五年级奥数专题09：图形的计数

A 3A 1OA 2A 4A 5A 7A 6A 8A 9A 10A 11 A 12九 图形的计数(A)年级 班 姓名 得分一、填空题1．下图中一共有（ ）条线段.2. 如右上图,O 为三角形A 1A 6A 12的边A 1A 12上的一点,分别连结OA 2,OA 3,…OA 11，这样图中共有_____个三角形.3. 下图中有_____4. 右上图中共有_____个梯形.5.数一数(1)一共有( )个长方形. (2)6. 在下图中,所有正方形的个数是______.AC E7. 在一块画有4⨯4方格网木板上钉上了25颗铁钉(如下图),如果用线绳围正方形,最多可以围出_____个.8. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板,上面有4⨯4个钉(如右图).以每个钉为顶点,你能用皮筋套出正方形和长方形共_____个.9. 如下图,方格纸上放了20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有_____个.10. 数一数,下图是由_____个小立方体堆成的.要注意那些看不见的.二、解答题11. 右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比.12. 下图中,AB 、CD 、EF 、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？14ABC的每一边4等分，过各分点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形？九图形的计数（B）年级班姓名得分一、填空题1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是_____.2. 右上图中有正方形_____个,三角形_____个,平行四边形_____个,梯形_____个.3. 下图中共出现了_____个长方形.4. 先把正方形平均分成8个三角形.再数一数,它一共有_____个大小不同的三角形.5. 图形中有_____个三角形.6．如右上图,一个三角形分成36个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多_____个.7. 下图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有_____个小立方体.8. 右上图中共有_____个正方形.9. 有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有1张；标有数码“2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。

把这九张圆形纸片如下图所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问：如果M 位上放置标有数码“3”的纸片，一共有_____种不同的放置方法.10. 如下图,在2×2方格中,画一条直线最多可穿过3个方格,在3×3方格中,画一条直线最多可穿过5个方格.那么10×10方格中,画一条直线最多可穿过_____个方格.二、解答题11. 把一条长15cm 的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是相同的.）12. 有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和11厘米的细木条,它们的数量都足够多,从中适当选取3根木条作为三条边.可围成一个三角形,如果规定底边是11厘米长,你能围成多少个不同的三角形?13. 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?14. 有同样大小的立方体27个,把它们竖3个,横3个,高3个,紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体(见图).如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体的话,最多可以穿透几个小立方体?———————————————答 案——————————————————————1． 30由例1注可知图形中每边有3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有6⨯5=30条线段. 2. 371A 6A 12分解成以OA 6OA 1A 6中共有5+4+3+2+1=15(个)三角形, OA 6A12中共有+1=21(个)三角形,这样,图中共有15+21+1=37(个)三角形. 3. 15这样的问题应该通过分类计数求解.此题中的三角形可先分成含顶点C 的和不含顶点C 的两大类.含顶点C 的又可分成另外两顶点在线段AB 上的和在线段BD 上的两小类.分类图解如下:所以原图有(3+2+1)+(3+2+1)+3 =15(个)三角形. 4. 18梯形一共有三行,每行都有3+2+1=6(个),所以一共有6⨯3=18(个)梯形. 5. 108,36(1)因为长方形是由长和宽组成的,因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种数.按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数,将它们相乘就是所有长方形的个数.因为AB 边上有8+7+6+…+2+1=289⨯=36条线段，AD 边上有2+1=3条线段，所以图中一共有36⨯3=108个长方形.(2)三角形一共有6行,每行都有3+2+1=6(个),所以一共有6⨯6=36(个)三角形. 6. 30由例5注可知整个图形中共有12+22+32+42=30个正方形. 7. 50此类问题一般用分类方法计数.对正方形的边长分八类计数如下: 边长为AB 的正方形有16个；边长为AC 的正方形有9个； 边长为AD 的正方形有4个； 边长为AE 的正方形有1个； 边长为DF 的正方形有9个； 边长为CF 的正方形有8个； 边长为BF 的正方形有2个； 边长为CG 的正方形有1个. 所以,最多可围出50个正方形. 8. 44因为正方形是特殊的长方形,所以可以把正方形看成长方形,这样就不必分别求正方形和长方形的个数,仍用分类计数的方法求解.先考虑有一组对边平行于BC 的长方形有多少个.这一类按其水平边的位置可分为6小类,即位置在BF 、FE 、EC 、FC 、BE 、BC .同样,其竖直边也分为6类.所以这一类有6 6=36个长方形.另一类是没有边平行于BC 的.这一类又分类两小类,分解图如下页图所示,其中分别有6个和2个长方形.所以，一共可套出正方形和长方形36+6+2=44个. 9． 21以正方形的面积大小分类计数.设相邻两点的距离为1，则正方形面积为1的有9个； 面积为2的有4个； 面积为5的有2个； 面积为8的有4个； 面积为13的有2个；所以，共有9+4+2+4+2=21个正方形. 10． 30将原立体图形从左至右分类计算，共有11+7+5+7=30个.11. 白色小三角形个数=1+2+3+…+6=26)61(⨯+=21，黑色小三角形个数=1+2+3+…+7=27)71(⨯+=28，所以它们的比=2821=43.12. 解法一本图中三角形的个数为(1+2+3+4)⨯4=40(个).下面求梯形的个数.梯形由两底唯一确定.首先在AB ,CD ,EF ,MN 中,考虑两底所在的线段,共有(4⨯3)÷2=6(种)选法；对上述四条线段中确定的两条线段，共有10（10=4+3+2+1）个梯形.共60个梯形.故所求差为20.解法二4个三角形,6个梯形,梯形比三角图形图形多2个.而在题图中,这种恰有10个.故题图中,梯形个数与三角形的个数之差为2⨯10=20(个).13. 边长2厘米的正方形:2⨯2=4(个) ……红色 边长4厘米的正方形(4-1)⨯4=12(个) ……红色 (4-2)⨯(4-2)=4(个) ……白色 边长8厘米的正方形(8-1)⨯4=28(个) ……红色 (8-2)⨯(8-2)=36(个) ……白色 边长9厘米的正方形(9-1)⨯4=32(个) ……红色 (9-2)⨯(9-2)=49(个) ……白色 所以,红色小正方形共有 4+12+28+32=76(个) 白色小正方形共有 4+36+49=89(个)[注]本题的要求是由边长为1厘米的红色和白色两种正方形,分别组成边长是2厘米,4厘米,8厘米,9厘米的大小不同的正方形,可以看作方阵问题来解.四周的小正方形是涂红色的,可看成是空心方阵,因此,涂红色正方形的个数等于4⨯(n -1).其他小正方形是涂白色的，可当作实心方阵，所以，涂白色的正方形的个数等于(n -2)⨯(n -2).比如,由边长为1厘米的正方形组成边长为9厘米的正方形,涂红色的小正方形的个数是:4⨯(9-1)=32(个),涂白色的小正方形的个数是:(9-2)⨯(9-2)=49(个).14. 将平行四边形分为三类:①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；③尖角在左上、右下方.就第①类而言: 型6个； 型3个，与其对称的3个；型1个，与其对称的1个； 型1个；共15个.同理,第②、③类也分别含15个，故上述三类平行四边形共45个.[注]这样数平行四边行,很麻烦,又易出错.我们试图找到一种对应关系:先考虑任一边不与BC 平行的平行四边形,延长各边必与BC 有4个交点,特殊情况下,第二个交点与第三个交点重合；反过来，BC 上的任意四点或三点决定一个平行四边形，也就是说，边不与BC 平行的平行四边形的个数与BC 上的四交点组和三交点组的数目一样多。

由于BC上有5个交点，其中可构成5个4点组；10个3点组，即边不平行于BC的平行四边形有15个。

同理分别考虑边不平行AB、CD的平行四边行。

由此可知，共有45个平行四边形。

———————————————答案——————————————————————1. 90利用例1和例4公式可直接计算:(5+4+3+2+1)×(3+2+1)=15×6=90(个)[注]注意,由长方形、正方形的意义可知，正方形一定是长方形，但反之不然.故求长方形个数时,不必把正方形分开考虑.2. 3个正方形; 18个三角形; 6个平行四边形; 8个梯形.3. 18根据这个图形的特点,我们先数出下图(1)中长方形的个数为(2+1)×(2+1)=9个；然后在图(1)的内部添上一个长方形得到图(2).这时新产生的长方形有(2+1)×(2+1)=9个.至此已将图(1)还原为题图,同时题图中的长方形已全部数完.因此,原图中共有长方形.(2+1)×(2+1)+ (2+1)×(2+1)=18(个).(1) (2)4. 16具体分法如下图所示.基中小三角形有8个,由两个小三角形组成的三角形有4个,由四个小三角形组成的三角形有4个,所以共有三角形8+4+4=16(个).5. 72把图中最小三角形作为基数,然后按含有几个基数的三角形分类进行解答.含一个基数的三角形,共有16个；含两个基数的三角形，共有24个；含四个基数的三角形，共有20个；含八个基数的三角形，共有8个；含十六个基数的三角形，共有4个.因此,整个图形中共有16+24+20+8+4=72(个)三角形.6. 6图中的三角形可分成两种,一种是尖头向上的,一种是尖头向下的.从图上可以看出,每种三角形必须涂成同一颜色.为了使涂红色的三角形比涂蓝色的三角形多,尖头向上的三角形要涂红色.每一横排,尖头向上的三角形要比尖头向下的三角形多一个,共有6排,因此,涂红色的比涂蓝色的三角形多6个.7. 38将原立体图形从左至右分类计算,共有16+9+5+7+1=38个.8. 115单独的一个4×4的方格中有12+22+32+42=30个正方形,两个4×4的方格如原图重叠后,重叠部分有5个正方形.所以原图中一共有30×4-5×3=115个正方形.9. 6根据标有相同数码的纸片不许靠在一起的条件，当M位置上放标有数码“3”的纸片时，其余两个标有数码“3”的纸片，只能放置在下面左右两边两个圆圈内.如下图所示.这样圆圈绕M圆紧接着M的六个圈旋转一周,回到初始状态,可知共有六种不同的放置方法.10. 19如果直线与大正方形的两横边都有交点,则与所有的横边产生11个交点,与竖边至多9个交点,共20个交点.如果直线与大正方形的一横边和一竖边有交点,则与横边至多产生10个交点,与竖边至多产生10个交点,共20个交点.20个交点,将直线分成21部分,其中在大正方形有内有19部分,故至多穿过19个方格.[注]穿过一个方格,在直线上截出一条线段,线段由直线上的交点决定,关键是求交点个数.对小学生来说,通常总是从简单情况入手,即由1×1方格,2×2方格,3×3方格等的情况,归纳出一般的规律,从而得出10×10方格的结果.请同学们用归纳法试一试!11. 最大边为7时,另两边之和为8,可构成4个(1+7,2+6,3+5,4+4)不同的三角形；最大边为6时，另两边之和为9，可构成2个（3+6，4+5）不同的三角形;最大边为5时,可构成1个(5+5)不同的三角形.所以一共可组成7个不同的三角形.12. 由三角形的一边为11厘米,及其他边长必为1,2,.…，11厘米，根据三角形两边之和大于第三边的性质，可知两边之和应介于12厘米和22厘米之间（包含12厘米和22厘米）.这样,共可围成36个不同的三角形.12:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6)；13:(2,11),(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)；14:(3,11),(4,10),(5,9),(6,8),(7,7)；15:(4,11),(5,10),(6,9),(7,8)；16:(5,11),(6,10),(7,9),(8,8)；17:(6,11),(7,10),(8,9)；18:(7,11),(8,10),(9,9)；19:(8,11),(9,10)；20:(9,11),(10,10)；21:(10,11)；22:(11,11)所以，一共可以围成36个不同的三角形.13. 为方便起见,不妨设原正方形的边长为3,则小正方形的边长是1,阴影三角形的面积是21×2×3=3.所求的三角形可分两种情形: (1)三角形的一边长为2,这边上的高是3.这时,长为2的边只能在原正方形的边上,这样的三角形有2×4×4=32(个)；(2)三角形的一边长为3,这边上的高是2.这时长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线.其中与(1)重复的三角形不再算入,这样的三角形有8×2=16(个).因此,所求的三角形共32+16=48(个)(包括图中开始给的三角形.)14. 最多可以穿透7个小立方体.提示:仿题10.。