【小初高学习]2018年高考数学 考点一遍过 专题36 椭圆 文

考点36椭圆（1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质. （3）了解椭圆的简单应用. （4）理解数形结合的思想.一、椭圆的定义平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =. 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. 二、椭圆的标准方程焦点在x 轴上，22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b+=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0a c b a b a c -=>>>>. 三、椭圆的图形及其简单几何性质i)图形焦点在x 轴上焦点在y 轴上ii)注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出a 与c ，然后利用ce a=计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于,,a b c 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围. 四、必记结论1.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点,()P x y ，则当0x ＝时，||OP 有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x a =±时，||OP 有最大值a ，P 点在长轴端点处．2.已知过焦点F 1的弦AB ，则2ABF △的周长为4a .考向一椭圆定义的应用1.椭圆定义的集合语言:1212{|||2,2||}P M MF MF a a F F =+=>往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(),P x y 0(0)y ≠和焦点F 1 (－c ，0)， F 2 (c ，0)为顶点的12PF F △中，若12F PF θ∠=，注意以下公式的灵活运用： （1）12||2PF PF a +=；（2）222121242||||cos ||||c PF PF PF PF θ⋅=+－；（3）12121·sin 2||||PF F S PF PF θ=△. 2.解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.典例1已知F 1，F 2是椭圆22143x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上．（1）若点P 到焦点F 1的距离等于1，则点P 到焦点F 2的距离为________________； （2）过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，则2ABF △的周长为________________； （3）若12120PF F =︒∠，则点P 到焦点F 1的距离为________________． 【答案】（1）3；（2）8；（3）65．（3）在12PF F △中，由余弦定理可得222211221121||||||2||||cos PF PF F F PF F F F PF =+-∠，即22211||||42||PF PF PF =++，由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，两式联立解得1||5PF 6=．1．P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝30°，则12F PF △的面积为A ．1633B ．4(2－3)C ．16(2＋3)D ．16考向二求椭圆的标准方程求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2,b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）.第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且.典例2 椭圆以x 轴和y 轴为对称轴,经过点(2,0),长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的方程为A.+y 2=1B.+=1C.+y 2=1或+=1D.+y 2=1或+x 2=1【答案】C2．离心率为23，长轴长为6的椭圆的标准方程是 A ．22195x y +=B ．22195x y +=或22159x y +=C ．2213620x y +=D ．2213620x y +=或2212036x y +=考向三椭圆的几何性质及应用1.与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了.2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：（1）求出a ,c ，代入公式c e a=. （2）只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ,c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）.典例3已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m ，(m >0)，则此椭圆的离心率为 A.13 B.33 C.22D.12【答案】B【解析】由题意，得椭圆的标准方程为x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴a 2＝m 2，b 2＝m 3，∴c 2＝a 2－b 2＝m 6，∴e 2＝c 2a2＝13，即e ＝33.故选B.3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]126α∈，则该椭圆的离心率e 的取值范围为 A．1,22B．1[,23C．1,3D．1,2-1．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是A．B．(0，2)C．(1，+∞) D．(0，1)2．椭圆的焦距是A．2 B．C．D．3．已知椭圆的一个焦点为抛物线y2=8x的准线与其对称轴的交点,且椭圆的离心率为,则椭圆的方程为A．+=1 B．+=1C．+=14．已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈(,1),则实数m的取值范围是A．(0,) B．(,+∞)C．(0,)∪(,+∞)5．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右顶点到直线x=(c为椭圆的半焦距)的距离为2-,则椭圆C的方程为A ．+y 2=1B ．+=1C ．+y 2=1D ．+=16．对于常数m ,n ,“mn >0”是“方程mx 2+ny 2=1表示的曲线是椭圆”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件7．如图，椭圆的左、右焦点分别为点为其上的动点，当为钝角时，则点的横坐标的取值范围是A ．B ．C ．(-D ．8．已知点是椭圆上一点,是椭圆的焦点,且满足,则12MF F △的面积为A ．1B ．C ．2D ．49．已知F 1,F 2为椭圆=1(a >b >0)的两个焦点,过F 2作椭圆的弦AB ,若1AF B △的周长为16,椭圆的离心率e =,则椭圆的方程是A ．=1B ．=1C ．=110．设P 是椭圆+=1上一点,P 到两焦点F 1,F 2的距离之差为2,则12PF F △是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形11．已知F 1,F 2分别是椭圆E :+=1(a >b >0)的左、右焦点,点(1,)在椭圆上,且点(-1,0)到直线PF 2的距离为,其中点P (-1,-4),则椭圆的标准方程为A ．x 2+=1B ．+y 2=1C ．x 2+=1D ．+y 2=112．已知椭圆+=1的两个焦点是F 1,F 2,点P 在该椭圆上,若|PF 1|-|PF 2|=2,则12PF F △的面积是A ．B ．2C ．2D ．13．已知椭圆C :+=1(a >b >0)的右顶点、上顶点分别为A ,B ,坐标原点到直线AB 的距离为,且a =b ,则椭圆C 的方程为A ．+=1B ．+=1C ．+=1D ．+=114．已知椭圆+=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),若椭圆上存在点P ,使,则该椭圆离心率的取值范围为A ．(0,-1)B ．(,1)C ．(0,)D ．(-1,1)15．若椭圆+=1(m >0)的焦距为2,则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为 .16．已知F 1,F 2为椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于A ,B 两点,若2ABF △为正三角形,则椭圆的离心率为 .17．已知F 1,F 2是椭圆C :+=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且PF 1⊥PF 2,若12PF F △的面积为9,则b = .18．如图,A ,B 分别为椭圆+=1(a >b >0)的左、右顶点,点P 在椭圆上,POB △是面积为4的等腰直角三角形,则b = .19．设F 1,F 2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点M 的坐标为(6,4),则|PM|+|PF 1|的最大值为 .20．已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，若1AF B △的周长为的方程为 .21．设椭圆的两个焦点为是椭圆上任一动点,则的取值范围为 .22．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆,测得近地点A 距离地面m km,远地点B 距离地面n km,地球半径为R km,关于这个椭圆有下列说法:①焦距长为n-m ;②短轴长为;③离心率e =.其中正确说法的序号为 .23．求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3);(2)对称轴为坐标轴,经过点P (-6,0)和Q (0, 8).24．P是椭圆+=1(a>b>0)上任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,有一动点Q满足+,求动点Q的轨迹方程.25．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2.直线l:y=kx+m(m≠0)与椭圆相交于不同的A,B两点.(1)求椭圆的方程;(2)若线段AB中点的横坐标为,求k的值.1．（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．592．（2017新课标全国III 文）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A BC ．3D ．133．（2017新课标全国I 文）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞4．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．（注：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的准线方程：2a x c=±）1．【答案】 B【解析】由题意知c ＝1；|PF 1|＋|PF 2|＝25，|F 1F 2|＝2，在12F PF △中有： |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos30°＝|F 1F 2|2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝4， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)，12F PF △的面积为S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin30°＝4(2－3)．故选B.2．【答案】B【解析】由题意知263223a a b c e c a =⇒=⎧⎪⇒=⎨==⇒=⎪⎩当焦点在x 轴上时，22195x y+=；当焦点在y 轴上时，22159x y+=．故选B ．3．【答案】C11πsin cos )4c e a ααα===++．又因为ππ[,]126α∈，所以1,3e ∈．故选C ．1．【答案】D【解析】方程表示焦点在y 轴上的椭圆，所以,则0<k<1,故选D.2．【答案】A【解析】将椭圆的方程化为标准方程为，则a 2=3,b 2=2,所以c =1，则焦距2c =2.3．【答案】B4．【答案】C【解析】椭圆x2+my2=1的标准方程为x2+=1.又<e<1,即0<.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=1,b2=,则m>;当椭圆的焦点在y轴上时,a2=,b2=1,则0<m<.所以实数m的取值范围是0<m<或m>.【名师点睛】椭圆的性质分两类:(1)与坐标系无关的,如轴长、焦距、离心率;(2)与坐标系有关的,如顶点坐标、焦点坐标.5．【答案】A【解析】由题意知,,解得,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.6．【答案】B【解析】由mn>0,得或.由方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆,得.故“mn>0”是“方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.7．【答案】A【解析】,设,，则，当为钝角时,，由点在椭圆上，可得，，，解得.点的横坐标的取值范围是故选A.8．【答案】A9．【答案】D【解析】由椭圆的定义知|AF 1|+|BF 1|+|AB |=4a =16,∴a =4.又,∴c =2,∴b 2=42-(2)2=4,∴椭圆的方程为=1.10．【答案】B【解析】由|PF 1|+|PF 2|=8,|PF 1|-|PF 2|=2,解得|PF 1|=5,|PF 2|=3.又|F 1F 2|=4,故满足|PF 2|2+|F 1F 2|2=|PF 1|2,故12PF F △为直角三角形.11．【答案】D【解析】设F 2的坐标为(c ,0)(c >0),则,故直线PF 2的方程为y =(x-c ),即x-y-=0,点(-1,0)到直线PF 2的距离d ===,即()2=4,解得c =1或c =-3(舍去),所以a 2-b 2=1. ①又点(1,)在椭圆E上,所以+=1,②由①②可得所以椭圆的标准方程为+y2=1.故选D.12．【答案】A13．【答案】C【解析】依据题意,可得直线AB的方程为+=1,即bx+ay-ab=0.又坐标原点到直线AB的距离为,故⇒,又a=b,解得a=4,b=2,故椭圆C的方程为+=1.14．【答案】D【解析】根据正弦定理得,又可得,即=e,所以|PF1|=e|PF2|.又|PF1|+|PF2|=e|PF2|+|PF2|=|PF2|·(e+1)=2a,所以|PF2|=.因为a-c<|PF2|<a+c,所以a-c<<a+c,所以1-<1+,所以1-e <<1+e , 即解得-1<e <1.故选D.15．【答案】2或4【名师点睛】本题考查了椭圆的定义及标准方程,易错的原因是忽略了椭圆焦点位置对参数的影响.当椭圆焦点位置不确定时,一般要分类讨论.16．【答案】【解析】方法一：e =.因为2ABF △为等边三角形,所以|AF 1|∶|F 1F 2|∶|F 2A|=1∶∶2,所以e =.方法二：不妨设椭圆方程为+=1(a >b >0),F 1(c ,0),F 2(-c ,0),由得|y|=,即|AF 1|=|BF 1|=,|AB|=.因为2ABF △为正三角形,所以·=2c ,得(a 2-c 2)=2ac ,即e 2+2e-=0.又0<e <1,解得e =.17．【答案】3【解析】设椭圆的焦点坐标为(±c ,0),根据椭圆的定义和12PF F △是一个面积为9的直角三角形,有①式两端平方并把②③式代入,可得4c 2+36=4a 2,即a 2-c 2=9,即b 2=9,故b =3.18．【答案】故由题意可得a2=4,解得a=4,故P(2,2).由点P在椭圆上可得,+=1,解得b2=,所以b=.19．【答案】15【解析】因为椭圆+=1中,a=5,b=4,所以c=3,得焦点为F1(-3,0),F2(3,0).根据椭圆的定义,得|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).因为|PM|-|PF2|≤|MF2|,当且仅当P在MF2的延长线上时等号成立,此时|PM|+|PF1|的最大值为10+5=15.20．【答案】【解析】由已知得解得.21．【答案】【解析】由题意得;令,则,,所以===,而,所以;即的取值范围为.22．【答案】①③23．【解析】(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为+=1(a>b>0).方法一:由椭圆的定义知,212=,a=所以a=6.又c=2,所以b==4,所以椭圆的标准方程为+=1.方法二:因为所求椭圆过点(4,3),所以+=1.又a2-b2=c2=4,所以a2=36,b2=32,所以椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的几何性质可知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,所以点P,Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点,则短半轴长b=6,长半轴长a=8,且短轴、长轴分别在x轴和y轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.24．【解析】作P关于O的对称点M,连接F1M,F2M,则四边形F1PF2M为平行四边形,所以+=2=-2.又+,所以=-.设Q(x,y),则=(-,-),即P点坐标为(-,-),又P 在椭圆+=1(a >b >0)上,则有+=1,即+=1.故动点Q 的轨迹方程为+=1(a >b >0).25．【解析】（1）依题意有,即a =c ,所以b =c.（2）联立直线l 的方程与椭圆的方程得,代入消元得(2k 2+1)x 2+4kmx+(2m 2-4)=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=,x 1x 2=.由题意知,x 1+x 2==m ,因为m ≠0,所以=1,即2k 2+4k+1=0,解得k =-1-或k =-1+.1．【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率e B ． 2．【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223()a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ===，故选A ． 3．【答案】A4．【答案】（1）22143x y +=；（2）(77．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b ==因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=．（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F ．设00(,)P x y ，因为P 为第一象限的点，故000,0x y >>． 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符． 当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为001y x -．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+①，直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--②．由①②，解得21,xx x yy-=-=，所以21(,)xQ xy--．因为点Q在椭圆上，由对称性，得21xyy-=±，即22001x y-=或22001x y+=．又P在椭圆E上，故22001 43x y+=．由220022001143x yx y⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得0077x y==；220022001143x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解．因此点P的坐标为．。