2018年高考数学专题23基本初等函数理

专题2.3 基本初等函数

【三年高考】

1. 【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z

【答案】D

【解析】试题分析：令235(1)x y z

k k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =

∴

22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =?=>，则23x y >，22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32

x k z k =?=<，则25x z <，故选D. 2. 【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为

（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c <<

（D ）b c a <<

【答案】C

【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8

202

log 5.13<<<，

0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．

3. 【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361

，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与

M N

最接近的是（）（参考数据：lg3≈0.48）

（A ）1033

（B ）1053

（C ）1073

（D ）1093

【答案】D

4. 【2016高考新课标3理数】已知4

32a =，254b =，13

25c =，则（）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A

【解析】因为422335244a b ==>=，122333

2554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．

5．【2016高考浙江理数】已知a>b>1.若log a b+log b a=5

，a b=b a，则a= ，b

= .

【答案】42

【解析】设log,1

a t t

则，因为2

t t a b

+=?=?=，因此

22, 4.

b a b b

a b b b b b b a

=?=?=?==

6．【2016高考上海理数】已知点(3,9)在函数x a

)

(的图像上，则

________

)

(

)

(1=

-x

f的反函数.

【答案】

log(x1)

【解析】将点39

（，）带入函数()x

f x1a

=+的解析式得a2

=，所以()x

f x12

=+，用y表示x得2

x log(y1)

=-，所以()

log(

f x x1)

-=-.

7．【2016高考天津理数】已知函数f（x）=

2(4,0,

log(1)1

x a x

x x

?+<

++≥

（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|()|2

f x x

=-恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）（A）（0，

] （B）[

，

] （C）[

，

]U{

}（D）[

，

）U{

}

【答案】C

8．【2016高考上海理数】已知a R

∈，函数

()log()

f x a

=+.

（1）当5

a=时，解不等式()0

f x>；

（2）若关于x的方程

()log[(4)25]0

f x a x a

--+-=的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；（3）设0

a>，若对任意

[,1]

t∈，函数()

f x在区间[,1]

t t+上的最大值与最小值的差不超过1，

求a 的取值范围. 【解析】（1）由21log 50x ??+>

???，得151x +>，解得()1,0,4x ?

?∈-∞-+∞ ??

?U ．

（2）

()1

425a a x a x

+=-+-，()()24510a x a x -+--=，当4a =时，1x =-，经检验，满足题意．当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意．当3a ≠且4a ≠时，11

x a =

-，21x =-，12x x ≠．1x 是原方程的解当且仅当

110a x +>，即2a >；2x 是原方程的解当且仅当2

0a x +>，即1a >．于是满足题意的(]1,2a ∈．综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4U ．

（3）当120x x <<时，

a a x x +>+，221211log log a a x x ????+>+ ? ?????

，所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，

()1f t +． ()()221

11log log 11f t f t a a t t ????

-+=+-+≤ ?

?+????

即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ??∈????成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12??

????

上单调递增，12t =时，y

有最小值

3142a -，由31042a -≥，得23a ≥．故a 的取值范围为2,3??

+∞????

． 9.【2015高考四川，理8】设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的（）

（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B

【解析】若333a b

>>，则1a b >>，从而有log 3log 3a b <，故为充分条件. 若log 3log 3a b <不

一定有1a b >>，比如.1

,33

a b =

=，从而333a b >>不成立.故选B. 10.【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()2

1x m

f x -=- （m 为实数）为偶函数，记

()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( )

（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C

11.【2015高考浙江，理18】已知函数2

()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.

（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；

（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.

【解析】（1）由22()()24a a f x x b =++-，得对称轴为直线2a x =-，由||2a ≥，得

||12a

-≥，故()f x 在[1,1]-上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得max{(1),(1)}2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由 (1)(1)24f f a --=-≥，得max{(1),(1)}2f f --≥，即(,)2M a b ≥，综上，当||2a ≥时，

(,)2M a b ≥；

（2）由(,)2M a b ≤得|1||(1)|2a b f ++=≤，|1||(1)|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由||,0

||||||,0

a b ab a b a b ab +≥?+=?

|21|x x +-在[1,1]-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，∴||||a b +的最大值为3.. 【2017考试大纲】 1.指数函数

(1)了解指数函数模型的实际背景.

(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.

(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点. (4)知道指数函数是一类重要的函数模型. 2.对数函数

a (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.

(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点. (3)知道对数函数是一类重要的函数模型.

(4)了解指数函数(0,1)x

y a a a =>≠ 与对数函数log (0,1)a

y x a a =>≠互为反函数. 3.幂函数

(1)了解幂函数的概念.

(2)结合函数1

,,,,y x y x y x y y x x

=====的图像,了解它们的变化情况.

【三年高考命题回顾】

纵观前三年各地高考试题, 对基本初等函数的考查，大部分是以基本初等函数的性质为依托，结合运算推理解决问题，高考中一般以选择题和填空的形式考查.纯基本初等函数的试题，一般考查指对数式的基本运算性质.

【2018年高考复习建议与高考命题预测】

由前三年的高考命题形式 , 幂函数新课标要求较低，只要求掌握幂函数的概念，图像与简单性质，仅限于几个特殊的幂函数，关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.指数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.对指数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握指数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数进行变形处理.高考题目形式多以指数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.对数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.从近几年的高考形势来看，对对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握对数运算法则，明确算理，能对常见的对数型函数进行变形处理.高考题目形式多以对数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.基本初等函数是考察函数、方程、不等式很好的载体，预测2018年高考继续会对基本初等函数图象和性质的考察.尤其注意以基本初等函数特别是指对函数为模型的抽象函数的考察，这种题型只给出定义域内满足某些运算性质的法则，往往集定义域、值域、单调性、奇偶性与一身，全面考察学生对函数概念和性质的理解.

【2018年高考考点定位】

高考对基本初等函数的考查有三种主要形式：一是比较大小；二是基本初等函数的图象和性质；三是基本初等函数的综合应用，其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系. 【考点1】指数值、对数值的比较大小【备考知识梳理】

指数函数(0,1)x

y a a a =>≠，当a 1>时，指数函数在(,)-∞+∞单调递增；当0a 1<<时，指数函数在(,)-∞+∞单调递减.

对数函数log (0,1)a y x a a =>≠，当a 1>时，对数函数在(0,)+∞单调递增；当0a 1<<时，对数函数在(0,)+∞单调递减.

幂函数y x α

=图象永远过（1,1），且当0α>时，在(0,)x ∈+∞时，单调递增；当0α<时，在

(0,)x ∈+∞时，单调递减.

【规律方法技巧】

指数值和对数值较大小，若指数值有底数相同或指数相同，可以考虑构造指数函数和幂函数和对数函数，通过考虑单调性，进而比较函数值的大小；其次还可以借助函数图象比较大小.若底数和指数不相同时，可考虑选取中间变量，指数值往往和1比较；对数值往往和0、1比较. 【考点针对训练】

1. 【吉林省实验中学2017届高三第九次模拟】已知1

log 3,2,log 30