经典谐振子与量子谐振子
第五章 谐振子
c 2 k +1 B a2 k +1 = (−1) k , k = 0,1,2,3,... (2k + 1)!
所以，我们有：
y = ∑ an x n =
n =0
n=2
∞
将上述两个微分带入原方程，得：
∑ n(n − 1)a x
n=2 n
∞
n−2
+ ∑ c an x = 0
2 n n =0
∞
为求解方便，需将上述等式左边的两个级数合并。
假设某些条件存在，我们能够将下述两个无穷级数诸 项相加以得到它们的加和：
b j x + ∑ c j x = ∑ (b j + c j ) x j ∑
l =0
若令c0＝0，则得另一独立的解：
ψ =e
−αx / 2
2
n n =1, 3, 5...
∑c x
∞
n
=e
−αx / 2
2
∑c
l =0
∞
2 l +1
x
2 l +1
所以薛定谔方程的通解为：
ψ = Ae −αx
2
/2
c2l +1 x 2l +1 + Be −αx ∑
l =0
∞
2
/2
c2 l x 2 l ∑
考察微分方程： 考察微分方程：
y′′( x) + c 2 y ( x) = 0
求解方法：
（c2为实正数）
（1）利用常系数微分方程的辅助方程s2+c2=0及其通解。 （2）幂级数法求解。 假设方程的解可在x=0附近用泰勒级数(Taylor series) x=0 (Taylor 展开，即：
量子谐振子的各态概率分布
量子谐振子的各态概率分布量子谐振子是量子力学中一个重要的模型，它在许多领域中都有广泛的应用。
其概率分布描述了谐振子在不同能级上的可能性，这对于研究量子系统的行为有着重要的意义。
首先，我们来回顾一下谐振子的基本概念。
量子谐振子是一个受束缚的粒子，在一个势能为二次函数形式的势场中运动。
其哈密顿算符可以表示为：$$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2$$其中，$\hat{p}$表示动量算符，$\hat{x}$表示位置算符，$m$表示质量，$\omega$表示振动频率。
为了研究量子谐振子的概率分布，我们需要解谐振子的定态薛定谔方程。
定态薛定谔方程可以写成：$$\hat{H}\psi=E\psi$$其中，$\psi$表示波函数，$E$表示能量。
解这个方程可以得到一系列的能级和对应的波函数。
每一个能级对应一个量子数$n$，表示谐振子的激发态。
基态对应$n=0$，第一激发态对应$n=1$，以此类推。
接下来，我们来研究谐振子的概率分布。
概率分布可以通过波函数的模的平方来描述。
对于谐振子的定态，波函数的模的平方可以表示为：$$P(x)=|\psi(x)|^2$$其中，$x$表示位置。
对于谐振子的基态，波函数的模的平方呈现出一个高斯分布的形状。
这是因为基态波函数是一个简单的振动模式，其形状类似于经典谐振子的振动。
高斯分布的峰值位于平衡位置，随着位置的偏离，概率逐渐减小。
对于激发态，波函数的模的平方呈现出多个峰值的分布。
这是因为激发态波函数表示了谐振子在多个能级上的可能性。
每个峰值对应一个能级，随着能级的增加，峰值的数量也增加。
除了位置概率分布，谐振子的动量概率分布也是非常重要的。
动量可以通过位置算符和动量算符之间的关系来计算。
谐振子的动量算符可以表示为：$$\hat{p}=m\omega\hat{x}$$动量概率分布可以通过动量算符在动量本征态上的投影来计算。
量子谐振子和谐振子的耦合
§13-3 量子谐振子和谐振子的耦合
1、何为（一维）谐振子
经典力学中：质量m的粒子在弹性力F=-kx的作用下做往复 运动，称为谐振子；
经典力学中谐振子运动的弹性势能为 U 1 m；2x2
2
量子力学中的线性谐振子是指在 U 1 m的2势x2 场中做一维运动
的粒子。
2
2、一维谐振子的定态薛定谔方程
1
其中：Nn
2n
2 n！
，
m
h
Hn ( )
(1)n
exp[ 2 ]
dn
d n
exp[
2 ],
x
4、量子谐振子与经典谐振子的区别
(1)基态能量(最小能量)不同
经典谐振子:最小能量为0(经典粒子可停在原点)
量子谐振子:基态能量不为0,称为零点能.
E0
1 2
h
0
零点能是微观粒子波粒二相性的表现，是量子效应， .
2
[ 2 U r ] (r ,t) E (r ,t)
2m
对一维谐振子，有：
则有：
U 1 m2x2
2
[ 2 d 2 1 m2x2 ] E
2m dx2 2
3、定态薛定谔方程的解(本征值和本征函数)
En
(n
1)h, n
2
0,1, 2,L
厄米多项式
本征函数： n
x
1 2x2
Nne 2 Hn ( x)
作业
1.求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置.
1
量子力学的谐振子（黑线）波函数 n 有x n2 个节点，在节点处找
到粒子的几率为零。
而经典力学的谐振子（红线）在势阱内每一点上都能找到粒子没 有节点.
一维量子谐振子的概率分布.
一维量子谐振子的概率分布摘要：线性谐振子问题作为一种普遍的模型，所以在经典力学中和量子力学中都受到很大关注。
并且谐振子包括很多类型，我们就先研究量子谐振子的问题。
量子谐振子是很多复杂物理模型的基础，量子谐振子在前几个量子态时，概率密度与经典情况相差较多，随着量子数的增加，随之相似性也会增加。
可以通过使用数学软件将量子谐振子的概率分布绘制成图像，从而得出一维量子谐振子的概率分布。
关键词：经典谐振子一维量子谐振子波函数量子谐振子概率分布1.引言：谐振子的振动是一种很常见的物理模型，它在很多方面得到应用。
谐振子大体可分为经典力学和量子力学两部分，谐振在运动学就是简谐振动，这样的振动是物体在某一位置附近往复偏离该振动中心位置，在这样的振动方式下，物体所受到的力的大小总是与它偏离平衡位置的大小成正比关系，并且物体总是受到指向平衡位置的力。
谐振子具有周期运动的物理特征，一些复杂的物理基础可以运用谐振子运动来解决。
通过对经典谐振子的研究，得到经典谐振子的函数关系式。
再利用量子力学中的不确定关系得到量子谐振子的能量最低点，即平衡位置，最后得到谐振子的波函数，从而得到了谐振子的概率。
随着量子数的增加，利用软件Mathematica绘制一维量子谐振子的概率分布。
再和经典的线性谐振子来作比较，得到经典谐振子的关系。
2.经典一维谐振子：首先让我们谐振子在物理中是非常常见的模型，我们很早就已经接触过，并且有了一定的了解。
下面来讨论一维弹性力的一维简谐振子。
例如：质量为m的物体放在光滑的桌面上，在其水平的方向上受到一个弹簧作用，在某一位置处质点所受力的大小为零，则把这一点叫做平衡位置。
弹簧的劲度系数为k，物体m在弹簧弹性力的作用下沿弹簧方向运动，作用于质点的力和质点距离平衡位置的位移成正比，这样受力的质点就是一个典型的一维简谐振子。
大家都知道，质量为m的质点在做简谐振动的过程中用x来表示质点便偏移平衡位置的距离，也就是质点的位置，也是弹簧的伸长或压缩的量。
2.4一维谐振子
§ 2.4 一维谐振子一、能量本征方程 二、级数解法三、本征值和本征波函数平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。
例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。
一、能量本征方程取振子的平衡位置为坐标原点22222212ˆx m x m H ω+-=d d)()(21222222x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d因为0min =V ，∞→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0)(lim =ψ±∞→x x 。
设ωαm =引入无量纲量 ⎪⎭⎫⎝⎛==ωλαξ 21,E x能量本征值问题转化成如下定解问题0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d)(lim =ψ±∞→ξξ下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值,2,1,0,12=+=n n λ这导致能量的量子化。
首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。
考虑±∞→ξ的渐近解。
这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于0222=ψ-ψξξd d渐近通解为2222eeξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）但因22ξe不满足束缚态的条件，所以渐近解取为22~ξ-ψe把波函数写成)(2ξξu -=ψe代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程)1(222=-+-u uu λξξξd d d d这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。
二、级数解法在原点0=ξ附近，用幂级数kk k a u ξξ∑∞==0)(代入Hermite 方程，得0)1(2)1(01122=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξξ把前两项的求和序号改为从0开始0)1(2)1)(2(02=-+-++∑∑∑∞=∞=∞=+k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξ由此得到展开系数ka 的递推关系,2,1,0,)1)(2()1(22=++--=+k a k k k a k k λ只要给定0a 或者1a ，就可以把)(ξu 分成只含偶次项和只含奇次项的级数+++=+++=553312442201)()(ξξξξξξξa a a u a a a u而波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ--)()()(221222ξξξξξu u e e当∞→k 时)(1ξu 的相邻后项对前项的系数比值的极限为m k k k k a a k k 12)1)(2()1(22=→++--=+λ， ,2,1=m这与2e ξ的幂级数相邻项系数比值11+m 的极限相同。
量子力学中的谐振子模型
量子力学中的谐振子模型谐振子是最简单的物理模型之一，它是许多物理学和工程学研究中的基础。
谐振子模型最初是由赫兹在19世纪初研究弹簧振动得到的。
在量子力学中，谐振子模型被广泛应用于描述原子、分子、晶格等系统的振动。
谐振子模型的基本特征谐振子模型是一个标准量子力学问题，它最初是由薛定谔在1926年提出的。
谐振子模型由一个质量为m的粒子在一个势场V(x)中振动组成。
当此势场是一个二次曲线时，粒子的行为就是谐振子。
这个势场可以用下面的公式来描述：V(x) = 1/2mω²x²这里ω是一个频率，它是振动的夹角频率。
谐振子模型的哈密顿量通过薛定谔方程，我们能够得到谐振子模型的哈密顿量。
这个哈密顿量可以去掉第一项(x)来表示为：H = 1/2(p²/m + ω²x²)这里p是粒子的动量。
哈密顿量包含两个部分：动能和势能。
前者与粒子的速度有关，后者与粒子的位置有关。
我们发现，当位置x 和动量p 等于零时，哈密顿量 H 的值从 0 开始逐渐增加。
谐振子模型的能态由于谐振子的势能是是二次函数的形式，其能级也是均匀分布的。
谐振子模型的能态有无限多个，它们对应于独立的能子态和能量。
各个能级之间的能量差为ℏω，其中ℏ是普朗克常数。
任意谐振子可以写成费米函数形式的线性组合。
费米（Fermi）函数是一组由意大利物理学家费米创立的函数，用于描述费米子体系的基态和激发态。
经典谐振子模型与量子谐振子模型经典谐振子模型与量子谐振子模型是存在区别的，量子谐振子模型存在量子化现象。
经典谐振子的振幅可以是任意值，但量子谐振子仅对于特定离散位置有非零振幅。
在这些位置上，它的“位置波函数”保持相干，因此与经典谐振子的振幅一致。
单谐振子和多谐振子单谐振子和多谐振子是量子谐振子模型的两种形式。
单谐振子模型是指只有一个谐振子的系统，多谐振子模型是指由多个谐振子组成的系统。
在单谐振子模型中，哈密顿量可以表示为：H = ℏω( a† a + 1/2)这里a和a†分别是降算符和升算符，它们是谐振子模型的基础运算符。
经典力学与量子力学中的一维谐振子
经典力学与量子力学中的一维谐振子物理与电子信息工程学院物理学[摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。
本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。
[关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布1 前言所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。
一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。
该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。
在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。
这种情况即为一维谐振子。
一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。
普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。
在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。
另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。
因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。
应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。
本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。
从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。
2 经典力学中的一维谐振子在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规律，反映质点特征的是运动方程和能量。
因此我们可以从运动方程和能量这两方面出发讨论一维谐振子的运动特征。
线性谐振子量子力学课件
对应的波函数是：
1 2
1 2x2
n (x) Nn H n ( ) e 2 Nn H n (x) e 2 .(
)
(3.2 9)
Nn是归一化常数，利用特殊积分
ex2 dx ,
可得
Nn
2n
n
. !
2.讨论 (1) 能级是等间隔的 ；(2)零点能是
E0
1
2
；(3)能级
的宇称偶奇相间，基态是偶宇称,即ψn(-x)=(-1)ψnn(x) (4)ψn(x)有
当ξ→±∞时，方程变为：
d 2 d 2
2 .
我们发现它有近似解：
12
() ~ e 2 .
但是 e 2 /2 应该舍去。
所以再进行变换：
12
() e 2 H(),
可得关于H(ξ)的如下方程：
d 2 H 2 dH ( 1)H 0. (3.2 4)
d 2
d
二. Hermitian多项式 可以用级数法求解H(ξ)的方程，结果发现：只要H(ξ)是“真”
§ 3.2线性谐振子
一维量子谐振子问题
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它 是物体在势（或势场）的稳定平衡位置附近作小振动这类常见 问题的普遍概括。在量子力学中，情况很类似。一维量子谐振 子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观 粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概 括，而且更是将来场量子化的基础。
d
dt
a
cos(t
)
a
(1
a
2 2
)
1 2
所以几率密度与 (1 2
/
a
2
)
1 2
成比例。
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简谐运动的另一个明显特征是振动质点的位移，速度，加速度之间的关系：
这些曲线的方程是：
那么它最大的位移为 ,最大的速度为 ，而最大得加速度为 。
1.3简谐运动中的能量守恒[5]
对于包括简谐运动在的谐运动来说，如果没有耗散力作用在系统上，则系统的总机械能量守恒 。简谐运动的位移由下式给出：
量子谐振子的运动方程为：
为简化书写，令
，
于是方程 化为
当 时，以上方程有渐进解 ，方程的精确解可写作：
2.2量子谐振子能量[6]
将它带入 ，得到 满足的方程：
次方程厄米方程，可用级数法求解，为此令
我们要求 ，否则， 时， 将为无穷。将以上级数代入 ，比较 的系数，可得以下递推公式：
当 于是有
由此得出 和 。当 时， ，于是有
在任何时刻，势能
势能的最大值为 。在运动期间，势能在零和这个最大值之间改变，如图3所示。
图3势能的变化曲线
在任何时刻，动能 为 。利用关系式 与 得到
所以动能具有最大值 或 ，这与先前所说的最大速率 是一致的。在运动期间，动能在零和这个最大值之间改变，总机械能为动能与势能之和:
可见，总能量是恒定的，它具有数值 。在最大位移处，动能为零而势能为 ,在平衡位置，势能为零而动能为 。在其它位置，动能和势能各献的能量之总和为 。图3表明了这个恒定的总能量。作简谐运动的质点的总能量与震动振幅的平方成正比。由图3可以清楚地看出，在一个周期运动的平均动能恰好等于平均势能，并且每个平均值都是 。通常，可将方程 写成 ，由此关系式可得到:
将 代入运动方程得：
所以，如取常数 的数值使得 ，则 实际上就是简谐振子运动方程的解[3]。
如果在式 中将时间 增加一个数值 ，函数 就变成了
所以， 是运动的周期 。因为 ，故有
因此由方程 ,给出的所有运动都有相同的运动周期，并且这周期仅由振动质点的质量 和弹簧的倔强系数 决定。振子的频率 ，是单位时间完全振动的次数，由下式给定
因为要求 ，由此得出 ,否则必须 。在确定 后，根据递推公式 ，可只讨论 ，这时，递推公式变为
1经典谐振子
1.1简谐运动及简谐振子
任何在相等时间间隔重复自身的运动都叫做周期运动，在周期运动中质点的位移总可以用正弦函数和余弦函数来表示，这种周期运动常叫做谐运动，如果做周期运动的质点在同一路线上来回运动，这种运动就叫做振动[1]。
若一质点在平衡位置附近来回振动该质点的势能按下式改变：
式中k是常数，作用在质点上的力为F， 这样振动的质点叫做简谐振子，而它的运动就叫做简谐运动[1]。
经典谐振子与量子谐振子
摘要：本文分别介绍了经典谐振子与量子谐振子的运动，详细分析了简谐振子在经典力学中的运动特点及其运动方程，从运动方程中描述了力、位移、速度及加速度之间的关系并验证了简谐运动的能量守恒。而在量子力学过对谐振子能量的推导及其分析，清晰地看到了谐振子在宏观世界与微观世界的不同。
关键字：经典谐振子；量子谐振子；运动方程；能量
Keywords:classical harmonic oscillator；quantum harmonic oscillator；equation of motion；energy
引言
简谐振子是力学中一个十分重要的问题,在实际运用发面涉及到的机械运动的大多数问题都可简化为简谐振子的运动问题，而且在声学、光学等许多物理问题中都会出现类似谐振子运动方程的方程。简谐振子显示了许多物理系统的共同特征。
量 叫角频率， 是运动振幅，简谐运动的频率与运动的振幅无关，量 是运动的相位，常数 叫初相位[4]。
简谐振子势能曲线随位移的平方而改变3，作用在质点上的力的大小与位移成正比，但方向与位移相反，振动的两极限位置离开平衡位置的距离是相等的，最大位移的大小叫做简谐运动的振幅。图2描述了质点势能及力与位移的关系。
The Classical Harmonic Oscillator and Quantum Oscillator
Abstract:Inthis paper the classical harmonic oscillator quantum harmonic oscillator with the movementisdescribed, a detailed analysis of harmonic oscillator in classical mechanics the motion characteristics and equations of motion, described from the equations of motion force, displacement, speed and acceleration, and the relationship betweenverify the conservation of energy for simple harmonic motion.In quantum mechanics, harmonic oscillator energy through the derivation and analysis, clearly see the harmonic oscillator in the macro world and the microscopic world of difference.
一个系于倔强系数为k的理想弹簧上并且在光滑水平面上量为m的物体就是简谐振子的一个例子，如图1所示。
图1简谐振动
1.2简谐运动方程及其特点
先将牛顿第二定律 应用到图1的运动中，以 代替 并且将加速度 写成 ,则得
该方程叫做简谐振子的运动方程[2]。根据微积分学，我们知道正弦函数和余弦函数都具有这种性质，这样就可以写出运动方程的尝试解为：
或
这一关系式清楚地表明：在平衡位置x=0处，速率为零。实际上，我们可以从能量守恒的方程出发，通过建方程 积分，而得到最为时间函数的位移。所得结果与式子 完全相同，而式子 是由运动的微分方程 推到出来的[5]。
2量子谐振子
2.1量子谐振子的运动方程
所谓的简谐振子就是一个受弹性力作用的系统，其势能
为弹簧系数， 为振子的经典频率。