阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论
阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》
❖ 除《圆锥曲线论》外，阿波罗尼奥斯还有 好几种著作，为后世学者（特别是帕波斯） 所提及。列举如下：
❖ 1《截取线段成定比》 ❖ 2《截取面积等于已知面积》 ❖ 3《论接触》 ❖ 4《平面轨迹》 ❖ 5《倾斜》 ❖ 6《十二面体与二十面体对比》
阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》
❖ 此外还有《无序无理量》、 《取火镜》、圆周率计算 以及天文学方面的著述等。
阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》
圆锥曲线统一形式
❖ 在直角坐标系下，三种不同的圆锥曲线 的方程也可以具有统一的形式。见P163.
❖ 17世纪的开普勒和18世纪的欧拉就已经 有了这种从运动的、变化的观点，把各 种圆锥曲线看做是在同一个系统中的看 法。
阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》
数学的统一美
❖ 从给出三种圆锥曲线分别的定义到统一 的定义，让我们看到数学的“统一美”。 只有抓住了不同事物共同的本质，才能 用统一的观点，统一的语言来描述几种 不同的事物。事物的本质是内在的，当 我们用统一的语言把它叙述出来时，这 种内在的本质就外化了，让我们有一种 透过现象看到
阿波罗尼奥斯《圆锥曲线》
三个宇宙速度与发射体的轨迹
❖ 第一宇宙速度(环绕地球速度)V1=7.91km/s， ❖ 第二宇宙速度(脱离地球速度)：V2=11.2km/s ❖ 第三宇宙速度（脱离太阳系速度）
V3=16.7km/s ❖ 在V1<V<V2,发射体的轨道是椭圆 ❖ V=V2，发射体的轨道是抛物线（的一半） ❖ V>V2,发射体远离，轨道是双曲线一支（的
❖ 其设计师是荷兰IBA事务所的马克·海默 尔和芭芭拉·库伊特。
❖ 有一天，我在厨房把一些弹性橡皮绳绑 在两个椭圆形的木盘之间，一个在底部， 一个在顶部。当我开始旋转顶部椭圆的 时候，一个复杂的形状出现了。我开始 激动起来，要从这个简单的想法开始， 把它发展成一个建筑物。
宇宙的基本形式——圆锥曲线的那些鲜为人知的故事
宇宙的基本形式——圆锥曲线的那些鲜为人知的故事1、圆锥曲线是什么？相信高中学生都能知道：椭圆，双曲线和抛物线通称为“圆锥曲线”。
圆锥曲线（二次曲线）的统一定义为：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的商是常数e（离心率）的点的轨迹。
当e>1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0<e<1时，为椭圆，当e=0时，椭圆退化为圆（此时可认为定点（焦点）为圆心，定直线（准线）为无穷远直线），而且知道相对的方程式是二元二次方程式。
那就纳闷了，这样的一些曲线为什么叫圆锥曲线?难道与圆锥有关？还真是。
这要从2000多年前的古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262～190年）谈起。
3、阿波罗尼奥斯——“数学三杰”之一阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯常和欧几里得、阿基米德合称为亚历山大时期的“数学三杰”。
阿波罗尼奥斯年青时到亚历山大跟随欧几里得的后继者学习。
阿波罗尼奥斯总结了前人（柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线）的工作，尤其是欧几里得的工作，写了一部经典巨著《圆锥曲线论》，一共8大卷，共487个命题，前4卷的希腊文本和其次3卷的阿拉伯文本保存了下来，最后一卷遗失。
阿波罗尼奥斯在其著作中使用纯几何方法将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎不给后人留有任何研究的余地，堪称希腊几何的最高水平。
（与欧几里得的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作。
）我们很难想象，在没有现代代数符号的情况下，他是如何发现并证明百条优美而深奥的定理的。
不愧是“数学三杰”之一！阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时，则可得到双曲线。
他曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
「代数思维系列」椭圆性质汇总
「代数思维系列」椭圆性质汇总圆锥曲线是高中解析几何的重点和难点，运算量之大，相信所有经历过的学生都有感触，而正因为代数运算之繁琐，更使得代数思维在圆锥曲线这个舞台上，有了极大的发挥空间。
最早研究圆锥曲线的集大成者是古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～190年），阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中将圆锥曲线的性质几乎网罗殆尽。
当然，那个时候还没有平面直角坐标系，更没有解析几何的概念，但其著作中已经有了坐标制的思想，直到1800多年后的17世纪，笛卡尔建立坐标系，创立解析几何后，对圆锥曲线的研究才有了进一步的扩展。
阿波罗尼奥斯（约公元前262～190年）高中阶段对圆锥曲线的学习，还处于非常基础的阶段，圆锥曲线的性质可以列出数百条，本文仅对高考考点中涉及的椭圆的部分性质进行汇总。
（双曲线及抛物线的性质另文详述，欢迎大家持续关注）注：以下仅讨论焦点在x轴上的椭圆性质。
椭圆定义1.第一定义平面内与两定点F1、F2的距离的和为常数2a的动点P的轨迹叫做椭圆，其中2a>|F1F2|。
此为课本上的标准定义，不再详述。
2.第二定义平面内到定点F（±c，0）的距离和到定直线l：x=±a²/c的距离之比为常数e=c/a（0<><1）的点的轨迹是椭圆。
其中定点f（±c，0）为椭圆的左右焦点，定直线l：x=±a²>对第二定义给出证明：以右焦点和右准线为例：上述定义即可作为判定定理也可作为性质定理。
椭圆方程1.椭圆标准方程不再详述。
2.椭圆参数方程其中θ为参数，θ的几何意义如下图：以椭圆长轴和短轴为直径分别做圆，针对椭圆上任一点M，分别向大圆与小圆做垂线，垂足分别为A，B，则ABO三点共线，∠AOx 即为参数θ。
切线1.椭圆切线定理椭圆的任意一条切线与切点处的两条焦半径所成的角相等。
如图，F1、F2为椭圆两焦点，AB为椭圆切线，P为切点，则∠APF1=∠BPF2。
数学家阿波罗尼奥斯
圆锥曲线论
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由此可知阿波罗尼奥斯写此书是在晚年，至少是在儿 子成年以后。又知道他到过以弗所。他的主要成就是建立 了完美的圆锥曲线论，总结了前人在这方面的工作，再加 上自己的研究成果，撰成《圆锥曲线论》（Conics）8大 卷，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的 余地。直到17世纪的B．帕斯卡（Pascal）、R．笛卡儿 （Descartes），才有实质性的推进。欧托基奥斯（Eutocius of Ascalon，约生于公元480年）在注释这部书时说 当时的人称他为“大几何学家”。 • 阿波罗尼奥斯常和欧几里得、阿基米德合称为亚历 山大前期三大数学家。时间约当公元前300年到前200年， 这是希腊数学的全盛时期或“黄金时代”． •
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第1—4卷的拉丁文译本于1537年由J．B．门努斯 （Menus）在威尼斯出版。而较标准的拉丁文译本由 F．科曼迪诺（Commandino，1509—1575）译出，于 1566年在博洛尼亚出版。其中包括帕波斯的引理和欧托 基奥斯的评注，还加上许多解释以便于研读。第5—7卷最 早的拉丁译本的译者是A．埃凯伦西斯（Echellensis）及 G．A．博雷利（Borelli，1608—1679），1661年出版 于佛罗伦萨，是从983年阿拉伯文抄本译出的。天文学家 E．哈雷（Halley，1656—1743)参考了各种版本，重新 校订了第1—7卷拉丁文本及第1—4卷希腊文本，1710年 在牛津出版。 • 目前权威的第1—4卷希腊文、拉丁文对照评注本是 J．L．海伯格（Heiberg，1854—1928）的“Apollonii Pergaei quae Graeceexstant cum commentariis antiquis”（《佩尔格的阿波罗尼奥斯的现存希腊文著作， 包括古代注释》）2卷，
阿波罗尼奥斯和圆锥曲线
古希腊数学史上有一段黄金时期，那就是从公元前338年到公元前30年——最后一个希腊
公元前300年左右，托勒密一世开始在埃及的亚历山大
城建造当时世界上最大的博物馆和图书馆，提倡学术研究，
网罗人才。
从此以后，亚历山大城成为希腊文化活动的中心。
这里学者云集，出现了一大批优秀的数学家，其中最杰
出的代表是欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯这三位。
他们三人无论是与古代人相比，还是与各个时代的数学
家相比，都堪称伟大。
（现在位于土耳其安纳托利亚省）。
成年之后，
他就到了亚历山大城，向欧几里得、阿基米德的学生学习几何知
阿波罗尼奥斯后来回过故乡，那里也有一个大图书馆，规模
仅次于亚历山大图书馆。
这个国家的国王阿塔罗斯一世除崇尚武
功外，还注重文化建设。
阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》从第4卷
圆椭圆抛物线双曲线
23。
圆锥曲线的发展历史
圆锥曲线的发展历史圆锥曲线，也被称为二次曲线，是数学中的一个重要分支，涵盖了一系列以圆锥为背景的曲线形状。
这个领域的历史可以追溯到古代数学，并持续发展至今。
在古代，圆锥曲线的概念首先由古希腊数学家希波克拉底斯（Hipparchus）提出。
他通过研究太阳的投影和行星的运动，发现了椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线的一些性质。
然而，对于这些曲线的深入理解和研究主要是在17世纪和18世纪进行的。
在17世纪，意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri）提出了“圆锥截面”的概念，即通过一个平面与圆锥的相交，可以得到一条曲线。
这个概念被广泛地应用于解析几何和微积分的研究中。
同时，开普勒（Kepler）通过对行星运动的研究，发现了行星运动的三大定律，这实际上是进一步揭示了椭圆曲线的性质。
到了18世纪，法国数学家蒙日（Monge）进一步发展了圆锥曲线的理论。
他引入了参数方程来描述这些曲线，这使得在坐标系中更容易地描绘和计算这些曲线的性质。
同时，蒙日还推广了卡瓦列里的“圆锥截面”概念，将其应用于更广泛的几何问题中。
在19世纪和20世纪，圆锥曲线的研究进一步深入。
德国数学家高斯（Gauss）在他的著作《曲面的一般研究》中，详细研究了曲面上的二次曲线，并引入了“二次曲面”的概念。
意大利数学家皮亚诺（Peano）也进一步发展了圆锥曲线的几何理论，他引入了“皮亚诺曲线”的概念，这是一种不能用圆规和直尺画出的曲线。
在现代数学中，圆锥曲线仍然是研究的热点之一。
除了传统的几何学研究外，圆锥曲线还在物理学、天文学、工程学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，圆锥曲线可以描述粒子的运动轨迹；在天文学中，圆锥曲线可以描述行星的运动轨迹；在工程学中，圆锥曲线可以用于建筑设计、机械制造等领域。
圆锥曲线的发展历史是一部跨越千年的数学史诗。
从古希腊的希波克拉底斯到现代的科学家们，数学家们一直在探索和理解这些神奇的曲线形状。
随着科技的发展，圆锥曲线在各个领域的应用也将越来越广泛。
数学史（12）：阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》
数学史（12）：阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》模仿只会仿制他所见到的事物，而想象则能创造他所没有见过的事物。
——阿波罗尼奥斯佩尔加古城遗址古典希腊的另一位伟大数学家是阿波罗尼奥斯（Apollonius，约公元前262年～190年），生于小亚细亚西北部的佩尔加（Perga，今属土耳其安纳托利亚）。
他青年时代曾经到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习，后来到过小亚细亚西岸的帕加马(Pergamum)王国，也到过以弗所（Ephesus），嗣后卜居亚历山大城和当地的数学家合作研究。
在当时及后世，他都以“大几何学家”和天文学家闻名。
阿波罗尼奥斯在晚年总结自己的一生所学，撰写了几何学经典巨著《圆锥曲线》，写作风格和欧几里得、阿基米德是一脉相承的：先设立若干定义，再由此依次证明各个命题，推理十分严格。
尽管在他之前已有人研究圆锥曲线，但阿波罗尼奥斯做了去粗取精和系统化的工作，另有非常独到的创见，而且写得巧妙、灵活。
《圆锥曲线》前四卷是基础部分，后四卷是拓广的内容，其中八卷已失传，共含487个命题。
卷1 论述圆锥曲线的定义和性质阿波罗尼奥斯是第一个依据同一个（正的或斜的）圆锥的界面来研究圆锥曲线理论的人，也是第一个发现双曲线有两支的人。
如上图，给定一个圆直径BC，以及该圆所在平面外的一个点A。
过A点且沿圆周移动的一根直线便生成一对锥面。
直径BC圆叫该圆锥的底。
圆锥的轴（未画出）若垂直于底，这就是正圆锥（直角圆锥），否则就是斜圆锥（锐角圆锥和钝角圆锥）。
设圆锥的一个截面与底平面相交于直线DE，该直线和底圆直径BC相互垂直。
于是，三角形ABC就是一个包含了圆锥轴的三角形，也因此被称作为“圆锥轴三角形”。
该三角形和“圆锥曲线”相交于两点P，P`。
PP`连接线是该“圆锥曲线”的一条直径；Q点和Q`点的连接线是该“圆锥曲线”的一条弦，且和直线DE平行。
因此，连线QQ`和连线PP`虽然相交于V 点，但是未必和连线PP`垂直。
阿波罗尼随即证明了QQ`被PP`所平分，从而VQ=1/2QQ`。
阿波罗尼奥斯 圆锥曲线 命题
阿波罗尼奥斯圆锥曲线命题阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊数学家，被誉为“圆锥曲线之父”，他对圆锥曲线的研究至今仍具有深远的影响。
圆锥曲线作为数学中的重要概念，在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
而命题则是对几何图形特定性质或关系的陈述，通常需要用证明来加以解释。
本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨阿波罗尼奥斯和圆锥曲线的相关内容，并以命题为线索展开论述。
一、阿波罗尼奥斯的生平和成就1. 阿波罗尼奥斯简介阿波罗尼奥斯是古希腊数学家，生活在公元前262年至公元前190年之间。
他的主要成就是在圆锥曲线的研究方面，尤其是椭圆、双曲线和抛物线的性质和方程。
2. 圆锥曲线的定义和分类圆锥曲线是平面上由圆锥和一个平面相交得到的曲线，根据与圆锥的角度和位置的不同，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种基本类型。
3. 阿波罗尼奥斯对圆锥曲线的研究成果阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中系统地阐述了圆锥曲线的基本性质和方程，并且提出了圆锥曲线的焦点、直径、离心率等重要概念，为后人对圆锥曲线的研究奠定了坚实的基础。
二、圆锥曲线的性质和应用1. 椭圆的性质和应用椭圆是圆锥曲线中的一种，其在几何学和天文学中有着重要的应用，例如开普勒定律中描述了行星在椭圆轨道上运动的规律。
2. 双曲线的性质和应用双曲线同样具有丰富的性质和应用，它在光学和工程学中有着重要的地位，例如抛物面反射器的设计和应用。
3. 抛物线的性质和应用抛物线的性质在抛物线运动和抛物线反射方面有着广泛的应用，例如在炮弹和导弹的发射轨迹计算中就广泛应用了抛物线的性质。
三、命题的探讨和应用1. 命题的定义和类型命题是对几何图形或数学概念具体性质的陈述，通常需要用证明来加以解释。
命题可以分为几何命题和数学命题两种类型。
2. 命题的证明方法命题的证明方法有直接证明、间接证明、反证法等多种形式，其中直接证明是最常见的证明方法，而反证法则是通过假设命题为假，然后导出一个矛盾的结论来证明命题为真。
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第五节阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论
圆锥曲线是椭圆、双曲线、抛物线的统称，因为它们都可以通过“用平面截圆锥”来得到，所以叫圆锥曲线。
在建立平面直角坐标系以后，表达这三类曲线的方程都是二次方程，所以它们又统称为二次曲线。
图中分别画出了椭圆、双曲线、抛物线的形状。
我们周围圆锥曲线的例子很多。
我们居住的地球始终沿着环绕太阳的椭圆轨道运行，太阳位于该椭圆的一个焦点上。
太阳系的其他行星的运行轨道也是椭圆。
抛物线绕其轴旋转得到旋转抛物面。
探照灯的反光镜做成旋转抛物面的形状，以得到集中的光束。
双曲线绕其虚轴（与双曲线不相交的那根对称轴）旋转得到单叶双曲面。
许多化工厂和热电厂的高大的冷却塔就特意做成单叶双曲面的形状，既轻巧又坚固。
这些例子当中的道理是什么呢？这就需要我们对圆锥曲线及其性质有进一步的了解。
一、圆锥曲线的由来与阿波罗尼奥斯
古希腊的数学，曾经是当时世界数学发展的辉煌的一页。
对圆锥曲线的研究是其中重要的一个方面。
第一个考察圆锥曲线的是希腊学者梅内赫莫斯（Menaechmus，公元前375-前325）。
他起初的目标是解决当时的一个著名难题——立方倍积问题。