌月考)一个边长为3π cm 的正方形薄木板的正中央有一个直径为2 cm 的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2 cm 的区域内的概率等于________． 答案 12解析 如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2 cm 为半径作圆，与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2 cm ，其中黑色区域面积为S 1＝S 正方形－4S 扇形－S 小圆＝(3π)2－π×22－π×12＝9π－5π＝4π，所以小虫离四个顶点的距离都大于2 cm 的概率为P ＝S 19π－π＝4π8π＝12.5．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是________．答案 π4解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为事件A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2016·全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A.710 B.58 C.38 D.310(2)(2017·太原调研)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________． 答案 (1)B (2)13解析 (1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.2．本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．(1)(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________． 答案 (1)B (2)16解析 (1)如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B.(2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2016·全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n答案 C 解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn ，∴π＝4mn，故选C.命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题 例3 (2016·武汉模拟)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，若在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为________． 答案 78解析 如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACDS △OAB＝2－142＝78.命题点3 与定积分交汇命题的问题例4 (2015·福建)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案512解析 由题意知，阴影部分的面积S ＝ʃ21(4－x 2)d x ＝(4x －13x 3)|21＝53，所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)(2016·昌平模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ≤4，y ≥－2表示的平面区域为D .在区域D内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( ) A.413 B.513 C.825 D.925(2)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．答案 (1)D (2)2e2解析 (1)作出平面区域D ，可知平面区域D 是以A (4,3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为顶点的三角形区域．当点在△AEF 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2. ∴P ＝S △AEF S △ABC ＝12×6×312×10×5＝925.(2)由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S ＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|1＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形面积为e 2， 故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e 2.题型三 与体积有关的几何概型例5 (1)(2016·贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.18 B.16 C.127 D.38(2)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12 D.14答案 (1)C (2)A解析 (1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内．这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P ＝127.(2)当P 在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求．(2016·哈尔滨模拟)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．答案 23解析 如图，三棱锥S －ABC 与三棱锥S －APC 的高相同，要使三棱锥S －APC 的体积大于V3，只需△APC 的面积大于△ABC 的面积的13.假设点P ′是线段AB 靠近点A 的三等分点，记事件M 为“三棱锥S －APC 的体积大于V3”，则事件M 发生的区域是线段P ′B . 从而P (M )＝P ′B AB ＝23.16．几何概型中的“测度”典例 (1)在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________．(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12C.34D.78 错解展示解析 (1)∵∠C ＝90°，∠CAM ＝30°， ∴所求概率为3090＝13.(2)两点之间线段长为12时，占长为1的线段的一半，故所求概率为12.答案 (1)13 (2)B现场纠错解析 (1)因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“测度”是长度．设直角边长为a ，则所求概率为33a a ＝33.(2)设任取两点所表示的数分别为x ，y ， 则0≤x ≤1，且0≤y ≤1.由题意知|x －y |<12，所以所求概率为P ＝1－2×12×12×121＝34.答案 (1)33(2)C 纠错心得 (1)在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．(2)两个变量在某个范围内取值，对应的“测度”是面积.1．(2016·佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A ．16.32B ．15.32C ．8.68D ．7.68 答案 A解析 设椭圆的面积为S ，则S4×6＝300－96300，故S ＝16.32.2．(2016·昆明三中、玉溪一中统考)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( ) A.14 B.13 C.23 D.12 答案 D解析 以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB →＋PC →＝PD →， 因为PB →＋PC →＋2P A →＝0，所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝12，故选D.3.(2016·菏泽一模)已知函数f (x )的部分图象如图所示，向图中的矩形区域内随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数．通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39，由此可估计ʃ10f (x )d x 的值约为( )A.61100B.39100 C.10100 D.117100答案 D解析 ʃ10f (x )d x 表示阴影部分的面积S . 因为S 3＝39100，所以S ＝117100.4．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形，所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.5．(2017·武昌质检)如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0，1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2πB.1＋22πC.1πD.12π答案 B解析 根据题意，可得曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域的面积为ππππ44(sin cos )d (cos sin )|x x x x x -=--⎰＝1－⎝⎛⎭⎫－22－22＝1＋ 2.又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π.故选B.6.欧阳修的《卖油翁》中写到：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是________．答案49π解析 依题意，所求概率为P ＝12π·(32)2＝49π.7．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.8．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________． 答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n 恰好将矩形平分， ∴所求的概率为P ＝12.9．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______．答案 12＋1π解析 半圆区域如图所示．设A 表示事件“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4”，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2＝12＋1π. 10．(2017·大连月考)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案 23解析 正方形内空白部分面积为ʃ1－1[x 2－(－x 2)]d x＝ʃ1－12x 2d x ＝23·x 3|1－1＝23－(－23)＝43， 阴影部分面积为2×2－43＝83，所以所求概率为834＝23.11．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36， 由a ·b ＝－1得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个， 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}， 满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}． 画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.12．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的一点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解 ∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2ba ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －8≤0，a >0，b >0，构成所求事件的区域为三角形部分． 所求概率区间应满足2b ≤a .由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)，故所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.*13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P(A)＝A的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576＝1 0131 152.。
2018年高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题5 平面解析几何 突破点12 圆锥曲线的定义、方程、几何性
提炼2 弦长问题 (1)直线与圆锥曲线相交时的弦长 斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝ 1＋k2 |x1－x2| ＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2 或|AB|＝ 1＋1k2|y1－y2|＝ 1＋1k2 y1＋y22－4y1y2.
A.1x22 ＋1y12 ＝1
B.3x62 －3y52 ＝1
C.x32－y22＝1
D.x32＋y22＝1
(1)A (2)D [(1)设双曲线的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由题意知
|－2| k2＋1
＝1，解得k＝±
3
，则双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为
x2 a2
－
y2 b2
＝
1，
则有a222－1b22＝1， ba＝ 3，
法二：∵渐近线y＝12x过点(4,2)，而 3<2， ∴点(4， 3)在渐近线y＝12x的下方，在y＝－12x的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为 ax22－by22＝1(a>0，b>0)． 由已知条件可得
ba＝12， 1a62 －b32＝1，
解得ba22＝＝14，，
【例2】(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－
y2 3
＝1的右焦点，P是C上一点，
且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )
1
1
A.3
B.2
2
3
C.3
D.2
(2)(2017·合肥二模)已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率
＝2a2c2，整理得c4－4a2c2＋a4＝0，即e4－4e2＋1＝0，又椭圆离心率0＜e＜1，
2018届高考数学(理)热点题型：立体几何(含答案解析)
立体几何热点一 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解.【例1】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝π4，O 为AB 边上一点，且3OB ＝3OC ＝2AB ，已知PO⊥平面ABC ，2DA ＝2AO ＝PO ，且DA∥PO. (1)求证：平面PBD⊥平面COD ；(2)求直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值.(1)证明 ∵OB ＝OC ，又∵∠ABC ＝π4， ∴∠OCB ＝π4，∴∠BOC ＝π2.∴CO ⊥AB. 又PO ⊥平面ABC ， OC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥OC.又∵PO ，AB ⊂平面PAB ，PO ∩AB ＝O ， ∴CO ⊥平面PAB ，即CO ⊥平面PDB. 又CO ⊂平面COD ， ∴平面PDB ⊥平面COD.(2)解 以OC ，OB ，OP 所在射线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设OA ＝1，则PO ＝OB ＝OC ＝2，DA ＝1.则C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)， ∴PD →＝(0，－1，－1)，BC →＝(2，－2，0)，BD →＝(0，－3，1). 设平面BDC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n·BC →＝0，n·BD →＝0，∴⎩⎨⎧2x －2y ＝0，－3y ＋z ＝0，令y ＝1，则x ＝1，z ＝3，∴n ＝(1，1，3). 设PD 与平面BDC 所成的角为θ， 则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PD →·n |PD →||n| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×0＋1×（－1）＋3×（－1）02＋（－1）2＋（－1）2×12＋12＋32＝22211. 即直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值为22211. 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标.第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步：计算向量的夹角(或函数值). 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角.第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】 如图所示，在多面体A 1B 1D 1DCBA 中，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，E 为B 1D 1的中点，过A 1，D ，E 的平面交CD 1于F. (1)证明：EF∥B 1C.(2)求二面角EA 1D B 1的余弦值.(1)证明 由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ，且A 1B 1＝AB ＝DC ，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，从而B1C∥A1D，又A1D⊂面A1DE，B1C⊄面A1DE，于是B1C∥面A1DE.又B1C⊂面B1CD1，面A1DE∩面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C.(2)解因为四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD.以A为原点，分别以AB→，AD→，AA1→为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B 1(1，0，1)，D1(0，1，1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，12，1.设平面A1DE的一个法向量n1＝(r1，s1，t1)，而该面上向量A1E→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，A1D→＝(0，1，－1)，由n1⊥A1E→，n 1⊥A1D→得r1，s1，t1应满足的方程组⎩⎨⎧12r1＋12s1＝0，s1－t1＝0，(－1，1，1)为其一组解，所以可取n1＝(－1，1，1).设平面A1B1CD的一个法向量n2＝(r2，s2，t2)，而该面上向量A1B1→＝(1，0，0)，A1D→＝(0，1，－1)，由此同理可得n2＝(0，1，1).所以结合图形知二面角EA1DB1的余弦值为|n1·n2||n1|·|n2|＝23×2＝63.热点二立体几何中的探索性问题此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线、面平行、垂直位置关系的探究或空间角的计算问题，是高考命题的热点，一般有两种解决方式：(1)根据条件作出判断，再进一步论证；(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在.【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB ＝1，AD＝2，AC＝CD＝ 5.(1)求证：PD⊥平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM∥平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.(1)证明 因为平面PAD⊥平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ， 所以AB⊥平面PAD ，所以AB⊥PD.又PA⊥PD，AB ∩PA ＝A ，所以PD⊥平面PAB. (2)解 取AD 的中点O ，连接PO ，CO. 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD.因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD.因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO. 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD.如图，建立空间直角坐标系O －xyz.由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1).设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n·PD →＝0，n·PC →＝0，即⎩⎨⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0，令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2. 所以n ＝(1，－2，2).又PB →＝(1，1，－1)，所以cos 〈n ，PB →〉＝n·PB →|n||PB→|＝－33.所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33. (3)解 设M 是棱PA 上一点，则存在λ∈[0，1]，使得AM →＝λAP →. 因此点M(0，1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ). 因为BM ⊄平面PCD ，所以要使BM∥平面PCD ，则BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2，2)＝0，解得λ＝14.所以在棱PA 上存在点M ，使得BM∥平面PCD ，此时AM AP ＝14. 【类题通法】(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 【对点训练】如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，DC ＝6，AD ＝8，BC ＝10，∠PAD ＝45°，E 为PA 的中点. (1)求证：DE∥平面BPC ；(2)线段AB 上是否存在一点F ，满足CF⊥DB？若存在，试求出二面角F －PC －D 的余弦值；若不存在，请说明理由.(1)证明 取PB 的中点M ，连接EM 和CM ，过点C 作CN⊥AB，垂足为点N.∵CN ⊥AB ，DA ⊥AB ，∴CN ∥DA ，又AB∥CD，∴四边形CDAN 为平行四边形， ∴CN ＝AD ＝8，DC ＝AN ＝6，在Rt △BNC 中，BN ＝BC 2－CN 2＝102－82＝6，∴AB ＝12，而E ，M 分别为PA ，PB 的中点， ∴EM ∥AB 且EM ＝6，又DC∥AB，∴EM ∥CD 且EM ＝CD ，四边形CDEM 为平行四边形， ∴DE ∥CM.∵CM ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ， ∴DE ∥平面BPC.(2)解 由题意可得DA ，DC ，DP 两两互相垂直，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ， 则A(8，0，0)，B(8，12，0)，C(0，6，0)，P(0，0，8). 假设AB 上存在一点F 使CF⊥BD， 设点F 坐标为(8，t ，0)，则CF →＝(8，t －6，0)，DB →＝(8，12，0)， 由CF →·DB →＝0得t ＝23.又平面DPC 的一个法向量为m ＝(1，0，0)， 设平面FPC 的法向量为n ＝(x ，y ，z). 又PC →＝(0，6，－8)，FC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－8，163，0. 由⎩⎪⎨⎪⎧n·PC →＝0，n·FC →＝0，得⎩⎨⎧6y －8z ＝0，－8x ＋163y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝34y ，x ＝23y ， 不妨令y ＝12，有n ＝(8，12，9).则cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m|＝81×82＋122＋92＝817.又由图可知，该二面角为锐二面角， 故二面角F －PC －D 的余弦值为817.热点三 立体几何中的折叠问题将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称为立体几何中的折叠问题，折叠问题常与空间中的平行、垂直以及空间角相结合命题，考查学生的空间想象力和分析问题的能力.【例3】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置，OD ′＝10.(1)证明：D′H⊥平面ABCD ； (2)求二面角B －D′A－C 的正弦值.(1)证明 由已知得AC⊥BD，AD ＝CD. 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD，故AC∥EF. 因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3. 于是D′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D′O 2，故D′H⊥OH. 又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H ， 所以D′H⊥平面ABCD.(2)解 如图，以H 为坐标原点，HF →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H －xyz. 则H(0，0，0)，A(－3，－1，0)，B(0，－5，0)，C(3，－1，0)，D ′(0，0，3)，AB →＝(3，－4，0)，AC →＝(6，0，0)，AD ′→＝(3，1，3). 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD′的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m·AB →＝0，m·AD′→＝0，即⎩⎨⎧3x 1－4y 1＝0，3x 1＋y 1＋3z 1＝0，所以可取m ＝(4，3，－5).设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD′的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n·AC →＝0，n·AD′→＝0，即⎩⎨⎧6x 2＝0，3x 2＋y 2＋3z 2＝0，所以可取n ＝(0，－3，1). 于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝－1450×10＝－7525.sin 〈m ，n 〉＝29525. 因此二面角B －D′A－C 的正弦值是29525.【类题通法】立体几何中的折叠问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况，一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.【对点训练】如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图2.(1)证明：CD⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值. (1)证明 在题图1中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE⊥AC.即在题图2中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 从而BE⊥平面A 1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A 1OC. (2)解 由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角，所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，OB →，OC →，OA 1→分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，22，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，得BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，A 1C →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，22，－22，CD →＝BE →＝(－2，0，0). 设平面A 1BC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎨⎧－x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，取n 1＝(1，1，1)；⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0，得⎩⎨⎧x 2＝0，y 2－z 2＝0，取n 2＝(0，1，1)，从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝23×2＝63， 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为63.。
2018高考数学考点突破— 几何概型
几何概型【考点梳理】1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).【考点突破】考点一、与长度(角度)有关的几何概型【例1】(1)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13 B.12 C.23D.34(2)如图所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．[答案] (1)B (2)13[解析] (1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12.故选B.(2)以A 为圆心，以AD ＝1为半径作圆弧交AC ，AP ，AB 分别为C ′，P ′，B ′.依题意，点P ′在上任何位置是等可能的，且射线AP 与线段BC 有公共点，则事件“点P ′在上发生”．又在Rt △ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π6.故所求事件的概率P ＝＝π6·1π2·1＝13.【类题通法】1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围，当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．2．(1)第(2)题易出现“以线段BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求P ＝12.(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比． 【对点训练】1．设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( )A.34B.12C.13D.35[答案] B[解析] 作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在上运动时，弦长|AB |＞2R ，∴P ＝＝12.2．在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．[答案] 34[解析] 由直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，得|5k |k 2＋1<3， 即16k 2<9，解得－34<k <34.由几何概型的概率计算公式可知P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝34.考点二、与面积有关的几何概型【例2】从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2nm C.4m n D.2m n[答案] C[解析] 因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n ，即π4＝m n ，所以π＝4m n . 【例3】在区间[0，4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( ) A.14 B.316C.916D.34[答案] D[解析] 由x ，y ∈[0，4]可知(x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分．易知A (4,2)，S 正方形＝16，S 阴影＝(2＋4)×42＝12. 故“使得x ＋2y ≤8”的概率P ＝S 阴影S 正方形＝34.【类题通法】1. 与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合.2．解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解. 【对点训练】1．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是( )A.π3 B ．π C ．2π D ．3π[答案] D[解析] 设阴影部分的面积为S ，且圆的面积S ′＝π·32＝9π. 由几何概型的概率得S S ′＝13，则S ＝3π. 2．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1π C.12－1π D.14－12π[答案] D[解析] |z |＝(x －1)2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z |≤1时，y ≥x 表示的是图中阴影部分．∵S 圆＝π×12＝π， S 阴影＝π4－12×12＝π－24.故所求事件的概率P ＝S 阴影S 圆＝π－24π＝14－12π.考点三、与体积有关的几何概型【例3】在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6[答案] B[解析] 设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A .则事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部． ∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13×12＝23π.∴P (A )＝23－23π23＝1－π12.【类题通法】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解． 【对点训练】如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率为________.[答案] 12[解析] 设四棱锥M -ABCD 的高为h ，由于V 正方体＝1. 则13·S ABCD ·h ＜16， 又S ABCD ＝1，∴h ＜12， 即点M 在正方体的下半部分， ∴所求概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12.。
2018年高考一轮复习高中数学立体几何知识点汇编
高中课程复习专题——数学立体几何一空间几何体㈠空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中，这条直线称为旋转体的轴。
㈡几种空间几何体的结构特征1 棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2 棱柱的分类1.3 棱柱的性质⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形；⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；⑷ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。
1.4 长方体的性质⑴ 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC 12 = AB 2 + AC 2 + AA 12⑵ 长方体的一条对角线AC 1与过定点A 的三条棱所成 的角分别是α、β、γ，那么：cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 1 sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 2⑶ 长方体的一条对角线AC 1与过定点A 的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则：cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 2 sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 11.5 棱柱的侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。
1.6 棱柱的面积和体积公式S 直棱柱侧面 = c ·h (c 为底面周长，h 为棱柱的高) S 直棱柱全 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 圆柱的结构特征2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。
2018年普通高中数学学业水平测试知识点大全
2018 年普通高中数学学业水平测试知识点大全【必修一】一、 集合与函数概念 并集：由集合 A 和集合 B 的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。
记作： A ∪B 交集：由集合 A 和集合 B 的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作： A ∩B补集：就是作差。
1、集合 a 1,a 2,...,a n 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n –1个；非空子集有 2n–1 个；非空的真 子有 2n–2 个.2、求 y f(x)的反函数：解出 x f 1(y)， x, y 互换，写出 y f 1(x)的定义域；函数图象关于 y=x 对称。
3、( 1)函数定义域：①分母不为 0；②开偶次方被开方数 0；③指数的真数属于 R 、对数 的真数 0. 4、函数的单调性： 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1，x 2，当 x 1<x 2 时，都有 f(x 1)<( )f(x 2) ，那么就说 f(x) 在区间 D 上是增(减)函数，函数的单调性 是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。
5、奇函数： 是 f(- x)= - f (x) ，函数图象关于原点对称(若 x 0 在其定义域内，则 f (0) 0 )；偶函数： 是f(- x)= f (x ) ，函数图象关于 y 轴对称。
6、指数幂的含义及其运算性质：1)函数 y a x(a 0且a 1) 叫做指数函数。
2) 指数函数 y a x(a 0,a 1)当 0 a 1 为减函数，当 a 1为增函数； ① a r a s a r s；② (a r )s a rs ；③ (ab)r a r b r(a 0,b 0,r,s Q) 。
3) 指数函数的图象和性质0a1(1) 定义域：R (2)值域：( 0，+∞)(3)过定点( 0， 1)，即 x=0 时， y=1( 4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数(5) x 0,a 1; xx 0,0 a 1(5) x 0,0 a x1;xx 0,a 1a17、对数函数的含义及其运算性质：1)函数 y log a x(a 0,a 1) 叫对数函数。
2018高考数学文科一轮复习讲义 7.3 第三节 几何概型
第三节 几何概型【考点点知】知己知彼，百战不殆几何概型是新课标新增添内容，所以高考在考查上可能会有所侧重，当然由于课时所限，也不会占分太多，由于几何命题的空间较为广阔,因而此部分的考题也相当的丰富．复习时应理解好基本概念，注意培养用几何度量来理解概率问题的习惯．考点一: 几何概型公式 1.随机地向正方形内投点，此点落在阴影区域的数目与落在正方形中的数目的比等于阴影区域的面积与正方形面积的比，即P （点落在阴影区域）=阴影区域面积整个区域面积.由此可以看到点落在阴影区域的概率只与阴影区域的面积成正比，而与阴影区域的位置和形状没有关系，满足上述条件的试验称为几何概型.2.几何概型的概率公式为：P （A ）=构成事件A 的区域面积试验构成的整个区域面积.考点二: 几何概型公式的推广1.对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这个区域可以是线段、角、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型. 也只因为区域中每一点被取到的机会都一样（等可能性），某个事件发生的概率才只与构成该事件区域的“长度”成比例.2.几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A .3.很多概率问题可以归结为几何概型.对于几何概型,随机事件A 的概率P (A )与表示它的区域(面积、长度或体积)成正比,而与区域的位置和形状无关.只要表示两个事件的区域有相同的长度、面积或体积,不管它们的位置和形状如何,这两个事件的概率一定相等.由此可知,利用公式求概率的关键在于求解产生指定范围内的随机数或指定范围内的面积、体积、长度等的计算.【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007山东临沂期中,4)设点A 是圆O 上一定点，点B 是圆O 上的动点，6,πθθ≤则的概率为（ ）A ．61 B ．41 C ．31 D ．21 思路透析:如右图所示,当点B 在劣弧 CD上运动时, 6AO AB πθ≤ 与的夹角为,此时∠DOC=22263ππ⨯⨯=,则6πθ≤的概率 2323R CD P R πππ==劣弧长=圆周长, 故应选C.点评:在本题中，构造几何图形，找出两“弧长”，套用几何概型公式.此类几何概型题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征度量来求随机事件的概率.例2.(基础·2007海南模)如图，60AOB ∠=，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，则AOC ∆为钝角三角形的概率是____________.思路透析:如图，由平面几何知识： 当AD OB ⊥时，1OD =；当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =．当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形 记”AOC ∆为钝角三角形”为事件M ，则11()0.45OD EB P M OB ++===即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4．点评:求与长度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度.例3.(综合·2007南城期末)二次方程02=++bx a x )2,0(,(∈b a ）的两根都是实数的概率为 ( )A 41 B.31 C .21D. 1思路透析:由题意得:0≥-=∆b a又[]2,0,∈b a ∴结合图形得21=P ,故选点评:本题考查了几何概率模型，先由二次方程x ）的两根都是实数，由判别式0≥-=∆b a 得出 a,b 的关系式，转化为几何概率模型,利用线性规划求面积当作“测度”求其概率.例4.(综合·2007灌云期末)在线段[0,a ]上随机地取三个点，则由点O 至三个点的线段能够成一个三角形的概率为 .思路透析:令A =“三线段能构成一个三角形”. 设三线段各长为x ,y ,z ,则每一个试验结果可表示 为:(x ,y ,z ),0≤x ,y ,z ≤a ,所有可能的结果组成集合 Ω={(x ,y ,z )|0≤x ,y ,z ≤a }.因为三线段构成一个三角形的条件是:x +y >z,x +z >y ,y +z >x ; 所以事件A 构成集合A ={(x ,y ,z )|x +y >z ,x +z >y ,y +z >x ,0≤x ,y ,z ≤a }，表示一个以O 、A 、B 、C 、D 为顶点的六面体，其体积等于a 3－3·31·22a ·a =21a 3.a从而P (A )=的体积的体积ΩA =3321aa=0.5.点评:在必修2中我们学习了空间直角坐标系,本题中引入了三个随机变量,其变量的轨迹为正方体,而符合条件的随机事件为六面体,该几何概型为的概率为两个几何体的体积之比.你还能用其它方法解决这一问题吗?例5.(创新探究·2007海南模)已知实数,a b 满足11,11a b -≤≤-≤≤，则方程220x ax b -+=有实数解的概率为 （ ）A14 B 12 C 23 D 34思路透析:因为方程220x ax b -+=有实数解， 所以2440,a b =-≥ 即2b a ≤; 又11,11a b -≤≤-≤≤，则满足条件的点012S P S ==所表示的平面区域为如图阴影部分,所以所求的概率属于几何概率,而阴影面积为1231000182(1)2(1)33S a da a =+=+=⎰;而224S =⨯=.所以023S P S ==. 故选C.点评:解决此类问题时，首先根据条件，列出相应表达式,根据结构和形式可判断出这类概率属几何概率,在条件范围内画出相应图形,算出相应面积求其比值即可.考查了考生对一元二次方程的实根分布、几何概型、线性规划等知识的掌握,解决实际问题的能力及创新意识.例5.(创新探究·2007宁夏卷文科20)设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．思路透析:设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．（Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)，，，，，，，，，，(12)(20)(21)，，，，，， (22)(30)(31)(32)，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==．（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤． 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥． 所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．点评:本题中不少考生将区域约束条件不等式列式错误,导致平面区域的面积求解出现偏差.在几何概型问题的分析中,试验的构成区域决定着概率运算的正确性,因而列式时要注意范围列式中边界值的确定依据.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:(1)几何概型的两个特征:①每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的区域来表示. ②每次试验的各种结果是等可能的(2)几何概型公式的应用需说明以下几点：①公式中的“长度”并不是实际意义上的长度，有些书上把它叫做“测度”，测度的意义依试验的全部结果构成的区域而定，当区域分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等；②当试验的全部结果所构成的区域长度一定时，A 的概率只与构成事件A 的区域长度有关，而与A 的位置和形状无关.如图所示.A2.学以致用:(1)面积为S 的△ABC ，D 是△ABC 内部任一点,那么2DBC SS ∆>的概率为（ ）. A.13B.12 C.14 D.16 (2)在圆心为90o的扇形OAB 中,以圆心O 为起点任作射线OC ,OD ,则使得30o AOC BOD ∠+∠<的概率是( )A.13 B.16 C.118 D.136(3)取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率是.A.21 B.31 C.41D.不确定 (4)已知实数,a b 满足11,11a b -≤≤-≤≤，则方程2220x ax b -+=有实数解的概率为 .答案:(1)C 解析:如右图所示,当且仅当点D 在AMN ∆ 内(MN 为ABC ∆中BC 边上的中位线).则2DBC S S ∆>的概率1144AMN ABCSS P S S ∆∆===,故应选C ． (2)A 解析:事件30oAOC BOD ∠+∠<构成的测度为角度6π, 所求概率为1632P ππ==.(3) 记“剪得两段绳长都不小于1 m ”为事件A ，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的31，所以事件A 发生的概率P（A ）=31. 故应选B.(4)12解析:因为2220x ax b -+=方程有实数解，所以22440a b =-≥ 即220a b -≥; ∴()()0a b a b +⋅-≥.即0,0,a b a b +⎧⎨-⎩≥≥ 或0,0.a b a b +⎧⎨-⎩≤≤又11,11a b -≤≤-≤≤， 则满足条件的点(,)P a b 所表示的 平面区域为如图阴影部分,所以所求的概率属于几何概率, 而阴影面积为02,S =而4S =,所以012S P S ==.3.易错分析:(1)解几何概型的试题时，尤其是与平面几何相关的作图问题时，一定要明确指定作图的路径,选择正确的测度,不同测试的选择其结果往往不相同..(2)理解题意“出错”，对“测度的值”没有弄清,利用几何概型处理相关问题时，等可能性是非常重要的，同时对表示事件的区域的确定也是非常重要的(3)解题过程中的概率通过长度或面积等来计算,但有注意的问题是在同一个问题中的两个测度必须是一致的.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.在500 mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察,发现草履虫的概率为（ ）A.0B.5001C.2501 D.1 2.在区间(0，L )内任取两点，则两点之间的距离小于3L的概率为( )A. 13B. 23C. 49 D.953.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ,并以线段AM 为边作正方形.这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为（ ）A.8136 B.3612C.8112D.41 4.如图，设M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN的概率为（ ）A ．15 B ．14 C ．13 D ．125.向右图中所示正方形内随机地投掷飞标,飞标落在阴影部分的概率为（ ）A.41 B.3625C.14425D.16.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[)85.4,8.4（ g ）范围内的概率是（ ）A 0.62B 0.38C 0.02D 0.68二、填空题:7.在等边三角形ABC 内任意取一点P ，A 、B 、C 中至少存在一点与P 的距离不大于三角形边长的一半的概率是 .8.公共汽车站每隔5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，乘客候车不超过3 min 的概率为 .9.已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内任取点M ，则使点M 到底面ABC ∆的距离小于2h的概率为 . 10.在ABC ∆中， 45,60=∠=∠C B ，高3=AE ，在BAC ∠内作射线AM 交BC 于M ，则BM ＜1的概率为 .三、解答题:11.如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，求飞镖落在中央边长为1的正方形内的概率.12.在地面上画一正方形框，其边长为一枚硬币半径的4倍，向框中投硬币（硬币完全落在正方形外的不计），试求硬币与正方形框相交的概率．13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.14.如左下图,在0～1之间随机选择两个数,这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条线段,试求这三条线段能构成三角形的概率.【能力训练】参考答案 一、选择题:1. C2. D3. D4. D5. C6. C 二、填空题:7..8. 0.6 9. 87 10. 25三、解答题:11.解法一: 用计算机随机模拟这个试验，步骤如下:(1)用计数器n 记录做了多少次投飞镖的试验，用计数器m 记录其中有多少次投在中央的小正方形内，置n =0,m =0.(2)用函数rand( )*4－2产生一个－2～2的随机数x 、y ，x 表示所投飞镖的横坐标，y 表示所投飞镖的纵坐标.(3)判断(x ,y )是否落在中央的小正方形内，也就是看是否满足|x |<1,|y |<1,如果是则m 的值加1，即m =m +1；否则m 的值保持不变.(4)表示随机试验次数的记录器n 加1，即n =n +1.如果还需要继续试验，则返回步骤S2继续执行，否则，程序结束.程序结束后飞镖投在小正方形发生的频率nm作为概率的近似值. 解法二:用几何概型概率计算公式得P =大正方形小正方形S S =41.12.解析:这是一道二维几何概型问题，设硬币半径为r ， 则正方形框的边长为r 4，将硬币视为一几何点， 则问题转化为：以正方形上任一点为圆心，与圆心距 离小于等于r 的平面区域是有利场合的测度d ， 而正方形的面积加上有利场合中正方形外的测度 就是基本事件空间的测度D ，于是3228])4()4(4[)2(])4()4(4[22222++=+⨯⨯+-+⨯⨯+=ππππr r r r r r r r r D d . 13.解析:这是一个几何概率问题.设甲、乙两艘船到达码 头的时刻分别为x 与y ，A 为“两船都需要等待码头空 出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24,要使两船都不需要等待码 头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早 到达2 h 以上,即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ={(x ,y ):y －x ≥1或x －y ≥2,x ∈[0,24],y ∈[0,24]}. A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24 的正方形.由几何概率定义，所求概率为 P (A )=的面积的面积ΩA =2222421)224(211)(24⨯-+⨯－=5765.506=0.87934. 14.解析:设三条线段的长度分别为x 、y ,1－x －y ,则⎪⎩⎪⎨⎧<--<<<<<,110,10,10y x y x 即⎩⎨⎧+-<<<<.10,10x y x 在平面上建立如右上图所示的直角坐标系,直线x =0,x =1,y =0,y =－x +1围成如右上图所示的三角形区域G ,每一对(x ,y )对应着G 内的点(x ,y ).由题意知,每一个试验结果出现的可能性是相同的,因此,试验属于几何概型.三条线段能构成三角形当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧>->--->+,1,1,1y y x x y x y x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<+->.21,21,21y x x y 因此图中的阴影区域g 就表示“这三条线段能构成三角形”.容易求得g 的面积为81,G 的面积为21,由几何概型的概率计算公式,“这三条线段能构成三角形”的概率 P (这三条线段能构成三角形)=的面积的面积G g =41.。